Lentilles et miroirs

Une lentille mince ou un miroir courbe de distance focale $f$ forme une image à la distance donnée par $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , avec le grandissement $m = - d_{i} / d_{o}$ ; une lentille convergente la rend réelle et renversée si l'objet est au-delà du foyer, virtuelle, droite et agrandie s'il est en deçà.

Une flèche-objet s'approche d'une lentille convergente : son image est réelle et renversée au-delà du foyer, disparaît au foyer puis devient virtuelle, droite et agrandie en deçà.

Avant ce thème: Réflexion et réfraction

Débutant

À retenir

Une lentille plus épaisse au centre est convergente : elle rassemble des rayons parallèles en un point, le foyer.
La distance focale sépare la lentille de son foyer ; une lentille plus bombée a une distance focale plus courte.
Un objet lointain donne une petite image réelle à l'envers, que l'on peut recueillir sur un écran, comme dans un appareil photo ou l'œil.
Plus près que le foyer, la lentille montre une image virtuelle droite et agrandie : c'est la loupe.

Étape 1, la forme décide. Une lentille plus épaisse au centre qu'au bord est convergente. Chacune de ses parties agit comme un petit prisme : les bords inclinés dévient fortement la lumière, le centre presque plat à peine, si bien que des rayons arrivant côte à côte sont rabattus les uns vers les autres.

Étape 2, le foyer. Une lumière parallèle, comme celle du Soleil, est rassemblée en un point, le foyer ; c'est ainsi qu'une loupe peut brûler un point sur une feuille. La distance entre la lentille et le foyer est la distance focale. Une lentille plus bombée dévie plus fort et a une distance focale plus courte.

Étape 3, les images réelles. Les rayons partis d'un point de l'objet se retrouvent en un point derrière la lentille, et tous ces points ensemble forment une image. Placez-y une feuille de papier : l'image s'y dessine, à l'envers. Une image formée par de la lumière qui arrive vraiment est dite réelle ; les appareils photo et les yeux s'en servent.

Dans l'animation, la flèche noire avance vers la lentille. Tant qu'elle est loin, son image rouge est petite et renversée ; à mesure qu'elle approche, l'image s'éloigne et grandit. Quand la flèche atteint le foyer, la lumière ressort en faisceaux parallèles et aucune image ne se forme.

Étape 4, les images virtuelles. Plus près que le foyer, les rayons ressortent en s'écartant et ne se rencontrent jamais. L'œil les prolonge en arrière et voit une image violette droite et agrandie, du côté de l'objet : c'est la loupe. Aucune lumière n'atteint cet endroit ; l'image est dite virtuelle, comme votre reflet qui semble se tenir derrière un miroir plan.

Testez-vous : une lentille projette une lampe sur un mur. Vous éloignez la lampe. Faut-il rapprocher le mur ou le reculer ? (Le rapprocher : un objet plus lointain a son image plus près de la lentille.)

Intermédiaire

À retenir

Lentille mince : $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , $m = - d_{i} / d_{o}$ ; $f = 10 cm$ et $d_{o} = 30 cm$ donnent $d_{i} = 15 cm$ , $m = - 0, 5$ .
Le réel est positif : $d_{i} > 0$ , image réelle sur un écran ; $d_{i} < 0$ , image virtuelle du côté de l'objet ( $d_{o} = 5 cm$ donne $d_{i} = - 10 cm$ ).
Trois rayons particuliers placent l'image : parallèle puis par $F^{'}$ , droit par le centre, par $F$ puis parallèle.
Un miroir concave obéit à la même relation avec $f = R /2$ ; ses images réelles se forment devant le miroir.

Distance focale, distances et signes

Une lentille beaucoup plus mince que les distances en jeu se décrit par un seul nombre, sa distance focale $f$ . Une lentille convergente rassemble les rayons qui arrivent parallèlement à l'axe, la droite perpendiculaire à la lentille qui passe par son centre, au foyer image $F^{'}$ , situé à la distance $f$ derrière elle ; le foyer objet $F$ se trouve à la même distance devant. Dans l'animation, $f = 10 cm$ , et les repères $2 F$ et $2 F^{'}$ sont deux fois plus éloignés. Les opticiens indiquent plutôt la vergence $V = 1/ f$ , en dioptries (δ) avec $f$ en mètres : la lentille de l'animation a $V = 1/ (0, 10 m) = 10 δ$ .

La lumière se propage de la gauche vers la droite. On mesure à partir de la lentille la distance $d_{o}$ de l'objet et la distance $d_{i}$ de l'image, et à partir de l'axe, vers le haut, les hauteurs $h_{o}$ et $h_{i}$ ; le réel est compté positivement. Une lentille convergente, plus épaisse au milieu, a $f > 0$ ; une lentille divergente, plus mince au milieu, a $f < 0$ . Un $d_{i}$ positif désigne une image réelle de l'autre côté, qu'un écran peut recueillir ; un $d_{i}$ négatif, une image virtuelle du côté de l'objet, que l'on ne voit qu'à travers la lentille.

La relation de conjugaison d'une lentille mince

L'endroit où se forme l'image et sa taille découlent de deux équations :

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}$
$m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}$

La première additionne des inverses, et non des distances : calculez $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ , puis inversez le résultat. La seconde donne le grandissement $m$ , la hauteur de l'image divisée par celle de l'objet. Sa valeur absolue dit de combien l'image est plus grande, et un signe négatif signifie qu'elle est renversée : l'image réelle d'un objet réel, les deux distances étant positives, est donc toujours renversée. Pour une lentille divergente de $f = - 10 cm$ avec un objet à 30 cm, $1/ d_{i} = - 1/10 - 1/30 = - 4/30 c m^{- 1}$ , donc $d_{i} = - 7, 5 cm$ et $m = + 0, 25$ : une image virtuelle, droite, quatre fois plus petite que l'objet.

Trouver l'image avec trois rayons

Tout rayon issu du sommet de l'objet qui traverse la lentille atteint le sommet de l'image, ou semble en provenir. Trois d'entre eux sont faciles à tracer, et l'animation les montre en couleur :

Le rayon doré arrive parallèle à l'axe et ressort en passant par le foyer image $F^{'}$ .
Le rayon vert passe tout droit par le centre, où les deux faces sont parallèles.
Le rayon bleu passe par le foyer objet $F$ et ressort parallèle à l'axe.

Le point où les rayons se croisent est le sommet de l'image ; deux rayons suffisent à le fixer, et le troisième sert de vérification. Avec l'objet en deçà de $F$ , le rayon bleu suit la droite en pointillé issue de $F$ , et les rayons ressortent de la lentille en s'écartant ; leurs prolongements en pointillé vers l'arrière se rejoignent du côté de l'objet, au sommet de l'image virtuelle.

Le schéma fournit aussi les équations. Le rayon vert forme avec l'objet et l'image des triangles semblables, d'où $h_{i} / h_{o} = - d_{i} / d_{o}$ . Le rayon doré passe de la hauteur $h_{o}$ au niveau de la lentille à zéro une distance $f$ plus loin ; à l'image, on a donc $h_{i} = h_{o} (1 - d_{i} / f)$ . En égalant les rapports, $1 - d_{i} / f = - d_{i} / d_{o}$ , et en divisant par $d_{i}$ on obtient la relation de conjugaison.

