Электрический ток и сопротивление

Начальный

Электрический ток — это просто движущийся электрический заряд.

Шаг 1: что движется. В металле каждый атом отпускает один-два внешних электрона, и они свободно блуждают между оставшимися атомами (ионами). Увеличенный провод в анимации показывает эту толпу: жёлтые ионы со знаком «+» стоят ровными рядами, а между ними снуют синие электроны.

Шаг 2: толчок. Без батареи электроны мечутся беспорядочно и в среднем никуда не продвигаются. Подключите батарею, и все они получат слабый толчок в одну сторону: они по-прежнему движутся зигзагами и сталкиваются с ионами, но вдобавок медленно ползут вдоль провода. Проследите за электроном в кружке: путь запутанный, и всё же он пробирается вправо.

Шаг 3: счёт. Силу тока измеряют в амперах. Один ампер означает, что через точку провода каждую секунду проходит один кулон заряда — около шести миллиардов миллиардов электронов. Если за 5 секунд проходит 10 кулонов, сила тока равна $10:5=2\mathrm{А}$.

Шаг 4: в какую сторону. По давней договорённости считают, что ток течёт от «+» к «−». Электроны заряжены отрицательно, поэтому на самом деле дрейфуют в обратную сторону, от «−» к «+».

Шаг 5: сопротивление. Столкновения тормозят электроны и передают энергию ионам, которые начинают колебаться сильнее: провод нагревается, как в тостере. От той же батареи по проводу вдвое длиннее идёт вдвое меньший ток, а по вдвое более толстому — вдвое больший. Металлы проводят ток легко, стекло и пластик — почти никак.

Электроны ползут медленнее улитки, но лампа загорается, как только вы щёлкнули выключателем: провод уже полон электронов, и толчок распространяется по нему почти со скоростью света.

Проверьте себя: за 10 секунд прошло 30 кулонов. Какова сила тока? (Ответ: 3 А.)

Средний

Что течёт и в какую сторону

В металле каждый атом отдаёт один или несколько внешних электронов, которые свободно блуждают между положительными ионами, закреплёнными в кристаллической решётке. В солёной воде и в батарейках носителями тока служат ионы. Сила тока — это заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за единицу времени:
$I=\frac{Q}{t}$

Единица силы тока — ампер, $1\mathrm{А}=1\mathrm{Кл}/\mathrm{с}$. Заряд электрона по модулю равен $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{Кл}$, поэтому один ампер означает, что через сечение каждую секунду проходит $1/e\approx 6,2\times 10^{18}$ электронов.

За направление тока условно принимают то, куда двигался бы положительный заряд: во внешней цепи от плюса к минусу, а внутри провода — вдоль электрического поля $\vec{E}$. Электроны заряжены отрицательно, поэтому дрейфуют в другую сторону. В анимации зелёная стрелка $E$ и красно-оранжевая стрелка тока $I$ направлены влево, а синяя стрелка скорости дрейфа $v_{\mathrm{др}}$ — вправо: отрицательный заряд, движущийся вправо, переносит такой же ток, как положительный, движущийся влево.

Закон Ома и вольт-амперная характеристика

Толчок, который поддерживает движение заряда, — это напряжение $U$ на участке цепи: энергия, которую отдаёт каждый кулон заряда на пути между его концами (см. урок «Электрическое поле и потенциал»). В однородном проводе длиной $L$ оно создаёт поле $E=U/L$. Сопротивление сравнивает толчок с потоком:
$R=\frac{U}{I}$

Единица сопротивления — ом, $1\mathrm{Ом}=1\mathrm{В}/\mathrm{А}$. Для металла при постоянной температуре ток пропорционален напряжению, поэтому $R$ постоянно: это и есть закон Ома, а график зависимости $I$ от $U$ — прямая, проходящая через начало координат, с наклоном $1/R$. У нити лампы накаливания линия графика по мере нагрева идёт всё положе, потому что её сопротивление вырастает более чем в десять раз, а диод проводит ток только в одну сторону: отношение $U/I$ по-прежнему определяет их сопротивление в каждой точке, но постоянным оно не является.

От чего зависит сопротивление провода

Представьте провод как цепочку коротких отрезков, идущих друг за другом, и как набор дорожек, лежащих рядом. Каждый лишний метр — это ещё один участок, через который нужно проталкивать ток, поэтому $R$ растёт пропорционально длине $L$; каждый лишний квадратный миллиметр открывает ещё одну дорожку, поэтому $R$ убывает обратно пропорционально площади $S$. Материал входит в формулу через удельное сопротивление $\rho$:
$R=\frac{\rho L}{S}$

Удельное сопротивление, измеряемое в ом-метрах (Ом·м), — это сопротивление куска длиной 1 м с площадью сечения 1 м². Его размах показывает таблица в анимации: $1,7\times 10^{-8}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$ у меди — проводника, $2,3\times 10^3\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$ у чистого кремния — полупроводника и от $10^{10}$ до $10^{14}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$ у стекла — изолятора: больше двадцати порядков. У нихрома, сплава для нагревательных элементов, оно около $1,1\times 10^{-6}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$.

