Magnetfelder von Magneten und Strömen

Einsteiger

Hängst du einen Stabmagneten an einen Faden, richtet er sich so aus, dass ein Ende nach Norden zeigt. Dieses Ende ist sein Nordpol, das andere sein Südpol. Gleichnamige Pole stoßen sich ab; ein Nord- und ein Südpol ziehen sich an.

Eine Kompassnadel ist nur ein kleiner Magnet auf einer Achse. Wo immer du sie hinlegst, zeigt ihr Nordende die Richtung des Magnetfelds an dieser Stelle. Bewegst du sie um einen Magneten herum, kannst du die Feldlinien nachverfolgen: Sie verlassen den Nordpol, biegen sich und treten in den Südpol ein.

Auch die Erde ist ein riesiger Magnet, mit einer Besonderheit. Da sich ungleichnamige Pole anziehen, muss der magnetische Pol unter der Arktis in Wirklichkeit ein Südpol sein: Deshalb zieht er das Nordende jeder Kompassnadel an.

1820 entdeckte Hans Christian Ørsted, dass auch ein stromdurchflossener Draht ein Magnetfeld erzeugt. Die Animation wiederholt sein Experiment, von oben gesehen: Kleine Kompasse stehen um einen senkrechten Draht. Ohne Strom zeigen alle nach Norden. Schaltest du ein, schwenken sie in einen Ring um den Draht; kehrst du den Strom um, dreht sich der Ring in die andere Richtung. Zum Merken: Umfasse den Draht mit der rechten Hand, Daumen in Stromrichtung. Deine Finger zeigen die Richtung des Feldes.

Wickelst du den Draht zu einer Spule, addieren sich die Ringe im Inneren: Du erhältst einen Elektromagneten, den du ausschalten kannst. Weicheisen im Inneren macht ihn viel stärker. Sogar ein Kühlschrankmagnet funktioniert so: Seine Elektronen kreisen und drehen sich wie winzige Ströme, alle ausgerichtet.

Prüf dich selbst: Eine Kompassnadel liegt knapp nördlich eines senkrechten Drahts, durch den der Strom nach oben fließt. Wohin zeigt die Nadel? (Westen: Von oben gesehen verläuft das Feld gegen den Uhrzeigersinn.)

Mittelstufe

Was ein Magnetfeld ist und wie stark es ist

Ein Magnetfeld ist das, was eine Kompassnadel in der Nähe eines Magneten oder eines Stroms dreht. Es hat eine Richtung, in die sich das Nordende einer Kompassnadel einstellt, und eine Größe, die magnetische Flussdichte $B$, gemessen in Tesla (T): Bei 1 T wird ein Draht, der 1 A führt und senkrecht zum Feld liegt, mit 1 N auf jedem Meter gedrückt.

Ein Tesla ist viel: Ein Kühlschrankmagnet erzeugt einige Millitesla, ein MRT-Gerät 1,5–3 T, während das Erdfeld nur 25–65 µT beträgt. Eine flach liegende Kompassnadel spürt nur dessen horizontalen Anteil, in mittleren Breiten etwa 20 µT, der grüne Wert in der Animation.

Feldlinien verlaufen in die Richtung, in die eine Kompassnadel zeigt, drängen sich dort zusammen, wo das Feld stark ist, und kreuzen sich nie. Um einen Stabmagneten verlassen sie den Nordpol und biegen in den Südpol ein. Der magnetische Erdpol unter der Arktis zieht das Nordende jeder Kompassnadel an, ist also ein Südpol.

Das Feld eines langen geraden Drahts

1820 sah Hans Christian Ørsted eine Kompassnadel ausschlagen, als er in einem nahen Draht einen Strom einschaltete: Elektrische Ströme erzeugen Magnetfelder. Die Feldlinien eines langen geraden Drahts sind Kreise um ihn herum, daher dreht sich die Nadel seitlich, und Eisenfeilspäne auf einer Pappe um den Draht bilden Ringe. Im Abstand $r$ vom Draht gilt
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

wobei $I$ die Stromstärke und ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante ist,
${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$
Verdoppelst du $I$, verdoppelt sich $B$; verdoppelst du $r$, halbiert sich $B$. Eine praktische Abkürzung ist ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$, sodass $B=2\times 10^{-7}I/r$ gilt, mit $I$ in Ampere und $r$ in Metern.

Die Richtung: Diagramm richtig lesen

Die Richtung ergibt sich aus der Rechte-Faust-Regel: Umfasse den Draht mit der rechten Hand, Daumen in Stromrichtung; die Finger zeigen den Umlaufsinn der Feldlinien. Die Regel verwendet die technische Stromrichtung $I$; in einem Metall driften die Elektronen in die Gegenrichtung.

Die Animation blickt von oben auf die Pappe, der Draht erscheint also im Querschnitt: Ein Punkt (•) bedeutet Strom aus dem Bildschirm heraus, wie die Spitze eines Pfeils, und ein Kreuz (×) Strom in den Bildschirm hinein, wie die Federn eines Pfeils. Bei $I=20\mathrm{A}$ aus dem Bildschirm heraus zeigt dein Daumen auf dich zu, und das Feld läuft gegen den Uhrzeigersinn: Die blauen $B$-Pfeile auf der Ostseite zeigen nach Norden. Kehrt sich der Strom um, drehen sich die Pfeile um, und jede Nadel schwenkt herum; die $B$-Anzeigen, die nur die Größe des Feldes angeben, bleiben gleich.

