Campos magnéticos de imanes y corrientes

Principiante

Cuelga un imán de barra de un hilo y acabará quieto con un extremo mirando al norte. Ese extremo es su polo norte; el otro, su polo sur. Dos polos iguales se repelen; un polo norte y uno sur se atraen.

La aguja de una brújula no es más que un imán pequeño sobre un eje. Allí donde la pongas, su extremo norte señala la dirección del campo magnético en ese punto. Muévela alrededor de un imán y podrás dibujar las líneas de campo: salen del polo norte, se curvan y entran por el polo sur.

La Tierra también es un imán gigante, con una sorpresa. Como los polos opuestos se atraen, el polo magnético escondido bajo el Ártico es en realidad un polo sur: por eso atrae el extremo norte de todas las brújulas.

En 1820, Hans Christian Ørsted descubrió que un cable con corriente también crea un campo magnético. La animación repite su experimento, vista desde arriba: pequeñas brújulas rodean un cable vertical. Sin corriente, todas apuntan al norte. Al conectarla, giran hasta formar un anillo alrededor del cable; si inviertes la corriente, el anillo gira al revés. Para recordar el sentido, agarra el cable con la mano derecha y el pulgar en el sentido de la corriente: los dedos se curvan en el sentido del campo.

Enrolla el cable en una bobina y esos anillos se suman en su interior: tienes un electroimán que puedes apagar. Un núcleo de hierro dulce lo hace mucho más potente. Hasta un imán de nevera funciona así: sus electrones giran y rotan sobre sí mismos como diminutas corrientes, todas alineadas.

Ponte a prueba: una brújula está justo al norte de un cable vertical por el que la corriente sube. ¿Hacia dónde apunta su aguja? (Hacia el oeste: visto desde arriba, el campo gira en sentido antihorario.)

Intermedio

Qué es un campo magnético y cómo de intenso es

Un campo magnético es lo que hace girar la aguja de una brújula cerca de un imán o de una corriente. Tiene una dirección, la que adopta el extremo norte de la brújula, y un tamaño, la inducción magnética (o densidad de flujo) $B$, que se mide en teslas (T): en un campo de 1 T, un cable por el que circula 1 A, colocado perpendicularmente al campo, recibe una fuerza de 1 N por cada metro.

El tesla es una unidad grande: un imán de nevera da unos pocos militeslas y un equipo de resonancia magnética, entre 1,5 y 3 T, mientras que el campo terrestre es de solo 25–65 µT. Una brújula apoyada sobre una superficie plana solo nota la parte horizontal del campo, unos 20 µT en latitudes medias, el valor en verde de la animación.

Las líneas de campo van en el sentido en que apunta una brújula, se juntan donde el campo es intenso y nunca se cruzan; alrededor de un imán de barra salen del polo norte y se curvan hasta entrar por el polo sur. El polo magnético terrestre situado bajo el Ártico atrae el extremo norte de toda brújula, así que es un polo sur.

El campo de un cable recto y largo

En 1820, Hans Christian Ørsted vio que la aguja de una brújula se desviaba al conectar una corriente en un cable cercano: las corrientes eléctricas crean campos magnéticos. Las líneas de campo de un cable recto y largo son circunferencias centradas en él, así que la aguja se orienta de lado, y las limaduras de hierro esparcidas sobre una cartulina alrededor del cable dibujan anillos. A una distancia $r$ del cable,
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

donde $I$ es la intensidad de la corriente y ${\mu }_0$ es la constante magnética,
${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$
Si $I$ se duplica, $B$ se duplica; si $r$ se duplica, $B$ se reduce a la mitad. Un atajo útil es ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$, de modo que $B=2\times 10^{-7}I/r$, con $I$ en amperios y $r$ en metros.

Hacia dónde apunta: cómo leer el diagrama

El sentido lo da la regla de la mano derecha: agarra el cable con la mano derecha, con el pulgar en el sentido de la corriente, y los dedos se curvan en el sentido de las líneas de campo. La regla usa la corriente convencional $I$; en un metal, los electrones se desplazan en sentido contrario.

La animación mira la cartulina desde arriba, de modo que el cable se ve de punta: un punto (•) significa corriente que sale de la pantalla, como la punta de una flecha, y una cruz (×), corriente que entra en ella, como las plumas de la cola. Con $I=20\mathrm{A}$ saliendo de la pantalla, tu pulgar te apunta a ti y el campo gira en sentido antihorario: las flechas azules $B$ del lado este apuntan al norte. Cuando la corriente se invierte, las flechas se dan la vuelta y todas las agujas giran media vuelta; las lecturas de $B$, que solo dan el tamaño del campo, no cambian.