В металле $\rho$ ещё и растёт с температурой, примерно как $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$, где ${\rho }_0$ — значение при 20 °C, а $\Delta T$ — превышение над этой температурой. Для меди $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{К}}^{-1}$, то есть около 0,4 % на каждый кельвин. У полупроводника $\rho$, наоборот, убывает, потому что нагревание освобождает больше носителей.

Пример: три провода из анимации

Три провода в анимации подключены к одному и тому же напряжению 2,0 В. Допустим, верхний, эталонный провод — нихромовый, длиной 1,0 м, с площадью сечения $0,55\mathrm{м}{\mathrm{м}}^2=0,55\times 10^{-6}{\mathrm{м}}^2$, то есть около 0,84 мм в поперечнике. Тогда
$R=\frac{\rho L}{S}=\frac{1,1\times 10^{-6}\cdot 1,0}{0,55\times 10^{-6}}=2,0\mathrm{Ом}$
$I=\frac{U}{R}=\frac{2,0}{2,0}=1,0\mathrm{А}$

Это те самые 2 Ом и 1,0 А, что написаны рядом с проводом. Каждая синяя точка изображает один кулон, поэтому каждую секунду из провода выходит одна точка, а за 12 с цикла его счётчик равномерно доходит до $Q=It=1,0\cdot 12=12\mathrm{Кл}$ — это около $7,5\times 10^{19}$ электронов.

Средний провод вдвое длиннее: $R=4,0\mathrm{Ом}$, $I=0,50\mathrm{А}$, а его счётчик доходит до 6 Кл. Те же 2,0 В распределяются на 2,0 м, поэтому поле уменьшается вдвое, до 1,0 В/м, и точки движутся вдвое медленнее. У нижнего провода вдвое больше площадь сечения: $R=1,0\mathrm{Ом}$, $I=2,0\mathrm{А}$, через 12 с — 24 Кл; поле у него не изменилось, поэтому его точки движутся так же быстро, как в эталонном проводе, но по двум дорожкам.

Как быстро дрейфуют электроны

Теперь сосчитаем носители. Пусть в каждом кубическом метре их $n$, заряд каждого равен $q$, а дрейфуют они со скоростью $v_{\mathrm{др}}$. Тогда за время $t$ через сечение проходит каждый носитель, находившийся не дальше $v_{\mathrm{др}}t$ позади него: это объём $S{v}_{\mathrm{др}}t$, в котором $nS{v}_{\mathrm{др}}t$ носителей. Их заряд, делённый на $t$, и есть сила тока:
$I=nS{v}_{\mathrm{др}}q$

В меди примерно один свободный электрон на атом, $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{м}}^{-3}$. При токе 1 А в проводе сечением 1 мм²
$v_{\mathrm{др}}=\frac{I}{nSe}=\frac{1,0}{8,5\times 10^{28}\cdot 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 7,3\times 10^{-5}\mathrm{м}/\mathrm{с}$
то есть около 0,07 мм/с, или 26 см в час.

А между тем электроны мечутся со скоростью порядка 1,6 миллиона м/с; дрейф — лишь крошечная добавка к этому хаотическому движению. Электрон в кружке на увеличенном проводе показывает и то и другое: быстрый зигзаг и медленное продвижение вправо, хотя в настоящей меди зигзаг быстрее дрейфа более чем в десять миллиардов раз, а не в семь. Лампа всё же загорается сразу: провод уже полон электронов, а поле, которое приводит их в движение, распространяется со скоростью, составляющей большую долю скорости света.

Пример: удлинитель

У удлинителя длиной 10 м две медные жилы сечением 1,5 мм²; ток идёт по одной жиле туда и по другой обратно, то есть через 20 м меди. Включённый в него чайник потребляет 10 А. При $S=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{м}}^2$
$R=\frac{\rho L}{S}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 20}{1,5\times 10^{-6}}\approx 0,23\mathrm{Ом}$
$U=IR=10\cdot 0,23\approx 2,3\mathrm{В}$
Это всего 1 % от напряжения сети 230 В, но при токе 10 А в кабеле выделяется около 23 Вт тепла (мощность равна произведению напряжения на ток): пока оно распределено вдоль 20 м кабеля, это безобидно, но опасно, если кабель остался смотанным на катушке.

