चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र

चुंबकीय क्षेत्र कहाँ से आते हैं: चुंबक, पृथ्वी और हर विद्युत धारा से। लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र $B$ तार को घेरकर वृत्त बनाता है और दूरी के साथ $B = μ_{0} I / (2 π r)$ के अनुसार घटता है।

तार के चारों ओर दिक्सूचक, ऊपर से देखने पर: धारा बहने पर सुइयाँ तार के चारों ओर वृत्तों में घूम जाती हैं, और धारा उलटने पर वे पलट जाती हैं।

इस विषय से पहले: विद्युत धारा और प्रतिरोध

शुरुआती

मुख्य विचार

दिक्सूचक की सुई एक नन्हा चुंबक है: वह क्षेत्र के अनुदिश रुकती है; क्षेत्र रेखाएँ चुंबक के उत्तरी ध्रुव से निकलकर दक्षिणी ध्रुव में जाती हैं।
पृथ्वी एक विशाल चुंबक है। आर्कटिक के नीचे का चुंबकीय ध्रुव वास्तव में दक्षिणी ध्रुव है, इसलिए वह हर दिक्सूचक का उत्तरी सिरा खींचता है।
विद्युत धारा चुंबकीय क्षेत्र बनाती है: सीधे तार के चारों ओर दिक्सूचक की सुइयाँ घूमकर वलय बना लेती हैं।
धारा उलटते ही वलय उलट जाता है। दायाँ हाथ: अंगूठा धारा के अनुदिश, मुड़ी उँगलियाँ क्षेत्र की दिशा बताती हैं।
धारावाही कुंडली ऐसी विद्युत चुंबक है जिसे बंद किया जा सकता है; अंदर लौह क्रोड रखने पर वह बहुत प्रबल हो जाती है।

एक छड़ चुंबक को धागे से लटकाएँ तो वह इस तरह ठहरता है कि उसका एक सिरा उत्तर की ओर रहता है। वह सिरा उसका उत्तरी ध्रुव है, दूसरा दक्षिणी ध्रुव। दो समान ध्रुव एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं; उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव पास खींचते हैं।

दिक्सूचक की सुई बस एक छोटा चुंबक है जो धुरी पर टिका है। उसे जहाँ भी रखें, उसका उत्तरी सिरा उस स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दिखाता है। उसे चुंबक के चारों ओर घुमाकर आप क्षेत्र रेखाएँ खींच सकते हैं: वे उत्तरी ध्रुव से निकलती हैं, मुड़ती हैं और दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं।

पृथ्वी भी एक विशाल चुंबक है, पर एक अनोखी बात के साथ। असमान ध्रुव आकर्षित करते हैं, इसलिए आर्कटिक के नीचे छिपा चुंबकीय ध्रुव वास्तव में दक्षिणी ध्रुव होना चाहिए: इसी कारण वह हर दिक्सूचक के उत्तरी सिरे को खींचता है।

1820 में हांस क्रिश्चियन ओर्स्टेड ने पाया कि धारावाही तार भी चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। एनिमेशन उनका प्रयोग दोहराता है, ऊपर से देखने पर: खड़े तार के चारों ओर छोटे दिक्सूचक रखे हैं। धारा न हो तो सब उत्तर की ओर इशारा करते हैं। धारा चालू करें तो वे तार के चारों ओर वलय में घूम जाते हैं; धारा उलटें तो वलय दूसरी ओर घूम जाता है। दिशा याद रखने के लिए तार को दाएँ हाथ से पकड़ें, अंगूठा धारा के अनुदिश: आपकी उँगलियाँ क्षेत्र की दिशा में मुड़ती हैं।

तार को कुंडली में लपेटें तो वलय उसके अंदर जुड़ जाते हैं: आपको एक विद्युत चुंबक मिलती है जिसे बंद किया जा सकता है। अंदर नरम लौह रखने से वह बहुत प्रबल हो जाती है। फ्रिज का चुंबक भी इसी तरह काम करता है: उसके इलेक्ट्रॉन नन्ही धाराओं की तरह घूमते और चक्रण करते हैं, सब एक ही दिशा में संरेखित।

ख़ुद जाँचें: एक दिक्सूचक ऐसे खड़े तार के ठीक उत्तर में रखा है जिसमें धारा ऊपर की ओर बह रही है। उसकी सुई किधर इशारा करेगी? (पश्चिम: ऊपर से देखने पर क्षेत्र वामावर्त घूमता है।)

मध्यम

मुख्य विचार

लंबा सीधा तार: $B = μ_{0} I / (2 π r)$ , जहाँ $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ ; $r$ दोगुना करने पर $B$ आधा हो जाता है।
दाएँ हाथ का अंगूठा नियम: अंगूठा धारा के अनुदिश, मुड़ी उँगलियाँ क्षेत्र रेखाओं की दिशा बताती हैं।
20 A से 2 cm पर 200 µT और 4 cm पर 100 µT मिलता है, यानी पृथ्वी के क्षैतिज 20 µT का दस और पाँच गुना।
दिक्सूचक कुल क्षेत्र दिखाता है, तार का और पृथ्वी का योग, इसलिए तार से दूर वह वापस उत्तर की ओर झुक जाता है।
परिनालिका: अंदर $B = μ_{0} n I$ , जहाँ $n = N / L$ प्रति मीटर फेरे हैं; लौह क्रोड इसे बहुत प्रबल बना देता है।

चुंबकीय क्षेत्र क्या है और कितना प्रबल

चुंबकीय क्षेत्र वह है जो चुंबक या धारा के पास दिक्सूचक की सुई को घुमा देता है। उसकी एक दिशा होती है, जिसमें दिक्सूचक का उत्तरी सिरा ठहरता है, और एक परिमाण, चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B$ , जो टेस्ला (T) में मापा जाता है: 1 T के क्षेत्र में क्षेत्र के लंबवत 1 A धारा वाले तार के प्रत्येक मीटर पर 1 N बल लगता है।

टेस्ला बहुत बड़ा मात्रक है: फ्रिज का चुंबक कुछ मिलीटेस्ला देता है और MRI स्कैनर 1.5–3 T, जबकि पृथ्वी का क्षेत्र केवल 25–65 µT है। समतल रखा दिक्सूचक केवल क्षेत्र का क्षैतिज भाग महसूस करता है, मध्य अक्षांशों में लगभग 20 µT, एनिमेशन में हरा मान।

क्षेत्र रेखाएँ दिक्सूचक के इशारे की दिशा में चलती हैं, जहाँ क्षेत्र प्रबल है वहाँ सघन होती हैं और कभी नहीं कटतीं; छड़ चुंबक के चारों ओर वे उत्तरी ध्रुव से निकलकर दक्षिणी ध्रुव में मुड़ जाती हैं। आर्कटिक के नीचे पृथ्वी का चुंबकीय ध्रुव हर दिक्सूचक के उत्तरी सिरे को आकर्षित करता है, इसलिए वह दक्षिणी ध्रुव है।

लंबे सीधे तार का क्षेत्र

1820 में हांस क्रिश्चियन ओर्स्टेड ने देखा कि पास के तार में धारा चालू करने पर दिक्सूचक की सुई घूम गई: विद्युत धाराएँ चुंबकीय क्षेत्र बनाती हैं। लंबे सीधे तार की क्षेत्र रेखाएँ उस पर केंद्रित वृत्त होती हैं, इसलिए सुई बगल की ओर घूमती है, और तार के चारों ओर कार्ड पर लौह चूर्ण वलय बना लेता है। तार से दूरी $r$ पर
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$

जहाँ $I$ धारा है और $μ_{0}$ चुंबकीय स्थिरांक है,
$μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$
$I$ दोगुना करें तो $B$ दोगुना; $r$ दोगुना करें तो $B$ आधा। एक काम का संक्षिप्त रूप है $μ_{0} / (2 π) = 2 \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ , जिससे $B = 2 \times 1 0^{- 7} I / r$ , जहाँ $I$ ऐम्पियर में और $r$ मीटर में है।

दिशा किधर: आरेख पढ़ना

दिशा दाएँ हाथ के अंगूठा नियम से मिलती है: तार को दाएँ हाथ से पकड़ें, अंगूठा धारा के अनुदिश, और आपकी मुड़ी उँगलियाँ क्षेत्र रेखाओं की दिशा बताती हैं। नियम में परंपरागत धारा $I$ ली जाती है; धातु में इलेक्ट्रॉन उलटी दिशा में अपवाहित होते हैं।

एनिमेशन कार्ड को ऊपर से देखता है, इसलिए तार सिरे से दिखता है: बिंदु (•) का अर्थ धारा स्क्रीन से बाहर, तीर की नोक की तरह, और क्रॉस (×) का अर्थ धारा अंदर, तीर के पंखों की तरह। $I = 20 A$ स्क्रीन से बाहर हो तो आपका अंगूठा आपकी ओर है और क्षेत्र वामावर्त घूमता है: पूर्व दिशा के नीले $B$ तीर उत्तर की ओर हैं। धारा उलटने पर तीर पलट जाते हैं और हर सुई घूम जाती है; $B$ के पाठ्यांक, जो केवल क्षेत्र का परिमाण देते हैं, वही रहते हैं।

