Lentes y espejos

Una lente delgada o un espejo curvo de distancia focal $f$ forma una imagen a la distancia que da $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , con aumento $m = - d_{i} / d_{o}$ ; una lente convergente la hace real e invertida si el objeto está más allá del foco, y virtual, derecha y ampliada si está dentro de él.

Una flecha objeto avanza hacia una lente convergente: su imagen es real e invertida más allá del foco, desaparece en el foco y se vuelve virtual, derecha y ampliada dentro de él.

Antes de este tema: Reflexión y refracción

Principiante

Ideas clave

Una lente más gruesa en el centro es convergente: junta los rayos paralelos en un punto, el foco.
La distancia focal va de la lente a su foco; una lente más abombada la tiene más corta.
Un objeto lejano da una imagen real pequeña y del revés que se puede recoger en una pantalla, como en una cámara o en el ojo.
Más cerca que el foco, la lente muestra una imagen virtual derecha y más grande: eso es una lupa.

Paso 1, la forma decide. Una lente más gruesa en el centro que en los bordes es convergente. Cada parte actúa como un pequeño prisma: los bordes inclinados desvían mucho la luz y el centro, casi plano, apenas nada, así que rayos que llegan juntos se van acercando unos a otros.

Paso 2, el foco. La luz paralela, como la del Sol, se reúne en un punto, el foco; así una lupa puede quemar un punto en un papel. La distancia de la lente al foco es la distancia focal. Una lente más abombada desvía más y tiene una distancia focal más corta.

Paso 3, imágenes reales. Los rayos que salen de un punto del objeto vuelven a encontrarse en un punto detrás de la lente, y todos esos puntos juntos forman una imagen. Pon ahí una hoja de papel y la imagen aparece en ella, del revés. Una imagen formada por luz que llega de verdad se llama real; la usan las cámaras y los ojos.

En la animación, la flecha negra avanza hacia la lente. Mientras está lejos, su imagen roja es pequeña e invertida; al acercarse, la imagen se aleja y crece. Cuando la flecha llega al foco, la luz sale en haces paralelos y no se forma imagen.

Paso 4, imágenes virtuales. Más cerca que el foco, los rayos salen de la lente separándose y nunca se encuentran. El ojo los prolonga hacia atrás y ve una imagen morada derecha y ampliada en el lado del objeto: una lupa. Ahí no llega luz, así que la imagen se llama virtual, como tu reflejo, que parece estar detrás de un espejo plano.

Ponte a prueba: una lente proyecta una lámpara en una pared. Alejas la lámpara. ¿Hay que acercar la pared o alejarla? (Acercarla: un objeto más lejano tiene su imagen más cerca de la lente.)

Intermedio

Ideas clave

Lente delgada: $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , $m = - d_{i} / d_{o}$ ; $f = 10 cm$ y $d_{o} = 30 cm$ dan $d_{i} = 15 cm$ , $m = - 0, 5$ .
Lo real es positivo: $d_{i} > 0$ es una imagen real en pantalla; $d_{i} < 0$ es virtual, del lado del objeto ( $d_{o} = 5 cm$ da $d_{i} = - 10 cm$ ).
Tres rayos principales sitúan la imagen: paralelo y luego por $F^{'}$ , recto por el centro, por $F$ y luego paralelo.
Un espejo cóncavo cumple la misma ecuación con $f = R /2$ ; sus imágenes reales se forman delante del espejo.

Distancia focal, distancias y signos

Una lente mucho más delgada que las distancias que intervienen se describe con un solo número, su distancia focal $f$ . Una lente convergente reúne los rayos que llegan paralelos al eje, la recta que pasa por su centro en ángulo recto con ella, en el foco imagen $F^{'}$ , a una distancia $f$ detrás; el foco objeto $F$ está a la misma distancia por delante. En la animación $f = 10 cm$ , y las marcas $2 F$ y $2 F^{'}$ están el doble de lejos. Los ópticos usan en su lugar la potencia $P = 1/ f$ , en dioptrías (D) con $f$ en metros: la lente de la animación tiene $P = 1/ (0, 10 m) = 10 D$ .

La luz viaja de izquierda a derecha. Las distancias $d_{o}$ del objeto y $d_{i}$ de la imagen se miden desde la lente, las alturas $h_{o}$ y $h_{i}$ hacia arriba desde el eje, y lo real cuenta como positivo. Una lente convergente, más gruesa en el centro, tiene $f > 0$ ; una divergente, más delgada en el centro, tiene $f < 0$ . Una $d_{i}$ positiva es una imagen real al otro lado, que una pantalla puede recoger; una $d_{i}$ negativa es una imagen virtual del lado del objeto, que solo se ve a través de la lente.

La ecuación de las lentes delgadas

Dónde se forma la imagen y qué tamaño tiene lo dan dos ecuaciones:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}$
$m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}$

La primera suma inversos, no distancias: calcula $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ y luego invierte el resultado. La segunda da el aumento $m$ , la altura de la imagen entre la del objeto. Su valor absoluto dice cuántas veces mayor es la imagen, y un signo negativo significa que está invertida; por eso una imagen real de un objeto real, con ambas distancias positivas, siempre sale invertida. Para una lente divergente con $f = - 10 cm$ y un objeto a 30 cm, $1/ d_{i} = - 1/10 - 1/30 = - 4/30 c m^{- 1}$ , luego $d_{i} = - 7, 5 cm$ y $m = + 0, 25$ : una imagen virtual, derecha y de la cuarta parte del tamaño.

Hallar la imagen con tres rayos

Todo rayo que sale de la punta del objeto y atraviesa la lente llega a la punta de la imagen, o parece venir de ella. Hay tres que son fáciles de trazar, y la animación los muestra en color:

El rayo dorado llega paralelo al eje y sale por el foco imagen $F^{'}$ .
El rayo verde pasa recto por el centro, donde las dos caras son paralelas.
El rayo azul pasa por el foco objeto $F$ y sale paralelo al eje.

Donde se cruzan los rayos está la punta de la imagen; dos la fijan y el tercero la comprueba. Con el objeto dentro de $F$ , el rayo azul sigue la línea discontinua que sale de $F$ , y los rayos salen de la lente separándose; sus prolongaciones discontinuas hacia atrás se encuentran del lado del objeto, en la punta de la imagen virtual.

El diagrama da también las ecuaciones. El rayo verde forma triángulos semejantes con el objeto y la imagen, así que $h_{i} / h_{o} = - d_{i} / d_{o}$ . El rayo dorado baja de la altura $h_{o}$ en la lente hasta cero a una distancia $f$ más allá, así que en la imagen $h_{i} = h_{o} (1 - d_{i} / f)$ . Igualando los cocientes, $1 - d_{i} / f = - d_{i} / d_{o}$ , y al dividir entre $d_{i}$ sale la ecuación de las lentes delgadas.

