Линзы и зеркала

Тонкая линза или изогнутое зеркало с фокусным расстоянием $f$ строит изображение на расстоянии, которое задаёт формула $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , с увеличением $m = - d_{i} / d_{o}$ ; собирающая линза даёт действительное перевёрнутое изображение, если предмет дальше фокуса, и мнимое прямое увеличенное, если ближе.

Стрелка-предмет приближается к собирающей линзе: за фокусом изображение действительное и перевёрнутое, в фокусе оно исчезает, а ближе фокуса становится мнимым, прямым и увеличенным.

Перед этой темой: Отражение и преломление

Начальный

Главное

Линза, толстая в середине, — собирающая: она сводит параллельные лучи в одну точку — фокус.
Фокусное расстояние — это расстояние от линзы до фокуса; у более выпуклой линзы оно короче.
Далёкий предмет даёт маленькое перевёрнутое действительное изображение, которое можно поймать на экран, как в фотоаппарате или глазу.
Если предмет ближе фокуса, линза показывает прямое увеличенное мнимое изображение — это лупа.

Шаг 1: всё решает форма. Линза, которая в середине толще, чем по краям, — собирающая. Каждая её часть действует как маленькая призма: наклонные края сильно отклоняют свет, почти плоская середина — едва-едва, поэтому лучи, идущие рядом, поворачивают навстречу друг другу.

Шаг 2: фокус. Параллельный свет, например солнечный, собирается в одной точке — фокусе; так лупа может прожечь точку на бумаге. Расстояние от линзы до фокуса называют фокусным расстоянием. Более выпуклая линза преломляет сильнее, и её фокусное расстояние короче.

Шаг 3: действительные изображения. Лучи, вышедшие из одной точки предмета, снова встречаются в одной точке за линзой, и все такие точки вместе образуют изображение. Поставьте туда лист бумаги — картинка появится на нём, перевёрнутая. Изображение, созданное светом, который действительно туда приходит, называют действительным; им пользуются фотоаппараты и глаза.

В анимации чёрная стрелка движется к линзе. Пока она далеко, её красное изображение маленькое и перевёрнутое; по мере приближения изображение удаляется и растёт. Когда стрелка доходит до фокуса, свет выходит параллельными пучками и изображения нет.

Шаг 4: мнимые изображения. Если предмет ближе фокуса, лучи выходят из линзы расходящимися и нигде не встречаются. Глаз продолжает их назад и видит прямое увеличенное фиолетовое изображение со стороны предмета — это лупа. Свет в эту точку не попадает, поэтому изображение называют мнимым, как ваше отражение, которое будто стоит за плоским зеркалом.

Проверьте себя: линза проецирует лампу на стену. Вы отодвигаете лампу дальше. Стену нужно придвинуть или отодвинуть? (Придвинуть: у более далёкого предмета изображение ближе к линзе.)

Средний

Главное

Тонкая линза: $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , $m = - d_{i} / d_{o}$ ; $f = 10 см$ и $d_{o} = 30 см$ дают $d_{i} = 15 см$ , $m = - 0, 5$ .
Действительное — положительное: $d_{i} > 0$ — изображение на экране; $d_{i} < 0$ — мнимое, со стороны предмета ( $d_{o} = 5 см$ даёт $d_{i} = - 10 см$ ).
Три характерных луча находят изображение: параллельно оси и через $F^{'}$ , прямо через центр, через $F$ и параллельно оси.
Вогнутое зеркало подчиняется той же формуле при $f = R /2$ ; его действительные изображения возникают перед зеркалом.

Фокусное расстояние, расстояния и знаки

Линзу, намного более тонкую, чем рассматриваемые расстояния, описывает одно число — её фокусное расстояние $f$ . Собирающая линза сводит лучи, идущие параллельно оптической оси (прямой, проходящей через центр линзы перпендикулярно ей), в заднем фокусе $F^{'}$ на расстоянии $f$ за линзой; передний фокус $F$ лежит на таком же расстоянии перед ней. В анимации $f = 10 см$ , а отметки $2 F$ и $2 F^{'}$ расположены вдвое дальше. Оптики вместо $f$ указывают оптическую силу $D = 1/ f$ в диоптриях (дптр), если $f$ выражено в метрах: у линзы из анимации $D = 1/ (0, 10 м) = 10 дптр$ .

Свет идёт слева направо. Расстояния до предмета $d_{o}$ и до изображения $d_{i}$ отсчитывают от линзы, высоты $h_{o}$ и $h_{i}$ — вверх от оси; действует правило «действительное — положительное». У собирающей линзы, более толстой посередине, $f > 0$ , у рассеивающей, более тонкой посередине, $f < 0$ . Положительное $d_{i}$ означает действительное изображение по другую сторону линзы, которое можно поймать на экран; отрицательное $d_{i}$ — мнимое изображение со стороны предмета, видимое лишь через линзу.

Формула тонкой линзы

Где возникает изображение и какого оно размера, определяют два уравнения:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}$
$m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}$

Первое складывает обратные величины, а не расстояния: вычислите $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ , а затем обратите результат. Второе даёт увеличение $m$ — отношение высоты изображения к высоте предмета. Его модуль показывает, во сколько раз изображение больше, а знак минус означает, что оно перевёрнуто, поэтому действительное изображение действительного предмета (оба расстояния положительны) всегда перевёрнуто. Для рассеивающей линзы с $f = - 10 см$ и предмета в 30 см $1/ d_{i} = - 1/10 - 1/30 = - 4/30 с м^{- 1}$ , откуда $d_{i} = - 7, 5 см$ и $m = + 0, 25$ : изображение мнимое, прямое и в четыре раза меньше предмета.

Построение изображения тремя лучами

Каждый луч от вершины предмета, прошедший через линзу, попадает в вершину изображения или идёт так, будто вышел из неё. Три луча построить легко, и в анимации они показаны цветом:

Золотистый луч идёт параллельно оси и после линзы проходит через задний фокус $F^{'}$ .
Зелёный луч идёт прямо через центр линзы, где обе её поверхности параллельны.
Синий луч проходит через передний фокус $F$ и после линзы идёт параллельно оси.

Точка пересечения лучей — вершина изображения: двух лучей достаточно, а третий проверяет. Если предмет ближе $F$ , синий луч идёт вдоль пунктирной линии, проведённой от $F$ , а за линзой лучи расходятся; их пунктирные продолжения назад сходятся со стороны предмета, в вершине мнимого изображения.

Из чертежа получаются и сами уравнения. Зелёный луч образует подобные треугольники с предметом и изображением, поэтому $h_{i} / h_{o} = - d_{i} / d_{o}$ . Золотистый луч на линзе имеет высоту $h_{o}$ , а на расстоянии $f$ за ней опускается до нуля, так что у изображения $h_{i} = h_{o} (1 - d_{i} / f)$ . Приравняв отношения, получаем $1 - d_{i} / f = - d_{i} / d_{o}$ , а деление на $d_{i}$ даёт формулу тонкой линзы.