भीतरी सुइयाँ, प्रबल क्षेत्र में, बाहरी सुइयों से तेज़ घूमती हैं, क्योंकि क्षेत्र चुंबक पर जो बल-आघूर्ण लगाता है वह $B$ के साथ बढ़ता है।

पाश और परिनालिकाएँ

तार को त्रिज्या $R$ के वृत्ताकार पाश में मोड़ें तो उसका हर भाग अपना क्षेत्र बीच से एक ही दिशा में भेजता है। केंद्र पर
$B = \frac{μ _{0} I}{2 R} (centre of a loop)$
जो दूरी $R$ पर सीधे तार के क्षेत्र का $π$ गुना है; $N$ फेरों की चपटी कुंडली $N$ गुना देती है।

नली पर बहुत से फेरे लपेटें तो आपके पास परिनालिका है। लंबी परिनालिका के अंदर फेरों के क्षेत्र जुड़कर अक्ष के अनुदिश लगभग एकसमान क्षेत्र बनाते हैं, जबकि बाहर वे लगभग कट जाते हैं:
$B = μ_{0} n I, n = \frac{N}{L}$
यहाँ $n$ प्रति मीटर फेरे हैं, लंबाई $L$ पर $N$ फेरे; यदि कुंडली अपनी चौड़ाई की तुलना में लंबी है तो त्रिज्या मायने नहीं रखती। सिरे छड़ चुंबक के ध्रुवों की तरह काम करते हैं: दाएँ हाथ की उँगलियाँ फेरों में धारा के अनुदिश मोड़ें तो अंगूठा उत्तरी सिरे की ओर होगा। अंदर नरम लौह क्रोड रखने पर कुंडली विद्युत चुंबक बन जाती है।

हल किया उदाहरण: एनिमेशन के दिक्सूचक

तार में $I = 20 A$ धारा है, और दिक्सूचक उससे 2 cm और 4 cm पर हैं। दूरियाँ मीटर में लेने पर:
$B_{1} = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \cdot 20}{0.02} = 2.0 \times 1 0^{- 4} T = 200 μ T$
$B_{2} = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \cdot 20}{0.04} = 1.0 \times 1 0^{- 4} T = 100 μ T$

ये दोनों नीले पाठ्यांक हैं, पृथ्वी के क्षैतिज 20 µT का दस और पाँच गुना। परंतु दिक्सूचक कुल क्षेत्र दिखाता है, तार का और पृथ्वी का योग। तार के ठीक उत्तर में भीतरी दिक्सूचक के लिए तार का क्षेत्र पश्चिम की ओर और पृथ्वी का उत्तर की ओर है, इसलिए सुई वृत्त से उत्तर की ओर उस कोण से मुड़ती है जिसकी स्पर्शज्या $20/200$ है: लगभग 5.7°। 4 cm पर अनुपात $20/100$ है, और बाहरी सुइयाँ उत्तर की ओर अधिकतम लगभग 11° झुकती हैं।

तार का क्षेत्र पृथ्वी के $B_{E} = 20 μ T$ के बराबर कहाँ होगा?
$r = \frac{μ _{0} I}{2 π B _{E}} = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \cdot 20}{20 \times 1 0 ^{- 6}} = 0.20 m$
धारा स्क्रीन से बाहर हो तो तार से 20 cm ठीक पश्चिम में क्षेत्र दक्षिण की ओर है और पृथ्वी के क्षेत्र को निरस्त कर देता है: वहाँ दिक्सूचक की कोई पसंदीदा दिशा नहीं रहती। ठीक उत्तर में दोनों क्षेत्र समकोण पर जुड़कर लगभग 28 µT बनाते हैं, और सुई उत्तर-पश्चिम की ओर रहती है। धारा उलटने पर निरस्त करने वाला बिंदु पूर्व में चला जाता है।

हल किया उदाहरण: विद्युत चुंबक लपेटना

आप 25 cm लंबी कुंडली के अंदर 10 mT चाहते हैं, और तार अधिकतम 2 A के लिए बना है। प्रति मीटर फेरों के लिए $B = μ_{0} n I$ हल करें:
$n = \frac{B}{μ _{0} I} = \frac{0.010}{4 π \times 1 0 ^{- 7} \cdot 2} \approx 4.0 \times 1 0^{3} m^{- 1}$
यह लगभग 4000 फेरे प्रति मीटर है, यानी $N = n L = 4000 \cdot 0.25 = 1000$ फेरे, और $B = 4 π \times 1 0^{- 7} \cdot 4000 \cdot 2 \approx 1.0 \times 1 0^{- 2} T$ , जो पृथ्वी के क्षैतिज क्षेत्र का लगभग 500 गुना है।

2 cm त्रिज्या की नली पर कुंडली में $1000 \cdot 2 π \cdot 0.02 \approx 126 m$ तार लगता है। 0.5 mm² अनुप्रस्थ काट के ताँबे में उसका प्रतिरोध $ρ ℓ / A = 1.7 \times 1 0^{- 8} \cdot 126/ (0.5 \times 1 0^{- 6}) \approx 4.3 Ω$ है, इसलिए 2 A के लिए लगभग 8.5 V चाहिए और 17 W ऊष्मा बनती है।

नरम लौह क्रोड अपने परमाणवीय चुंबकों को कुंडली के क्षेत्र के अनुदिश संरेखित करके उसे कई गुना बढ़ा देता है: सीधी छड़ में एक टेस्ला के कुछ दशांश तक, और लिफ्टिंग चुंबक जैसे बंद लौह पथ में लगभग 2 T तक, जहाँ लोहा संतृप्त हो जाता है।

सामान्य गलतियाँ

तार की क्षेत्र रेखाएँ वृत्त हैं, अरीय रेखाएँ नहीं: ऊपर की ओर 20 A वाले तार से 2 cm उत्तर में रखा दिक्सूचक लगभग पश्चिम की ओर इशारा करता है।
लंबे तार का क्षेत्र $1/ r$ की तरह घटता है, $1/ r^{2}$ की तरह नहीं: 4 cm पर 100 µT, 8 cm पर 50 µT हो जाता है, 25 µT नहीं।
दूरियाँ मीटर में रखें: 0.02 की जगह $r = 2$ लेने पर 200 µT की जगह 2 µT मिलता है। इसी तरह $n$ प्रति मीटर फेरे गिनता है: 25 cm पर 1000 फेरे $n = 4000 m^{- 1}$ हैं, 1000 नहीं।
दिक्सूचक कुल क्षेत्र दिखाता है, अकेले तार का नहीं: एनिमेशन के तार से 20 cm पर दोनों बराबर हैं, और सुइयाँ वृत्तों का अनुसरण करना बंद कर देती हैं।
10 A वाली मेन्स केबल दिक्सूचक को लगभग प्रभावित नहीं करती: उसके दोनों चालकों में कुछ मिलीमीटर की दूरी पर विपरीत धाराएँ हैं, जिससे 10 cm पर लगभग 1 µT रहता है, जबकि अकेले चालक से 20 µT होता, और धारा प्रति सेकंड 100 बार उलटती है।

यह कहाँ मिलता है

विद्युत चुंबक कबाड़ इस्पात उठाते हैं, अग्निरोधी दरवाज़े खुले रखते हैं और रिले चलाते हैं। लाउडस्पीकर चुंबक के क्षेत्र में कुंडली से अपना शंकु चलाता है, और MRI स्कैनर एक बड़ी परिनालिका है: 1.5 T के लिए $n I \approx 1.2 \times 1 0^{6} A/m$ चाहिए, मान लें 600 A धारा के साथ 2000 फेरे प्रति मीटर, इसलिए उसकी कुंडली को अतिचालक होने तक ठंडा किया जाता है।

आगे, गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल दिखाता है कि क्षेत्र धारा पर क्या करता है, विद्युत चुंबकीय प्रेरण बताता है कि बदलता क्षेत्र धारा कैसे चलाता है, और मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर दोनों को काम में लगाते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

तार के चारों ओर वृत्त पर एम्पियर का नियम $\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc}$ देता है $B \cdot 2 π r = μ_{0} I$ , अतः $B r$ अचर है।
एकसमान धारा वाले त्रिज्या $a$ के तार के अंदर $B = μ_{0} I r / (2 π a^{2})$ : अक्ष पर शून्य, सतह पर अधिकतम।
बायो-सावर्ट नियम, $d B = (μ_{0} /4 π) I d l \times \overset{r}{^} / r^{2}$ , किसी भी आकार पर लागू: पाश के केंद्र पर $B = μ_{0} I / (2 R)$ ।
लंबी परिनालिका के आधा भीतर पड़ने वाले आयत से अंदर एकसमान $B = μ_{0} n I$ और बाहर लगभग शून्य क्षेत्र मिलता है।
$\nabla \cdot B = 0$ : क्षेत्र रेखाएँ सदा बंद होती हैं, चुंबक के भीतर से भी, और कोई चुंबकीय एकल ध्रुव आज तक नहीं मिला।

स्थायी धाराओं के दो स्थानीय नियम

यह खंड उन दो नियमों को बताता है जिनका पालन हर स्थायी चुंबकीय क्षेत्र करता है। सीधे तार से लेकर समाक्षीय केबल तक, पाठ की बाकी सभी बातें इन्हीं से निकलती हैं।

