Lentes e espelhos

Uma lente delgada ou um espelho curvo de distância focal $f$ forma uma imagem à distância dada por $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , com ampliação $m = - d_{i} / d_{o}$ ; uma lente convergente a torna real e invertida quando o objeto está além do foco, e virtual, direita e ampliada quando ele está dentro dele.

Uma seta-objeto se aproxima de uma lente convergente: sua imagem é real e invertida além do foco, desaparece no foco e torna-se virtual, direita e ampliada dentro dele.

Antes deste tema: Reflexão e refração

Iniciante

Ideias principais

Uma lente mais espessa no meio é convergente: ela reúne raios paralelos em um ponto, o foco.
A distância focal é a distância da lente ao seu foco; uma lente mais grossa e mais curva tem distância focal menor.
Um objeto distante gera uma imagem real, pequena e invertida, que pode ser projetada em uma tela, como na câmera ou no olho.
Mais perto do que o foco, a lente mostra uma imagem virtual, direita e maior: isso é uma lupa.

Passo 1, a forma decide. Uma lente mais espessa no meio do que nas bordas é convergente. Cada parte dela atua como um pequeno prisma: as bordas inclinadas desviam a luz com força, o meio quase plano quase nada. Assim, raios que chegam lado a lado são desviados uns em direção aos outros.

Passo 2, o foco. A luz paralela, como a do Sol, é reunida em um ponto, o foco; é por isso que uma lupa pode queimar um ponto de papel. A distância da lente ao foco é a distância focal. Uma lente mais grossa e mais curva desvia com mais força e tem distância focal menor.

Passo 3, imagens reais. Raios que saem de um mesmo ponto do objeto se reencontram atrás da lente, e todos esses pontos juntos formam uma imagem. Coloque ali uma folha de papel e a figura aparece nela, de cabeça para baixo. Uma imagem formada por luz que realmente chega é chamada real; câmeras e olhos usam essas imagens.

Na animação, a seta preta se aproxima da lente. Enquanto está longe, sua imagem vermelha é pequena e invertida; conforme se aproxima, a imagem se afasta e cresce. Quando a seta chega ao foco, a luz sai em feixes paralelos e nenhuma imagem se forma.

Passo 4, imagens virtuais. Mais perto do que o foco, os raios saem da lente se afastando e nunca se encontram. Seu olho os segue de volta e vê uma imagem roxa, direita e ampliada do lado do objeto: uma lupa. Nenhuma luz chega àquele ponto; por isso a imagem é chamada virtual, como o seu reflexo parado atrás de um espelho plano.

Teste você mesmo: uma lente projeta uma lâmpada em uma parede. Você afasta a lâmpada. A parede precisa se aproximar ou recuar? (Aproximar: um objeto mais distante tem sua imagem mais perto da lente.)

Intermediário

Ideias principais

Lente delgada: $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , $m = - d_{i} / d_{o}$ ; $f = 10 cm$ e $d_{o} = 30 cm$ dão $d_{i} = 15 cm$ , $m = - 0, 5$ .
Real é positivo: $d_{i} > 0$ é uma imagem real sobre uma tela; $d_{i} < 0$ é virtual, do lado do objeto ( $d_{o} = 5 cm$ dá $d_{i} = - 10 cm$ ).
Três raios principais localizam a imagem: paralelo e depois por $F^{'}$ ; em linha reta pelo centro; por $F$ e depois paralelo.
Um espelho côncavo obedece à mesma equação com $f = R /2$ ; suas imagens reais se formam à frente do espelho.

Distância focal, distâncias e sinais

Uma lente muito mais fina que as distâncias envolvidas é descrita por um único número, sua distância focal $f$ . Uma lente convergente reúne os raios que chegam paralelos ao eixo, a reta pelo seu centro perpendicular a ela, no foco distante $F^{'}$ , a uma distância $f$ atrás dela; o foco próximo $F$ fica à mesma distância à frente. Na animação, $f = 10 cm$ , e as marcas $2 F$ e $2 F^{'}$ estão duas vezes mais afastadas. Os ópticos citam a vergência $P = 1/ f$ , em dioptrias (D) com $f$ em metros: a lente da animação tem $P = 1/ (0, 10 m) = 10 D$ .

A luz viaja da esquerda para a direita. As distâncias $d_{o}$ do objeto e $d_{i}$ da imagem são medidas a partir da lente, as alturas $h_{o}$ e $h_{i}$ para cima a partir do eixo, e real conta como positivo. Uma lente convergente, mais espessa no meio, tem $f > 0$ ; uma divergente, mais fina no meio, tem $f < 0$ . Um $d_{i}$ positivo é uma imagem real do outro lado, que uma tela pode captar; um $d_{i}$ negativo é uma imagem virtual do lado do objeto, vista apenas através da lente.

A equação da lente delgada

Onde a imagem se forma e qual é o seu tamanho seguem de duas equações:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}$
$m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}$

A primeira soma inversos, não distâncias: calcule $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ e depois inverta o resultado. A segunda dá a ampliação $m$ , altura da imagem dividida pela altura do objeto. Seu módulo diz quantas vezes a imagem é maior, e um sinal negativo significa invertida; por isso uma imagem real de um objeto real, com as duas distâncias positivas, é sempre invertida. Para uma lente divergente com $f = - 10 cm$ e um objeto a 30 cm, $1/ d_{i} = - 1/10 - 1/30 = - 4/30 c m^{- 1}$ , então $d_{i} = - 7, 5 cm$ e $m = + 0, 25$ : uma imagem virtual e direita, com um quarto do tamanho.

Encontrando a imagem com três raios

Todo raio que sai da ponta do objeto e atravessa a lente chega à ponta da imagem, ou parece vir dela. Três são fáceis de desenhar, e a animação os mostra em cores:

O raio dourado chega paralelo ao eixo e sai pelo foco distante $F^{'}$ .
O raio verde passa em linha reta pelo centro, onde as duas faces são paralelas.
O raio azul passa pelo foco próximo $F$ e sai paralelo ao eixo.

Onde os raios se cruzam está a ponta da imagem; dois a determinam e o terceiro confere. Com o objeto dentro de $F$ , o raio azul começa ao longo da linha tracejada a partir de $F$ , e os raios saem da lente se afastando; seus prolongamentos para trás se encontram do lado do objeto, na ponta da imagem virtual.

O diagrama também fornece as equações. O raio verde forma triângulos semelhantes com o objeto e com a imagem, então $h_{i} / h_{o} = - d_{i} / d_{o}$ . O raio dourado desce da altura $h_{o}$ na lente até zero a uma distância $f$ adiante, então na imagem $h_{i} = h_{o} (1 - d_{i} / f)$ . Igualando as razões, $1 - d_{i} / f = - d_{i} / d_{o}$ , e dividindo por $d_{i}$ obtém-se a equação da lente delgada.

