透镜与面镜

焦距为 $f$ 的薄透镜或曲面镜会在由 $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ 给出的距离处成像，放大率为 $m = - d_{i} / d_{o}$ 。当物体位于焦点之外时，会聚透镜成倒立的实像；当物体位于焦点之内时，成正立、放大的虚像。

物体箭头向会聚透镜靠近：位于焦点之外时，像为倒立的实像；到达焦点时像消失；位于焦点之内时，变为正立、放大的虚像。

学习本主题之前: 反射与折射

入门

核心概念

中间厚、边缘薄的透镜是会聚透镜：它把平行光线会聚到一点，即焦点。
焦距是透镜到焦点的距离；透镜越厚、弯曲越厉害，焦距越短。
远处的物体成一个小而倒立的实像，可以用屏幕接收，如相机和眼睛中的成像。
在焦点之内，透镜成正立、放大的虚像：这就是放大镜。

第 1 步，形状决定。中间比边缘厚的透镜是会聚透镜。透镜的每一部分都像一个小棱镜：倾斜的边缘使光线大幅偏折，几乎平坦的中间部分几乎不偏折，因此并排到达的光线被引向彼此靠拢。

第 2 步，焦点。像阳光这样的平行光会被会聚到一个点，即焦点；放大镜正是这样把纸上的一个点烧焦的。从透镜到焦点的距离称为焦距。透镜越厚、弯曲越厉害，弯折光线越强，焦距越短。

第 3 步，实像。物体上一点发出的光线，在透镜后方会再次相交于一点，所有这些点合起来就构成了像。在那里放一张纸，图像就会出现在纸上，而且是倒立的。由真实到达的光线形成的像称为实像；相机和眼睛都利用实像。

在动画中，黑色箭头向透镜走近。它远离时，其红色的像很小且倒立；随着它靠近，像远离透镜并变大。当箭头到达焦点时，光线以平行光束射出，不会形成像。

第 4 步，虚像。在焦点之内，光线离开透镜后向外发散，永不相交。你的眼睛沿光线反向追溯，会看到物体一侧一个正立、放大的紫色像：这就是放大镜。那个位置并没有光线到达，所以这个像称为虚像，就像你在平面镜后看到的镜中像。

自测：透镜把一盏灯投影到墙上。你把灯移得更远，墙必须靠近还是远离？（靠近：物体越远，像离透镜越近。）

中级

核心概念

薄透镜： $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ ， $m = - d_{i} / d_{o}$ ； $f = 10 cm$ 且 $d_{o} = 30 cm$ 时， $d_{i} = 15 cm$ ， $m = - 0.5$ 。
实像取正： $d_{i} > 0$ 为可在屏幕上接收的实像； $d_{i} < 0$ 为虚像，位于物体一侧（ $d_{o} = 5 cm$ 时， $d_{i} = - 10 cm$ ）。
三条主光线确定像的位置：先平行后经过 $F^{'}$ ，径直穿过中心，经过 $F$ 后平行。
凹面镜遵循同样的方程，但 $f = R /2$ ；其实像位于镜前。

焦距、距离与符号

一个比相关距离薄得多的透镜，可以用一个数来描述，即其焦距 $f$ 。会聚透镜把平行于主轴（穿过其中心并与之垂直的直线）的光线会聚到远侧焦点 $F^{'}$ ，位于其后方距离 $f$ 处；近侧焦点 $F$ 则在其前方同样距离处。动画中 $f = 10 cm$ ，标记 $2 F$ 和 $2 F^{'}$ 的位置则是两倍远。验光师通常改用光焦度 $P = 1/ f$ 来表示，单位为屈光度（D），此时 $f$ 以米为单位：动画中的透镜 $P = 1/ (0.10 m) = 10 D$ 。

光线从左向右传播。物体距离 $d_{o}$ 和像距离 $d_{i}$ 从透镜处量度，高度 $h_{o}$ 和 $h_{i}$ 从主轴向上量度，实像取正值。中间厚的会聚透镜 $f > 0$ ；中间薄的发散透镜 $f < 0$ 。正的 $d_{i}$ 表示位于远侧的实像，屏幕可以接收；负的 $d_{i}$ 表示位于物体一侧的虚像，只能透过透镜观察。

薄透镜方程

像的位置及其大小由两个方程决定：

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}$
$m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}$

第一式是倒数相加，而非距离相加：先计算 $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ ，再对结果取倒数。第二式给出放大率 $m$ ，即像高与物高之比。其大小表示像放大了多少，负号表示倒立，因此实物所成的实像（两个距离均为正）总是倒立的。对于 $f = - 10 cm$ 的发散透镜，物体距离 30 cm 时， $1/ d_{i} = - 1/10 - 1/30 = - 4/30 c m^{- 1}$ ，所以 $d_{i} = - 7.5 cm$ ， $m = + 0.25$ ：即一个正立的虚像，大小为原物的四分之一。

用三条光线找像

从物体顶端出发并穿过透镜的每条光线，都会到达像的顶端，或看起来是从像的顶端发出的。有三条光线很容易画出，动画中以颜色标出：

金色光线平行于主轴到达透镜，并经过远侧焦点 $F^{'}$ 射出。
绿色光线径直穿过中心，因为此处两个表面平行。
蓝色光线经过近侧焦点 $F$ ，然后平行于主轴射出。

光线相交之处即为像的顶端；其中两条确定它，第三条用于校验。当物体位于 $F$ 之内时，蓝色光线从 $F$ 沿虚线出发，光线离开透镜后向外发散；它们向后的延长线在物体一侧相交，即虚像的顶端。

图中也给出了方程。绿色光线与物体、像构成相似三角形，因此 $h_{i} / h_{o} = - d_{i} / d_{o}$ 。金色光线从透镜处的高度 $h_{o}$ 下降，在其后距离 $f$ 处降至零，因此在像处 $h_{i} = h_{o} (1 - d_{i} / f)$ 。令两比值相等， $1 - d_{i} / f = - d_{i} / d_{o}$ ，两边除以 $d_{i}$ 即得薄透镜方程。

