लेंस और दर्पण

फ़ोकस दूरी $f$ वाला पतला लेंस या वक्र दर्पण $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ से दी गई दूरी पर प्रतिबिंब बनाता है, और आवर्धन $m = - d_{i} / d_{o}$ होता है। अभिसारी लेंस जब वस्तु फ़ोकस से परे हो तो वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब बनाता है, और जब वस्तु फ़ोकस के भीतर हो तो आभासी, सीधा और बड़ा प्रतिबिंब बनाता है।

वस्तु का तीर एक अभिसारी लेंस की ओर बढ़ता है: फ़ोकस से परे उसका प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा होता है, फ़ोकस पर लुप्त हो जाता है, और फ़ोकस के भीतर आभासी, सीधा और बड़ा हो जाता है।

इस विषय से पहले: परावर्तन और अपवर्तन

शुरुआती

मुख्य विचार

बीच में मोटा लेंस अभिसारी होता है: वह समानांतर किरणों को एक बिंदु, अर्थात फ़ोकस, पर एकत्र करता है।
फ़ोकस दूरी लेंस से उसके फ़ोकस तक की दूरी है; अधिक मोटे, अधिक वक्र लेंस की फ़ोकस दूरी छोटी होती है।
दूर की वस्तु का छोटा, उल्टा वास्तविक प्रतिबिंब बनता है जिसे परदे पर पकड़ा जा सकता है, जैसे कैमरे या आँख में।
फ़ोकस से निकट होने पर लेंस एक सीधा, बड़ा आभासी प्रतिबिंब दिखाता है: यही आवर्धक लेंस है।

चरण 1, आकार निर्णायक है। जो लेंस बीच में अपने किनारों से मोटा हो, वह अभिसारी लेंस है। उसका हर भाग एक छोटे प्रिज़्म की तरह काम करता है: तिरछे किनारे प्रकाश को ज़ोर से मोड़ते हैं, लगभग सपाट बीच का भाग लगभग नहीं मोड़ता, इसलिए बगल-बगल आने वाली किरणें एक-दूसरे की ओर मोड़ दी जाती हैं।

चरण 2, फ़ोकस। सूरज की रोशनी जैसा समानांतर प्रकाश एक बिंदु पर एकत्र होता है, जिसे फ़ोकस कहते हैं; इसी से आवर्धक लेंस कागज़ पर एक बिंदु को जला सकता है। लेंस से फ़ोकस तक की दूरी फ़ोकस दूरी है। अधिक मोटा, अधिक वक्र लेंस अधिक मोड़ता है और उसकी फ़ोकस दूरी छोटी होती है।

चरण 3, वास्तविक प्रतिबिंब। किसी वस्तु के एक बिंदु से निकली किरणें लेंस के पीछे एक बिंदु पर फिर मिलती हैं, और ये सभी बिंदु मिलकर प्रतिबिंब बनाते हैं। वहाँ कागज़ रखें तो चित्र उस पर उल्टा दिखाई देगा। वास्तविक रूप से पहुँचने वाले प्रकाश से बना प्रतिबिंब वास्तविक कहलाता है; कैमरे और आँखें इन्हीं का उपयोग करते हैं।

एनिमेशन में काला तीर लेंस की ओर चलता है। जब वह दूर होता है, तब उसका लाल प्रतिबिंब छोटा और उल्टा होता है; जैसे-जैसे वह पास आता है, प्रतिबिंब दूर हटता जाता है और बड़ा होता जाता है। जब तीर फ़ोकस पर पहुँचता है, तो प्रकाश समानांतर किरण-पुंज में निकलता है और कोई प्रतिबिंब नहीं बनता।

चरण 4, आभासी प्रतिबिंब। फ़ोकस के भीतर किरणें लेंस से निकलकर फैलती हैं और कभी नहीं मिलतीं। आपकी आँख उन्हें पीछे की ओर खींचकर वस्तु की ओर एक सीधा, बड़ा बैंगनी प्रतिबिंब देखती है: यही आवर्धक लेंस है। उस स्थान पर कोई प्रकाश नहीं पहुँचता, इसलिए इस प्रतिबिंब को आभासी कहते हैं, जैसे समतल दर्पण के पीछे दिखने वाला आपका प्रतिबिंब।

स्वयं जाँचें: एक लेंस दीवार पर लैंप का प्रतिबिंब डालता है। आप लैंप को और दूर ले जाते हैं। क्या दीवार को पास आना होगा या पीछे हटना होगा? (पास: दूर की वस्तु का प्रतिबिंब लेंस के अधिक निकट होता है।)

मध्यम

मुख्य विचार

पतला लेंस: $1/ f = 1/ d_{o} + 1/ d_{i}$ , $m = - d_{i} / d_{o}$ ; $f = 10 cm$ और $d_{o} = 30 cm$ से $d_{i} = 15 cm$ , $m = - 0.5$ मिलता है।
वास्तविक धनात्मक है: $d_{i} > 0$ परदे पर वास्तविक प्रतिबिंब है; $d_{i} < 0$ आभासी है, जो वस्तु की ओर बनता है ( $d_{o} = 5 cm$ से $d_{i} = - 10 cm$ मिलता है)।
तीन मुख्य किरणें प्रतिबिंब का स्थान बताती हैं: पहले समानांतर, फिर $F^{'}$ से होकर; केंद्र से सीधी; $F$ से होकर, फिर समानांतर।
अवतल दर्पण उसी समीकरण का पालन करता है जिसमें $f = R /2$ है; उसके वास्तविक प्रतिबिंब दर्पण के सामने बनते हैं।

फ़ोकस दूरी, दूरियाँ और चिह्न

एक लेंस जो शामिल दूरियों की तुलना में बहुत पतला हो, उसे एक ही संख्या से वर्णित किया जाता है, उसकी फ़ोकस दूरी $f$ । एक अभिसारी लेंस अक्ष (उसके केंद्र से होकर जाने वाली लंबवत रेखा) के समानांतर आने वाली किरणों को दूर वाले फ़ोकस $F^{'}$ पर एकत्र करता है, जो उसके पीछे $f$ दूरी पर है; निकट वाला फ़ोकस $F$ उतनी ही दूरी पर सामने है। एनिमेशन में $f = 10 cm$ है, और चिह्न $2 F$ तथा $2 F^{'}$ दोगुनी दूर हैं। नेत्र-चिकित्सक इसके बजाय क्षमता $P = 1/ f$ बताते हैं, जो डायॉप्टर (D) में होती है, जब $f$ मीटर में हो: एनिमेशन के लेंस की क्षमता $P = 1/ (0.10 m) = 10 D$ है।

प्रकाश बाएँ से दाएँ चलता है। वस्तु की दूरी $d_{o}$ और प्रतिबिंब की दूरी $d_{i}$ लेंस से मापी जाती हैं, ऊँचाइयाँ $h_{o}$ और $h_{i}$ अक्ष से ऊपर की ओर मापी जाती हैं, और वास्तविक को धनात्मक माना जाता है। बीच में मोटा अभिसारी लेंस $f > 0$ रखता है; बीच में पतला अपसारी लेंस $f < 0$ रखता है। धनात्मक $d_{i}$ दूसरी ओर बना वास्तविक प्रतिबिंब है, जिसे परदा पकड़ सकता है; ऋणात्मक $d_{i}$ वस्तु के पक्ष पर आभासी प्रतिबिंब है, जिसे केवल लेंस के आर-पार से देखा जा सकता है।

पतला लेंस समीकरण

प्रतिबिंब कहाँ बनता है और वह कितना बड़ा है, यह दो समीकरणों से तय होता है:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}$
$m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}$

पहला समीकरण दूरियाँ नहीं, बल्कि उनके व्युत्क्रम जोड़ता है: पहले $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ निकालें, फिर परिणाम का व्युत्क्रम लें। दूसरा समीकरण आवर्धन $m$ देता है, यानी प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई का अनुपात। इसका परिमाण बताता है कि प्रतिबिंब कितना बड़ा है, और ऋणात्मक चिह्न उल्टे होने का संकेत देता है; इसलिए वास्तविक वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब (दोनों दूरियाँ धनात्मक) हमेशा उल्टा होता है। अपसारी लेंस के लिए $f = - 10 cm$ और वस्तु 30 cm पर हो, तो $1/ d_{i} = - 1/10 - 1/30 = - 4/30 c m^{- 1}$ , इसलिए $d_{i} = - 7.5 cm$ और $m = + 0.25$ : एक आभासी, सीधा प्रतिबिंब जो एक-चौथाई आकार का है।

