Linsen und Spiegel

Eine dünne Linse oder ein gekrümmter Spiegel mit der Brennweite $f$ erzeugt ein Bild in dem Abstand, den $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ angibt, mit der Vergrößerung $m = - d_{i} / d_{o}$ . Eine Sammellinse macht es reell und umgekehrt, wenn das Objekt jenseits des Brennpunkts liegt; liegt es innerhalb, wird das Bild virtuell, aufrecht und vergrößert.

Ein Objektpfeil nähert sich einer Sammellinse: Jenseits des Brennpunkts ist sein Bild reell und umgekehrt, im Brennpunkt verschwindet es, innerhalb wird es virtuell, aufrecht und vergrößert.

Vor diesem Thema: Reflexion und Brechung

Einsteiger

Kernideen

Eine in der Mitte dickere Linse ist eine Sammellinse: Sie vereint parallele Strahlen in einem Punkt, dem Brennpunkt.
Die Brennweite ist der Abstand von der Linse bis zu ihrem Brennpunkt; eine dickere, stärker gekrümmte Linse hat eine kürzere.
Ein weit entferntes Objekt ergibt ein kleines, umgekehrtes reelles Bild, das man auf einem Schirm auffangen kann, wie bei Kamera oder Auge.
Näher als der Brennpunkt zeigt die Linse ein aufrechtes, größeres virtuelles Bild: das ist eine Lupe.

Schritt 1, die Form entscheidet. Eine Linse, die in der Mitte dicker ist als an ihren Rändern, ist eine Sammellinse. Jeder Teil von ihr wirkt wie ein kleines Prisma: Die schrägen Ränder lenken das Licht stark ab, die fast flache Mitte kaum. Nebeneinander einfallende Strahlen werden deshalb aufeinander zu gelenkt.

Schritt 2, der Brennpunkt. Paralleles Licht, etwa Sonnenlicht, wird an einer Stelle gesammelt, dem Brennpunkt; so kann eine Lupe einen Punkt auf Papier versengen. Der Abstand von der Linse zum Brennpunkt ist die Brennweite. Eine dickere, stärker gekrümmte Linse bricht stärker und hat eine kürzere Brennweite.

Schritt 3, reelle Bilder. Strahlen, die von einem Punkt des Objekts ausgehen, treffen sich hinter der Linse wieder in einem Punkt; alle diese Punkte zusammen ergeben ein Bild. Hält man dort ein Blatt Papier hin, erscheint das Bild darauf, umgekehrt. Ein Bild, das durch tatsächlich ankommendes Licht entsteht, heißt reell; Kameras und Augen nutzen solche Bilder.

In der Animation bewegt sich der schwarze Pfeil auf die Linse zu. Solange er weit weg ist, ist sein rotes Bild klein und umgekehrt; je näher er kommt, desto weiter wandert das Bild weg und wird größer. Erreicht der Pfeil den Brennpunkt, verlässt das Licht die Linse in parallelen Bündeln, und es entsteht kein Bild.

Schritt 4, virtuelle Bilder. Näher als der Brennpunkt laufen die Strahlen nach der Linse auseinander und treffen sich nie. Dein Auge verfolgt sie rückwärts und sieht ein aufrechtes, vergrößertes violettes Bild auf der Seite des Objekts: eine Lupe. An dieser Stelle kommt kein Licht an; deshalb heißt das Bild virtuell, wie dein Spiegelbild hinter einem flachen Spiegel.

Teste dich selbst: Eine Linse projiziert eine Lampe auf eine Wand. Du rückst die Lampe weiter weg. Muss die Wand näher heran oder weiter weg? (Näher: Ein weiter entferntes Objekt hat sein Bild näher an der Linse.)

Mittelstufe

Kernideen

Dünne Linse: $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , $m = - d_{i} / d_{o}$ ; $f = 10 cm$ und $d_{o} = 30 cm$ ergeben $d_{i} = 15 cm$ , $m = - 0, 5$ .
Reell ist positiv: $d_{i} > 0$ ist ein reelles Bild auf dem Schirm; $d_{i} < 0$ ist virtuell, auf der Objektseite ( $d_{o} = 5 cm$ ergibt $d_{i} = - 10 cm$ ).
Drei Hauptstrahlen bestimmen das Bild: erst parallel, dann durch $F^{'}$ ; geradeaus durch die Mitte; durch $F$ , dann parallel.
Ein Hohlspiegel folgt derselben Gleichung mit $f = R /2$ ; seine reellen Bilder entstehen vor dem Spiegel.

Brennweite, Abstände und Vorzeichen

Eine Linse, die viel dünner ist als die beteiligten Abstände, wird durch eine einzige Zahl beschrieben, ihre Brennweite $f$ . Eine Sammellinse vereint Strahlen, die parallel zur Achse einfallen, also zur Linie durch ihren Mittelpunkt im rechten Winkel zu ihr, im fernen Brennpunkt $F^{'}$ , im Abstand $f$ hinter ihr; der nahe Brennpunkt $F$ liegt im gleichen Abstand davor. In der Animation ist $f = 10 cm$ , und die Marken $2 F$ und $2 F^{'}$ liegen doppelt so weit außen. Optiker geben stattdessen die Brechkraft $P = 1/ f$ an, in Dioptrien (D) mit $f$ in Metern: Die Linse der Animation hat $P = 1/ (0, 10 m) = 10 D$ .

Das Licht läuft von links nach rechts. Die Abstände $d_{o}$ des Objekts und $d_{i}$ des Bildes werden von der Linse aus gemessen, die Höhen $h_{o}$ und $h_{i}$ von der Achse aus nach oben, und reell zählt als positiv. Eine Sammellinse, in der Mitte dicker, hat $f > 0$ ; eine Zerstreuungslinse, in der Mitte dünner, hat $f < 0$ . Ein positives $d_{i}$ ist ein reelles Bild auf der fernen Seite, das ein Schirm auffangen kann; ein negatives $d_{i}$ ist ein virtuelles Bild auf der Objektseite, das man nur durch die Linse sieht.

Die Linsengleichung

Wo sich das Bild bildet und wie groß es ist, folgt aus zwei Gleichungen:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}$
$m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}$

Die erste addiert Kehrwerte, nicht Abstände: Berechne $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ und bilde danach den Kehrwert des Ergebnisses. Die zweite liefert die Vergrößerung $m$ , Bildhöhe durch Objekthöhe. Ihr Betrag sagt, wie viel größer das Bild ist, und ein negatives Vorzeichen bedeutet umgekehrt; deshalb ist ein reelles Bild eines reellen Objekts, bei dem beide Abstände positiv sind, immer umgekehrt. Für eine Zerstreuungslinse mit $f = - 10 cm$ und einem Objekt bei 30 cm gilt $1/ d_{i} = - 1/10 - 1/30 = - 4/30 c m^{- 1}$ , also $d_{i} = - 7, 5 cm$ und $m = + 0, 25$ : ein virtuelles, aufrechtes Bild, ein Viertel so groß.

Das Bild mit drei Strahlen finden

Jeder Strahl von der Spitze des Objekts, der durch die Linse geht, erreicht die Spitze des Bildes oder scheint von ihr zu kommen. Drei lassen sich leicht zeichnen, und die Animation zeigt sie farbig:

Der goldene Strahl kommt parallel zur Achse an und verlässt die Linse durch den fernen Brennpunkt $F^{'}$ .
Der grüne Strahl geht geradeaus durch die Mitte, wo die beiden Flächen parallel sind.
Der blaue Strahl geht durch den nahen Brennpunkt $F$ und verlässt die Linse parallel zur Achse.

Dort, wo sich die Strahlen kreuzen, liegt die Spitze des Bildes; zwei legen sie fest, der dritte prüft nach. Liegt das Objekt innerhalb von $F$ , startet der blaue Strahl entlang der gestrichelten Linie von $F$ aus, und die Strahlen laufen nach der Linse auseinander; ihre Rückwärtsverlängerungen treffen sich auf der Objektseite, an der Spitze des virtuellen Bildes.