Пример: стрелка из анимации

Стрелка высотой 5 см, фокусное расстояние линзы $f = 10 см$ . Когда стрелка проходит отметку $d_{o} = 30 см$ ,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} с м^{- 1}$
$d_{i} = 15 см, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0, 5$

Изображение действительное, перевёрнутое и вдвое меньше предмета, $h_{i} = - 2, 5 см$ ; оно лежит между $F^{'}$ и $2 F^{'}$ , там, где пересекаются три луча. Именно эти значения $d_{i}$ и $m$ в этот момент показывают табло.

В начале, при $d_{o} = 34, 1 см$ , изображение маленькое: $d_{i} = 14, 2 см$ , $m = - 0, 42$ . В точке $2 F$ оно равно предмету и находится в $2 F^{'}$ , $m = - 1$ . Между $2 F$ и $F$ оно увеличено, как в проекторе: при 14,55 см (на табло — 14,5) остальные показания таковы: $d_{i} = 32, 0 см$ и $m = - 2, 20$ . Вблизи $F$ табло показывает $d_{i} \to \infty$ , а в самом $F$ лучи выходят из линзы параллельно.

Ближе $F$ знак меняется. При 7,73 см $d_{i} = - 34, 0 см$ и $m = + 4, 40$ ; в конце, при $d_{o} = 5, 45 см$ (на табло — 5,5), $d_{i} = - 12, 0 см$ и $m = + 2, 20$ : прямое фиолетовое изображение высотой 11 см со стороны предмета. Это и есть лупа. Ровно при 5 см $1/ d_{i} = 1/10 - 1/5 = - 1/10$ , поэтому $d_{i} = - 10 см$ и $m = + 2$ .

Изогнутые зеркала подчиняются тому же правилу

Вогнутое зеркало, изогнутое как внутренняя сторона ложки, собирает свет, а выпуклое рассеивает. Лучи, параллельные оси, вогнутое зеркало отражает через свой фокус $F$ , лежащий посередине между зеркалом и центром кривизны $C$ :
$f = \frac{R}{2} (сферическое зеркало)$

Радиус, проведённый из $C$ , — нормаль в точке падения луча, поэтому параллельный луч отражается под тем же углом к ней по другую сторону. Отражённый луч, радиус и ось образуют треугольник с двумя равными углами, и для малых углов точка пересечения оказывается посередине между $C$ и зеркалом.

Те же уравнение и увеличение применимы и здесь, но свет возвращается назад, поэтому действительная сторона — передняя: действительные изображения ( $d_{i} > 0$ ) возникают перед зеркалом, а мнимые ( $d_{i} < 0$ ) — за ним. У вогнутого зеркала $f = + R /2$ , у выпуклого $f = - R /2$ . Плоское зеркало, $R \to \infty$ , даёт $d_{i} = - d_{o}$ и $m = + 1$ .

Пример: косметическое зеркало

Вогнутое косметическое зеркало имеет $R = 60 см$ , значит, $f = 30 см$ . Если лицо находится в 15 см от него,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = - \frac{1}{30} с м^{- 1}, d_{i} = - 30 см, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = + 2$
Изображение мнимое, прямое и вдвое больше натуральной величины, в 30 см за зеркалом, поэтому глаза видят его на расстоянии 45 см, достаточно далёком, чтобы на нём было удобно фокусироваться.

Теперь отойдите так, чтобы лицо оказалось в 90 см от зеркала:
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} = \frac{2}{90} с м^{- 1}, d_{i} = 45 см, m = - \frac{45}{90} = - 0, 5$
Изображение стало действительным и перевёрнутым: оно висит в воздухе в 45 см перед зеркалом, посередине между ним и вами, — маленькое перевёрнутое лицо, как в ложке. В 30 см, в фокусе, вы видите лишь размытое пятно.

Частые ошибки

Забыть обратить результат: $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 0, 067 с м^{- 1}$ — ещё не ответ; ответ — обратная величина, 15 см. Вычитать расстояния, $30 - 10 = 20 см$ , тоже неверно.
Закрыть половину линзы — не значит убрать половину изображения: каждая часть линзы посылает свет от каждой точки предмета в соответствующую точку изображения, поэтому изображение остаётся целым, только вдвое менее ярким.
Отрицательное расстояние до изображения — не ошибка: $d_{o} = 5 см$ даёт $d_{i} = - 10 см$ , мнимое изображение, которое видно через линзу, но не получается на экране.
У рассеивающих линз и выпуклых зеркал фокусное расстояние отрицательно: если взять $+ 10 см$ вместо $- 10 см$ , формула вроде бы даст для предмета в 30 см действительное изображение в 15 см вместо мнимого в $- 7, 5 см$ .
Действительные изображения зеркала возникают перед ним: косметическое зеркало даёт изображение лица, находящегося в 90 см, в 45 см перед стеклом.

Где это встречается

Фотоаппарат строит действительное изображение на матрице: у объектива телефона с $f = 4, 0 мм$ изображение человека, стоящего в 2,0 м, получается при $d_{i} = 4, 008 мм$ , поэтому при перенаводке с далёкой горы изображение сдвигается всего на 8 мкм. В проекторе слайд держат чуть дальше $F$ , а в лупе предмет держат ближе $F$ . В фарах лампу ставят в фокус вогнутого зеркала, чтобы получить параллельный пучок; выпуклые зеркала заднего вида дают широкий уменьшенный обзор.

Приборы из нескольких линз разбирает урок «Глаз, фотоаппарат и телескоп»; почему стекло преломляет свет, рассказано в уроке «Отражение и преломление», а цветные каёмки простой линзы относятся к уроку «Призмы, дисперсия и цвет».

Продвинутый

Главное

Равные времена от предмета до изображения: избыток пути $h^{2} /2 s$ против выпуклости $h^{2} /2 R$ даёт $1/ s + n / s^{'} = (n - 1) / R$ при любом $h$ .
$d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ — гипербола; при отсчёте от фокусов формула Ньютона $x_{o} x_{i} = f^{2}$ даёт $m = - f / x_{o}$ .
Предмет и действительное изображение не бывают ближе $4 f$ (при $d_{o} = d_{i} = 2 f$ , $m = - 1$ ); глубина увеличивается в $m^{2}$ раз.
В порядке $h^{4}$ краевые лучи фокусируются раньше (сферическая аберрация); когда времена равны с точностью до периода, правит дифракция ( $1, 22 λ / D$ ).