तीन किरणों से प्रतिबिंब खोजना

वस्तु की नोक से निकलने वाली हर किरण जो लेंस को पार करती है, प्रतिबिंब की नोक तक पहुँचती है, या वहीं से आती प्रतीत होती है। तीन किरणें आसानी से खींची जा सकती हैं, और एनिमेशन उन्हें रंग में दिखाता है:

सुनहरी किरण अक्ष के समानांतर आती है और दूर वाले फ़ोकस $F^{'}$ से होकर निकलती है।
हरी किरण केंद्र से सीधी निकलती है, जहाँ दोनों सतहें समानांतर हैं।
नीली किरण निकट वाले फ़ोकस $F$ से होकर जाती है और अक्ष के समानांतर निकलती है।

जहाँ किरणें मिलती हैं, वहीं प्रतिबिंब की नोक है; दो किरणें उसे निश्चित करती हैं और तीसरी जाँच करती है। जब वस्तु $F$ के भीतर होती है, तब नीली किरण $F$ से बिंदीदार रेखा के अनुदिश शुरू होती है, और किरणें लेंस से निकलकर फैल जाती हैं; उनके पीछे के विस्तार वस्तु के पक्ष पर मिलते हैं, यानी आभासी प्रतिबिंब की नोक पर।

आरेख समीकरण भी देता है। हरी किरण वस्तु और प्रतिबिंब के साथ समरूप त्रिभुज बनाती है, इसलिए $h_{i} / h_{o} = - d_{i} / d_{o}$ । सुनहरी किरण लेंस पर ऊँचाई $h_{o}$ से शुरू होकर $f$ दूरी आगे शून्य तक गिरती है, इसलिए प्रतिबिंब पर $h_{i} = h_{o} (1 - d_{i} / f)$ । दोनों अनुपातों को बराबर करने पर $1 - d_{i} / f = - d_{i} / d_{o}$ मिलता है, और $d_{i}$ से भाग देने पर पतला लेंस समीकरण प्राप्त होता है।

उदाहरण: एनिमेशन का तीर

तीर 5 cm ऊँचा है और लेंस की $f = 10 cm$ है। जब तीर $d_{o} = 30 cm$ से गुज़रता है,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} c m^{- 1}$
$d_{i} = 15 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0.5$

प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा और आधे आकार का है, $h_{i} = - 2.5 cm$ , और $F^{'}$ तथा $2 F^{'}$ के बीच है, जहाँ तीनों किरणें मिलती हैं। उस क्षण के ये $d_{i}$ और $m$ पाठ्यांक हैं।

आरंभ में $d_{o} = 34.1 cm$ है, प्रतिबिंब छोटा है: $d_{i} = 14.2 cm$ , $m = - 0.42$ । $2 F$ पर यह वस्तु के बराबर आकार का होता है और $2 F^{'}$ पर बनता है, $m = - 1$ । $2 F$ और $F$ के बीच यह बड़ा होता है, जैसे प्रोजेक्टर में: 14.55 cm पर (पाठ्यांक: 14.5), पाठ्यांक $d_{i} = 32.0 cm$ और $m = - 2.20$ देते हैं। $F$ के पास पाठ्यांक $d_{i} \to \infty$ दिखाता है; $F$ पर ही किरणें लेंस से समानांतर निकलती हैं।

$F$ के भीतर चिह्न पलट जाता है। 7.73 cm पर $d_{i} = - 34.0 cm$ और $m = + 4.40$ ; अंत में, $d_{o} = 5.45 cm$ (पाठ्यांक: 5.5), $d_{i} = - 12.0 cm$ और $m = + 2.20$ , यानी वस्तु के पक्ष पर 11 cm ऊँचा एक सीधा बैंगनी प्रतिबिंब। यही आवर्धक लेंस है। ठीक 5 cm पर, $1/ d_{i} = 1/10 - 1/5 = - 1/10$ , इसलिए $d_{i} = - 10 cm$ और $m = + 2$ ।

वक्र दर्पण भी उसी नियम का पालन करते हैं

अवतल दर्पण चम्मच के अंदरूनी भाग जैसा वक्र होता है और प्रकाश को अभिसृत करता है; उत्तल दर्पण उसे फैलाता है। अक्ष के समानांतर किरणें अवतल दर्पण से उसके फ़ोकस $F$ से होकर परावर्तित होती हैं, जो उसके वक्रता-केंद्र $C$ और दर्पण के बीचोबीच है:
$f = \frac{R}{2} (spherical mirror)$

किरण जिस बिंदु पर टकराती है, वहाँ $C$ से आने वाली त्रिज्या अभिलंब होती है, इसलिए समानांतर किरण उसी कोण से परावर्तित होती है जो दूसरी ओर होता है। किरण, त्रिज्या और अक्ष मिलकर दो समान कोणों वाला त्रिभुज बनाते हैं, और छोटे कोणों के लिए इसका अर्थ है कि मिलन-बिंदु $C$ और दर्पण के ठीक बीच में होता है।

वही समीकरण और आवर्धन लागू होते हैं, परंतु प्रकाश वापस लौटता है, इसलिए वास्तविक पक्ष सामने होता है: वास्तविक प्रतिबिंब ( $d_{i} > 0$ ) दर्पण के सामने बनते हैं और आभासी ( $d_{i} < 0$ ) उसके पीछे। अवतल दर्पण का $f = + R /2$ होता है और उत्तल का $f = - R /2$ । समतल दर्पण, $R \to \infty$ , देता है $d_{i} = - d_{o}$ और $m = + 1$ ।

उदाहरण: मेकअप का दर्पण

एक अवतल मेकअप दर्पण की $R = 60 cm$ है, इसलिए $f = 30 cm$ । यदि आपका चेहरा 15 cm दूर है,
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = - \frac{1}{30} c m^{- 1}, d_{i} = - 30 cm, m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = + 2$
प्रतिबिंब आभासी, सीधा और वास्तविक आकार का दोगुना है, दर्पण के पीछे 30 cm पर; इसलिए आपकी आँखें इसे 45 cm दूर देखती हैं, जिस पर फ़ोकस करना आरामदेह है।

अब पीछे हटें, ताकि आपका चेहरा दर्पण से 90 cm दूर हो:
$\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{30} - \frac{1}{90} = \frac{2}{90} c m^{- 1}, d_{i} = 45 cm, m = - \frac{45}{90} = - 0.5$
अब प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है, दर्पण के सामने 45 cm पर हवा में लटकता हुआ, उसके और आपके बीच के ठीक बीच में: एक छोटा उल्टा चेहरा, जैसे चम्मच के कटोरे में दिखता है। फ़ोकस पर, 30 cm पर, आपको केवल धुँधलापन दिखता है।

सामान्य गलतियाँ

व्युत्क्रम लेना भूलना: $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 0.067 c m^{- 1}$ अभी उत्तर नहीं है; उसका व्युत्क्रम, 15 cm, उत्तर है। दूरियों को घटाना, $30 - 10 = 20 cm$ , भी गलत है।
लेंस का आधा भाग ढकने से प्रतिबिंब का आधा नहीं कटता: लेंस का हर भाग वस्तु के हर बिंदु से प्रकाश लेकर उसके प्रतिबिंब बिंदु पर भेजता है, इसलिए पूरा प्रतिबिंब बना रहता है, केवल आधी चमक के साथ।
ऋणात्मक प्रतिबिंब-दूरी कोई त्रुटि नहीं है: $d_{o} = 5 cm$ से $d_{i} = - 10 cm$ मिलता है, एक आभासी प्रतिबिंब जिसे आप लेंस के आर-पार देख सकते हैं, पर परदे पर नहीं पकड़ सकते।
अपसारी लेंस और उत्तल दर्पणों की फ़ोकस दूरी ऋणात्मक होती है: $- 10 cm$ की जगह $+ 10 cm$ रखें, तो 30 cm पर रखी वस्तु 15 cm पर वास्तविक प्रतिबिंब देती प्रतीत होगी, न कि $- 7.5 cm$ पर आभासी प्रतिबिंब।
दर्पण के वास्तविक प्रतिबिंब उसके सामने बनते हैं: मेकअप दर्पण 90 cm दूर के चेहरे का प्रतिबिंब दर्पण के सामने 45 cm पर बनाता है।

इसका उपयोग कहाँ होता है

कैमरा एक सेंसर पर वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है: $f = 4.0 mm$ फ़ोकस दूरी वाला फ़ोन लेंस 2.0 m दूर के व्यक्ति का प्रतिबिंब $d_{i} = 4.008 mm$ पर बनाता है, इसलिए दूर के पर्वत से फ़ोकस बदलने पर सेंसर केवल 8 µm हिलता है। प्रोजेक्टर स्लाइड को $F$ के ठीक बाहर रखता है, और आवर्धक लेंस वस्तु को $F$ के भीतर रखता है। हेडलाइट बल्ब को अवतल दर्पण के फ़ोकस पर रखती हैं ताकि समानांतर किरण-पुंज बने; उत्तल कार-दर्पण चौड़ा, छोटा दृश्य देते हैं।