Exemplo resolvido: a seta da animação

A seta tem 5 cm de altura e a lente tem $f = 10 cm$ . Quando a seta passa por $d_{o} = 30 cm$ ,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} c m^{- 1}$
$d_{i} = 15 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0, 5$

A imagem é real, invertida e com metade do tamanho, $h_{i} = - 2, 5 cm$ , entre $F^{'}$ e $2 F^{'}$ , onde os três raios se cruzam. São as leituras de $d_{i}$ e $m$ naquele momento.

No início, $d_{o} = 34, 1 cm$ , a imagem é pequena: $d_{i} = 14, 2 cm$ , $m = - 0, 42$ . Em $2 F$ ela tem tamanho natural e fica em $2 F^{'}$ , com $m = - 1$ . Entre $2 F$ e $F$ ela é ampliada, como em um projetor: em 14,55 cm (leitura: 14,5), as leituras dão $d_{i} = 32, 0 cm$ e $m = - 2, 20$ . Perto de $F$ , a leitura mostra $d_{i} \to \infty$ ; em $F$ exatamente, os raios saem da lente paralelos.

Dentro de $F$ o sinal se inverte. Em 7,73 cm, $d_{i} = - 34, 0 cm$ e $m = + 4, 40$ ; no fim, $d_{o} = 5, 45 cm$ (leitura: 5,5), $d_{i} = - 12, 0 cm$ e $m = + 2, 20$ : uma imagem roxa, direita, com 11 cm de altura do lado do objeto. Isso é uma lupa. Em exatamente 5 cm, $1/ d_{i} = 1/10 - 1/5 = - 1/10$ , então $d_{i} = - 10 cm$ e $m = + 2$ .

Espelhos curvos seguem a mesma regra

Um espelho côncavo, curvo como o interior de uma colher, concentra a luz; um convexo a espalha. Raios paralelos ao eixo são refletidos por um espelho côncavo através de seu foco $F$ , a meio caminho do centro de curvatura $C$ :
$f = \frac{R}{2} (spherical mirror)$

O raio que vai até $C$ é a normal no ponto em que a luz incide; então um raio paralelo sai no mesmo ângulo em relação a ela, do outro lado. O raio, o raio de curvatura e o eixo formam um triângulo com dois ângulos iguais, o que, para ângulos pequenos, coloca o ponto de cruzamento exatamente a meio caminho entre $C$ e o espelho.

A mesma equação e a mesma ampliação valem, mas a luz volta; por isso o lado real fica à frente: imagens reais ( $d_{i} > 0$ ) se formam à frente do espelho, e imagens virtuais ( $d_{i} < 0$ ) atrás dele. Um espelho côncavo tem $f = + R /2$ e um convexo $f = - R /2$ . Um espelho plano, $R \to \infty$ , dá $d_{i} = - d_{o}$ e $m = + 1$ .

Exemplo resolvido: um espelho de maquiagem

Um espelho côncavo de maquiagem tem $R = 60 cm$ , logo $f = 30 cm$ . Com seu rosto a 15 cm,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = - \frac{1}{30} c m^{- 1}, d_{i} = - 30 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = + 2$
A imagem é virtual, direita e duas vezes o tamanho natural, 30 cm atrás do espelho; seus olhos a veem a 45 cm, confortável para focar.

Agora afaste-se até que seu rosto esteja a 90 cm do espelho:
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} = \frac{2}{90} c m^{- 1}, d_{i} = 45 cm, m = - \frac{45}{90} = - 0, 5$
Agora a imagem é real e invertida, suspensa no ar a 45 cm à frente do espelho, a meio caminho entre ele e você: um rosto pequeno e de cabeça para baixo, como no fundo de uma colher. A 30 cm, o foco, você vê apenas um borrão.

Erros comuns

Esquecer de inverter: $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 0, 067 c m^{- 1}$ ainda não é a resposta; seu inverso, 15 cm, é. Subtrair as distâncias, $30 - 10 = 20 cm$ , também está errado.
Cobrir metade da lente não corta metade da imagem: cada parte da lente envia luz de cada ponto do objeto ao seu ponto-imagem correspondente, então a imagem inteira permanece, apenas com metade do brilho.
Uma distância-imagem negativa não é erro: $d_{o} = 5 cm$ dá $d_{i} = - 10 cm$ , uma imagem virtual que você vê através da lente, mas não pode projetar em uma tela.
Lentes divergentes e espelhos convexos têm distâncias focais negativas: com $+ 10 cm$ em vez de $- 10 cm$ , um objeto a 30 cm pareceria dar uma imagem real a 15 cm, e não uma virtual a $- 7, 5 cm$ .
As imagens reais de um espelho se formam à frente dele: o espelho de maquiagem forma, a 45 cm à frente do vidro, a imagem de um rosto a 90 cm.

Onde você encontra isso

Uma câmera forma uma imagem real em um sensor: uma lente de celular com $f = 4, 0 mm$ forma a imagem de uma pessoa a 2,0 m em $d_{i} = 4, 008 mm$ , então refocalizar a partir de uma montanha distante desloca a imagem apenas 8 µm. Um projetor segura o slide logo além de $F$ , e uma lupa segura o objeto dentro de $F$ . Faróis colocam a lâmpada no foco de um espelho côncavo para obter um feixe paralelo; retrovisores convexos de carros dão uma visão ampla e reduzida.

Instrumentos com várias lentes são vistos em O olho, câmeras e telescópios; por que o vidro desvia a luz foi visto em Reflexão e refração, e as franjas coloridas de uma lente simples pertencem a Prismas, dispersão e cor.

Avançado

Ideias principais

Tempos iguais do objeto até a imagem: excesso de caminho $h^{2} /2 s$ contra a curvatura do vidro $h^{2} /2 R$ dá $1/ s + n / s^{'} = (n - 1) / R$ para todo $h$ .
$d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ é uma hipérbole; medida a partir dos focos, a forma de Newton $x_{o} x_{i} = f^{2}$ dá $m = - f / x_{o}$ .
Objeto e imagem real nunca ficam mais próximos que $4 f$ (com $d_{o} = d_{i} = 2 f$ , $m = - 1$ ); a profundidade é ampliada por $m^{2}$ .
Na ordem $h^{4}$ , raios marginais focalizam mais perto (aberração esférica); com tempos iguais dentro de um período, a difração ( $1, 22 λ / D$ ) domina.