实例：动画中的箭头

箭头高 5 cm，透镜 $f = 10 cm$ 。当箭头经过 $d_{o} = 30 cm$ 时，
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} c m^{- 1}$
$d_{i} = 15 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0.5$

像为实像，倒立，大小为原物的一半， $h_{i} = - 2.5 cm$ ，位于 $F^{'}$ 与 $2 F^{'}$ 之间，三条光线在此相交。这些就是该时刻的 $d_{i}$ 和 $m$ 读数。

开始时， $d_{o} = 34.1 cm$ ，像很小： $d_{i} = 14.2 cm$ ， $m = - 0.42$ 。在 $2 F$ 处，像与物等大，位于 $2 F^{'}$ ， $m = - 1$ 。在 $2 F$ 与 $F$ 之间，像被放大，如同投影仪：在 14.55 cm 处（读数为 14.5），读数为 $d_{i} = 32.0 cm$ ， $m = - 2.20$ 。接近 $F$ 时，读数显示 $d_{i} \to \infty$ ；在 $F$ 处，光线平行射出。

在 $F$ 之内，符号反转。在 7.73 cm 处， $d_{i} = - 34.0 cm$ ， $m = + 4.40$ ；最后， $d_{o} = 5.45 cm$ （读数为 5.5）， $d_{i} = - 12.0 cm$ ， $m = + 2.20$ ，即在物体一侧形成一个高 11 cm 的正立紫色像。这就是放大镜。恰好在 5 cm 处， $1/ d_{i} = 1/10 - 1/5 = - 1/10$ ，所以 $d_{i} = - 10 cm$ ， $m = + 2$ 。

曲面镜遵循同样的规律

凹面镜形如勺子内侧，使光线会聚；凸面镜则使光线发散。平行于主轴的光线经凹面镜反射后，通过其焦点 $F$ ，焦点位于镜面与曲率中心 $C$ 的中点：
$f = \frac{R}{2} (spherical mirror)$

从 $C$ 出发的半径是光线入射处的法线，因此平行光线与之成相同角度射出，位于另一侧。光线、半径与主轴构成一个两角相等的三角形，对于小角度而言，交点恰好位于 $C$ 与镜面的中点。

同样的方程和放大率适用，但光线是反射回来的，因此实像位于镜前：实像（ $d_{i} > 0$ ）形成于镜前，虚像（ $d_{i} < 0$ ）则位于镜后。凹面镜 $f = + R /2$ ，凸面镜 $f = - R /2$ 。平面镜 $R \to \infty$ ，则 $d_{i} = - d_{o}$ ， $m = + 1$ 。

实例：化妆镜

一面凹面化妆镜的 $R = 60 cm$ ，因此 $f = 30 cm$ 。若你的脸距离镜面 15 cm，
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = - \frac{1}{30} c m^{- 1}, d_{i} = - 30 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = + 2$
像为虚像，正立，是真脸的两倍大，位于镜后 30 cm 处，因此你的眼睛会感觉它在 45 cm 远处，便于对焦。

现在后退，使你的脸距镜面 90 cm：
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} = \frac{2}{90} c m^{- 1}, d_{i} = 45 cm, m = - \frac{45}{90} = - 0.5$
此时的像为实像且倒立，悬在镜前 45 cm 处，位于镜子与你之间的中点：一张缩小的倒立脸，如同在勺子的凹面中所见。在 30 cm 即焦点处，你只会看到一片模糊。

常见错误

忘记取倒数： $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 0.067 c m^{- 1}$ 还不是答案；取其倒数 15 cm 才是。直接把距离相减， $30 - 10 = 20 cm$ ，同样是错的。
遮住一半透镜并不会切掉一半的像：透镜的每个部分都会把物体上每一点的光送到对应的像点，因此整个像仍然存在，只是亮度减半。
负的像距并非错误： $d_{o} = 5 cm$ 给出 $d_{i} = - 10 cm$ ，这是一个可以透过透镜看到、却无法在屏幕上接收的虚像。
发散透镜和凸面镜的焦距为负：若取 $+ 10 cm$ 而不是 $- 10 cm$ ，则 30 cm 处的物体会得到位于 15 cm 处的实像，而不是位于 $- 7.5 cm$ 处的虚像。
面镜的实像位于镜前：化妆镜把 90 cm 远的脸成像于镜前 45 cm 处。

应用实例

相机在传感器上形成实像：焦距 $f = 4.0 mm$ 的手机镜头会把 2.0 m 远的人成像于 $d_{i} = 4.008 mm$ 处，因此从远处的山峰对焦到人物，只会使其移动 8 µm。投影仪把幻灯片置于 $F$ 之外，放大镜则把物体置于 $F$ 之内。汽车前灯把灯泡放在凹面镜的焦点处，以形成平行光束；凸面汽车后视镜则提供宽广、缩小的视野。

包含多个透镜的仪器将在《眼睛、相机与望远镜》中讲解；光为何会被玻璃弯折，已在《反射与折射》中讲过；而简单透镜的彩色边缘则属于《棱镜、色散与颜色》。

高级

核心概念

物体到像的光程相等：路程多出的 $h^{2} /2 s$ 与玻璃的凸起量 $h^{2} /2 R$ 相抵，对任意 $h$ 都有 $1/ s + n / s^{'} = (n - 1) / R$ 。
$d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ 是双曲线；以焦点为基准，牛顿形式 $x_{o} x_{i} = f^{2}$ 给出 $m = - f / x_{o}$ 。
物体与实像的距离不会小于 $4 f$ （ $d_{o} = d_{i} = 2 f$ 时， $m = - 1$ ）；沿轴方向的深度被放大 $m^{2}$ 倍。
在 $h^{4}$ 阶，边缘光线聚焦更靠近透镜（球差）；当各路径的传播时间相差不到一个周期时，衍射（ $1.22 λ / D$ ）起主导作用。