कई लेंसों वाले उपकरण "आँख, कैमरा और दूरदर्शी" में आएँगे; काँच प्रकाश को क्यों मोड़ता है, यह "परावर्तन और अपवर्तन" में बताया जा चुका है, और साधारण लेंस की रंगीन किनारियाँ "प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग" से जुड़ी हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

वस्तु से प्रतिबिंब तक समान समय: $h^{2} /2 s$ का अतिरिक्त पथ काँच के उभार $h^{2} /2 R$ से संतुलित होता है, जिससे हर $h$ के लिए $1/ s + n / s^{'} = (n - 1) / R$ मिलता है।
$d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ एक अतिपरवलय है; फ़ोकसों से मापने पर न्यूटन का रूप $x_{o} x_{i} = f^{2}$ देता है, जिससे $m = - f / x_{o}$ मिलता है।
वस्तु और वास्तविक प्रतिबिंब $4 f$ से अधिक निकट नहीं हो सकते ( $d_{o} = d_{i} = 2 f$ पर, $m = - 1$ ); गहराई $m^{2}$ गुना बढ़ती है।
$h^{4}$ कोटि पर सीमांत किरणें पास ही फ़ोकस होती हैं (गोलीय विपथन); जब सभी समय एक आवर्तकाल के भीतर मिल जाते हैं, तब विवर्तन ( $1.22 λ / D$ ) प्रभावी होता है।

तुल्य-समय के रूप में प्रतिबिंब

"परावर्तन और अपवर्तन" में किरण को स्थिर समय-पथ माना गया था: पड़ोसी पथ लगभग एक ही समय लेते हैं, इसलिए उनकी तरंगिकाएँ एक साथ पहुँचकर एक-दूसरे को प्रबल करती हैं। प्रतिबिंब इसी का चरम रूप है। बिंदु $I$ , बिंदु $O$ का प्रतिबिंब तब होता है जब $O$ से लेंस होते हुए $I$ तक का हर पथ समान समय लेता है। तब सभी तरंगिकाएँ $I$ पर समान कला में पहुँचती हैं और एक चमकीला बिंदु बनाती हैं, जबकि $I$ के ठीक बगल में वे अलग-अलग कलाओं में पहुँचती हैं और अधिकतर एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं। इस प्रकार जुड़े दो बिंदुओं को संयुग्मी बिंदु कहते हैं। यही एक शर्त, यानी तुल्य समय, इस पाठ के सभी सूत्र देती है, और इसके विफल होने से ही वास्तविक लेंसों की सीमाएँ समझ में आती हैं।

चित्र 1 $O$ से $I$ तक के दो पथों की तुलना करता है। पथ 1 सीधे मुख्य अक्ष के अनुदिश चलता है: वायु में दूरी $d_{o}$ तय करके लेंस तक, फिर काँच की पूरी केंद्रीय मोटाई $t_{0}$ , फिर वायु में $d_{i}$ तय करके प्रतिबिंब तक। पथ 2 लेंस-तल को अक्ष से ऊपर ऊँचाई $h$ पर पार करता है। दोनों पथों की तुलना भाग-दर-भाग कीजिए।

वायु में पथ 2 लंबा है। उसका पहला सीधा भाग एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ $d_{o}$ और $h$ हैं, इसलिए वह $d_{o}$ से $d_{o}^{2} + h^{2} - d_{o}$ अधिक है, जो $h$ छोटा होने पर लगभग $h^{2} /2 d_{o}$ है। उसी प्रकार उसका दूसरा भाग $d_{i}$ से लगभग $h^{2} /2 d_{i}$ अधिक है। काँच में पथ 2 छोटा है: ऊँचाई $h$ पर लेंस की मोटाई केवल $t$ है, जबकि अक्ष पर $t_{0}$ है।

अतः केवल ज्यामिति के आधार पर पथ 2 देर से पहुँचेगा; इसलिए लेंस को अक्ष के पास से आने वाले प्रकाश को उतना ही विलंबित करना होगा। काँच यह कर सकता है, क्योंकि उसमें प्रकाश वायु की तुलना में $n$ गुना धीमा चलता है। काँच की मोटाई $t$ से गुज़रने में प्रकाश को जितना समय लगता है, उतने में वह वायु में $n t$ दूरी तय कर लेता, इसलिए उतनी ही मोटाई की वायु को काँच से बदलने पर प्रकाशीय पथ $(n - 1) t$ बढ़ जाता है। पथ 1 पथ 2 की तुलना में $t_{0} - t$ अधिक काँच पार करता है, और दोनों समय तभी बराबर होते हैं जब यह अतिरिक्त विलंब, पथ 2 के वायु में लंबे मार्ग की भरपाई ठीक-ठीक कर दे:
$(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} h^{2} (\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}})$
दाहिना पक्ष $h^{2}$ के साथ बढ़ता है, इसलिए $t_{0} - t$ को भी बढ़ना होगा: काँच को अक्ष से दूर जाते हुए पतला होना चाहिए। इसीलिए अभिसारी लेंस बीच में सबसे मोटा होता है।

एक संख्या से पता चलता है कि यह संतुलन कितना सूक्ष्म है। एनिमेशन के $d_{o} = 30 cm$ और $d_{i} = 15 cm$ के लिए, $h = 2 cm$ से होकर जाने वाला पथ $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0.1 cm = 2.0 mm$ लंबा है। $n = 1.50$ का लेंस इसकी भरपाई तभी करता है जब उसका केंद्र अक्ष से 2 cm दूर वाले बिंदु की तुलना में 4 mm अधिक मोटा हो, क्योंकि $0.50 \cdot 4 mm = 2.0 mm$ । यह 2.0 mm हरे प्रकाश की लगभग 3600 तरंगदैर्घ्यों के बराबर है, और लेंस को इसे एक तरंगदैर्घ्य के एक अंश के भीतर ही निरस्त करना होता है।

लेंस समीकरणों की व्युत्पत्ति

वही समय-तर्क पहले एक वक्र सतह पर, फिर दो सतहों पर लागू करने से पतला लेंस समीकरण और लेंस-निर्माता समीकरण मिलते हैं। यह भी दिखाता है कि साधारण गोलीय सतहें क्यों पर्याप्त हैं।

चित्र 2 मूल इकाई दिखाता है: वायु और अपवर्तनांक $n$ वाले काँच के बीच एक गोलीय सतह। उसका वक्रता-केंद्र $C$ है और त्रिज्या $R$ ; वह बिंदु जहाँ वह अक्ष को काटती है, शीर्ष कहलाता है। वस्तु $O$ शीर्ष के सामने वायु में दूरी $s$ पर है, और प्रतिबिंब $I$ उसके पीछे काँच के भीतर दूरी $s^{'}$ पर। पहले की तरह, पथ 1 अक्ष के अनुदिश है, और पथ 2 सतह को ऊँचाई $h$ पर छूता है, जो $s$ की तुलना में छोटी है (चित्र में इसे बढ़ाकर दिखाया गया है)।

तीन प्रभाव तय करते हैं कि दोनों पथ समान समय लेते हैं या नहीं। पहला, सतह से पहले पथ 2 लगभग $h^{2} /2 s$ लंबा है, उसी कारण से जो चित्र 1 में था। दूसरा, सतह के बाद वह लगभग $h^{2} /2 s^{'}$ लंबा है; यह भाग काँच में है, इसलिए इसका प्रकाशीय पथ $n h^{2} /2 s^{'}$ बनता है। तीसरा, सतह $O$ से दूर की ओर मुड़ती है: ऊँचाई $h$ पर वह शीर्ष-तल (बिंदीदार ऊर्ध्वाधर रेखा) के पीछे एक छोटी दूरी $z$ , अर्थात उसकी उत्तलता (sag), पर स्थित है। अतः पथ 2 काँच में प्रवेश करने से पहले वायु में लगभग $z$ अधिक चलता है, और यह वह भाग है जिसे पथ 1 काँच में पार करता है। इससे पथ 2 को प्रकाशीय पथ $(n - 1) z$ की बचत होती है।