समय के साथ न बदलने वाली धाराओं के लिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ निम्न को संतुष्ट करता है
$\nabla \cdot B = 0, \nabla \times B = μ_{0} J$
यहाँ $J$ धारा घनत्व है, अर्थात अनुप्रस्थ काट के प्रति इकाई क्षेत्रफल से बहने वाली धारा (A/m²), और $μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ चुंबकीय स्थिरांक है। अपसरण $\nabla \cdot B$ मापता है कि किसी सूक्ष्म आयतन से कितना क्षेत्र बाहर निकलता है; कर्ल $\nabla \times B$ मापता है कि वह किसी सूक्ष्म पाश के चारों ओर कितना परिसंचरित होता है।

पहला नियम कहता है कि $B$ का कोई नेट फ्लक्स किसी बंद पृष्ठ से बाहर नहीं जाता। इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ न कहीं शुरू होती हैं, न कहीं समाप्त, क्योंकि चुंबकीय आवेश नहीं होते। इसके विपरीत, विद्युत क्षेत्र और विभव में $E$ की रेखाएँ आवेशों पर शुरू और समाप्त होती हैं।

दूसरा नियम कहता है कि $B$ धाराओं के चारों ओर परिसंचरित होता है, और केवल धाराओं के चारों ओर। जहाँ $J = 0$ है, वहाँ क्षेत्र का कर्ल बिल्कुल नहीं होता।

एम्पियर का नियम: परिसंचरण धारा को गिनता है

कर्ल का नियम बिंदु-दर-बिंदु लागू होता है। इसे वास्तविक तार पर लगाने के लिए हमें ऐसा रूप चाहिए जो पूरे पाश के चारों ओर परिसंचरण को जोड़ दे। बंद पाश $C$ से घिरे किसी भी पृष्ठ पर कर्ल नियम का समाकलन कीजिए: स्टोक्स प्रमेय बाईं ओर को $C$ के चारों ओर रेखा-समाकल बना देती है, और दाईं ओर $μ_{0}$ गुणा वह धारा $I_{enc}$ हो जाती है जो पृष्ठ को पार करती है। परिणाम एम्पियर का नियम है:
$\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc}$

चित्र 1 में पाश $C$ छोटे कदमों $d l$ में कटा है। हर कदम पर $B$ का कदम के अनुदिश भाग लीजिए और उसे कदम की लंबाई से गुणा कीजिए। नियम का बायाँ पक्ष $C$ के पूरे चक्कर में इन गुणनफलों का योग है।

चलने की दिशा चिह्न तय करती है। दाएँ हाथ का अंगूठा धारा की दिशा में रखिए: यदि आपकी उँगलियाँ कदमों की दिशा में मुड़ें, तो वह धारा धनात्मक गिनी जाती है। यहाँ तार में धारा $I$ ऊपर की ओर है, इसलिए ऊपर से देखने पर कदम वामावर्त चलते हैं। क्षेत्र $B$ भी तार के चारों ओर उसी दिशा में घूमता है, अतः हर गुणनफल धनात्मक है।

$I_{enc}$ वह धारा है जो $C$ से घिरे पृष्ठ को पार करती है। सबसे स्वाभाविक चुनाव समतल चकती $S_{1}$ है। पर बिंदीदार गुंबद $S_{2}$ का किनारा भी वही $C$ है, और नियम यह नहीं बताता कि कौन-सा पृष्ठ लें, इसलिए दोनों से उत्तर समान आना चाहिए। चित्र 1 में ऐसा ही है: तार $S_{1}$ और $S_{2}$ दोनों को बेधता है, अतः दोनों से धारा $I$ गुज़रती है।

यह सहमति अपने-आप नहीं होती। किसी भी कर्ल का अपसरण शून्य होता है, इसलिए कर्ल नियम का अपसरण लेने पर $\nabla \cdot J = 0$ मिलता है: आवेश कहीं जमा नहीं होता, धारा बंद परिपथों में बहती है, और $C$ पर फैला हर पृष्ठ समान धारा वहन करता है। आवेशित होता संधारित्र इसे तोड़ देता है। उसकी प्लेटों के बीच से गुज़रने वाले गुंबद को कोई धारा पार नहीं करती, जबकि समतल चकती को तार पार करता है। यह पहला संकेत है कि बदलते क्षेत्रों के लिए एक अतिरिक्त पद चाहिए, जिससे इस पाठ के अंत में मिलेंगे।

सीधा तार: बाहर और भीतर

एम्पियर का नियम $B$ एक ही पंक्ति में दे देता है, पर तभी जब समरूपता पहले से बता दे कि पाश के चारों ओर क्षेत्र एक-सा है। लंबा सीधा तार सबसे साफ़ उदाहरण है, और यह समरूपता-तर्क का ढंग दिखाता है।

लंबा सीधा तार उसके अनुदिश खिसकाने या उसके चारों ओर घुमाने पर वैसा ही दिखता है। इसलिए $B$ का हर भाग केवल तार से दूरी $r$ पर निर्भर कर सकता है। $B$ को तीन भागों में बाँटिए: अरीय (तार से दूर की ओर), तार के अनुदिश, और तार के चारों ओर घूमता हुआ।

अरीय भाग शून्य है। तार के चारों ओर त्रिज्या $r$ का बंद बेलन लीजिए। उसके दोनों समतल सिरे एक-दूसरे को काट देते हैं, क्योंकि तार के अनुदिश क्षेत्र दोनों पर समान है और एक सिरे से जितना प्रवेश करता है उतना दूसरे से निकल जाता है। तब कोई अरीय भाग हर जगह वक्र पृष्ठ से बाहर निकलकर नेट फ्लक्स देता, जिसे $\nabla \cdot B = 0$ मना करता है।

तार के अनुदिश भाग तार के बाहर शून्य है। तार से गुज़रते समतल में एक आयत लीजिए जिसकी दोनों लंबी भुजाएँ तार के बाहर और उसी ओर हों। यह कोई धारा नहीं घेरता। इसकी छोटी भुजाएँ अरीय हैं, जहाँ क्षेत्र का कोई अरीय भाग नहीं है, अतः दोनों लंबी भुजाओं को एक-दूसरे को काटना होगा: तार के अनुदिश क्षेत्र हर दूरी पर समान है। बहुत दूर इसे लुप्त होना ही है, इसलिए यह बाहर हर जगह लुप्त है।

जो बचता है वह तार के चारों ओर घूमता है, जिसका परिमाण $B$ केवल $r$ पर निर्भर है। तार पर केंद्रित त्रिज्या $r$ के वृत्त पर $B$ हमेशा कदम के अनुदिश होता है, इसलिए एम्पियर के नियम का बायाँ पक्ष $B \cdot 2 π r$ है। इसे $μ_{0} I$ के बराबर रखने पर
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$

त्रिज्या $a$ के ऐसे तार के भीतर, जिसमें धारा एकसमान बहती है, त्रिज्या $r < a$ का वृत्त धारा का केवल एक भाग घेरता है। वह भाग क्षेत्रफलों का अनुपात है, $π r^{2} / (π a^{2}) = r^{2} / a^{2}$ । अतः $B \cdot 2 π r = μ_{0} I r^{2} / a^{2}$ , और
$B = \frac{μ _{0} I r}{2 π a ^{2}}$
अक्ष पर क्षेत्र शून्य है और सतह पर $μ_{0} I / (2 πa)$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है: 1 mm त्रिज्या के तार में 20 A के लिए 4.0 mT। बाहर यह $1/ r$ की तरह घटता है। आगे का चित्र 4 दोनों क्षेत्रों में एम्पियर के वृत्त दिखाता है।

परिनालिका: भीतर एकसमान क्षेत्र

परिनालिका तार की लंबी कुंडली है, जो एकसमान क्षेत्र बनाने का मानक तरीका है। एम्पियर का नियम इसका कारण एक ही आयत से दिखा देता है, जो आधा कुंडली के भीतर और आधा बाहर है।

चित्र 2 में एक लंबी परिनालिका को अक्ष के अनुदिश काटा गया है। ऊपरी पंक्ति में धारा पन्ने से बाहर आ रही है (बिंदु); निचली पंक्ति में पन्ने के भीतर जा रही है (क्रॉस)। दाएँ हाथ की उँगलियों को फेरों में धारा की दिशा में मोड़िए, तो अंगूठा भीतर का क्षेत्र बताता है: अक्ष के अनुदिश, दाईं ओर, जैसा तीर $B$ दिखाते हैं।

कुंडली के बाहर क्षेत्र शून्य है। पूरी तरह बाहर पड़ा आयत कोई धारा नहीं घेरता, इसलिए अक्ष के समानांतर उसकी दोनों लंबी भुजाओं को एक-दूसरे को काटना होगा: बाहर अक्ष के अनुदिश क्षेत्र हर दूरी पर समान है। कुंडली से दूर इसे क्षीण होना ही है, अतः बाहर हर जगह यह शून्य है। यही कुंडली के नीचे का $B = 0$ है।