Las agujas interiores, en el campo más intenso, giran más deprisa que las exteriores, porque el par que un campo ejerce sobre un imán crece con $B$.

Espiras y solenoides

Si doblas el cable hasta formar una espira circular de radio $R$, todas sus partes envían su campo por el centro en el mismo sentido. En el centro,
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\text{(centro de una espira)}$
que es $\pi$ veces lo que da un cable recto a la distancia $R$; una bobina plana de $N$ espiras da $N$ veces más.

Apila muchas espiras a lo largo de un tubo y tendrás un solenoide. Dentro de un solenoide largo, los campos de las espiras se suman en un campo casi uniforme a lo largo del eje, mientras que fuera casi se anulan:
$B={\mu }_{0}nI,n=\frac{N}{L}$
Aquí $n$ es el número de espiras por metro, $N$ espiras en una longitud $L$; el radio no importa si la bobina es larga comparada con su anchura. Los extremos actúan como los polos de un imán de barra: curva los dedos de la mano derecha según la corriente de las espiras y el pulgar apunta al extremo norte. Con un núcleo de hierro dulce dentro, la bobina se convierte en un electroimán.

Ejemplo resuelto: las brújulas de la animación

El cable lleva $I=20\mathrm{A}$, y las brújulas están a 2 cm y a 4 cm de él. Con las distancias en metros:
$B_1=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,02}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=200\mu \mathrm{T}$
$B_2=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,04}=1,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=100\mu \mathrm{T}$

Son las dos lecturas azules, diez y cinco veces los 20 µT horizontales de la Tierra. Sin embargo, una brújula indica el campo total, el del cable más el terrestre. Para la brújula interior, situada justo al norte del cable, el campo del cable apunta al oeste y el de la Tierra al norte, así que la aguja se aparta de la circunferencia hacia el norte un ángulo cuya tangente es $20/200$: unos 5,7°. A 4 cm el cociente es $20/100$, y las agujas exteriores se inclinan hacia el norte hasta unos 11°.

¿A qué distancia igualaría el campo del cable al terrestre, $B_E=20\mu \mathrm{T}$?
$r=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi B_E}=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{20\times 10^{-6}}=0,20\mathrm{m}$
Con la corriente saliendo de la pantalla, el campo a 20 cm exactamente al oeste del cable apunta al sur y anula el terrestre: una brújula allí no tiene ninguna dirección preferida. Justo al norte, los dos campos se suman en ángulo recto hasta unos 28 µT, y la aguja apunta al noroeste. Al invertir la corriente, el punto de anulación pasa al este.

Ejemplo resuelto: bobinar un electroimán

Quieres 10 mT dentro de una bobina de 25 cm de largo, con un cable que admite 2 A. Despeja de $B={\mu }_{0}nI$ el número de espiras por metro:
$n=\frac{B}{{\mu }_{0}I}=\frac{0,010}{4\pi \times 10^{-7}\cdot 2}\approx 4,0\times 10^3{\mathrm{m}}^{-1}$
Son unas 4000 espiras por metro, es decir, $N=nL=4000\cdot 0,25=1000$ espiras, y $B=4\pi \times 10^{-7}\cdot 4000\cdot 2\approx 1,0\times 10^{-2}\mathrm{T}$, unas 500 veces el campo horizontal terrestre.

En un tubo de 2 cm de radio, la bobina gasta $1000\cdot 2\pi \cdot 0,02\approx 126\mathrm{m}$ de cable. En cobre de sección 0,5 mm², su resistencia es $\rho \ell /A=1,7\times 10^{-8}\cdot 126/(0,5\times 10^{-6})\approx 4,3\Omega$, de modo que 2 A requieren unos 8,5 V y disipan 17 W en forma de calor.

Un núcleo de hierro dulce alinea sus imanes atómicos con el campo de la bobina y lo multiplica muchas veces: hasta unas décimas de tesla en una barra recta, y hasta casi 2 T, donde el hierro se satura, en un circuito cerrado de hierro como el de un electroimán de grúa.