Imagens como tempos de percurso iguais

Em Reflexão e refração, um raio era um caminho de tempo estacionário: caminhos vizinhos levam quase o mesmo tempo, então suas ondas elementares chegam em fase e se reforçam. Uma imagem é o caso extremo disso. Um ponto $I$ é a imagem de um ponto $O$ quando todo caminho de $O$ através da lente até $I$ leva o mesmo tempo. Todas as ondas elementares chegam então a $I$ em fase e se somam num ponto brilhante, enquanto logo ao lado de $I$ chegam com fases espalhadas e em grande parte se cancelam. Dois pontos assim ligados são chamados conjugados. Essa única condição, tempos iguais, gera todas as fórmulas desta lição, e sua falha explica por que as lentes reais ficam aquém.

A Figura 1 compara dois dos caminhos de $O$ até $I$ . O caminho 1 segue reto pelo eixo: uma distância $d_{o}$ no ar até a lente, a espessura central total $t_{0}$ do vidro, depois $d_{i}$ no ar até a imagem. O caminho 2 cruza o plano da lente a uma altura $h$ acima do eixo. Compare os dois caminhos trecho por trecho.

No ar, o caminho 2 é mais longo. Seu primeiro trecho reto é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos $d_{o}$ e $h$ , então excede $d_{o}$ por $d_{o}^{2} + h^{2} - d_{o}$ , que é cerca de $h^{2} /2 d_{o}$ quando $h$ é pequeno. Da mesma forma, seu segundo trecho excede $d_{i}$ em cerca de $h^{2} /2 d_{i}$ . No vidro, o caminho 2 é mais curto: na altura $h$ a lente tem apenas espessura $t$ , contra $t_{0}$ sobre o eixo.

A geometria por si só faria o caminho 2 chegar atrasado, então a lente precisa reter a luz perto do eixo na mesma medida. O vidro consegue isso porque a luz é $n$ vezes mais lenta nele. A luz atravessa uma espessura $t$ de vidro no tempo em que percorreria $n t$ no ar; trocar essa espessura de ar por vidro acrescenta um caminho óptico $(n - 1) t$ . O caminho 1 atravessa $t_{0} - t$ a mais de vidro que o caminho 2, e os dois tempos são iguais quando esse atraso extra compensa exatamente o trajeto mais longo do caminho 2 no ar:
$(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} h^{2} (\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}})$
O lado direito cresce com $h^{2}$ , então $t_{0} - t$ também deve crescer: o vidro precisa afinar à medida que se afasta do eixo. É por isso que uma lente convergente é mais espessa no meio.

Um número mostra quão fino é esse equilíbrio. Com $d_{o} = 30 cm$ e $d_{i} = 15 cm$ da animação, o caminho que passa por $h = 2 cm$ é mais longo em $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0, 1 cm = 2, 0 mm$ . Uma lente com $n = 1, 50$ compensa isso se for 4 mm mais espessa no centro do que 2 cm mais para fora, pois $0, 50 \cdot 4 mm = 2, 0 mm$ . Esses 2,0 mm equivalem a cerca de 3600 comprimentos de onda da luz verde, e a lente precisa anulá-los com precisão de uma fração de um comprimento de onda.

Dedução das equações da lente

O mesmo argumento de tempos, aplicado primeiro a uma superfície curva e depois a duas, produz a equação da lente delgada e a equação do fabricante de lentes. Ele também mostra por que superfícies esféricas simples são suficientemente boas.

A Figura 2 mostra o bloco básico: uma superfície esférica entre ar e vidro de índice $n$ . Seu centro de curvatura é $C$ e seu raio é $R$ ; o ponto em que ela cruza o eixo é o vértice. O objeto $O$ está a uma distância $s$ à frente do vértice, no ar, e a imagem $I$ a uma distância $s^{'}$ atrás dele, dentro do vidro. Como antes, o caminho 1 segue pelo eixo, e o caminho 2 encontra a superfície a uma altura $h$ que é pequena comparada com $s$ (a figura exagera essa altura).

Três efeitos decidem se os dois caminhos levam o mesmo tempo. Primeiro, antes da superfície o caminho 2 é mais longo em cerca de $h^{2} /2 s$ , pela mesma razão da Figura 1. Segundo, depois da superfície ele é mais longo em cerca de $h^{2} /2 s^{'}$ ; esse trecho está no vidro, então custa um caminho óptico $n h^{2} /2 s^{'}$ . Terceiro, a superfície se curva para longe de $O$ : na altura $h$ ela fica a uma pequena distância $z$ , sua flecha, atrás do plano do vértice (a linha vertical tracejada). Assim, o caminho 2 percorre cerca de $z$ a mais no ar antes de entrar no vidro, num trecho que o caminho 1 atravessa no vidro. Isso poupa ao caminho 2 um caminho óptico $(n - 1) z$ .

A flecha vem do triângulo retângulo da figura. Sua hipotenusa é o raio $R$ de $C$ até o ponto onde o caminho 2 encontra a superfície; seus catetos são a altura $h$ e a distância $R - z$ ao longo do eixo, de $C$ até o pé de $h$ . Logo $(R - z)^{2} + h^{2} = R^{2}$ , o que dá $z = R - R^{2} - h^{2}$ . Para $h ≪ R$ , a raiz vale cerca de $R - h^{2} /2 R$ , o que deixa $z \approx h^{2} /2 R$ . Os caminhos levam tempos iguais quando os dois comprimentos extras igualam a economia:
$\frac{h ^{2}}{2 s} + \frac{n h ^{2}}{2 s ^{'}} = \frac{( n - 1 ) h ^{2}}{2 R} \Rightarrow \frac{1}{s} + \frac{n}{s ^{'}} = \frac{n - 1}{R}$

Cada termo carrega o mesmo fator $h^{2}$ , que por isso se cancela. Nessa ordem, a condição não depende da altura: uma esfera leva os raios de todas as alturas ao mesmo ponto. É por isso que superfícies esféricas, que o desbaste do vidro produz naturalmente, funcionam.

Uma lente delgada é formada por duas dessas superfícies muito próximas, e sua espessura pode ser tratada como na Figura 1, como um atraso que varia com a altura. Primeiro, uma regra de sinais: um raio é positivo quando seu centro de curvatura está do lado para onde a luz se dirige; assim, uma lente biconvexa tem $R_{1} > 0$ para sua primeira face e $R_{2} < 0$ para a segunda. Cada superfície retira vidro proporcionalmente à sua flecha, então a espessura cai como $t (h) = t_{0} - \frac{1}{2} h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ .

Agora compare mais uma vez o caminho 2 com o caminho axial. Seu desvio no ar custa $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ , e o vidro que ele evita economiza $(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} (n - 1) h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . O tempo é o mesmo para todo $h$ apenas se os dois forem iguais, e de novo $h^{2}$ se cancela:
$\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{f}$

Essa linha sustenta duas leis ao mesmo tempo. Seu primeiro e último membros formam a equação da lente delgada, $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 1/ f$ ; seu segundo e último membros formam a equação do fabricante de lentes, $1/ f = (n - 1) (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . A distância focal $f$ é a distância-imagem de um objeto muito distante. O lado esquerdo depende apenas de onde estão $O$ e $I$ , o lado direito apenas do vidro e de sua forma; por isso uma lente forma a imagem de cada plano de uma cena em seu próprio plano conjugado. A lente da animação, $f = 10 cm$ , poderia ser uma lente simétrica de vidro com $n = 1, 50$ e $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ : $0, 50 \cdot (1/10 + 1/10) = 1/10$ por centímetro.

