Глаз, фотоаппарат и телескоп

Начальный

Шаг 1: глаз — это фотоаппарат. Свет входит через прозрачную роговицу, проходит через зрачок — отверстие, которое цветная радужка расширяет или сужает, как диафрагма фотоаппарата, — и затем через хрусталик. Роговица и хрусталик вместе преломляют лучи так, что свет от каждой точки картины снова сходится в одной точке сетчатки — светочувствительного экрана на задней стенке глаза. Изображение там перевёрнуто; с этим разбирается мозг.

Шаг 2: фокусировка. Фотоаппарат наводится на резкость, сдвигая объектив. Глаз так не умеет и меняет форму хрусталика: для близкого предмета крошечные мышцы позволяют хрусталику стать круглее и преломлять сильнее. Это аккомодация. В анимации посмотрите, как хрусталик выпячивается, когда лампа приближается. С возрастом хрусталик твердеет, поэтому после 45 лет большинству нужны очки для чтения.

Шаг 3: близорукость и дальнозоркость. У близорукого глаза глазное яблоко чуть длиннее нормы: свет от далёких предметов сходится перед сетчаткой и расплывается пятном, а близкие предметы видны резко. Рассеивающая линза, тонкая в середине, сначала слегка разводит лучи и переносит точку схождения обратно на сетчатку: посмотрите, как размытое пятно сжимается в резкую точку. Дальнозоркий глаз слишком короткий, и ему помогает собирающая линза.

Шаг 4: приборы. В микроскопе две линзы: первая даёт увеличенное изображение крошечного предмета, вторая ещё раз увеличивает это изображение, так что увеличения перемножаются. Большая передняя линза телескопа собирает свет слабого далёкого объекта, а окуляр увеличивает созданное ею изображение.

Проверьте себя: близорукая подруга даёт вам свои очки. Где их стёкла толще — у краёв или в середине? (У краёв: это рассеивающие линзы.)

Средний

Оптическая сила в диоптриях и числа глаза

Приборы удобнее описывать не фокусным расстоянием линзы, а её оптической силой. Она равна $D=1/f$; если $f$ выражено в метрах, получаются диоптрии (дптр), так что $f=0,5\mathrm{м}$ даёт $D=2\mathrm{дптр}$. У собирающих линз оптическая сила положительна, у рассеивающих — отрицательна, а силы тонких линз, сложенных вплотную, просто складываются: $+3\mathrm{дптр}$ и $-1\mathrm{дптр}$ вместе действуют как $+2\mathrm{дптр}$.

Роговицу и хрусталик мы заменяем одной тонкой собирающей линзой — приведённым глазом. Расстояния до предмета $d_o$ и до изображения $d_i$ отсчитываются от неё. Фотоаппарат меняет $d_i$, сдвигая объектив. Глаз так не умеет: $d_i$ — это расстояние от хрусталика до сетчатки, в нашей модели $1/60\mathrm{м}\approx 1,67\mathrm{см}$, так что $1/d_i=60\mathrm{дптр}$.

Фокусировка: меняем оптическую силу

Через оптические силы формула тонкой линзы для глаза принимает вид
$D=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\text{(глаз}:d_i\approx 1,67\mathrm{см},D\approx 60\mathrm{дптр}\text{)}$

Неизменные 60 дптр собирают параллельный свет на сетчатке; свет от точки на расстоянии $d_o$ расходится, и для него нужна ещё добавка $1/d_o$. Для далёкого предмета $1/d_o\to 0$, поэтому расслабленному глазу достаточно 60 дптр. Для книги на расстоянии 25 см нужно $1/0,25+60=64\mathrm{дптр}$. Эта добавка и есть аккомодация: кольцевая ресничная мышца сокращается, волокна, удерживающие хрусталик, ослабевают, и упругий хрусталик становится выпуклее.

Наибольшая добавка, которую способен дать глаз, — объём аккомодации — с возрастом уменьшается, потому что хрусталик твердеет: больше 10 дптр в детстве, около 4 дптр к сорока пяти годам, 1 дптр к шестидесяти. Дальняя точка — наибольшее расстояние, на котором глаз видит резко при расслабленном хрусталике, а ближняя точка — наименьшее при полной аккомодации. У нормального молодого глаза они находятся в бесконечности и на расстоянии 25 см или ближе; в расчётах приборов принимают 25 см.