Errores frecuentes

• Las líneas de campo de un cable son circunferencias, no radios: una brújula a 2 cm al norte de un cable por el que suben 20 A apunta casi al oeste.
• El campo de un cable largo decrece como $1/r$, no como $1/r^2$: 100 µT a 4 cm pasan a 50 µT a 8 cm, no a 25 µT.
• Las distancias van en metros: con $r=2$ en lugar de 0,02 salen 2 µT en lugar de 200 µT. Del mismo modo, $n$ cuenta espiras por metro: 1000 espiras en 25 cm dan $n=4000{\mathrm{m}}^{-1}$, no 1000.
• Una brújula indica el campo total, no solo el del cable: a 20 cm del cable de la animación los dos son iguales y las agujas dejan de seguir las circunferencias.
• Un cable de alimentación doméstico por el que circulan 10 A apenas afecta a una brújula: sus dos conductores llevan corrientes opuestas separadas unos milímetros, lo que deja en torno a 1 µT a 10 cm en lugar de los 20 µT de uno solo, y además la corriente cambia de sentido 100 veces por segundo.

Dónde aparece

Los electroimanes levantan chatarra de acero, mantienen abiertas las puertas cortafuegos y accionan relés. Un altavoz mueve su cono con una bobina situada en el campo de un imán, y un equipo de resonancia magnética es un gran solenoide: 1,5 T exige $nI\approx 1,2\times 10^{6}A/m$, por ejemplo 2000 espiras por metro con 600 A, por lo que su bobina se enfría hasta que se vuelve superconductora.

A continuación, Fuerza magnética sobre cargas en movimiento muestra cómo actúa un campo sobre una corriente; Inducción electromagnética, cómo un campo variable genera una; y Motores, generadores y transformadores pone a trabajar ambas cosas.

Avanzado

Dos leyes locales para corrientes estacionarias

Esta sección enuncia las dos reglas que cumple todo campo magnético estacionario. Todo lo demás de la lección, desde el cable recto hasta el cable coaxial, se deduce de ellas.

Para corrientes que no cambian con el tiempo, el campo magnético $\vec{B}$ cumple
$\nabla \cdot \vec{B}=0,\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$
Aquí $\vec{J}$ es la densidad de corriente, la corriente por unidad de área de sección (A/m²), y ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$ es la constante magnética. La divergencia $\nabla \cdot \vec{B}$ mide cuánto campo sale de un volumen diminuto; el rotacional $\nabla \times \vec{B}$ mide cuánto circula alrededor de un lazo diminuto.

La primera ley dice que ningún flujo neto de $\vec{B}$ sale de una superficie cerrada. Por tanto, las líneas de campo nunca empiezan ni terminan, porque no hay cargas magnéticas. Las líneas de $\vec{E}$ en la lección Campo y potencial eléctricos, en cambio, empiezan y terminan en cargas.

La segunda ley dice que $\vec{B}$ circula alrededor de las corrientes, y solo alrededor de las corrientes. Donde $\vec{J}=0$, el campo no tiene rotacional alguno.

Ley de Ampère: la circulación cuenta la corriente

La ley del rotacional se cumple punto a punto. Para usarla con un cable real necesitamos una forma que sume la circulación a lo largo de un lazo entero. Integremos la ley del rotacional sobre cualquier superficie limitada por un lazo cerrado $C$: el teorema de Stokes convierte el lado izquierdo en una integral de línea a lo largo de $C$, y el lado derecho pasa a ser ${\mu }_0$ por la corriente $I_{\mathrm{enc}}$ que atraviesa la superficie. El resultado es la ley de Ampère:
$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$

Leyenda

$I$	Corriente en el cable, hacia arriba. Atraviesa $S_1$ y $S_2$ por igual, así que es la $I_{\mathrm{enc}}$ de la ley de Ampère.	$\mathrm{A}$
$C$	Lazo cerrado a lo largo del cual se suma $\vec{B}$.
$S_1$	Disco plano limitado por $C$.
$S_2$	Cúpula limitada por el mismo lazo $C$; el cable también la atraviesa.
$d\vec{l}$	Paso corto a lo largo de $C$, en el sentido en que se curvan los dedos de la mano derecha cuando el pulgar apunta a lo largo de $I$.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Campo magnético sobre $C$; rodea el cable en el mismo sentido que los pasos.	$\mathrm{T}$

En la figura 1 el lazo $C$ está dividido en pequeños pasos $d\vec{l}$. En cada paso, toma la parte de $\vec{B}$ a lo largo del paso y multiplícala por la longitud del paso. El lado izquierdo de la ley es la suma de estos productos a lo largo de todo $C$.