Forma de Newton e a hipérbole

Como a imagem se move quando o objeto se aproxima da lente? Um gráfico da equação da lente responde a isso, e medir as distâncias a partir dos focos transforma a equação em sua forma mais simples.

A Figura 3 traça a distância-imagem $d_{i}$ em função da distância-objeto $d_{o}$ , como faz o gráfico no nível avançado da animação. As distâncias seguem a convenção de que o real é positivo: $d_{i} > 0$ é uma imagem real do outro lado da lente, $d_{i} < 0$ uma imagem virtual do lado do objeto. Resolvida para a imagem, a equação da lente dá $d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ , uma hipérbole. Suas assíntotas tracejadas são $d_{o} = f$ , onde o denominador se anula e a imagem vai ao infinito, e $d_{i} = f$ , para onde a imagem se aproxima quando o objeto se afasta até o infinito.

Observe primeiro os dois ramos. O ramo superior, marcado $d_{i} > 0$ , contém as imagens reais de objetos além do foco. O ramo inferior, marcado $d_{i} < 0$ , contém as imagens virtuais de objetos dentro do foco: ele se aproxima da assíntota $d_{o} = f$ bem abaixo do eixo e sobe até a origem quando $d_{o} \to 0$ . A ampliação é $m = - d_{i} / d_{o}$ , a altura da imagem dividida pela altura do objeto, negativa quando a imagem é invertida. O ponto marcado em $2 f$ é o vértice do ramo real, $(2 f, 2 f)$ , onde $d_{i} = d_{o}$ e portanto $m = - 1$ : uma imagem invertida de mesmo tamanho.

Agora meça as duas distâncias a partir dos focos, em vez da lente: $x_{o} = d_{o} - f$ na horizontal e $x_{i} = d_{i} - f$ na vertical. Multiplicando a equação da lente por $f d_{o} d_{i}$ , obtém-se $d_{o} d_{i} = f d_{o} + f d_{i}$ . Passando o lado direito para a esquerda e somando $f^{2}$ aos dois lados, vem $d_{o} d_{i} - f d_{o} - f d_{i} + f^{2} = f^{2}$ , cujo lado esquerdo é $(d_{o} - f) (d_{i} - f)$ . Esta é a forma de Newton da equação da lente:
$x_{o} x_{i} = f^{2}$

Na figura, ela é o retângulo sombreado. Desenhado no ponto marcado $d_{o} = 3 f$ , ele tem lados $x_{o} = 2 f$ ao longo da base e $x_{i} = f /2$ subindo pela lateral, então sua área é $f^{2}$ . Um retângulo desenhado do canto $(f, f)$ até qualquer outro ponto da curva tem a mesma área; no vértice, é o quadrado $f \times f$ . A ampliação também assume uma forma igualmente simples. A equação resolvida dá $d_{i} / d_{o} = f / (d_{o} - f) = f / x_{o}$ , e a forma de Newton transforma $f / x_{o}$ em $x_{i} / f$ :
$m = - \frac{f}{x _{o}} = - \frac{x _{i}}{f}$
Confira com o objeto da animação a 30 cm: $x_{o} = 20 cm$ , então $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , o que de novo dá $d_{i} = 15 cm$ , e $m = - 10/20 = - 0, 5$ .

Na animação, um ponto vermelho percorre o ramo real. Ele começa em $(34, 1, 14, 2)$ , em centímetros, passa pelo vértice $(20, 20)$ e deixa o topo do painel em $d_{i} = 60 cm$ , quando $d_{o} = 12 cm$ . Depois que o objeto passa por $F$ , um ponto roxo entra no ramo virtual por baixo em $d_{i} = - 40 cm$ , quando $d_{o} = 8 cm$ , e sobe até $- 12 cm$ . Prolongado até $d_{o} \to 0$ , esse ramo chega à origem, onde $m = - f / x_{o} \to + 1$ : uma lupa deitada sobre a página não amplia nada.

A inclinação da curva mostra a velocidade com que a imagem se move. Como $d_{i} = f + f^{2} / x_{o}$ , e $x_{o}$ muda exatamente como $d_{o}$ , a inclinação é $d (d_{i}) / d (d_{o}) = - f^{2} / x_{o}^{2} = - m^{2}$ . O sinal de menos significa que, à medida que o objeto se aproxima da lente, a imagem real se afasta dela: ambos se movem no espaço na mesma direção, a imagem $m^{2}$ vezes mais longe. Assim, a profundidade é ampliada por $m^{2}$ , mas a altura apenas por $m$ . A inclinação vale $- 0, 25$ a 30 cm e $- 4, 84$ a 14,55 cm.

Por fim, a distância do objeto à imagem real é $d_{o} + d_{i} = 2 f + x_{o} + f^{2} / x_{o}$ . A soma $x_{o} + f^{2} / x_{o}$ é mínima em $x_{o} = f$ , onde sua derivada $1 - f^{2} / x_{o}^{2}$ se anula. Objeto e imagem real nunca ficam mais próximos que $4 f$ , atingido em $d_{o} = d_{i} = 2 f$ com $m = - 1$ . Na animação, a distância cai de 48,2 cm para 40 cm em $2 F$ e depois volta a crescer. O problema resolvido abaixo se apoia nesse mínimo.

Espelhos e sistemas de lentes

Espelhos obedecem à mesma equação com uma mudança, e um sistema de várias lentes também pode ser reduzido a ela.

Para um espelho, a luz volta, então a flecha conta duas vezes. Um espelho côncavo de raio $R$ se curva em direção ao objeto: na altura $h$ , sua superfície fica $h^{2} /2 R$ mais perto do objeto do que o vértice. Isso encurta o caminho 2 em $h^{2} /2 R$ na ida e de novo na volta, enquanto seus trechos inclinados acrescentam $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ , como antes. Tempos iguais exigem então $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = h^{2} / R$ , ou seja, $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 2/ R$ : um espelho obedece à equação da lente delgada com $f = R /2$ . A luz nunca entra no vidro, então um espelho não tem dispersão nem erro de cor, uma das razões pelas quais grandes telescópios são refletores.