Изображения как равные времена прохождения

В уроке «Отражение и преломление» луч был путём со стационарным временем прохождения: соседние пути занимают почти одинаковое время, поэтому их вторичные волны приходят синфазно и усиливают друг друга. Изображение — крайний случай этого. Точка $I$ является изображением точки $O$ , если все пути от $O$ через линзу к $I$ занимают одно и то же время. Тогда все вторичные волны приходят в $I$ в одной фазе и складываются в яркую точку, а рядом с $I$ они приходят с разбросом фаз и в основном гасят друг друга. Две точки, связанные таким образом, называют сопряжёнными. Это единственное условие, равенство времён, даёт все формулы урока, а его нарушение объясняет, почему реальные линзы несовершенны.

Рисунок 1 сравнивает два из путей от $O$ к $I$ . Путь 1 идёт прямо вдоль оси: расстояние $d_{o}$ в воздухе до линзы, полная толщина $t_{0}$ стекла в центре, затем $d_{i}$ в воздухе до изображения. Путь 2 пересекает плоскость линзы на высоте $h$ над осью. Сравним два пути участок за участком.

В воздухе путь 2 длиннее. Его первый прямой участок — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $d_{o}$ и $h$ , поэтому он превышает $d_{o}$ на $d_{o}^{2} + h^{2} - d_{o}$ , что при малом $h$ составляет примерно $h^{2} /2 d_{o}$ . Так же второй участок превышает $d_{i}$ примерно на $h^{2} /2 d_{i}$ . В стекле путь 2 короче: на высоте $h$ толщина линзы равна лишь $t$ , тогда как на оси она равна $t_{0}$ .

Одна геометрия заставила бы путь 2 прийти с опозданием, поэтому линза должна задержать свет вблизи оси на столько же. Стекло на это способно, ведь свет в нём в $n$ раз медленнее. Слой стекла толщиной $t$ свет проходит за время, за которое в воздухе он прошёл бы $n t$ , поэтому замена слоя воздуха такой толщины стеклом добавляет оптический путь $(n - 1) t$ . Путь 1 проходит в стекле на $t_{0} - t$ больше, чем путь 2, и времена равны, когда эта дополнительная задержка в точности оплачивает более длинный маршрут пути 2 в воздухе:
$(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} h^{2} (\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}})$
Правая часть растёт как $h^{2}$ , значит, и $t_{0} - t$ должно расти: стекло должно утончаться при удалении от оси. Вот почему собирающая линза толще всего посередине.

Число показывает, насколько тонок этот баланс. При $d_{o} = 30 см$ и $d_{i} = 15 см$ из анимации путь через $h = 2 см$ длиннее на $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0, 1 см = 2, 0 мм$ . Линза с $n = 1, 50$ компенсирует это, если в центре она толще, чем на расстоянии 2 см от оси, на 4 мм, так как $0, 50 \cdot 4 мм = 2, 0 мм$ . Эти 2,0 мм — около 3600 длин волн зелёного света, и линза должна погасить их с точностью до доли длины волны.

Вывод уравнений линзы

Тот же довод о времени, применённый сначала к одной кривой поверхности, а затем к двум, даёт формулу тонкой линзы и формулу шлифовщика линз. Он же показывает, почему простых сферических поверхностей достаточно.

Рисунок 2 показывает основной элемент: одну сферическую поверхность между воздухом и стеклом с показателем $n$ . Её центр кривизны — $C$ , радиус — $R$ ; точка, в которой она пересекает ось, — её вершина. Предмет $O$ находится на расстоянии $s$ перед вершиной, в воздухе, а изображение $I$ — на расстоянии $s^{'}$ за ней, внутри стекла. Как и прежде, путь 1 идёт вдоль оси, а путь 2 встречает поверхность на высоте $h$ , малой по сравнению с $s$ (на рисунке она преувеличена).

Три эффекта решают, равны ли времена двух путей. Во-первых, до поверхности путь 2 длиннее примерно на $h^{2} /2 s$ — по той же причине, что и на рисунке 1. Во-вторых, после поверхности он длиннее примерно на $h^{2} /2 s^{'}$ ; этот отрезок лежит в стекле, поэтому он стоит оптического пути $n h^{2} /2 s^{'}$ . В-третьих, поверхность уходит от $O$ , изгибаясь: на высоте $h$ она лежит на небольшом расстоянии $z$ , своём прогибе, за плоскостью вершины (штриховая вертикальная линия). Поэтому путь 2 проходит примерно на $z$ больше в воздухе до входа в стекло — на отрезке, который путь 1 проходит в стекле. Это даёт пути 2 выигрыш в оптическом пути $(n - 1) z$ .

Прогиб следует из прямоугольного треугольника на рисунке. Его гипотенуза — радиус $R$ от $C$ до точки, где путь 2 встречает поверхность; катеты — высота $h$ и расстояние $R - z$ вдоль оси от $C$ до основания высоты $h$ . Поэтому $(R - z)^{2} + h^{2} = R^{2}$ , откуда $z = R - R^{2} - h^{2}$ . При $h ≪ R$ корень примерно равен $R - h^{2} /2 R$ , и остаётся $z \approx h^{2} /2 R$ . Времена путей равны, когда два дополнительных отрезка равны выигрышу:
$\frac{h ^{2}}{2 s} + \frac{n h ^{2}}{2 s ^{'}} = \frac{( n - 1 ) h ^{2}}{2 R} \Rightarrow \frac{1}{s} + \frac{n}{s ^{'}} = \frac{n - 1}{R}$

В каждом слагаемом один и тот же множитель $h^{2}$ , поэтому он сокращается. В этом порядке условие вообще не зависит от высоты: одна сфера сводит лучи любой высоты в одну точку. Вот почему работают сферические поверхности, которые естественно получаются при шлифовке.

Тонкая линза — это две такие поверхности вплотную, и её толщину можно рассматривать так же, как на рисунке 1, — как задержку, зависящую от высоты. Сначала правило знаков: радиус считается положительным, если центр кривизны лежит со стороны, куда идёт свет, поэтому у двояковыпуклой линзы $R_{1} > 0$ для первой поверхности и $R_{2} < 0$ для второй. Каждая поверхность убирает стекло пропорционально своему прогибу, так что толщина убывает как $t (h) = t_{0} - \frac{1}{2} h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ .

Теперь снова сравним путь 2 с осевым. Его дополнительный маршрут в воздухе стоит $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ , а стекло, которого он избегает, даёт выигрыш $(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} (n - 1) h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . Время одинаково при любом $h$ , только если эти величины равны, и снова $h^{2}$ сокращается:
$\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{f}$

Эта строка содержит сразу два закона. Её первый и последний члены образуют формулу тонкой линзы, $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 1/ f$ ; второй и последний — формулу шлифовщика линз, $1/ f = (n - 1) (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . Фокусное расстояние $f$ — это расстояние до изображения очень далёкого предмета. Левая часть зависит только от положения $O$ и $I$ , правая — только от стекла и его формы, поэтому одна линза отображает каждую плоскость сцены на её собственную сопряжённую плоскость. Линза из анимации, $f = 10 см$ , могла бы быть симметричной, из стекла с $n = 1, 50$ и $R_{1} = - R_{2} = 10 см$ : $0, 50 \cdot (1/10 + 1/10) = 1/10$ на сантиметр.