Das Diagramm liefert auch die Gleichungen. Der grüne Strahl bildet ähnliche Dreiecke mit Objekt und Bild, also $h_{i} / h_{o} = - d_{i} / d_{o}$ . Der goldene Strahl sinkt von der Höhe $h_{o}$ an der Linse auf null, einen Abstand $f$ weiter; am Bild ist daher $h_{i} = h_{o} (1 - d_{i} / f)$ . Gleichsetzen der Verhältnisse ergibt $1 - d_{i} / f = - d_{i} / d_{o}$ , und Division durch $d_{i}$ liefert die Linsengleichung.

Rechenbeispiel: der Pfeil aus der Animation

Der Pfeil ist 5 cm hoch, die Linse hat $f = 10 cm$ . Als der Pfeil $d_{o} = 30 cm$ erreicht,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} c m^{- 1}$
$d_{i} = 15 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0, 5$

Das Bild ist reell, umgekehrt und halb so groß, $h_{i} = - 2, 5 cm$ , zwischen $F^{'}$ und $2 F^{'}$ , wo sich die drei Strahlen kreuzen. Das sind die Anzeigen für $d_{i}$ und $m$ in diesem Moment.

Am Anfang ist $d_{o} = 34, 1 cm$ , das Bild ist klein: $d_{i} = 14, 2 cm$ , $m = - 0, 42$ . Bei $2 F$ ist es in natürlicher Größe und liegt bei $2 F^{'}$ , mit $m = - 1$ . Zwischen $2 F$ und $F$ ist es vergrößert, wie bei einem Projektor: Bei 14,55 cm (Anzeige: 14,5) ergeben die Anzeigen $d_{i} = 32, 0 cm$ und $m = - 2, 20$ . Nahe $F$ zeigt die Anzeige $d_{i} \to \infty$ ; genau bei $F$ verlassen die Strahlen die Linse parallel.

Innerhalb von $F$ kehrt sich das Vorzeichen um. Bei 7,73 cm ist $d_{i} = - 34, 0 cm$ und $m = + 4, 40$ ; am Ende, bei $d_{o} = 5, 45 cm$ (Anzeige: 5,5), ist $d_{i} = - 12, 0 cm$ und $m = + 2, 20$ : ein aufrechtes violettes Bild, 11 cm hoch, auf der Objektseite. Das ist eine Lupe. Genau bei 5 cm gilt $1/ d_{i} = 1/10 - 1/5 = - 1/10$ , also $d_{i} = - 10 cm$ und $m = + 2$ .

Gekrümmte Spiegel folgen derselben Regel

Ein Hohlspiegel, gekrümmt wie die Innenseite eines Löffels, bündelt das Licht; ein Wölbspiegel streut es. Strahlen parallel zur Achse werden von einem Hohlspiegel durch seinen Brennpunkt $F$ reflektiert, auf halbem Weg zu seinem Krümmungsmittelpunkt $C$ :
$f = \frac{R}{2} (spherical mirror)$

Der Radius von $C$ ist an der Stelle, an der ein Strahl auftrifft, die Normale; ein paralleler Strahl verlässt ihn daher unter demselben Winkel zu ihr auf der anderen Seite. Strahl, Radius und Achse bilden ein Dreieck mit zwei gleichen Winkeln, was für kleine Winkel den Kreuzungspunkt genau in die Mitte zwischen $C$ und den Spiegel legt.

Dieselbe Gleichung und Vergrößerung gelten, aber das Licht kommt zurück, daher liegt die reelle Seite vor dem Spiegel: Reelle Bilder ( $d_{i} > 0$ ) entstehen vor dem Spiegel, virtuelle ( $d_{i} < 0$ ) dahinter. Ein Hohlspiegel hat $f = + R /2$ , ein Wölbspiegel $f = - R /2$ . Ein ebener Spiegel, $R \to \infty$ , ergibt $d_{i} = - d_{o}$ und $m = + 1$ .

Rechenbeispiel: ein Schminkspiegel

Ein Hohlspiegel als Schminkspiegel hat $R = 60 cm$ , also $f = 30 cm$ . Ist dein Gesicht 15 cm entfernt,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = - \frac{1}{30} c m^{- 1}, d_{i} = - 30 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = + 2$
Das Bild ist virtuell, aufrecht und doppelt so groß wie das Original, 30 cm hinter dem Spiegel; deine Augen sehen es in 45 cm Entfernung, angenehm zum Scharfstellen.

Geh nun so weit zurück, bis dein Gesicht 90 cm vom Spiegel entfernt ist:
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} = \frac{2}{90} c m^{- 1}, d_{i} = 45 cm, m = - \frac{45}{90} = - 0, 5$
Das Bild ist jetzt reell und umgekehrt und schwebt 45 cm vor dem Spiegel, auf halbem Weg zwischen ihm und dir: ein kleines, kopfstehendes Gesicht, wie in der Mulde eines Löffels. Bei 30 cm, dem Brennpunkt, siehst du nur einen Schleier.

Häufige Fehler

Vergessen des Kehrwerts: $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 0, 067 c m^{- 1}$ ist noch nicht die Antwort; deren Kehrwert, 15 cm, ist es. Die Abstände voneinander abzuziehen, $30 - 10 = 20 cm$ , ist ebenfalls falsch.
Das Abdecken der halben Linse schneidet nicht die Hälfte des Bildes ab: Jeder Teil der Linse sendet Licht von jedem Objektpunkt zu seinem Bildpunkt, also bleibt das ganze Bild erhalten, nur halb so hell.
Ein negativer Bildabstand ist kein Fehler: $d_{o} = 5 cm$ ergibt $d_{i} = - 10 cm$ , ein virtuelles Bild, das man durch die Linse sehen, aber nicht auf einem Schirm auffangen kann.
Zerstreuungslinsen und Wölbspiegel haben negative Brennweiten: Mit $+ 10 cm$ statt $- 10 cm$ würde ein Objekt bei 30 cm scheinbar ein reelles Bild bei 15 cm ergeben statt eines virtuellen bei $- 7, 5 cm$ .
Reelle Bilder eines Spiegels entstehen vor ihm: Der Schminkspiegel bildet ein 90 cm entferntes Gesicht 45 cm vor dem Glas ab.

Wo dir das begegnet

Eine Kamera erzeugt ein reelles Bild auf dem Sensor: Ein Handyobjektiv mit $f = 4, 0 mm$ bildet eine Person 2,0 m entfernt bei $d_{i} = 4, 008 mm$ ab, sodass das Umfokussieren von einem fernen Berg es nur um 8 µm verschiebt. Ein Projektor hält das Dia knapp jenseits von $F$ , und eine Lupe hält das Objekt innerhalb von $F$ . Scheinwerfer setzen die Lampe in den Brennpunkt eines Hohlspiegels, um ein paralleles Bündel zu erzeugen; konvexe Autospiegel liefern ein breites, verkleinertes Blickfeld.

Optische Systeme mit mehreren Linsen folgen in Auge, Kamera und Teleskop; warum Glas Licht bricht, wurde in Reflexion und Brechung behandelt, und die farbigen Säume einer einfachen Linse gehören zu Prismen, Dispersion und Farbe.

Fortgeschritten

Kernideen

Gleiche Laufzeiten vom Objekt zum Bild: Wegüberschuss $h^{2} /2 s$ gegen Glaswölbung $h^{2} /2 R$ ergibt $1/ s + n / s^{'} = (n - 1) / R$ für jedes $h$ .
$d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ ist eine Hyperbel; von den Brennpunkten aus gemessen liefert die Newtonsche Form $x_{o} x_{i} = f^{2}$ den Wert $m = - f / x_{o}$ .
Objekt und reelles Bild sind nie näher als $4 f$ (bei $d_{o} = d_{i} = 2 f$ ist $m = - 1$ ); die Tiefe wird mit $m^{2}$ vergrößert.
Bei der Ordnung $h^{4}$ fokussieren randnahe Strahlen zu kurz (sphärische Aberration); danach setzt die Beugung ( $1, 22 λ / D$ ) die Grenze.