अब चित्र 2 के आयत $C$ के चारों ओर चलिए। इसकी भीतरी भुजा, लंबाई $ℓ$ , कुंडली के भीतर अक्ष के अनुदिश $B$ की दिशा में है और $B ℓ$ का योगदान देती है। इसकी बाहरी भुजा वहाँ है जहाँ $B = 0$ , तो कुछ नहीं जोड़ती। इसकी दोनों छोटी भुजाएँ कुंडली के भीतर अक्षीय क्षेत्र को समकोण पर काटती हैं और बाहर शून्य क्षेत्र में हैं, अतः वे भी कुछ नहीं जोड़तीं। एम्पियर के नियम का बायाँ पक्ष केवल $B ℓ$ है।

दाएँ पक्ष में $C$ से $n ℓ$ फेरे गुज़रते हैं, जहाँ $n$ प्रति मीटर फेरों की संख्या है, और हर फेरे में धारा $I$ है। अतः $I_{enc} = n ℓ I$ , और $B ℓ = μ_{0} n ℓ I$ से
$B = μ_{0} n I$
इसमें कुछ भी इस पर निर्भर नहीं करता कि भीतरी भुजा अक्ष से कितनी दूर है, इसलिए क्षेत्र भीतर हर जगह एक-सा है: एकसमान। यह प्रति मीटर फेरों और धारा पर निर्भर करता है, कुंडली की त्रिज्या पर नहीं।

B(r) ग्राफ़ और समान फ्लक्स के वृत्त

उन्नत स्तर पर एनिमेशन 20 A वाले तार का क्षेत्र दिखाता है, $B$ बनाम $r$ , 1 से 6 cm तक। यह खंड उस ग्राफ़ को पढ़ता है और दिखाता है कि एम्पियर का नियम उसका आकार क्यों तय करता है।

वक्र अतिपरवलय $B r = μ_{0} I / (2 π) = 4.0 \times 1 0^{- 6} T \cdot m$ है, अर्थात 400 µT·cm। यह 1 cm पर 400 µT, 2 cm पर चिह्नित 200 µT, 4 cm पर 100 µT और 6 cm पर 67 µT से गुज़रता है। लघुगणकीय अक्षों पर यह ढाल −1 की सरल रेखा होता, जबकि बिंदु आवेश के लिए −2 और दूर के चुंबक के लिए −3 होता है।

अचर गुणनफल $B r$ ठीक वही है जो एम्पियर का नियम माँगता है। ऐसा पाश लीजिए जो कोई धारा नहीं घेरता: त्रिज्या के अनुदिश 2 से 4 cm तक बाहर, 4 cm वाले वृत्त पर कोण $Δ φ$ तक, दूसरी त्रिज्या के अनुदिश भीतर, और 2 cm वाले वृत्त पर वापस। अरीय भागों पर $B$ पथ के लंबवत है, अतः वे कुछ नहीं जोड़ते। बाहरी चाप क्षेत्र के अनुदिश चलता है और $100 μ T \cdot 4 cm \cdot Δ φ$ देता है; भीतरी चाप उसके विरुद्ध चलता है और $- 200 μ T \cdot 2 cm \cdot Δ φ$ देता है। दोनों कट जाते हैं, जैसा भीतर कोई धारा न होने पर होना ही चाहिए। $1/ r$ से तेज़ या धीमा घटने वाला क्षेत्र इस परीक्षा में विफल हो जाता।

तार से गुज़रते समतल में एक मीटर लंबी पट्टी, जो $r_{1}$ से $r_{2}$ तक फैली है, से गुज़रने वाला फ्लक्स उसके आर-पार $B d r$ का योग है:
$Φ = \frac{μ _{0} I}{2 π} ln \frac{r _{2}}{r _{1}}$
यह केवल अनुपात $r_{2} / r_{1}$ पर निर्भर है, इसलिए $r$ का हर दोगुना होना समान $2.8 \times 1 0^{- 6} T \cdot m^{2}$ जोड़ता है। अतः फ्लक्स के समान कदमों पर खींची गई क्षेत्र रेखाएँ त्रिज्या 1, 2, 4 और 8 cm के वृत्त हैं, जो क्षेत्र के क्षीण होने के साथ फैलते जाते हैं; एनिमेशन के दो बिंदीदार वृत्त ऐसे ही समूह के पड़ोसी हैं।

बायो-सावर्ट नियम: अक्ष से देखा गया पाश

एम्पियर का नियम $B$ तभी देता है जब समरूपता किसी पाश के अनुदिश क्षेत्र को अचर रखे। एकल वृत्ताकार कुंडली के चारों ओर ऐसा कोई पाश नहीं है, इसलिए हमें ऐसा नियम चाहिए जो किसी भी आकार के परिपथ पर चले। बायो-सावर्ट नियम क्षेत्र को धारा के छोटे टुकड़ों से बनाता है:
$d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}}$
यहाँ $d l$ तार का छोटा अवयव है जो धारा की दिशा में है, $r$ क्षेत्र-बिंदु से उसकी दूरी है और $\overset{r}{^}$ अवयव से उस बिंदु की ओर इकाई सदिश है। हर अवयव ऐसा योगदान जोड़ता है जो $1/ r^{2}$ की तरह घटता है और धारा तथा दृष्टि-रेखा दोनों के लंबवत है।

चित्र 3 यह नियम त्रिज्या $R$ के वृत्ताकार पाश पर लगाता है, जिसमें धारा $I$ है, अक्ष के उस बिंदु $P$ पर जो केंद्र से ऊँचाई $z$ पर है। पहले वलय के दाहिने ओर के अवयव $d l$ को देखिए। वहाँ धारा पन्ने के भीतर जा रही है; इस तिरछे दृश्य में पन्ने के भीतर को ऊपर की ओर दिखाया गया है।

दो तथ्य इस अवयव को आसान बना देते हैं। $P$ से इसकी दूरी $r = R^{2} + z^{2}$ है, भुजाओं $R$ और $z$ वाले त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय से। और वलय के अनुदिश चलने वाला $d l$ रेखा $r$ के लंबवत है, इसलिए सदिश गुणनफल अपने पूरे परिमाण में है: $d B = μ_{0} I d l / (4 π r^{2})$ । इसकी दिशा $d l$ और $\overset{r}{^}$ दोनों के लंबवत है: ऊपर और अक्ष से दूर, जैसा तीर $d B$ दिखाता है।

अब वलय के विपरीत ओर के धूसर अवयव को देखिए। उसकी धारा उलटी दिशा में है, इसलिए उसका क्षेत्र दर्पण-प्रतिबिंब है: अपनी ओर ऊपर और अक्ष से दूर। दोनों के पार्श्व भाग कट जाते हैं। हर अवयव को उसके सम्मुख अवयव से जोड़ने पर सभी पार्श्व भाग कट जाते हैं, और केवल अक्षीय भाग $d B_{z}$ बचते हैं, जो सब ऊपर की ओर हैं।

$d B_{z}$ कितना है? तीर $d B$ रेखा $r$ के लंबवत है, इसलिए $d B$ और $d B_{z}$ से बना छोटा त्रिभुज भुजाओं $R$ , $z$ और $r$ वाले बड़े त्रिभुज के समरूप है। अतः $d B_{z} = d B R / r$ ।

हर अवयव समान दूरी $r$ पर है और समान अनुपात $R / r$ देता है, और अवयवों की लंबाइयाँ जुड़कर परिधि $2 π R$ बनती हैं। इसलिए योग केवल एक गुणनफल है:
$B = \frac{μ _{0} I}{4 π r ^{2}} \cdot \frac{R}{r} \cdot 2 π R = \frac{μ _{0} I R ^{2}}{2 ( R ^{2} + z ^{2} ) ^{3/2}}$

दो सीमाएँ परिणाम की जाँच करती हैं। केंद्र पर $z = 0$ है, इसलिए $r = R$ और हर अवयव बगल से है, और $B = μ_{0} I \cdot 2 π R / (4 π R^{2}) = μ_{0} I / (2 R)$ । त्रिज्या 2 cm के पाश में 20 A के लिए यह 628 µT है, जो उसी 2 cm पर सीधे तार के 200 µT का $π$ गुना है।

अक्ष पर दूर, $z ≫ R$ के लिए, कोष्ठक $z^{3}$ बन जाता है और $B \approx μ_{0} I R^{2} / (2 z^{3})$ : क्षेत्र $1/ z^{3}$ की तरह घटता है। 20 cm पर वही पाश केवल 0.62 µT देता है, जबकि सीधा तार अब भी 20 µT देता है। छोटा पाश चुंबकीय द्विध्रुव है, जिसका दूर का क्षेत्र छड़ चुंबक जैसा है। हर वास्तविक परिपथ, वापसी तारों समेत, बंद पाश है, इसलिए पर्याप्त दूरी पर उसका क्षेत्र भी दूरी के घन की तरह घटता है।

परिमित तार और छोटी परिनालिकाएँ

वही योग तार के सीधे टुकड़ों और परिमित लंबाई की कुंडलियों को भी सँभालता है, और दिखाता है कि आदर्श सूत्र कितने सटीक हैं।