उत्तलता चित्र के समकोण त्रिभुज से आती है। उसका कर्ण वह त्रिज्या $R$ है जो $C$ से उस बिंदु तक जाती है जहाँ पथ 2 सतह से मिलता है; उसकी भुजाएँ ऊँचाई $h$ और अक्ष के अनुदिश दूरी $R - z$ हैं, जो $C$ से $h$ के लंब-पाद तक है। अतः $(R - z)^{2} + h^{2} = R^{2}$ , जिससे $z = R - R^{2} - h^{2}$ मिलता है। $h ≪ R$ के लिए वर्गमूल लगभग $R - h^{2} /2 R$ है, और इसलिए $z \approx h^{2} /2 R$ । दोनों पथों का समय तब बराबर होता है जब दो अतिरिक्त लंबाइयों का योग बचत के बराबर हो:
$\frac{h ^{2}}{2 s} + \frac{n h ^{2}}{2 s ^{'}} = \frac{( n - 1 ) h ^{2}}{2 R} \Rightarrow \frac{1}{s} + \frac{n}{s ^{'}} = \frac{n - 1}{R}$

हर पद में एक ही गुणक $h^{2}$ है, इसलिए वह कट जाता है। इस कोटि तक यह शर्त ऊँचाई पर निर्भर नहीं करती: एक ही गोला हर ऊँचाई की किरणों को एक ही बिंदु पर ले आता है। इसीलिए गोलीय सतहें, जो घिसाई से स्वाभाविक रूप से बनती हैं, अच्छा काम करती हैं।

पतला लेंस ऐसी दो सतहें हैं जो पास-पास हैं, और उसकी मोटाई को चित्र 1 की तरह ऊँचाई पर निर्भर विलंब मानकर लिया जा सकता है। पहले चिह्न का नियम: यदि वक्रता-केंद्र प्रकाश के आगे बढ़ने की दिशा वाली ओर हो, तो त्रिज्या धनात्मक मानी जाती है; अतः उभयोत्तल लेंस की पहली सतह के लिए $R_{1} > 0$ और दूसरी के लिए $R_{2} < 0$ । प्रत्येक सतह अपनी उत्तलता के अनुपात में काँच हटाती है, इसलिए मोटाई $t (h) = t_{0} - \frac{1}{2} h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ के अनुसार घटती है।

अब पथ 2 की तुलना अक्षीय पथ से फिर से कीजिए। वायु में उसका अतिरिक्त मार्ग $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ प्रकाशीय पथ जोड़ता है, और जिस काँच से वह बचता है, उससे $(n - 1) (t_{0} - t) = \frac{1}{2} (n - 1) h^{2} (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ की बचत होती है। समय हर $h$ के लिए समान तभी होगा जब दोनों बराबर हों, और फिर से $h^{2}$ कट जाता है:
$\frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) = \frac{1}{f}$

यह एक ही रेखा दो नियम एक साथ देती है। इसके पहले और अंतिम पद पतला लेंस समीकरण $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 1/ f$ बनाते हैं; इसके दूसरे और अंतिम पद लेंस-निर्माता समीकरण $1/ f = (n - 1) (1/ R_{1} - 1/ R_{2})$ बनाते हैं। फ़ोकस दूरी $f$ बहुत दूर की वस्तु की प्रतिबिंब-दूरी है। बाईं ओर केवल $O$ और $I$ की स्थितियों पर निर्भर है, दाईं ओर केवल काँच और उसके आकार पर, इसलिए एक ही लेंस दृश्य के हर तल को उसके अपने संयुग्मी तल पर प्रतिबिंबित करता है। एनिमेशन का लेंस, $f = 10 cm$ , एक सममित काँच-लेंस हो सकता है जिसका $n = 1.50$ और $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ है: प्रति सेंटीमीटर $0.50 \cdot (1/10 + 1/10) = 1/10$ ।

न्यूटन का रूप और अतिपरवलय

जब वस्तु लेंस के पास आती है, तब प्रतिबिंब कैसे चलता है? पतला लेंस समीकरण का आलेख इसका उत्तर देता है, और फ़ोकसों से दूरियाँ मापने पर समीकरण अपना सबसे सरल रूप ले लेता है।

चित्र 3 प्रतिबिंब-दूरी $d_{i}$ को वस्तु-दूरी $d_{o}$ के विरुद्ध आलेखित करता है, जैसा एनिमेशन के उन्नत दृश्य में होता है। दूरियाँ उस संकेत-परिपाटी का पालन करती हैं जिसमें वास्तविक धनात्मक है: $d_{i} > 0$ लेंस के दूर वाले पक्ष पर वास्तविक प्रतिबिंब है, और $d_{i} < 0$ वस्तु के पक्ष पर आभासी प्रतिबिंब। प्रतिबिंब के लिए हल करने पर पतला लेंस समीकरण $d_{i} = f d_{o} / (d_{o} - f)$ देता है, जो एक अतिपरवलय है। उसकी बिंदीदार अनंतस्पर्शी रेखाएँ हैं: $d_{o} = f$ , जहाँ हर शून्य हो जाता है और प्रतिबिंब अनंत पर चला जाता है; और $d_{i} = f$ , जिसे प्रतिबिंब तब छूता है जब वस्तु अनंत की ओर हट जाती है।

पहले दोनों शाखाओं को देखें। ऊपरी शाखा, जिस पर $d_{i} > 0$ लिखा है, फ़ोकस से परे वस्तुओं के वास्तविक प्रतिबिंब रखती है। निचली शाखा, जिस पर $d_{i} < 0$ लिखा है, फ़ोकस के भीतर वस्तुओं के आभासी प्रतिबिंब रखती है: यह अक्ष के नीचे दूर तक अनंतस्पर्शी $d_{o} = f$ से सटी रहती है और $d_{o} \to 0$ होने पर मूल बिंदु तक उठती है। आवर्धन $m = - d_{i} / d_{o}$ है, यानी प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई का अनुपात, जो प्रतिबिंब उल्टा होने पर ऋणात्मक होता है। $2 f$ पर चिह्नित बिंदु वास्तविक शाखा का शीर्ष है, $(2 f, 2 f)$ , जहाँ $d_{i} = d_{o}$ और इसलिए $m = - 1$ : वस्तु के बराबर आकार का उल्टा प्रतिबिंब।

अब दोनों दूरियाँ लेंस के बजाय फ़ोकसों से मापिए: क्षैतिज दिशा में $x_{o} = d_{o} - f$ और ऊर्ध्वाधर दिशा में $x_{i} = d_{i} - f$ । पतला लेंस समीकरण को $f d_{o} d_{i}$ से गुणा करने पर $d_{o} d_{i} = f d_{o} + f d_{i}$ मिलता है। दाईं ओर के पद बाईं ओर ले जाकर दोनों ओर $f^{2}$ जोड़ने पर $d_{o} d_{i} - f d_{o} - f d_{i} + f^{2} = f^{2}$ मिलता है, जिसका बायाँ पक्ष $(d_{o} - f) (d_{i} - f)$ है। यह लेंस समीकरण का न्यूटन रूप है:
$x_{o} x_{i} = f^{2}$

चित्र में यही छायांकित आयत है। चिह्नित बिंदु $d_{o} = 3 f$ पर खींचने पर उसकी भुजाएँ नीचे $x_{o} = 2 f$ और बगल में ऊपर की ओर $x_{i} = f /2$ हैं, अतः उसका क्षेत्रफल $f^{2}$ है। कोने $(f, f)$ से वक्र के किसी भी अन्य बिंदु तक खींचे गए आयत का क्षेत्रफल भी यही होता है; शीर्ष पर यह $f \times f$ का वर्ग है। आवर्धन भी उतना ही सरल रूप लेता है। हल किए गए समीकरण से $d_{i} / d_{o} = f / (d_{o} - f) = f / x_{o}$ मिलता है, और न्यूटन रूप $f / x_{o}$ को $x_{i} / f$ में बदल देता है:
$m = - \frac{f}{x _{o}} = - \frac{x _{i}}{f}$
एनिमेशन में 30 cm पर वस्तु से जाँचें: $x_{o} = 20 cm$ , इसलिए $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , जो फिर से $d_{i} = 15 cm$ देता है, और $m = - 10/20 = - 0.5$ ।

एनिमेशन में एक लाल बिंदु वास्तविक शाखा पर चलता है। वह $(34.1, 14.2)$ से शुरू होता है (सेंटीमीटर में), शीर्ष $(20, 20)$ से गुज़रता है, और जब $d_{o} = 12 cm$ होता है, यानी $d_{i} = 60 cm$ पर, पैनल के ऊपरी किनारे से बाहर निकल जाता है। वस्तु के $F$ पार करने के बाद एक बैंगनी बिंदु नीचे से आभासी शाखा में प्रवेश करता है, जब $d_{i} = - 40 cm$ और $d_{o} = 8 cm$ होता है, और $- 12 cm$ तक ऊपर उठता है। $d_{o} \to 0$ तक बढ़ाने पर यह शाखा मूल बिंदु पर पहुँचती है, जहाँ $m = - f / x_{o} \to + 1$ : कागज़ पर रखा आवर्धक लेंस कुछ भी बड़ा नहीं करता।