Bilder als gleiche Laufzeiten

In Reflexion und Brechung war ein Strahl ein Weg stationärer Laufzeit: Benachbarte Wege brauchen fast gleich lang, sodass ihre Elementarwellen phasengleich ankommen und sich verstärken. Ein Bild ist der Extremfall davon. Ein Punkt $I$ ist das Bild eines Punktes $O$ , wenn jeder Weg von $O$ durch die Linse nach $I$ dieselbe Zeit braucht. Alle Elementarwellen erreichen $I$ dann in Phase und addieren sich zu einem hellen Punkt, während sie knapp neben $I$ mit gestreuten Phasen eintreffen und sich größtenteils auslöschen. Zwei so verknüpfte Punkte heißen konjugiert. Diese eine Bedingung, gleiche Laufzeiten, liefert jede Formel dieser Lektion, und ihr Versagen erklärt, warum echte Linsen unvollkommen sind.

Abbildung 1 vergleicht zwei der Wege von $O$ nach $I$ . Weg 1 verläuft geradlinig entlang der Achse: eine Strecke $d_{o}$ in Luft bis zur Linse, die volle Mitteldicke $t_{0}$ des Glases, dann $d_{i}$ in Luft bis zum Bild. Weg 2 kreuzt die Linsenebene in einer Höhe $h$ über der Achse. Vergleiche die beiden Wege Stück für Stück.

In Luft ist Weg 2 länger. Sein erstes gerades Stück ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten $d_{o}$ und $h$ ; es übertrifft $d_{o}$ also um $d_{o}^{2} + h^{2} - d_{o}$ , was für kleines $h$ etwa $h^{2} /2 d_{o}$ ergibt. Ebenso übertrifft sein zweites Stück $d_{i}$ um etwa $h^{2} /2 d_{i}$ . Im Glas ist Weg 2 kürzer: In der Höhe $h$ ist die Linse nur $t$ dick, gegenüber $t_{0}$ auf der Achse.

Aus der Geometrie allein käme Weg 2 also zu spät an; die Linse muss das Licht nahe der Achse deshalb um denselben Betrag zurückhalten. Glas kann das, weil Licht darin $n$ -mal langsamer ist. Licht durchquert eine Glasdicke $t$ in der Zeit, die es bräuchte, um $n t$ in Luft zurückzulegen; ersetzt man diese Dicke Luft durch Glas, kommt ein optischer Weg $(n - 1) t$ hinzu. Weg 1 durchquert $t_{0} - t$ mehr Glas als Weg 2, und die beiden Zeiten sind gleich, wenn diese zusätzliche Verzögerung genau den längeren Weg von Weg 2 in Luft ausgleicht:
$(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} h^{2} (\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}})$
Die rechte Seite wächst mit $h^{2}$ , also muss auch $t_{0} - t$ wachsen: Das Glas muss sich von der Achse weg verjüngen. Deshalb ist eine Sammellinse in der Mitte am dicksten.

Eine Zahl zeigt, wie fein dieses Gleichgewicht ist. Mit den Werten der Animation, $d_{o} = 30 cm$ und $d_{i} = 15 cm$ , ist der Weg durch $h = 2 cm$ um $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0, 1 cm = 2, 0 mm$ länger. Eine Linse mit $n = 1, 50$ gleicht das aus, wenn sie in der Mitte 4 mm dicker ist als 2 cm weiter außen, denn $0, 50 \cdot 4 mm = 2, 0 mm$ . Diese 2,0 mm sind etwa 3600 Wellenlängen grünen Lichts, und die Linse muss sie bis auf einen Bruchteil einer Wellenlänge ausgleichen.

Herleitung der Linsengleichungen

Dasselbe Laufzeitargument, zuerst auf eine gekrümmte Fläche und dann auf zwei angewandt, liefert die Dünnlinsengleichung und die Linsenschleifer-Gleichung. Es zeigt auch, warum einfache Kugelflächen gut genug sind.

Abbildung 2 zeigt den Baustein: eine Kugelfläche zwischen Luft und Glas mit dem Brechungsindex $n$ . Ihr Krümmungsmittelpunkt ist $C$ , ihr Radius $R$ ; der Punkt, an dem sie die Achse schneidet, ist der Scheitel. Das Objekt $O$ liegt im Abstand $s$ vor dem Scheitel, in Luft, und das Bild $I$ im Abstand $s^{'}$ dahinter, im Glas. Wie zuvor verläuft Weg 1 entlang der Achse, und Weg 2 trifft die Fläche in einer Höhe $h$ , die klein gegenüber $s$ ist (die Abbildung übertreibt sie).

Drei Effekte entscheiden, ob beide Wege dieselbe Zeit brauchen. Erstens ist Weg 2 vor der Fläche um etwa $h^{2} /2 s$ länger, aus demselben Grund wie in Abbildung 1. Zweitens ist er nach der Fläche um etwa $h^{2} /2 s^{'}$ länger; dieses Stück liegt im Glas und kostet daher einen optischen Weg $n h^{2} /2 s^{'}$ . Drittens krümmt sich die Fläche von $O$ weg: In der Höhe $h$ liegt sie um eine kleine Strecke $z$ , ihre Pfeilhöhe, hinter der Scheitelebene (der gestrichelten senkrechten Linie). Weg 2 legt deshalb etwa $z$ mehr in Luft zurück, bevor er ins Glas eintritt, über eine Strecke, die Weg 1 im Glas durchquert. Dadurch spart Weg 2 einen optischen Weg $(n - 1) z$ .

Die Pfeilhöhe ergibt sich aus dem rechtwinkligen Dreieck in der Abbildung. Seine Hypotenuse ist der Radius $R$ von $C$ zu dem Punkt, an dem Weg 2 die Fläche trifft; seine Seiten sind die Höhe $h$ und die Strecke $R - z$ längs der Achse von $C$ zum Fußpunkt von $h$ . Also gilt $(R - z)^{2} + h^{2} = R^{2}$ , was $z = R - R^{2} - h^{2}$ ergibt. Für $h ≪ R$ ist die Wurzel etwa $R - h^{2} /2 R$ , woraus $z \approx h^{2} /2 R$ folgt. Die Zeiten sind gleich, wenn die beiden zusätzlichen Längen die Einsparung ausgleichen:
$\frac{h ^{2}}{2 s} + \frac{n h ^{2}}{2 s ^{'}} = \frac{( n - 1 ) h ^{2}}{2 R} \Rightarrow \frac{1}{s} + \frac{n}{s ^{'}} = \frac{n - 1}{R}$

Jeder Term trägt denselben Faktor $h^{2}$ , der sich daher herauskürzt. In dieser Ordnung hängt die Bedingung gar nicht von der Höhe ab: Eine Kugelfläche bringt die Strahlen aus jeder Höhe im selben Punkt zusammen. Deshalb funktionieren Kugelflächen, die beim Schleifen ganz natürlich entstehen.

Eine dünne Linse besteht aus zwei solchen Flächen dicht beieinander, und ihre Dicke lässt sich wie in Abbildung 1 als höhenabhängige Verzögerung behandeln. Zuerst eine Vorzeichenregel: Ein Radius gilt als positiv, wenn sein Krümmungsmittelpunkt auf der Seite liegt, zu der das Licht läuft; eine bikonvexe Linse hat also $R_{1} > 0$ für ihre erste Fläche und $R_{2} < 0$ für die zweite. Jede Fläche entfernt Glas proportional zu ihrer Pfeilhöhe, daher nimmt die Dicke gemäß $t (h) = t_{0} - \frac{1}{2} h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ ab.

Nun vergleiche Weg 2 noch einmal mit dem axialen Weg. Sein Umweg in Luft kostet $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ , und das Glas, das er meidet, spart $(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} (n - 1) h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . Die Zeit ist für jedes $h$ nur dann gleich, wenn beide Terme übereinstimmen, und wieder kürzt sich $h^{2}$ heraus:
$\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{f}$

Diese Zeile enthält zwei Gesetze zugleich. Ihr erster und letzter Teil bilden die Dünnlinsengleichung $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 1/ f$ ; ihr zweiter und letzter Teil die Linsenschleifer-Gleichung $1/ f = (n - 1) (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ . Die Brennweite $f$ ist der Bildabstand eines sehr fernen Objekts. Die linke Seite hängt nur davon ab, wo $O$ und $I$ liegen, die rechte nur vom Glas und seiner Form; deshalb bildet eine Linse jede Ebene einer Szene auf ihre konjugierte Ebene ab. Die Linse der Animation mit $f = 10 cm$ könnte eine symmetrische Glaslinse mit $n = 1, 50$ und $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ sein: $0, 50 \cdot (1/10 + 1/10) = 1/10$ pro Zentimeter.