Ejemplo resuelto: la flecha de la animación

La flecha mide 5 cm de alto y la lente tiene $f = 10 cm$ . Cuando la flecha pasa por $d_{o} = 30 cm$ ,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} c m^{- 1}$
$d_{i} = 15 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0, 5$

La imagen es real, invertida y de la mitad de tamaño, $h_{i} = - 2, 5 cm$ , entre $F^{'}$ y $2 F^{'}$ , donde se cruzan los tres rayos. Son los valores de los marcadores de $d_{i}$ y $m$ en ese instante.

Al principio, $d_{o} = 34, 1 cm$ , la imagen es pequeña: $d_{i} = 14, 2 cm$ , $m = - 0, 42$ . En $2 F$ tiene el tamaño natural y está en $2 F^{'}$ , con $m = - 1$ . Entre $2 F$ y $F$ está ampliada, como en un proyector: a 14,55 cm (el marcador muestra 14,5) los marcadores dan $d_{i} = 32, 0 cm$ y $m = - 2, 20$ . Cerca de $F$ el marcador muestra $d_{i} \to \infty$ , y en el propio $F$ los rayos salen de la lente paralelos.

Dentro de $F$ cambia el signo. A 7,73 cm, $d_{i} = - 34, 0 cm$ y $m = + 4, 40$ ; al final, $d_{o} = 5, 45 cm$ (se muestra 5,5), $d_{i} = - 12, 0 cm$ y $m = + 2, 20$ , una imagen morada derecha de 11 cm de alto del lado del objeto. Eso es una lupa. Justo a 5 cm, $1/ d_{i} = 1/10 - 1/5 = - 1/10$ , luego $d_{i} = - 10 cm$ y $m = + 2$ .

Los espejos curvos siguen la misma regla

Un espejo cóncavo, curvado como el interior de una cuchara, hace converger la luz; uno convexo la dispersa. Los rayos paralelos al eje se reflejan en un espejo cóncavo pasando por su foco $F$ , situado a medio camino entre el espejo y su centro de curvatura $C$ :
$f = \frac{R}{2} (espejo esf \overset{e}{ˊ} rico)$

El radio trazado desde $C$ es la normal en el punto donde incide un rayo, así que un rayo paralelo sale con el mismo ángulo respecto a ella, al otro lado. El rayo, el radio y el eje forman un triángulo con dos ángulos iguales, y para ángulos pequeños eso sitúa el punto de cruce a medio camino entre $C$ y el espejo.

Valen la misma ecuación y el mismo aumento, pero la luz vuelve hacia atrás, así que el lado real es el de delante: las imágenes reales ( $d_{i} > 0$ ) se forman delante del espejo y las virtuales ( $d_{i} < 0$ ) detrás. Un espejo cóncavo tiene $f = + R /2$ y uno convexo $f = - R /2$ . Un espejo plano, $R \to \infty$ , da $d_{i} = - d_{o}$ y $m = + 1$ .

Ejemplo resuelto: un espejo de maquillaje

Un espejo de maquillaje cóncavo tiene $R = 60 cm$ , luego $f = 30 cm$ . Con tu cara a 15 cm,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = - \frac{1}{30} c m^{- 1}, d_{i} = - 30 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = + 2$
La imagen es virtual, derecha y de doble tamaño, a 30 cm detrás del espejo, de modo que tus ojos la ven a 45 cm, una distancia cómoda para enfocar.

Ahora aléjate hasta que tu cara esté a 90 cm del espejo:
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} = \frac{2}{90} c m^{- 1}, d_{i} = 45 cm, m = - \frac{45}{90} = - 0, 5$
Ahora la imagen es real e invertida, suspendida en el aire a 45 cm delante del espejo, a medio camino entre él y tú: una cara pequeña y boca abajo, como en el fondo de una cuchara. A 30 cm, en el foco, solo ves un borrón.

Errores frecuentes

Olvidar invertir: $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 0, 067 c m^{- 1}$ todavía no es la respuesta; lo es su inverso, 15 cm. Restar las distancias, $30 - 10 = 20 cm$ , también es un error.
Tapar la mitad de la lente no elimina la mitad de la imagen: cada parte de la lente envía la luz de cada punto del objeto a su punto imagen, así que la imagen sigue entera, con la mitad de brillo.
Una distancia de imagen negativa no es un error: $d_{o} = 5 cm$ da $d_{i} = - 10 cm$ , una imagen virtual que se ve a través de la lente pero no se recoge en una pantalla.
Las lentes divergentes y los espejos convexos tienen distancias focales negativas: con $+ 10 cm$ en lugar de $- 10 cm$ , un objeto a 30 cm parecería dar una imagen real a 15 cm, y no una virtual a $- 7, 5 cm$ .
Las imágenes reales de un espejo se forman delante de él: el espejo de maquillaje forma, a 45 cm delante del cristal, la imagen de una cara que está a 90 cm.

Dónde aparece

Una cámara forma una imagen real en un sensor: la lente de un móvil con $f = 4, 0 mm$ forma la imagen de una persona situada a 2,0 m en $d_{i} = 4, 008 mm$ , así que pasar del enfoque de una montaña lejana al de esa persona solo desplaza la imagen 8 µm. Un proyector coloca la diapositiva justo más allá de $F$ , y una lupa mantiene el objeto dentro de $F$ . Los faros ponen la bombilla en el foco de un espejo cóncavo para obtener un haz paralelo; los retrovisores convexos dan una vista amplia y reducida.

Los instrumentos con varias lentes se estudian en El ojo, la cámara y el telescopio; por qué el vidrio desvía la luz se explicó en Reflexión y refracción, y los bordes de colores de una lente simple corresponden a Prismas, dispersión y color.

Avanzado

Ideas clave

Tiempos iguales de objeto a imagen: exceso de camino $h^{2} /2 s$ frente al abombamiento $h^{2} /2 R$ da $1/ s + n / s^{'} = (n - 1) / R$ para todo $h$ .
$d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ es una hipérbola; medida desde los focos, la forma de Newton $x_{o} x_{i} = f^{2}$ da $m = - f / x_{o}$ .
Objeto e imagen real nunca están a menos de $4 f$ (en $d_{o} = d_{i} = 2 f$ , $m = - 1$ ); la profundidad se amplía en $m^{2}$ .
A orden $h^{4}$ los rayos marginales enfocan antes (aberración esférica); igualados los tiempos a un periodo, manda la difracción ( $1, 22 λ / D$ ).

Las imágenes como tiempos de recorrido iguales

En la lección Reflexión y refracción, un rayo era un camino de tiempo de recorrido estacionario: los caminos vecinos tardan casi lo mismo, así que sus ondículas llegan en fase y se refuerzan. Una imagen es el caso extremo. Un punto $I$ es la imagen de un punto $O$ cuando todos los caminos de $O$ a $I$ a través de la lente tardan el mismo tiempo. Entonces todas las ondículas llegan a $I$ en fase y suman un punto brillante, mientras que justo al lado de $I$ llegan con fases dispersas y en su mayoría se anulan. Dos puntos unidos de este modo se llaman conjugados. Esta única condición, tiempos iguales, da todas las fórmulas de la lección, y su fallo explica por qué las lentes reales se quedan cortas.