वक्र की ढलान बताती है कि प्रतिबिंब कितनी तेज़ी से चलता है। चूँकि $d_{i} = f + f^{2} / x_{o}$ है, और $x_{o}$ ठीक उसी तरह बदलता है जैसे $d_{o}$ , इसलिए ढलान $d (d_{i}) / d (d_{o}) = - f^{2} / x_{o}^{2} = - m^{2}$ है। ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि वस्तु के लेंस के पास आने पर वास्तविक प्रतिबिंब लेंस से दूर जाता है: दोनों वास्तविक दिक् में एक ही दिशा में चलते हैं, पर प्रतिबिंब $m^{2}$ गुना दूर। अतः गहराई $m^{2}$ गुना बढ़ती है, जबकि ऊँचाई केवल $m$ गुना। 30 cm पर ढलान $- 0.25$ है और 14.55 cm पर $- 4.84$ ।

अंत में, वस्तु से वास्तविक प्रतिबिंब की दूरी $d_{o} + d_{i} = 2 f + x_{o} + f^{2} / x_{o}$ है। योग $x_{o} + f^{2} / x_{o}$ $x_{o} = f$ पर न्यूनतम होता है, जहाँ इसका अवकलज $1 - f^{2} / x_{o}^{2}$ शून्य हो जाता है। अतः वस्तु और वास्तविक प्रतिबिंब कभी $4 f$ से निकट नहीं होते, और यह $d_{o} = d_{i} = 2 f$ पर, $m = - 1$ के साथ प्राप्त होता है। एनिमेशन में यह अंतर $2 F$ पर 48.2 cm से घटकर 40 cm होता है, फिर दोबारा बढ़ता है। नीचे का हल किया गया प्रश्न इसी न्यूनतम पर टिका है।

दर्पण और लेंस-तंत्र

दर्पण एक ही बदलाव के साथ उसी समीकरण का पालन करते हैं, और कई लेंसों का तंत्र भी इसी में घटाया जा सकता है।

दर्पण के लिए प्रकाश वापस लौटता है, इसलिए उत्तलता दो बार गिनी जाती है। त्रिज्या $R$ वाला अवतल दर्पण वस्तु की ओर मुड़ा होता है: ऊँचाई $h$ पर उसकी सतह शीर्ष से $h^{2} /2 R$ अधिक निकट वस्तु की ओर होती है। इससे पथ 2 आने और जाने दोनों में $h^{2} /2 R$ छोटा होता है, जबकि उसके तिरछे भाग पहले की तरह $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i})$ जोड़ते हैं। अतः समान समय के लिए $\frac{1}{2} h^{2} (1/ d_{o} + 1/ d_{i}) = h^{2} / R$ चाहिए, यानी $1/ d_{o} + 1/ d_{i} = 2/ R$ : दर्पण पतले लेंस समीकरण का पालन करता है, जहाँ $f = R /2$ । प्रकाश काँच में प्रवेश नहीं करता, इसलिए दर्पण में विक्षेपण और वर्णिक त्रुटि नहीं होती; बड़े दूरदर्शी परावर्तक होने का यह एक कारण है।

दूर के तारों का प्रकाश अक्ष के समानांतर आता है, और उसके लिए गोला ठीक-ठीक सही आकार नहीं है। परवलयज ठीक समान समय देता है: परवलय का हर बिंदु अपनी नाभि और एक स्थिर रेखा, अर्थात नियता, से समान दूरी पर होता है, इसलिए किसी दूर के तारे से परावर्तित होकर नाभि तक जाने वाले हर पथ की लंबाई समान होती है। गोला उस परवलयज से लगभग $h^{4} /8 R^{3}$ विचलित होता है, जो उसकी उत्तलता का अगला पद है। 20 cm चौड़े दर्पण के किनारे पर, जिसकी $f = 1.0 m$ , यानी $R = 2.0 m$ और $h = 0.10 m$ है, यह 1.6 µm है। परावर्तन इसे दोगुना करके लगभग 3 µm पथ देता है, जो दृश्य प्रकाश की पाँच से अधिक तरंगदैर्घ्यों के बराबर है; इसलिए ऐसे दर्पणों को परवलयाकार घिसा जाता है। हबल के 2.4 m दर्पण को उसके किनारे पर लगभग 2 µm अधिक समतल घिसा गया था, और 1993 में सुधारक प्रकाशिकी लगाए जाने तक उसके चित्र धुँधले रहे।

संपर्क में रखे पतले लेंस अपने विलंब जोड़ते हैं, इसलिए उनकी शक्तियाँ $P = 1/ f$ जुड़ती हैं: $P = P_{1} + P_{2}$ , जब $f$ मीटर में हो तो डायॉप्टर (D) में। एनिमेशन के दो लेंस, प्रत्येक 10 D का, मिलकर 20 D बनाते हैं, $f = 5 cm$ । जिन लेंसों के बीच अंतर हो, उन्हें एक-एक करके लिया जाता है: एक तत्व द्वारा बना प्रतिबिंब अगले तत्व की वस्तु बनता है। यदि अगले तत्व तक पहुँचते समय प्रकाश अब भी अभिसृत हो रहा हो, तो उसकी वस्तु उस तत्व के पीछे स्थित होती है; उसे आभासी वस्तु माना जाता है, $d_{o} < 0$ , और वह चित्र 3 की उस बैंगनी शाखा पर होती है जो मूल बिंदु के आगे बढ़ाई गई है। निकट-अक्ष सन्निकटन में वायु में किसी भी तंत्र के दो फ़ोकस और दो मुख्य तल होते हैं, जिन तलों से उसकी दूरियाँ मापी जाती हैं, और $x_{o} x_{i} = f^{2}$ उसकी प्रभावी फ़ोकस दूरी के साथ लागू होता है।

प्रश्न: लैंप, लेंस और परदा

यह बेंच प्रयोग न्यूनतम अंतर $4 f$ का उपयोग करता है और लेंस का फ़ोकस खोजे बिना $f$ मापता है।

चित्र 4 में एक लैंप, जिसकी वस्तु 5 cm ऊँचा तीर है, और एक परदा $L = 45 cm$ दूर हैं। एनिमेशन का लेंस, $f = 10 cm$ , दोनों के बीच खिसकता है। परदे पर प्रतिबिंब कहाँ तीखा है, और इससे $f$ कैसे मिलता है?

तीखे प्रतिबिंब के लिए $d_{o} + d_{i} = L$ चाहिए। $d_{i} = L - d_{o}$ को पतले लेंस समीकरण में रखकर $f d_{o} (L - d_{o})$ से गुणा करने पर $f L = d_{o} (L - d_{o})$ मिलता है, जो $d_{o}$ में एक द्विघात है:
$d_{o}^{2} - L d_{o} + L f = 0, d_{o} = \frac{L \pm L ^{2} - 4 L f}{2} = \frac{45 \pm 15}{2} cm$
अतः लेंस लैंप से 30 cm पर होने पर प्रतिबिंब उसके 15 cm पीछे बनता है (चित्र में स्थिति 1), और लैंप से 15 cm पर होने पर प्रतिबिंब उसके 30 cm पीछे बनता है (स्थिति 2)।

दोनों स्थितियाँ एक-दूसरे की उलट हैं, जैसा प्रकाश-पथों की उत्क्रमणीयता माँगती है: यदि $O$ का प्रतिबिंब $I$ पर बने, तो $I$ का प्रतिबिंब $O$ पर बनता है। चित्र की दोनों पंक्तियों की दूरियों की तुलना कीजिए: स्थिति 2 पर लेंस लैंप से $d_{i}$ और परदे से $d_{o}$ पर है, यानी वही दो लंबाइयाँ आपस में बदल गई हैं। स्थिति 1 पर 5 cm के तीर का 2.5 cm ऊँचा प्रतिबिंब बनता है, $m = - 0.5$ ; स्थिति 2 पर 10 cm ऊँचा, $m = - 2$ । दोनों आवर्धन $- d_{i} / d_{o}$ और $- d_{o} / d_{i}$ हैं, जिनका गुणनफल 1 है, और वस्तु की ऊँचाई दोनों प्रतिबिंब-ऊँचाइयों का गुणोत्तर माध्य है: $2.5 \cdot 10 = 5 cm$ ।