Скорость дрейфа равна
$v_{\mathrm{др}}=\frac{I}{nSe}=\frac{10}{8,5\times 10^{28}\cdot 1,5\times 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 4,9\times 10^{-4}\mathrm{м}/\mathrm{с}$
то есть половине миллиметра в секунду: постоянному току понадобилось бы около 11 часов, чтобы перенести электрон вдоль этих 20 м. Ток в сети меняет направление 100 раз в секунду (50 Гц), поэтому каждый электрон лишь колеблется взад-вперёд на пару микрометров, а энергия доходит до чайника сразу.

Частые ошибки

• Ток не расходуется: в лампу и из неё течёт один и тот же ток, 1,0 А на обоих концах эталонного провода; лампа забирает энергию.
• Электроны не мчатся к лампе: при токе 1 А в 1 мм² меди они дрейфуют примерно со скоростью 0,07 мм/с. Быстро распространяется только поле, которое приводит их в движение.
• У более толстого провода сопротивление меньше, а не больше: удвоение сечения вдвое уменьшает $R$ — с 2 Ом до 1 Ом в анимации.
• Запись $R=U/I$ не означает, что сопротивление зависит от напряжения: у омического провода при удвоении $U$ вдвое растёт $I$, и эталонный провод по-прежнему имеет 2 Ом.
• Площади переводите по формуле $1\mathrm{м}{\mathrm{м}}^2=10^{-6}{\mathrm{м}}^2$, а не $10^{-3}$: с неверным множителем 2,0 Ом нихромового провода превратятся в 0,0020 Ом.

Где это встречается

В домашней проводке применяют медь, а воздушные линии электропередачи делают из алюминия: его удельное сопротивление примерно в 1,6 раза выше, но он гораздо легче. В тостерах и обогревателях используют нихром: его удельное сопротивление велико и мало меняется с температурой. Термометры сопротивления измеряют температуру по зависимости $\rho (T)$. Дальше урок «Цепи постоянного тока и закон Ома» соединяет резисторы последовательно и параллельно, урок «Электрическая мощность и энергия в быту» прослеживает выделяемое ими тепло, а урок «Магнитное поле магнитов и токов» показывает магнитное поле вокруг каждого тока.

Продвинутый

Плотность тока и сохранение заряда

Ток $I$ показывает, какой заряд проходит через всё сечение за секунду, но не то, как поток распределён по этому сечению. Это описывает плотность тока $\vec{J}$ (в «Главных формулах» — $j$). Её модуль равен току, приходящемуся на единицу площади, перпендикулярной потоку, в А/м², а направлена она туда, куда течёт положительный заряд. Чтобы связать её с самими носителями, сосчитаем, сколько их проходит через маленькую площадку поверхности за короткое время.

Обозначения

$dA$	Площадь малой площадки, нарисованной с ребра.	${\mathrm{м}}^2$
$d\vec{A}$	Площадка как вектор: длиной $dA$, перпендикулярный площадке.	${\mathrm{м}}^2$
$\vec{J}$	Плотность тока, $nq{\vec{v}}_d$: ток на единицу площади, в направлении потока положительного заряда.	$\mathrm{А}/{\mathrm{м}}^2$
$\theta$	Угол между $\vec{J}$ (и ${\vec{v}}_d$) и $d\vec{A}$.	$\mathrm{рад}$
${\vec{v}}_{d}dt$	Насколько смещаются носители за время $dt$: наклонное ребро призмы.	$\mathrm{м}$
$v_{d}dt\cos \theta$	То же смещение, измеренное перпендикулярно площадке: высота призмы.	$\mathrm{м}$
$dV$	Объём призмы под площадкой: заключённые в ней носители проходят через площадку за время $dt$.	${\mathrm{м}}^3$

На рисунке 1 такая площадка видна с ребра: отрезок $dA$ — её площадь. Чтобы указать, куда площадка обращена, зададим вектор $d\vec{A}$ длиной $dA$, перпендикулярный площадке. Носители, $n$ штук в единице объёма, каждый с зарядом $q$, показаны точками. В среднем они движутся со скоростью дрейфа ${\vec{v}}_d$ (в «Главных формулах» — $v_{\mathrm{др}}$), которая составляет с $d\vec{A}$ угол $\theta$. Быстрое беспорядочное движение переносит через площадку столько же носителей в одну сторону, сколько в другую, поэтому считается только дрейф.