La figura 1 compara dos de los caminos de $O$ a $I$ . El camino 1 va recto por el eje: una distancia $d_{o}$ en aire hasta la lente, todo el espesor central $t_{0}$ de vidrio y luego $d_{i}$ en aire hasta la imagen. El camino 2 cruza el plano de la lente a una altura $h$ sobre el eje. Compara los dos caminos tramo a tramo.

En el aire, el camino 2 es más largo. Su primer tramo recto es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $d_{o}$ y $h$ , así que supera a $d_{o}$ en $d_{o}^{2} + h^{2} - d_{o}$ , que es aproximadamente $h^{2} /2 d_{o}$ cuando $h$ es pequeña. Del mismo modo, su segundo tramo supera a $d_{i}$ en unos $h^{2} /2 d_{i}$ . En el vidrio, el camino 2 es más corto: a la altura $h$ la lente tiene solo un espesor $t$ , frente a $t_{0}$ en el eje.

La geometría sola haría, pues, que el camino 2 llegara tarde, así que la lente debe retener la luz cercana al eje en la misma cantidad. El vidrio puede hacerlo porque la luz va $n$ veces más despacio en él. La luz atraviesa un espesor $t$ de vidrio en el tiempo que tardaría en recorrer $n t$ en aire, de modo que sustituir ese espesor de aire por vidrio añade un camino óptico $(n - 1) t$ . El camino 1 atraviesa $t_{0} - t$ más de vidrio que el camino 2, y los dos tiempos son iguales cuando ese retraso extra paga exactamente el rodeo más largo del camino 2 en el aire:
$(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} h^{2} (\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}})$
El segundo miembro crece como $h^{2}$ , así que $t_{0} - t$ debe crecer también: el vidrio tiene que adelgazar al alejarse del eje. Por eso una lente convergente es más gruesa en el centro.

Un número muestra lo fino que es este equilibrio. Con $d_{o} = 30 cm$ y $d_{i} = 15 cm$ de la animación, el camino que pasa por $h = 2 cm$ es más largo en $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0, 1 cm = 2, 0 mm$ . Una lente con $n = 1, 50$ lo compensa si es 4 mm más gruesa en el centro que a 2 cm del eje, ya que $0, 50 \cdot 4 mm = 2, 0 mm$ . Esos 2,0 mm son unas 3600 longitudes de onda de luz verde, y la lente debe anularlos con una precisión de una fracción de longitud de onda.

Deducción de las ecuaciones de las lentes

El mismo argumento de los tiempos, aplicado primero a una superficie curva y luego a dos, da la ecuación de las lentes delgadas y la ecuación del fabricante de lentes. También muestra por qué bastan superficies esféricas sencillas.

La figura 2 muestra el elemento básico: una superficie esférica entre aire y vidrio de índice $n$ . Su centro de curvatura es $C$ y su radio $R$ ; el punto donde corta el eje es su vértice. El objeto $O$ está a una distancia $s$ delante del vértice, en el aire, y la imagen $I$ a una distancia $s^{'}$ detrás, dentro del vidrio. Como antes, el camino 1 va por el eje, y el camino 2 llega a la superficie a una altura $h$ pequeña comparada con $s$ (la figura la exagera).

Tres efectos deciden si los dos caminos tardan lo mismo. Primero, antes de la superficie el camino 2 es más largo en unos $h^{2} /2 s$ , por la misma razón que en la figura 1. Segundo, después de la superficie es más largo en unos $h^{2} /2 s^{'}$ ; este tramo está en el vidrio, así que cuesta un camino óptico $n h^{2} /2 s^{'}$ . Tercero, la superficie se curva alejándose de $O$ : a la altura $h$ queda a una pequeña distancia $z$ , su sagita, detrás del plano del vértice (la recta vertical discontinua). Así, el camino 2 recorre unos $z$ más en aire antes de entrar en el vidrio, en un tramo que el camino 1 cruza en vidrio. Eso le ahorra al camino 2 un camino óptico $(n - 1) z$ .

La sagita sale del triángulo rectángulo de la figura. Su hipotenusa es el radio $R$ desde $C$ hasta el punto donde el camino 2 llega a la superficie; sus catetos son la altura $h$ y la distancia $R - z$ a lo largo del eje desde $C$ hasta el pie de $h$ . Por tanto $(R - z)^{2} + h^{2} = R^{2}$ , lo que da $z = R - R^{2} - h^{2}$ . Para $h ≪ R$ la raíz cuadrada vale aproximadamente $R - h^{2} /2 R$ , de donde queda $z \approx h^{2} /2 R$ . Los caminos tardan lo mismo cuando las dos longitudes extra igualan el ahorro:
$\frac{h ^{2}}{2 s} + \frac{n h ^{2}}{2 s ^{'}} = \frac{( n - 1 ) h ^{2}}{2 R} \Rightarrow \frac{1}{s} + \frac{n}{s ^{'}} = \frac{n - 1}{R}$

Todos los términos llevan el mismo factor $h^{2}$ , así que se cancela. A este orden la condición no depende en absoluto de la altura: una esfera lleva los rayos de todas las alturas al mismo punto. Por eso funcionan las superficies esféricas, que el pulido produce de forma natural.

Una lente delgada son dos superficies así muy juntas, y su espesor puede tratarse como en la figura 1, como un retraso que varía con la altura. Primero una regla de signos: un radio cuenta como positivo cuando su centro de curvatura está del lado hacia el que va la luz, de modo que una lente biconvexa tiene $R_{1} > 0$ en su primera superficie y $R_{2} < 0$ en la segunda. Cada superficie quita vidrio en proporción a su sagita, así que el espesor disminuye como $t (h) = t_{0} - \frac{1}{2} h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ .

Ahora compara una vez más el camino 2 con el camino axial. Su rodeo extra en el aire cuesta $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ , y el vidrio que evita ahorra $(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} (n - 1) h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . El tiempo es el mismo para todo $h$ solo si ambos son iguales, y de nuevo $h^{2}$ se cancela:
$\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{f}$

Esta línea encierra dos leyes a la vez. Su primer y su último miembro forman la ecuación de las lentes delgadas, $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 1/ f$ ; su segundo y su último forman la ecuación del fabricante de lentes, $1/ f = (n - 1) (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . La distancia focal $f$ es la distancia de la imagen de un objeto muy lejano. El lado izquierdo depende solo de dónde están $O$ e $I$ , el derecho solo del vidrio y su forma, así que una lente forma la imagen de cada plano de una escena en su propio plano conjugado. La lente de la animación, $f = 10 cm$ , podría ser una simétrica de vidrio con $n = 1, 50$ y $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ : $0, 50 \cdot (1/10 + 1/10) = 1/10$ por centímetro.