Как очки исправляют зрение

Очки не лечат глаз: они оптически переносят предмет, создавая его мнимое изображение там, где глаз способен сфокусироваться. Если пренебречь расстоянием между очками и глазом, получаются две рабочие формулы:

• $\text{Близорукость}:D=-\frac{1}{d_{\mathrm{дт}}}$
• $\text{Очки для чтения}:D=\frac{1}{0,25\mathrm{м}}-\frac{1}{d_{\mathrm{бт}}}$

При близорукости (миопии) дальняя точка находится на конечном расстоянии $d_{\mathrm{дт}}$. Рассеивающая линза с $f=-d_{\mathrm{дт}}$ заставляет параллельный свет расходиться так, будто он идёт из дальней точки. При дальнозоркости (гиперметропии) глазное яблоко слишком короткое, а при пресбиопии — возрастном затвердевании хрусталика — запас аккомодации исчерпывается; и в том и в другом случае ближняя точка отодвигается. Тогда собирающая линза строит мнимое изображение страницы, лежащей в 25 см, в ближней точке: это 4 дптр, которых требует расстояние 25 см, за вычетом $1/d_{\mathrm{бт}}$ — того, что глаз ещё способен дать сам.

Пример: глаз из анимации

Анимация начинается с нормального глаза, у которого сетчатка находится за хрусталиком на расстоянии $d_i=1/60\mathrm{м}$: индикаторы показывают $d_o\to \infty$, положение сетчатки 1,667 см и силу глаза 60,0 дптр. Затем лампа приближается к глазу до 25 см:
$D=\frac{1}{0,25\mathrm{м}}+60\mathrm{дптр}=4+60=64\mathrm{дптр}$

Синяя линза становится толще, пока показание силы растёт до 64,0 дптр, а золотистые лучи по-прежнему сходятся на сетчатке.

Затем глазное яблоко удлиняется, и фиолетовое показание сдвигается с 1,667 до 1,724 см, то есть до $1/58\mathrm{м}$. Расслабленный глаз по-прежнему имеет 60 дптр, поэтому параллельный свет сходится в точке $F^{\prime }$, на 0,57 мм перед новой сетчаткой, и попадает на неё в виде размытого кружка. Свет от предмета на расстоянии $d_o$ теперь даёт резкое изображение, только если $1/d_o+58=60$:
$\frac{1}{d_{\mathrm{дт}}}=60-58=2\mathrm{дптр},d_{\mathrm{дт}}=0,5\mathrm{м}$

Это и есть дальняя точка в 50 см на фиолетовой подписи. Затем показание очков плавно доходит до $-1/(0,5\mathrm{м})=-2\mathrm{дптр}$. Очки и глаз вместе дают $60-2=58\mathrm{дптр}$ — ровно столько, сколько нужно параллельному свету, чтобы сойтись в 1,724 см за хрусталиком, и размытый кружок на панели «что видит глаз» сжимается в резкую точку.

Пример: очки для чтения в пятьдесят лет

Пятидесятилетняя женщина ещё способна добавить 1,5 дптр аккомодации, поэтому её ближняя точка находится на расстоянии $1/1,5\approx 0,67\mathrm{м}$. Какие очки позволят ей читать на расстоянии 25 см и что она увидит через них?

Очки должны поместить изображение страницы в её ближнюю точку:
$D=\frac{1}{0,25\mathrm{м}}-1,5\mathrm{дптр}=4-1,5=+2,5\mathrm{дптр}$

При расслабленном глазе очки добавляют 2,5 дптр к его 60 дптр, поэтому она видит резко на расстоянии $1/2,5=0,40\mathrm{м}$; при полной аккомодации к 60 дптр добавляется $2,5+1,5=4\mathrm{дптр}$, и резкое изображение получается на расстоянии 25 см. Через такие очки она ясно видит только от 25 до 40 см, а дальняя стена расплывается. Поэтому очки для чтения снимают, чтобы посмотреть вдаль, и поэтому в прогрессивных линзах оптическая сила меняется сверху вниз.

Приборы, увеличивающие угол

Насколько большим нам кажется предмет, зависит от угла, под которым он виден: монета на расстоянии вытянутой руки может закрыть Луну. Без приборов лучшее, что можно сделать с мелким предметом, — поднести его к ближней точке, на 25 см. Приборы увеличивают этот угол, а угловое увеличение $M={\theta }^{\prime }/\theta$ сравнивает угол с прибором, ${\theta }^{\prime }$, и угол без него, $\theta$:

• $\text{Лупа}:M=\frac{25\mathrm{см}}{f}$
• $\text{Микроскоп}:M\approx \frac{L}{f_o}\cdot \frac{25\mathrm{см}}{f_e}$
• $\text{Телескоп}:M=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{f_o}{f_e}$

Лупа позволяет держать предмет в её фокусе, а не на расстоянии 25 см, поэтому $f=5\mathrm{см}$ даёт $M=5$. Объектив микроскопа создаёт действительное изображение, увеличенное в $L/f_o$ раз, где $L\approx 16\mathrm{см}$ — длина тубуса, а окуляр увеличивает это изображение ещё раз: $f_o=4\mathrm{мм}$ и $f_e=25\mathrm{мм}$ дают $40\cdot 10=400$. Объектив телескопа строит в своей фокальной плоскости маленькое действительное изображение далёкого предмета, а окуляр рассматривает его вблизи: $f_o=1,2\mathrm{м}$ и $f_e=20\mathrm{мм}$ дают 60.