Формула Ньютона и гипербола

Как движется изображение, когда предмет приближается к линзе? Ответ даёт график формулы тонкой линзы, а если отсчитывать расстояния от фокусов, формула принимает самый простой вид.

Рисунок 3 показывает расстояние до изображения $d_{i}$ как функцию расстояния до предмета $d_{o}$ — так же, как график на уровне «Продвинутый» в анимации. Расстояния следуют правилу «действительное — положительное»: $d_{i} > 0$ — действительное изображение по другую сторону линзы, $d_{i} < 0$ — мнимое изображение со стороны предмета. Решив формулу тонкой линзы относительно изображения, получаем $d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ — гиперболу. Её штриховые асимптоты — $d_{o} = f$ , где знаменатель обращается в нуль и изображение уходит в бесконечность, и $d_{i} = f$ , к которой изображение приближается, когда предмет удаляется в бесконечность.

Сначала посмотрим на две ветви. Верхняя ветвь, помеченная $d_{i} > 0$ , содержит действительные изображения предметов за фокусом. Нижняя ветвь, помеченная $d_{i} < 0$ , содержит мнимые изображения предметов внутри фокусного расстояния: она прижимается к асимптоте $d_{o} = f$ далеко под осью и поднимается к началу координат при $d_{o} \to 0$ . Увеличение равно $m = - d_{i} / d_{o}$ — высота изображения, делённая на высоту предмета; оно отрицательно, когда изображение перевёрнуто. Точка, отмеченная при $2 f$ , — вершина действительной ветви, $(2 f, 2 f)$ , где $d_{i} = d_{o}$ и потому $m = - 1$ : перевёрнутое изображение того же размера.

Теперь отсчитаем оба расстояния от фокусов, а не от линзы: $x_{o} = d_{o} - f$ по горизонтали и $x_{i} = d_{i} - f$ по вертикали. Умножив формулу тонкой линзы на $f d_{o} d_{i}$ , получаем $d_{o} d_{i} = f d_{o} + f d_{i}$ . Перенеся правую часть налево и прибавив к обеим частям $f^{2}$ , получаем $d_{o} d_{i} - f d_{o} - f d_{i} + f^{2} = f^{2}$ , где левая часть равна $(d_{o} - f) (d_{i} - f)$ . Это формула Ньютона для линзы:
$x_{o} x_{i} = f^{2}$

На рисунке это закрашенный прямоугольник. Построенный в отмеченной точке $d_{o} = 3 f$ , он имеет стороны $x_{o} = 2 f$ внизу и $x_{i} = f /2$ сбоку, так что его площадь равна $f^{2}$ . Прямоугольник, построенный от угла $(f, f)$ до любой другой точки кривой, имеет ту же площадь; в вершине это квадрат $f \times f$ . Увеличение принимает столь же простой вид. Из решённой формулы $d_{i} / d_{o} = f / (d_{o} - f) = f / x_{o}$ , а формула Ньютона превращает $f / x_{o}$ в $x_{i} / f$ :
$m = - \frac{f}{x _{o}} = - \frac{x _{i}}{f}$
Проверка для предмета из анимации на расстоянии 30 см: $x_{o} = 20 см$ , значит, $x_{i} = 100/20 = 5 см$ , что снова даёт $d_{i} = 15 см$ , и $m = - 10/20 = - 0, 5$ .

В анимации красная точка бежит по действительной ветви. Она стартует в $(34, 1; 14, 2)$ (в сантиметрах), проходит вершину $(20, 20)$ и покидает панель сверху при $d_{i} = 60 см$ , когда $d_{o} = 12 см$ . Когда предмет оказывается ближе фокуса $F$ , фиолетовая точка входит в мнимую ветвь снизу при $d_{i} = - 40 см$ , когда $d_{o} = 8 см$ , и поднимается до $- 12 см$ . При продолжении до $d_{o} \to 0$ эта ветвь доходит до начала координат, где $m = - f / x_{o} \to + 1$ : лупа, лежащая на странице, ничего не увеличивает.

Наклон кривой показывает, как быстро движется изображение. Поскольку $d_{i} = f + f^{2} / x_{o}$ , а $x_{o}$ меняется точно так же, как $d_{o}$ , наклон равен $d (d_{i}) / d (d_{o}) = - f^{2} / x_{o}^{2} = - m^{2}$ . Знак минус означает, что при приближении предмета к линзе действительное изображение удаляется от неё: оба движутся в пространстве в одну сторону, причём изображение проходит путь в $m^{2}$ раз больший. Таким образом, глубина увеличивается в $m^{2}$ раз, а высота — лишь в $m$ раз. Наклон равен $- 0, 25$ при 30 см и $- 4, 84$ при 14,55 см.

Наконец, расстояние от предмета до действительного изображения равно $d_{o} + d_{i} = 2 f + x_{o} + f^{2} / x_{o}$ . Сумма $x_{o} + f^{2} / x_{o}$ наименьшая при $x_{o} = f$ , где обращается в нуль её производная $1 - f^{2} / x_{o}^{2}$ . Значит, предмет и действительное изображение никогда не сближаются больше чем на $4 f$ ; это достигается при $d_{o} = d_{i} = 2 f$ и $m = - 1$ . В анимации расстояние между ними уменьшается с 48,2 см до 40 см при $2 F$ , а затем снова растёт. Разобранная ниже задача опирается на этот минимум.

Зеркала и системы линз

Зеркала подчиняются той же формуле с одним изменением, и систему из нескольких линз тоже можно свести к ней.

Для зеркала свет возвращается, поэтому прогиб учитывается дважды. Вогнутое зеркало радиуса $R$ изогнуто в сторону предмета: на высоте $h$ его поверхность лежит на $h^{2} /2 R$ ближе к предмету, чем его вершина. Это сокращает путь 2 на $h^{2} /2 R$ на пути туда и ещё раз на пути обратно, а его наклонные участки добавляют $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ , как и раньше. Поэтому для равных времён нужно $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = h^{2} / R$ , то есть $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 2/ R$ : зеркало подчиняется формуле тонкой линзы с $f = R /2$ . Свет не входит в стекло, поэтому у зеркала нет дисперсии и нет цветовой ошибки — одна из причин, по которым большие телескопы делают рефлекторами.