La forma de Newton y la hipérbola

¿Cómo se mueve la imagen cuando el objeto se acerca a la lente? Una gráfica de la ecuación de las lentes delgadas lo responde, y medir las distancias desde los focos convierte la ecuación en su forma más simple.

La figura 3 representa la distancia de la imagen $d_{i}$ frente a la distancia del objeto $d_{o}$ , como hace la gráfica de la vista avanzada de la animación. Las distancias siguen el convenio de que lo real cuenta como positivo: $d_{i} > 0$ es una imagen real al otro lado de la lente, $d_{i} < 0$ una imagen virtual del lado del objeto. Despejando la imagen, la ecuación de las lentes delgadas da $d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ , una hipérbola. Sus asíntotas discontinuas son $d_{o} = f$ , donde el denominador se anula y la imagen se va al infinito, y $d_{i} = f$ , a la que se acerca la imagen cuando el objeto se aleja hasta el infinito.

Fíjate primero en las dos ramas. La rama superior, marcada $d_{i} > 0$ , contiene las imágenes reales de objetos más allá del foco. La rama inferior, marcada $d_{i} < 0$ , contiene las imágenes virtuales de objetos dentro de él: se pega a la asíntota $d_{o} = f$ muy por debajo del eje y sube hacia el origen cuando $d_{o} \to 0$ . El aumento es $m = - d_{i} / d_{o}$ , la altura de la imagen dividida entre la del objeto, negativo cuando la imagen está invertida. El punto marcado en $2 f$ es el vértice de la rama real, $(2 f, 2 f)$ , donde $d_{i} = d_{o}$ y por tanto $m = - 1$ : una imagen invertida del mismo tamaño.

Ahora mide las dos distancias desde los focos en lugar de desde la lente: $x_{o} = d_{o} - f$ en horizontal y $x_{i} = d_{i} - f$ en vertical. Multiplicar la ecuación de las lentes delgadas por $f d_{o} d_{i}$ da $d_{o} d_{i} = f d_{o} + f d_{i}$ . Pasando el segundo miembro al otro lado y sumando $f^{2}$ a ambos, queda $d_{o} d_{i} - f d_{o} - f d_{i} + f^{2} = f^{2}$ , cuyo primer miembro es $(d_{o} - f) (d_{i} - f)$ . Esta es la forma de Newton de la ecuación de las lentes:
$x_{o} x_{i} = f^{2}$

En la figura es el rectángulo sombreado. Dibujado en el punto marcado $d_{o} = 3 f$ , tiene lados $x_{o} = 2 f$ en la base y $x_{i} = f /2$ en el costado, así que su área es $f^{2}$ . Un rectángulo dibujado desde la esquina $(f, f)$ hasta cualquier otro punto de la curva tiene la misma área; en el vértice es el cuadrado $f \times f$ . El aumento adopta una forma igual de simple. La ecuación despejada da $d_{i} / d_{o} = f / (d_{o} - f) = f / x_{o}$ , y la forma de Newton convierte $f / x_{o}$ en $x_{i} / f$ :
$m = - \frac{f}{x _{o}} = - \frac{x _{i}}{f}$
Compruébalo con el objeto de la animación a 30 cm: $x_{o} = 20 cm$ , así que $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , lo que da de nuevo $d_{i} = 15 cm$ , y $m = - 10/20 = - 0, 5$ .

En la animación, un punto rojo recorre la rama real. Parte de $(34, 1; 14, 2)$ , en centímetros, pasa por el vértice $(20, 20)$ y sale por arriba del panel en $d_{i} = 60 cm$ , cuando $d_{o} = 12 cm$ . Cuando el objeto ha pasado el foco $F$ , un punto morado entra en la rama virtual desde abajo en $d_{i} = - 40 cm$ , cuando $d_{o} = 8 cm$ , y sube hasta $- 12 cm$ . Prolongada hasta $d_{o} \to 0$ , esta rama llega al origen, donde $m = - f / x_{o} \to + 1$ : una lupa pegada al papel no aumenta nada.

La pendiente de la curva dice con qué rapidez se mueve la imagen. Como $d_{i} = f + f^{2} / x_{o}$ y $x_{o}$ cambia exactamente igual que $d_{o}$ , la pendiente es $d (d_{i}) / d (d_{o}) = - f^{2} / x_{o}^{2} = - m^{2}$ . El signo menos significa que, al acercarse el objeto a la lente, la imagen real se aleja de ella: ambos se mueven en el mismo sentido en el espacio, la imagen $m^{2}$ veces más lejos. Así, la profundidad se aumenta en $m^{2}$ pero la altura solo en $m$ . La pendiente es $- 0, 25$ a 30 cm y $- 4, 84$ a 14,55 cm.

Por último, la distancia del objeto a la imagen real es $d_{o} + d_{i} = 2 f + x_{o} + f^{2} / x_{o}$ . La suma $x_{o} + f^{2} / x_{o}$ es mínima en $x_{o} = f$ , donde su derivada $1 - f^{2} / x_{o}^{2}$ se anula. Así, objeto e imagen real nunca están más cerca que $4 f$ , valor que se alcanza en $d_{o} = d_{i} = 2 f$ con $m = - 1$ . En la animación la separación baja de 48,2 cm a 40 cm en $2 F$ y luego vuelve a crecer. El problema resuelto de abajo se apoya en este mínimo.

Espejos y sistemas de lentes

Los espejos obedecen la misma ecuación con un cambio, y un sistema de varias lentes también puede reducirse a ella.

En un espejo la luz regresa, así que la sagita cuenta dos veces. Un espejo cóncavo de radio $R$ se curva hacia el objeto: a la altura $h$ su superficie queda $h^{2} /2 R$ más cerca del objeto que su vértice. Eso acorta el camino 2 en $h^{2} /2 R$ a la ida y otra vez a la vuelta, mientras que sus tramos oblicuos suman $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ como antes. Tiempos iguales exigen, pues, $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = h^{2} / R$ , es decir, $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 2/ R$ : un espejo obedece la ecuación de las lentes delgadas con $f = R /2$ . La luz nunca entra en el vidrio, así que un espejo no tiene dispersión ni error de color, una de las razones por las que los grandes telescopios son reflectores.

Para la luz de una estrella, que llega paralela al eje, una esfera no es exactamente la forma adecuada. Un paraboloide iguala los tiempos exactamente: cada punto de una parábola está tan lejos de su foco como de una recta fija, su directriz, así que todo camino reflejado desde una estrella lejana hasta el foco tiene la misma longitud. Una esfera se aparta de ese paraboloide en unos $h^{4} /8 R^{3}$ , el siguiente término de su sagita. En el borde de un espejo de 20 cm de diámetro con $f = 1, 0 m$ , es decir, $R = 2, 0 m$ y $h = 0, 10 m$ , son 1,6 µm. La reflexión lo duplica hasta unos 3 µm de camino, más de cinco longitudes de onda de la luz visible, de modo que tales espejos se parabolizan. El espejo de 2,4 m del Hubble, pulido con el borde unos 2 µm demasiado plano, dio imágenes borrosas hasta que en 1993 se instaló una óptica correctora.