Die inneren Nadeln schwenken im stärkeren Feld schneller als die äußeren, weil das Drehmoment, das ein Feld auf einen Magneten ausübt, mit $B$ wächst.

Schleifen und Solenoide

Biegst du den Draht zu einer kreisförmigen Schleife mit Radius $R$, so trägt jeder Teil sein Feld durch die Mitte in dieselbe Richtung. Im Mittelpunkt
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}\text{(centre of a loop)}$
das ist das $\pi$-Fache dessen, was ein gerader Draht im Abstand $R$ ergibt; eine flache Spule mit $N$ Windungen ergibt das $N$-Fache.

Viele Windungen auf einem Rohr ergeben ein Solenoid. Im Inneren einer langen Spule addieren sich die Felder der Windungen zu einem nahezu gleichmäßigen Feld entlang der Achse, während sie sich außen fast aufheben:
$B={\mu }_{0}nI,n=\frac{N}{L}$
Dabei ist $n$ die Zahl der Windungen pro Meter, $N$ Windungen auf einer Länge $L$; der Radius spielt keine Rolle, wenn die Spule im Vergleich zu ihrer Breite lang ist. Die Enden wirken wie die Pole eines Stabmagneten: Krümmst du die rechten Finger in Stromrichtung der Windungen, zeigt dein Daumen zum Nordende. Mit einem Weicheisenkern im Inneren wird die Spule zu einem Elektromagneten.

Beispiel: die Kompasse in der Animation

Der Draht führt $I=20\mathrm{A}$, und die Kompasse stehen 2 cm und 4 cm von ihm entfernt. Mit den Abständen in Metern:
$B_1=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,02}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=200\mu \mathrm{T}$
$B_2=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{0,04}=1,0\times 10^{-4}\mathrm{T}=100\mu \mathrm{T}$

Das sind die beiden blauen Anzeigen, das Zehnfache bzw. Fünffache der horizontalen 20 µT der Erde. Eine Kompassnadel zeigt aber das Gesamtfeld, das des Drahts plus das der Erde. Für die innere Nadel direkt nördlich des Drahts zeigt das Feld des Drahts nach Westen und das der Erde nach Norden; die Nadel dreht sich also vom Kreis aus Richtung Norden um einen Winkel, dessen Tangens $20/200$ ist: etwa 5,7°. Bei 4 cm ist das Verhältnis $20/100$, und die äußeren Nadeln neigen sich bis zu etwa 11° nach Norden.

Wo wäre das Feld des Drahts gleich dem Erdfeld $B_E=20\mu \mathrm{T}$?
$r=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi B_E}=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 20}{20\times 10^{-6}}=0,20\mathrm{m}$
Bei Strom aus dem Bildschirm heraus zeigt das Feld 20 cm genau westlich des Drahts nach Süden und hebt das Erdfeld auf: Eine Kompassnadel dort hat keine bevorzugte Richtung. Genau nördlich addieren sich die beiden Felder rechtwinklig zu etwa 28 µT, und die Nadel zeigt nach Nordwesten. Kehrt man den Strom um, wandert der aufhebende Punkt nach Osten.

Beispiel: einen Elektromagneten wickeln

Du willst 10 mT im Inneren einer 25 cm langen Spule erreichen, mit einem Draht, der für 2 A ausgelegt ist. Löse $B={\mu }_{0}nI$ nach den Windungen pro Meter auf:
$n=\frac{B}{{\mu }_{0}I}=\frac{0,010}{4\pi \times 10^{-7}\cdot 2}\approx 4,0\times 10^3{\mathrm{m}}^{-1}$
Das sind etwa 4000 Windungen pro Meter, oder $N=nL=4000\cdot 0,25=1000$ Windungen, und $B=4\pi \times 10^{-7}\cdot 4000\cdot 2\approx 1,0\times 10^{-2}\mathrm{T}$, etwa 500-mal so viel wie das horizontale Erdfeld.

Auf einem Rohr mit 2 cm Radius braucht die Spule $1000\cdot 2\pi \cdot 0,02\approx 126\mathrm{m}$ Draht. Aus Kupfer mit 0,5 mm² Querschnitt beträgt ihr Widerstand $\rho \ell /A=1,7\times 10^{-8}\cdot 126/(0,5\times 10^{-6})\approx 4,3\Omega$, sodass 2 A etwa 8,5 V brauchen und 17 W in Wärme umsetzen.

Ein Weicheisenkern richtet seine atomaren Magnete am Feld der Spule aus und verstärkt es um ein Vielfaches: auf einige Zehntel Tesla in einem geraden Stab und auf nahezu 2 T, wo das Eisen sättigt, in einem geschlossenen Eisenweg wie dem eines Hebemagneten.