Для света звезды, приходящего параллельно оси, сфера — не совсем подходящая форма. Параболоид делает времена в точности равными: каждая точка параболы одинаково удалена от её фокуса и от фиксированной прямой — директрисы, поэтому любой отражённый путь от далёкой звезды до фокуса имеет одну и ту же длину. Сфера отступает от этого параболоида примерно на $h^{4} /8 R^{3}$ — следующий член её прогиба. На краю зеркала диаметром 20 см при $f = 1, 0 м$ , то есть $R = 2, 0 м$ и $h = 0, 10 м$ , это 1,6 мкм. Отражение удваивает его до примерно 3 мкм разности хода, а это больше пяти длин волн видимого света, поэтому такие зеркала делают параболическими. Зеркало «Хаббла» диаметром 2,4 м, на краю отшлифованное примерно на 2 мкм площе, чем нужно, давало размытые изображения, пока в 1993 году не установили корректирующую оптику.

Тонкие линзы вплотную просто складывают свои задержки, поэтому складываются и их оптические силы $D = 1/ f$ : $D = D_{1} + D_{2}$ , в диоптриях (дптр), если $f$ в метрах. Две линзы из анимации по 10 дптр дают 20 дптр, $f = 5 см$ . Линзы с промежутками между ними рассматривают по очереди: изображение, созданное одним элементом, служит предметом для следующего. Если свет к моменту прихода на следующий элемент всё ещё сходится, его предмет лежит за этим элементом; он считается мнимым предметом, $d_{o} < 0$ , на фиолетовой ветви рисунка 3, продолженной за начало координат. В параксиальном приближении у любой системы в воздухе есть два фокуса и две главные плоскости — плоскости, от которых отсчитываются её расстояния, — и $x_{o} x_{i} = f^{2}$ выполняется с её эффективным фокусным расстоянием.

Задача: лампа, линза и экран

Этот опыт на оптической скамье использует минимальное расстояние $4 f$ и позволяет измерить $f$ , не отыскивая фокус линзы.

**Рисунок 4.** Лампа и экран на неизменном расстоянии $L$ друг от друга. Линза даёт резкое изображение в двух положениях, отстоящих на $a$ ; при переходе от положения 1 к положению 2 расстояния $d_{o}$ и $d_{i}$ меняются местами.

На рисунке 4 лампа, чья стрелка высотой 5 см служит предметом, и экран стоят на расстоянии $L = 45 см$ друг от друга. Линза из анимации, $f = 10 см$ , скользит между ними. Где изображение на экране резкое и как это даёт $f$ ?

Резкое изображение требует $d_{o} + d_{i} = L$ . Подставив $d_{i} = L - d_{o}$ в формулу тонкой линзы и умножив на $f d_{o} (L - d_{o})$ , получаем $f L = d_{o} (L - d_{o})$ — квадратное уравнение относительно $d_{o}$ :
$d_{o}^{2} - L d_{o} + L f = 0, d_{o} = \frac{L \pm L ^{2} - 4 L f}{2} = \frac{45 \pm 15}{2} см$
Значит, линза работает на расстоянии 30 см от лампы, когда изображение лежит в 15 см за ней (положение 1 на рисунке), и на расстоянии 15 см от лампы, когда изображение лежит в 30 см за ней (положение 2).

Два положения взаимно обратны, как и требует обратимость световых путей: если $O$ отображается в $I$ , то $I$ отображается в $O$ . Сравните две строки расстояний на рисунке: в положении 2 линза находится на расстоянии $d_{i}$ от лампы и $d_{o}$ от экрана — те же две длины, поменявшиеся местами. Стрелка высотой 5 см даёт изображение высотой 2,5 см с $m = - 0, 5$ в положении 1 и высотой 10 см с $m = - 2$ в положении 2. Два увеличения равны $- d_{i} / d_{o}$ и $- d_{o} / d_{i}$ , поэтому их произведение равно 1, а высота предмета — среднее геометрическое высот двух изображений, $2, 5 \cdot 10 = 5 см$ .

Квадратный корень действителен, только если $L \geq 4 f$ — это найденное выше минимальное расстояние. При 40 см два положения сливаются при $d_{o} = 20 см$ ; если экран ещё ближе, ни одно положение не даёт резкого изображения.

Метод работает и в обратную сторону, для неизвестной линзы. Измерьте $L$ и сдвиг $a$ линзы между её двумя резкими положениями — это $a$ с рисунка 4, здесь $30 - 15 = 15 см$ . Два корня отличаются на $a = L^{2} - 4 L f$ , поэтому
$f = \frac{L ^{2} - a ^{2}}{4 L} = \frac{4 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{4 \cdot 45} = 10 см$
по двум длинам, измеренным вдоль скамьи, без необходимости знать, от какой точки внутри линзы отсчитывать.

Аберрации: где равенство времён нарушается

Всё сказанное до сих пор сохраняло лишь члены с $h^{2}$ . Реальные линзы не достигают идеала, потому что следующие члены не сокращаются и потому что $n$ зависит от цвета.

В порядке $h^{4}$ времена прохождения через сферическую линзу уже не совпадают, и внешние лучи фокусируются ближе параксиальных, то есть лучей вблизи оси: это сферическая аберрация. Если проследить лучи точно через описанную выше симметричную линзу диаметром 4 см, параллельные лучи через край пересекают ось примерно на 7 мм ближе параксиального фокуса, а лучи на половине этой высоты — примерно на 1,6 мм ближе. Уменьшение высоты вдвое сокращает сдвиг примерно в четыре раза: он растёт как $h^{2}$ . Уменьшить аберрацию помогают меньшая апертура и асферические поверхности.

Поскольку $n$ зависит от длины волны, от неё зависит и $f$ : это хроматическая аберрация. Кроновое стекло имеет $n = 1, 514$ для красного света и 1,522 для синего. Так как $1/ f \propto n - 1$ , синий фокус ближе в отношении $0, 522/0, 514$ , то есть примерно на 1,5 %, что составляет около 1,5 мм для линзы с фокусным расстоянием 10 см. Ахроматический дублет добавляет более слабую рассеивающую линзу из флинтового стекла. Флинт сильнее разводит цвета, поэтому слабая флинтовая линза компенсирует цветовую ошибку сильной кроновой линзы, забирая обратно лишь часть её оптической силы. Точки вне оси добавляют новые ошибки — кому, астигматизм и дисторсию, — которые конструкторы уравновешивают друг другом с помощью асферических элементов.

Границы применимости

Закон тонкой линзы предполагает параксиальные лучи, толщину, малую по сравнению с $f$ , и воздух по обе стороны. Последнее допущение нарушается в воде, где важен показатель стекла относительно воды. Линза с $n = 1, 50$ тогда работает с $1, 50/1, 33 - 1 = 0, 13$ вместо 0,50, и её фокусное расстояние растёт почти вчетверо. Роговица, самая сильная преломляющая поверхность глаза, теряет большую часть оптической силы таким же образом, потому что жидкость за ней имеет показатель почти как у воды: поэтому под водой без маски всё расплывается.