Para a luz das estrelas, que chega paralela ao eixo, uma esfera não é exatamente a forma certa. Um paraboloide torna os tempos exatamente iguais: cada ponto de uma parábola está tão longe de seu foco quanto de uma reta fixa, sua diretriz, de modo que todo caminho refletido de uma estrela distante até o foco tem o mesmo comprimento. Uma esfera se afasta desse paraboloide em cerca de $h^{4} /8 R^{3}$ , o termo seguinte de sua flecha. Na borda de um espelho de 20 cm de diâmetro com $f = 1, 0 m$ , logo $R = 2, 0 m$ e $h = 0, 10 m$ , isso dá 1,6 µm. A reflexão dobra esse valor para cerca de 3 µm de caminho, mais de cinco comprimentos de onda da luz visível; por isso espelhos assim são parabolizados. O espelho de 2,4 m do Hubble, polido cerca de 2 µm plano demais na borda, produziu imagens borradas até que óptica corretiva fosse instalada em 1993.

Lentes delgadas em contato simplesmente somam seus atrasos, então suas vergências $P = 1/ f$ se somam: $P = P_{1} + P_{2}$ , em dioptrias (D) quando $f$ está em metros. Duas lentes da animação, de 10 D cada, dão 20 D, $f = 5 cm$ . Lentes com espaços entre elas são tratadas uma de cada vez: a imagem formada por um elemento serve de objeto para o seguinte. Se a luz ainda está convergindo ao chegar ao próximo elemento, seu objeto fica além dele; ele conta como objeto virtual, $d_{o} < 0$ , no ramo roxo da Figura 3 prolongado além da origem. Em aproximação paraxial, qualquer sistema no ar tem dois focos e dois planos principais, os planos a partir dos quais suas distâncias são medidas, e $x_{o} x_{i} = f^{2}$ vale com sua distância focal efetiva.

Problema resolvido: lâmpada, lente e tela

Este experimento de bancada usa a distância mínima $4 f$ para medir $f$ sem precisar localizar o foco da lente.

Na Figura 4, uma lâmpada, com uma seta de 5 cm como objeto, e uma tela ficam separadas por $L = 45 cm$ . A lente da animação, $f = 10 cm$ , desliza entre elas. Onde a imagem na tela fica nítida, e como isso dá $f$ ?

Uma imagem nítida exige $d_{o} + d_{i} = L$ . Substituindo $d_{i} = L - d_{o}$ na equação da lente e multiplicando por $f d_{o} (L - d_{o})$ , obtém-se $f L = d_{o} (L - d_{o})$ , uma equação do segundo grau em $d_{o}$ :
$d_{o}^{2} - L d_{o} + L f = 0, d_{o} = \frac{L \pm L ^{2} - 4 L f}{2} = \frac{45 \pm 15}{2} cm$
Assim, a lente funciona a 30 cm da lâmpada, com a imagem 15 cm além dela (posição 1 na figura), e a 15 cm da lâmpada, com a imagem 30 cm além dela (posição 2).

As duas posições são trocadas entre si, como exige a reversibilidade dos caminhos da luz: se $O$ tem imagem em $I$ , então $I$ tem imagem em $O$ . Compare as duas linhas de distâncias na figura: na posição 2 a lente está a $d_{i}$ da lâmpada e a $d_{o}$ da tela, os mesmos dois comprimentos trocados. A seta de 5 cm tem imagem de 2,5 cm de altura, com $m = - 0, 5$ , na posição 1, e de 10 cm de altura, com $m = - 2$ , na posição 2. As duas ampliações, $- d_{i} / d_{o}$ e $- d_{o} / d_{i}$ , multiplicam-se para 1, e a altura do objeto é a média geométrica das duas alturas de imagem, $2, 5 \cdot 10 = 5 cm$ .

A raiz quadrada só é real se $L \geq 4 f$ , a distância mínima encontrada acima. A 40 cm, as duas posições se fundem em $d_{o} = 20 cm$ ; com a tela mais perto do que isso, nenhuma posição dá uma imagem nítida.

O método também funciona ao contrário, para uma lente desconhecida. Meça $L$ e o deslocamento $a$ da lente entre suas duas posições nítidas, o $a$ da Figura 4, aqui $30 - 15 = 15 cm$ . As duas raízes diferem por $a = L^{2} - 4 L f$ , então
$f = \frac{L ^{2} - a ^{2}}{4 L} = \frac{4 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{4 \cdot 45} = 10 cm$
a partir de dois comprimentos medidos ao longo da bancada, sem precisar saber de qual ponto dentro da lente medir.

Aberrações: onde os tempos iguais falham

Tudo até aqui manteve apenas os termos em $h^{2}$ . As lentes reais ficam aquém do ideal porque os termos seguintes não se cancelam, e porque $n$ depende da cor.

Na ordem $h^{4}$ , os tempos através de uma lente esférica deixam de concordar, e os raios externos focalizam mais perto do que os raios paraxiais, os próximos do eixo. Isso é a aberração esférica. Calculada exatamente para a lente simétrica acima, de 4 cm de diâmetro, raios paralelos pela borda cruzam o eixo cerca de 7 mm antes do foco paraxial, e raios à metade dessa altura cerca de 1,6 mm antes. Reduzir a altura à metade diminui o deslocamento a cerca de um quarto: ele cresce com $h^{2}$ . Uma abertura menor e superfícies asféricas reduzem o efeito.

Como $n$ depende do comprimento de onda, $f$ também depende: essa é a aberração cromática. O vidro crown tem $n = 1, 514$ para a luz vermelha e 1,522 para a azul. Como $1/ f \propto n - 1$ , o foco azul fica mais próximo na razão $0, 522/0, 514$ , cerca de 1,5 %, o que dá cerca de 1,5 mm para uma lente de 10 cm. Um dupleto acromático acrescenta uma lente divergente mais fraca de vidro flint. O flint espalha as cores mais que o crown, então a lente flint fraca cancela o erro de cor da lente crown forte, retirando apenas parte da potência dela. Pontos fora do eixo acrescentam outros erros, coma, astigmatismo e distorção, que os projetistas equilibram com elementos asféricos.

Limites de validade

A lei da lente delgada supõe raios paraxiais, espessura pequena comparada com $f$ e ar dos dois lados. A última suposição falha na água, onde o que importa é o índice do vidro relativo ao da água. Uma lente com $n = 1, 50$ passa então a funcionar com $1, 50/1, 33 - 1 = 0, 13$ em vez de 0,50, e sua distância focal quase quadruplica. A córnea, a superfície refratora mais forte do olho, perde a maior parte de sua potência pelo mesmo motivo, porque o fluido atrás dela tem índice quase igual ao da água: daí o borrão debaixo d'água sem máscara.