作为等光程的成像

在《反射与折射》中，光线被看作稳定光程的路径：相邻路径所需时间几乎相同，因此它们的子波同相到达并相互加强。成像则是这一思想的极端情形。若从 $O$ 出发经透镜到 $I$ 的每一条路径所用时间都相同，则点 $I$ 就是点 $O$ 的像。于是所有子波都同相到达 $I$ ，叠加成一个明亮的点；而紧邻 $I$ 处，子波相位参差，大多相互抵消。以这种方式相连的两点称为共轭点。这一个条件——等光程——给出了本课中的所有公式，而它不成立之处，也正解释了真实透镜为何有所不足。

图1比较了从 $O$ 到 $I$ 的两条路径。路径1沿主轴直线前进：在空气中走过距离 $d_{o}$ 到达透镜，穿过轴上完整的玻璃厚度 $t_{0}$ ，再在空气中走过 $d_{i}$ 到达像点。路径2在距主轴高度 $h$ 处穿过透镜平面。请逐段比较这两条路径。

在空气中，路径2更长。它的第一段直线是直角三角形的斜边，两直角边分别为 $d_{o}$ 和 $h$ ，因此它比 $d_{o}$ 长 $d_{o}^{2} + h^{2} - d_{o}$ ，当 $h$ 较小时约为 $h^{2} /2 d_{o}$ 。同样，其第二段比 $d_{i}$ 长约 $h^{2} /2 d_{i}$ 。而在玻璃中，路径2更短：在高度 $h$ 处，透镜的厚度仅为 $t$ ，而在主轴处为 $t_{0}$ 。

因此，仅凭几何，路径2会晚到；透镜必须把靠近主轴的光延迟同样的量。玻璃能做到这一点，是因为光在其中的速度是空气中的 $n$ 分之一。光穿过厚度 $t$ 的玻璃所用的时间，相当于在空气中走过 $n t$ 的距离，所以用玻璃替换同等厚度的空气，会增加光程 $(n - 1) t$ 。路径1比路径2多穿过 $t_{0} - t$ 的玻璃，只有这一额外延迟恰好抵消路径2在空气中多走的距离时，两条路径所用的时间才相等：
$(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} h^{2} (\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}})$
右边随 $h^{2}$ 增长，因此 $t_{0} - t$ 也必须随之增长：玻璃必须随离开主轴而变薄。这就是会聚透镜中间最厚的原因。

一个数字可以说明这种平衡有多精细。以动画中的 $d_{o} = 30 cm$ 和 $d_{i} = 15 cm$ 计算，穿过 $h = 2 cm$ 处的路径要长 $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0.1 cm = 2.0 mm$ 。若 $n = 1.50$ 的透镜中心比边缘 2 cm 处厚 4 mm，则可以补偿这一差值，因为 $0.50 \cdot 4 mm = 2.0 mm$ 。这 2.0 mm 约为绿光波长的 3600 倍，而透镜必须把它抵消到不足一个波长之内。

推导透镜方程

将同样的时间论证先用于一个曲面，再用于两个曲面，便可得到薄透镜方程和磨镜者公式。它也说明了为什么简单的球面已足够。

图2展示了基本单元：空气与折射率为 $n$ 的玻璃之间的一个球面。其曲率中心为 $C$ ，半径为 $R$ ；它与主轴的交点称为顶点。物体 $O$ 位于空气中，距顶点距离为 $s$ ；像 $I$ 位于玻璃内，在顶点之后距离为 $s^{'}$ 。与之前一样，路径1沿主轴，路径2在高度 $h$ 处与曲面相交，该高度相对于 $s$ 很小（图中有所夸大）。

有三种效应决定两条路径的时间是否相等。第一，在曲面之前，路径2约长 $h^{2} /2 s$ ，原因与图1相同。第二，在曲面之后，它约长 $h^{2} /2 s^{'}$ ；这一段位于玻璃中，因此付出的光程为 $n h^{2} /2 s^{'}$ 。第三，曲面从 $O$ 处向后弯曲：在高度 $h$ 处，它位于顶点平面（虚竖线）之后的一个小距离 $z$ 处，即其矢高。因此路径2在进入玻璃之前，在空气中多走了约 $z$ ，而这段距离路径1是在玻璃中走过的。这使路径2节省了光程 $(n - 1) z$ 。

矢高来自图中的直角三角形。其斜边为从 $C$ 到路径2与曲面相交点的半径 $R$ ；其直角边为高度 $h$ ，以及沿轴从 $C$ 到 $h$ 的垂足的距离 $R - z$ 。所以 $(R - z)^{2} + h^{2} = R^{2}$ ，由此得 $z = R - R^{2} - h^{2}$ 。当 $h ≪ R$ 时，平方根约为 $R - h^{2} /2 R$ ，于是 $z \approx h^{2} /2 R$ 。当两段额外长度之和等于所节省的光程时，两条路径的时间相等：
$\frac{h ^{2}}{2 s} + \frac{n h ^{2}}{2 s ^{'}} = \frac{( n - 1 ) h ^{2}}{2 R} \Rightarrow \frac{1}{s} + \frac{n}{s ^{'}} = \frac{n - 1}{R}$

每一项都含有相同的因子 $h^{2}$ ，因此可以约去。在这一近似阶次下，该条件与高度无关：一个球面就能把来自各个高度的光线会聚到同一点。这就是为什么磨制时自然得到的球面就能很好地工作。

薄透镜是两个紧靠在一起的这种曲面，其厚度可以像图1那样处理，作为随高度变化的延迟。先约定符号规则：当曲率中心位于光线前进的一侧时，半径取正值，因此双凸透镜的第一面 $R_{1} > 0$ ，第二面 $R_{2} < 0$ 。每个曲面去除的玻璃量与其矢高成正比，因此厚度随之变化为 $t (h) = t_{0} - \frac{1}{2} h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ 。

现在再次将路径2与轴上路径比较。它在空气中多走的路程代价为 $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ ，而它所避开的玻璃节省了 $(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} (n - 1) h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ 。只有两者相等，对于每一个 $h$ 时间才都相同，同样 $h^{2}$ 被约去：
$\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{f}$