Häufige Fehler

• Die Feldlinien eines Drahts sind Kreise, keine Speichen: Eine Kompassnadel 2 cm nördlich eines Drahts mit 20 A nach oben zeigt fast nach Westen.
• Das Feld eines langen Drahts fällt mit $1/r$ ab, nicht mit $1/r^2$: 100 µT bei 4 cm werden bei 8 cm zu 50 µT, nicht zu 25 µT.
• Abstände werden in Metern eingesetzt: $r=2$ statt 0.02 ergibt 2 µT statt 200 µT. Ebenso zählt $n$ Windungen pro Meter: 1000 Windungen auf 25 cm ergeben $n=4000{\mathrm{m}}^{-1}$, nicht 1000.
• Eine Kompassnadel zeigt das Gesamtfeld, nicht nur das des Drahts: 20 cm vom Draht der Animation entfernt sind beide gleich groß, und die Nadeln folgen den Kreisen nicht mehr.
• Ein Netzkabel mit 10 A lässt eine Kompassnadel praktisch unberührt: Seine zwei Leiter führen entgegengesetzte Ströme im Abstand weniger Millimeter, sodass bei 10 cm nur etwa 1 µT übrig bleiben statt 20 µT für einen einzelnen Leiter, und der Strom wechselt 100-mal pro Sekunde die Richtung.

Wo dir das begegnet

Elektromagnete heben Stahlschrott, halten Brandschutztüren offen und schalten Relais. Ein Lautsprecher treibt seine Membran mit einer Spule im Feld eines Magneten an, und ein MRT-Gerät ist ein großes Solenoid: 1,5 T erfordern $nI\approx 1,2\times 10^{6}A/m$, etwa 2000 Windungen pro Meter mit 600 A, weshalb seine Spule so weit gekühlt wird, dass sie supraleitend wird.

Als Nächstes zeigt „Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen“, was ein Feld mit einem Strom macht, „Elektromagnetische Induktion“, wie ein sich änderndes Feld einen Strom antreibt, und „Motoren, Generatoren und Transformatoren“ setzt beides in die Praxis um.

Fortgeschritten

Zwei lokale Gesetze für stationäre Ströme

Dieser Abschnitt nennt die zwei Regeln, denen jedes stationäre Magnetfeld gehorcht. Alles Übrige in dieser Lektion, vom geraden Draht bis zum Koaxialkabel, folgt aus ihnen.

Für Ströme, die sich nicht mit der Zeit ändern, erfüllt das Magnetfeld $\vec{B}$
$\nabla \cdot \vec{B}=0,\nabla \times \vec{B}={\mu }_0\vec{J}$
Dabei ist $\vec{J}$ die Stromdichte, der Strom pro Querschnittsfläche (A/m²), und ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$ ist die magnetische Feldkonstante. Die Divergenz $\nabla \cdot \vec{B}$ misst, wie viel Feld aus einem winzigen Volumen herausfließt; die Rotation $\nabla \times \vec{B}$ misst, wie stark es um eine winzige Schleife zirkuliert.

Das erste Gesetz besagt, dass durch keine geschlossene Oberfläche ein Nettofluss von $\vec{B}$ austritt. Feldlinien beginnen und enden daher nie, weil es keine magnetischen Ladungen gibt. Die Linien von $\vec{E}$ in „Elektrisches Feld und Potential“ dagegen beginnen und enden auf Ladungen.

Das zweite Gesetz besagt, dass $\vec{B}$ um Ströme zirkuliert, und nur um Ströme. Wo $\vec{J}=0$ gilt, hat das Feld überhaupt keine Rotation.

Ampèresches Gesetz: Zirkulation zählt den Strom

Das Rotationsgesetz gilt punktweise. Um es an einem realen Draht zu nutzen, brauchen wir eine Form, die die Zirkulation um eine ganze Schleife aufsummiert. Integriere das Rotationsgesetz über eine beliebige Fläche, die von einer geschlossenen Schleife $C$ berandet wird: Der Satz von Stokes verwandelt die linke Seite in ein Linienintegral um $C$, und die rechte Seite wird ${\mu }_0$ mal der Strom $I_{\mathrm{enc}}$, der die Fläche durchsetzt. Das Ergebnis ist das Ampèresche Gesetz:
$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$

Legende

$I$	Strom im Draht, nach oben. Er durchsetzt $S_1$ und $S_2$ gleichermaßen, ist also das $I_{\mathrm{enc}}$ des Ampèreschen Gesetzes.	$\mathrm{A}$
$C$	Geschlossene Schleife, über die $\vec{B}$ aufsummiert wird.
$S_1$	Flache Scheibe, berandet von $C$.
$S_2$	Kuppel, berandet von derselben Schleife $C$; der Draht durchstößt sie ebenfalls.
$d\vec{l}$	Kurzer Schritt entlang $C$, in dem Sinn, in dem sich die rechten Finger krümmen, wenn der Daumen in Richtung $I$ zeigt.	$\mathrm{m}$
$\vec{B}$	Magnetfeld auf $C$; es umkreist den Draht im gleichen Sinn wie die Schritte.	$\mathrm{T}$

In Abbildung 1 ist die Schleife $C$ in kleine Schritte $d\vec{l}$ zerlegt. Bei jedem Schritt nimm den Anteil von $\vec{B}$ entlang des Schritts und multipliziere ihn mit der Länge des Schritts. Die linke Seite des Gesetzes ist die Summe dieser Produkte über den ganzen Weg um $C$.