За короткое время $dt$ каждый носитель смещается на ${\vec{v}}_{d}dt$. Значит, через площадку за это время проходят в точности те носители, которые начинают путь в наклонной призме под ней: носитель, находящийся дальше, не успеет дойти. Посмотрите на две стороны призмы. Её наклонное ребро, вдоль дрейфа, имеет длину $v_{d}dt$, а высота, отсчитанная перпендикулярно площадке, равна лишь $v_{d}dt\cos \theta$. У наклонной призмы тот же объём, что у прямой с тем же основанием и той же высотой, поэтому
$dV=dA{v}_{d}dt\cos \theta$
В призме заключён заряд $nqdV$, и весь он проходит через площадку за $dt$. Разделив на $dt$, получаем ток через площадку:
$dI=nq{v}_d\cos \theta dA=\vec{J}\cdot d\vec{A},\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$
Множитель $\cos \theta$ — это ровно то, что даёт скалярное произведение. Сложив вклады площадок всей поверхности, получаем ток через неё:
$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$
Для равномерного потока, идущего прямо сквозь сечение $A$ (в «Главных формулах» — $S$), везде $\theta =0$, интеграл просто равен $JA$, и
$I=nA{v}_{d}q$

Рисунок 1 нарисован для положительных носителей, $q>0$, когда $\vec{J}$ и ${\vec{v}}_d$ направлены одинаково. Для электронов $q=-e$, поэтому $\vec{J}$ направлена против ${\vec{v}}_d$: условный ток течёт в одну сторону, а электроны дрейфуют в другую.

Теперь возьмём замкнутую поверхность, например коробку вокруг узла, с каждым $d\vec{A}$, направленным наружу. Заряд сохраняется: он не может ни возникнуть, ни исчезнуть. Поэтому ток, вытекающий из поверхности, должен происходить от заряда $Q$ внутри неё, который убывает с той же скоростью:
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=-\frac{dQ}{dt}$
В стационарном состоянии нигде ничего не накапливается, так что $dQ/dt=0$: в любую замкнутую поверхность входит столько же тока, сколько выходит. Для куска провода между двумя сечениями это значит, что через каждое сечение течёт один и тот же ток, какой бы формы ни был провод, — ток никогда не расходуется. Для узла проводов это правило узлов для цепей.

Дрейф при случайных столкновениях

Постоянное поле толкает каждый носитель с постоянной силой, и всё же ток тоже постоянен: носители не разгоняются бесконечно. Их останавливают столкновения. На носитель массой $m$ действует со стороны поля сила $\vec{F}=q\vec{E}$ и, кроме того, короткие случайные толчки при столкновениях. Модель Друде, предложенная в 1900 году, описывает это тремя предположениями; здесь $\tau$, среднее время свободного пробега, — это среднее время между столкновениями.

• Между столкновениями носитель движется свободно, ускоряясь с ускорением $\vec{F}/m$.
• Каждое столкновение посылает его в случайном направлении, не сохраняя памяти о прежнем движении.
• Столкновения происходят случайно, с одной и той же вероятностью $dt/\tau$ за любой короткий промежуток $dt$, что бы ни случилось раньше.

Теперь посмотрим на все носители в один момент. Скорость каждого состоит из двух частей. Первая — та, с которой он вылетел из последнего столкновения: она случайна, поэтому по многим носителям в среднем равна нулю. Вторая — то, что добавила сила с тех пор, то есть $\vec{F}/m$, умноженное на время, прошедшее после того столкновения. Значит, средняя скорость, дрейф, равна $\vec{F}/m$, умноженному на среднее время, прошедшее после последнего столкновения.

Чему равно это среднее? Поскольку у столкновений нет памяти, вероятность столкновения в любом коротком промежутке равна $dt/\tau$, идём ли мы по времени вперёд или назад. Поэтому, если смотреть назад из любого момента, время после последнего столкновения подчиняется той же статистике, что и ожидание следующего, и в среднем тоже равно $\tau$. Следовательно,
$v_d=\frac{F\tau }{m}$
а для электрона в поле $E$, где $F=eE$,
$v_d=\frac{eE\tau }{m}$

Почему преобладают длинные полёты

Этот результат вызывает сомнение. За один полёт добавленная скорость растёт от нуля до $Ft/m$, так не должен ли дрейф быть вдвое меньше $F\tau /m$? Так и было бы, если бы каждый полёт длился ровно $\tau$. Но это не так: поскольку столкновения случайны, длительность $t$ полёта разбросана с плотностью вероятности $p(t)=e^{-t/\tau }/\tau$. Доля $p(t)dt$ всех полётов длится от $t$ до $t+dt$.