Newtonsche Form und die Hyperbel

Wie wandert das Bild, wenn sich das Objekt der Linse nähert? Ein Graph der Linsengleichung beantwortet das, und wenn man die Abstände von den Brennpunkten aus misst, wird die Gleichung in ihre einfachste Form gebracht.

Abbildung 3 trägt den Bildabstand $d_{i}$ gegen den Objektabstand $d_{o}$ auf, wie es der Graph in der Ansicht „Fortgeschritten“ der Animation tut. Die Abstände folgen der Konvention, dass reell positiv ist: $d_{i} > 0$ ist ein reelles Bild auf der fernen Seite der Linse, $d_{i} < 0$ ein virtuelles Bild auf der Objektseite. Nach dem Bildabstand aufgelöst liefert die Linsengleichung $d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ , eine Hyperbel. Ihre gestrichelten Asymptoten sind $d_{o} = f$ , wo der Nenner verschwindet und das Bild ins Unendliche wandert, und $d_{i} = f$ , dem sich das Bild nähert, wenn sich das Objekt ins Unendliche entfernt.

Betrachte zuerst die beiden Äste. Der obere Ast, mit $d_{i} > 0$ markiert, enthält die reellen Bilder von Objekten jenseits des Brennpunkts. Der untere Ast, mit $d_{i} < 0$ markiert, enthält die virtuellen Bilder von Objekten innerhalb des Brennpunkts: Er schmiegt sich weit unterhalb der Achse an die Asymptote $d_{o} = f$ an und steigt zum Ursprung, wenn $d_{o} \to 0$ . Die Vergrößerung ist $m = - d_{i} / d_{o}$ , das Verhältnis von Bildhöhe zu Objekthöhe, negativ, wenn das Bild umgekehrt ist. Der Punkt bei $2 f$ ist der Scheitel des reellen Astes, $(2 f, 2 f)$ , wo $d_{i} = d_{o}$ und daher $m = - 1$ gilt: ein umgekehrtes Bild in gleicher Größe.

Miss nun beide Abstände von den Brennpunkten statt von der Linse: $x_{o} = d_{o} - f$ entlang der Waagerechten und $x_{i} = d_{i} - f$ entlang der Senkrechten. Multipliziert man die Linsengleichung mit $f d_{o} d_{i}$ , ergibt sich $d_{o} d_{i} = f d_{o} + f d_{i}$ . Bringt man die rechte Seite hinüber und addiert $f^{2}$ auf beiden Seiten, folgt $d_{o} d_{i} - f d_{o} - f d_{i} + f^{2} = f^{2}$ , und die linke Seite ist $(d_{o} - f) (d_{i} - f)$ . Das ist die Newtonsche Form der Linsengleichung:
$x_{o} x_{i} = f^{2}$

In der Abbildung ist sie das schattierte Rechteck. Gezeichnet am markierten Punkt $d_{o} = 3 f$ , hat es die Seiten $x_{o} = 2 f$ entlang des Bodens und $x_{i} = f /2$ an der Seite, also den Flächeninhalt $f^{2}$ . Ein Rechteck vom Eckpunkt $(f, f)$ zu einem beliebigen anderen Punkt der Kurve hat denselben Flächeninhalt; am Scheitel ist es das Quadrat $f \times f$ . Die Vergrößerung hat ebenso eine einfache Form. Die aufgelöste Gleichung liefert $d_{i} / d_{o} = f / (d_{o} - f) = f / x_{o}$ , und die Newtonsche Form verwandelt $f / x_{o}$ in $x_{i} / f$ :
$m = - \frac{f}{x _{o}} = - \frac{x _{i}}{f}$
Prüfung mit dem Objekt der Animation bei 30 cm: $x_{o} = 20 cm$ , also $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , was wieder $d_{i} = 15 cm$ ergibt, und $m = - 10/20 = - 0, 5$ .

In der Animation läuft ein roter Punkt den reellen Ast entlang. Er startet bei $(34, 1, 14, 2)$ in Zentimetern, passiert den Scheitel $(20, 20)$ und verlässt den oberen Rand der Darstellung bei $d_{i} = 60 cm$ , wenn $d_{o} = 12 cm$ ist. Sobald das Objekt $F$ passiert hat, tritt ein violetter Punkt bei $d_{i} = - 40 cm$ von unten in den virtuellen Ast ein, wenn $d_{o} = 8 cm$ ist, und steigt bis $- 12 cm$ . Fortgesetzt bis $d_{o} \to 0$ erreicht dieser Ast den Ursprung, wo $m = - f / x_{o} \to + 1$ gilt: Eine Lupe, die auf dem Blatt liegt, vergrößert nichts.

Die Steigung der Kurve zeigt, wie schnell sich das Bild bewegt. Da $d_{i} = f + f^{2} / x_{o}$ gilt und sich $x_{o}$ genau wie $d_{o}$ ändert, ist die Steigung $d (d_{i}) / d (d_{o}) = - f^{2} / x_{o}^{2} = - m^{2}$ . Das Minuszeichen bedeutet: Nähert sich das Objekt der Linse, weicht das reelle Bild von ihr zurück; beide bewegen sich im Raum in dieselbe Richtung, das Bild $m^{2}$ -mal so weit. Die Tiefe wird also mit $m^{2}$ vergrößert, die Höhe nur mit $m$ . Die Steigung beträgt $- 0, 25$ bei 30 cm und $- 4, 84$ bei 14,55 cm.

Schließlich ist der Abstand von Objekt zu reellem Bild $d_{o} + d_{i} = 2 f + x_{o} + f^{2} / x_{o}$ . Die Summe $x_{o} + f^{2} / x_{o}$ ist am kleinsten bei $x_{o} = f$ , wo ihre Ableitung $1 - f^{2} / x_{o}^{2}$ verschwindet. Objekt und reelles Bild sind daher nie näher als $4 f$ , erreicht bei $d_{o} = d_{i} = 2 f$ mit $m = - 1$ . In der Animation sinkt der Abstand bei $2 F$ von 48,2 cm auf 40 cm und wächst danach wieder. Die Aufgabe unten beruht auf diesem Minimum.

Spiegel und Linsensysteme

Spiegel gehorchen derselben Gleichung mit einer Änderung, und ein System aus mehreren Linsen lässt sich ebenfalls darauf zurückführen.

Bei einem Spiegel kommt das Licht zurück, daher zählt die Pfeilhöhe doppelt. Ein Hohlspiegel mit Radius $R$ ist zum Objekt hin gekrümmt: In der Höhe $h$ liegt seine Fläche um $h^{2} /2 R$ näher am Objekt als sein Scheitel. Das verkürzt Weg 2 um $h^{2} /2 R$ auf dem Hinweg und nochmals auf dem Rückweg, während seine schrägen Stücke wie zuvor $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ hinzufügen. Gleiche Zeiten erfordern daher $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = h^{2} / R$ , also $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 2/ R$ : Ein Spiegel gehorcht der Dünnlinsengleichung mit $f = R /2$ . Licht tritt nie in Glas ein, daher hat ein Spiegel keine Dispersion und keinen Farbfehler, ein Grund, warum große Teleskope Spiegelteleskope sind.