Exemple résolu : la flèche de l'animation

La flèche mesure 5 cm de haut et la lentille a $f = 10 cm$ . Quand la flèche passe en $d_{o} = 30 cm$ ,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} c m^{- 1}$
$d_{i} = 15 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0, 5$

L'image est réelle, renversée et deux fois plus petite que l'objet, $h_{i} = - 2, 5 cm$ , entre $F^{'}$ et $2 F^{'}$ , là où se croisent les trois rayons. Ce sont les valeurs affichées pour $d_{i}$ et $m$ à cet instant.

Au départ, $d_{o} = 34, 1 cm$ , l'image est petite : $d_{i} = 14, 2 cm$ , $m = - 0, 42$ . En $2 F$ , elle a la taille de l'objet et se trouve en $2 F^{'}$ , avec $m = - 1$ . Entre $2 F$ et $F$ , elle est agrandie, comme dans un projecteur : à 14,55 cm (l'affichage indique 14,5), les affichages donnent $d_{i} = 32, 0 cm$ et $m = - 2, 20$ . Près de $F$ , l'affichage indique $d_{i} \to \infty$ , et en $F$ même les rayons ressortent de la lentille parallèles.

En deçà de $F$ , le signe change. À 7,73 cm, $d_{i} = - 34, 0 cm$ et $m = + 4, 40$ ; à la fin, $d_{o} = 5, 45 cm$ (affiché 5,5), $d_{i} = - 12, 0 cm$ et $m = + 2, 20$ : une image violette droite de 11 cm de haut, du côté de l'objet. C'est une loupe. À exactement 5 cm, $1/ d_{i} = 1/10 - 1/5 = - 1/10$ , donc $d_{i} = - 10 cm$ et $m = + 2$ .

Les miroirs courbes obéissent à la même règle

Un miroir concave, creusé comme l'intérieur d'une cuillère, fait converger la lumière ; un miroir convexe la disperse. Un miroir concave réfléchit les rayons parallèles à l'axe en les faisant passer par son foyer $F$ , à mi-chemin entre le miroir et son centre de courbure $C$ :
$f = \frac{R}{2} (miroir sph \overset{e}{ˊ} rique)$

Le rayon de courbure tracé depuis $C$ jusqu'au point d'impact est la normale en ce point, si bien qu'un rayon lumineux parallèle à l'axe repart avec le même angle par rapport à lui, de l'autre côté. Le rayon lumineux, ce rayon de courbure et l'axe forment un triangle isocèle ; pour de petits angles, cela place le point de croisement à mi-chemin entre $C$ et le miroir.

La même relation et le même grandissement s'appliquent, mais la lumière revient en arrière : le côté réel est donc celui de devant. Les images réelles ( $d_{i} > 0$ ) se forment devant le miroir, et les images virtuelles ( $d_{i} < 0$ ) derrière lui. Un miroir concave a $f = + R /2$ , un miroir convexe $f = - R /2$ . Un miroir plan, $R \to \infty$ , donne $d_{i} = - d_{o}$ et $m = + 1$ .

Exemple résolu : un miroir de maquillage

Un miroir de maquillage concave a $R = 60 cm$ , donc $f = 30 cm$ . Avec votre visage à 15 cm,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = - \frac{1}{30} c m^{- 1}, d_{i} = - 30 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = + 2$
L'image est virtuelle, droite et deux fois plus grande que le visage, à 30 cm derrière le miroir : vos yeux la voient donc à 45 cm, une distance assez grande pour que l'œil accommode sans effort.

Reculez maintenant jusqu'à ce que votre visage soit à 90 cm du miroir :
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} = \frac{2}{90} c m^{- 1}, d_{i} = 45 cm, m = - \frac{45}{90} = - 0, 5$
L'image est maintenant réelle et renversée, suspendue dans l'air à 45 cm devant le miroir, à mi-chemin entre lui et vous : un petit visage la tête en bas, comme dans le creux d'une cuillère. À 30 cm, au foyer, vous ne voyez qu'un flou.

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser : $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 0, 067 c m^{- 1}$ n'est pas encore la réponse ; c'est son inverse, 15 cm, qui l'est. Soustraire les distances, $30 - 10 = 20 cm$ , est faux aussi.
Cacher la moitié de la lentille ne supprime pas la moitié de l'image : chaque partie de la lentille envoie la lumière de chaque point de l'objet vers son point image, donc l'image reste entière, deux fois moins lumineuse.
Une distance image négative n'est pas une erreur : $d_{o} = 5 cm$ donne $d_{i} = - 10 cm$ , une image virtuelle que l'on voit à travers la lentille mais que l'on ne peut pas recueillir sur un écran.
Les lentilles divergentes et les miroirs convexes ont une distance focale négative : avec $+ 10 cm$ au lieu de $- 10 cm$ , un objet à 30 cm semble donner une image réelle à 15 cm, et non une image virtuelle en $- 7, 5 cm$ .
Les images réelles d'un miroir se forment devant lui : le miroir de maquillage donne d'un visage placé à 90 cm une image qui se forme à 45 cm devant la glace.

Où on les rencontre

Un appareil photo forme une image réelle sur un capteur : l'objectif d'un téléphone, de $f = 4, 0 mm$ , forme l'image d'une personne située à 2,0 m, à $d_{i} = 4, 008 mm$ derrière lui, si bien que passer de la mise au point sur une montagne lointaine à celle sur cette personne ne déplace l'objectif que de 8 µm. Un projecteur place la diapositive juste au-delà de $F$ , et une loupe place l'objet en deçà de $F$ . Les phares mettent l'ampoule au foyer d'un miroir concave pour obtenir un faisceau parallèle ; les rétroviseurs convexes des voitures donnent une vue large mais réduite.

Les instruments à plusieurs lentilles font l'objet de la leçon L'œil, l'appareil photo et la lunette ; la raison pour laquelle le verre dévie la lumière a été vue dans la leçon Réflexion et réfraction, et les franges colorées d'une lentille simple relèvent de la leçon Prismes, dispersion et couleurs.

Avancé

À retenir

Temps égaux de l'objet à l'image : excès de chemin $h^{2} /2 s$ contre bombement $h^{2} /2 R$ donne $1/ s + n / s^{'} = (n - 1) / R$ pour tout $h$ .
$d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ est une hyperbole ; mesurée depuis les foyers, la forme de Newton $x_{o} x_{i} = f^{2}$ donne $m = - f / x_{o}$ .
Objet et image réelle ne sont jamais à moins de $4 f$ (en $d_{o} = d_{i} = 2 f$ , $m = - 1$ ) ; la profondeur est agrandie de $m^{2}$ .
À l'ordre $h^{4}$ , les rayons marginaux convergent trop tôt (aberration sphérique) ; une fois les temps égaux à une période près, la diffraction ( $1, 22 λ / D$ ) domine.

Les images comme égalité des temps de parcours

Dans la leçon Réflexion et réfraction, un rayon était un chemin dont le temps de parcours est stationnaire : des chemins voisins prennent presque le même temps, si bien que leurs ondelettes arrivent en phase et se renforcent. Une image en est le cas extrême. Un point $I$ est l'image d'un point $O$ quand tous les chemins de $O$ à $I$ à travers la lentille prennent le même temps. Toutes les ondelettes arrivent alors en $I$ en phase et s'ajoutent en un point brillant, tandis qu'à côté de $I$ elles arrivent avec des phases étalées et s'annulent pour la plupart. Deux points ainsi liés sont dits conjugués. Cette seule condition, l'égalité des temps, donne toutes les formules de cette leçon, et son échec explique pourquoi les lentilles réelles restent imparfaites.