Обозначения

$t$	Длительность одного свободного полёта, между двумя столкновениями.	$\mathrm{с}$
$\tau$	Среднее время свободного пробега: средняя длительность полёта.	$\mathrm{с}$
$p(t)$	Плотность длительности полёта, $e^{-t/\tau }/\tau$: доля $p(t)dt$ полётов длится от $t$ до $t+dt$.	${\mathrm{с}}^{-1}$
$t^{2}p(t)$	Смещение вперёд, которое дают полёты длительностью $t$: $t^2$, умноженное на их частоту, с точностью до множителя $F/2m$.	$\mathrm{с}$

Верхний график на рисунке 2 — это и есть эта плотность. Она наибольшая для самых коротких полётов и плавно убывает, а её среднее значение равно $\tau$. И всё же большинство полётов короче среднего: те, что длиннее $\tau$ (закрашенная часть), составляют лишь $1/e$, около 37 %, всех полётов.

Теперь взвесим каждый полёт по тому, насколько далеко он продвигает носитель вперёд. Поскольку в начале полёта добавленной скорости нет, полёт длительностью $t$ даёт смещение $\frac{1}{2}(F/m)t^2=(F/2m)t^2$, так что вдвое более долгий полёт даёт вчетверо большее смещение. Нижний график показывает $t^{2}p(t)$: насколько часто встречаются полёты длительностью $t$, умноженное на вклад каждого. Он достигает максимума при $2\tau$, далеко за средним значением, и бо́льшая часть его площади лежит в закрашенной части: полёты длиннее $\tau$ дают около 92 % смещения вперёд. Немногие длинные полёты выполняют почти всю работу, потому что дольше набирают скорость. Если взять половину $F\tau /m$, все полёты считаются одинаково долгими — и упускается как раз это.

Дрейф — это среднее смещение вперёд за полёт, делённое на среднюю длительность полёта:
$v_d=\frac{F}{2m}\frac{\overline{t^2}}{\overline{t}}=\frac{F}{2m}\frac{2{\tau }^2}{\tau }=\frac{F\tau }{m}$
Здесь $\overline{t}=\tau$ — среднее значение для $p(t)$, а $\overline{t^2}=2{\tau }^2$ — площадь под нижней кривой: при случайных столкновениях среднее значение $t^2$ вдвое больше квадрата среднего. Случайные скорости, с которыми полёты начинаются, в среднем ничего не добавляют, так что это весь дрейф, и он совпадает с результатом выше.

Увеличенный провод в анимации подчиняется тому же правилу. Каждый свободный полёт — короткая парабола, изгибающаяся вправо; при среднем времени свободного пробега 12/45 ≈ 0,27 с и ускорении 22,5 условных единиц/с² дрейф равен $a\tau =22,5\cdot 12/45=6$ условным единицам в секунду.

Закон Ома, удельное сопротивление и сопротивление

Зная дрейф, находим плотность тока. Для носителей заряда $q$ сила равна $F=qE$, поэтому $v_d=qE\tau /m$ и
$J=nq{v}_d=\frac{n{q}^2\tau }{m}E$
Плотность тока пропорциональна полю. Это закон Ома в локальной форме, верный в каждой точке металла. Коэффициент пропорциональности — удельная проводимость $\sigma$, обратная ей величина — удельное сопротивление $\rho$; для электронов, у которых $q^2=e^2$,
$J=\sigma E$
$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{m}{n{e}^2\tau }$
Заряд входит в квадрате, поэтому положительные и отрицательные носители дают одну и ту же проводимость: измерив $\sigma$, знак носителей узнать нельзя.

Проверим это на меди. При $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{м}}^{-3}$ и $\tau =2,5\times 10^{-14}\mathrm{с}$ формула даёт измеренное для меди значение $1,7\times 10^{-8}\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{м}$. Согласие впечатляет меньше, чем кажется: $\tau$ нельзя измерить напрямую, и его нашли именно из этого удельного сопротивления. Модель объясняет вид закона, ток, пропорциональный полю, но не величину $\rho$.

Теперь перейдём от точки к целому проводу. В однородном проводе длиной $L$ и сечением $A$ поле везде одинаково, так что напряжение на проводе $U=EL$, а ток $I=JA$. Подставив $E=U/L$ и $J=I/A$ в $J=\sigma E$, получаем $I/A=U/(\rho L)$, то есть $U=(\rho L/A)I$. Значит,
$R=\frac{\rho L}{A}$
выведено, а не угадано.