Врезка в анимации — телескоп с $f_o=3f_e$: когда звезда отклоняется до $\theta =3,5^{\circ }$, показание ${\theta }^{\prime }$ достигает $10,4^{\circ }$, то есть примерно втрое больше.

Частые ошибки

• Близорукий глаз не слишком слабый, а слишком сильный для своей длины: у длинного глаза из анимации нормальные 60 дптр, а нужно ему только 58 дптр, поэтому у исправляющей линзы отрицательная оптическая сила, $-2\mathrm{дптр}$.
• Берите обратную величину расстояния в метрах: дальней точке в 25 см отвечает $-1/0,25=-4\mathrm{дптр}$, а не $-0,25\mathrm{дптр}$ и не $-0,04\mathrm{дптр}$.
• При расчёте очков для чтения слагаемое ближней точки вычитают. Для ближней точки 1,0 м $D=4-1=+3\mathrm{дптр}$; если слагаемые сложить, получится +5 дптр, и страница была бы резкой лишь на расстоянии от 17 до 20 см.
• Увеличение умножает углы, а не размеры изображения. Описанный выше телескоп с увеличением 60 даёт изображение Луны всего 11 мм в поперечнике; растёт угол — с 0,52° примерно до 30°.
• Большее увеличение не открывает новых деталей: их предел задаёт диаметр объектива $D$ (та же буква, но не оптическая сила) через соотношение ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$, и с какого-то момента телескоп лишь увеличивает размытие.

Где это встречается

Очки и контактные линзы назначают с шагом 0,25 дптр; близоруки около трети людей на Земле, а очки для чтения к 50 годам нужны почти всем. Камеры телефонов наводятся на резкость, сдвигая крошечную линзу. Бинокль с маркировкой 8×42 увеличивает в 8 раз при диаметре объективов 42 мм и выпускает пучок шириной $42/8=5,25\mathrm{мм}$, что соответствует зрачку, расширенному в сумерках. Почему детали рано или поздно пропадают, объясняет урок «Дифракция и опыт Юнга», а цветные каймы у дешёвых линз возникают из-за дисперсии — об этом урок «Призмы, дисперсия и цвет».

Продвинутый

Вергентность: язык линз

Каждый прибор в этом уроке, от очков до самого глаза и телескопа, — это цепочка линз. Быстрее всего проследить свет сквозь такую цепочку, если следить за одним числом — вергентностью: она показывает, насколько искривлены волновые фронты, и измеряется в диоптриях (дптр; одна диоптрия — это один на метр). С её помощью любая линза превращается в простое сложение.

Обозначения

$S$	Точечный источник света.
$S^{\prime }$	Изображение $S$: точка, где сходится свет.
$d_o$	Расстояние от $S$ до линзы: радиус приходящих волновых фронтов.	$\mathrm{м}$
$d_i$	Расстояние от линзы до $S^{\prime }$: радиус уходящих волновых фронтов.	$\mathrm{м}$
$V$	Вергентность приходящего света, $-1/d_o$: отрицательная, потому что фронты расходятся.	$\mathrm{дптр}$
$V^{\prime }$	Вергентность уходящего света, $+1/d_i$: положительная, потому что фронты стягиваются.	$\mathrm{дптр}$
$P$	Оптическая сила линзы: вергентность, которую она добавляет, $V^{\prime }=V+P$.	$\mathrm{дптр}$

На рисунке 1 свет от точечного источника $S$ проходит через линзу и собирается в изображение $S^{\prime }$. От $S$ свет расходится сферическими волновыми фронтами — фиолетовыми дугами, — так что фронты, доходящие до линзы, — это дуги радиуса $d_o$ с центром в $S$. Лучи — оранжевые линии — пересекают фронты под прямым углом; поэтому два крайних луча идут по прямым от $S$ к краю линзы.

Вергентность — это кривизна фронтов, то есть единица, делённая на их радиус, со знаком, показывающим, в какую сторону фронт изогнут. Расходящийся свет, как свет, приходящий от $S$, имеет $V=-1/d_o$ — отрицательную. Параллельный свет от очень далёкого источника имеет $V=0$. Свет, сходящийся в точке, лежащей впереди на расстоянии $d$, имеет $V=+1/d$ — положительную.

Тонкая линза делает ровно одно: она добавляет к вергентности свою оптическую силу $P$. Справа на рисунке 1 фронты, выходящие из линзы, — это дуги радиуса $d_i$ с центром в $S^{\prime }$, поэтому их вергентность равна $V^{\prime }=+1/d_i$, и действительное изображение возникает там, где они стягиваются в точку:
$V^{\prime }=V+P,d_i=\frac{1}{V^{\prime }}$
При $V=-1/d_o$ это привычная формула тонкой линзы $1/d_o+1/d_i=P$, записанная в виде одного сложения.