Für Sternlicht, das parallel zur Achse eintrifft, ist eine Kugel nicht ganz die richtige Form. Ein Paraboloid macht die Zeiten exakt gleich: Jeder Punkt einer Parabel ist gleich weit von ihrem Brennpunkt entfernt wie von einer festen Geraden, ihrer Leitlinie, sodass jeder reflektierte Weg von einem fernen Stern zum Brennpunkt dieselbe Länge hat. Eine Kugel weicht von diesem Paraboloid um etwa $h^{4} /8 R^{3}$ ab, dem nächsten Term ihrer Pfeilhöhe. Am Rand eines 20 cm breiten Spiegels mit $f = 1, 0 m$ , also $R = 2, 0 m$ und $h = 0, 10 m$ , sind das 1,6 µm. Durch die Reflexion verdoppelt sich das auf etwa 3 µm Weg, mehr als fünf Wellenlängen sichtbaren Lichts; deshalb werden solche Spiegel parabolisiert. Hubbles 2,4-m-Spiegel war am Rand etwa 2 µm zu flach poliert und lieferte verschwommene Bilder, bis 1993 Korrekturoptik eingebaut wurde.

Dünne Linsen, die sich berühren, addieren einfach ihre Verzögerungen, daher addieren sich ihre Brechkräfte $P = 1/ f$ : $P = P_{1} + P_{2}$ , in Dioptrien (D), wenn $f$ in Metern steht. Zwei Linsen der Animation mit je 10 D ergeben 20 D, $f = 5 cm$ . Linsen mit Abständen dazwischen werden einzeln behandelt: Das Bild, das ein Element erzeugt, dient als Objekt des nächsten. Konvergiert das Licht beim Erreichen des nächsten Elements noch, liegt sein Objekt jenseits dieses Elements; es zählt als virtuelles Objekt, $d_{o} < 0$ , auf dem violetten Ast von Abbildung 3, fortgesetzt über den Ursprung hinaus. In paraxialer Näherung hat jedes System in Luft zwei Brennpunkte und zwei Hauptebenen, das sind die Ebenen, von denen aus seine Abstände gemessen werden, und $x_{o} x_{i} = f^{2}$ gilt mit seiner effektiven Brennweite.

Rechenaufgabe: Lampe, Linse und Schirm

Dieses Experiment auf der Bank nutzt den Mindestabstand $4 f$ und misst $f$ , ohne den Brennpunkt der Linse finden zu müssen.

In Abbildung 4 stehen eine Lampe, mit einem 5 cm hohen Pfeil als Objekt, und ein Schirm im Abstand $L = 45 cm$ . Die Linse der Animation, $f = 10 cm$ , wird dazwischen verschoben. Wo ist das Bild auf dem Schirm scharf, und wie ergibt sich daraus $f$ ?

Ein scharfes Bild erfordert $d_{o} + d_{i} = L$ . Setzt man $d_{i} = L - d_{o}$ in die Linsengleichung ein und multipliziert mit $f d_{o} (L - d_{o})$ , folgt $f L = d_{o} (L - d_{o})$ , eine quadratische Gleichung in $d_{o}$ :
$d_{o}^{2} - L d_{o} + L f = 0, d_{o} = \frac{L \pm L ^{2} - 4 L f}{2} = \frac{45 \pm 15}{2} cm$
Die Linse liefert also ein scharfes Bild bei 30 cm Abstand von der Lampe, mit dem Bild 15 cm dahinter (Position 1 in der Abbildung), und bei 15 cm Abstand, mit dem Bild 30 cm dahinter (Position 2).

Die beiden Positionen sind zueinander umgekehrt, wie es die Umkehrbarkeit der Lichtwege verlangt: Wird $O$ auf $I$ abgebildet, so wird $I$ auf $O$ abgebildet. Vergleiche die beiden Zeilen von Abständen in der Abbildung: In Position 2 ist die Linse $d_{i}$ von der Lampe und $d_{o}$ vom Schirm entfernt, dieselben zwei Längen, vertauscht. Der 5 cm hohe Pfeil wird in Position 1 als 2,5 cm hoch mit $m = - 0, 5$ abgebildet, in Position 2 als 10 cm hoch mit $m = - 2$ . Die beiden Vergrößerungen $- d_{i} / d_{o}$ und $- d_{o} / d_{i}$ ergeben multipliziert 1, und die Objekthöhe ist das geometrische Mittel der beiden Bildhöhen, $2, 5 \cdot 10 = 5 cm$ .

Die Quadratwurzel ist nur reell, wenn $L \geq 4 f$ gilt, dem oben gefundenen Mindestabstand. Bei 40 cm fallen die beiden Positionen bei $d_{o} = 20 cm$ zusammen; steht der Schirm näher, gibt es keine Position mit scharfem Bild.

Die Methode funktioniert auch rückwärts, für eine unbekannte Linse. Miss $L$ und die Verschiebung $a$ der Linse zwischen ihren beiden scharfen Positionen, das $a$ aus Abbildung 4, hier $30 - 15 = 15 cm$ . Die beiden Wurzeln unterscheiden sich um $a = L^{2} - 4 L f$ , also
$f = \frac{L ^{2} - a ^{2}}{4 L} = \frac{4 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{4 \cdot 45} = 10 cm$
aus zwei Längen, die entlang der Bank gemessen werden, ohne dass man wissen muss, von welchem Punkt im Inneren der Linse aus man messen soll.

Aberrationen: wo gleiche Zeiten versagen

Bisher wurden nur Terme in $h^{2}$ berücksichtigt. Echte Linsen bleiben hinter dem Ideal zurück, weil die nächsten Terme sich nicht aufheben und weil $n$ von der Farbe abhängt.

In der Ordnung $h^{4}$ stimmen die Zeiten durch eine sphärische Linse nicht mehr überein, und die äußeren Strahlen fokussieren kürzer als die paraxialen, also die achsennahen. Das ist die sphärische Aberration. Exakt berechnet für die symmetrische Linse oben mit 4 cm Durchmesser kreuzen parallele Strahlen am Rand die Achse etwa 7 mm vor dem paraxialen Brennpunkt, Strahlen in halber Höhe etwa 1,6 mm davor. Halbiert man die Höhe, sinkt die Verschiebung etwa auf ein Viertel: Sie wächst mit $h^{2}$ . Eine kleinere Öffnung und asphärische Flächen verringern sie.

Weil $n$ von der Wellenlänge abhängt, hängt auch $f$ davon ab: Das ist die chromatische Aberration. Kronglas hat $n = 1, 514$ für rotes Licht und 1.522 für blaues. Da $1/ f \propto n - 1$ gilt, liegt der blaue Brennpunkt um den Faktor $0, 522/0, 514$ näher, also etwa 1,5 %, bei einer 10-cm-Linse etwa 1,5 mm. Ein achromatisches Dublett fügt eine schwächere Zerstreuungslinse aus Flintglas hinzu. Flintglas spreizt die Farben stärker, daher hebt die schwache Flintlinse den Farbfehler der starken Kronglaslinse auf und nimmt dabei nur einen Teil ihrer Brechkraft zurück. Punkte außerhalb der Achse verursachen weitere Fehler, Koma, Astigmatismus und Verzeichnung, die Konstrukteure mit asphärischen Elementen gegeneinander ausbalancieren.

Grenzen der Gültigkeit

Das Dünnlinsengesetz setzt paraxiale Strahlen voraus, eine Dicke klein gegenüber $f$ und Luft auf beiden Seiten. Die letzte Annahme gilt im Wasser nicht, wo es auf den Brechungsindex des Glases relativ zum Wasser ankommt. Eine Linse mit $n = 1, 50$ wirkt dort mit $1, 50/1, 33 - 1 = 0, 13$ statt 0.50, und ihre Brennweite vervierfacht sich nahezu. Die Hornhaut, die stärkste brechende Fläche des Auges, verliert aus demselben Grund den größten Teil ihrer Brechkraft, weil die Flüssigkeit dahinter fast den Brechungsindex von Wasser hat: daher die Unschärfe unter Wasser ohne Taucherbrille.

Die tiefste Grenze ist die Wellennatur des Lichts. Die Zeiten müssen nur innerhalb eines Bruchteils einer Periode übereinstimmen, etwa einem Viertel (Rayleigh-Kriterium): Die Wellen am Bild sind dann fast phasengleich, und weiteres Polieren bringt wenig. Was bleibt, ist die Beugung. Selbst eine perfekte Linse mit Durchmesser $D$ bildet einen Punkt als kleine Scheibe mit schwachen Ringen ab, die Airy-Scheibe, deren Winkelradius $1, 22 λ / D$ beträgt. Für die 4-cm-Linse und grünes Licht (550 nm) sind das $1, 7 \times 1 0^{- 5} rad$ , ein Fleck mit 1,7 µm Radius im Brennpunkt, 10 cm entfernt. Eine Pupille von 3 mm Durchmesser ergibt etwa 0,8 Bogenminuten, nahe am schärfsten menschlichen Sehen. Stärkeres Vergrößern vergrößert nur die Unschärfe; es zeigt keine neuen Details.