这一式同时包含两条定律。它的首尾两项构成薄透镜方程 $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 1/ f$ ；它的中间与末尾两项构成磨镜者公式 $1/ f = (n - 1) (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ 。焦距 $f$ 即为极远物体的像距。左边只取决于 $O$ 和 $I$ 的位置，右边只取决于玻璃及其形状，因此一个透镜能把场景中的每个平面成像到其各自的共轭平面上。动画中的透镜 $f = 10 cm$ 可以是一个对称的玻璃透镜， $n = 1.50$ ， $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ ：每厘米为 $0.50 \cdot (1/10 + 1/10) = 1/10$ 。

牛顿形式与双曲线

当物体靠近透镜时，像如何移动？薄透镜方程的图像可以回答这个问题；若以焦点而非透镜为基准量度距离，方程便化为最简形式。

图3绘制了像距 $d_{i}$ 随物距 $d_{o}$ 的变化，如同动画高级视图中的图像。距离遵循实像取正的约定： $d_{i} > 0$ 为位于透镜远侧的实像， $d_{i} < 0$ 为位于物体一侧的虚像。将薄透镜方程解为像距，得到 $d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ ，这是一条双曲线。其虚线渐近线为： $d_{o} = f$ ，此时分母为零，像趋向无穷远；以及 $d_{i} = f$ ，物体趋向无穷远时像趋近于它。

先看两条分支。标记为 $d_{i} > 0$ 的上支包含位于焦点之外的物体的实像。标记为 $d_{i} < 0$ 的下支包含位于焦点之内的物体的虚像：它在轴线下方远处贴近渐近线 $d_{o} = f$ ，并在 $d_{o} \to 0$ 时升至原点。放大率为 $m = - d_{i} / d_{o}$ ，即像高与物高之比，当像倒立时为负。标在 $2 f$ 处的点是实像分支的顶点 $(2 f, 2 f)$ ，此处 $d_{i} = d_{o}$ ，因此 $m = - 1$ ：一个与物等大的倒立像。

现在以焦点为基准量度两个距离，而不是以透镜为基准：沿水平方向 $x_{o} = d_{o} - f$ ，沿竖直方向 $x_{i} = d_{i} - f$ 。将薄透镜方程乘以 $f d_{o} d_{i}$ ，得到 $d_{o} d_{i} = f d_{o} + f d_{i}$ 。把右边移到左边，并在两边加上 $f^{2}$ ，得 $d_{o} d_{i} - f d_{o} - f d_{i} + f^{2} = f^{2}$ ，其左边即为 $(d_{o} - f) (d_{i} - f)$ 。这就是透镜方程的牛顿形式：
$x_{o} x_{i} = f^{2}$

在图中，它就是阴影矩形。在标记的点 $d_{o} = 3 f$ 处画出，其边长为底边 $x_{o} = 2 f$ 和竖边 $x_{i} = f /2$ ，因此面积为 $f^{2}$ 。从角点 $(f, f)$ 到曲线上任一点所画的矩形，面积都相同；在顶点处，它是 $f \times f$ 的正方形。放大率也取得同样简单的形式。解出的方程给出 $d_{i} / d_{o} = f / (d_{o} - f) = f / x_{o}$ ，而牛顿形式将 $f / x_{o}$ 化为 $x_{i} / f$ ：
$m = - \frac{f}{x _{o}} = - \frac{x _{i}}{f}$
以动画中物体位于 30 cm 处验证： $x_{o} = 20 cm$ ，因此 $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ ，同样得 $d_{i} = 15 cm$ ，且 $m = - 10/20 = - 0.5$ 。

在动画中，一个红点沿实像分支运动。它从 $(34.1, 14.2)$ （单位为厘米）出发，经过顶点 $(20, 20)$ ，并在 $d_{o} = 12 cm$ 时，即 $d_{i} = 60 cm$ 时离开面板顶端。物体经过 $F$ 之后，一个紫点从下方进入虚像分支，此时 $d_{i} = - 40 cm$ ， $d_{o} = 8 cm$ ，然后上升到 $- 12 cm$ 。延伸至 $d_{o} \to 0$ 时，该分支到达原点，此处 $m = - f / x_{o} \to + 1$ ：平放在纸上的放大镜不会放大任何东西。

曲线的斜率表明像移动的速度。由于 $d_{i} = f + f^{2} / x_{o}$ ，且 $x_{o}$ 的变化恰好与 $d_{o}$ 相同，斜率为 $d (d_{i}) / d (d_{o}) = - f^{2} / x_{o}^{2} = - m^{2}$ 。负号表示：物体靠近透镜时，实像远离透镜：二者在空间中沿同一方向移动，而像移动的距离是 $m^{2}$ 倍。因此深度被放大 $m^{2}$ 倍，而高度只放大 $m$ 倍。在 30 cm 处斜率为 $- 0.25$ ，在 14.55 cm 处为 $- 4.84$ 。

最后，物体到实像的距离为 $d_{o} + d_{i} = 2 f + x_{o} + f^{2} / x_{o}$ 。和 $x_{o} + f^{2} / x_{o}$ 在 $x_{o} = f$ 处最小，此处其导数 $1 - f^{2} / x_{o}^{2}$ 为零。因此物体与实像之间的距离永远不会小于 $4 f$ ，在 $d_{o} = d_{i} = 2 f$ 、 $m = - 1$ 时取得。在动画中，该间距从 48.2 cm 降至 $2 F$ 处的 40 cm，然后又增大。下面的应用题即基于这一最小值。

面镜与透镜组

面镜遵循同样的方程，只有一处改动；若干透镜组成的系统也也可以化为它。

对于面镜，光是折返的，因此矢高要计两次。凹面镜半径为 $R$ 时，朝向物体弯曲：在高度 $h$ 处，其表面比顶点更靠近物体 $h^{2} /2 R$ 。这使路径2在去程和回程上各缩短 $h^{2} /2 R$ ，而它的斜线段则像之前一样增加 $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ 。因此时间相等要求 $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = h^{2} / R$ ，即 $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 2/ R$ ：面镜遵循薄透镜方程，且 $f = R /2$ 。光从不进入玻璃，因此面镜没有色散，也没有色差，这是大型望远镜多用反射式的原因之一。