Возьмём расслабленный нормальный глаз: одна линза в 60 дптр, сетчатка за ней на расстоянии 1/60 м (приведённое расстояние; оно объясняется в следующем разделе). Лампа на расстоянии 25 см посылает в глаз свет с вергентностью $V=-1/(0,25\mathrm{м})=-4\mathrm{дптр}$. Чтобы сойтись на сетчатке, свет должен выйти с $V^{\prime }=60\mathrm{дптр}$, поэтому глаз должен поднять свою оптическую силу до $P=V^{\prime }-V=64\mathrm{дптр}$; лишние 4 дптр — это его аккомодация.

Между двумя линзами вергентность тоже меняется — просто потому, что свет проходит расстояние. Свет с вергентностью $V_1$ идёт к точке, лежащей впереди на расстоянии $1/V_1$ (или исходит из точки позади, если $V_1$ отрицательна: это мнимый источник). После промежутка $t$ эта точка оказывается на $t$ ближе, на расстоянии $1/V_1-t$ впереди, и новая вергентность равна единице, делённой на это расстояние:
$V_2=\frac{1}{1/V_1-t}=\frac{V_1}{1-t{V}_1}$

Это важно для очков, которые стоят примерно в $t=12\mathrm{мм}$ перед роговицей. Параллельный свет выходит из очковой линзы с оптической силой $P$ с вергентностью $P$ и доходит до глаза с вергентностью $P/(1-tP)$, поэтому очки действуют как контактная линза такой силы. Очковая линза $-8\mathrm{дптр}$ даёт у глаза $-8/(1+0,012\cdot 8)=-8/1,096=-7,3\mathrm{дптр}$. Для $-2\mathrm{дптр}$ из анимации разница составляет лишь 0,05 дптр — меньше шага рецепта в 0,25 дптр, поэтому индикаторы пренебрегают этим промежутком.

Откуда берётся сила глаза

Откуда берутся 60 дптр глаза? Криволинейная граница двух прозрачных сред сама по себе преломляет свет, без всякой линзы, и первая граница глаза — передняя поверхность роговицы — делает основную работу. В этом разделе мы найдём оптическую силу одной криволинейной поверхности и применим её к глазу.

Обозначения

$n$	Показатель преломления перед поверхностью (воздух).
$n^{\prime }$	Показатель преломления за поверхностью (ткань роговицы).
$R$	Радиус кривизны поверхности.	$\mathrm{м}$
$C$	Центр кривизны: центр сферы, частью которой является поверхность.
$F^{\prime }$	Точка, в которой лучи, параллельные оси, встречаются после поверхности.
$f^{\prime }$	Расстояние от поверхности до $F^{\prime }$: $f^{\prime }=n^{\prime }R/(n^{\prime }-n)=n^{\prime }/P$, где $P=(n^{\prime }-n)/R$ — оптическая сила поверхности.	$\mathrm{м}$

На рисунке 2 показана передняя поверхность роговицы в масштабе. Поверхность — часть сферы радиуса $R$ с центром $C$. Слева от неё воздух с показателем преломления $n$, справа — ткань роговицы с показателем $n^{\prime }$. Посмотрите на лучи: они приходят параллельно оси, преломляются на поверхности и все пересекают ось в одной точке $F^{\prime }$.

Проследим за одним лучом на высоте $h$ над осью. Нормаль к поверхности в этой точке — радиус, проведённый из $C$, и при малых углах он отклонён от оси на $h/R$. Луч идёт параллельно оси, поэтому $h/R$ — это и его угол падения $\theta$. Закон Снеллиуса для малых углов, $n\theta =n^{\prime }{\theta }^{\prime }$, даёт угол после поверхности ${\theta }^{\prime }=nh/(n^{\prime }R)$: он ближе к нормали, так как $n^{\prime }>n$. Значит, луч повернулся к оси на разность двух углов:
$\frac{h}{R}-\frac{nh}{n^{\prime }R}=\frac{h(n^{\prime }-n)}{n^{\prime }R}$

Луч на высоте $h$, наклонённый к оси на этот малый угол, достигнет её на расстоянии, равном $h$, делённому на угол:
$f^{\prime }=\frac{n^{\prime }R}{n^{\prime }-n}$
Высота $h$ сократилась, поэтому все лучи вблизи оси встречаются в одной точке $F^{\prime }$: именно это позволяет поверхности строить изображение. Если записать оптическую силу поверхности как $P=(n^{\prime }-n)/R$, получится $f^{\prime }=n^{\prime }/P$: в среде с показателем $n^{\prime }$ фокусное расстояние в $n^{\prime }$ раз длиннее, чем в воздухе. Тонкая линза — это две такие поверхности, расположенные близко, и её оптическая сила равна сумме их сил.