**Figure 1.** Deux chemins de $O$ à son image $I$ . Le chemin 2 est plus long dans l'air que le chemin 1, mais traverse un verre moins épais, $t$ au lieu de $t_{0}$ ; la forme de la lentille égalise les deux temps de parcours. Pas à l'échelle.

La figure 1 compare deux des chemins de $O$ à $I$ . Le chemin 1 suit l'axe : une distance $d_{o}$ dans l'air jusqu'à la lentille, toute l'épaisseur centrale $t_{0}$ de verre, puis $d_{i}$ dans l'air jusqu'à l'image. Le chemin 2 traverse le plan de la lentille à une hauteur $h$ au-dessus de l'axe. Comparons les deux chemins morceau par morceau.

Dans l'air, le chemin 2 est plus long. Son premier segment droit est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés $d_{o}$ et $h$ ; il dépasse donc $d_{o}$ de $d_{o}^{2} + h^{2} - d_{o}$ , soit environ $h^{2} /2 d_{o}$ quand $h$ est petit. De la même façon, son second segment dépasse $d_{i}$ d'environ $h^{2} /2 d_{i}$ . Dans le verre, le chemin 2 est plus court : à la hauteur $h$ , la lentille n'a que l'épaisseur $t$ , contre $t_{0}$ sur l'axe.

La géométrie seule ferait donc arriver le chemin 2 en retard ; la lentille doit retarder la lumière proche de l'axe d'autant. Le verre le peut, puisque la lumière y va $n$ fois plus lentement. La lumière traverse une épaisseur $t$ de verre dans le temps qu'elle mettrait à parcourir $n t$ dans l'air ; remplacer cette épaisseur d'air par du verre ajoute donc un chemin optique $(n - 1) t$ . Le chemin 1 traverse $t_{0} - t$ de verre de plus que le chemin 2, et les deux temps sont égaux quand ce retard supplémentaire compense exactement le détour du chemin 2 dans l'air :
$(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} h^{2} (\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}})$
Le second membre croît comme $h^{2}$ , donc $t_{0} - t$ doit croître aussi : le verre doit s'amincir en s'éloignant de l'axe. Voilà pourquoi une lentille convergente est plus épaisse au milieu.

Un nombre montre la finesse de cet équilibre. Avec $d_{o} = 30 cm$ et $d_{i} = 15 cm$ dans l'animation, le chemin qui passe à $h = 2 cm$ est plus long de $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0, 1 cm = 2, 0 mm$ . Une lentille d'indice $n = 1, 50$ compense cet écart si elle est plus épaisse de 4 mm au centre qu'à 2 cm de l'axe, puisque $0, 50 \cdot 4 mm = 2, 0 mm$ . Ces 2,0 mm valent environ 3600 longueurs d'onde de lumière verte, et la lentille doit les annuler à une fraction de longueur d'onde près.

Établir les relations des lentilles

Le même raisonnement sur les temps, appliqué d'abord à une surface courbe, puis à deux, donne la relation de conjugaison des lentilles minces et la formule des opticiens. Il montre aussi pourquoi de simples surfaces sphériques suffisent.

**Figure 2.** Un dioptre sphérique, de centre $C$ et de rayon $R$ , entre l'air et du verre d'indice $n$ . Le chemin 2 le rencontre à la hauteur $h$ , à une flèche $z$ derrière le plan du sommet en pointillé, et reste donc plus longtemps dans l'air que le chemin 1. Pas à l'échelle : $h$ est exagérée.

La figure 2 montre l'élément de base : un dioptre sphérique entre l'air et du verre d'indice $n$ . Son centre de courbure est $C$ et son rayon $R$ ; le point où il coupe l'axe est son sommet. L'objet $O$ est à une distance $s$ devant le sommet, dans l'air, et l'image $I$ à une distance $s^{'}$ derrière, dans le verre. Comme avant, le chemin 1 suit l'axe, et le chemin 2 rencontre la surface à une hauteur $h$ petite devant $s$ (la figure l'exagère).

Trois effets décident si les deux chemins prennent le même temps. Premièrement, avant la surface, le chemin 2 est plus long d'environ $h^{2} /2 s$ , pour la même raison que dans la figure 1. Deuxièmement, après la surface, il est plus long d'environ $h^{2} /2 s^{'}$ ; ce tronçon est dans le verre, il coûte donc un chemin optique $n h^{2} /2 s^{'}$ . Troisièmement, la surface s'éloigne de $O$ en se courbant : à la hauteur $h$ , elle se trouve à une petite distance $z$ , sa flèche, derrière le plan du sommet (la droite verticale en pointillé). Le chemin 2 parcourt donc environ $z$ de plus dans l'air avant d'entrer dans le verre, sur un tronçon que le chemin 1 traverse dans le verre. Cela fait gagner au chemin 2 un chemin optique $(n - 1) z$ .

La flèche vient du triangle rectangle de la figure. Son hypoténuse est le rayon $R$ qui va de $C$ au point où le chemin 2 rencontre la surface ; ses côtés sont la hauteur $h$ et la distance $R - z$ mesurée sur l'axe entre $C$ et le pied de $h$ . Donc $(R - z)^{2} + h^{2} = R^{2}$ , d'où $z = R - R^{2} - h^{2}$ . Pour $h ≪ R$ , la racine carrée vaut environ $R - h^{2} /2 R$ , ce qui laisse $z \approx h^{2} /2 R$ . Les chemins prennent le même temps quand les deux allongements égalent le gain :
$\frac{h ^{2}}{2 s} + \frac{n h ^{2}}{2 s ^{'}} = \frac{( n - 1 ) h ^{2}}{2 R} \Rightarrow \frac{1}{s} + \frac{n}{s ^{'}} = \frac{n - 1}{R}$

Chaque terme porte le même facteur $h^{2}$ , qui disparaît donc. À cet ordre, la condition ne dépend pas du tout de la hauteur : une seule sphère amène en un même point les rayons de toutes les hauteurs. Voilà pourquoi les surfaces sphériques, que le polissage produit naturellement, conviennent.

Une lentille mince est faite de deux telles surfaces rapprochées, et son épaisseur se traite comme dans la figure 1, comme un retard qui varie avec la hauteur. Voici d'abord une règle de signes : un rayon de courbure est positif quand son centre de courbure se trouve du côté vers lequel va la lumière ; une lentille biconvexe a donc $R_{1} > 0$ pour sa première surface et $R_{2} < 0$ pour la seconde. Chaque surface retire du verre en proportion de sa flèche, si bien que l'épaisseur diminue comme $t (h) = t_{0} - \frac{1}{2} h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ .

Comparons à nouveau le chemin 2 au chemin axial. Son détour dans l'air coûte $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ , et le verre qu'il évite fait gagner $(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} (n - 1) h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . Le temps est le même pour tout $h$ seulement si les deux sont égaux, et là encore $h^{2}$ disparaît :
$\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{f}$

Cette ligne contient deux lois à la fois. Son premier et son dernier membre forment la relation de conjugaison des lentilles minces, $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 1/ f$ ; son deuxième et son dernier forment la formule des opticiens, $1/ f = (n - 1) (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . La distance focale $f$ est la distance image d'un objet très éloigné. Le membre de gauche ne dépend que de la position de $O$ et de $I$ , celui de droite que du verre et de sa forme : une même lentille donne donc l'image de chaque plan d'une scène sur son propre plan conjugué. La lentille de l'animation, $f = 10 cm$ , pourrait être une lentille symétrique en verre d'indice $n = 1, 50$ avec $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ : $0, 50 \cdot (1/10 + 1/10) = 1/10$ par centimètre.

La forme de Newton et l'hyperbole

Comment l'image se déplace-t-elle quand l'objet s'approche de la lentille ? Le graphe de la relation de conjugaison répond à cette question, et mesurer les distances à partir des foyers ramène la relation à sa forme la plus simple.

**Figure 3.** Distance image en fonction de la distance objet : une branche réelle ( $d_{i} > 0$ ) pour les objets au-delà du foyer, une branche virtuelle ( $d_{i} < 0$ ) pour ceux en deçà, et des asymptotes en pointillé. Le rectangle ombré en $d_{o} = 3 f$ a pour aire $x_{o} x_{i} = f^{2}$ , comme en tout point.

La figure 3 trace la distance image $d_{i}$ en fonction de la distance objet $d_{o}$ , comme le fait le graphe de la vue avancée de l'animation. Les distances suivent la convention « le réel est positif » : $d_{i} > 0$ est une image réelle de l'autre côté de la lentille, $d_{i} < 0$ une image virtuelle du côté de l'objet. Résolue en $d_{i}$ , la relation de conjugaison donne $d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ , une hyperbole. Ses asymptotes en pointillé sont $d_{o} = f$ , où le dénominateur s'annule et où l'image part à l'infini, et $d_{i} = f$ , dont l'image se rapproche quand l'objet s'éloigne à l'infini.

Regardons d'abord les deux branches. La branche supérieure, repérée $d_{i} > 0$ , porte les images réelles des objets situés au-delà du foyer. La branche inférieure, repérée $d_{i} < 0$ , porte les images virtuelles des objets situés en deçà : elle longe l'asymptote $d_{o} = f$ loin sous l'axe et remonte vers l'origine quand $d_{o} \to 0$ . Le grandissement est $m = - d_{i} / d_{o}$ , la hauteur de l'image divisée par celle de l'objet, négatif quand l'image est renversée. Le point repéré en $2 f$ est le sommet de la branche réelle, $(2 f, 2 f)$ , où $d_{i} = d_{o}$ et donc $m = - 1$ : une image renversée de même taille.

Mesurons maintenant les deux distances à partir des foyers plutôt qu'à partir de la lentille : $x_{o} = d_{o} - f$ à l'horizontale et $x_{i} = d_{i} - f$ à la verticale. Multiplier la relation de conjugaison par $f d_{o} d_{i}$ donne $d_{o} d_{i} = f d_{o} + f d_{i}$ . En faisant passer le second membre à gauche et en ajoutant $f^{2}$ de chaque côté, on obtient $d_{o} d_{i} - f d_{o} - f d_{i} + f^{2} = f^{2}$ , dont le premier membre est $(d_{o} - f) (d_{i} - f)$ . C'est la forme de Newton de la relation des lentilles :
$x_{o} x_{i} = f^{2}$

Sur la figure, c'est le rectangle ombré. Tracé au point repéré $d_{o} = 3 f$ , il a pour côtés $x_{o} = 2 f$ en bas et $x_{i} = f /2$ sur le côté, donc une aire $f^{2}$ . Un rectangle tracé depuis le coin $(f, f)$ jusqu'à tout autre point de la courbe a la même aire ; au sommet, c'est le carré $f \times f$ . Le grandissement prend une forme tout aussi simple. La relation résolue donne $d_{i} / d_{o} = f / (d_{o} - f) = f / x_{o}$ , et la forme de Newton transforme $f / x_{o}$ en $x_{i} / f$ :
$m = - \frac{f}{x _{o}} = - \frac{x _{i}}{f}$
Vérifions avec l'objet de l'animation à 30 cm : $x_{o} = 20 cm$ , donc $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , ce qui redonne $d_{i} = 15 cm$ , et $m = - 10/20 = - 0, 5$ .

Dans l'animation, un point rouge parcourt la branche réelle. Il part de $(34, 1; 14, 2)$ , en centimètres, passe par le sommet $(20, 20)$ et sort par le haut du panneau en $d_{i} = 60 cm$ , quand $d_{o} = 12 cm$ . Une fois l'objet passé en deçà de $F$ , un point violet entre par le bas dans la branche virtuelle en $d_{i} = - 40 cm$ , quand $d_{o} = 8 cm$ , et remonte jusqu'à $- 12 cm$ . Prolongée jusqu'à $d_{o} \to 0$ , cette branche atteint l'origine, où $m = - f / x_{o} \to + 1$ : une loupe posée sur la page n'agrandit rien.

La pente de la courbe dit à quelle vitesse l'image se déplace. Comme $d_{i} = f + f^{2} / x_{o}$ et que $x_{o}$ varie exactement comme $d_{o}$ , la pente est $d (d_{i}) / d (d_{o}) = - f^{2} / x_{o}^{2} = - m^{2}$ . Le signe moins signifie que, lorsque l'objet s'approche de la lentille, l'image réelle s'en éloigne : tous deux se déplacent dans le même sens dans l'espace, l'image sur une distance $m^{2}$ fois plus grande. La profondeur est donc agrandie de $m^{2}$ , mais la hauteur seulement de $m$ . La pente vaut $- 0, 25$ à 30 cm et $- 4, 84$ à 14,55 cm.

Enfin, la distance de l'objet à l'image réelle est $d_{o} + d_{i} = 2 f + x_{o} + f^{2} / x_{o}$ . La somme $x_{o} + f^{2} / x_{o}$ est minimale en $x_{o} = f$ , où sa dérivée $1 - f^{2} / x_{o}^{2}$ s'annule. L'objet et son image réelle ne sont donc jamais plus proches que $4 f$ , valeur atteinte en $d_{o} = d_{i} = 2 f$ avec $m = - 1$ . Dans l'animation, l'écart passe de 48,2 cm à 40 cm en $2 F$ , puis croît de nouveau. Le problème résolu ci-dessous repose sur ce minimum.

Miroirs et systèmes de lentilles

Les miroirs obéissent à la même relation, à un changement près, et un système de plusieurs lentilles peut lui aussi s'y ramener.

Pour un miroir, la lumière revient, donc la flèche compte deux fois. Un miroir concave de rayon $R$ est courbé vers l'objet : à la hauteur $h$ , sa surface se trouve $h^{2} /2 R$ plus près de l'objet que son sommet. Cela raccourcit le chemin 2 de $h^{2} /2 R$ à l'aller, puis encore au retour, tandis que ses segments obliques ajoutent $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ comme avant. L'égalité des temps exige donc $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = h^{2} / R$ , c'est-à-dire $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 2/ R$ : un miroir obéit à la relation des lentilles minces avec $f = R /2$ . La lumière n'entre jamais dans le verre, donc un miroir n'a ni dispersion ni défaut de couleur, ce qui explique en partie que les grands télescopes soient des télescopes à miroir.