Самый глубокий предел — волновая природа света. Времена должны совпадать лишь с точностью до доли периода, примерно до четверти (критерий Рэлея): вторичные волны в изображении тогда почти синфазны, и дальнейшая шлифовка почти ничего не даёт. Остаётся дифракция. Даже идеальная линза диаметром $D$ изображает точку как маленький диск со слабыми кольцами — диск Эйри, угловой радиус которого равен $1, 22 λ / D$ . Для линзы диаметром 4 см и зелёного света (550 нм) это $1, 7 \times 1 0^{- 5} рад$ , то есть пятно радиусом 1,7 мкм в фокусе на расстоянии 10 см. Зрачок диаметром 3 мм даёт около 0,8 угловой минуты, что близко к пределу остроты человеческого зрения. Дальнейшее увеличение лишь увеличивает размытие и не открывает новых деталей.

Что дальше

Урок «Глаз, фотоаппарат и телескоп» применяет эти линзы: глаз как линза примерно в 60 дптр, лупа с угловым увеличением около $25 см / f$ , телескоп из объектива и окуляра. Дисперсия, лежащая в основе хроматической аберрации, разобрана в уроке «Призмы, дисперсия и цвет». Урок «Дифракция и опыт Юнга» объясняет предел разрешения, а в уроке «Корпускулярно-волновой дуализм» одиночные фотоны складывают свои амплитуды по всем путям к изображению.

В уроке «Гравитация как искривление пространства-времени» линзой служит масса. Солнце отклоняет луч, скользящий по его краю, на 1,75 угловой секунды. Стеклянная линза отклоняет луч тем сильнее, чем дальше от оси он проходит; гравитация действует наоборот, поскольку отклонение убывает как $1/ b$ с расстоянием $b$ луча от центра. Поэтому единого фокуса нет: лучи, скользящие у Солнца, сходятся примерно в 550 а. е. от него, а лучи, проходящие дальше, — ещё дальше. Галактики, действующие как линзы для более далёких, дают множественные изображения и кольца.

Главные формулы

Формула тонкой линзы

\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}

Обратные величины расстояний до предмета и до изображения в сумме дают обратную величину фокусного расстояния, одинаковую при любом положении предмета. Формула следует из подобных треугольников на чертеже лучей или из требования, чтобы все пути от точки предмета до её изображения занимали одно и то же время. Решайте её как $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ и обращайте в конце; отрицательный результат означает мнимое изображение.

Обозначения
$f$	фокусное расстояние, положительное у собирающей линзы и вогнутого зеркала	$м$
$d_{o}$	расстояние до предмета, от предмета до линзы	$м$
$d_{i}$	расстояние до изображения, положительное у действительного и отрицательное у мнимого	$м$

Когда верна: Для тонких линз и сферических зеркал при параксиальных лучах по правилу «действительное — положительное». У толстых линз и систем линз расстояния отсчитывают от главных плоскостей, а лучи вдали от оси страдают аберрациями.

Пример: Линза из анимации, $f = 10 см$ , при $d_{o} = 30 см$ : $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 2/30$ , откуда $d_{i} = 15 см$ .

Увеличение

m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}

Отношение высоты изображения к высоте предмета. Луч через центр линзы идёт прямо, поэтому вместе с предметом и изображением он образует два подобных треугольника, и высоты относятся как расстояния. Знак минус отражает то, что действительное изображение действительного предмета перевёрнуто: $m < 0$ — перевёрнутое, $m > 0$ — прямое, $∣ m ∣ > 1$ — увеличенное.

Обозначения
$m$	увеличение
$h_{i}$	высота изображения, отрицательная у перевёрнутого	$м$
$h_{o}$	высота предмета	$м$
$d_{i}$	расстояние до изображения	$м$
$d_{o}$	расстояние до предмета	$м$

Когда верна: Для тонких линз и зеркал при параксиальных лучах и только для размеров поперёк оси: глубина вдоль оси увеличивается в $m^{2}$ раз.

Пример: Предмет в 30 см, изображение в 15 см: $m = - 15/30 = - 0, 5$ , и стрелка высотой 5 см даёт перевёрнутое изображение высотой 2,5 см.

Оптическая сила

D = \frac{1}{f} (диоптрии, f в метрах : f = 10 см \to D = 10 дптр)

Оптическая сила — величина, обратная фокусному расстоянию: чем короче фокусное расстояние, тем сильнее линза преломляет свет. Если $f$ в метрах, она выражается в диоптриях, $1 дптр = 1 м^{- 1}$ . Удобство в том, что оптические силы тонких линз, сложенных вплотную, просто складываются, поэтому очки назначают в диоптриях.

Обозначения
$D$	оптическая сила, в диоптриях (дптр)	$м^{- 1}$
$f$	фокусное расстояние, в метрах	$м$

Когда верна: Для тонких линз: у собирающей линзы $D > 0$ , у рассеивающей $D < 0$ . Силы складываются только у тонких линз вплотную; линзы на расстоянии $d$ друг от друга дают $1/ F = 1/ f_{1} + 1/ f_{2} - d / (f_{1} f_{2})$ .

Пример: $f = 10 см = 0, 10 м$ даёт $D = 10 дптр$ ; добавив линзу для чтения в $+ 2, 5 дптр$ , получим 12,5 дптр, то есть $f = 8 см$ .

Фокусное расстояние сферического зеркала

f = \frac{R}{2} (сферическое зеркало)

Луч, параллельный оси, отражается от сферического зеркала под тем же углом к радиусу, который в этой точке служит нормалью, поэтому он пересекает ось посередине между зеркалом и центром кривизны. С таким фокусным расстоянием зеркало подчиняется тому же уравнению, что и тонкая линза, а его действительные изображения возникают перед ним.

Обозначения
$f$	фокусное расстояние зеркала	$м$
$R$	радиус кривизны как длина; у выпуклого зеркала $f = - R /2$	$м$

Когда верна: Для параксиальных лучей. Лучи, падающие далеко от оси, пересекают её ближе к зеркалу (сферическая аберрация); параболическое зеркало фокусирует параллельный свет точно.

Пример: У косметического зеркала с $R = 60 см$ фокусное расстояние $f = 30 см$ ; у выпуклого зеркала заднего вида с $R = 2, 0 м$ оно равно $f = - R /2 = - 1, 0 м$ .

Формула шлифовщика линз

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) (линза в воздухе; двояковыпуклая : R_{1} > 0, R_{2} < 0)

Фокусное расстояние тонкой линзы определяется стеклом и формой. Кривизны $1/ R_{1} - 1/ R_{2}$ задают, насколько линза посередине толще, а стекло задерживает свет на эту толщину, умноженную на $n - 1$ : как раз столько, чтобы все пути от точки до её изображения заняли одно и то же время. Радиус считается положительным, если центр кривизны лежит с той стороны, куда идёт свет.

Обозначения
$f$	фокусное расстояние линзы	$м$
$n$	показатель преломления стекла
$R_{1}$	радиус кривизны поверхности, которую свет встречает первой	$м$
$R_{2}$	радиус кривизны второй поверхности	$м$

Когда верна: Для тонкой линзы в воздухе при параксиальных лучах. В среде с показателем $n_{m}$ замените $n - 1$ на $n / n_{m} - 1$ ; у толстой линзы нужна поправка, зависящая от толщины.