El sentido del recorrido fija el signo. Apunta con el pulgar derecho a lo largo de una corriente: si los dedos se curvan en el sentido de los pasos, esa corriente cuenta como positiva. Aquí el cable lleva $I$ hacia arriba, así que los pasos van en sentido antihorario visto desde arriba. El campo $\vec{B}$ rodea el cable en el mismo sentido, de modo que todos los productos son positivos.

$I_{\mathrm{enc}}$ es la corriente que atraviesa una superficie limitada por $C$. La elección más evidente es el disco plano $S_1$. Pero la cúpula discontinua $S_2$ tiene el mismo borde $C$, y la ley no dice qué superficie usar, así que ambas deben dar el mismo resultado. En la figura 1 lo dan: el cable atraviesa $S_1$ y $S_2$ por igual, de modo que por cada una pasa $I$.

Este acuerdo no es automático. La divergencia de cualquier rotacional es cero, así que al tomar la divergencia de la ley del rotacional se obtiene $\nabla \cdot \vec{J}=0$: la carga nunca se acumula, la corriente circula por circuitos cerrados y toda superficie apoyada en $C$ recibe la misma corriente. Un condensador que se carga rompe esto. Una cúpula que pase entre sus placas no es atravesada por ninguna corriente, mientras que el disco plano es atravesado por el cable. Esa es la primera señal de que los campos variables necesitan un término adicional, que veremos al final de esta lección.

El cable recto, por fuera y por dentro

La ley de Ampère da $B$ en una línea, pero solo cuando la simetría nos asegura de antemano que el campo es el mismo a lo largo de todo el lazo. El cable recto y largo es el caso más limpio, y muestra cómo funciona el argumento de simetría.

Un cable recto y largo se ve igual si lo deslizas a lo largo de su eje o lo giras alrededor de él. Así, cada componente de $\vec{B}$ solo puede depender de la distancia $r$ al cable. Descompón $\vec{B}$ en tres partes: radial (que se aleja del cable), a lo largo del cable y circulando alrededor de él.

La parte radial es nula. Toma un cilindro cerrado de radio $r$ alrededor del cable. Sus dos bases planas se compensan, porque el campo a lo largo del cable es el mismo en ambas: entra por una igual que sale por la otra. Una parte radial saldría entonces por toda la superficie lateral y daría un flujo neto, cosa que $\nabla \cdot \vec{B}=0$ prohíbe.

La parte a lo largo del cable es nula fuera de él. Toma un rectángulo en un plano que contenga al cable, con los dos lados largos fuera del cable y del mismo lado. No abraza ninguna corriente. Sus lados cortos son radiales, y el campo no tiene componente radial, así que los dos lados largos deben compensarse: el campo a lo largo del cable es el mismo a todas las distancias. Lejos debe anularse, así que se anula en todo el exterior.

Lo que queda rodea el cable, con un módulo $B$ que solo depende de $r$. A lo largo de una circunferencia de radio $r$ centrada en el cable, $\vec{B}$ apunta siempre en el sentido del paso, así que el lado izquierdo de la ley de Ampère es $B\cdot 2\pi r$. Igualándolo a ${\mu }_{0}I$ se obtiene
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

Dentro de un cable de radio $a$ que lleva su corriente de manera uniforme, una circunferencia de radio $r<a$ abraza solo una parte de la corriente: la razón de las áreas, $\pi r^2/(\pi a^2)=r^2/a^2$. Así, $B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I{r}^2/a^2$, y
$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$
El campo es cero en el eje y crece linealmente hasta ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$ en la superficie: 4,0 mT para 20 A en un cable de 1 mm de radio. Fuera, decrece como $1/r$. La figura 4, más abajo, dibuja circunferencias de Ampère en ambas regiones.

El solenoide: un campo uniforme en su interior

Un solenoide es una bobina larga de cable, la forma habitual de producir un campo uniforme. La ley de Ampère muestra por qué, con un solo rectángulo que queda mitad dentro y mitad fuera de la bobina.