Pour la lumière d'une étoile, qui arrive parallèle à l'axe, une sphère n'est pas tout à fait la bonne forme. Un paraboloïde rend les temps exactement égaux : chaque point d'une parabole est aussi éloigné de son foyer que d'une droite fixe, sa directrice, si bien que tout chemin réfléchi d'une étoile lointaine au foyer a la même longueur. Une sphère s'écarte de ce paraboloïde d'environ $h^{4} /8 R^{3}$ , le terme suivant de sa flèche. Au bord d'un miroir de 20 cm de diamètre avec $f = 1, 0 m$ , donc $R = 2, 0 m$ et $h = 0, 10 m$ , cela fait 1,6 µm. La réflexion le double, ce qui donne environ 3 µm de chemin, plus de cinq longueurs d'onde de la lumière visible : on donne donc à de tels miroirs une forme parabolique. Le miroir de 2,4 m de Hubble, poli environ 2 µm trop plat sur son bord, a donné des images floues jusqu'à la pose d'une optique correctrice en 1993.

Des lentilles minces accolées additionnent simplement leurs retards, donc leurs vergences $V = 1/ f$ s'additionnent : $V = V_{1} + V_{2}$ , en dioptries (δ) quand $f$ est en mètres. Deux lentilles de l'animation, de 10 δ chacune, font 20 δ, soit $f = 5 cm$ . Quand des lentilles sont séparées par des intervalles, on les prend une à une : l'image donnée par un élément sert d'objet au suivant. Si la lumière converge encore en arrivant sur l'élément suivant, son objet se trouve au-delà de cet élément ; il compte comme un objet virtuel, $d_{o} < 0$ , sur la branche violette de la figure 3 prolongée au-delà de l'origine. En approximation paraxiale, tout système dans l'air possède deux foyers et deux plans principaux, les plans à partir desquels on mesure ses distances, et $x_{o} x_{i} = f^{2}$ vaut avec sa distance focale équivalente.

Problème résolu : lampe, lentille et écran

Cette expérience sur banc d'optique met à profit l'écart minimal $4 f$ et mesure $f$ sans qu'il faille trouver le foyer de la lentille.

**Figure 4.** Une lampe et un écran à une distance fixe $L$ l'un de l'autre. La lentille donne une image nette en deux positions distantes de $a$ ; de la position 1 à la position 2, les distances $d_{o}$ et $d_{i}$ s'échangent.

Sur la figure 4, une lampe, dont une flèche de 5 cm de haut sert d'objet, et un écran sont distants de $L = 45 cm$ . La lentille de l'animation, $f = 10 cm$ , coulisse entre les deux. Où l'image sur l'écran est-elle nette, et comment cela donne-t-il $f$ ?

Une image nette exige $d_{o} + d_{i} = L$ . En remplaçant $d_{i} = L - d_{o}$ dans la relation de conjugaison et en multipliant par $f d_{o} (L - d_{o})$ , on obtient $f L = d_{o} (L - d_{o})$ , une équation du second degré en $d_{o}$ :
$d_{o}^{2} - L d_{o} + L f = 0, d_{o} = \frac{L \pm L ^{2} - 4 L f}{2} = \frac{45 \pm 15}{2} cm$
La lentille convient donc à 30 cm de la lampe, avec l'image 15 cm plus loin (position 1 sur la figure), et à 15 cm de la lampe, avec l'image 30 cm plus loin (position 2).

Les deux positions sont réciproques, comme l'exige la réversibilité des trajets de la lumière : si $O$ a pour image $I$ , alors $I$ a pour image $O$ . Comparez les deux lignes de distances sur la figure : en position 2, la lentille est à $d_{i}$ de la lampe et à $d_{o}$ de l'écran, les deux mêmes longueurs étant échangées. La flèche de 5 cm a une image de 2,5 cm de haut avec $m = - 0, 5$ en position 1, et de 10 cm avec $m = - 2$ en position 2. Les deux grandissements sont $- d_{i} / d_{o}$ et $- d_{o} / d_{i}$ , donc leur produit vaut 1, et la hauteur de l'objet est la moyenne géométrique des hauteurs des deux images, $2, 5 \cdot 10 = 5 cm$ .

La racine carrée n'est réelle que si $L \geq 4 f$ , l'écart minimal trouvé plus haut. À 40 cm, les deux positions se confondent en $d_{o} = 20 cm$ ; avec l'écran plus proche, aucune position ne donne une image nette.

La méthode fonctionne aussi à l'envers, pour une lentille inconnue. On mesure $L$ et le déplacement $a$ de la lentille entre ses deux positions nettes, le $a$ de la figure 4, ici $30 - 15 = 15 cm$ . Les deux racines diffèrent de $a = L^{2} - 4 L f$ , donc
$f = \frac{L ^{2} - a ^{2}}{4 L} = \frac{4 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{4 \cdot 45} = 10 cm$
à partir de deux longueurs mesurées le long du banc, sans avoir à savoir de quel point à l'intérieur de la lentille il faut mesurer.

Aberrations : quand l'égalité des temps échoue

Tout ce qui précède n'a gardé que les termes en $h^{2}$ . Les lentilles réelles n'atteignent pas l'idéal parce que les termes suivants ne s'annulent pas, et parce que $n$ dépend de la couleur.

À l'ordre $h^{4}$ , les temps à travers une lentille sphérique ne concordent plus, et les rayons extérieurs convergent en deçà des rayons paraxiaux, ceux qui sont proches de l'axe : c'est l'aberration sphérique. Si l'on suit exactement les rayons dans la lentille symétrique ci-dessus, large de 4 cm, les rayons parallèles qui passent au bord coupent l'axe environ 7 mm avant le foyer paraxial, et ceux qui passent à mi-hauteur environ 1,6 mm avant lui. Diviser la hauteur par deux divise le décalage par environ quatre : il croît comme $h^{2}$ . Une ouverture plus petite et des surfaces asphériques la réduisent.

Comme $n$ dépend de la longueur d'onde, $f$ en dépend aussi : c'est l'aberration chromatique. Un verre crown a $n = 1, 514$ pour la lumière rouge et 1,522 pour la bleue. Comme $1/ f \propto n - 1$ , le foyer bleu est plus proche dans le rapport $0, 522/0, 514$ , soit environ 1,5 %, ce qui fait environ 1,5 mm pour une lentille de 10 cm. Un doublet achromatique y ajoute une lentille divergente plus faible en verre flint. Le flint étale davantage les couleurs : la faible lentille de flint annule donc le défaut de couleur de la forte lentille de crown tout en ne reprenant qu'une partie de sa vergence. Hors de l'axe s'ajoutent d'autres défauts, la coma, l'astigmatisme et la distorsion, que les concepteurs équilibrent les uns contre les autres avec des éléments asphériques.

Limites de validité

La relation des lentilles minces suppose des rayons paraxiaux, une épaisseur petite devant $f$ , et de l'air des deux côtés. Cette dernière hypothèse tombe dans l'eau, où ce qui compte est l'indice du verre relatif à l'eau. Une lentille d'indice $n = 1, 50$ travaille alors avec $1, 50/1, 33 - 1 = 0, 13$ au lieu de 0,50, et sa distance focale est presque multipliée par quatre. La cornée, la surface réfringente la plus puissante de l'œil, perd l'essentiel de sa vergence de la même façon, parce que le liquide qui la suit a presque l'indice de l'eau : d'où le flou que l'on voit sous l'eau sans masque.