वर्गमूल तभी वास्तविक है जब $L \geq 4 f$ , जो ऊपर मिला न्यूनतम अंतर है। 40 cm पर दोनों स्थितियाँ $d_{o} = 20 cm$ पर मिल जाती हैं; परदा इससे और निकट हो तो कोई स्थिति तीखा प्रतिबिंब नहीं देती।

यह विधि अज्ञात लेंस पर उलटी भी लागू होती है। $L$ और दो तीखी स्थितियों के बीच लेंस का विस्थापन $a$ (चित्र 4 का $a$ , यहाँ $30 - 15 = 15 cm$ ) मापें। दो मूलों का अंतर $a = L^{2} - 4 L f$ है, इसलिए
$f = \frac{L ^{2} - a ^{2}}{4 L} = \frac{4 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{4 \cdot 45} = 10 cm$
यह केवल बेंच पर मापी गई दो लंबाइयों से मिलता है, इसके लिए यह जानना आवश्यक नहीं कि लेंस के भीतर किस बिंदु से माप लेनी है।

विपथन: जहाँ तुल्य समय विफल होता है

अब तक की हर बात में केवल $h^{2}$ वाले पद रखे गए थे। वास्तविक लेंस आदर्श से इसलिए पीछे रहते हैं क्योंकि अगले पद निरस्त नहीं होते, और $n$ रंग पर निर्भर करता है।

$h^{4}$ कोटि पर गोलीय लेंस से गुज़रने वाले समय एक-से नहीं रहते, और बाहरी किरणें निकट-अक्ष किरणों से पहले फ़ोकस हो जाती हैं। इसे गोलीय विपथन कहते हैं। ऊपर के 4 cm चौड़े सममित लेंस में सटीक अनुरेखण करने पर, किनारे से आने वाली समानांतर किरणें निकट-अक्ष फ़ोकस से लगभग 7 mm पहले अक्ष को काटती हैं, और आधी ऊँचाई की किरणें उससे लगभग 1.6 mm पहले। ऊँचाई आधी करने पर विस्थापन लगभग चार गुना घटता है: यह $h^{2}$ के अनुसार बढ़ता है। छोटा द्वारक और अगोलीय सतहें इसे घटाती हैं।

चूँकि $n$ तरंगदैर्घ्य पर निर्भर है, इसलिए $f$ भी उस पर निर्भर है: इसे वर्णिक विपथन कहते हैं। क्राउन काँच का लाल प्रकाश के लिए $n = 1.514$ और नीले के लिए 1.522 है। चूँकि $1/ f \propto n - 1$ , नीला फ़ोकस $0.522/0.514$ के अनुपात में निकट है, यानी लगभग 1.5%, जो 10 cm के लेंस के लिए लगभग 1.5 mm है। एक अवर्णी द्वि-लेंस (ऍक्रोमैटिक डबलेट) में फ़्लिंट काँच का एक कमज़ोर अपसारी लेंस जोड़ा जाता है। फ़्लिंट रंगों को अधिक फैलाता है, इसलिए कमज़ोर फ़्लिंट लेंस प्रबल क्राउन लेंस की रंग-त्रुटि को निरस्त करता है, जबकि उसकी शक्ति का केवल एक भाग वापस लेता है। अक्ष से हटे बिंदुओं पर और त्रुटियाँ आती हैं, जैसे कोमा, अबिंदुकता और विकृति, जिन्हें डिज़ाइनर अगोलीय तत्वों से एक-दूसरे के विरुद्ध संतुलित करते हैं।

वैधता की सीमाएँ

पतला लेंस नियम निकट-अक्ष किरणें, मोटाई $f$ की तुलना में छोटी, और दोनों ओर वायु मानता है। आख़िरी मान्यता पानी में विफल होती है, जहाँ महत्वपूर्ण है पानी के सापेक्ष काँच का अपवर्तनांक। $n = 1.50$ का लेंस तब $1.50/1.33 - 1 = 0.13$ के साथ काम करता है, 0.50 के बजाय, और उसकी फ़ोकस दूरी लगभग चार गुना हो जाती है। आँख की सबसे प्रबल अपवर्तक सतह, कॉर्निया, भी इसी तरह अपनी अधिकांश शक्ति खो देती है, क्योंकि उसके पीछे का द्रव लगभग पानी जितना अपवर्तनांक रखता है: इसीलिए बिना मास्क के पानी के भीतर सब धुँधला दिखता है।

सबसे गहरी सीमा प्रकाश की तरंग-प्रकृति है। समय केवल एक आवर्तकाल के एक भिन्नांश के भीतर, लगभग एक चौथाई, तक एक-से होने चाहिए (रेले कसौटी): तब प्रतिबिंब पर तरंगिकाएँ लगभग समकला होती हैं, और आगे की घिसाई से बहुत कम लाभ होता है। जो शेष रहता है वह विवर्तन है। व्यास $D$ का एक पूर्ण लेंस भी एक बिंदु को धुँधले छल्लों वाली एक छोटी चकती के रूप में प्रतिबिंबित करता है, जिसे एरी चकती कहते हैं, और उसकी कोणीय त्रिज्या $1.22 λ / D$ है। 4 cm के लेंस और हरे प्रकाश (550 nm) के लिए यह $1.7 \times 1 0^{- 5} rad$ है, यानी 10 cm दूर फ़ोकस पर त्रिज्या 1.7 µm का धब्बा। 3 mm चौड़ी पुतली लगभग 0.8 चाप-मिनट देती है, जो मानव दृष्टि की सबसे तीखी सीमा के निकट है। इस सीमा से परे आवर्धन केवल धुँधलापन बड़ा करता है, कोई नया विवरण नहीं दिखाता।

यह कहाँ ले जाता है

"आँख, कैमरा और दूरदर्शी" इन लेंसों को काम में लाता है: आँख लगभग 60 D का लेंस है, आवर्धक लेंस का कोणीय आवर्धन लगभग $25 cm / f$ है, और दूरदर्शी एक अभिदृश्यक (ऑब्जेक्टिव) तथा एक नेत्रिका (आईपीस) है। वर्णिक विपथन के पीछे का विक्षेपण "प्रिज़्म, विक्षेपण और रंग" से आया। विवर्तन और द्वि-झिरी "विवर्तन और द्वि-झिरी" में विभेदन-सीमा समझाता है, और "तरंग-कण द्वैतता" में एकल फ़ोटॉन प्रतिबिंब तक जाने वाले सभी पथों पर अपने आयाम जोड़ते हैं।

"वक्र दिक्-काल के रूप में गुरुत्व" में द्रव्यमान एक लेंस की तरह काम करता है। सूर्य किनारे से गुज़रती किरण को 1.75 चाप-सेकंड मोड़ता है। काँच का लेंस अक्ष से जितनी दूर से गुज़रता है, किरण को उतना ही अधिक मोड़ता है; गुरुत्व इसके विपरीत करता है, क्योंकि विचलन केंद्र से किरण की दूरी $b$ के साथ $1/ b$ के अनुसार घटता है। इसलिए कोई एक फ़ोकस नहीं होता: सूर्य के किनारे से गुज़रने वाली किरणें लगभग 550 AU पर मिलती हैं, और उससे भी बाहर से गुज़रने वाली किरणें और भी दूर मिलती हैं। कोई आकाशगंगा किसी अधिक दूर की आकाशगंगा का लेंस बनकर कई प्रतिबिंब और वलय बनाती है।

मुख्य सूत्र

पतला लेंस समीकरण

\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}}

वस्तु-दूरी और प्रतिबिंब-दूरी के व्युत्क्रमों का योग फ़ोकस दूरी के व्युत्क्रम के बराबर होता है, और यह वस्तु की हर स्थिति के लिए समान रहता है। यह किरण-आरेख के समरूप त्रिभुजों से आता है, या इस शर्त से कि वस्तु-बिंदु से प्रतिबिंब-बिंदु तक हर पथ समान समय ले। इसे $1/ d_{i} = 1/ f - 1/ d_{o}$ के रूप में हल करें और अंत में व्युत्क्रम लें; ऋणात्मक परिणाम आभासी प्रतिबिंब बताता है।

चिह्न
$f$	फ़ोकस दूरी, अभिसारी लेंस या अवतल दर्पण के लिए धनात्मक	$m$
$d_{o}$	वस्तु-दूरी, वस्तु से लेंस तक	$m$
$d_{i}$	प्रतिबिंब-दूरी, वास्तविक प्रतिबिंब के लिए धनात्मक और आभासी के लिए ऋणात्मक	$m$