对于来自恒星的光，它们平行于主轴到达，球面并不完全是正确的形状。抛物面能使时间严格相等：抛物线上每一点到焦点的距离都等于到一条定直线（准线）的距离，因此从遥远恒星经反射到焦点的每条路径长度都相同。球面偏离这一抛物面的量约为 $h^{4} /8 R^{3}$ ，即其矢高的下一项。对于口径 20 cm、 $f = 1.0 m$ 的镜子，即 $R = 2.0 m$ 、 $h = 0.10 m$ ，边缘处的偏差为 1.6 µm。反射使路径差加倍，约为 3 µm，超过可见光五个波长，因此此类镜面要磨成抛物面。哈勃的 2.4 m 主镜边缘约 2 µm 过平，直到 1993 年装上校正光学系统之前，它的图像一直模糊。

紧贴的薄透镜会把各自的延迟相加，因此它们的光焦度 $P = 1/ f$ 相加： $P = P_{1} + P_{2}$ ，当 $f$ 以米计时单位为屈光度（D）。动画中两个各 10 D 的透镜合起来为 20 D，即 $f = 5 cm$ 。有间隔的透镜则一个一个地处理：一个元件所成的像，就是下一个元件的物。若光在到达下一个元件时仍在会聚，则其物位于该元件之后；它被视为虚物， $d_{o} < 0$ ，位于图3中延伸过原点的紫色分支上。在近轴条件下，空气中的任何系统都有两个焦点和两个主面，即量度其距离所依据的平面，并且 $x_{o} x_{i} = f^{2}$ 以其有效焦距成立。

应用题：灯、透镜与屏幕

这个台架实验利用最小间距 $4 f$ ，在不必找到透镜焦点的情况下测量 $f$ 。

在图4中，一盏灯（以 5 cm 高的箭头作为物）与一块屏幕相距 $L = 45 cm$ 。动画中焦距 $f = 10 cm$ 的透镜在两者之间滑动。透镜放在何处，屏幕上的像才清晰？这如何给出 $f$ ？

清晰成像需要 $d_{o} + d_{i} = L$ 。将 $d_{i} = L - d_{o}$ 代入薄透镜方程，并乘以 $f d_{o} (L - d_{o})$ ，得 $f L = d_{o} (L - d_{o})$ ，这是关于 $d_{o}$ 的二次方程：
$d_{o}^{2} - L d_{o} + L f = 0, d_{o} = \frac{L \pm L ^{2} - 4 L f}{2} = \frac{45 \pm 15}{2} cm$
因此，透镜距灯 30 cm 时，像位于其后 15 cm 处（图中位置 1）；透镜距灯 15 cm 时，像位于其后 30 cm 处（位置 2）。

两个位置互为逆向，这与光路的可逆性一致：若 $O$ 成像于 $I$ ，则 $I$ 也成像于 $O$ 。比较图中两行距离：在位置 2，透镜距灯为 $d_{i}$ ，距屏幕为 $d_{o}$ ，即两段长度互换。5 cm 的箭头在位置 1 成 2.5 cm 高的像， $m = - 0.5$ ；在位置 2 成 10 cm 高的像， $m = - 2$ 。两个放大率分别为 $- d_{i} / d_{o}$ 和 $- d_{o} / d_{i}$ ，它们的乘积为 1，因此物高是两个像高的几何平均： $2.5 \cdot 10 = 5 cm$ 。

平方根为实数，当且仅当 $L \geq 4 f$ ，即上文所述的最小间距。在 40 cm 时，两个位置在 $d_{o} = 20 cm$ 处重合；若屏幕再近一些，就没有任何位置能得到清晰的像。

该方法对未知透镜也适用。测量 $L$ ，以及透镜在两个清晰位置之间的位移 $a$ （图4中的 $a$ ，此处为 $30 - 15 = 15 cm$ ）。两个根相差 $a = L^{2} - 4 L f$ ，因此
$f = \frac{L ^{2} - a ^{2}}{4 L} = \frac{4 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{4 \cdot 45} = 10 cm$
只需沿台架量取两个长度，无需知道透镜内部从哪一点开始量度。

像差：等时条件何处失效

到目前为止，所有推导都只保留 $h^{2}$ 项。真实透镜之所以达不到理想，是因为更高阶的项不会相互抵消，并且 $n$ 随颜色而变。

在 $h^{4}$ 阶，通过球面透镜的时间不再相等，边缘光线比近轴光线更早会聚。这就是球差。对上面那个 4 cm 宽的对称透镜进行精确追迹，穿过边缘的平行光在近轴焦点前约 7 mm 处穿过轴线，而在半高处的光线则在其前约 1.6 mm 处穿过。高度减半时，偏移约减为四分之一：它随 $h^{2}$ 增长。较小的孔径和非球面可以减小它。

由于 $n$ 依赖于波长， $f$ 也依赖于波长：这就是色差。冕牌玻璃对红光的 $n = 1.514$ ，对蓝光为 1.522。因为 $1/ f \propto n - 1$ ，蓝光焦点近了 $0.522/0.514$ 的比例，约 1.5%，对于 10 cm 的透镜约为 1.5 mm。消色差双胶合透镜加入一片较弱的火石玻璃发散透镜。火石玻璃使颜色散开得更厉害，因此弱的火石透镜可以抵消强的冕牌透镜的色差，同时只拿走它的一部分光焦度。离轴点还会产生其他误差，如彗差、像散和畸变，设计者通过非球面元件来权衡它们。