O limite mais profundo é a natureza ondulatória da luz. Os tempos só precisam concordar dentro de uma fração de período, cerca de um quarto (critério de Rayleigh): as ondas na imagem ficam então quase em fase, e polir mais ainda ganha pouco. O que resta é a difração. Mesmo uma lente perfeita de diâmetro $D$ forma a imagem de um ponto como um pequeno disco com anéis fracos, o disco de Airy, cujo raio angular é $1, 22 λ / D$ . Para a lente de 4 cm e luz verde (550 nm), isso dá $1, 7 \times 1 0^{- 5} rad$ , uma mancha de 1,7 µm de raio em seu foco a 10 cm. Uma pupila de 3 mm de diâmetro dá cerca de 0,8 minuto de arco, perto da visão humana mais nítida. Ampliar além disso apenas aumenta o borrão; não revela detalhes novos.

Para onde isso leva

O olho, câmeras e telescópios colocam essas lentes em uso: o olho como uma lente de cerca de 60 D, a lupa com ampliação angular de cerca de $25 cm / f$ , e o telescópio como objetiva e ocular. A dispersão por trás da aberração cromática veio de Prismas, dispersão e cor. Difração e fenda dupla explica o limite de resolução, e em Dualidade onda-partícula fótons isolados somam suas amplitudes em todos os caminhos até a imagem.

Em A gravidade como espaço-tempo curvo, a massa atua como uma lente. O Sol desvia um raio que passa rente à sua borda em 1,75 segundo de arco. Uma lente de vidro desvia um raio tanto mais quanto mais longe do eixo ele passa; a gravidade faz o oposto, pois a deflexão cai com $1/ b$ , sendo $b$ a distância do raio ao centro. Assim, não há um foco único: raios que passam rentes ao Sol se encontram a cerca de 550 UA, e raios que passam mais longe se encontram ainda mais longe. Galáxias que funcionam como lentes para galáxias mais distantes produzem múltiplas imagens e anéis.

Fórmulas principais

Equação da lente delgada

\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}

Os inversos das distâncias do objeto e da imagem somam o inverso da distância focal, para qualquer posição do objeto. Ela decorre de triângulos semelhantes no diagrama de raios, ou da exigência de que todo caminho de um ponto do objeto até seu ponto-imagem leve o mesmo tempo. Resolva-a como $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ e inverta no final; um resultado negativo significa imagem virtual.

Símbolos
$f$	distância focal, positiva para lente convergente ou espelho côncavo	$m$
$d_{o}$	distância do objeto, do objeto até a lente	$m$
$d_{i}$	distância da imagem, positiva para imagem real e negativa para virtual	$m$

Quando vale: Para lentes delgadas e espelhos esféricos com raios paraxiais, na convenção em que o real é positivo. Lentes espessas e sistemas de lentes precisam de distâncias medidas a partir dos planos principais, e raios longe do eixo sofrem aberrações.

Exemplo: A lente da animação, $f = 10 cm$ , com $d_{o} = 30 cm$ : $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 2/30$ , logo $d_{i} = 15 cm$ .

Ampliação

m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}

A razão entre a altura da imagem e a altura do objeto. O raio que passa pelo centro da lente segue em linha reta e forma com o objeto e com a imagem dois triângulos semelhantes, por isso as alturas estão na razão das distâncias. O sinal de menos registra que uma imagem real de um objeto real é invertida: $m < 0$ significa invertida, $m > 0$ direita e $∣ m ∣ > 1$ ampliada.

Símbolos
$m$	ampliação
$h_{i}$	altura da imagem, negativa quando invertida	$m$
$h_{o}$	altura do objeto	$m$
$d_{i}$	distância da imagem	$m$
$d_{o}$	distância do objeto	$m$

Quando vale: Para lentes delgadas e espelhos com raios paraxiais, e apenas para tamanhos transversais ao eixo: a profundidade ao longo do eixo é ampliada por $m^{2}$ .

Exemplo: Objeto a 30 cm, imagem a 15 cm: $m = - 15/30 = - 0, 5$ , logo a seta de 5 cm dá uma imagem invertida de 2,5 cm de altura.

Vergência

P = \frac{1}{f} (dioptres, f in metres : f = 10 cm \to P = 10 D)

A vergência é o inverso da distância focal: quanto menor a distância focal, com mais força a lente desvia a luz. Com $f$ em metros, ela sai em dioptrias, $1 D = 1 m^{- 1}$ . Sua utilidade é que as vergências de lentes delgadas em contato simplesmente se somam, por isso os óculos são receitados em dioptrias.

Símbolos
$P$	vergência, em dioptrias (D)	$m^{- 1}$
$f$	distância focal, em metros	$m$

Quando vale: Para lentes delgadas: uma lente convergente tem $P > 0$ , uma divergente $P < 0$ . As vergências só se somam para lentes delgadas em contato; lentes separadas por uma distância $d$ combinam-se como $1/ F = 1/ f_{1} + 1/ f_{2} - d / (f_{1} f_{2})$ .

Exemplo: $f = 10 cm = 0, 10 m$ dá $P = 10 D$ ; somando uma lente de leitura de +2,5 D, obtém-se 12,5 D, logo $f = 8 cm$ .

Distância focal de um espelho esférico

f = \frac{R}{2} (spherical mirror)

Um raio paralelo ao eixo é refletido por um espelho esférico no mesmo ângulo em relação ao raio da esfera, que ali é a normal; por isso ele cruza o eixo exatamente a meio caminho entre o espelho e o centro de curvatura. Com essa distância focal, um espelho obedece à mesma equação de uma lente delgada, com suas imagens reais à frente dele.

Símbolos
$f$	distância focal do espelho	$m$
$R$	raio de curvatura, como comprimento; um espelho convexo tem $f = - R /2$	$m$

Quando vale: Para raios paraxiais. Raios que incidem longe do eixo o cruzam mais perto do espelho (aberração esférica); um espelho parabólico foca a luz paralela exatamente.

Exemplo: Um espelho de maquiagem com $R = 60 cm$ tem $f = 30 cm$ ; um espelho convexo de carro com $R = 2, 0 m$ tem $f = - R /2 = - 1, 0 m$ .

Equação do fabricante de lentes

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) (lens in air; biconvex : R_{1} > 0, R_{2} < 0)

A distância focal de uma lente delgada decorre de seu vidro e de sua forma. As curvaturas $1/ R_{1} - 1/ R_{2}$ determinam quanto mais espessa a lente é no meio, e o vidro atrasa a luz $n - 1$ vezes essa espessura: exatamente o suficiente para que todo caminho de um ponto até sua imagem tenha o mesmo tempo de percurso. Um raio de curvatura é considerado positivo quando seu centro de curvatura está do lado para onde a luz vai.