Сила больше всего там, где показатель скачет сильнее всего, а в глазу самый большой скачок — от воздуха к роговице. При $R\approx 7,8\mathrm{мм}$ и $n^{\prime }=1,376$ передняя поверхность имеет $P=0,376/0,0078\mathrm{м}\approx 48\mathrm{дптр}$ и $f^{\prime }=1,376/48\mathrm{дптр}\approx 28,5\mathrm{мм}$ — это расстояние нарисовано на рисунке 2. Задняя поверхность роговицы граничит с жидкостью с показателем 1,336 — здесь показатель уменьшается, — поэтому она отнимает около 6 дптр. Так роговица даёт около 42 дптр, больше двух третей из 60 дптр глаза; остальное добавляет хрусталик, и именно он занимается подстройкой.

Под водой, где перед роговицей $n=1,333$, передняя поверхность сохраняет лишь $(1,376-1,333)/0,0078\mathrm{м}\approx 5,5\mathrm{дптр}$. Глаз теряет больше 40 дптр — намного больше, чем может восполнить любая аккомодация, — и всё расплывается. Маска для плавания помогает, потому что возвращает перед роговицу слой воздуха.

Та же формула объясняет соглашение, которым мы пользуемся во всём этом уроке. Изображение возникает в жидкости с показателем 1,336, поэтому настоящее расстояние от линзы до сетчатки равно $n^{\prime }/P=1,336/60\mathrm{дптр}\approx 22\mathrm{мм}$. Модельное значение 1/60 м, около 17 мм, — это приведённое расстояние: расстояние в воздухе, дающее ту же вергентность. С приведёнными расстояниями все формулы можно записывать так, будто глаз заполнен воздухом.

График размытия: почему он V-образный

График экспертного слоя анимации показывает, насколько размытой кажется далёкая сцена близорукому глазу, в зависимости от оптической силы его очков. V-образная форма следует из одной пары подобных треугольников, и тот же результат объясняет, почему помогает прищуривание и почему рецепты выписывают с шагом в четверть диоптрии.

Обозначения

$A$	Ширина зрачка — отверстия, ограничивающего конус света.	$\mathrm{м}$
$d_i$	Расстояние за линзой, на котором сходится конус: $d_i=1/V^{\prime }$, где $V^{\prime }$ — вергентность света, выходящего из линзы (приведённое расстояние).	$\mathrm{м}$
$L$	Расстояние от линзы до сетчатки (приведённое расстояние, здесь $1/58\mathrm{м}$).	$\mathrm{м}$
$b$	Ширина кружка размытия на сетчатке.	$\mathrm{м}$
$P$	Оптическая сила очков — по горизонтальной оси графика.	$\mathrm{дптр}$
$P_0$	Оптическая сила, при которой размытия нет, $-1/d_{\mathrm{дт}}$, где $d_{\mathrm{дт}}$ — дальняя точка: конус тогда сходится точно на сетчатке.	$\mathrm{дптр}$
$AL$	Наклон каждой ветви: размытие, которое добавляет одна диоптрия ошибки.	${\mathrm{м}}^2$

Левая половина рисунка 3 показывает, откуда берётся размытие. Глаз — это приведённый глаз из прошлого раздела, одна линза в 60 дптр, но глазное яблоко чуть длиннее нормы: сетчатка находится на расстоянии $L=1/58\mathrm{м}$ вместо 1/60 м. Глаз близорукий. В расслабленном состоянии он резко видит только до своей дальней точки, $d_{\mathrm{дт}}=0,5\mathrm{м}$, потому что свет, расходящийся оттуда, с вергентностью $-2\mathrm{дптр}$, выходит из линзы с $60-2=58\mathrm{дптр}$ и сходится точно на сетчатке. Значит, $1/d_{\mathrm{дт}}=2\mathrm{дптр}$.

Теперь пусть параллельный свет от далёкой точки проходит через очки с оптической силой $P$. Он выходит из них с вергентностью $P$ (пренебрегая промежутком, как выше), а глаз добавляет 60 дптр, так что за линзой $V^{\prime }=60\mathrm{дптр}+P$. Свет входит в глаз конусом шириной со зрачок $A$, и конус сходится в точку на расстоянии $d_i=1/V^{\prime }$ — это приведённое расстояние, как и $L$.

Посмотрим на разницу между $d_i$ и $L$. На рисунке $d_i$ короче $L$: конус уже пересёкся и снова расширяется, когда достигает сетчатки, где освещает кружок шириной $b$. Подобные треугольники — один с основанием $A$ и высотой $d_i$, другой с основанием $b$ и высотой $L-d_i$ — дают
$b=A\frac{L-d_i}{d_i}=A|L{V}^{\prime }-1|=AL\left|P+\frac{1}{d_{\mathrm{дт}}}\right|$
Средний шаг использует $d_i=1/V^{\prime }$; последний — $L{V}^{\prime }-1=L(V^{\prime }-58\mathrm{дптр})=L(P+2\mathrm{дптр})$. Если бы $d_i$ было длиннее $L$, конус на сетчатке ещё сужался бы, и та же формула осталась бы верной: для этого и нужен модуль.