Die Umlaufrichtung legt das Vorzeichen fest. Richte den rechten Daumen entlang eines Stroms: Krümmen sich die Finger in Richtung der Schritte, zählt dieser Strom positiv. Hier führt der Draht $I$ nach oben, also laufen die Schritte von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn. Das Feld $\vec{B}$ umkreist den Draht im gleichen Sinn, daher ist jedes Produkt positiv.

$I_{\mathrm{enc}}$ ist der Strom, der eine von $C$ berandete Fläche durchsetzt. Die naheliegende Wahl ist die flache Scheibe $S_1$. Doch die gestrichelte Kuppel $S_2$ hat dieselbe Kante $C$, und das Gesetz sagt nicht, welche Fläche zu verwenden ist, also müssen beide dasselbe Ergebnis liefern. In Abbildung 1 ist das der Fall: Der Draht durchstößt $S_1$ und $S_2$ gleichermaßen, sodass jede von $I$ durchsetzt wird.

Diese Übereinstimmung ist nicht selbstverständlich. Die Divergenz jeder Rotation ist null, also ergibt die Divergenz des Rotationsgesetzes $\nabla \cdot \vec{J}=0$: Ladung staut sich nie an, Strom fließt in geschlossenen Kreisen, und jede Fläche, die $C$ aufspannt, führt denselben Strom. Ein sich aufladender Kondensator bricht dies. Eine Kuppel, die zwischen seinen Platten hindurchgeht, wird von keinem Strom durchsetzt, während die flache Scheibe vom Draht durchsetzt wird. Das ist das erste Anzeichen dafür, dass sich ändernde Felder einen zusätzlichen Term brauchen, der am Ende dieser Lektion behandelt wird.

Der gerade Draht, außen und innen

Das Ampèresche Gesetz liefert $B$ in einer Zeile, aber nur dann, wenn Symmetrie uns vorab sagt, dass das Feld überall auf der Schleife gleich ist. Der lange gerade Draht ist der sauberste Fall, und er zeigt, wie das Symmetrieargument verläuft.

Ein langer gerader Draht sieht gleich aus, wenn du an ihm entlanggleitest oder dich um ihn drehst. Also kann jeder Anteil von $\vec{B}$ nur vom Abstand $r$ zum Draht abhängen. Zerlege $\vec{B}$ in drei Anteile: radial (vom Draht weg zeigend), längs des Drahts und um ihn kreisend.

Der radiale Anteil ist null. Betrachte einen geschlossenen Zylinder mit Radius $r$ um den Draht. Seine beiden flachen Enden heben sich auf, weil das Feld längs des Drahts an beiden gleich ist: Es tritt an einem Ende ein, während es am anderen austritt. Ein radialer Anteil würde dann überall aus der gekrümmten Seite austreten und einen Nettofluss ergeben, was $\nabla \cdot \vec{B}=0$ verbietet.

Der Anteil längs des Drahts ist außerhalb null. Betrachte ein Rechteck in einer Ebene durch den Draht, dessen beide langen Seiten außerhalb des Drahts und auf derselben Seite liegen. Es umschließt keinen Strom. Seine kurzen Seiten sind radial, wo das Feld keinen Anteil hat, also müssen sich die beiden langen Seiten aufheben: Das Feld längs des Drahts ist in jedem Abstand gleich. In großer Entfernung muss es verschwinden, also verschwindet es überall außerhalb.

Übrig bleibt ein Feld, das den Draht umkreist, mit einer Größe $B$, die nur von $r$ abhängt. Auf einem Kreis mit Radius $r$ um den Draht zeigt $\vec{B}$ immer in Richtung des Schritts, also ist die linke Seite des Ampèreschen Gesetzes $B\cdot 2\pi r$. Gleichsetzen mit ${\mu }_{0}I$ ergibt
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

Im Inneren eines Drahts mit Radius $a$, der seinen Strom gleichmäßig führt, umschließt ein Kreis mit Radius $r<a$ nur einen Teil des Stroms. Dieser Teil ist das Verhältnis der Flächen, $\pi r^2/(\pi a^2)=r^2/a^2$. Also $B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I{r}^2/a^2$, und
$B=\frac{{\mu }_{0}Ir}{2\pi a^2}$
Auf der Achse ist das Feld null, und es steigt linear bis ${\mu }_{0}I/(2\pi a)$ an der Oberfläche: 4,0 mT für 20 A in einem Draht mit Radius 1 mm. Außen fällt es mit $1/r$ ab. Abbildung 4 weiter unten zeigt Ampère-Kreise in beiden Bereichen.

Das Solenoid: ein gleichmäßiges Feld im Inneren

Ein Solenoid ist eine lange Drahtspule, die übliche Methode, ein gleichmäßiges Feld zu erzeugen. Das Ampèresche Gesetz zeigt warum, mit einem einzigen Rechteck, das halb innerhalb und halb außerhalb der Spule liegt.

Legende

$C$	Rechteckige Schleife für das Ampèresche Gesetz, gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.
$\ell$	Länge der beiden zur Achse parallelen Seiten von $C$.	$\mathrm{m}$
$I$	Strom in jeder Windung: oben aus der Seite heraus, unten in die Seite hinein.	$\mathrm{A}$
$B$	Feld im Inneren des Solenoids, längs der Achse; außerhalb ist es null.	$\mathrm{T}$
$n\ell$	Zahl der Windungen, die durch $C$ hindurchgehen; $n$ ist die Zahl der Windungen pro Meter.