La limite la plus profonde est la nature ondulatoire de la lumière. Les temps n'ont à concorder qu'à une fraction de période près, environ un quart (critère de Rayleigh) : les ondelettes sont alors presque en phase à l'image, et polir davantage n'apporte presque rien. Il reste la diffraction. Même une lentille parfaite de diamètre $D$ donne d'un point une petite tache entourée d'anneaux faibles, la tache d'Airy, dont le rayon angulaire est $1, 22 λ / D$ . Pour la lentille de 4 cm et de la lumière verte (550 nm), cela fait $1, 7 \times 1 0^{- 5} rad$ , une tache de 1,7 µm de rayon à son foyer, situé à 10 cm. Une pupille de 3 mm de diamètre donne environ 0,8 minute d'arc, proche de l'acuité maximale de l'œil humain. Grossir au-delà ne fait qu'agrandir le flou, sans révéler aucun détail nouveau.

Ce qui vient ensuite

La leçon L'œil, l'appareil photo et la lunette met ces lentilles au travail : l'œil comme une lentille d'environ 60 δ, la loupe avec un grossissement angulaire d'environ $25 cm / f$ , la lunette comme un objectif et un oculaire. La dispersion à l'origine de l'aberration chromatique vient de la leçon Prismes, dispersion et couleurs. La leçon Diffraction et fentes de Young explique la limite de résolution, et dans la leçon Dualité onde-corpuscule des photons isolés additionnent leurs amplitudes sur tous les chemins menant à l'image.

Dans la leçon La gravitation, courbure de l'espace-temps, la masse joue le rôle d'une lentille. Le Soleil dévie de 1,75 seconde d'arc un rayon qui rase son bord. Une lentille de verre dévie un rayon d'autant plus qu'il passe loin de l'axe ; la gravitation fait l'inverse, car la déviation décroît comme $1/ b$ avec la distance $b$ du rayon au centre. Il n'y a donc pas de foyer unique : les rayons qui rasent le Soleil se rejoignent à environ 550 UA, et ceux qui passent plus loin se rejoignent encore plus loin. Des galaxies qui agissent comme lentilles sur des galaxies plus lointaines produisent des images multiples et des anneaux.

Formules clés

Relation de conjugaison d'une lentille mince

\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}

Les inverses de la distance de l'objet et de la distance de l'image s'additionnent pour donner l'inverse de la distance focale, quelle que soit la position de l'objet. Elle découle des triangles semblables du schéma des rayons, ou de l'exigence que tous les chemins d'un point objet à son point image prennent le même temps. Résolvez-la sous la forme $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ et inversez à la fin ; un résultat négatif signifie une image virtuelle.

Symboles
$f$	distance focale, positive pour une lentille convergente ou un miroir concave	$m$
$d_{o}$	distance de l'objet, de l'objet à la lentille	$m$
$d_{i}$	distance de l'image, positive pour une image réelle et négative pour une image virtuelle	$m$

Quand elle s'applique: Pour des lentilles minces et des miroirs sphériques avec des rayons paraxiaux, dans la convention où le réel est positif. Les lentilles épaisses et les systèmes de lentilles exigent de mesurer les distances à partir des plans principaux, et les rayons éloignés de l'axe subissent des aberrations.

Exemple: La lentille de l'animation, $f = 10 cm$ , avec $d_{o} = 30 cm$ : $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 2/30$ , donc $d_{i} = 15 cm$ .

Grandissement

m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}

Le rapport de la hauteur de l'image à celle de l'objet. Le rayon qui passe par le centre de la lentille continue tout droit : il forme deux triangles semblables avec l'objet et l'image, et les hauteurs sont donc dans le rapport des distances. Le signe moins traduit le fait que l'image réelle d'un objet réel est renversée : $m < 0$ signifie renversée, $m > 0$ droite, et $∣ m ∣ > 1$ agrandie.

Symboles
$m$	grandissement
$h_{i}$	hauteur de l'image, négative si elle est renversée	$m$
$h_{o}$	hauteur de l'objet	$m$
$d_{i}$	distance de l'image	$m$
$d_{o}$	distance de l'objet	$m$

Quand elle s'applique: Pour des lentilles minces et des miroirs avec des rayons paraxiaux, et pour les tailles perpendiculaires à l'axe seulement : la profondeur le long de l'axe est agrandie de $m^{2}$ .

Exemple: Objet à 30 cm, image à 15 cm : $m = - 15/30 = - 0, 5$ , donc la flèche de 5 cm donne une image renversée de 2,5 cm de haut.

Vergence d'une lentille

V = \frac{1}{f} (dioptries, f en m \overset{e}{ˋ} tres : f = 10 cm \to V = 10 δ)

La vergence est l'inverse de la distance focale : plus la distance focale est courte, plus la lentille dévie fortement la lumière. Avec $f$ en mètres, elle s'exprime en dioptries, $1 δ = 1 m^{- 1}$ . Elle est utile parce que les vergences de lentilles minces accolées s'ajoutent simplement, ce qui explique que les verres de lunettes se prescrivent en dioptries.

Symboles
$V$	vergence (puissance optique), en dioptries (δ)	$m^{- 1}$
$f$	distance focale, en mètres	$m$

Quand elle s'applique: Pour des lentilles minces : une lentille convergente a $V > 0$ , une lentille divergente $V < 0$ . Les vergences ne s'ajoutent que pour des lentilles minces accolées ; deux lentilles distantes de $d$ se combinent selon $1/ F = 1/ f_{1} + 1/ f_{2} - d / (f_{1} f_{2})$ .

Exemple: $f = 10 cm = 0, 10 m$ donne $V = 10 δ$ ; en y ajoutant une lentille de lecture de +2,5 δ, on obtient 12,5 δ, donc $f = 8 cm$ .

Distance focale d'un miroir sphérique

f = \frac{R}{2} (miroir sph \overset{e}{ˊ} rique)

Un rayon parallèle à l'axe se réfléchit sur un miroir sphérique avec le même angle par rapport au rayon de courbure, qui est la normale en ce point : il coupe donc l'axe à mi-chemin entre le miroir et le centre de courbure. Avec cette distance focale, un miroir obéit à la même relation qu'une lentille mince, ses images réelles se formant devant lui.

Symboles
$f$	distance focale du miroir	$m$
$R$	rayon de courbure, pris comme une longueur ; un miroir convexe a $f = - R /2$	$m$

Quand elle s'applique: Pour des rayons paraxiaux. Les rayons qui frappent loin de l'axe le coupent plus près du miroir (aberration sphérique) ; un miroir parabolique focalise exactement la lumière parallèle.

Exemple: Un miroir de maquillage de $R = 60 cm$ a $f = 30 cm$ ; un rétroviseur convexe de $R = 2, 0 m$ a $f = - R /2 = - 1, 0 m$ .

Formule des opticiens

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) (lentille dans l’air ; biconvexe : R_{1} > 0, R_{2} < 0)

La distance focale d'une lentille mince se déduit de son verre et de sa forme. Les courbures $1/ R_{1} - 1/ R_{2}$ déterminent de combien la lentille est plus épaisse au milieu, et le verre retarde la lumière de $n - 1$ fois cette épaisseur : juste assez pour que tous les chemins d'un point à son image aient le même temps de parcours. Un rayon de courbure est compté positivement quand son centre de courbure se trouve du côté vers lequel va la lumière.