Два графика экспертного слоя анимации показывают две стороны этой формулы; на них эталонный провод промежуточного уровня: нихром длиной 1,0 м и сечением 0,55 мм², то есть 2 Ом, с током 1,0 А при 2,0 В. В зависимости от длины $R$ — прямая через начало координат с наклоном $\rho /A$: эталонный провод лежит в точке $L_0$ и 2 Ом, вдвое более длинный — в точке $2L_0$ и 4 Ом. В зависимости от площади $R$ — гипербола, потому что $RA=\rho L$ остаётся постоянным: эталонный провод лежит в точке $A_0$ и 2 Ом, толстый — в точке $2A_0$ и 1 Ом. Гипербола показывает убывающую отдачу. Удвоение площади экономит 1 Ом, но дальнейший переход к $3A_0$ экономит ещё лишь 0,33 Ом, тогда как стремление сечения к нулю уводит $R$ в бесконечность.

Куда уходит энергия

Между столкновениями поле совершает работу над каждым носителем и разгоняет его. При каждом столкновении носитель отдаёт эту энергию решётке ионов, которая начинает колебаться сильнее: провод нагревается. В среднем поле передаёт каждому носителю мощность $\vec{F}\cdot {\vec{v}}_d=q\vec{E}\cdot {\vec{v}}_d$, а носителей в единице объёма $n$, поэтому теплота, выделяемая в единице объёма за секунду, равна
$p=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2=\rho J^2$
Для однородного провода умножение на его объём $AL$ даёт $(JA)(EL)=IU$ — знакомую электрическую мощность.

Для эталонного провода $E=2,0\mathrm{В}/\mathrm{м}$ и $J=1,0/(0,55\times 10^{-6})\approx 1,8\times 10^6\mathrm{А}/{\mathrm{м}}^2$, поэтому $p=JE\approx 3,6\times 10^6\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^3$. В проводе 0,55 см³ металла, так что всего он выделяет 2,0 Вт — столько же, сколько $IU=1,0\cdot 2,0\mathrm{Вт}$.

Как энергия попадает в провод

Как эта энергия попадает в каждую часть провода? Не перемещаясь вдоль провода внутри него: носители отдают энергию решётке прямо там, где находятся. Она входит через поверхность провода, и переносят её электрическое и магнитное поля в окружающем пространстве.

Обозначения

$I$	Ток в проводе.	$\mathrm{А}$
$a$	Радиус провода.	$\mathrm{м}$
$L$	Длина провода.	$\mathrm{м}$
$\vec{E}$	Электрическое поле сразу за поверхностью: его составляющая вдоль провода, такая же, как внутри.	$\mathrm{В}/\mathrm{м}$
$\vec{B}$	Магнитное поле тока, огибающее провод по правилу правой руки: вверху к вам, внизу от вас.	$\mathrm{Тл}$
$\vec{S}$	Поток энергии $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: энергия за секунду через единицу площади, здесь внутрь провода.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

На рисунке 3 — провод радиусом $a$ и длиной $L$, по которому вправо идёт ток $I$. Его окружают два поля. Первое — электрическое поле $\vec{E}$ сразу за поверхностью, направленное вдоль провода. Оно там есть, потому что составляющая поля, параллельная поверхности, по обе стороны от неё одинакова, так что поле, которое гонит ток внутри, продолжается и сразу снаружи. (Поверхностные заряды могут добавить составляющую, перпендикулярную поверхности; она переносит энергию вдоль провода, а не внутрь.) Второе — магнитное поле тока $\vec{B}$: по правилу правой руки оно огибает провод и на поверхности равно $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$.

Там, где есть оба поля, течёт электромагнитная энергия. Её поток, то есть энергия за секунду через единицу площади, равен $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$ и перпендикулярен обоим полям. Прочтите направления по рисунку. Вверху провода $\vec{E}$ направлено вдоль него, а $\vec{B}$ — к вам, поэтому $\vec{S}$ направлен вниз, внутрь провода. Внизу $\vec{B}$ направлено от вас, и $\vec{S}$ направлен вверх, снова внутрь провода. Со всех сторон энергия входит прямо через поверхность. Поскольку $\vec{E}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, а площадь поверхности равна $2\pi aL$,
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{EI}{2\pi a},S\cdot 2\pi aL=ELI=UI$
так как $EL=U$: приток энергии равен выделяющейся внутри теплоте. Для эталонного провода $a\approx 0,42\mathrm{мм}$ и $S\approx 760\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$, что на его поверхности, около $2,6\times 10^{-3}{\mathrm{м}}^2$, составляет ровно 2,0 Вт теплоты. Энергия батареи идёт по пространству вокруг цепи; провода направляют её и принимают.

Что на самом деле рассеивает электроны

Друде представлял, что электроны отскакивают от каждого иона. Эта картина неверна, а её исправление объясняет, как сопротивление зависит от температуры и чистоты. Во-первых, электроны меди вовсе не медленные. Принцип Паули допускает в каждом квантовом состоянии только один электрон, поэтому они заполняют состояния вплоть до скорости Ферми, около $1,6\times 10^6\mathrm{м}/\mathrm{с}$, даже при абсолютном нуле. Их длина свободного пробега, расстояние между столкновениями, тогда равна $\ell =v_F\tau \approx 39\mathrm{нм}$, около 150 межионных расстояний: электрон проходит мимо многих ионов, не рассеиваясь.