कब लागू होता है: निकट-अक्षकिरणों वाले पतले लेंसों और गोलीय दर्पणों के लिए, वास्तविक-धनात्मक परिपाटी में। मोटे लेंसों और लेंस-तंत्रों में दूरियाँ मुख्य तलों से मापनी होती हैं, और अक्ष से दूर की किरणों में विपथन होते हैं।

उदाहरण: एनिमेशन का लेंस, $f = 10 cm$ , $d_{o} = 30 cm$ के साथ: $1/ d_{i} = 1/10 - 1/30 = 2/30$ , इसलिए $d_{i} = 15 cm$ ।

आवर्धन

m = \frac{h _{i}}{h _{o}} = - \frac{d _{i}}{d _{o}}

प्रतिबिंब की ऊँचाई और वस्तु की ऊँचाई का अनुपात। लेंस के केंद्र से होकर जाने वाली किरण सीधी निकलती है, और वह वस्तु व प्रतिबिंब के साथ दो समरूप त्रिभुज बनाती है, इसलिए ऊँचाइयों का अनुपात दूरियों के अनुपात के बराबर होता है। ऋणात्मक चिह्न बताता है कि वास्तविक वस्तु का वास्तविक प्रतिबिंब उल्टा होता है: $m < 0$ का अर्थ उल्टा, $m > 0$ का सीधा, और $∣ m ∣ > 1$ का बड़ा।

चिह्न
$m$	आवर्धन
$h_{i}$	प्रतिबिंब की ऊँचाई, उल्टा होने पर ऋणात्मक	$m$
$h_{o}$	वस्तु की ऊँचाई	$m$
$d_{i}$	प्रतिबिंब-दूरी	$m$
$d_{o}$	वस्तु-दूरी	$m$

कब लागू होता है: निकट-अक्षकिरणों वाले पतले लेंसों और दर्पणों के लिए, और केवल अक्ष के आर-पार के आकारों के लिए: अक्ष के अनुदिश गहराई $m^{2}$ गुना बढ़ती है।

उदाहरण: वस्तु 30 cm पर, प्रतिबिंब 15 cm पर: $m = - 15/30 = - 0.5$ , इसलिए 5 cm का तीर 2.5 cm ऊँचा उल्टा प्रतिबिंब देता है।

प्रकाशीय शक्ति

P = \frac{1}{f} (dioptres, f in metres : f = 10 cm \to P = 10 D)

शक्ति फ़ोकस दूरी का व्युत्क्रम है: फ़ोकस दूरी जितनी छोटी, लेंस प्रकाश को उतना ही अधिक मोड़ता है। जब $f$ मीटर में हो, तो इसकी इकाई डायॉप्टर होती है, $1 D = 1 m^{- 1}$ । इसका उपयोग यह है कि सटे हुए पतले लेंसों की शक्तियाँ सीधे जुड़ जाती हैं, इसीलिए चश्मे का नंबर डायॉप्टर में लिखा जाता है।

चिह्न
$P$	प्रकाशीय शक्ति, डायॉप्टर (D) में	$m^{- 1}$
$f$	फ़ोकस दूरी, मीटर में	$m$

कब लागू होता है: पतले लेंसों के लिए: अभिसारी लेंस का $P > 0$ , अपसारी का $P < 0$ । शक्तियाँ केवल सटे हुए पतले लेंसों के लिए जुड़ती हैं; दूरी $d$ पर स्थित लेंस $1/ F = 1/ f_{1} + 1/ f_{2} - d / (f_{1} f_{2})$ के अनुसार मिलते हैं।

उदाहरण: $f = 10 cm = 0.10 m$ से $P = 10 D$ मिलता है; +2.5 D का पढ़ने का लेंस जोड़ने पर यह 12.5 D हो जाता है, इसलिए $f = 8 cm$ ।

गोलीय दर्पण की फ़ोकस दूरी

f = \frac{R}{2} (spherical mirror)

अक्ष के समानांतर किरण गोलीय दर्पण से उसी कोण पर परावर्तित होती है जो उस बिंदु के अभिलंब (त्रिज्या) से बनता है, इसलिए वह दर्पण और वक्रता-केंद्र के ठीक बीच में अक्ष को काटती है। इस फ़ोकस दूरी के साथ दर्पण पतले लेंस वाले समीकरण का पालन करता है, और उसके वास्तविक प्रतिबिंब उसके सामने बनते हैं।

चिह्न
$f$	दर्पण की फ़ोकस दूरी	$m$
$R$	वक्रता त्रिज्या, लंबाई के रूप में; उत्तल दर्पण के लिए $f = - R /2$	$m$

कब लागू होता है: निकट-अक्षकिरणों के लिए। अक्ष से दूर टकराने वाली किरणें उसे दर्पण के अधिक निकट काटती हैं (गोलीय विपथन); परवलयाकार दर्पण समानांतर प्रकाश को ठीक-ठीक फ़ोकस करता है।

उदाहरण: $R = 60 cm$ वाले मेकअप दर्पण की $f = 30 cm$ है; $R = 2.0 m$ वाले उत्तल कार-दर्पण की $f = - R /2 = - 1.0 m$ है।

लेंस-निर्माता समीकरण

\frac{1}{f} = (n - 1) (\frac{1}{R _{1}} - \frac{1}{R _{2}}) (lens in air; biconvex : R_{1} > 0, R_{2} < 0)

पतले लेंस की फ़ोकस दूरी उसके काँच और आकार से निकलती है। वक्रताएँ $1/ R_{1} - 1/ R_{2}$ तय करती हैं कि लेंस बीच में कितना मोटा है, और काँच प्रकाश को उस मोटाई का $n - 1$ गुना विलंबित करता है: ठीक इतना कि किसी बिंदु से उसके प्रतिबिंब तक हर पथ का यात्रा-समय समान हो। त्रिज्या तब धनात्मक मानी जाती है जब उसका वक्रता-केंद्र उस ओर हो जिधर प्रकाश जा रहा है।

चिह्न
$f$	लेंस की फ़ोकस दूरी	$m$
$n$	काँच का अपवर्तनांक
$R_{1}$	वह सतह जिससे प्रकाश पहले टकराता है, उसकी वक्रता त्रिज्या	$m$
$R_{2}$	दूसरी सतह की वक्रता त्रिज्या	$m$

कब लागू होता है: वायु में रखे पतले लेंस के लिए, निकट-अक्षकिरणों पर। $n_{m}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में $n - 1$ की जगह $n / n_{m} - 1$ रखें; मोटे लेंस के लिए उसकी मोटाई पर निर्भर एक संशोधन चाहिए।

उदाहरण: $n = 1.50$ और $R_{1} = - R_{2} = 10 cm$ वाला काँच: $1/ f = 0.50 \cdot (0.10 + 0.10) = 0.10 c m^{- 1}$ , इसलिए $f = 10 cm$ , यानी एनिमेशन का लेंस।

लेंस समीकरण का न्यूटन रूप

x_{o} x_{i} = f^{2}

वस्तु की दूरी निकट फ़ोकस से और प्रतिबिंब की दूरी दूर वाले फ़ोकस से मापें: उनका गुणनफल सदैव $f^{2}$ होता है। यह पतले लेंस समीकरण का ही पुनर्लेखन है, और यह आवर्धन को सरल बना देता है, $m = - f / x_{o} = - x_{i} / f$ । दोनों दूरियों के चिह्न समान होते हैं: $F$ से परे की वस्तु का प्रतिबिंब $F^{'}$ से परे बनता है।

चिह्न
$x_{o}$	वस्तु की निकट फ़ोकस $F$ से दूरी, $d_{o} - f$	$m$
$x_{i}$	प्रतिबिंब की दूर वाले फ़ोकस $F^{'}$ से दूरी, $d_{i} - f$	$m$
$f$	फ़ोकस दूरी	$m$

कब लागू होता है: वायु में किसी भी लेंस-तंत्र के लिए निकट-अक्षसीमा में, उसकी प्रभावी फ़ोकस दूरी के साथ, क्योंकि इसमें केवल दोनों फ़ोकसों की स्थितियाँ चाहिए; इसीलिए यह मोटे लेंसों और संयुक्त तंत्रों का सामान्य रूप है।

उदाहरण: एनिमेशन के लेंस से 30 cm पर वस्तु: $x_{o} = 20 cm$ , इसलिए $x_{i} = 100/20 = 5 cm$ , और प्रतिबिंब लेंस के पीछे $10 + 5 = 15 cm$ पर है।