Las lentes delgadas en contacto simplemente suman sus retardos, así que sus potencias $P = 1/ f$ se suman: $P = P_{1} + P_{2}$ , en dioptrías (D) cuando $f$ está en metros. Dos lentes como la de la animación, de 10 D cada una, dan 20 D, $f = 5 cm$ . Las lentes con huecos entre ellas se toman una a una: la imagen formada por un elemento sirve de objeto al siguiente. Si la luz aún converge al llegar al elemento siguiente, su objeto queda más allá de ese elemento; cuenta como objeto virtual, $d_{o} < 0$ , en la rama morada de la figura 3 prolongada más allá del origen. En aproximación paraxial, cualquier sistema en aire tiene dos focos y dos planos principales, los planos desde los que se miden sus distancias, y $x_{o} x_{i} = f^{2}$ vale con su distancia focal efectiva.

Problema resuelto: lámpara, lente y pantalla

Este experimento de banco óptico aprovecha la separación mínima $4 f$ y mide $f$ sin tener que localizar el foco de la lente.

En la figura 4, una lámpara, con una flecha de 5 cm de alto como objeto, y una pantalla están separadas $L = 45 cm$ . La lente de la animación, $f = 10 cm$ , se desliza entre ellas. ¿Dónde es nítida la imagen en la pantalla y cómo permite esto hallar $f$ ?

Una imagen nítida exige $d_{o} + d_{i} = L$ . Al poner $d_{i} = L - d_{o}$ en la ecuación de las lentes delgadas y multiplicar por $f d_{o} (L - d_{o})$ se obtiene $f L = d_{o} (L - d_{o})$ , una ecuación de segundo grado en $d_{o}$ :
$d_{o}^{2} - L d_{o} + L f = 0, d_{o} = \frac{L \pm L ^{2} - 4 L f}{2} = \frac{45 \pm 15}{2} cm$
Así que la lente funciona a 30 cm de la lámpara, con la imagen 15 cm más allá (posición 1 de la figura), y a 15 cm de la lámpara, con la imagen 30 cm más allá (posición 2).

Las dos posiciones son inversas una de otra, como exige la reversibilidad de los caminos de la luz: si $O$ se forma en $I$ , entonces $I$ se forma en $O$ . Compara las dos filas de distancias de la figura: en la posición 2 la lente está a $d_{i}$ de la lámpara y a $d_{o}$ de la pantalla, las mismas dos longitudes intercambiadas. La flecha de 5 cm da una imagen de 2,5 cm de alto con $m = - 0, 5$ en la posición 1, y de 10 cm de alto con $m = - 2$ en la posición 2. Los dos aumentos son $- d_{i} / d_{o}$ y $- d_{o} / d_{i}$ , así que su producto es 1, y la altura del objeto es la media geométrica de las alturas de las dos imágenes, $2, 5 \cdot 10 = 5 cm$ .

La raíz cuadrada es real solo si $L \geq 4 f$ , la separación mínima hallada antes. A 40 cm las dos posiciones se funden en $d_{o} = 20 cm$ ; con la pantalla más cerca, ninguna posición da una imagen nítida.

El método también funciona al revés, para una lente desconocida. Mide $L$ y el desplazamiento $a$ de la lente entre sus dos posiciones nítidas, el $a$ de la figura 4, aquí $30 - 15 = 15 cm$ . Las dos raíces difieren en $a = L^{2} - 4 L f$ , así que
$f = \frac{L ^{2} - a ^{2}}{4 L} = \frac{4 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{4 \cdot 45} = 10 cm$
a partir de dos longitudes medidas a lo largo del banco, sin necesidad de saber desde qué punto del interior de la lente medir.

Aberraciones: donde fallan los tiempos iguales

Todo lo anterior conservó solo los términos en $h^{2}$ . Las lentes reales se quedan cortas respecto al ideal porque los términos siguientes no se cancelan y porque $n$ depende del color.

A orden $h^{4}$ los tiempos a través de una lente esférica ya no coinciden, y los rayos exteriores enfocan antes que los paraxiales, los cercanos al eje. Es la aberración esférica. Trazados con exactitud a través de la lente simétrica de antes, de 4 cm de diámetro, los rayos paralelos que pasan por el borde cortan el eje unos 7 mm antes del foco paraxial, y los rayos a la mitad de esa altura unos 1,6 mm antes. Reducir la altura a la mitad divide el desplazamiento aproximadamente por cuatro: crece como $h^{2}$ . Una apertura menor y las superficies asféricas la reducen.

Como $n$ depende de la longitud de onda, también lo hace $f$ : es la aberración cromática. El vidrio crown tiene $n = 1, 514$ para la luz roja y 1,522 para la azul. Como $1/ f \propto n - 1$ , el foco azul queda más cerca en la proporción $0, 522/0, 514$ , un 1,5 % aproximadamente, es decir, unos 1,5 mm para una lente de 10 cm. Un doblete acromático añade una lente divergente más débil de vidrio flint. El flint dispersa más los colores, así que la lente débil de flint cancela el error de color de la lente fuerte de crown y le quita solo una parte de su potencia. Los puntos fuera del eje añaden más errores, coma, astigmatismo y distorsión, que los diseñadores equilibran entre sí con elementos asféricos.

Límites de validez

La ley de las lentes delgadas supone rayos paraxiales, un espesor pequeño frente a $f$ y aire a ambos lados. La última suposición falla en el agua, donde lo que cuenta es el índice del vidrio relativo al del agua. Una lente con $n = 1, 50$ trabaja entonces con $1, 50/1, 33 - 1 = 0, 13$ en lugar de 0,50, y su distancia focal casi se cuadruplica. La córnea, la superficie refractora más potente del ojo, pierde la mayor parte de su potencia de la misma manera, porque el líquido que hay detrás tiene casi el índice del agua: de ahí el borrón que ves bajo el agua sin gafas de buceo.

El límite más profundo es la naturaleza ondulatoria de la luz. Los tiempos solo necesitan coincidir dentro de una fracción de periodo, aproximadamente un cuarto (criterio de Rayleigh): entonces las ondículas en la imagen ya están casi en fase, y seguir puliendo apenas gana nada. Lo que queda es la difracción. Incluso una lente perfecta de diámetro $D$ forma la imagen de un punto como un pequeño disco con anillos tenues, el disco de Airy, cuyo radio angular es $1, 22 λ / D$ . Para la lente de 4 cm y luz verde (550 nm) son $1, 7 \times 1 0^{- 5} rad$ , una mancha de 1,7 µm de radio en su foco, situado a 10 cm. Una pupila de 3 mm de ancho da unos 0,8 minutos de arco, cerca de lo más nítido que alcanza la visión humana. Aumentar más allá solo agranda el borrón; no revela ningún detalle nuevo.