Leyenda

$C$	Lazo rectangular para la ley de Ampère, recorrido en sentido antihorario.
$\ell$	Longitud de los dos lados de $C$ paralelos al eje.	$\mathrm{m}$
$I$	Corriente en cada espira: sale de la página arriba y entra en ella abajo.	$\mathrm{A}$
$B$	Campo en el interior del solenoide, a lo largo del eje; fuera es cero.	$\mathrm{T}$
$n\ell$	Número de espiras que atraviesan $C$; $n$ es el número de espiras por metro.

La figura 2 corta un solenoide largo por su eje. En la fila superior la corriente sale de la página (puntos); en la inferior entra en la página (cruces). Curva los dedos de la mano derecha según la corriente en las espiras y el pulgar te da el campo en el interior: a lo largo del eje, hacia la derecha, como indican las flechas $B$.

Fuera de la bobina el campo es cero. Un rectángulo situado por completo fuera no abraza ninguna corriente, así que sus dos lados largos, paralelos al eje, deben compensarse: el campo a lo largo del eje es el mismo a todas las distancias en el exterior. Lejos de la bobina debe extinguirse, así que es cero en todo el exterior. Ese es el $B=0$ bajo la bobina.

Recorre ahora el rectángulo $C$ de la figura 2. Su lado interior, de longitud $\ell$, va a lo largo del eje dentro de la bobina, en el sentido de $B$, y aporta $B\ell$. Su lado exterior queda donde $B=0$ y no aporta nada. Sus dos lados cortos cruzan el campo axial en ángulo recto dentro de la bobina y quedan en campo nulo fuera, así que tampoco suman nada. El lado izquierdo de la ley de Ampère es simplemente $B\ell$.

En el lado derecho, $C$ es atravesado por $n\ell$ espiras, donde $n$ es el número de espiras por metro, y cada una lleva $I$. Así, $I_{\mathrm{enc}}=n\ell I$, y $B\ell ={\mu }_{0}n\ell I$ da
$B={\mu }_{0}nI$
Nada de esto depende de lo lejos que esté el lado interior del eje, así que el campo es el mismo en todo el interior: uniforme. Depende de las espiras por metro y de la corriente, no del radio de la bobina.

La gráfica B(r) y las circunferencias de igual flujo

En el nivel Avanzado, la animación representa el campo del cable de 20 A, $B$ frente a $r$ de 1 a 6 cm. Esta sección lee esa gráfica y muestra por qué la ley de Ampère fija su forma.

La curva es la hipérbola $Br={\mu }_{0}I/(2\pi )=4,0\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$, o 400 µT·cm. Pasa por 400 µT a 1 cm, los 200 µT marcados a 2 cm, 100 µT a 4 cm y 67 µT a 6 cm. En ejes doblemente logarítmicos sería una recta de pendiente −1, frente a −2 para una carga puntual y −3 para un imán lejano.

El producto constante $Br$ es justo lo que exige la ley de Ampère. Toma un lazo que no abrace ninguna corriente: sale a lo largo de un radio de 2 a 4 cm, recorre la circunferencia de 4 cm un ángulo $\Delta \phi$, vuelve por otro radio y se cierra por la circunferencia de 2 cm. En los tramos radiales $\vec{B}$ es perpendicular al camino, así que no aportan nada. El arco exterior va a favor del campo y da $100\mu \mathrm{T}\cdot 4\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$; el interior va en contra y da $-200\mu \mathrm{T}\cdot 2\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$. Se compensan, como deben hacerlo sin corriente en el interior. Un campo que decreciera más deprisa o más despacio que $1/r$ no pasaría esta prueba.

El flujo a través de una franja situada en un plano que contiene al cable, de un metro de largo y que va de $r_1$ a $r_2$, es la suma de $Bdr$ a lo ancho:
$\Phi =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \frac{r_2}{r_1}$
Depende solo de la razón $r_2/r_1$, así que cada duplicación de $r$ añade los mismos $2,8\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Las líneas de campo dibujadas a intervalos iguales de flujo son, por tanto, circunferencias de radio 1, 2, 4 y 8 cm, que se separan a medida que el campo se debilita; las dos circunferencias discontinuas de la animación son vecinas en un conjunto así.

La ley de Biot-Savart: una espira vista desde su eje

La ley de Ampère da $B$ solo cuando la simetría mantiene el campo constante a lo largo de algún lazo. Alrededor de una sola espira circular no existe tal lazo, así que necesitamos una ley que sirva para un circuito de cualquier forma. La ley de Biot-Savart construye el campo a partir de trocitos de corriente:
$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
Aquí $d\vec{l}$ es un elemento corto de cable que apunta en el sentido de la corriente, $r$ es su distancia al punto donde se calcula el campo y $\hat{r}$ es el vector unitario que va del elemento a ese punto. Cada elemento aporta una contribución que decrece como $1/r^2$ y es perpendicular tanto a la corriente como a la línea de visión.