लंबाई $ℓ$ के सीधे खंड के मध्य-बिंदु के सामने, लंबवत दूरी $r$ पर स्थित बिंदु पर
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r} \cdot \frac{ℓ /2}{( ℓ /2 ) ^{2} + r ^{2}}$
पहला गुणनखंड अनंत तार का मान है; दूसरा, जो सदा 1 से कम होता है, छूटे हुए सिरों का संशोधन है। 4 cm दूरी से 1 m तार के लिए यह 0.9968 है, इसलिए क्षेत्र केवल 0.3 % कम पड़ता है।

एनिमेशन जैसी छह त्रिज्या लंबी परिनालिका के फेरों के क्षेत्रों को जोड़ने पर केंद्र पर $μ_{0} n I$ का 95 % और सिरों पर 49 % मिलता है, जहाँ परिकलित चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ फैल जाती हैं। आदर्श $B = μ_{0} n I$ बहुत लंबी कुंडली की सीमा है।

हल किया हुआ प्रश्न: समाक्षीय वापसी पथ

समाक्षीय केबल में धारा केंद्रीय छड़ से बाहर जाती है और उसके चारों ओर की नली से लौटती है। यह एम्पियर के नियम की अच्छी परीक्षा है, क्योंकि एक वृत्त से दूसरे वृत्त तक परिबद्ध धारा बदल जाती है।

मान लीजिए एनिमेशन की 20 A धारा त्रिज्या $a = 1 cm$ की ताँबे की छड़ में स्क्रीन से बाहर की ओर बहती है और छड़ के चारों ओर त्रिज्या $b = 3 cm$ की पतली नली से वापस भीतर जाती है। 2 cm और 4 cm पर रखे दिक्सूचक क्या अनुभव करते हैं, और अक्ष से 0.5 cm पर क्षेत्र कितना है?

चित्र 4 का बायाँ भाग अनुप्रस्थ काट है। केंद्र का बिंदु त्रिज्या $a$ की छड़ में पृष्ठ से बाहर आती धारा $I$ है; क्रॉस उसकी वापसी हैं, जो त्रिज्या $b$ की नली में पृष्ठ के भीतर जाती है। बिंदीदार वृत्त 1, 2 और 3, 0.5 cm, 2 cm और 4 cm पर एम्पियर पाश हैं। लेबलों के लिए जगह बनाने के लिए चित्र में त्रिज्याएँ सिकोड़ी गई हैं, इसलिए यह पैमाने के अनुसार नहीं है।

सीधे तार की तरह ही केबल अक्ष के परितः घुमाने या अक्ष के अनुदिश खिसकाने पर वैसी ही दिखती है, इसलिए क्षेत्र फिर अक्ष के चारों ओर वृत्ताकार होता है और उसका परिमाण केवल $r$ पर निर्भर करता है। प्रत्येक वृत्त पर एम्पियर के नियम से $B \cdot 2 π r = μ_{0} I_{enc}$ , अर्थात् $B = (μ_{0} /2 π) I_{enc} / r$ , जहाँ $μ_{0} / (2 π) = 2 \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ है। केवल $I_{enc}$ ज्ञात करना ही काम है।

वृत्त 1, छड़ के भीतर, छड़ के क्षेत्रफल का $(0.5/1)^{2}$ , यानी चौथाई भाग घेरता है, अतः उसकी चौथाई धारा। वृत्त 2 छड़ की पूरी धारा घेरता है और नली की कोई नहीं। वृत्त 3 दोनों घेरता है, और वे कट जाती हैं:
$I_{enc} (0.5 cm) = 20 \cdot (0.5/1)^{2} = 5 A, B = \frac{2 \times 1 0 ^{- 7} \cdot 5}{0.005} = 2.0 \times 1 0^{- 4} T$
$I_{enc} (2 cm) = 20 A, B = 200 μ T$
$I_{enc} (4 cm) = 20 - 20 = 0, B = 0$

चित्र 4 का दायाँ भाग पूरी केबल के लिए $B$ को $r$ के विरुद्ध खींचता है। क्षेत्र सीधी रेखा में चढ़कर $r = a$ पर 400 µT के शिखर तक पहुँचता है, $r = b$ तक एनिमेशन के $1/ r$ अतिपरवलय का अनुसरण करता है, फिर शून्य हो जाता है। वृत्त 1 और 2 एक ही ऊँचाई पर हैं: छड़ के भीतर 0.5 cm पर 200 µT, और उसके बाहर 2 cm पर 200 µT।

अतः भीतरी दिक्सूचक, 2 cm पर, कुछ नया अनुभव नहीं करते: नली की धारा उनके वृत्त के बाहर है, और एकसमान नली अपने भीतर कोई क्षेत्र नहीं बनाती। बाहरी दिक्सूचक, 4 cm पर, केवल पृथ्वी का लगभग 20 µT का क्षैतिज क्षेत्र अनुभव करते हैं और ऐसे उत्तर की ओर संकेत करते हैं मानो धारा बंद हो।

यदि 5 A कहीं और भूमि में रिस जाए, और नली से केवल 15 A लौटे, तो वृत्त 3 में 5 A परिबद्ध होगी। तब बाहरी दिक्सूचक केबल से $2 \times 1 0^{- 7} \cdot 5/0.04 = 25 μ T$ अनुभव करेंगे, जो पृथ्वी के क्षेत्र से अधिक है। अवशिष्ट-धारा युक्ति (RCD) ठीक यही उपयोग करती है: दोनों चालकों के चारों ओर का छल्ला केवल उनकी निवल धारा, यानी एम्पियर के नियम की $I_{enc}$ , को पहचानता है और वह शून्य न होने पर परिपथ काट देता है।

एक क्षेत्र, दो निर्देश-तंत्रों से

चुंबकत्व कोई अलग बल नहीं है। यह खंड दिखाता है कि तार का चुंबकीय बल दूसरे निर्देश-तंत्र से देखा गया विद्युत बल है।

तार 2.5 mm² अनुप्रस्थ काट का ताँबे का है। उसके मुक्त इलेक्ट्रॉन प्रति मीटर तार लगभग $3.4 \times 1 0^{4} C$ आवेश ले जाते हैं, जो धनात्मक आयनों से ठीक संतुलित है, इसलिए तार उदासीन है। 20 A प्रवाहित करने के लिए इलेक्ट्रॉन केवल $v \approx 0.59 mm/s$ की अपवाह चाल से चलते हैं।

अब एक आवेश को तार के साथ-साथ, इलेक्ट्रॉनों के समानांतर और उन्हीं की चाल $v$ से चलने दें। प्रयोगशाला में उस पर चुंबकीय बल लगता है, क्योंकि वह क्षेत्र $B$ में गतिमान है। अपने निर्देश-तंत्र में वह विराम में है, और विराम आवेश पर चुंबकीय क्षेत्र कोई बल नहीं लगाता। दृष्टिकोण बदलने से बल लुप्त नहीं हो सकता, इसलिए उस तंत्र में उसे विद्युत होना ही चाहिए।

ऐसा ही है। आवेश के तंत्र में आयन गतिमान हैं, इसलिए उनकी दूरी लंबाई-संकुचित हो जाती है और वे प्रयोगशाला की तुलना में अधिक सघन हैं। इलेक्ट्रॉन अब विराम में हैं, अपनी स्वाभाविक दूरी पर, जो प्रयोगशाला में देखी संकुचित दूरी से अधिक है, इसलिए वे कम सघन हैं। तार अब उदासीन नहीं रहा।

दोनों घनत्वों में भिन्नात्मक अंतर $v^{2} / c^{2} \approx 4 \times 1 0^{- 24}$ है: प्रति मीटर तार एक इलेक्ट्रॉन से भी कम निवल आवेश। फिर भी 2 cm पर यह नन्हा आवेश $1.2 \times 1 0^{- 7} V/m$ का विद्युत क्षेत्र बनाता है, जो 200 µT में चाल $v$ से गतिमान आवेश के $v B$ के बराबर है। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक ही क्षेत्र के दो पहलू हैं, जो निर्देश-तंत्र बदलने से आपस में मिलते हैं, और $μ_{0} ε_{0} = 1/ c^{2}$ उनके विनिमय की दर है।

दाएँ हाथ का नियम केवल एक परिपाटी है। $B$ क्षेत्र-नियम में भी आता है और बल $q v \times B$ में भी, इसलिए दोनों में प्रयुक्त बाएँ हाथ का नियम $B$ को उलट देगा और कोई भविष्यवाणी नहीं बदलेगी।

स्थायी चुंबक भी इन्हीं समीकरणों का पालन करते हैं। उनकी धाराएँ परमाणुओं के भीतर होती हैं, मुख्यतः इलेक्ट्रॉनों के प्रचक्रण में, जो लोहे में पूरे चुंबकीय प्रांतों में एक दिशा में सजे होते हैं।

वैधता की सीमाएँ

ये स्थायी धाराओं के नियम हैं। जब धाराएँ बदलती हैं, तो कर्ल नियम में $μ_{0} J$ के साथ मैक्सवेल का पद $μ_{0} ε_{0} \partial E / \partial t$ जुड़ जाता है। यह चित्र 1 के आवेशित होते संधारित्र की कमी पूरी करता है, और क्षेत्र के परिवर्तन को $c = 1/ μ_{0} ε_{0} \approx 3.00 \times 1 0^{8} m/s$ की चाल से फैलाता है।