Abbildung 2 schneidet ein langes Solenoid entlang seiner Achse. In der oberen Reihe kommt der Strom aus der Seite heraus (Punkte); in der unteren Reihe fließt er in die Seite hinein (Kreuze). Krümme die Finger deiner rechten Hand in Stromrichtung der Windungen, und dein Daumen gibt das Feld im Inneren an: entlang der Achse, nach rechts, wie die Pfeile $B$ zeigen.

Außerhalb der Spule ist das Feld null. Ein Rechteck, das ganz außerhalb liegt, umschließt keinen Strom, also müssen sich seine beiden langen Seiten, parallel zur Achse, aufheben: Das Feld entlang der Achse ist in jedem Abstand außerhalb gleich. Weit von der Spule entfernt muss es verschwinden, also ist es überall außerhalb null. Das ist das $B=0$ unterhalb der Spule.

Verfolge nun das Rechteck $C$ aus Abbildung 2 einmal herum. Seine innere Seite der Länge $\ell$ verläuft im Inneren der Spule längs der Achse, in Richtung von $B$, und trägt $B\ell$ bei. Seine äußere Seite liegt dort, wo $B=0$ ist, und trägt nichts bei. Seine beiden kurzen Seiten kreuzen das axiale Feld im Inneren der Spule rechtwinklig und liegen außerhalb im Feld null, also tragen auch sie nichts bei. Die linke Seite des Ampèreschen Gesetzes ist also genau $B\ell$.

Auf der rechten Seite wird $C$ von $n\ell$ Windungen durchsetzt, wobei $n$ die Zahl der Windungen pro Meter ist, und jede führt $I$. Also $I_{\mathrm{enc}}=n\ell I$, und $B\ell ={\mu }_{0}n\ell I$ ergibt
$B={\mu }_{0}nI$
Nichts davon hängt davon ab, wie weit die innere Seite von der Achse entfernt ist, also ist das Feld überall im Inneren gleich: gleichmäßig. Es hängt von den Windungen pro Meter und dem Strom ab, nicht vom Radius der Spule.

Der Graph B(r) und Kreise gleichen Flusses

Auf der Stufe Fortgeschritten zeichnet die Animation das Feld des 20-A-Drahts, $B$ gegen $r$ von 1 bis 6 cm. Dieser Abschnitt liest diesen Graphen und zeigt, warum das Ampèresche Gesetz seine Form festlegt.

Die Kurve ist die Hyperbel $Br={\mu }_{0}I/(2\pi )=4,0\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot \mathrm{m}$, oder 400 µT·cm. Sie geht durch 400 µT bei 1 cm, die markierten 200 µT bei 2 cm, 100 µT bei 4 cm und 67 µT bei 6 cm. In doppelt-logarithmischer Auftragung wäre sie eine Gerade der Steigung −1, gegenüber −2 für eine Punktladung und −3 für einen entfernten Magneten.

Das konstante Produkt $Br$ ist genau das, was das Ampèresche Gesetz verlangt. Nimm eine Schleife, die keinen Strom umschließt: hinaus entlang eines Radius von 2 bis 4 cm, über den 4-cm-Kreis um einen Winkel $\Delta \phi$, hinein entlang eines anderen Radius und zurück über den 2-cm-Kreis. Auf den radialen Teilen steht $\vec{B}$ senkrecht zum Weg, sie tragen also nichts bei. Der äußere Bogen verläuft mit dem Feld und ergibt $100\mu \mathrm{T}\cdot 4\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$; der innere Bogen verläuft gegen das Feld und ergibt $-200\mu \mathrm{T}\cdot 2\mathrm{cm}\cdot \Delta \phi$. Die beiden heben sich auf, wie es bei fehlendem Strom im Inneren sein muss. Ein Feld, das schneller oder langsamer als $1/r$ abfällt, würde diesen Test nicht bestehen.

Der Fluss durch einen Streifen in einer Ebene durch den Draht, einen Meter lang und von $r_1$ bis $r_2$ reichend, ist die Summe von $Bdr$ über seine Breite:
$\Phi =\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\ln \frac{r_2}{r_1}$
Er hängt nur vom Verhältnis $r_2/r_1$ ab, also fügt jede Verdopplung von $r$ denselben Betrag $2,8\times 10^{-6}\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$ hinzu. Feldlinien, die in gleichen Flussschritten gezeichnet werden, sind daher Kreise mit Radius 1, 2, 4 und 8 cm, die sich ausbreiten, während das Feld schwächer wird; die beiden gestrichelten Kreise der Animation sind Nachbarn in einer solchen Folge.