Lo que viene después

La lección El ojo, la cámara y el telescopio pone estas lentes a trabajar: el ojo como una lente de unas 60 D, la lupa con un aumento angular de unos $25 cm / f$ , el telescopio como un objetivo y un ocular. La dispersión que hay detrás de la aberración cromática viene de la lección Prismas, dispersión y color. La lección Difracción y experimento de la doble rendija explica el límite de resolución, y en la lección Dualidad onda-corpúsculo los fotones sueltos suman sus amplitudes sobre todos los caminos hasta la imagen.

En la lección La gravedad como curvatura del espacio-tiempo, la masa actúa como una lente. El Sol desvía 1,75 segundos de arco un rayo que roza su borde. Una lente de vidrio desvía un rayo más cuanto más lejos del eje pasa; la gravedad hace lo contrario, ya que la desviación disminuye como $1/ b$ con la distancia $b$ del rayo al centro. Así que no hay un foco único: los rayos que rozan el Sol se juntan a unas 550 UA, y los que pasan más lejos se juntan más lejos aún. Las galaxias que actúan como lentes de otras más lejanas producen imágenes múltiples y anillos.

Fórmulas clave

Ecuación de las lentes delgadas

\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}

Los inversos de las distancias del objeto y de la imagen suman el inverso de la distancia focal, el mismo para cualquier posición del objeto. Se deduce de triángulos semejantes en el diagrama de rayos, o de exigir que todo camino de un punto del objeto a su punto imagen tarde lo mismo. Resuélvela como $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ e invierte al final; un resultado negativo indica una imagen virtual.

Símbolos
$f$	distancia focal, positiva en una lente convergente o un espejo cóncavo	$m$
$d_{o}$	distancia del objeto, del objeto a la lente	$m$
$d_{i}$	distancia de la imagen, positiva si es real y negativa si es virtual	$m$

Cuándo es válida: Para lentes delgadas y espejos esféricos con rayos paraxiales, con el convenio de que lo real es positivo. Las lentes gruesas y los sistemas de lentes exigen medir las distancias desde los planos principales, y los rayos alejados del eje sufren aberraciones.

Ejemplo: La lente de la animación, $f = 10 cm$ , con $d_{o} = 30 cm$ : $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 2/30$ , luego $d_{i} = 15 cm$ .

Aumento

m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}

El cociente entre la altura de la imagen y la del objeto. El rayo que pasa por el centro de la lente sigue recto, así que forma dos triángulos semejantes con el objeto y la imagen, y las alturas están en la proporción de las distancias. El signo menos recoge que una imagen real de un objeto real está invertida: $m < 0$ significa invertida, $m > 0$ derecha y $∣ m ∣ > 1$ ampliada.

Símbolos
$m$	aumento
$h_{i}$	altura de la imagen, negativa si está invertida	$m$
$h_{o}$	altura del objeto	$m$
$d_{i}$	distancia de la imagen	$m$
$d_{o}$	distancia del objeto	$m$

Cuándo es válida: Para lentes delgadas y espejos con rayos paraxiales, y solo para tamaños transversales al eje: la profundidad a lo largo del eje se amplía en $m^{2}$ .

Ejemplo: Objeto a 30 cm, imagen a 15 cm: $m = - 15/30 = - 0, 5$ , así que la flecha de 5 cm da una imagen invertida de 2,5 cm de alto.

Potencia óptica

P = \frac{1}{f} (dioptr \overset{ı}{ˊ} as, f en metros : f = 10 cm \to P = 10 D)

La potencia es el inverso de la distancia focal: cuanto más corta es esta, más desvía la luz la lente. Con $f$ en metros sale en dioptrías, $1 D = 1 m^{- 1}$ . Su utilidad es que las potencias de lentes delgadas en contacto simplemente se suman, y por eso las gafas se prescriben en dioptrías.

Símbolos
$P$	potencia óptica, en dioptrías (D)	$m^{- 1}$
$f$	distancia focal, en metros	$m$

Cuándo es válida: Para lentes delgadas: una lente convergente tiene $P > 0$ y una divergente $P < 0$ . Las potencias solo se suman para lentes delgadas en contacto; dos lentes separadas una distancia $d$ se combinan como $1/ F = 1/ f_{1} + 1/ f_{2} - d / (f_{1} f_{2})$ .

Ejemplo: $f = 10 cm = 0, 10 m$ da $P = 10 D$ ; al añadir una lente de lectura de +2,5 D se obtienen 12,5 D, luego $f = 8 cm$ .

Distancia focal de un espejo esférico

f = \frac{R}{2} (espejo esf \overset{e}{ˊ} rico)

Un rayo paralelo al eje se refleja en un espejo esférico con el mismo ángulo respecto al radio, que es la normal en ese punto, así que corta el eje a medio camino entre el espejo y el centro de curvatura. Con esa distancia focal, un espejo cumple la misma ecuación que una lente delgada, con sus imágenes reales delante de él.

Símbolos
$f$	distancia focal del espejo	$m$
$R$	radio de curvatura, como longitud; un espejo convexo tiene $f = - R /2$	$m$

Cuándo es válida: Para rayos paraxiales. Los rayos que inciden lejos del eje lo cortan más cerca del espejo (aberración esférica); un espejo parabólico enfoca exactamente la luz paralela.

Ejemplo: Un espejo de maquillaje con $R = 60 cm$ tiene $f = 30 cm$ ; un retrovisor convexo con $R = 2, 0 m$ tiene $f = - R /2 = - 1, 0 m$ .

Ecuación del fabricante de lentes

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) (lente en aire; biconvexa : R_{1} > 0, R_{2} < 0)

La distancia focal de una lente delgada se deduce de su vidrio y su forma. Las curvaturas $1/ R_{1} - 1/ R_{2}$ fijan cuánto más gruesa es la lente en el centro, y el vidrio retrasa la luz $n - 1$ veces ese espesor: justo lo necesario para dar a todo camino de un punto a su imagen el mismo tiempo de recorrido. Un radio cuenta como positivo cuando su centro de curvatura está del lado hacia el que va la luz.

Símbolos
$f$	distancia focal de la lente	$m$
$n$	índice de refracción del vidrio
$R_{1}$	radio de curvatura de la superficie que la luz encuentra primero	$m$
$R_{2}$	radio de curvatura de la segunda superficie	$m$

Cuándo es válida: Para una lente delgada en aire con rayos paraxiales. En un medio de índice $n_{m}$ , hay que sustituir $n - 1$ por $n / n_{m} - 1$ ; una lente gruesa necesita una corrección que depende de su espesor.