Symboles
$f$	distance focale de la lentille	$m$
$n$	indice de réfraction du verre
$R_{1}$	rayon de courbure de la première surface rencontrée par la lumière	$m$
$R_{2}$	rayon de courbure de la seconde surface	$m$

Quand elle s'applique: Pour une lentille mince dans l'air avec des rayons paraxiaux. Dans un milieu d'indice $n_{m}$ , remplacez $n - 1$ par $n / n_{m} - 1$ ; une lentille épaisse demande une correction qui dépend de son épaisseur.

Exemple: Verre d'indice $n = 1, 50$ et $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ : $1/ f = 0, 50 \cdot (0, 10 + 0, 10) = 0, 10 c m^{- 1}$ , donc $f = 10 cm$ , la lentille de l'animation.

Forme de Newton de la relation de conjugaison

x_{o} x_{i} = f^{2}

On mesure la distance de l'objet au foyer objet et celle de l'image au foyer image : leur produit vaut toujours $f^{2}$ . C'est la relation de conjugaison réécrite, et elle simplifie le grandissement, $m = - f / x_{o} = - x_{i} / f$ . Les deux distances ont le même signe : un objet au-delà de $F$ donne une image au-delà de $F^{'}$ .

Symboles
$x_{o}$	distance de l'objet au foyer objet $F$ , $d_{o} - f$	$m$
$x_{i}$	distance de l'image au foyer image $F^{'}$ , $d_{i} - f$	$m$
$f$	distance focale	$m$

Quand elle s'applique: Pour tout système de lentilles dans l'air à la limite paraxiale, avec sa distance focale équivalente, car elle ne demande que les positions des deux foyers ; c'est donc la forme générale pour les lentilles épaisses et les systèmes composés.

Exemple: Objet à 30 cm de la lentille de l'animation : $x_{o} = 20 cm$ , donc $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , et l'image se trouve à $10 + 5 = 15 cm$ derrière la lentille.

Glossaire

Lentille convergente: Lentille plus épaisse au milieu qu'au bord, avec $f > 0$ : elle rassemble en un foyer réel les rayons qui arrivent parallèles à l'axe. Elle donne des images réelles et renversées des objets situés au-delà de $F$ , et des images virtuelles agrandies de ceux qui sont en deçà.
Lentille divergente: Lentille plus mince au milieu qu'au bord, avec $f < 0$ : elle écarte des rayons parallèles comme s'ils venaient d'un foyer virtuel situé devant elle. D'un objet réel, elle donne toujours une image virtuelle, droite et réduite.
Axe optique: La droite perpendiculaire à une lentille ou à un miroir qui passe par son centre, et sur laquelle se trouvent ses foyers et ses centres de courbure. On y mesure les distances, et à partir d'elle les hauteurs, pour décrire objets et images.
Foyer: Le point où se rencontrent, après la lentille ou le miroir, les rayons arrivant parallèles à l'axe, ou d'où ils semblent diverger. Une lentille mince en a un de chaque côté, $F$ et $F^{'}$ , à la même distance $f$ ; un miroir sphérique a son foyer à mi-chemin de son centre de courbure.
Image réelle: Image où la lumière converge réellement après la lentille ou le miroir, de sorte qu'on peut la recueillir sur un écran ou un capteur. Une lentille ou un miroir seul la donne renversée, avec une distance image positive.
Image virtuelle: Image d'où la lumière semble seulement provenir : les rayons qui sortent de la lentille ou du miroir divergent, et seuls leurs prolongements vers l'arrière se rencontrent. On peut la voir et la photographier, mais pas la recueillir sur un écran, comme avec une loupe ou un miroir plan.
Rayons particuliers: Trois rayons issus du sommet d'un objet, faciles à tracer : parallèle à l'axe puis par $F^{'}$ , tout droit par le centre, et par $F$ puis parallèle. Deux suffisent à situer l'image, mais c'est toute la lumière qui traverse la lentille qui la forme.
Vergence (puissance optique): La force avec laquelle une lentille ou un miroir fait converger la lumière, $V = 1/ f$ , en dioptries (δ) avec $f$ en mètres : la lentille de l'animation, $f = 10 cm$ , a 10 δ. Les vergences de lentilles minces accolées s'ajoutent, et une lentille divergente a une vergence négative.
Miroirs concave et convexe: Un miroir concave, creusé comme l'intérieur d'un bol, fait converger la lumière, avec $f = R /2$ ; un miroir convexe, bombé vers l'extérieur, la disperse, avec $f = - R /2$ . Un miroir forme ses images réelles devant lui et ses images virtuelles derrière.
Points conjugués: Un point objet et son point image. Tous les chemins de la lumière entre eux à travers le système prennent le même temps, si bien que la lumière de l'un est rassemblée en l'autre ; les rôles peuvent être échangés, car les trajets de la lumière sont réversibles.
Approximation paraxiale: Hypothèse que tous les rayons sont proches de l'axe et presque parallèles à lui, de sorte que les différences de chemin ne sont gardées qu'à l'ordre $h^{2}$ et que $sin θ \approx θ$ . Les relations de la lentille mince et du miroir ne sont exactes que dans cette limite.
Aberration: Tout écart d'une lentille ou d'un miroir réel par rapport à une image parfaite. L'aberration sphérique fait converger trop tôt les rayons extérieurs, l'aberration chromatique donne à chaque couleur son propre foyer, et la coma, l'astigmatisme et la distorsion altèrent les points hors de l'axe.

Grandeurs
$f$	Distance focale	$m$	Distance de la lentille mince ou du miroir à ses foyers : positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente. La lentille de l'animation a $f = 10 cm$ .
$d_{o}$	Distance de l'objet	$m$	Distance de l'objet à la lentille ou au miroir, positive pour un objet réel placé devant : de 34,1 cm à 5,45 cm dans l'animation.
$d_{i}$	Distance de l'image	$m$	Distance de la lentille ou du miroir à l'image : positive pour une image réelle (derrière une lentille, devant un miroir), négative pour une image virtuelle. Elle vaut 15 cm pour $d_{o} = 30 cm$ dans l'animation.
$h_{o}$	Hauteur de l'objet	$m$	Hauteur de l'objet au-dessus de l'axe : la flèche de l'animation mesure 5 cm.
$h_{i}$	Hauteur de l'image	$m$	Hauteur de l'image mesurée à partir de l'axe, négative quand l'image est renversée : $- 2, 5 cm$ pour la flèche à 30 cm.
$m$	Grandissement		Hauteur de l'image divisée par celle de l'objet, $m = - d_{i} / d_{o}$ . Sa valeur absolue dit de combien l'image est plus grande, son signe si elle est droite ( $m > 0$ ) ou renversée ( $m < 0$ ).
$R$	Rayon de courbure	$m$	Rayon de la sphère dont une surface de miroir ou de lentille fait partie. Pris comme une longueur, il donne $f = + R /2$ pour un miroir concave et $f = - R /2$ pour un miroir convexe ; si l'on compte $R$ négativement pour un miroir convexe, $f = R /2$ vaut dans les deux cas.
$n$	Indice de réfraction		Nombre de fois que la lumière va plus lentement dans le matériau de la lentille que dans le vide, environ 1,50 pour le verre ordinaire. Avec les courbures, il fixe la distance focale d'une lentille.
$x_{o}$	Distance de l'objet au foyer	$m$	Distance de l'objet au foyer objet $F$ , $x_{o} = d_{o} - f$ ; négative quand l'objet est en deçà de la distance focale.
$x_{i}$	Distance de l'image au foyer	$m$	Distance de l'image au foyer image $F^{'}$ , $x_{i} = d_{i} - f$ , reliée à $x_{o}$ par la forme de Newton $x_{o} x_{i} = f^{2}$ .