Leyenda

$I$	Corriente en la espira, en sentido antihorario visto desde arriba.	$\mathrm{A}$
$R$	Radio de la espira.	$\mathrm{m}$
$z$	Altura de $P$ sobre el centro de la espira, a lo largo del eje.	$\mathrm{m}$
$P$	Punto del eje donde se calcula el campo.
$r$	Distancia del elemento $d\vec{l}$ a $P$, igual a $\sqrt{R^2+z^2}$.	$\mathrm{m}$
$\hat{r}$	Vector unitario que va del elemento hacia $P$.
$d\vec{l}$	Elemento corto de la espira, a la derecha, donde la corriente entra en la página; se dibuja hacia arriba en esta vista en perspectiva.	$\mathrm{m}$
$d\vec{B}$	Campo de ese elemento en $P$, perpendicular a $d\vec{l}$ y a $\hat{r}$.	$\mathrm{T}$
$d{B}_z$	Parte axial de $d\vec{B}$; las partes axiales de todos los elementos apuntan hacia arriba y se suman.	$\mathrm{T}$

La figura 3 aplica la ley a una espira circular de radio $R$ que lleva $I$, en un punto $P$ del eje a una altura $z$ sobre el centro. Fíjate primero en el elemento $d\vec{l}$ del lado derecho del anillo. Allí la corriente entra en la página; en esta vista en perspectiva, «entrar en la página» se dibuja como hacia arriba.

Dos hechos simplifican este elemento. Su distancia a $P$ es $r=\sqrt{R^2+z^2}$, por Pitágoras en el triángulo de lados $R$ y $z$. Y $d\vec{l}$, que va a lo largo del anillo, es perpendicular a la recta $r$, de modo que el producto vectorial tiene su tamaño máximo: $dB={\mu }_{0}Idl/(4\pi r^2)$. Su dirección es perpendicular a $d\vec{l}$ y a $\hat{r}$: hacia arriba y alejándose del eje, como muestra la flecha $d\vec{B}$.

Fíjate ahora en el elemento gris del lado opuesto del anillo. Su corriente va al revés, así que su campo es la imagen especular: hacia arriba y alejándose del eje por su propio lado. Las partes laterales de los dos se compensan. Emparejando cada elemento con su opuesto, todas las partes laterales se anulan y solo sobreviven las partes axiales $d{B}_z$, todas hacia arriba.

¿Cuánto vale $d{B}_z$? La flecha $d\vec{B}$ es perpendicular a la recta $r$, así que el triángulo pequeño formado por $d\vec{B}$ y $d{B}_z$ es semejante al triángulo grande de lados $R$, $z$ y $r$. Por tanto, $d{B}_z=dBR/r$.

Todos los elementos están a la misma distancia $r$ y dan la misma razón $R/r$, y las longitudes de los elementos suman la circunferencia $2\pi R$. La suma es, pues, un simple producto:
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\cdot \frac{R}{r}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$

Dos límites comprueban el resultado. En el centro, $z=0$, así que $r=R$, cada elemento es perpendicular a la recta que lo une con el centro, y $B={\mu }_{0}I\cdot 2\pi R/(4\pi R^2)={\mu }_{0}I/(2R)$. Para 20 A en una espira de 2 cm de radio son 628 µT, $\pi$ veces los 200 µT de un cable recto a la misma distancia de 2 cm.

Lejos sobre el eje, para $z\gg R$, el factor $(R^2+z^2{)}^{3/2}$ se convierte en $z^3$ y $B\approx {\mu }_{0}I{R}^2/(2z^3)$: el campo decrece como $1/z^3$. A 20 cm la misma espira da solo 0,62 µT, donde un cable recto aún da 20 µT. Una espira pequeña es un dipolo magnético, con el mismo campo lejano que un imán de barra. Todo circuito real, incluidos los cables de retorno, es un lazo cerrado, así que a suficiente distancia su campo también decrece como el cubo de la distancia.

Cables de longitud finita y solenoides cortos

La misma suma sirve para trozos de cable recto y para bobinas de longitud finita, y muestra lo buenas que son las fórmulas ideales.