Ejemplo: Vidrio con $n = 1, 50$ y $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ : $1/ f = 0, 50 \cdot (0, 10 + 0, 10) = 0, 10 c m^{- 1}$ , luego $f = 10 cm$ , la lente de la animación.

Forma de Newton de la ecuación de las lentes

x_{o} x_{i} = f^{2}

Se mide la distancia del objeto al foco objeto y la de la imagen al foco imagen: su producto es siempre $f^{2}$ . Es la ecuación de las lentes delgadas reescrita, y hace sencillo el aumento, $m = - f / x_{o} = - x_{i} / f$ . Ambas distancias tienen el mismo signo: un objeto más allá de $F$ da una imagen más allá de $F^{'}$ .

Símbolos
$x_{o}$	distancia del objeto al foco objeto $F$ , $d_{o} - f$	$m$
$x_{i}$	distancia de la imagen al foco imagen $F^{'}$ , $d_{i} - f$	$m$
$f$	distancia focal	$m$

Cuándo es válida: Para cualquier sistema de lentes en aire en el límite paraxial, con su distancia focal efectiva, porque solo necesita las posiciones de los dos focos; por eso es la forma general para lentes gruesas y sistemas compuestos.

Ejemplo: Objeto a 30 cm de la lente de la animación: $x_{o} = 20 cm$ , luego $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , y la imagen está a $10 + 5 = 15 cm$ detrás de la lente.

Glosario

Lente convergente: Una lente más gruesa en el centro que en los bordes, con $f > 0$ : reúne en un foco real los rayos que llegan paralelos al eje. Forma imágenes reales e invertidas de objetos situados más allá de $F$ , e imágenes virtuales ampliadas de objetos situados dentro de él.
Lente divergente: Una lente más delgada en el centro que en los bordes, con $f < 0$ : dispersa los rayos paralelos como si vinieran de un foco virtual situado delante de ella. De cualquier objeto real da una imagen virtual, derecha y reducida.
Eje óptico: La recta que pasa por el centro de una lente o un espejo, en ángulo recto con él, sobre la que están sus focos y sus centros de curvatura. Las distancias a lo largo de ella y las alturas medidas desde ella describen objetos e imágenes.
Foco: El punto donde se reúnen, tras la lente o el espejo, los rayos que llegan paralelos al eje, o desde el cual parecen dispersarse. Una lente delgada tiene uno a cada lado, $F$ y $F^{'}$ , a la misma distancia $f$ ; un espejo esférico tiene su foco a medio camino entre el espejo y su centro de curvatura.
Imagen real: Una imagen donde la luz converge de verdad tras la lente o el espejo, de modo que puede recogerse en una pantalla o un sensor. Con una sola lente o un solo espejo es invertida, y su distancia de imagen es positiva.
Imagen virtual: Una imagen de la que la luz solo parece venir: los rayos que salen de la lente o el espejo se separan, y solo sus prolongaciones hacia atrás se encuentran. Se puede ver y fotografiar, pero no recoger en una pantalla, como ocurre con una lupa o un espejo plano.
Rayos principales: Tres rayos desde la punta de un objeto que son fáciles de trazar: paralelo al eje y luego por $F^{'}$ , recto por el centro, y por $F$ y luego paralelo. Bastan dos para situar la imagen, pero la forma toda la luz que atraviesa la lente.
Potencia óptica: Cuánto hace converger la luz una lente o un espejo, $P = 1/ f$ , en dioptrías (D) con $f$ en metros: la lente de la animación, $f = 10 cm$ , tiene 10 D. Las potencias de lentes delgadas en contacto se suman, y una lente divergente tiene potencia negativa.
Espejos cóncavos y convexos: Un espejo cóncavo, curvado como el interior de un cuenco, hace converger la luz, con $f = R /2$ ; uno convexo, curvado hacia fuera, la dispersa, con $f = - R /2$ . Un espejo forma sus imágenes reales delante de él y las virtuales detrás.
Puntos conjugados: Un punto del objeto y su punto imagen. Todo camino de la luz entre ellos a través del sistema tarda lo mismo, así que la luz de uno se reúne en el otro; los papeles pueden intercambiarse, porque los caminos de la luz son reversibles.
Aproximación paraxial: Tratar todos los rayos como cercanos al eje y casi paralelos a él, de modo que las diferencias de camino solo se conservan hasta el orden $h^{2}$ y $sin θ \approx θ$ . Las ecuaciones de las lentes delgadas y de los espejos solo son exactas en este límite.
Aberración: Cualquier desviación de una lente o un espejo reales respecto a la formación perfecta de imágenes. La aberración esférica hace que los rayos exteriores enfoquen antes, la cromática da a cada color su foco, y la coma, el astigmatismo y la distorsión estropean los puntos alejados del eje.

Magnitudes
$f$	Distancia focal	$m$	Distancia de una lente delgada o un espejo a sus focos: positiva en los convergentes y negativa en los divergentes. La lente de la animación tiene $f = 10 cm$ .
$d_{o}$	Distancia del objeto	$m$	Distancia del objeto a la lente o al espejo, positiva para un objeto real, situado delante: de 34,1 cm a 5,45 cm en la animación.
$d_{i}$	Distancia de la imagen	$m$	Distancia de la lente o el espejo a la imagen: positiva si es real (detrás de una lente, delante de un espejo) y negativa si es virtual. Vale 15 cm cuando $d_{o} = 30 cm$ en la animación.
$h_{o}$	Altura del objeto	$m$	Altura del objeto sobre el eje: la flecha de la animación mide 5 cm.
$h_{i}$	Altura de la imagen	$m$	Altura de la imagen medida desde el eje, negativa si la imagen está invertida: $- 2, 5 cm$ para la flecha a 30 cm.
$m$	Aumento		La altura de la imagen dividida entre la del objeto, $m = - d_{i} / d_{o}$ . Su valor absoluto dice cuántas veces mayor es la imagen, y su signo si es derecha ( $m > 0$ ) o invertida ( $m < 0$ ).
$R$	Radio de curvatura	$m$	Radio de la esfera de la que forma parte un espejo o una superficie de lente. Tomado como longitud, da $f = + R /2$ en un espejo cóncavo y $f = - R /2$ en uno convexo; si se cuenta $R$ como negativo en un espejo convexo, $f = R /2$ vale en ambos casos.
$n$	Índice de refracción		Cuántas veces es más lenta la luz en el material de la lente que en el vacío, unos 1,50 para el vidrio corriente. Junto con las curvaturas fija la distancia focal de una lente.
$x_{o}$	Distancia del objeto al foco	$m$	Distancia del objeto al foco objeto $F$ , $x_{o} = d_{o} - f$ ; negativa cuando el objeto está dentro de la distancia focal.
$x_{i}$	Distancia de la imagen al foco	$m$	Distancia de la imagen al foco imagen $F^{'}$ , $x_{i} = d_{i} - f$ , ligada a $x_{o}$ por la forma de Newton $x_{o} x_{i} = f^{2}$ .