Símbolos
$f$	distância focal da lente	$m$
$n$	índice de refração do vidro
$R_{1}$	raio de curvatura da superfície que a luz encontra primeiro	$m$
$R_{2}$	raio de curvatura da segunda superfície	$m$

Quando vale: Para uma lente delgada no ar com raios paraxiais. Em um meio de índice $n_{m}$ , substitua $n - 1$ por $n / n_{m} - 1$ ; uma lente espessa precisa de uma correção que depende de sua espessura.

Exemplo: Vidro com $n = 1, 50$ e $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ : $1/ f = 0, 50 \cdot (0, 10 + 0, 10) = 0, 10 c m^{- 1}$ , logo $f = 10 cm$ , a lente da animação.

Forma de Newton da equação da lente

x_{o} x_{i} = f^{2}

Meça a distância do objeto até o foco próximo e a distância da imagem até o foco distante: o produto delas é sempre $f^{2}$ . É a equação da lente reescrita, e ela torna a ampliação simples, $m = - f / x_{o} = - x_{i} / f$ . As duas distâncias têm o mesmo sinal: um objeto além de $F$ dá uma imagem além de $F^{'}$ .

Símbolos
$x_{o}$	distância do objeto ao foco próximo $F$ , $d_{o} - f$	$m$
$x_{i}$	distância da imagem ao foco distante $F^{'}$ , $d_{i} - f$	$m$
$f$	distância focal	$m$

Quando vale: Para qualquer sistema de lentes no ar, no limite paraxial, com sua distância focal efetiva, pois precisa apenas das posições dos dois focos; isso a torna a forma geral para lentes espessas e sistemas compostos.

Exemplo: Objeto a 30 cm da lente da animação: $x_{o} = 20 cm$ , logo $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , e a imagem fica $10 + 5 = 15 cm$ atrás da lente.

Glossário

Lente convergente: Uma lente mais espessa no meio do que nas bordas, com $f > 0$ : ela reúne raios que chegam paralelos ao eixo em um foco real. Forma imagens reais e invertidas de objetos além de $F$ , e imagens virtuais ampliadas de objetos dentro dele.
Lente divergente: Uma lente mais fina no meio do que nas bordas, com $f < 0$ : ela espalha raios paralelos como se viessem de um foco virtual à sua frente. De qualquer objeto real, forma uma imagem virtual, direita e reduzida.
Eixo óptico: A reta que passa pelo centro de uma lente ou espelho, perpendicular a eles, sobre a qual estão seus focos e centros de curvatura. Distâncias ao longo dela e alturas em relação a ela descrevem objetos e imagens.
Ponto focal: O ponto onde raios que chegam paralelos ao eixo se encontram após a lente ou o espelho, ou do qual parecem se espalhar. Uma lente delgada tem um de cada lado, $F$ e $F^{'}$ , à mesma distância $f$ ; um espelho esférico tem seu foco a meio caminho do centro de curvatura.
Imagem real: Uma imagem em que a luz realmente converge após a lente ou o espelho, de modo que pode ser captada em uma tela ou sensor. Uma única lente ou espelho a forma invertida, com distância-imagem positiva.
Imagem virtual: Uma imagem da qual a luz apenas parece vir: os raios que saem da lente ou do espelho se afastam, e só seus prolongamentos para trás se encontram. Pode ser vista e fotografada, mas não captada em uma tela, como na lupa ou no espelho plano.
Raios principais: Três raios saindo da ponta de um objeto que são fáceis de desenhar: paralelo ao eixo e depois por $F^{'}$ , em linha reta pelo centro, e por $F$ e depois paralelo. Quaisquer dois localizam a imagem, mas toda a luz que atravessa a lente forma a imagem.
Vergência: Quão fortemente uma lente ou espelho converge a luz, $P = 1/ f$ , em dioptrias (D) com $f$ em metros: a lente da animação, com $f = 10 cm$ , tem 10 D. As vergências de lentes delgadas em contato se somam, e uma lente divergente tem vergência negativa.
Espelhos côncavos e convexos: Um espelho côncavo, curvo como o interior de uma tigela, converge a luz, com $f = R /2$ ; um convexo, curvado para fora, a espalha, com $f = - R /2$ . Um espelho forma suas imagens reais à sua frente e suas imagens virtuais atrás dele.
Pontos conjugados: Um ponto do objeto e seu ponto-imagem. Todo caminho da luz entre eles através do sistema leva o mesmo tempo, então a luz de um é reunida no outro; os papéis podem ser trocados, pois os caminhos da luz são reversíveis.
Aproximação paraxial: Tratar todos os raios como próximos do eixo e quase paralelos a ele, de modo que as diferenças de caminho são mantidas apenas até a ordem $h^{2}$ e $sin θ \approx θ$ . As equações da lente delgada e do espelho valem exatamente apenas nesse limite.
Aberração: Qualquer desvio de uma lente ou espelho real em relação à formação perfeita de imagens. A aberração esférica faz os raios externos focalizarem mais perto, a aberração cromática dá a cada cor um foco próprio, e coma, astigmatismo e distorção prejudicam os pontos fora do eixo.

Grandezas
$f$	Distância focal	$m$	Distância de uma lente delgada ou espelho até seus focos: positiva para as convergentes, negativa para as divergentes. A lente da animação tem $f = 10 cm$ .
$d_{o}$	Distância do objeto	$m$	Distância do objeto até a lente ou o espelho, positiva para um objeto real à sua frente: na animação, de 34,1 cm até 5,45 cm.
$d_{i}$	Distância da imagem	$m$	Distância da lente ou do espelho até a imagem: positiva para imagem real (atrás de uma lente, à frente de um espelho), negativa para virtual. Vale 15 cm quando $d_{o} = 30 cm$ na animação.
$h_{o}$	Altura do objeto	$m$	Altura do objeto acima do eixo: a seta da animação tem 5 cm de altura.
$h_{i}$	Altura da imagem	$m$	Altura da imagem medida a partir do eixo, negativa quando a imagem é invertida: $- 2, 5 cm$ para a seta a 30 cm.
$m$	Ampliação		Altura da imagem dividida pela altura do objeto, $m = - d_{i} / d_{o}$ . Seu módulo diz quantas vezes maior é a imagem; seu sinal, se ela é direita ( $m > 0$ ) ou invertida ( $m < 0$ ).
$R$	Raio de curvatura	$m$	Raio da esfera da qual uma superfície de espelho ou lente é parte. Tomado como comprimento, dá $f = + R /2$ para um espelho côncavo e $f = - R /2$ para um convexo; contar $R$ como negativo para um espelho convexo faz $f = R /2$ valer nos dois casos.
$n$	Índice de refração		Quantas vezes a luz viaja mais devagar no material da lente do que no vácuo, cerca de 1,50 para vidro comum. Junto com as curvaturas, ele define a distância focal de uma lente.
$x_{o}$	Distância do objeto ao foco	$m$	Distância do objeto ao foco próximo $F$ , $x_{o} = d_{o} - f$ ; negativa quando o objeto está dentro da distância focal.
$x_{i}$	Distância da imagem ao foco	$m$	Distância da imagem ao foco distante $F^{'}$ , $x_{i} = d_{i} - f$ , ligada a $x_{o}$ pela forma de Newton $x_{o} x_{i} = f^{2}$ .