Величина $\Delta V=P+1/d_{\mathrm{дт}}$ — ошибка вергентности: насколько вергентность света, входящего в глаз, отличается от той, что нужна расслабленному глазу. Правая половина рисунка 3 показывает $b$ в зависимости от $P$. Поскольку $b$ пропорционально модулю величины, которая растёт с $P$ равномерно, график имеет форму V. Его вершина лежит в точке $P_0=-1/d_{\mathrm{дт}}=-2\mathrm{дптр}$, где $d_i=L$: конус сходится точно на сетчатке, и размытие исчезает. Каждая ветвь — прямая с наклоном $AL$: каждая диоптрия ошибки добавляет к размытию $AL$ — этот подъём отмечен на левой ветви.

Вертикальная ось $b$ стоит в точке $P=0$, то есть без очков, поэтому нескорректированный глаз — тот, чей конус нарисован слева, — это точка, где ось пересекает правую ветвь. В анимации точка сначала поднимается строго вверх при $P=0$, пока глазное яблоко удлиняется, а затем скользит вниз по правой ветви, пока оптическая сила очков плавно меняется.

Без очков зрачок 4 мм даёт $b=0,004\cdot 0,01724\cdot 2\mathrm{м}\approx 0,14\mathrm{мм}$. Из линзы этот кружок виден под углом $b/L=A|\Delta V|=0,004\cdot 2=8\mathrm{мрад}$, около 27′. Острый глаз различает 1′, поэтому каждая точка далёкой сцены размазывается примерно на 27 самых тонких деталей, которые глаз мог бы иначе увидеть.

Левая ветвь — это перекоррекция. С очками $-3\mathrm{дптр}$ свет сходится позади сетчатки; молодой глаз всё ещё может сфокусировать его, но только аккомодируя на 1 дптр весь день. Наклон $AL$ пропорционален зрачку, поэтому зрачок 2 мм даёт вдвое меньшее размытие, чем зрачок 4 мм: вот почему помогает прищуривание.

Вблизи вершины небольшое размытие остаётся незамеченным, и диапазон ошибки вергентности, который глаз терпит, называется глубиной резкости. Если размытие в 3′, то есть 0,87 мрад, незаметно, то зрачок 3 мм терпит ошибку $0,87\times 10^{-3}/0,003\approx 0,3\mathrm{дптр}$, потому и рецепты идут с шагом 0,25 дптр.

Угловое увеличение: вывод

Телескоп не может сделать звезду крупнее; он увеличивает угол между направлениями на небе. В этом разделе мы покажем, что угол увеличивается во столько раз, каково отношение двух фокусных расстояний, а затем перенесём идею на микроскоп.

Обозначения

$f_o$	Фокусное расстояние объектива.	$\mathrm{м}$
$f_e$	Фокусное расстояние окуляра, фокальная плоскость которого совпадает с фокальной плоскостью объектива.	$\mathrm{м}$
$y$	Высота изображения звезды под осью в общей фокальной плоскости: $y=f_o\mathrm{tg}\theta$.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Угол между приходящим светом и осью: направление на звезду.	$\mathrm{рад}$
${\theta }^{\prime }$	Угол между уходящим светом и осью: направление, в котором глаз видит звезду.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 4 прослежены два центральных луча — лучи через центр линзы, проходящие сквозь неё без преломления; углы преувеличены. Слева свет звезды, идущий под углом $\theta$ к оси, попадает на объектив с фокусным расстоянием $f_o$. Объектив строит изображение звезды в своей фокальной плоскости, и его центральный луч показывает где: на высоте $y=f_o\mathrm{tg}\theta$ под осью — это фиолетовая полоса.

Окуляр с фокусным расстоянием $f_e$ поставлен так, что его фокальная плоскость совпадает с этой. Поэтому свет от любой точки этой плоскости выходит из окуляра параллельным пучком, идущим по направлению центрального луча от этой точки через центр окуляра. Так свет звезды выходит под углом ${\theta }^{\prime }$, где $\mathrm{tg}{\theta }^{\prime }=y/f_e$.

Отрезок $y$ — катет обоих прямоугольных треугольников на рисунке, одного с катетом $f_o$, другого с катетом $f_e$. Деление двух равенств исключает его:
$\frac{\mathrm{tg}{\theta }^{\prime }}{\mathrm{tg}\theta }=\frac{f_o}{f_e}$
При малых углах тангенсы равны углам, и угловое увеличение равно $M={\theta }^{\prime }/\theta =f_o/f_e$. Во врезке анимации $f_o=3f_e$: когда $\theta$ достигает максимума $3,5^{\circ }$, ${\theta }^{\prime }$ достигает максимума $10,4^{\circ }$, а не $10,5^{\circ }$, потому что в 3 раза растут именно тангенсы. Заметьте и то, что выходящий луч наклонён в противоположную сторону по сравнению с входящим: телескоп показывает небо перевёрнутым.