Un segmento recto de longitud $\ell$, visto desde un punto a distancia perpendicular $r$ frente a su punto medio, da
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot \frac{\ell /2}{\sqrt{(\ell /2{)}^2+r^2}}$
El primer factor es el valor del cable infinito; el segundo, siempre menor que 1, es la corrección por los extremos que faltan. Para un cable de 1 m visto desde 4 cm vale 0,9968, así que el campo se queda solo un 0,3 % corto.

Para un solenoide de seis radios de longitud, como el de la animación, sumar los campos de sus espiras da el 95 % de ${\mu }_{0}nI$ en el centro y el 49 % en los extremos, donde las líneas de campo calculadas se abren en abanico. El $B={\mu }_{0}nI$ ideal es el límite de una bobina muy larga.

Problema resuelto: un retorno coaxial

Un cable coaxial envía una corriente de ida por una varilla central y la devuelve por un tubo que la rodea. Es una buena prueba de la ley de Ampère, porque la corriente abrazada cambia de una circunferencia a la siguiente.

Haz que los 20 A de la animación salgan de la pantalla por una varilla de cobre de radio $a=1\mathrm{cm}$ y vuelvan a entrar por un tubo delgado de radio $b=3\mathrm{cm}$ que rodea la varilla. ¿Qué notan las brújulas a 2 cm y a 4 cm, y cuánto vale el campo a 0,5 cm del eje?

Leyenda

$I$	Corriente en la varilla, hacia fuera de la página; el tubo devuelve la misma corriente.	$\mathrm{A}$
$a$	Radio de la varilla.	$\mathrm{m}$
$b$	Radio del tubo.	$\mathrm{m}$
$B$	Valor del campo en una circunferencia de radio $r$ alrededor del eje.	$\mathrm{T}$
$r$	Distancia al eje.	$\mathrm{m}$

La mitad izquierda de la figura 4 es la sección transversal. El punto del centro es la corriente $I$ que sale de la página por la varilla de radio $a$; las cruces son su retorno hacia la página por el tubo de radio $b$. Las circunferencias discontinuas 1, 2 y 3 son lazos de Ampère a 0,5 cm, 2 cm y 4 cm. El dibujo comprime los radios para hacer sitio a las etiquetas, así que no está a escala.

Igual que el cable recto, el cable coaxial se ve igual al girarlo alrededor de su eje o deslizarlo a lo largo de él, así que el campo vuelve a rodear el eje con un módulo que solo depende de $r$. En cada circunferencia, la ley de Ampère da $B\cdot 2\pi r={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$, o $B=({\mu }_0/2\pi )I_{\mathrm{enc}}/r$ con ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$. El único trabajo es hallar $I_{\mathrm{enc}}$.

La circunferencia 1, dentro de la varilla, abraza $(0,5/1{)}^2$, una cuarta parte, del área de la varilla y, por tanto, una cuarta parte de su corriente. La circunferencia 2 abraza toda la corriente de la varilla y nada de la del tubo. La circunferencia 3 abraza ambas, y se cancelan:
$I_{\mathrm{enc}}(0,5\mathrm{cm})=20\cdot (0,5/1{)}^2=5\mathrm{A},B=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 5}{0,005}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(2\mathrm{cm})=20\mathrm{A},B=200\mu \mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(4\mathrm{cm})=20-20=0,B=0$

La mitad derecha de la figura 4 representa $B$ frente a $r$ para todo el cable. El campo sube en línea recta hasta un máximo de 400 µT en $r=a$, sigue la hipérbola en $1/r$ de la animación hasta $r=b$ y luego cae a cero. Las circunferencias 1 y 2 quedan a la misma altura: 200 µT dentro de la varilla a 0,5 cm y 200 µT fuera de ella a 2 cm.

Así, las brújulas interiores, a 2 cm, no notan nada nuevo: la corriente del tubo queda fuera de su circunferencia, y un tubo uniforme no crea campo en su interior. Las brújulas exteriores, a 4 cm, solo sienten la componente horizontal del campo terrestre, de unos 20 µT, y apuntan al norte como si la corriente estuviera desconectada.