Причина в том, что электрон — это волна. В идеально периодической решётке волны, рассеянные отдельными ионами, складываются так, что несут электрон прямо вперёд. У идеального кристалла сопротивления не было бы вообще.

Электроны рассеивают только отклонения от идеальной периодичности, а частоты их рассеяния складываются (правило Маттиссена). Колебания решётки усиливаются с температурой. Примеси и дефекты от температуры не зависят и оставляют остаточное удельное сопротивление даже при самых низких температурах. Вблизи комнатной температуры колебательная часть примерно пропорциональна абсолютной температуре $T$, а удельное сопротивление, пропорциональное $T$, меняется на долю $1/T$ на кельвин. Поэтому температурный коэффициент меди $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{К}}^{-1}$ близок к $1/(293\mathrm{К})=3,4\times 10^{-3}{\mathrm{К}}^{-1}$, а $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$ — просто линейный член разложения $\rho (T)$ около 20 °C. При охлаждении колебания затухают, и $\rho$ выходит на остаточное значение: очень чистая медь при 4 К проводит в сотни, а то и в тысячу раз лучше, чем при комнатной температуре.

Два других вида материалов ведут себя совсем иначе. В полупроводнике тепло переводит электроны в проводящие состояния, поэтому $n$ круто растёт, а $\rho$ при нагревании падает. Сверхпроводник ниже критической температуры (около 4,2 К у ртути) имеет строго нулевое сопротивление. Его электроны образуют одно коллективное квантовое состояние, которое переносит ток без рассеяния: это новое состояние вещества, а не предел всё более редких столкновений.

Задача: провод, который утолщается

Формула $R=\rho L/A$ верна для однородного провода. А если сечение меняется по длине? Возьмём эталонный провод (нихром, 1,0 м, так что $\rho /A_0=2,0\mathrm{Ом}/\mathrm{м}$) и пусть он равномерно расширяется от $A_0$ на одном конце до $2A_0$ на другом, $A(x)=A_0(1+x/L)$, при напряжении 2,0 В на нём. Его сопротивление должно лежать между 1 Ом толстого провода и 2 Ом эталонного, но где именно?

Обозначения

$I$	Ток: один и тот же через каждый слой.	$\mathrm{А}$
$A_0$	Сечение у тонкого конца; у толстого конца оно равно $2A_0$.	${\mathrm{м}}^2$
$A(x)$	Сечение на расстоянии $x$ от тонкого конца, $A_0(1+x/L)$.	${\mathrm{м}}^2$
$L$	Длина провода.	$\mathrm{м}$
$x$	Расстояние от тонкого конца.	$\mathrm{м}$
$dx$	Толщина одного слоя.	$\mathrm{м}$
$\rho /A(x)$	Сопротивление провода на единицу длины в точке $x$.	$\mathrm{Ом}/\mathrm{м}$
$\rho /A_0$	Сопротивление на единицу длины у тонкого конца.	$\mathrm{Ом}/\mathrm{м}$
$\rho /2A_0$	Сопротивление на единицу длины у толстого конца: вдвое меньше, чем у тонкого.	$\mathrm{Ом}/\mathrm{м}$
$dR$	Сопротивление слоя в точке $x$, $\rho dx/A(x)$: площадь тёмной полоски.	$\mathrm{Ом}$
$R$	Сопротивление всего провода: площадь под кривой.	$\mathrm{Ом}$

На рисунке 4 провод нарезан на тонкие слои (и провод, и слой нарисованы намного толще, чем есть). Слой на расстоянии $x$ от тонкого конца имеет толщину $dx$ и сечение $A(x)$. Такой тонкий слой — короткий однородный провод с сопротивлением $dR=\rho dx/A(x)$. Один и тот же ток $I$ проходит через слои один за другим, поэтому они соединены последовательно, и их сопротивления складываются.