Wohin das führt

Auge, Kamera und Teleskop setzen diese Linsen ein: das Auge als Linse von etwa 60 D, die Lupe mit einer Winkelvergrößerung von etwa $25 cm / f$ , und das Teleskop als Objektiv und Okular. Die Dispersion, die hinter der chromatischen Aberration steckt, wurde in Prismen, Dispersion und Farbe behandelt. Beugung und Doppelspalt erklärt die Auflösungsgrenze, und in Welle-Teilchen-Dualismus addieren einzelne Photonen ihre Amplituden über alle Wege zum Bild.

In Gravitation als gekrümmte Raumzeit wirkt Masse als Linse. Die Sonne lenkt einen Strahl, der knapp an ihrem Rand vorbeigeht, um 1,75 Bogensekunden ab. Eine Glaslinse lenkt einen Strahl umso stärker ab, je weiter von der Achse entfernt er hindurchgeht; Gravitation wirkt umgekehrt, denn die Ablenkung nimmt mit $1/ b$ ab, wobei $b$ der Abstand des Strahls vom Zentrum ist. Es gibt also keinen einzigen Brennpunkt: Strahlen, die an der Sonne vorbeigehen, treffen sich etwa 550 AE entfernt, und Strahlen, die weiter außen vorbeigehen, treffen sich noch weiter. Wenn Galaxien als Linse für weiter entfernte Galaxien wirken, entstehen mehrfache Bilder und Ringe.

Wichtige Formeln

Dünnlinsengleichung

\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}

Die Kehrwerte von Objekt- und Bildabstand addieren sich zum Kehrwert der Brennweite, und zwar für jede Lage des Objekts. Sie folgt aus ähnlichen Dreiecken im Strahlendiagramm oder aus der Forderung, dass jeder Weg von einem Objektpunkt zu seinem Bildpunkt dieselbe Zeit braucht. Löse sie als $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ und bilde am Ende den Kehrwert; ein negatives Ergebnis bedeutet ein virtuelles Bild.

Symbole
$f$	Brennweite, positiv für eine Sammellinse oder einen Hohlspiegel	$m$
$d_{o}$	Objektabstand, vom Objekt bis zur Linse	$m$
$d_{i}$	Bildabstand, positiv für ein reelles Bild und negativ für ein virtuelles	$m$

Gilt, wenn: Für dünne Linsen und Kugelspiegel mit paraxialen Strahlen, in der Konvention reell gleich positiv. Dicke Linsen und Linsensysteme brauchen Abstände, die von den Hauptebenen aus gemessen werden, und Strahlen weit von der Achse unterliegen Aberrationen.

Beispiel: Die Linse der Animation, $f = 10 cm$ , mit $d_{o} = 30 cm$ : $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 2/30$ , also $d_{i} = 15 cm$ .

Vergrößerung

m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}

Das Verhältnis von Bildhöhe zu Objekthöhe. Der Strahl durch die Linsenmitte geht geradeaus weiter und bildet mit Objekt und Bild zwei ähnliche Dreiecke, daher verhalten sich die Höhen wie die Abstände. Das Minuszeichen hält fest, dass ein reelles Bild eines reellen Objekts umgekehrt ist: $m < 0$ bedeutet umgekehrt, $m > 0$ aufrecht und $∣ m ∣ > 1$ vergrößert.

Symbole
$m$	Vergrößerung
$h_{i}$	Bildhöhe, negativ bei umgekehrtem Bild	$m$
$h_{o}$	Objekthöhe	$m$
$d_{i}$	Bildabstand	$m$
$d_{o}$	Objektabstand	$m$

Gilt, wenn: Für dünne Linsen und Spiegel mit paraxialen Strahlen, und nur für Größen quer zur Achse: Die Tiefe entlang der Achse wird mit $m^{2}$ vergrößert.

Beispiel: Objekt bei 30 cm, Bild bei 15 cm: $m = - 15/30 = - 0, 5$ , also ein umgekehrtes Bild von 2,5 cm Höhe aus dem 5-cm-Pfeil.

Brechkraft

P = \frac{1}{f} (dioptres, f in metres : f = 10 cm \to P = 10 D)

Die Brechkraft ist der Kehrwert der Brennweite: Je kürzer die Brennweite, desto stärker bricht die Linse das Licht. Mit $f$ in Metern ergibt sich die Einheit Dioptrie, $1 D = 1 m^{- 1}$ . Ihr Nutzen liegt darin, dass sich die Brechkräfte dünner Linsen, die sich berühren, einfach addieren; deshalb werden Brillen in Dioptrien verschrieben.

Symbole
$P$	Brechkraft, in Dioptrien (D)	$m^{- 1}$
$f$	Brennweite, in Metern	$m$

Gilt, wenn: Für dünne Linsen: Eine Sammellinse hat $P > 0$ , eine Zerstreuungslinse $P < 0$ . Brechkräfte addieren sich nur bei dünnen Linsen, die sich berühren; Linsen im Abstand $d$ voneinander ergeben $1/ F = 1/ f_{1} + 1/ f_{2} - d / (f_{1} f_{2})$ .

Beispiel: $f = 10 cm = 0, 10 m$ ergibt $P = 10 D$ ; kommt eine Lesehilfe mit +2,5 D dazu, sind es 12,5 D, also $f = 8 cm$ .

Brennweite eines Kugelspiegels

f = \frac{R}{2} (spherical mirror)

Ein Strahl parallel zur Achse wird an einem Kugelspiegel unter demselben Winkel zum Radius reflektiert, der dort die Normale ist; daher kreuzt er die Achse genau auf halbem Weg zwischen Spiegel und Krümmungsmittelpunkt. Mit dieser Brennweite gehorcht ein Spiegel derselben Gleichung wie eine dünne Linse, und seine reellen Bilder liegen vor ihm.

Symbole
$f$	Brennweite des Spiegels	$m$
$R$	Krümmungsradius als Länge; ein Wölbspiegel hat $f = - R /2$	$m$

Gilt, wenn: Für paraxiale Strahlen. Strahlen, die weit von der Achse auftreffen, kreuzen sie näher am Spiegel (sphärische Aberration); ein Parabolspiegel fokussiert paralleles Licht genau.

Beispiel: Ein Schminkspiegel mit $R = 60 cm$ hat $f = 30 cm$ ; ein konvexer Autospiegel mit $R = 2, 0 m$ hat $f = - R /2 = - 1, 0 m$ .

Linsenschleifer-Gleichung

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) (lens in air; biconvex : R_{1} > 0, R_{2} < 0)

Die Brennweite einer dünnen Linse ergibt sich aus ihrem Glas und ihrer Form. Die Krümmungen $1/ R_{1} - 1/ R_{2}$ bestimmen, wie viel dicker die Linse in der Mitte ist, und das Glas verzögert das Licht um $n - 1$ mal diese Dicke: gerade genug, damit jeder Weg von einem Punkt zu seinem Bild dieselbe Laufzeit hat. Ein Radius gilt als positiv, wenn sein Krümmungsmittelpunkt auf der Seite liegt, zu der das Licht läuft.

Symbole
$f$	Brennweite der Linse	$m$
$n$	Brechungsindex des Glases
$R_{1}$	Krümmungsradius der Fläche, die das Licht zuerst trifft	$m$
$R_{2}$	Krümmungsradius der zweiten Fläche	$m$

Gilt, wenn: Für eine dünne Linse in Luft mit paraxialen Strahlen. In einem Medium mit Index $n_{m}$ ersetze $n - 1$ durch $n / n_{m} - 1$ ; eine dicke Linse braucht eine Korrektur, die von ihrer Dicke abhängt.