Prueba

Principiante Una lupa al sol quema un pequeño punto brillante en un papel. ¿Dónde está el papel?
1. En el foco de la lente
2. Pegado a la lente
3. Al doble de la distancia del foco
4. En cualquier sitio, la distancia no importa
Ver respuesta
Respuesta: A. En el foco de la lente
La luz paralela del Sol se concentra en el foco, así que el punto es más pequeño y caliente cuando el papel está a una distancia focal.
Principiante Se proyecta un árbol lejano sobre un papel con una lente convergente. ¿Cómo es la imagen?
1. Derecha y más grande
2. Derecha y más pequeña
3. Invertida y más pequeña
4. No hay imagen en el papel
Ver respuesta
Respuesta: C. Invertida y más pequeña
Un objeto lejano forma una imagen real justo detrás del foco: pequeña e invertida, como dentro de una cámara.
Principiante Al mirar un insecto pequeño con una lupa sostenida cerca de él, la imagen que ves es…
1. derecha y más grande
2. invertida y más grande
3. derecha y más pequeña
4. invertida y más pequeña
Ver respuesta
Respuesta: A. derecha y más grande
Con el objeto dentro de la distancia focal, la lente forma una imagen virtual derecha y ampliada.
Intermedio Un objeto está a 30 cm de una lente convergente de distancia focal 10 cm. ¿Dónde está la imagen?
1. A 20 cm de la lente
2. A 15 cm de la lente
3. A 7,5 cm de la lente
4. A 40 cm de la lente
Ver respuesta
Respuesta: B. A 15 cm de la lente
1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, así que dᵢ = 15 cm. Restar las distancias (30 − 10 = 20) es un error frecuente.
Intermedio Una lente convergente proyecta en una pantalla una imagen nítida de una vela. Se tapa la mitad superior de la lente con una cartulina negra. ¿Qué le ocurre a la imagen?
1. Desaparece la mitad superior de la imagen
2. Desaparece la mitad inferior de la imagen
3. La imagen se reduce a la mitad de tamaño
4. La imagen sigue completa, pero más tenue
Ver respuesta
Respuesta: D. La imagen sigue completa, pero más tenue
Cada parte de la lente recibe luz de todos los puntos de la vela y la envía al punto imagen correspondiente, así que la mitad descubierta sigue formando la imagen completa; solo recoge la mitad de luz.
Intermedio ¿Qué le ocurre al rayo principal que pasa por el centro de una lente delgada?
1. Sigue recto sin desviarse
2. Sale paralelo al eje
3. Pasa por el foco imagen
4. Se refleja hacia atrás
Ver respuesta
Respuesta: A. Sigue recto sin desviarse
En el centro, las dos caras de una lente delgada son paralelas, así que el rayo la atraviesa sin desviación apreciable.
Avanzado Un espejo convexo de vigilancia de una tienda tiene un radio de curvatura de 1,0 m. Un cliente está a 4,0 m delante de él. ¿Dónde está la imagen del cliente?
1. A 0,57 m delante del espejo, invertida
2. A 0,44 m detrás del espejo, derecha y unas 9 veces más pequeña
3. A 4,0 m detrás del espejo, del mismo tamaño
4. A 0,50 m detrás del espejo, en el foco
Ver respuesta
Respuesta: B. A 0,44 m detrás del espejo, derecha y unas 9 veces más pequeña
Un espejo convexo tiene f = −R/2 = −0,50 m, así que 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = −2,00 − 0,25 = −2,25 m⁻¹ y dᵢ ≈ −0,44 m: una imagen virtual detrás del espejo, con m = −dᵢ/dₒ ≈ +0,11, derecha y reducida. Olvidar el signo (f = +0,50 m) da 0,57 m y una imagen invertida. Esa vista amplia y reducida es la razón de que estos espejos muestren toda la tienda.
Avanzado En la gráfica dᵢ(dₒ) de una lente convergente, ¿qué significa físicamente la asíntota vertical dₒ = f?
1. La imagen se hace lo más pequeña posible
2. Los rayos del objeto salen paralelos de la lente, así que la imagen está en el infinito
3. La imagen cae sobre la propia lente
4. La lente deja de refractar la luz
Ver respuesta
Respuesta: B. Los rayos del objeto salen paralelos de la lente, así que la imagen está en el infinito
Con el objeto en F, 1/dᵢ = 1/f − 1/f = 0: los rayos salen paralelos y solo se cortan en el infinito; al cruzar F la imagen pasa de real a virtual.

$O$	Punto objeto.
$I$	Punto imagen: donde llegan al mismo tiempo todos los caminos desde $O$ .
$d_{o}$	Distancia de $O$ a la lente, a lo largo del eje.	$m$
$d_{i}$	Distancia de la lente a $I$ , a lo largo del eje.	$m$
$h$	Altura sobre el eje a la que el camino 2 cruza la lente.	$m$
$t_{0}$	Espesor de la lente en el eje: el vidrio que cruza el camino 1.	$m$
$t$	Espesor de la lente a la altura $h$ : el vidrio que cruza el camino 2.	$m$

$O$	Punto objeto, en el aire.
$I$	Punto imagen, dentro del vidrio.
$C$	Centro de curvatura de la superficie.
$R$	Radio de la superficie: la distancia de $C$ al vértice y a cualquier punto de la superficie.	$m$
$s$	Distancia del objeto: de $O$ al vértice de la superficie.	$m$
$s^{'}$	Distancia de la imagen: del vértice a $I$ , dentro del vidrio.	$m$
$h$	Altura sobre el eje a la que el camino 2 llega a la superficie.	$m$
$z$	Sagita: cuánto queda la superficie detrás del plano del vértice a la altura $h$ .	$m$
$n$	Índice de refracción del vidrio; el aire tiene índice 1.

$d_{o}$	Distancia del objeto: del objeto a la lente.	$m$
$d_{i}$	Distancia de la imagen: positiva para una imagen real más allá de la lente, negativa para una virtual.	$m$
$f$	Distancia focal: fija las dos asíntotas y el vértice $(2 f, 2 f)$ .	$m$
$x_{o}$	Distancia del objeto medida desde el foco: $d_{o} - f$ .	$m$
$x_{i}$	Distancia de la imagen medida desde el foco: $d_{i} - f$ .	$m$

$L$	Distancia de la lámpara a la pantalla, que se mantiene fija.	$m$
$a$	Desplazamiento de la lente entre sus dos posiciones nítidas.	$m$
$d_{o}$	Distancia de la lámpara a la lente en la posición 1, y de la lente a la pantalla en la posición 2.	$m$
$d_{i}$	Distancia de la lente a la pantalla en la posición 1, y de la lámpara a la lente en la posición 2.	$m$