适用范围

薄透镜定律假设近轴光线、厚度远小于 $f$ ，并且两侧都是空气。最后这一假设在水中不成立，此时起作用的是玻璃相对于水的折射率。折射率 $n = 1.50$ 的透镜在水中以 $1.50/1.33 - 1 = 0.13$ 代替 0.50 工作，焦距几乎增至四倍。角膜是眼睛最强的折射面，其光焦度在水中也同样大幅减弱，因为其后的液体折射率几乎与水相同：这就是不戴潜水镜在水下看东西一片模糊的原因。

最根本的限制来自光的波动性。各路径的时间只需在一个周期的一个分数之内相等，大约四分之一即可（瑞利判据）：此时像处的子波几乎同相，进一步打磨收益甚微。剩下的是衍射。即使是口径为 $D$ 的完美透镜，也会把一个点成像为一个带有微弱环纹的小圆斑，即艾里斑，其角半径为 $1.22 λ / D$ 。对于 4 cm 的透镜和绿光（550 nm），这是 $1.7 \times 1 0^{- 5} rad$ ，在 10 cm 远的焦点处是半径 1.7 µm 的光斑。直径 3 mm 的瞳孔约为 0.8 角分，接近人眼最敏锐的视力。超过这一限度的放大只会放大模糊，不会显示新的细节。

延伸

《眼睛、相机与望远镜》把这些透镜投入应用：眼睛是约 60 D 的透镜，放大镜的角放大率约为 $25 cm / f$ ，望远镜由物镜和目镜组成。色差背后的色散来自《棱镜、色散与颜色》。衍射与分辨极限在《衍射与双缝》中说明，而在《波粒二象性》中，单个光子会对通过所有路径到达像的振幅求和。

在《引力即时空弯曲》中，质量起到透镜的作用。太阳使擦过其边缘的光线偏折 1.75 角秒。玻璃透镜离轴越远对光线的偏折越大；引力则相反，偏折随光线离中心的距离 $b$ 按 $1/ b$ 减小。因此没有单一焦点：擦过太阳的光线在约 550 AU 处相交，离得更远的光线则在更远处相交。星系对更遥远星系的透镜作用会产生多重像和环。

核心公式

薄透镜方程

\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}

物距与像距的倒数之和等于焦距的倒数，且对物体的任何位置都成立。它可由光路图中的相似三角形推出，也可由要求物点到像点的每条路径用时相同推出。求解时写成 $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ ，最后取倒数；结果为负则是虚像。

符号
$f$	焦距，会聚透镜或凹面镜为正	$m$
$d_{o}$	物距，从物体到透镜	$m$
$d_{i}$	像距，实像为正，虚像为负	$m$

适用条件: 适用于近轴光线下的薄透镜和球面镜，采用实像取正的约定。厚透镜和透镜组需从主面量度距离，远离主轴的光线还会产生像差。

示例: 动画中的透镜 $f = 10 cm$ ， $d_{o} = 30 cm$ ： $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 2/30$ ，所以 $d_{i} = 15 cm$ 。

放大率

m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}

像高与物高之比。经过透镜中心的光线径直通过，它与物体、像构成两个相似三角形，因此高度之比等于距离之比。负号表示实物所成的实像是倒立的： $m < 0$ 为倒立， $m > 0$ 为正立， $∣ m ∣ > 1$ 为放大。

符号
$m$	放大率
$h_{i}$	像高，倒立时为负	$m$
$h_{o}$	物高	$m$
$d_{i}$	像距	$m$
$d_{o}$	物距	$m$

适用条件: 适用于近轴光线下的薄透镜和面镜，且仅针对垂直于主轴的尺寸：沿轴方向的深度被放大 $m^{2}$ 倍。

示例: 物体在 30 cm 处，像在 15 cm 处： $m = - 15/30 = - 0.5$ ，因此 5 cm 的箭头得到一个 2.5 cm 高的倒立像。

光焦度

P = \frac{1}{f} (dioptres, f in metres : f = 10 cm \to P = 10 D)

光焦度是焦距的倒数：焦距越短，透镜弯折光线越强。当 $f$ 以米计时，其单位为屈光度， $1 D = 1 m^{- 1}$ 。它的用处在于，紧贴的薄透镜的光焦度可以直接相加，这也是眼镜度数以屈光度标注的原因。

符号
$P$	光焦度，单位为屈光度（D）	$m^{- 1}$
$f$	焦距，以米计	$m$

适用条件: 适用于薄透镜：会聚透镜 $P > 0$ ，发散透镜 $P < 0$ 。只有紧贴的薄透镜才能直接相加光焦度；相距为 $d$ 的两个透镜合成为 $1/ F = 1/ f_{1} + 1/ f_{2} - d / (f_{1} f_{2})$ 。

示例: $f = 10 cm = 0.10 m$ 得 $P = 10 D$ ；加上一个 +2.5 D 的老花镜片后为 12.5 D，因此 $f = 8 cm$ 。

球面镜的焦距

f = \frac{R}{2} (spherical mirror)

平行于主轴的光线在球面镜上反射时，与该处的半径（即法线）成相同角度，因此它会在镜面与曲率中心的中点与主轴相交。以此焦距，面镜遵循与薄透镜相同的方程，其实像位于镜前。

符号
$f$	面镜的焦距	$m$
$R$	曲率半径，作为长度；凸面镜的 $f = - R /2$	$m$

适用条件: 适用于近轴光线。远离主轴入射的光线会在更靠近镜面处与主轴相交（球差）；抛物面镜可以使平行光严格聚焦。

示例: 曲率半径 $R = 60 cm$ 的化妆镜， $f = 30 cm$ ；曲率半径 $R = 2.0 m$ 的凸面汽车后视镜， $f = - R /2 = - 1.0 m$ 。

磨镜者公式

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) (lens in air; biconvex : R_{1} > 0, R_{2} < 0)

薄透镜的焦距由玻璃和形状决定。曲率 $1/ R_{1} - 1/ R_{2}$ 决定透镜中间比边缘厚多少，而玻璃使光延迟的量为其厚度的 $n - 1$ 倍：恰好足以让从一点到其像点的每条路径用时相同。半径的符号规则为：曲率中心位于光线前进方向一侧时取正。