Quiz

Débutant Une loupe tenue au soleil brûle un petit point lumineux sur une feuille. Où se trouve la feuille ?
1. Au foyer de la lentille
2. Contre la lentille
3. À deux fois la distance du foyer
4. N'importe où, la distance ne compte pas
Voir la réponse
Réponse: A. Au foyer de la lentille
La lumière parallèle du Soleil converge au foyer : le point est le plus petit et le plus chaud quand la feuille est à une distance focale.
Débutant On projette un arbre lointain sur une feuille à l'aide d'une lentille convergente. À quoi ressemble l'image ?
1. Droite et plus grande
2. Droite et plus petite
3. À l'envers et plus petite
4. Il n'y a pas d'image sur la feuille
Voir la réponse
Réponse: C. À l'envers et plus petite
Un objet lointain donne une image réelle juste après le foyer : petite et renversée, comme dans un appareil photo.
Débutant Quand on regarde un petit insecte à travers une loupe tenue près de lui, l'image vue est…
1. droite et plus grande
2. à l'envers et plus grande
3. droite et plus petite
4. à l'envers et plus petite
Voir la réponse
Réponse: A. droite et plus grande
L'objet étant en deçà de la distance focale, la lentille en donne une image virtuelle droite et agrandie.
Intermédiaire Un objet est à 30 cm d'une lentille convergente de distance focale 10 cm. Où est l'image ?
1. À 20 cm de la lentille
2. À 15 cm de la lentille
3. À 7,5 cm de la lentille
4. À 40 cm de la lentille
Voir la réponse
Réponse: B. À 15 cm de la lentille
1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, donc dᵢ = 15 cm. Soustraire les distances (30 − 10 = 20) est une erreur courante.
Intermédiaire Une lentille convergente projette une image nette d'une bougie sur un écran. On cache la moitié supérieure de la lentille avec un carton noir. Que devient l'image ?
1. La moitié haute de l'image disparaît
2. La moitié basse de l'image disparaît
3. L'image devient deux fois plus petite
4. L'image reste entière, mais moins lumineuse
Voir la réponse
Réponse: D. L'image reste entière, mais moins lumineuse
Chaque partie de la lentille reçoit la lumière de chaque point de la bougie et l'envoie vers le point image correspondant : la moitié découverte forme donc encore l'image complète, mais elle ne recueille que la moitié de la lumière.
Intermédiaire Que devient le rayon particulier qui passe par le centre optique d'une lentille mince ?
1. Il continue tout droit sans être dévié
2. Il ressort parallèle à l'axe
3. Il passe par le foyer image
4. Il est réfléchi
Voir la réponse
Réponse: A. Il continue tout droit sans être dévié
Au centre, les deux faces d'une lentille mince sont parallèles : le rayon traverse sans déviation notable.
Avancé Un miroir de surveillance convexe, dans un magasin, a un rayon de courbure de 1,0 m. Un client se tient à 4,0 m devant lui. Où se trouve l'image du client ?
1. À 0,57 m devant le miroir, renversée
2. À 0,44 m derrière le miroir, droite et environ 9 fois plus petite
3. À 4,0 m derrière le miroir, de même taille
4. À 0,50 m derrière le miroir, au foyer
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Réponse: B. À 0,44 m derrière le miroir, droite et environ 9 fois plus petite
Un miroir convexe a f = −R/2 = −0,50 m, donc 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = −2,00 − 0,25 = −2,25 m⁻¹ et dᵢ ≈ −0,44 m : image virtuelle derrière le miroir, avec m = −dᵢ/dₒ ≈ +0,11, droite et réduite. Oublier le signe (f = +0,50 m) donne 0,57 m et une image renversée. C'est ce champ large et réduit qui permet à ces miroirs de montrer tout le magasin.
Avancé Sur le graphe dᵢ(dₒ) d'une lentille convergente, que signifie physiquement l'asymptote verticale dₒ = f ?
1. L'image devient la plus petite possible
2. Les rayons issus de l'objet ressortent parallèles : l'image est à l'infini
3. L'image se forme sur la lentille elle-même
4. La lentille cesse de réfracter la lumière
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Réponse: B. Les rayons issus de l'objet ressortent parallèles : l'image est à l'infini
Objet en F : 1/dᵢ = 1/f − 1/f = 0, les rayons émergents sont parallèles et ne se coupent qu'à l'infini ; franchir F fait passer l'image de réelle à virtuelle.

$O$	Point objet.
$I$	Point image : là où tous les chemins issus de $O$ arrivent en même temps.
$d_{o}$	Distance de $O$ à la lentille, le long de l'axe.	$m$
$d_{i}$	Distance de la lentille à $I$ , le long de l'axe.	$m$
$h$	Hauteur au-dessus de l'axe à laquelle le chemin 2 traverse la lentille.	$m$
$t_{0}$	Épaisseur de la lentille sur l'axe : le verre que traverse le chemin 1.	$m$
$t$	Épaisseur de la lentille à la hauteur $h$ : le verre que traverse le chemin 2.	$m$

$O$	Point objet, dans l'air.
$I$	Point image, dans le verre.
$C$	Centre de courbure de la surface.
$R$	Rayon de la surface : distance de $C$ au sommet, et à tout point de la surface.	$m$
$s$	Distance objet : de $O$ au sommet de la surface.	$m$
$s^{'}$	Distance image : du sommet à $I$ , dans le verre.	$m$
$h$	Hauteur au-dessus de l'axe à laquelle le chemin 2 rencontre la surface.	$m$
$z$	Flèche : distance dont la surface est en retrait derrière le plan du sommet à la hauteur $h$ .	$m$
$n$	Indice de réfraction du verre ; l'air a pour indice 1.

$d_{o}$	Distance objet : de l'objet à la lentille.	$m$
$d_{i}$	Distance image : positive pour une image réelle au-delà de la lentille, négative pour une image virtuelle.	$m$
$f$	Distance focale : elle fixe les deux asymptotes et le sommet $(2 f, 2 f)$ .	$m$
$x_{o}$	Distance objet mesurée depuis le foyer : $d_{o} - f$ .	$m$
$x_{i}$	Distance image mesurée depuis le foyer : $d_{i} - f$ .	$m$

$L$	Distance de la lampe à l'écran, maintenue fixe.	$m$
$a$	Déplacement de la lentille entre ses deux positions nettes.	$m$
$d_{o}$	Distance de la lampe à la lentille en position 1, et de la lentille à l'écran en position 2.	$m$
$d_{i}$	Distance de la lentille à l'écran en position 1, et de la lampe à la lentille en position 2.	$m$