Biot–Savart: eine Schleife von ihrer Achse aus

Das Ampèresche Gesetz liefert $B$ nur, wenn die Symmetrie das Feld längs einer Schleife konstant hält. Um eine einzelne kreisförmige Spule gibt es keine solche Schleife, also brauchen wir ein Gesetz, das für einen Stromkreis beliebiger Form funktioniert. Das Gesetz von Biot–Savart baut das Feld aus kurzen Stromstücken auf:
$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$
Dabei ist $d\vec{l}$ ein kurzes Drahtstück in Stromrichtung, $r$ sein Abstand vom Aufpunkt und $\hat{r}$ der Einheitsvektor vom Stück zum Aufpunkt. Jedes Stück liefert einen Beitrag, der mit $1/r^2$ abfällt und senkrecht zu sowohl dem Strom als auch der Sichtlinie steht.

Legende

$I$	Strom in der Schleife, gegen den Uhrzeigersinn von oben gesehen.	$\mathrm{A}$
$R$	Radius der Schleife.	$\mathrm{m}$
$z$	Höhe von $P$ über dem Mittelpunkt der Schleife, längs der Achse.	$\mathrm{m}$
$P$	Punkt auf der Achse, an dem das Feld gesucht wird.
$r$	Abstand vom Element $d\vec{l}$ bis $P$, gleich $\sqrt{R^2+z^2}$.	$\mathrm{m}$
$\hat{r}$	Einheitsvektor vom Element zu $P$.
$d\vec{l}$	Kurzes Element der Schleife, rechts, wo der Strom in die Seite hinein fließt; in dieser geneigten Ansicht nach oben gezeichnet.	$\mathrm{m}$
$d\vec{B}$	Feld dieses Elements bei $P$, senkrecht zu $d\vec{l}$ und zu $\hat{r}$.	$\mathrm{T}$
$d{B}_z$	Axialer Anteil von $d\vec{B}$; die axialen Anteile aller Elemente zeigen nach oben und addieren sich.	$\mathrm{T}$

Abbildung 3 wendet das Gesetz auf eine kreisförmige Schleife mit Radius $R$ an, die $I$ führt, in einem Punkt $P$ auf ihrer Achse in der Höhe $z$ über dem Mittelpunkt. Betrachte zuerst das Stück $d\vec{l}$ auf der rechten Seite des Rings. Dort fließt der Strom in die Seite hinein; in dieser geneigten Ansicht ist „in die Seite hinein“ als nach oben gezeichnet.

Zwei Tatsachen machen dieses Stück leicht. Sein Abstand von $P$ ist $r=\sqrt{R^2+z^2}$, nach dem Satz des Pythagoras im Dreieck mit den Seiten $R$ und $z$. Und $d\vec{l}$, das längs des Rings verläuft, steht senkrecht zur Linie $r$, sodass das Kreuzprodukt seine volle Größe hat: $dB={\mu }_{0}Idl/(4\pi r^2)$. Seine Richtung steht senkrecht zu sowohl $d\vec{l}$ als auch $\hat{r}$: nach oben und von der Achse weg, wie der Pfeil $d\vec{B}$ zeigt.

Betrachte nun das graue Stück auf der gegenüberliegenden Seite des Rings. Sein Strom fließt in die andere Richtung, also ist sein Feld das Spiegelbild: nach oben und von der Achse weg auf seiner eigenen Seite. Die seitlichen Anteile der beiden heben sich auf. Paart man jedes Stück mit seinem Gegenstück, heben sich alle seitlichen Anteile auf, und nur die axialen Anteile $d{B}_z$ bleiben übrig, alle nach oben zeigend.

Wie groß ist $d{B}_z$? Der Pfeil $d\vec{B}$ steht senkrecht zur Linie $r$, daher ist das kleine Dreieck aus $d\vec{B}$ und $d{B}_z$ dem großen Dreieck mit den Seiten $R$, $z$ und $r$ ähnlich. Also $d{B}_z=dBR/r$.

Jedes Stück hat denselben Abstand $r$ und liefert dasselbe Verhältnis $R/r$, und die Längen der Stücke summieren sich zum Umfang $2\pi R$. Die Summe ist daher einfach ein Produkt:
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\cdot \frac{R}{r}\cdot 2\pi R=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+z^2{)}^{3/2}}$

Zwei Grenzfälle prüfen das Ergebnis. Im Mittelpunkt ist $z=0$, also $r=R$, und jedes Stück steht seitlich, und $B={\mu }_{0}I\cdot 2\pi R/(4\pi R^2)={\mu }_{0}I/(2R)$. Für 20 A in einer Schleife mit Radius 2 cm sind das 628 µT, das $\pi$-Fache der 200 µT eines geraden Drahts im selben Abstand von 2 cm.

Weit entlang der Achse, für $z\gg R$, wird die Klammer zu $z^3$ und $B\approx {\mu }_{0}I{R}^2/(2z^3)$: das Feld fällt mit $1/z^3$. Bei 20 cm liefert dieselbe Schleife nur 0,62 µT, wo ein gerader Draht noch 20 µT liefert. Eine kleine Schleife ist ein magnetischer Dipol, mit demselben Fernfeld wie ein Stabmagnet. Jeder reale Stromkreis, einschließlich Rückleitungen, ist eine geschlossene Schleife, daher fällt auch sein Feld in ausreichender Entfernung mit der dritten Potenz des Abstands ab.

Endliche Drähte und kurze Solenoide

Dieselbe Summe behandelt gerade Drahtstücke und Spulen endlicher Länge und zeigt, wie gut die idealen Formeln sind.