График под проводом превращает эту сумму в площадь. Его кривая — сопротивление на единицу длины, $\rho /A(x)$; оно убывает от $\rho /A_0$ у тонкого конца до $\rho /2A_0$ у толстого. Тёмная полоска под кривой имеет высоту $\rho /A(x)$ и ширину $dx$, поэтому её площадь равна $dR$ слоя. Сложив все полоски, получаем всю площадь под кривой — сопротивление $R$ провода. Положим $u=1+x/L$, так что $dx=Ldu$:
$R={\int }_0^L\frac{\rho dx}{A_0(1+x/L)}=\frac{\rho L}{A_0}{\int }_1^2\frac{du}{u}=\frac{\rho L}{A_0}\ln 2$
$R=2,0\cdot 0,693\approx 1,39\mathrm{Ом}$

Значит, ток равен $I=2,0/1,386\approx 1,44\mathrm{А}$. Два соблазнительных упрощения оба ошибочны. Среднее двух сопротивлений даёт 1,5 Ом — слишком много, потому что кривая провисает ниже прямой, соединяющей её концы. Средняя площадь $1,5A_0$ даёт 1,33 Ом — слишком мало, потому что слои складываются как $1/A$, а среднее от $1/A$ — это не единица, делённая на среднее от $A$. Сама картина со слоями здесь надёжна, потому что провод расширяется плавно: его диаметр растёт лишь от 0,84 мм до 1,18 мм на целом метре, так что ток в каждом слое течёт почти строго вдоль провода.

Ток через каждый слой один и тот же, поэтому поле должно следовать за площадью: $E(x)=\rho I/A(x)$ равно 2,9 В/м у тонкого конца и 1,4 В/м у толстого, а на более тонкой половине падает 1,17 В из 2,0 В, то есть 58 %. У тонкого конца дрейф вдвое быстрее, чем у толстого, а теплоты там выделяется вдвое больше на единицу длины и вчетверо больше на единицу объёма. Такое поле создаёт тонкий слой поверхностных зарядов, который устанавливается через считанные наносекунды после включения. Та же концентрация теплоты в узком месте объясняет, почему у плавких вставок предохранителей нарочно делают узкие перешейки: именно там они и плавятся.

Границы применимости

Формула $R=\rho L/A$ рассматривает металл как сплошную среду, в каждой точке которой есть определённое $\rho$, поэтому все размеры проводника должны быть много больше длины свободного пробега, около 40 нм в меди. В тонких плёнках и в межсоединениях микросхем шириной в несколько десятков нанометров электроны рассеиваются ещё и на поверхностях и границах зёрен, и удельное сопротивление в два–три раза превышает объёмное. Проводники короче длины свободного пробега электроны пересекают вообще без столкновений, и сопротивление приобретает квантовый характер: перемычка шириной в несколько атомов проводит ток ступенями по $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{См}$, то есть 12,9 кОм на канал, независимо от металла.

Результаты предполагают и постоянный ток. В переменном токе меняющееся магнитное поле внутри провода индуцирует электрическое поле, которое противодействует току у оси и усиливает его у поверхности. Ток скапливается в поверхностном слое, толщина которого, толщина скин-слоя, равна
$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega {\mu }_0}}$
где $\omega$ — круговая частота. Для меди это 9,3 мм при 50 Гц, 66 мкм при 1 МГц и 2,1 мкм при 1 ГГц, так что на высокой частоте ток несёт лишь тонкая «кожа» провода. Вблизи $1/(2\pi \tau )\approx 6\mathrm{ТГц}$ поле меняет знак примерно за одно время свободного пробега, и отклик электронов начинает определять их инерция, а не столкновения; этот отклик на свет и делает металлы блестящими.

Закон Ома требует и того, чтобы энергия, которую носитель набирает между столкновениями, была крошечной. В меди при токе 1 А на мм² поле составляет всего 0,017 В/м, и электрон набирает на длине свободного пробега около $7\times 10^{-10}\mathrm{эВ}$ — против тепловой энергии $kT\approx 0,026\mathrm{эВ}$ при комнатной температуре. В сильных полях это нарушается: электроны полупроводника разогреваются, а в кремнии скорость их дрейфа насыщается около $10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$ вместо того, чтобы расти вместе с полем.

Что дальше

Урок «Цепи постоянного тока и закон Ома» опирается на эту тему: резисторы, соединённые последовательно, складываются, как отрезки провода, а соединённые параллельно действуют как добавочные дорожки, поэтому складываются их проводимости. Урок «Электрическая мощность и энергия в быту» прослеживает тепло $UI=I^{2}R$ в кабелях, предохранителях и чайниках. Ток создаёт магнитное поле («Магнитное поле магнитов и токов»), а магнитное поле отклоняет дрейфующие носители («Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд»), порождая напряжение Холла, по которому находят $n$ и знак $q$. Урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» показывает, как управляют $n$, создавая приборы, а урок «Электромагнитные волны» встречается с той же толщиной скин-слоя, когда радиоволна входит в морскую воду. Поскольку свободные электроны переносят и тепло, хорошие проводники электричества хорошо проводят и тепло («Теплопроводность, конвекция и излучение»).