Si 5 A se fugaran a tierra en otro punto, de modo que por el tubo solo volvieran 15 A, la circunferencia 3 abrazaría 5 A. Las brújulas exteriores notarían entonces $2\times 10^{-7}\cdot 5/0,04=25\mu \mathrm{T}$ procedentes del cable, más que el campo terrestre. Un interruptor diferencial aprovecha exactamente esto: un anillo alrededor de ambos conductores detecta solo su corriente neta, la $I_{\mathrm{enc}}$ de la ley de Ampère, y corta el circuito cuando no es cero.

Un mismo campo visto desde dos sistemas de referencia

El magnetismo no es una fuerza aparte. Esta sección muestra que la fuerza magnética de un cable es una fuerza eléctrica vista desde otro sistema de referencia.

Supón que el cable es de cobre, con una sección de 2,5 mm². Sus electrones móviles transportan unos $3,4\times 10^4\mathrm{C}$ por metro de cable, compensados exactamente por los iones positivos, así que el cable es neutro. Para llevar 20 A, a los electrones les basta una velocidad de deriva de solo $v\approx 0,59mm/s$.

Ahora deja que una carga se mueva junto al cable, en paralelo a los electrones y con su misma velocidad $v$. En el laboratorio nota una fuerza magnética, porque se mueve a través del campo $B$. En su propio sistema está en reposo, y un campo magnético no ejerce fuerza sobre una carga en reposo. La fuerza no puede desaparecer por un cambio de punto de vista, así que en ese sistema debe ser eléctrica.

Y lo es. En el sistema de la carga los iones se mueven, así que su separación sufre contracción de longitud y están más apretados que en el laboratorio. Los electrones están ahora en reposo, con su separación natural, que es mayor que la separación contraída que se ve en el laboratorio, así que están menos apretados. El cable ya no es neutro.

Las dos densidades difieren en una fracción $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-24}$: una carga neta de menos de un electrón por metro de cable. Aun así, a 2 cm esta carga diminuta crea un campo eléctrico de $1,2\times 10^{-7}V/m$, el mismo que el $vB$ de una carga que se mueve a $v$ en 200 µT. Los campos eléctrico y magnético son dos aspectos de un único campo, mezclados por un cambio de sistema de referencia, con ${\mu }_0{\epsilon }_0=1/c^2$ como tipo de cambio.

La regla de la mano derecha es solo una convención. $\vec{B}$ aparece tanto en la ley del campo como en la fuerza $q\vec{v}\times \vec{B}$, así que una regla de la mano izquierda usada en ambas invertiría $\vec{B}$ sin cambiar ninguna predicción.

Los imanes permanentes obedecen las mismas ecuaciones. Sus corrientes están dentro de los átomos, sobre todo en los espines de los electrones, alineados en dominios enteros del hierro.

Límites de validez

Estas son las leyes de las corrientes estacionarias. Cuando las corrientes cambian, el término de Maxwell ${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ se suma a ${\mu }_0\vec{J}$ en la ley del rotacional. Este término resuelve el problema del condensador que se carga de la figura 1 y hace que los cambios del campo se propaguen a $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}\approx 3,00\times 10^{8}m/s$.

Las fórmulas estáticas siguen valiendo a distancias mucho menores que la longitud de onda. A 50 Hz la longitud de onda es de 6000 km, así que el cableado doméstico es magnetostático; a 100 MHz es de 3 m, y un cable radia.

Las leyes suponen también el vacío o el aire, cuya permeabilidad difiere de ${\mu }_0$ en menos de una parte por millón. Los campos estacionarios más intensos de laboratorio rondan los 45 T, y los magnetares, un tipo de estrella de neutrones, alcanzan unos $10^{10}\mathrm{T}$.

El magnetismo de la materia es cuántico en el fondo. La física clásica no predice ninguna imanación para cargas en equilibrio térmico, y la alineación de los espines en el hierro es un efecto cuántico.

Lo que viene después

Fuerza magnética sobre cargas en movimiento añade la fuerza $q\vec{v}\times \vec{B}$, la atracción entre corrientes paralelas y las órbitas circulares de las partículas cargadas. Inducción electromagnética muestra que un $\vec{B}$ variable origina un campo eléctrico que circula alrededor de un lazo, la contrapartida de la ley de Ampère, y Motores, generadores y transformadores pone a trabajar bobinas y núcleos de hierro. Con el término de Maxwell, las dos leyes del rotacional dan las ondas de la lección Ondas electromagnéticas, y el cambio de sistema de referencia visto arriba se desarrolla en Relatividad especial.