Ein gerades Segment der Länge $\ell$, von einem Punkt im senkrechten Abstand $r$ gegenüber seiner Mitte aus gesehen, ergibt
$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot \frac{\ell /2}{\sqrt{(\ell /2{)}^2+r^2}}$
Der erste Faktor ist der Wert für den unendlich langen Draht; der zweite, stets kleiner als 1, ist die Korrektur für die fehlenden Enden. Für einen 1 m langen Draht, aus 4 cm gesehen, beträgt er 0,9968, das Feld bleibt also nur 0,3 % zurück.

Für ein Solenoid von sechs Radien Länge, wie in der Animation, ergibt die Summe der Felder seiner Windungen 95 % von ${\mu }_{0}nI$ im Mittelpunkt und 49 % an den Enden, wo die berechneten Feldlinien auseinanderlaufen. Das ideale $B={\mu }_{0}nI$ ist der Grenzfall einer sehr langen Spule.

Durchgerechnetes Beispiel: ein koaxialer Rückweg

Ein Koaxialkabel führt einen Strom durch einen zentralen Stab hinaus und über eine Röhre um ihn herum zurück. Es ist ein guter Test des Ampèreschen Gesetzes, weil sich der umschlossene Strom von einem Kreis zum nächsten ändert.

Lass die 20 A der Animation aus der Bildschirmebene durch einen Kupferstab mit Radius $a=1\mathrm{cm}$ fließen und über eine dünne Röhre mit Radius $b=3\mathrm{cm}$ um den Stab wieder zurückfließen. Was spüren die Kompasse bei 2 cm und 4 cm, und wie groß ist das Feld 0,5 cm von der Achse?

Legende

$I$	Strom im Stab, aus der Seite heraus; das Rohr führt denselben Strom zurück.	$\mathrm{A}$
$a$	Radius des Stabs.	$\mathrm{m}$
$b$	Radius des Rohrs.	$\mathrm{m}$
$B$	Größe des Feldes auf einem Kreis mit Radius $r$ um die Achse.	$\mathrm{T}$
$r$	Abstand von der Achse.	$\mathrm{m}$

Die linke Hälfte von Abbildung 4 ist der Querschnitt. Der Punkt in der Mitte ist der Strom $I$, der aus der Seite heraus durch den Stab mit Radius $a$ kommt; die Kreuze sind seine Rückkehr in die Seite hinein durch die Röhre mit Radius $b$. Die gestrichelten Kreise 1, 2 und 3 sind Ampère-Schleifen bei 0,5 cm, 2 cm und 4 cm. Die Zeichnung staucht die Radien, um Platz für die Beschriftungen zu schaffen, sie ist also nicht maßstabsgetreu.

Das Kabel sieht gleich aus, wenn du es um seine Achse drehst oder an ihm entlanggleitest, genau wie der gerade Draht, daher umkreist das Feld die Achse wieder mit einer Größe, die nur von $r$ abhängt. Auf jedem Kreis gibt das Ampèresche Gesetz $B\cdot 2\pi r={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}$, oder $B=({\mu }_0/2\pi )I_{\mathrm{enc}}/r$ mit ${\mu }_0/(2\pi )=2\times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$. Die einzige Aufgabe ist,$I_{\mathrm{enc}}$ zu finden.

Kreis 1, innerhalb des Stabs, umschließt $(0,5/1{)}^2$, also ein Viertel der Stabfläche und damit ein Viertel seines Stroms. Kreis 2 umschließt den gesamten Strom des Stabs und keinen der Röhre. Kreis 3 umschließt beide, und sie heben sich auf:
$I_{\mathrm{enc}}(0,5\mathrm{cm})=20\cdot (0,5/1{)}^2=5\mathrm{A},B=\frac{2\times 10^{-7}\cdot 5}{0,005}=2,0\times 10^{-4}\mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(2\mathrm{cm})=20\mathrm{A},B=200\mu \mathrm{T}$
$I_{\mathrm{enc}}(4\mathrm{cm})=20-20=0,B=0$

Die rechte Hälfte von Abbildung 4 trägt $B$ gegen $r$ für das ganze Kabel auf. Das Feld steigt geradlinig bis zu einem Maximum von 400 µT bei $r=a$, folgt der $1/r$-Hyperbel der Animation bis $r=b$ und fällt dann auf null. Die Kreise 1 und 2 liegen auf gleicher Höhe: 200 µT innerhalb des Stabs bei 0,5 cm und 200 µT außerhalb davon bei 2 cm.

Die inneren Kompasse bei 2 cm bemerken also nichts Neues: Der Strom der Röhre liegt außerhalb ihres Kreises, und eine gleichmäßige Röhre erzeugt in ihrem Inneren kein Feld. Die äußeren Kompasse bei 4 cm spüren nur das horizontale Erdfeld von etwa 20 µT und zeigen nach Norden, als wäre der Strom abgeschaltet.