符号
$f$	透镜的焦距	$m$
$n$	玻璃的折射率
$R_{1}$	光线先遇到的那个表面的曲率半径	$m$
$R_{2}$	第二个表面的曲率半径	$m$

适用条件: 适用于空气中的薄透镜、近轴光线。若透镜处于折射率为 $n_{m}$ 的介质中，则将 $n - 1$ 替换为 $n / n_{m} - 1$ ；厚透镜需要一个依赖于其厚度的修正。

示例: 折射率 $n = 1.50$ ， $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ 的玻璃： $1/ f = 0.50 \cdot (0.10 + 0.10) = 0.10 c m^{- 1}$ ，因此 $f = 10 cm$ ，即动画中的透镜。

透镜方程的牛顿形式

x_{o} x_{i} = f^{2}

物体到近侧焦点的距离，与像到远侧焦点的距离，二者的乘积总是 $f^{2}$ 。这只是把薄透镜方程改写而得，并使放大率变得简单： $m = - f / x_{o} = - x_{i} / f$ 。两个距离的符号相同：位于 $F$ 之外的物体，成像于 $F^{'}$ 之外。

符号
$x_{o}$	物体到近侧焦点 $F$ 的距离， $d_{o} - f$	$m$
$x_{i}$	像到远侧焦点 $F^{'}$ 的距离， $d_{i} - f$	$m$
$f$	焦距	$m$

适用条件: 适用于空气中任何透镜系统的近轴极限，使用其有效焦距；因为它只需要两个焦点的位置，所以是厚透镜和复合系统的一般形式。

示例: 物体距动画中的透镜 30 cm： $x_{o} = 20 cm$ ，因此 $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ ，像位于透镜后 $10 + 5 = 15 cm$ 处。

词汇表

会聚透镜: 中间比边缘厚的透镜， $f > 0$ ：它把平行于主轴的光线会聚到实焦点。物体位于 $F$ 之外时成倒立的实像，位于焦点之内时成放大的虚像。
发散透镜: 中间比边缘薄的透镜， $f < 0$ ：它使平行光线向外散开，仿佛来自其前方的虚焦点。对任何实物，它都成正立、缩小的虚像。
光轴: 穿过透镜或面镜中心并与之垂直的直线，其焦点与曲率中心位于该直线上。沿其方向的距离和离开它的高度用来描述物体与像。
焦点: 平行于主轴的光线经过透镜或面镜后会聚的点，或者它们看似从中散开的点。薄透镜两侧各有一个焦点， $F$ 和 $F^{'}$ ，与透镜的距离都是 $f$ ；球面镜的焦点位于其与曲率中心的中点。
实像: 光在透镜或面镜之后真正会聚所形成的像，因此可以用屏幕或感光元件接收。单个透镜或面镜形成的实像是倒立的，且像距为正。
虚像: 光看似从中发出的像：离开透镜或面镜的光线向外散开，只有其反向延长线相交。可以看到并拍摄，但无法在屏幕上接收，如放大镜或平面镜所成的像。
主光线: 从物体顶端出发、容易画出的三条光线：先平行于主轴再经过 $F^{'}$ ，径直穿过中心，以及经过 $F$ 后平行于主轴。任意两条即可确定像的位置，但通过透镜的所有光共同形成像。
光焦度: 透镜或面镜会聚光线的强度， $P = 1/ f$ ，当 $f$ 以米计时单位为屈光度（D）。动画中的透镜 $f = 10 cm$ ，其光焦度为 10 D。紧贴的薄透镜的光焦度可以相加，发散透镜的光焦度为负。
凹面镜与凸面镜: 凹面镜形如碗的内侧，使光线会聚， $f = R /2$ ；凸面镜向外弯曲，使光线发散， $f = - R /2$ 。面镜的实像位于其前方，虚像位于其后方。
共轭点: 一个物点及其像点。两者之间经过系统的每条光路用时都相同，因此从一点发出的光会汇聚到另一点；由于光路可逆，两者的角色可以互换。
近轴近似: 把所有光线都当作接近主轴且近似平行于它，因而路径差只保留到 $h^{2}$ 阶，并取 $sin θ \approx θ$ 。薄透镜和面镜方程只有在这一极限下才严格成立。
像差: 真实透镜或面镜偏离理想成像的任何情况。球差使边缘光线聚焦偏近，色差使每种颜色有各自的焦点，彗差、像散和畸变则破坏远离主轴的点的成像。

物理量
$f$	焦距	$m$	薄透镜或面镜到其焦点的距离：会聚透镜为正，发散透镜为负。动画中的透镜 $f = 10 cm$ 。
$d_{o}$	物距	$m$	物体到透镜或面镜的距离，对位于其前方的实物为正：动画中从 34.1 cm 降至 5.45 cm。
$d_{i}$	像距	$m$	透镜或面镜到像的距离：实像为正（透镜后方，或面镜前方），虚像为负。动画中当 $d_{o} = 30 cm$ 时，它为 15 cm。
$h_{o}$	物高	$m$	物体离开光轴的高度：动画中的箭头高 5 cm。
$h_{i}$	像高	$m$	像离开光轴的高度，像倒立时为负：物体在 30 cm 处时，其像高为 $- 2.5 cm$ 。
$m$	放大率		像高除以物高， $m = - d_{i} / d_{o}$ 。其大小表示像放大了多少，其符号表示是正立（ $m > 0$ ）还是倒立（ $m < 0$ ）。
$R$	曲率半径	$m$	构成面镜或透镜表面的球面的半径。作为长度取值时，凹面镜 $f = + R /2$ ，凸面镜 $f = - R /2$ ；若改为将凸面镜的 $R$ 取负，则两种情况下都有 $f = R /2$ 。
$n$	折射率		光在透镜材料中比在真空中慢多少倍，普通玻璃约为 1.50。它与曲率一起决定透镜的焦距。
$x_{o}$	物体到焦点的距离	$m$	物体到近侧焦点 $F$ 的距离， $x_{o} = d_{o} - f$ ；物体位于焦距之内时为负。
$x_{i}$	像到焦点的距离	$m$	像到远侧焦点 $F^{'}$ 的距离， $x_{i} = d_{i} - f$ ，由牛顿形式 $x_{o} x_{i} = f^{2}$ 与 $x_{o}$ 相联系。