Beispiel: Glas mit $n = 1, 50$ und $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ : $1/ f = 0, 50 \cdot (0, 10 + 0, 10) = 0, 10 c m^{- 1}$ , also $f = 10 cm$ , die Linse der Animation.

Newtonsche Form der Linsengleichung

x_{o} x_{i} = f^{2}

Miss den Abstand des Objekts vom nahen Brennpunkt und den Abstand des Bildes vom fernen Brennpunkt: Ihr Produkt ist immer $f^{2}$ . Sie ist die umgeformte Linsengleichung und macht die Vergrößerung einfach, $m = - f / x_{o} = - x_{i} / f$ . Beide Abstände haben dasselbe Vorzeichen: Ein Objekt jenseits von $F$ ergibt ein Bild jenseits von $F^{'}$ .

Symbole
$x_{o}$	Abstand des Objekts vom nahen Brennpunkt $F$ , $d_{o} - f$	$m$
$x_{i}$	Abstand des Bildes vom fernen Brennpunkt $F^{'}$ , $d_{i} - f$	$m$
$f$	Brennweite	$m$

Gilt, wenn: Für jedes Linsensystem in Luft im paraxialen Grenzfall, mit seiner effektiven Brennweite, denn sie braucht nur die Lage der beiden Brennpunkte; dadurch ist sie die allgemeine Form für dicke Linsen und zusammengesetzte Systeme.

Beispiel: Objekt 30 cm von der Linse der Animation entfernt: $x_{o} = 20 cm$ , also $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , und das Bild liegt $10 + 5 = 15 cm$ hinter der Linse.

Glossar

Sammellinse: Eine Linse, die in der Mitte dicker ist als an den Rändern, mit $f > 0$ : Sie vereint Strahlen, die parallel zur Achse einfallen, in einem reellen Brennpunkt. Sie erzeugt reelle, umgekehrte Bilder von Objekten jenseits von $F$ und vergrößerte virtuelle Bilder von Objekten innerhalb davon.
Zerstreuungslinse: Eine Linse, die in der Mitte dünner ist als an den Rändern, mit $f < 0$ : Sie zerstreut parallele Strahlen, als kämen sie von einem virtuellen Brennpunkt vor ihr. Von jedem reellen Objekt erzeugt sie ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild.
Optische Achse: Die Linie durch den Mittelpunkt einer Linse oder eines Spiegels, im rechten Winkel zu ihnen, auf der ihre Brennpunkte und Krümmungsmittelpunkte liegen. Abstände entlang ihr und Höhen von ihr aus beschreiben Objekte und Bilder.
Brennpunkt: Der Punkt, in dem sich Strahlen, die parallel zur Achse einfallen, nach der Linse oder dem Spiegel treffen oder von dem sie auseinanderzulaufen scheinen. Eine dünne Linse hat je einen auf jeder Seite, $F$ und $F^{'}$ , im gleichen Abstand $f$ ; ein Kugelspiegel hat seinen Brennpunkt auf halbem Weg zu seinem Krümmungsmittelpunkt.
Reelles Bild: Ein Bild, bei dem das Licht nach der Linse oder dem Spiegel tatsächlich zusammenläuft, sodass man es auf einem Schirm oder Sensor auffangen kann. Eine einzelne Linse oder ein einzelner Spiegel erzeugt es umgekehrt, mit positivem Bildabstand.
Virtuelles Bild: Ein Bild, von dem das Licht nur zu kommen scheint: Die Strahlen laufen nach der Linse oder dem Spiegel auseinander, und nur ihre Rückwärtsverlängerungen treffen sich. Man kann es sehen und fotografieren, aber nicht auf einem Schirm auffangen, wie bei einer Lupe oder einem ebenen Spiegel.
Hauptstrahlen: Drei leicht zu zeichnende Strahlen von der Spitze eines Objekts: parallel zur Achse und dann durch $F^{'}$ , geradeaus durch die Mitte und durch $F$ und dann parallel. Zwei davon legen das Bild fest, aber das gesamte durch die Linse tretende Licht bildet es.
Brechkraft: Wie stark eine Linse oder ein Spiegel Licht bündelt, $P = 1/ f$ , in Dioptrien (D) mit $f$ in Metern: Die Linse der Animation mit $f = 10 cm$ hat 10 D. Die Brechkräfte dünner, sich berührender Linsen addieren sich, und eine Zerstreuungslinse hat eine negative Brechkraft.
Hohl- und Wölbspiegel: Ein Hohlspiegel, gekrümmt wie die Innenseite einer Schale, bündelt Licht mit $f = R /2$ ; ein Wölbspiegel, nach außen gekrümmt, streut es mit $f = - R /2$ . Ein Spiegel bildet reelle Bilder vor sich und virtuelle Bilder hinter sich ab.
Konjugierte Punkte: Ein Objektpunkt und sein Bildpunkt. Jeder Lichtweg zwischen ihnen durch das System braucht dieselbe Zeit, sodass das Licht von einem im anderen gesammelt wird; die Rollen lassen sich vertauschen, denn Lichtwege sind umkehrbar.
Paraxiale Näherung: Alle Strahlen als nah an der Achse und nahezu parallel zu ihr behandeln, sodass Wegunterschiede nur bis zur Ordnung $h^{2}$ und $sin θ \approx θ$ berücksichtigt werden. Die Gleichungen für dünne Linsen und Spiegel gelten exakt nur in diesem Grenzfall.
Aberration: Jede Abweichung einer realen Linse oder eines realen Spiegels von perfekter Abbildung. Die sphärische Aberration lässt randnahe Strahlen zu kurz fokussieren, die chromatische Aberration gibt jeder Farbe einen eigenen Brennpunkt, und Koma, Astigmatismus und Verzeichnung verderben Punkte außerhalb der Achse.

Größen
$f$	Brennweite	$m$	Abstand von einer dünnen Linse oder einem Spiegel zu ihren Brennpunkten: positiv bei Sammellinsen, negativ bei Zerstreuungslinsen. Die Linse der Animation hat $f = 10 cm$ .
$d_{o}$	Objektabstand	$m$	Abstand vom Objekt bis zur Linse oder zum Spiegel, positiv für ein reelles Objekt davor: in der Animation von 34,1 cm bis 5,45 cm.
$d_{i}$	Bildabstand	$m$	Abstand von der Linse oder dem Spiegel zum Bild: positiv für ein reelles Bild (hinter einer Linse, vor einem Spiegel), negativ für ein virtuelles. Er beträgt 15 cm, wenn $d_{o} = 30 cm$ in der Animation ist.
$h_{o}$	Objekthöhe	$m$	Höhe des Objekts über der Achse: Der Pfeil der Animation ist 5 cm hoch.
$h_{i}$	Bildhöhe	$m$	Höhe des Bildes, von der Achse aus gemessen, negativ bei umgekehrtem Bild: $- 2, 5 cm$ für den Pfeil bei 30 cm.
$m$	Vergrößerung		Bildhöhe geteilt durch Objekthöhe, $m = - d_{i} / d_{o}$ . Ihr Betrag sagt, wie viel größer das Bild ist, ihr Vorzeichen, ob es aufrecht ( $m > 0$ ) oder umgekehrt ( $m < 0$ ) ist.
$R$	Krümmungsradius	$m$	Radius der Kugel, von der eine Spiegel- oder Linsenfläche ein Teil ist. Als Länge genommen ergibt er $f = + R /2$ für einen Hohlspiegel und $f = - R /2$ für einen Wölbspiegel; zählt man $R$ für einen Wölbspiegel stattdessen als negativ, gilt $f = R /2$ in beiden Fällen.
$n$	Brechungsindex		Wie viel mal langsamer sich Licht im Linsenmaterial ausbreitet als im Vakuum, etwa 1,50 für gewöhnliches Glas. Zusammen mit den Krümmungen bestimmt er die Brennweite einer Linse.
$x_{o}$	Objektabstand vom Brennpunkt	$m$	Abstand des Objekts vom nahen Brennpunkt $F$ , $x_{o} = d_{o} - f$ ; negativ, wenn das Objekt innerhalb der Brennweite liegt.
$x_{i}$	Bildabstand vom Brennpunkt	$m$	Abstand des Bildes vom fernen Brennpunkt $F^{'}$ , $x_{i} = d_{i} - f$ , verknüpft mit $x_{o}$ durch die Newtonsche Form $x_{o} x_{i} = f^{2}$ .