Quiz

Iniciante Uma lupa mantida ao sol queima um pequeno ponto brilhante em um papel. Onde está o papel?
1. No foco da lente
2. Encostado na lente
3. Duas vezes mais longe que o foco
4. Em qualquer lugar, a distância não importa
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Resposta: A. No foco da lente
A luz solar paralela é reunida no foco; por isso o ponto é menor e mais quente quando o papel está a uma distância focal da lente.
Iniciante Uma lente convergente projeta uma árvore distante sobre uma folha de papel. Como é a imagem no papel?
1. Direita e maior
2. Direita e menor
3. De cabeça para baixo e menor
4. Não há imagem no papel
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Resposta: C. De cabeça para baixo e menor
Um objeto distante forma uma imagem real logo além do foco: pequena e invertida, como a imagem dentro de uma câmera.
Iniciante Quando você olha um pequeno inseto por uma lupa mantida bem perto dele, a imagem que vê é...
1. direita e maior
2. de cabeça para baixo e maior
3. direita e menor
4. de cabeça para baixo e menor
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Resposta: A. direita e maior
Com o objeto dentro da distância focal, a lente forma uma imagem virtual, direita e ampliada.
Intermediário Um objeto está a 30 cm de uma lente convergente de distância focal 10 cm. Onde está a imagem?
1. A 20 cm da lente
2. A 15 cm da lente
3. A 7,5 cm da lente
4. A 40 cm da lente
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Resposta: B. A 15 cm da lente
1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, logo dᵢ = 15 cm. Subtrair as distâncias (30 − 10 = 20) é um erro comum.
Intermediário Uma lente convergente projeta a imagem nítida de uma vela sobre uma tela. Você cobre a metade superior da lente com cartolina preta. O que acontece com a imagem?
1. A metade superior da imagem desaparece
2. A metade inferior da imagem desaparece
3. A imagem fica com metade do tamanho
4. A imagem inteira continua lá, apenas mais escura
Mostrar resposta
Resposta: D. A imagem inteira continua lá, apenas mais escura
Cada parte da lente recebe luz de cada ponto da vela e a envia ao ponto-imagem correspondente; a metade descoberta, portanto, ainda forma a imagem completa e apenas capta metade da luz.
Intermediário O que acontece com o raio principal que passa pelo centro de uma lente delgada?
1. Ele segue em linha reta, sem ser desviado
2. Ele sai paralelo ao eixo
3. Ele passa pelo foco distante
4. Ele é refletido de volta
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Resposta: A. Ele segue em linha reta, sem ser desviado
No centro, as duas faces de uma lente delgada são paralelas, então o raio atravessa em linha reta, com um deslocamento desprezível.
Avançado O espelho convexo de segurança de uma loja tem raio de curvatura de 1,0 m. Uma cliente fica a 4,0 m dele. Onde está a imagem dela?
1. 0,57 m à frente do espelho, invertida
2. 0,44 m atrás do espelho, direita e com cerca de 1/9 do tamanho
3. 4,0 m atrás do espelho, do mesmo tamanho
4. 0,50 m atrás do espelho, no foco
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Resposta: B. 0,44 m atrás do espelho, direita e com cerca de 1/9 do tamanho
Um espelho convexo tem f = −R/2 = −0,50 m, logo 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = −2,00 − 0,25 = −2,25 m⁻¹ e dᵢ ≈ −0,44 m: uma imagem virtual atrás do espelho, com m = −dᵢ/dₒ ≈ +0,11, direita e reduzida. Esquecer o sinal (f = +0,50 m) dá 0,57 m e uma imagem invertida. Essa visão reduzida e ampla é o motivo de esses espelhos mostrarem a loja inteira.
Avançado No gráfico dᵢ(dₒ) de uma lente convergente, o que significa fisicamente a assíntota vertical em dₒ = f?
1. A imagem fica o menor possível
2. Os raios do objeto saem da lente paralelos, então a imagem está no infinito
3. A imagem cai sobre a própria lente
4. A lente deixa de refratar a luz
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Resposta: B. Os raios do objeto saem da lente paralelos, então a imagem está no infinito
Com o objeto em F, 1/dᵢ = 1/f − 1/f = 0: os raios que saem são paralelos e só se encontram no infinito; ao cruzar F, a imagem muda de real para virtual.

$O$	Ponto do objeto.
$I$	Ponto da imagem: onde todos os caminhos de $O$ chegam no mesmo tempo.
$d_{o}$	Distância de $O$ até a lente, ao longo do eixo.	$m$
$d_{i}$	Distância da lente até $I$ , ao longo do eixo.	$m$
$h$	Altura acima do eixo em que o caminho 2 cruza a lente.	$m$
$t_{0}$	Espessura da lente sobre o eixo: o vidro que o caminho 1 atravessa.	$m$
$t$	Espessura da lente na altura $h$ : o vidro que o caminho 2 atravessa.	$m$

$O$	Ponto do objeto, no ar.
$I$	Ponto da imagem, dentro do vidro.
$C$	Centro de curvatura da superfície.
$R$	Raio da superfície: a distância de $C$ ao vértice e a qualquer ponto da superfície.	$m$
$s$	Distância do objeto: de $O$ até o vértice da superfície.	$m$
$s^{'}$	Distância da imagem: do vértice até $I$ , dentro do vidro.	$m$
$h$	Altura acima do eixo em que o caminho 2 encontra a superfície.	$m$
$z$	Flecha: quanto atrás do plano do vértice a superfície está na altura $h$ .	$m$
$n$	Índice de refração do vidro; o ar tem índice 1.

$d_{o}$	Distância do objeto: do objeto até a lente.	$m$
$d_{i}$	Distância da imagem: positiva para imagem real atrás da lente, negativa para virtual.	$m$
$f$	Distância focal: ela fixa as duas assíntotas e o vértice $(2 f, 2 f)$ .	$m$
$x_{o}$	Distância do objeto medida a partir do foco: $d_{o} - f$ .	$m$
$x_{i}$	Distância da imagem medida a partir do foco: $d_{i} - f$ .	$m$

$L$	Distância da lâmpada à tela, fixa.	$m$
$a$	Deslocamento da lente entre suas duas posições nítidas.	$m$
$d_{o}$	Distância da lâmpada até a lente na posição 1, e da lente até a tela na posição 2.	$m$
$d_{i}$	Distância da lente até a tela na posição 1, e da lâmpada até a lente na posição 2.	$m$