Пример: Стекло с $n = 1, 50$ и $R_{1} = - R_{2} = 10 см$ : $1/ f = 0, 50 \cdot (0, 10 + 0, 10) = 0, 10 с м^{- 1}$ , то есть $f = 10 см$ — линза из анимации.

Формула Ньютона для линзы

x_{o} x_{i} = f^{2}

Отсчитайте расстояние предмета от переднего фокуса, а расстояние изображения — от заднего: их произведение всегда равно $f^{2}$ . Это переписанная формула тонкой линзы, и благодаря ей увеличение выражается просто: $m = - f / x_{o} = - x_{i} / f$ . Оба расстояния имеют один знак: предмет за $F$ даёт изображение за $F^{'}$ .

Обозначения
$x_{o}$	расстояние предмета от переднего фокуса $F$ , $d_{o} - f$	$м$
$x_{i}$	расстояние изображения от заднего фокуса $F^{'}$ , $d_{i} - f$	$м$
$f$	фокусное расстояние	$м$

Когда верна: Для любой оптической системы в воздухе в параксиальном пределе, с её эффективным фокусным расстоянием, потому что нужны лишь положения двух фокусов; поэтому это общая форма для толстых линз и составных систем.

Пример: Предмет в 30 см от линзы из анимации: $x_{o} = 20 см$ , значит, $x_{i} = 100/20 = 5 см$ , и изображение находится на расстоянии $10 + 5 = 15 см$ за линзой.

Глоссарий

Собирающая линза: Линза, более толстая посередине, чем по краям, с $f > 0$ : она сводит лучи, падающие параллельно оси, в действительном фокусе. Для предметов дальше $F$ она даёт действительные перевёрнутые изображения, для предметов ближе $F$ — увеличенные мнимые.
Рассеивающая линза: Линза, более тонкая посередине, чем по краям, с $f < 0$ : она расширяет параллельные лучи так, будто они выходят из мнимого фокуса перед ней. Для любого действительного предмета она даёт мнимое прямое уменьшенное изображение.
Оптическая ось: Прямая, проходящая через центр линзы или зеркала перпендикулярно ему, на которой лежат фокусы и центры кривизны. Расстояния вдоль неё и высоты от неё описывают предметы и изображения.
Фокус: Точка, в которой сходятся после линзы или зеркала лучи, падавшие параллельно оси, или из которой они кажутся расходящимися. У тонкой линзы их два, $F$ и $F^{'}$ , на одинаковом расстоянии $f$ ; у сферического зеркала фокус лежит посередине между зеркалом и центром кривизны.
Действительное изображение: Изображение, в котором свет действительно сходится после линзы или зеркала, поэтому его можно поймать на экран или матрицу. Одна линза или одно зеркало даёт его перевёрнутым, с положительным расстоянием до изображения.
Мнимое изображение: Изображение, из которого свет лишь кажется исходящим: лучи, выходящие из линзы или зеркала, расходятся, и встречаются только их продолжения назад. Его можно увидеть и сфотографировать, но нельзя поймать на экран — как в лупе или плоском зеркале.
Характерные лучи: Три луча от вершины предмета, которые легко построить: параллельно оси, а затем через $F^{'}$ ; прямо через центр; через $F$ , а затем параллельно оси. Любые два находят изображение, но образует его весь свет, прошедший через линзу.
Оптическая сила: Насколько сильно линза или зеркало собирает свет, $D = 1/ f$ , в диоптриях (дптр), если $f$ в метрах: у линзы из анимации с $f = 10 см$ она равна 10 дптр. Оптические силы тонких линз вплотную складываются, а у рассеивающей линзы оптическая сила отрицательна.
Вогнутые и выпуклые зеркала: Вогнутое зеркало, изогнутое как внутренняя сторона чаши, собирает свет, $f = R /2$ ; выпуклое, изогнутое наружу, рассеивает его, $f = - R /2$ . Зеркало создаёт действительные изображения перед собой, а мнимые — за собой.
Сопряжённые точки: Точка предмета и её изображение. Все пути света между ними через систему занимают одно и то же время, поэтому свет из одной точки собирается в другой; их можно поменять местами, ведь световые пути обратимы.
Параксиальное приближение: Рассмотрение всех лучей как близких к оси и почти параллельных ей, так что разности хода учитывают лишь до порядка $h^{2}$ , а $sin θ \approx θ$ . Формулы тонкой линзы и зеркала точны только в этом пределе.
Аберрация: Любое отступление реальной линзы или зеркала от идеального построения изображения. Сферическая аберрация заставляет внешние лучи фокусироваться ближе, хроматическая аберрация даёт каждому цвету свой фокус, а кома, астигматизм и дисторсия портят изображение точек вне оси.

Величины
$f$	Фокусное расстояние	$м$	Расстояние от тонкой линзы или зеркала до фокусов: положительное у собирающих, отрицательное у рассеивающих. У линзы из анимации $f = 10 см$ .
$d_{o}$	Расстояние до предмета	$м$	Расстояние от предмета до линзы или зеркала, положительное для действительного предмета перед ними: в анимации от 34,1 см до 5,45 см.
$d_{i}$	Расстояние до изображения	$м$	Расстояние от линзы или зеркала до изображения: положительное для действительного изображения (за линзой, перед зеркалом), отрицательное для мнимого. В анимации оно равно 15 см при $d_{o} = 30 см$ .
$h_{o}$	Высота предмета	$м$	Высота предмета над осью: стрелка в анимации имеет высоту 5 см.
$h_{i}$	Высота изображения	$м$	Высота изображения, отсчитанная от оси, отрицательная у перевёрнутого изображения: $- 2, 5 см$ для стрелки на расстоянии 30 см.
$m$	Увеличение		Высота изображения, делённая на высоту предмета, $m = - d_{i} / d_{o}$ . Модуль показывает, во сколько раз изображение больше, знак — прямое оно ( $m > 0$ ) или перевёрнутое ( $m < 0$ ).
$R$	Радиус кривизны	$м$	Радиус сферы, частью которой служит поверхность зеркала или линзы. Если брать его как длину, у вогнутого зеркала $f = + R /2$ , у выпуклого $f = - R /2$ ; если для выпуклого зеркала считать $R$ отрицательным, $f = R /2$ в обоих случаях.
$n$	Показатель преломления		Во сколько раз свет в материале линзы распространяется медленнее, чем в вакууме: около 1,50 для обычного стекла. Вместе с кривизнами он определяет фокусное расстояние линзы.
$x_{o}$	Расстояние от предмета до фокуса	$м$	Расстояние предмета от переднего фокуса $F$ , $x_{o} = d_{o} - f$ ; отрицательно, если предмет ближе фокусного расстояния.
$x_{i}$	Расстояние от изображения до фокуса	$м$	Расстояние изображения от заднего фокуса $F^{'}$ , $x_{i} = d_{i} - f$ ; связано с $x_{o}$ формулой Ньютона $x_{o} x_{i} = f^{2}$ .