तरंगदैर्घ्य से बहुत छोटी दूरियों पर स्थैतिक सूत्र अब भी सही हैं। 50 Hz पर तरंगदैर्घ्य 6000 km है, इसलिए घरेलू वायरिंग चुंबकीय-स्थैतिक है; 100 MHz पर यह 3 m है, और तार विकिरण करता है।

ये नियम निर्वात या वायु भी मानते हैं, जिसकी पारगम्यता $μ_{0}$ से दस लाखवें भाग से भी कम भिन्न है। प्रयोगशाला में सबसे प्रबल स्थायी क्षेत्र लगभग 45 T हैं, और मैग्नेटार, एक प्रकार का न्यूट्रॉन तारा, लगभग $1 0^{10} T$ तक पहुँचते हैं।

पदार्थ का चुंबकत्व मूलतः क्वांटम है। ऊष्मीय साम्य में आवेशों के लिए चिरसम्मत भौतिकी कोई चुंबकन नहीं बताती, और लोहे में प्रचक्रणों का संरेखण क्वांटम प्रभाव है।

आगे क्या

"गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल" में बल $q v \times B$ , समानांतर धाराओं के बीच आकर्षण और आवेशित कणों की वृत्ताकार कक्षाएँ जुड़ती हैं। "विद्युत चुंबकीय प्रेरण" दिखाता है कि परिवर्तनशील $B$ एक पाश के चारों ओर विद्युत क्षेत्र चलाता है, जो एम्पियर के नियम का प्रतिरूप है, और "मोटर, जनित्र और ट्रांसफ़ॉर्मर" में कुंडलियाँ और लौह क्रोड काम में लगाए जाते हैं। मैक्सवेल के पद के साथ दोनों कर्ल नियम "विद्युत चुंबकीय तरंगें" की तरंगें देते हैं, और ऊपर का निर्देश-तंत्र-परिवर्तन "विशिष्ट आपेक्षिकता" में विकसित होता है।

मुख्य सूत्र

लंबे सीधे तार का क्षेत्र

B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}

सीधी धारा की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ तार के चारों ओर वृत्त होती हैं, और प्रत्येक वृत्त पर क्षेत्र एक-सा रहता है। ऐसे वृत्त पर एम्पियर का नियम लगाने पर $B \cdot 2 π r = μ_{0} I$ मिलता है, अतः क्षेत्र धारा के समानुपाती है और $1/ r$ की तरह घटता है, जो बिंदु आवेश के $1/ r^{2}$ से धीमा है। इसकी दिशा दाएँ हाथ का अंगूठा नियम से मिलती है।

चिह्न
$B$	दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$μ_{0}$	चुंबकीय स्थिरांक	$T \cdot m/A$
$I$	तार में विद्युत धारा	$A$
$r$	तार की अक्ष से दूरी	$m$

कब लागू होता है: तार के बाहर, जब धारा स्थायी हो, तार $r$ से बहुत लंबा सीधा हो और पास में लोहा न हो। एकसमान धारा वाले त्रिज्या $a$ के तार के भीतर इसके बदले $B = μ_{0} I r / (2 π a^{2})$ होता है; 4 cm से देखने पर 1 m लंबा तार सूत्र से 0.3% कम क्षेत्र देता है।

उदाहरण: एनिमेशन की 20 A धारा: 2 cm पर $B = 2 \times 1 0^{- 7} \cdot 20/0.02 = 200 μ T$ और 4 cm पर 100 µT।

चुंबकीय स्थिरांक

μ_{0} = 4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A

$μ_{0}$ बताता है कि SI इकाइयों में दी गई धारा कितना प्रबल क्षेत्र बनाती है। 2019 तक इसका मान परिभाषा से यथार्थ था, क्योंकि एम्पियर की परिभाषा दो समानांतर तारों के बीच बल से दी जाती थी; अब एम्पियर इलेक्ट्रॉन के आवेश से तय है और $μ_{0}$ मापा जाता है, फिर भी यह एक अरब में एक भाग से बेहतर शुद्धता तक $4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ के बराबर है। विद्युत स्थिरांक के साथ मिलकर यह प्रकाश की चाल तय करता है, $μ_{0} ε_{0} = 1/ c^{2}$ ।

चिह्न
$μ_{0}$	चुंबकीय स्थिरांक (निर्वात की चुंबकशीलता)	$T \cdot m/A$

कब लागू होता है: यह निर्वात का मान है, और वायु के लिए दस लाख में एक भाग की शुद्धता तक सही है। लोहे जैसे चुंबकीय पदार्थ के भीतर क्षेत्र पदार्थ की आपेक्षिक चुंबकशीलता से गुणा हो जाता है, जो स्थिरांक नहीं है।

उदाहरण: $μ_{0} / (2 π) = 2 \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ , अतः एनिमेशन की 20 A धारा के लिए गुणनफल $B r$ हर दूरी पर $4.0 \times 1 0^{- 6} T \cdot m$ है।

लंबी परिनालिका के भीतर क्षेत्र

B = μ_{0} n I, n = \frac{N}{L}

लंबी कुंडली के भीतर सभी फेरों के क्षेत्र जुड़कर अक्ष के अनुदिश एकसमान क्षेत्र बनाते हैं, जबकि बाहर वे लगभग कट जाते हैं। एक भुजा भीतर रखकर आयत पर एम्पियर का नियम लगाने से $B = μ_{0} n I$ मिलता है: केवल प्रति मीटर फेरे और धारा मायने रखते हैं, त्रिज्या नहीं। बाहर से देखने पर जिस सिरे पर धारा वामावर्त बहती है, वह उत्तरी ध्रुव है।

चिह्न
$B$	परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$μ_{0}$	चुंबकीय स्थिरांक	$T \cdot m/A$
$n$	प्रति मीटर फेरों की संख्या	$m^{- 1}$
$I$	लपेट में विद्युत धारा	$A$
$N$	कुल फेरों की संख्या
$L$	परिनालिका की लंबाई	$m$

कब लागू होता है: त्रिज्या से बहुत लंबी परिनालिका के लिए, उसके भीतर सिरों से दूर, जहाँ सिरों पर क्षेत्र लगभग आधा रह जाता है; लौह क्रोड के बिना, क्योंकि क्रोड क्षेत्र को तब तक बढ़ाता है जब तक लोहा लगभग 2 T पर संतृप्त नहीं हो जाता।

उदाहरण: 25 cm पर 1000 फेरे और 2 A धारा: $n = 4000 m^{- 1}$ और $B = 4 π \times 1 0^{- 7} \cdot 4000 \cdot 2 \approx 10 mT$ ।

वृत्ताकार पाश के केंद्र पर क्षेत्र

B = \frac{μ _{0} I}{2 R} (centre of a loop)

पाश का हर अवयव केंद्र से समान दूरी $R$ पर है और केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है, इसलिए बायो-सावर्ट नियम के सभी योगदान अक्ष के अनुदिश एक ही ओर होते हैं और जुड़कर $μ_{0} I \cdot 2 π R / (4 π R^{2})$ देते हैं। यह उसी दूरी पर सीधे तार के क्षेत्र का $π$ गुना है। $N$ फेरों की समतल कुंडली $N$ गुना क्षेत्र देती है।

चिह्न
$B$	पाश के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$μ_{0}$	चुंबकीय स्थिरांक	$T \cdot m/A$
$I$	पाश में विद्युत धारा	$A$
$R$	पाश की त्रिज्या	$m$

कब लागू होता है: केवल केंद्र पर। अक्ष पर दूरी $z$ पर क्षेत्र $μ_{0} I R^{2} / [2 (R^{2} + z^{2})^{3/2}]$ है, जो दूर जाकर छोटे चुंबक के क्षेत्र की तरह $1/ z^{3}$ से घटता है।

उदाहरण: त्रिज्या 2 cm के पाश में 20 A: $B = 4 π \times 1 0^{- 7} \cdot 20/0.04 \approx 628 μ T$ , जो 2 cm पर सीधे तार के 200 µT का $π$ गुना है।

एम्पियर का नियम

\oint B \cdot d l = μ_{0} I_{enc}

किसी भी बंद पाश पर चलें और हर पग को उस पर $B$ के पथ के अनुदिश घटक से गुणा करके जोड़ें: यह कुल, परिसंचरण, पाश से गुज़रने वाली धारा का $μ_{0}$ गुना होता है। पाश के बाहर की धाराएँ उस पर $B$ बदलती हैं, पर परिसंचरण में कुछ नहीं जोड़तीं। उँगलियाँ पाश के अनुदिश रखने पर दाएँ अंगूठे की ओर की धारा धनात्मक गिनी जाती है। यह नियम स्टोक्स प्रमेय से $\nabla \times B = μ_{0} J$ द्वारा प्राप्त होता है।

चिह्न
$B$	पाश के प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र	$T$
$d l$	पाश के अनुदिश छोटा पग	$m$
$μ_{0}$	चुंबकीय स्थिरांक	$T \cdot m/A$
$I_{enc}$	पाश से गुज़रने वाली शुद्ध धारा	$A$