练习

入门在阳光下拿着放大镜，纸上会烧出一个亮点。纸应放在哪里？
1. 透镜的焦点处
2. 紧贴透镜
3. 焦距的两倍远处
4. 任何位置都可以，距离无所谓
显示答案
答案: A. 透镜的焦点处
平行的阳光会被会聚到焦点，因此纸位于一个焦距处时，亮点最小也最热。
入门一个会聚透镜把远处的树投影到一张纸上。纸上的像是什么样子？
1. 正立且更大
2. 正立且更小
3. 倒立且更小
4. 纸上没有像
显示答案
答案: C. 倒立且更小
远处的物体在焦点之外形成实像：它小而倒立，就像相机内部的像。
入门用放大镜紧贴着看一只小昆虫，你看到的像是……
1. 正立且更大
2. 倒立且更大
3. 正立且更小
4. 倒立且更小
显示答案
答案: A. 正立且更大
物体位于焦距之内时，透镜形成正立、放大的虚像。
中级物体距离焦距为 10 cm 的会聚透镜 30 cm。像在哪里？
1. 距透镜 20 cm
2. 距透镜 15 cm
3. 距透镜 7.5 cm
4. 距透镜 40 cm
显示答案
答案: B. 距透镜 15 cm
1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30，所以 dᵢ = 15 cm。把距离直接相减（30 − 10 = 20）是常见错误。
中级一个会聚透镜在屏幕上投出蜡烛的清晰像。你用黑卡纸遮住透镜的上半部分。像会发生什么变化？
1. 像的上半部分消失
2. 像的下半部分消失
3. 像变为原来一半大
4. 整个像仍然存在，只是更暗
显示答案
答案: D. 整个像仍然存在，只是更暗
透镜的每一部分都接收蜡烛上每一点发出的光，并把它送到对应的像点，因此未被遮挡的一半仍能形成完整的像；只是收集到的光减少了一半。
中级穿过薄透镜中心的主光线会发生什么？
1. 沿直线继续前进，不发生偏折
2. 平行于主轴射出
3. 穿过远侧焦点
4. 被反射回去
显示答案
答案: A. 沿直线继续前进，不发生偏折
在中心处，薄透镜的两个表面彼此平行，因此光线径直穿过，几乎没有偏移。
高级某商店的凸面防盗镜，曲率半径为 1.0 m。一位顾客站在它前方 4.0 m 处。顾客的像在哪里？
1. 镜前 0.57 m 处，倒立
2. 镜后 0.44 m 处，正立，大小约为 1/9
3. 镜后 4.0 m 处，大小相同
4. 镜后 0.50 m 处，位于焦点
显示答案
答案: B. 镜后 0.44 m 处，正立，大小约为 1/9
凸面镜的 f = −R/2 = −0.50 m，因此 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = −2.00 − 0.25 = −2.25 m⁻¹，dᵢ ≈ −0.44 m：镜后的虚像，m = −dᵢ/dₒ ≈ +0.11，正立且缩小。若忘记符号（取 f = +0.50 m），则得到镜前 0.57 m 处的倒立像。这种缩小、视野宽广的特点，正是这类镜子能映出整个商店的原因。
高级在会聚透镜的 dᵢ(dₒ) 图像中，dₒ = f 处的竖直渐近线在物理上表示什么？
1. 像变得尽可能小
2. 从物体发出的光离开透镜时平行，因此像位于无穷远
3. 像落在透镜本身上
4. 透镜停止折射光线
显示答案
答案: B. 从物体发出的光离开透镜时平行，因此像位于无穷远
物体位于 F 处时，1/dᵢ = 1/f − 1/f = 0：射出的光线平行，只在无穷远处相交；越过 F 后，像由实像变为虚像。

$O$	物点。
$I$	像点：从 $O$ 出发的所有路径都在此同时到达。
$d_{o}$	沿轴，从 $O$ 到透镜的距离。	$m$
$d_{i}$	沿轴，从透镜到 $I$ 的距离。	$m$
$h$	路径2穿过透镜处离开光轴的高度。	$m$
$t_{0}$	透镜在轴上的厚度：路径1穿过的玻璃。	$m$
$t$	透镜在高度 $h$ 处的厚度：路径2穿过的玻璃。	$m$

$O$	物点，位于空气中。
$I$	像点，位于玻璃内。
$C$	该表面的曲率中心。
$R$	表面的半径：从 $C$ 到顶点的距离，也是到表面上每一点的距离。	$m$
$s$	物距：从 $O$ 到表面顶点的距离。	$m$
$s^{'}$	像距：从顶点到 $I$ ，位于玻璃内。	$m$
$h$	路径2与表面相交处离开光轴的高度。	$m$
$z$	矢高：在高度 $h$ 处，表面位于顶点平面之后多远。	$m$
$n$	玻璃的折射率；空气的折射率为 1。

$d_{o}$	物距：从物体到透镜。	$m$
$d_{i}$	像距：位于透镜远侧的实像为正，虚像为负。	$m$
$f$	焦距：它决定两条渐近线以及顶点 $(2 f, 2 f)$ 。	$m$
$x_{o}$	从焦点量度的物距： $d_{o} - f$ 。	$m$
$x_{i}$	从焦点量度的像距： $d_{i} - f$ 。	$m$

$L$	灯到屏幕的距离，保持不变。	$m$
$a$	透镜在两个清晰位置之间的位移。	$m$
$d_{o}$	位置 1 时灯到透镜的距离，以及位置 2 时透镜到屏幕的距离。	$m$
$d_{i}$	位置 1 时透镜到屏幕的距离，以及位置 2 时灯到透镜的距离。	$m$