Тест

Начальный Лупа на солнце выжигает на бумаге маленькую яркую точку. Где находится бумага?
1. В фокусе линзы
2. Вплотную к линзе
3. На двойном фокусном расстоянии
4. Где угодно, расстояние неважно
Показать ответ
Ответ: A. В фокусе линзы
Параллельный солнечный свет собирается в фокусе, поэтому точка самая маленькая и горячая, когда бумага на фокусном расстоянии.
Начальный Далёкое дерево проецируют собирающей линзой на лист бумаги. Каким будет изображение?
1. Прямым и увеличенным
2. Прямым и уменьшенным
3. Перевёрнутым и уменьшенным
4. Изображения на бумаге не будет
Показать ответ
Ответ: C. Перевёрнутым и уменьшенным
Далёкий предмет даёт действительное изображение чуть дальше фокуса: маленькое и перевёрнутое, как в фотоаппарате.
Начальный Вы рассматриваете маленькое насекомое через лупу, держа её близко к нему. Изображение, которое вы видите…
1. прямое и увеличенное
2. перевёрнутое и увеличенное
3. прямое и уменьшенное
4. перевёрнутое и уменьшенное
Показать ответ
Ответ: A. прямое и увеличенное
Предмет находится ближе фокуса, и линза даёт мнимое изображение — прямое и увеличенное.
Средний Предмет стоит в 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Где изображение?
1. В 20 см от линзы
2. В 15 см от линзы
3. В 7,5 см от линзы
4. В 40 см от линзы
Показать ответ
Ответ: B. В 15 см от линзы
1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, значит dᵢ = 15 см. Вычитать расстояния (30 − 10 = 20) — частая ошибка.
Средний Собирающая линза даёт на экране резкое изображение свечи. Верхнюю половину линзы закрывают чёрным картоном. Что произойдёт с изображением?
1. Исчезнет верхняя половина изображения
2. Исчезнет нижняя половина изображения
3. Изображение станет вдвое меньше
4. Изображение останется целым, но станет тусклее
Показать ответ
Ответ: D. Изображение останется целым, но станет тусклее
Каждая часть линзы получает свет от каждой точки свечи и направляет его в соответствующую точку изображения, поэтому открытая половина по-прежнему создаёт всё изображение; она лишь собирает вдвое меньше света.
Средний Что происходит с характерным лучом, проходящим через оптический центр тонкой линзы?
1. Идёт дальше прямо, не преломляясь
2. Выходит параллельно оси
3. Проходит через задний фокус
4. Отражается назад
Показать ответ
Ответ: A. Идёт дальше прямо, не преломляясь
В центре тонкой линзы её поверхности практически параллельны, поэтому луч проходит без заметного отклонения.
Продвинутый Выпуклое обзорное зеркало в магазине имеет радиус кривизны 1,0 м. Покупатель стоит в 4,0 м перед ним. Где находится изображение покупателя?
1. В 0,57 м перед зеркалом, перевёрнутое
2. В 0,44 м за зеркалом, прямое, примерно в 9 раз меньше
3. В 4,0 м за зеркалом, того же размера
4. В 0,50 м за зеркалом, в фокусе
Показать ответ
Ответ: B. В 0,44 м за зеркалом, прямое, примерно в 9 раз меньше
У выпуклого зеркала f = −R/2 = −0,50 м, поэтому 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = −2,00 − 0,25 = −2,25 м⁻¹ и dᵢ ≈ −0,44 м: мнимое изображение за зеркалом, m = −dᵢ/dₒ ≈ +0,11, прямое и уменьшенное. Если забыть про знак (f = +0,50 м), получится 0,57 м и перевёрнутое изображение. Именно уменьшенный широкий обзор позволяет такому зеркалу показать весь магазин.
Продвинутый Что физически означает вертикальная асимптота dₒ = f на графике dᵢ(dₒ) для собирающей линзы?
1. Изображение становится наименьшим
2. Лучи от предмета выходят из линзы параллельно, и изображение уходит на бесконечность
3. Изображение оказывается на самой линзе
4. Линза перестаёт преломлять свет
Показать ответ
Ответ: B. Лучи от предмета выходят из линзы параллельно, и изображение уходит на бесконечность
Предмет в F: 1/dᵢ = 1/f − 1/f = 0, выходящие лучи параллельны и пересекаются лишь на бесконечности; при переходе через F изображение из действительного становится мнимым.

$O$	Точка предмета.
$I$	Точка изображения: в ней все пути от $O$ приходят одновременно.
$d_{o}$	Расстояние от $O$ до линзы вдоль оси.	$м$
$d_{i}$	Расстояние от линзы до $I$ вдоль оси.	$м$
$h$	Высота над осью, на которой путь 2 пересекает линзу.	$м$
$t_{0}$	Толщина линзы на оси: стекло, которое проходит путь 1.	$м$
$t$	Толщина линзы на высоте $h$ : стекло, которое проходит путь 2.	$м$

$O$	Точка предмета, в воздухе.
$I$	Точка изображения, внутри стекла.
$C$	Центр кривизны поверхности.
$R$	Радиус поверхности: расстояние от $C$ до вершины и до любой точки поверхности.	$м$
$s$	Расстояние до предмета: от $O$ до вершины поверхности.	$м$
$s^{'}$	Расстояние до изображения: от вершины до $I$ , внутри стекла.	$м$
$h$	Высота над осью, на которой путь 2 встречает поверхность.	$м$
$z$	Прогиб: на сколько поверхность на высоте $h$ отстоит назад от плоскости вершины.	$м$
$n$	Показатель преломления стекла; у воздуха он равен 1.

$d_{o}$	Расстояние до предмета: от предмета до линзы.	$м$
$d_{i}$	Расстояние до изображения: положительное для действительного изображения за линзой, отрицательное для мнимого.	$м$
$f$	Фокусное расстояние: оно задаёт обе асимптоты и вершину $(2 f, 2 f)$ .	$м$
$x_{o}$	Расстояние до предмета, отсчитанное от фокуса: $d_{o} - f$ .	$м$
$x_{i}$	Расстояние до изображения, отсчитанное от фокуса: $d_{i} - f$ .	$м$

$L$	Расстояние от лампы до экрана, остающееся неизменным.	$м$
$a$	Сдвиг линзы между двумя её резкими положениями.	$м$
$d_{o}$	Расстояние от лампы до линзы в положении 1 и от линзы до экрана в положении 2.	$м$
$d_{i}$	Расстояние от линзы до экрана в положении 1 и от лампы до линзы в положении 2.	$м$