Окуляр также сужает каждый пучок в отношении $f_e/f_o$. Свет, заполнявший объектив шириной $D$, выходит пучком в $M$ раз уже, шириной $D/M$: это выходной зрачок — пятно света за окуляром, где нужно разместить глаз.

Микроскоп применяет ту же идею к близкому предмету. Предмет лежит чуть дальше фокуса объектива, на расстоянии $x_o$ от него, и объектив строит действительное увеличенное изображение на расстоянии $x_i=f_o^2/x_o$ за своим задним фокусом; это формула линзы, измеренная от фокусов, её ньютоновская форма. Изображение в $x_i/f_o$ раз выше предмета. Если изображение находится на стандартном расстоянии $x_i=\ell$, оптической длине тубуса, то это $\ell /f_o$. Затем окуляр работает как лупа: изображение высотой $y$ в его фокальной плоскости видно под углом $y/f_e$ вместо угла $y/(0,25\mathrm{м})$, под которым оно было бы видно с обычного расстояния чтения. В итоге
$M=\frac{\ell }{f_o}\cdot \frac{0,25\mathrm{м}}{f_e}$

Увеличение — не разрешение

Почему большее увеличение не может открыть всё более мелкие детали? Потому что любое отверстие размазывает свет точки в небольшое пятно на угол, который задают длина волны и ширина отверстия. Откуда берётся этот угол, показывает одно лишь время хода волн.

Представьте идеальную линзу как устройство, выравнивающее времена хода: она приводит свет от точечного источника в точку его изображения по путям, на прохождение которых уходит одно и то же время, так что волны приходят в фазе и складываются. Теперь возьмём второй точечный источник под малым углом $\theta$ к первому и проследим его свет до той же точки изображения. Его два крайних луча, проходящие через противоположные края отверстия шириной $D$, различаются по длине пути на $D\sin \theta \approx D\theta$, а значит, по времени хода на $D\theta /c$.

Сравним эту задержку с одним периодом волны, $\lambda /c$. Если она гораздо короче, волны второго источника тоже приходят почти в фазе: его изображение падает в то же место, и два источника не различить. Когда задержка достигает примерно одного периода, каждой полоске отверстия можно сопоставить другую, отстоящую на полширины отверстия, волны которой приходят на полпериода позже, и такие пары гасят друг друга. Тогда второй источник не посылает света в первую точку изображения, и два изображения разделяются. Итак, ${\theta }_{\min }\approx \lambda /D$. У круглого отверстия у краёв меньше площади, чем у квадратного, поэтому оно действует как чуть более узкое, и множитель вырастает до 1,22:
$\text{Разрешение}:{\theta }_{\min }\approx \frac{1,22\lambda }{D}$

Для зрачка 3 мм и зелёного света 550 нм это $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/0,003\approx 2,2\times 10^{-4}\mathrm{рад}$, или 0,8′. Сетчатка согласована с этим пределом: колбочки в центре центральной ямки находятся примерно в 2,5 мкм друг от друга, что из хрусталика видно под углом 0,5′, поэтому узор с периодом 1′ дискретизируется дважды на период — как раз достаточно, чтобы его записать.

Фасеточные глаза насекомых сталкиваются с тем же компромиссом в другой форме. Каждая фасетка шириной $D$ размывает примерно на $\lambda /D$, тогда как на глазу радиуса $r$ соседние фасетки смотрят в направления, отличающиеся на $D/r$. Мелкие фасетки сильнее дифрагируют; крупные грубее дискретизируют. Оба угла равны при $D=\sqrt{\lambda r}$ — это наилучшая ширина фасетки: около 23 мкм для $r=1\mathrm{мм}$.

Увеличению телескопа нужно лишь поднять его ${\theta }_{\min }$ до угла, который различает глаз, а выходной зрачок показывает, почему большее увеличение не помогает. При увеличении $M$ пучок, входящий в глаз, имеет ширину $D/M$, поэтому собственная дифракция глаза размывает его на $1,22\lambda /(D/M)=M\cdot 1,22\lambda /D$: это ровно предел телескопа, умноженный на $M$. Картинка и размытие растут вместе. При увеличении, превышающем примерно удвоенный диаметр объектива в миллиметрах, выходной зрачок становится меньше 0,5 мм, и это размытие превышает около 4,6′ — оно хорошо заметно: картинка растёт, но новых деталей не появляется.

Задача: телескоп для близорукого глаза

Эта задача объединяет правило вергентностей, график размытия и телескоп: что происходит, когда близорукая наблюдательница пользуется телескопом без очков?