Wenn 5 A anderswo zur Erde abflössen, sodass nur 15 A durch die Röhre zurückkämen, würde Kreis 3 5 A umschließen. Die äußeren Kompasse würden dann $2\times 10^{-7}\cdot 5/0,04=25\mu \mathrm{T}$ vom Kabel spüren, mehr als das Erdfeld. Ein Fehlerstromschutzschalter nutzt genau das: Ein Ring um beide Leiter spürt nur ihren Nettostrom, das $I_{\mathrm{enc}}$ des Ampèreschen Gesetzes, und schaltet den Stromkreis ab, wenn dieser nicht null ist.

Ein Feld, aus zwei Bezugssystemen gesehen

Magnetismus ist keine eigene Kraft. Dieser Abschnitt zeigt, dass die magnetische Kraft eines Drahts eine elektrische Kraft ist, aus einem anderen Bezugssystem gesehen.

Der Draht sei Kupfer mit einem Querschnitt von 2,5 mm². Seine beweglichen Elektronen tragen etwa $3,4\times 10^4\mathrm{C}$ pro Meter Draht, genau ausgeglichen durch die positiven Ionen, sodass der Draht neutral ist. Um 20 A zu führen, driften die Elektronen nur mit $v\approx 0,59mm/s$.

Nun lass eine Ladung neben dem Draht laufen, parallel zu den Elektronen und mit deren Geschwindigkeit $v$. Im Labor spürt sie eine magnetische Kraft, weil sie sich durch das Feld $B$ bewegt. In ihrem eigenen Bezugssystem ruht sie, und ein Magnetfeld übt auf eine ruhende Ladung keine Kraft aus. Die Kraft kann durch einen Wechsel des Standpunkts nicht verschwinden, also muss sie in diesem System elektrisch sein.

Und das ist sie. Im Bezugssystem der Ladung bewegen sich die Ionen, daher ist ihr Abstand längenkontrahiert und sie stehen dichter als im Labor. Die Elektronen ruhen jetzt in ihrem eigenen natürlichen Abstand, der größer ist als der kontrahierte Abstand, den man im Labor sieht, daher stehen sie weniger dicht. Der Draht ist nicht mehr neutral.

Die beiden Dichten unterscheiden sich um einen Bruchteil $v^2/c^2\approx 4\times 10^{-24}$: eine Nettoladung von weniger als einem Elektron pro Meter Draht. Doch in 2 cm Abstand erzeugt diese winzige Ladung ein elektrisches Feld von $1,2\times 10^{-7}V/m$, dasselbe wie das $vB$ einer Ladung, die sich mit $v$ durch 200 µT bewegt. Elektrische und magnetische Felder sind zwei Aspekte eines einzigen Feldes, das durch einen Wechsel des Bezugssystems vermischt wird, mit ${\mu }_0{\epsilon }_0=1/c^2$ als Austauschrate.

Die Rechte-Hand-Regel ist nur eine Konvention. $\vec{B}$ taucht sowohl im Feldgesetz als auch in der Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ auf, also würde eine Linke-Hand-Regel, in beiden verwendet, $\vec{B}$ umkehren und keine Vorhersage ändern.

Permanentmagnete gehorchen denselben Gleichungen. Ihre Ströme liegen in Atomen, vor allem in den Spins der Elektronen, die in Eisen über ganze Domänen ausgerichtet sind.

Gültigkeitsgrenzen

Dies sind die Gesetze stationärer Ströme. Wenn sich Ströme ändern, tritt Maxwells Term ${\mu }_0{\epsilon }_0\partial \vec{E}/\partial t$ zu ${\mu }_0\vec{J}$ im Rotationsgesetz hinzu. Er löst das Problem des sich aufladenden Kondensators aus Abbildung 1, und er lässt Änderungen des Feldes sich mit $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}\approx 3,00\times 10^{8}m/s$ ausbreiten.

Die statischen Formeln gelten weiterhin für Abstände, die viel kleiner sind als die Wellenlänge. Bei 50 Hz beträgt die Wellenlänge 6000 km, daher ist die Hausinstallation magnetostatisch; bei 100 MHz sind es 3 m, und ein Draht strahlt.

Die Gesetze setzen außerdem leeren Raum oder Luft voraus, deren Permeabilität sich um weniger als einen Teil pro Million von ${\mu }_0$ unterscheidet. Die stärksten stationären Laborfelder liegen bei etwa 45 T, und Magnetare, eine Art Neutronenstern, erreichen etwa $10^{10}\mathrm{T}$.

Der Magnetismus der Materie ist im Kern quantenmechanisch. Die klassische Physik sagt für Ladungen im thermischen Gleichgewicht überhaupt keine Magnetisierung voraus, und die Ausrichtung der Spins in Eisen ist ein Quanteneffekt.

Wohin es führt

„Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen“ fügt die Kraft $q\vec{v}\times \vec{B}$ hinzu, die Anziehung zwischen parallelen Strömen und die Kreisbahnen geladener Teilchen. „Elektromagnetische Induktion“ zeigt, dass ein sich änderndes $\vec{B}$ ein elektrisches Feld um eine Schleife treibt, das Gegenstück zum Ampèreschen Gesetz, und „Motoren, Generatoren und Transformatoren“ setzt Spulen und Eisenkerne in Betrieb. Mit Maxwells Term ergeben die beiden Rotationsgesetze die Wellen aus „Elektromagnetische Wellen“, und der Wechsel des Bezugssystems oben wird in „Spezielle Relativitätstheorie“ ausgeführt.