Quiz

Einsteiger Eine Lupe in der Sonne brennt einen kleinen hellen Punkt auf Papier. Wo befindet sich das Papier?
1. Im Brennpunkt der Linse
2. Direkt an der Linse
3. Doppelt so weit entfernt wie der Brennpunkt
4. Egal, der Abstand spielt keine Rolle
Antwort zeigen
Antwort: A. Im Brennpunkt der Linse
Paralleles Sonnenlicht wird im Brennpunkt gebündelt; der Fleck ist dann am kleinsten und heißesten, wenn das Papier eine Brennweite entfernt liegt.
Einsteiger Eine Sammellinse projiziert einen fernen Baum auf ein Blatt Papier. Wie sieht das Bild auf dem Papier aus?
1. Aufrecht und größer
2. Aufrecht und kleiner
3. Umgekehrt und kleiner
4. Auf dem Papier entsteht kein Bild
Antwort zeigen
Antwort: C. Umgekehrt und kleiner
Ein weit entferntes Objekt erzeugt ein reelles Bild kurz hinter dem Brennpunkt: klein und umgekehrt, wie das Bild in einer Kamera.
Einsteiger Wenn du ein kleines Insekt durch eine Lupe betrachtest, die dicht davor gehalten wird, ist das Bild, das du siehst ...
1. aufrecht und größer
2. umgekehrt und größer
3. aufrecht und kleiner
4. umgekehrt und kleiner
Antwort zeigen
Antwort: A. aufrecht und größer
Liegt das Objekt innerhalb der Brennweite, erzeugt die Linse ein virtuelles Bild, das aufrecht und vergrößert ist.
Mittelstufe Ein Objekt steht 30 cm vor einer Sammellinse mit der Brennweite 10 cm. Wo liegt das Bild?
1. 20 cm von der Linse entfernt
2. 15 cm von der Linse entfernt
3. 7,5 cm von der Linse entfernt
4. 40 cm von der Linse entfernt
Antwort zeigen
Antwort: B. 15 cm von der Linse entfernt
1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, also dᵢ = 15 cm. Das Abziehen der Abstände (30 − 10 = 20) ist ein häufiger Fehler.
Mittelstufe Eine Sammellinse projiziert ein scharfes Bild einer Kerze auf einen Schirm. Du deckst die obere Hälfte der Linse mit schwarzem Karton ab. Was passiert mit dem Bild?
1. Die obere Hälfte des Bildes verschwindet
2. Die untere Hälfte des Bildes verschwindet
3. Das Bild wird halb so groß
4. Das gesamte Bild ist noch da, nur dunkler
Antwort zeigen
Antwort: D. Das gesamte Bild ist noch da, nur dunkler
Jeder Teil der Linse empfängt Licht von jedem Punkt der Kerze und sendet es zum passenden Bildpunkt; die nicht abgedeckte Hälfte erzeugt also das vollständige Bild und sammelt nur halb so viel Licht.
Mittelstufe Was passiert mit dem Hauptstrahl, der durch die Mitte einer dünnen Linse geht?
1. Er läuft geradeaus weiter, ohne abgelenkt zu werden
2. Er verlässt die Linse parallel zur Achse
3. Er geht durch den fernen Brennpunkt
4. Er wird zurückreflektiert
Antwort zeigen
Antwort: A. Er läuft geradeaus weiter, ohne abgelenkt zu werden
In der Mitte sind die beiden Flächen einer dünnen Linse parallel, daher läuft der Strahl mit vernachlässigbarer Verschiebung geradeaus hindurch.
Fortgeschritten Der konvexe Sicherheitsspiegel eines Ladens hat einen Krümmungsradius von 1,0 m. Eine Kundin steht 4,0 m davor. Wo liegt ihr Bild?
1. 0,57 m vor dem Spiegel, umgekehrt
2. 0,44 m hinter dem Spiegel, aufrecht und etwa 1/9 so groß
3. 4,0 m hinter dem Spiegel, gleich groß
4. 0,50 m hinter dem Spiegel, im Brennpunkt
Antwort zeigen
Antwort: B. 0,44 m hinter dem Spiegel, aufrecht und etwa 1/9 so groß
Ein Wölbspiegel hat f = −R/2 = −0,50 m, also 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = −2,00 − 0,25 = −2,25 m⁻¹ und dᵢ ≈ −0,44 m: ein virtuelles Bild hinter dem Spiegel, mit m = −dᵢ/dₒ ≈ +0,11, aufrecht und verkleinert. Vergisst man das Vorzeichen (f = +0,50 m), erhält man 0,57 m und ein umgekehrtes Bild. Diese verkleinerte, breite Sicht ist der Grund, warum solche Spiegel einen ganzen Laden zeigen können.
Fortgeschritten Was bedeutet die senkrechte Asymptote bei dₒ = f im Graphen dᵢ(dₒ) einer Sammellinse physikalisch?
1. Das Bild wird so klein wie möglich
2. Die Strahlen vom Objekt verlassen die Linse parallel, das Bild liegt im Unendlichen
3. Das Bild liegt auf der Linse selbst
4. Die Linse bricht kein Licht mehr
Antwort zeigen
Antwort: B. Die Strahlen vom Objekt verlassen die Linse parallel, das Bild liegt im Unendlichen
Mit dem Objekt in F ist 1/dᵢ = 1/f − 1/f = 0: Die austretenden Strahlen sind parallel und treffen sich erst im Unendlichen; beim Überschreiten von F wechselt das Bild von reell zu virtuell.

$O$	Objektpunkt.
$I$	Bildpunkt: Dort kommen alle Wege von $O$ gleichzeitig an.
$d_{o}$	Abstand von $O$ zur Linse, entlang der Achse.	$m$
$d_{i}$	Abstand von der Linse zu $I$ , entlang der Achse.	$m$
$h$	Höhe über der Achse, in der Weg 2 die Linse durchquert.	$m$
$t_{0}$	Dicke der Linse auf der Achse: das Glas, das Weg 1 durchquert.	$m$
$t$	Dicke der Linse in der Höhe $h$ : das Glas, das Weg 2 durchquert.	$m$

$O$	Objektpunkt, in Luft.
$I$	Bildpunkt, im Glas.
$C$	Krümmungsmittelpunkt der Fläche.
$R$	Radius der Fläche: der Abstand von $C$ zum Scheitel und zu jedem Punkt der Fläche.	$m$
$s$	Objektabstand: von $O$ zum Scheitel der Fläche.	$m$
$s^{'}$	Bildabstand: vom Scheitel bis $I$ , im Glas.	$m$
$h$	Höhe über der Achse, in der Weg 2 die Fläche trifft.	$m$
$z$	Pfeilhöhe: wie weit hinter der Scheitelebene die Fläche in der Höhe $h$ liegt.	$m$
$n$	Brechungsindex des Glases; Luft hat den Index 1.

$d_{o}$	Objektabstand: vom Objekt zur Linse.	$m$
$d_{i}$	Bildabstand: positiv für ein reelles Bild hinter der Linse, negativ für ein virtuelles.	$m$
$f$	Brennweite: Sie legt beide Asymptoten und den Scheitel $(2 f, 2 f)$ fest.	$m$
$x_{o}$	Objektabstand vom Brennpunkt: $d_{o} - f$ .	$m$
$x_{i}$	Bildabstand vom Brennpunkt: $d_{i} - f$ .	$m$

$L$	Abstand von der Lampe zum Schirm, fest.	$m$
$a$	Verschiebung der Linse zwischen ihren beiden scharfen Positionen.	$m$
$d_{o}$	Abstand von der Lampe zur Linse an Position 1 und von der Linse zum Schirm an Position 2.	$m$
$d_{i}$	Abstand von der Linse zum Schirm an Position 1 und von der Lampe zur Linse an Position 2.	$m$