कब लागू होता है: धाराएँ स्थायी हों तो किसी भी पाश के लिए सत्य है, पर क्षेत्र तभी देता है जब सममिति पाश के अनुदिश क्षेत्र को अचर रखे (तार, परिनालिका, समाक्षीय केबल, वलयाकार कुंडली)। जब क्षेत्र बदलते हों, तो पाश से गुज़रते विद्युत फ्लक्स की परिवर्तन दर के समानुपाती एक पद धारा में जोड़ना पड़ता है।

उदाहरण: एनिमेशन के तार के चारों ओर 2 cm पर: $200 μ T \cdot 2 π \cdot 0.02 m \approx 2.5 \times 1 0^{- 5} T \cdot m$ , जो 20 A का $μ_{0}$ गुना है।

बायो-सावर्ट नियम

d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}}

परिपथ का प्रत्येक छोटा खंड $I d l$ ऐसा क्षेत्र देता है जो कूलॉम नियम की तरह दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम से घटता है, पर धारा और खंड से क्षेत्र-बिंदु तक की रेखा, दोनों के लंबवत होता है। सदिश गुणनफल के कारण योगदान बगल से सबसे अधिक और तार की सीध में शून्य होता है। पूरे परिपथ के खंडों को जोड़ने पर उसका क्षेत्र मिलता है, चाहे आकृति कैसी भी हो।

चिह्न
$d B$	एक अवयव द्वारा दिया गया क्षेत्र	$T$
$μ_{0}$	चुंबकीय स्थिरांक	$T \cdot m/A$
$I$	परिपथ में विद्युत धारा	$A$
$d l$	तार का छोटा खंड, धारा की दिशा में	$m$
$\overset{r}{^}$	अवयव से क्षेत्र-बिंदु की ओर इकाई सदिश
$r$	अवयव से क्षेत्र-बिंदु तक की दूरी	$m$

कब लागू होता है: स्थायी धाराओं के लिए, पूरे बंद परिपथों पर जोड़कर। तेज़ी से बदलती धाराओं के लिए क्षेत्र की देरी, जो $c$ चाल से चलता है, शामिल करनी पड़ती है।

उदाहरण: त्रिज्या $R$ के पाश में हर खंड दूरी $R$ पर बगल से है, और योग $μ_{0} I / (2 R)$ है; लंबे सीधे तार के लिए योग $μ_{0} I / (2 π r)$ है।

शब्दावली

चुंबकीय क्षेत्र: चुंबकों और धाराओं के चारों ओर के स्थान का वह गुण जो दिक्सूचक की सुइयों को घुमाता है और गतिमान आवेशों पर बल लगाता है। इसकी एक दिशा है, जिधर दिक्सूचक का उत्तरी सिरा संकेत करता है, और एक परिमाण है, टेस्ला में फ्लक्स घनत्व $B$ ।
चुंबकीय क्षेत्र रेखा: ऐसी खींची गई रेखा कि उस पर रखा दिक्सूचक उसी के अनुदिश संकेत करे। प्रबल क्षेत्र में रेखाएँ पास-पास होती हैं, कभी नहीं कटतीं और स्वयं में बंद होती हैं: सीधे तार के चारों ओर वे वृत्त होती हैं।
चुंबकीय ध्रुव: चुंबक का वह सिरा जहाँ से क्षेत्र रेखाएँ निकलती (उत्तरी ध्रुव) या प्रवेश करती (दक्षिणी ध्रुव) हैं। सजातीय ध्रुव प्रतिकर्षित और विजातीय आकर्षित करते हैं; ध्रुव सदा जोड़े में होते हैं, और चुंबक को दो भागों में काटने पर दो छोटे चुंबक बनते हैं।
पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र: पृथ्वी का क्षेत्र, जो उसके द्रव लौह बाह्य क्रोड की धाराओं से बनता है: सतह पर 25–65 µT। इसका क्षैतिज भाग, मध्य अक्षांशों में लगभग 20 µT, दिक्सूचक को उत्तर दिखाता है; आर्कटिक के नीचे का चुंबकीय ध्रुव दक्षिणी ध्रुव है।
ओर्स्टेड का प्रयोग: 1820 की खोज कि तार के पास रखी दिक्सूचक की सुई धारा बहने पर घूम जाती है: बिजली और चुंबकत्व के बीच मिली पहली कड़ी। सुई तार की ओर नहीं, तार के आर-पार घूमती है।
दाएँ हाथ का अंगूठा नियम: तार को दाएँ हाथ से पकड़ें, अंगूठा परंपरागत धारा की दिशा में: उँगलियाँ क्षेत्र रेखाओं की दिशा में मुड़ती हैं। कुंडली के लिए उँगलियाँ फेरों की धारा की दिशा में मोड़ें तो अंगूठा उत्तरी सिरे की ओर होता है।
परिनालिका: नली पर लपेटी तार की लंबी कुंडली। इसके भीतर क्षेत्र लगभग एकसमान है, $B = μ_{0} n I$ , त्रिज्या चाहे जो हो; बाहर क्षेत्र दुर्बल है और छड़ चुंबक जैसा रूप रखता है।
विद्युत चुंबक: नर्म लोहे के क्रोड वाली कुंडली। कुंडली का क्षेत्र लोहे के परमाणवीय चुंबकों को पंक्तिबद्ध करता है, जो क्षेत्र को कई गुना बढ़ा देते हैं, और धारा बंद करने पर भार छूट जाता है।
चुंबकीय प्रांत: लोहे जैसे लौहचुंबकीय पदार्थ का वह क्षेत्र जिसमें सभी परमाणवीय चुंबक एक ही दिशा में होते हैं। लगाया गया क्षेत्र अपने अनुदिश प्रांतों को बढ़ाता है; सब पंक्तिबद्ध हो जाएँ, लगभग 2 T पर, तो लोहा संतृप्त हो जाता है।
एम्पियर का नियम: किसी भी बंद पाश पर $B$ का परिसंचरण पाश से गुज़रने वाली धारा का $μ_{0}$ गुना होता है। पर्याप्त सममिति हो तो यह एक पंक्ति में तार का क्षेत्र, $B \cdot 2 π r = μ_{0} I$ , या परिनालिका का क्षेत्र दे देता है।
बायो-सावर्ट नियम: धारा के छोटे खंड का क्षेत्र: धारा और देखने की रेखा दोनों के लंबवत, और $1/ r^{2}$ से घटता हुआ। खंडों को जोड़ने पर किसी भी परिपथ का क्षेत्र मिलता है, जैसे पाश के केंद्र पर $μ_{0} I / (2 R)$ ।
चुंबकीय एकल ध्रुव: काल्पनिक पृथक उत्तरी या दक्षिणी ध्रुव, एक चुंबकीय आवेश। आज तक कोई नहीं मिला, जिसे $\nabla \cdot B = 0$ व्यक्त करता है: क्षेत्र रेखाओं का न आदि है, न अंत।

राशियाँ
$B$	चुंबकीय क्षेत्र (फ्लक्स घनत्व)	$T$	किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की प्रबलता। पृथ्वी का क्षैतिज क्षेत्र लगभग 20 µT है; एनिमेशन का तार 2 cm पर 200 µT देता है।
$μ_{0}$	चुंबकीय स्थिरांक	$T \cdot m/A$	SI इकाइयों में धारा कितना प्रबल क्षेत्र बनाती है, यह तय करता है: $4 π \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ , जिससे $μ_{0} / (2 π) = 2 \times 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ होता है।
$I$	विद्युत धारा	$A$	प्रति सेकंड गुज़रने वाला आवेश। इसकी परंपरागत दिशा, जिधर धनावेश बहता, क्षेत्र की दिशा तय करती है।
$r$	तार से दूरी	$m$	तार की अक्ष से लंबवत मापी जाती है; क्षेत्र $1/ r$ से घटता है। बायो-सावर्ट नियम में $r$ इसके बजाय धारा अवयव से क्षेत्र-बिंदु तक की दूरी है, इकाई सदिश $\overset{r}{^}$ के अनुदिश।
$R$	पाश की त्रिज्या	$m$	वृत्ताकार धारा पाश की त्रिज्या, जो उसके हर भाग की केंद्र से दूरी भी है।
$N$	फेरों की संख्या		तार कुंडली या परिनालिका पर कितनी बार लपेटा गया है।
$L$	परिनालिका की लंबाई	$m$	वह लंबाई जिस पर फेरे लपेटे गए हैं; भीतर $B$ के सूत्र के लिए इसका त्रिज्या से बहुत बड़ा होना आवश्यक है।
$n$	प्रति इकाई लंबाई फेरे	$m^{- 1}$	$n = N / L$ : 25 cm पर 1000 फेरे देते हैं $n = 4000 m^{- 1}$ ।
$I_{enc}$	परिबद्ध धारा	$A$	एम्पियर पाश से घिरी किसी भी सतह से गुज़रने वाली शुद्ध धारा, जो उँगलियाँ पाश के अनुदिश रखने पर दाएँ अंगूठे की ओर धनात्मक गिनी जाती है।
$d l$	रेखा अवयव	$m$	एम्पियर पाश के अनुदिश छोटा दिशायुक्त पग, या बायो-सावर्ट नियम में धारा की दिशा में तार का छोटा खंड।