Возьмём телескоп из врезки с $f_o=300\mathrm{мм}$ и $f_e=100\mathrm{мм}$, так что $M=3$, а труба длиной $f_o+f_e$ равна 400 мм. Дадим его наблюдательнице с $-2\mathrm{дптр}$ из анимации без очков; её глаз вплотную к окуляру. Её расслабленный глаз видит резко только свет с вергентностью $-2\mathrm{дптр}$, расходящийся из её дальней точки. Значит, окуляр в $+10\mathrm{дптр}$ должен придать такую вергентность свету от изображения объектива, находящегося на расстоянии $s$ перед окуляром:
$-\frac{1}{s}+10\mathrm{дптр}=-2\mathrm{дптр},s=\frac{1}{12}\mathrm{м}=83,3\mathrm{мм}$

Она сдвигает окуляр внутрь на 16,7 мм, и труба укорачивается с 400 до 383,3 мм. Высота изображения объектива по-прежнему $y=f_o\theta$, но теперь оно находится на расстоянии $s$ от окуляра, а центральный луч от его верхушки через центр окуляра, идущий дальше прямо в её глаз, образует угол ${\theta }^{\prime }=y/s$:
$M=\frac{f_o}{s}=f_o\left(\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_{\mathrm{дт}}}\right)=0,3\cdot 12=3,6$

Она получает увеличение в 3,6 раза вместо 3. По сути, избыточные 2 дптр её глаза прибавляются к 10 дптр окуляра, и получается окуляр в 12 дптр с фокусным расстоянием 83,3 мм. У дальнозоркого наблюдателя, расслабленному глазу которого нужно $+2\mathrm{дптр}$, всё наоборот: эффективный окуляр в 8 дптр, выдвинутый до $s=125\mathrm{мм}$, и всего $M=0,3\cdot 8=2,4$.

Если близорукая наблюдательница не перефокусирует трубу, она снова встречается с графиком размытия. Её ошибка в 2 дптр и зрачок 4 мм дают 27′ размытия на уровне глаза, как в разделе о размытии, то есть около 9′ на небе после деления на $M=3$. Это предполагает, что выходной зрачок заполняет её зрачок в 4 мм, а для этого нужен объектив шириной не менее 12 мм.

Границы применимости

Всё сказанное выше — параксиальная оптика тонких линз: лучи вблизи оси, линзы без толщины, свет одной длины волны. Настоящие глаза и приборы отступают от неё тремя способами, о которых стоит знать.

Первое — аберрации. Настоящий глаз — толстая система с недостатками любой линзы. Сферическая аберрация, когда лучи вдали от оси фокусируются ближе, чем лучи вблизи неё, быстро растёт с размером зрачка и добавляет размытие ночью, когда зрачок широкий. Из-за хроматической аберрации глаз для фиолетового света примерно на 2 дптр сильнее, чем для красного. Роговица, у которой кривизна в одном направлении больше, чем в другом, вызывает астигматизм: для его исправления нужна цилиндрическая линза, а не одно число $P$.

Второе — дифракция. Она создаёт нижний предел для V на рисунке 3: размытие перестаёт уменьшаться около $1,22\lambda /A$, 0,8′ для зрачка 3 мм, а при зрачке меньше примерно 2–3 мм дальнейшее уменьшение лишь ухудшает дело, а не улучшает.

Третье — воздух. Для наземных телескопов турбулентность размазывает звёзды примерно на 1″, а это $4,85\times 10^{-6}\mathrm{рад}$: дифракционный предел отверстия шириной всего $1,22\cdot 550\times 10^{-9}/(4,85\times 10^{-6})\approx 0,14\mathrm{м}$. Более крупные телескопы всё равно собирают больше света, но более мелкие детали требуют адаптивной оптики, которая перестраивает волновой фронт по мере его прихода, или телескопа в космосе, где 2,4-метровый телескоп «Хаббл» достигает 0,06″.

Что дальше

Множитель 1,22 и тёмные кольца вокруг изображений звёзд выводятся в уроке «Дифракция и опыт Юнга», а мысль о приходе волн в фазе взята из урока «Интерференция и суперпозиция волн». Хроматическая аберрация и ахроматический дублет, который её устраняет, относятся к уроку «Призмы, дисперсия и цвет»; оптическая сила поверхности $(n^{\prime }-n)/R$ опирается на урок «Отражение и преломление», а вергентность — на урок «Линзы и зеркала». Правило ${\theta }_{\min }\approx 1,22\lambda /D$ верно для любой волны: радиотелескоп с зеркалом 100 м на волне 21 см различает лишь около 9′ — хуже невооружённого глаза, — тогда как электронные микроскопы, у электронов которых длина волны несколько пикометров (урок «Корпускулярно-волновой дуализм»), показывают отдельные атомы. Сам свет как волна — тема урока «Электромагнитные волны».