क्विज़

शुरुआती एक दिक्सूचक तार के पास रखा है। तार में धारा चालू करने पर उसकी सुई का क्या होता है?
1. कुछ नहीं: दिक्सूचक की सुई को केवल चुंबक ही हिला सकते हैं
2. वह घूम जाती है, क्योंकि धारा तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र बनाती है
3. जब तक धारा बहती है, वह लगातार घूमती रहती है
4. वह घूमकर सीधे तार की ओर संकेत करने लगती है
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उत्तर: B. वह घूम जाती है, क्योंकि धारा तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र बनाती है
विद्युत धारा चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है, जैसा ओर्स्टेड ने 1820 में खोजा। सुई उस क्षेत्र की दिशा में, तार के चारों ओर बने वृत्त के अनुदिश, संरेखित होकर घूमती है और फिर स्थिर हो जाती है।
शुरुआती धारावाही सीधा तार एक गत्ते से ऊर्ध्वाधर गुज़रता है और गत्ते पर लौह चूर्ण छिड़का जाता है। चूर्ण कौन-सा पैटर्न बनाता है?
1. तार से बाहर की ओर जाती सीधी रेखाएँ
2. उत्तर-दक्षिण दिशा में चलती समानांतर रेखाएँ
3. तार को केंद्र मानकर बने वृत्त
4. कोई पैटर्न नहीं, क्योंकि तार चुंबक नहीं है
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उत्तर: C. तार को केंद्र मानकर बने वृत्त
सीधी धारा की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ तार के चारों ओर वृत्त होती हैं, और लौह चूर्ण उन्हीं के अनुदिश संरेखित हो जाता है।
शुरुआती दो छड़ चुंबकों को उनके उत्तरी ध्रुव आमने-सामने रखकर पास लाया जाता है। आपको क्या अनुभव होता है?
1. वे एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं
2. वे एक-दूसरे की ओर खिंचते हैं
3. कुछ नहीं, जब तक उनमें से एक लोहे का न हो
4. पहले वे खिंचते हैं, फिर दूर धकेलते हैं
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उत्तर: A. वे एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं
सजातीय ध्रुव प्रतिकर्षित करते हैं और विजातीय ध्रुव आकर्षित करते हैं, इसलिए दो उत्तरी ध्रुव एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं।
मध्यम एक लंबे सीधे तार में 10 A धारा बह रही है। उससे 5 cm दूर चुंबकीय क्षेत्र कितना है? (μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A)
1. 2.0 × 10⁻⁵ T
2. 4.0 × 10⁻⁷ T
3. 1.3 × 10⁻⁴ T
4. 4.0 × 10⁻⁵ T
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उत्तर: D. 4.0 × 10⁻⁵ T
B = μ₀·I/(2π·r) = 2 × 10⁻⁷ × 10 / 0.05 = 4.0 × 10⁻⁵ T, यानी 40 µT। r को सेंटीमीटर में ही छोड़ देने पर 4.0 × 10⁻⁷ T आता है, और भूल से कुंडली का सूत्र μ₀·I/(2r) लगाने पर 1.3 × 10⁻⁴ T आता है।
मध्यम एक लंबे सीधे तार से 3 cm दूर क्षेत्र 120 µT है। तार से 6 cm दूर यह कितना होगा?
1. 240 µT
2. 120 µT
3. 60 µT
4. 30 µT
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उत्तर: C. 60 µT
B दूरी r के व्युत्क्रमानुपाती है: दूरी दोगुनी करने पर क्षेत्र आधा हो जाता है, यानी 60 µT। 30 µT व्युत्क्रम-वर्ग नियम से आता, जो बिंदु आवेश पर लागू होता है, लंबे तार पर नहीं।
मध्यम एक ऊर्ध्वाधर तार में धारा सीधे ऊपर की ओर बह रही है। ऊपर से देखने पर तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ किस दिशा में घूमती हैं?
1. वामावर्त
2. दक्षिणावर्त
3. अरीय रूप से बाहर की ओर, तार से दूर
4. सीधे ऊपर, धारा के अनुदिश
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उत्तर: A. वामावर्त
दाएँ हाथ का अंगूठा नियम: अंगूठा धारा की दिशा में ऊपर की ओर रखने पर ऊपर से देखने पर उँगलियाँ वामावर्त मुड़ती हैं।
उन्नत एक लंबे सीधे तार और त्रिज्या R की वृत्ताकार कुंडली में समान धारा I बह रही है। कुंडली के केंद्र पर क्षेत्र की तुलना तार के दूरी R पर क्षेत्र से कैसे होती है?
1. दोनों बराबर हैं
2. कुंडली का क्षेत्र π गुना अधिक है
3. कुंडली का क्षेत्र दोगुना है
4. कुंडली का क्षेत्र π गुना कम है
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उत्तर: B. कुंडली का क्षेत्र π गुना अधिक है
कुंडली के केंद्र पर B = μ₀·I/(2R) है, जबकि तार दूरी R पर μ₀·I/(2πR) देता है: अनुपात π का है। कुंडली का प्रत्येक अवयव केंद्र से दूरी R पर है और केंद्र से उसे मिलाने वाली रेखा के लंबवत है, इसलिए सभी योगदान एक ही दिशा में जुड़ते हैं।
उन्नत त्रिज्या a के एक लंबे सीधे तार में धारा I उसके अनुप्रस्थ काट में एकसमान रूप से फैली है। तार के भीतर (r < a) अक्ष से दूरी r के साथ B कैसे बदलता है?
1. तार के भीतर हर जगह B = 0
2. बाहर की तरह B = μ₀·I/(2π·r), इसलिए अक्ष पर सबसे अधिक
3. B, r के अनुक्रमानुपाती बढ़ता है और सतह पर μ₀·I/(2π·a) हो जाता है
4. भीतर हर जगह B समान है, μ₀·I/(2π·a) के बराबर
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उत्तर: C. B, r के अनुक्रमानुपाती बढ़ता है और सतह पर μ₀·I/(2π·a) हो जाता है
त्रिज्या r < a वाला वृत्त धारा I·r²/a² को घेरता है, इसलिए एम्पियर के नियम से B·2πr = μ₀·I·r²/a² और B = μ₀·I·r/(2πa²): अक्ष पर शून्य, सतह तक रैखिक रूप से बढ़ता हुआ।

$I$	तार में धारा, ऊपर की ओर। यह $S_{1}$ और $S_{2}$ दोनों से समान रूप से गुज़रती है, इसलिए यही एम्पियर नियम की $I_{enc}$ है।	$A$
$C$	बंद पाश जिस पर $B$ जोड़ा जाता है।
$S_{1}$	$C$ से घिरी समतल चकती।
$S_{2}$	उसी पाश $C$ से घिरा गुंबद; तार इसे भी भेदता है।
$d l$	$C$ के अनुदिश छोटा पग, उस दिशा में जिधर अंगूठा $I$ की ओर हो तो दाएँ हाथ की उँगलियाँ मुड़ती हैं।	$m$
$B$	$C$ पर चुंबकीय क्षेत्र; यह तार के चारों ओर पगों की ही दिशा में घूमता है।	$T$

$C$	एम्पियर नियम के लिए आयताकार पाश, जिसे वामावर्त दिशा में पार किया गया है।
$ℓ$	अक्ष के समानांतर $C$ की दोनों भुजाओं की लंबाई।	$m$
$I$	प्रत्येक फेरे में धारा: ऊपर पृष्ठ से बाहर, नीचे पृष्ठ के भीतर।	$A$
$B$	परिनालिका के भीतर क्षेत्र, अक्ष के अनुदिश; बाहर यह शून्य है।	$T$
$n ℓ$	$C$ से गुज़रने वाले फेरों की संख्या; $n$ प्रति मीटर फेरे हैं।

$I$	पाश में धारा, ऊपर से देखने पर वामावर्त।	$A$
$R$	पाश की त्रिज्या।	$m$
$z$	अक्ष के अनुदिश पाश के केंद्र से $P$ की ऊँचाई।	$m$
$P$	अक्ष पर वह बिंदु जहाँ क्षेत्र ज्ञात किया जाता है।
$r$	अवयव $d l$ से $P$ तक की दूरी, जो $R^{2} + z^{2}$ के बराबर है।	$m$
$\overset{r}{^}$	अवयव से $P$ की ओर इकाई सदिश।
$d l$	पाश का छोटा अवयव, दाईं ओर जहाँ धारा पृष्ठ के भीतर जाती है; इस झुके दृश्य में ऊपर की ओर खींचा गया।	$m$
$d B$	उस अवयव का $P$ पर क्षेत्र, $d l$ और $\overset{r}{^}$ दोनों के लंबवत।	$T$
$d B_{z}$	$d B$ का अक्षीय भाग; सभी अवयवों के अक्षीय भाग ऊपर की ओर हैं और जुड़ते हैं।	$T$

$I$	छड़ में धारा, पृष्ठ से बाहर; नली वही धारा वापस ले जाती है।	$A$
$a$	छड़ की त्रिज्या।	$m$
$b$	नली की त्रिज्या।	$m$
$B$	अक्ष के चारों ओर त्रिज्या $r$ के वृत्त पर क्षेत्र का परिमाण।	$T$
$r$	अक्ष से दूरी।	$m$