शब्दावली

अभिसारी लेंस: बीच में किनारों से मोटा लेंस, जिसका $f > 0$ है: यह अक्ष के समानांतर आने वाली किरणों को एक वास्तविक फ़ोकस पर एकत्र करता है। $F$ से परे की वस्तुओं के लिए यह उल्टे वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है, और उसके भीतर की वस्तुओं के लिए बड़े आभासी प्रतिबिंब।
अपसारी लेंस: बीच में किनारों से पतला लेंस, जिसका $f < 0$ है: यह समानांतर किरणों को ऐसे फैलाता है मानो वे इसके सामने के एक आभासी फ़ोकस से आ रही हों। किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए यह सीधा, छोटा आभासी प्रतिबिंब देता है।
प्रकाशीय अक्ष: लेंस या दर्पण के केंद्र से होकर उसके लंबवत जाने वाली रेखा, जिस पर उसके फ़ोकस और वक्रता-केंद्र स्थित होते हैं। इसके अनुदिश दूरियाँ और इससे ऊँचाइयाँ वस्तु और प्रतिबिंब का वर्णन करती हैं।
फ़ोकस बिंदु: वह बिंदु जहाँ अक्ष के समानांतर आने वाली किरणें लेंस या दर्पण के बाद मिलती हैं, या जहाँ से वे फैलती प्रतीत होती हैं। पतले लेंस के दोनों ओर एक-एक फ़ोकस होता है, $F$ और $F^{'}$ , जो समान दूरी $f$ पर हैं; गोलीय दर्पण का फ़ोकस उसके वक्रता-केंद्र और दर्पण के ठीक बीच के बिंदु पर होता है।
वास्तविक प्रतिबिंब: वह प्रतिबिंब जहाँ लेंस या दर्पण के बाद प्रकाश वास्तव में अभिसृत होता है, इसलिए उसे परदे या सेंसर पर पकड़ा जा सकता है। एक अकेला लेंस या दर्पण इसे उल्टा बनाता है, और इसकी प्रतिबिंब-दूरी धनात्मक होती है।
आभासी प्रतिबिंब: वह प्रतिबिंब जिससे प्रकाश केवल आता प्रतीत होता है: लेंस या दर्पण से निकली किरणें फैल जाती हैं, और केवल उनके पीछे के विस्तार मिलते हैं। इसे देखा और फ़ोटो भी खींचा जा सकता है, पर परदे पर नहीं पकड़ा जा सकता, जैसे आवर्धक लेंस या समतल दर्पण में।
मुख्य किरणें: वस्तु के सिरे से निकलने वाली तीन किरणें जिन्हें खींचना आसान है: अक्ष के समानांतर, फिर $F^{'}$ से होकर; केंद्र से सीधी; और $F$ से होकर, फिर समानांतर। कोई भी दो प्रतिबिंब का स्थान बताती हैं, परंतु लेंस से गुज़रने वाला सारा प्रकाश ही प्रतिबिंब बनाता है।
प्रकाशीय शक्ति: लेंस या दर्पण प्रकाश को कितनी प्रबलता से अभिसृत करता है, $P = 1/ f$ , जब $f$ मीटर में हो तो डायॉप्टर (D) में: एनिमेशन का लेंस, $f = 10 cm$ , की शक्ति 10 D है। सटे हुए पतले लेंसों की शक्तियाँ जुड़ती हैं, और अपसारी लेंस की शक्ति ऋणात्मक होती है।
अवतल और उत्तल दर्पण: अवतल दर्पण, जो कटोरे के भीतरी भाग जैसा वक्र होता है, प्रकाश को अभिसृत करता है, जिसका $f = R /2$ है; उत्तल दर्पण, जो बाहर की ओर वक्र होता है, उसे फैलाता है, जिसका $f = - R /2$ है। दर्पण अपने वास्तविक प्रतिबिंब अपने सामने और आभासी प्रतिबिंब पीछे बनाता है।
संयुग्मी बिंदु: एक वस्तु-बिंदु और उसका प्रतिबिंब-बिंदु। उनके बीच तंत्र से होकर जाने वाला प्रकाश का हर पथ समान समय लेता है, इसलिए एक से आने वाला प्रकाश दूसरे पर एकत्र होता है; प्रकाश-पथ उत्क्रमणीय होने से दोनों की भूमिकाएँ बदली जा सकती हैं।
निकट-अक्षसन्निकटन: सभी किरणों को अक्ष के निकट और लगभग उसके समानांतर मानना, ताकि पथ-अंतर केवल $h^{2}$ कोटि तक रखे जाएँ और $sin θ \approx θ$ लिया जाए। पतले लेंस और दर्पण के समीकरण केवल इसी सीमा में ठीक-ठीक लागू होते हैं।
विपथन: वास्तविक लेंस या दर्पण का आदर्श प्रतिबिंब से कोई भी विचलन। गोलीय विपथन बाहरी किरणों को निकट फ़ोकस करता है, वर्णिक विपथन हर रंग का अलग फ़ोकस बनाता है, और कोमा, अबिंदुकता तथा विकृति अक्ष से दूर के बिंदुओं को बिगाड़ते हैं।

राशियाँ
$f$	फ़ोकस दूरी	$m$	पतले लेंस या दर्पण से उसके फ़ोकस बिंदुओं तक की दूरी: अभिसारी के लिए धनात्मक, अपसारी के लिए ऋणात्मक। एनिमेशन के लेंस की $f = 10 cm$ है।
$d_{o}$	वस्तु-दूरी	$m$	वस्तु से लेंस या दर्पण तक की दूरी, उसके सामने रखी वास्तविक वस्तु के लिए धनात्मक: एनिमेशन में 34.1 cm से 5.45 cm तक।
$d_{i}$	प्रतिबिंब-दूरी	$m$	लेंस या दर्पण से प्रतिबिंब तक की दूरी: वास्तविक प्रतिबिंब के लिए धनात्मक (लेंस के पीछे, या दर्पण के सामने), आभासी के लिए ऋणात्मक। एनिमेशन में $d_{o} = 30 cm$ होने पर यह 15 cm है।
$h_{o}$	वस्तु की ऊँचाई	$m$	अक्ष के ऊपर वस्तु की ऊँचाई: एनिमेशन का तीर 5 cm ऊँचा है।
$h_{i}$	प्रतिबिंब की ऊँचाई	$m$	अक्ष से मापी गई प्रतिबिंब की ऊँचाई, उल्टा होने पर ऋणात्मक: 30 cm पर रखे तीर के लिए $- 2.5 cm$ ।
$m$	आवर्धन		प्रतिबिंब की ऊँचाई को वस्तु की ऊँचाई से भाग देने पर, $m = - d_{i} / d_{o}$ । इसका परिमाण बताता है कि प्रतिबिंब कितना बड़ा है, और चिह्न बताता है कि वह सीधा ( $m > 0$ ) है या उल्टा ( $m < 0$ )।
$R$	वक्रता त्रिज्या	$m$	उस गोले की त्रिज्या जिसका भाग दर्पण या लेंस की सतह है। लंबाई के रूप में लेने पर अवतल दर्पण के लिए $f = + R /2$ और उत्तल के लिए $f = - R /2$ होता है; उत्तल दर्पण के लिए $R$ को ऋणात्मक गिनने पर दोनों स्थितियों में $f = R /2$ लागू होता है।
$n$	अपवर्तनांक		लेंस के पदार्थ में प्रकाश निर्वात की तुलना में कितने गुना धीमा चलता है, साधारण काँच के लिए लगभग 1.50। वक्रताओं के साथ मिलकर यह लेंस की फ़ोकस दूरी तय करता है।
$x_{o}$	फ़ोकस से वस्तु की दूरी	$m$	वस्तु की निकट फ़ोकस $F$ से दूरी, $x_{o} = d_{o} - f$ ; जब वस्तु फ़ोकस दूरी के भीतर हो तो ऋणात्मक।
$x_{i}$	फ़ोकस से प्रतिबिंब की दूरी	$m$	प्रतिबिंब की दूर वाले फ़ोकस $F^{'}$ से दूरी, $x_{i} = d_{i} - f$ , जो न्यूटन रूप $x_{o} x_{i} = f^{2}$ द्वारा $x_{o}$ से जुड़ी है।

क्विज़

शुरुआती धूप में पकड़ा गया आवर्धक लेंस कागज़ पर एक छोटा चमकीला बिंदु जला देता है। कागज़ कहाँ है?
1. लेंस के फ़ोकस पर
2. लेंस को छूते हुए
3. फ़ोकस से दोगुनी दूरी पर
4. कहीं भी, दूरी से फ़र्क नहीं पड़ता
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. लेंस के फ़ोकस पर
समानांतर धूप फ़ोकस पर एकत्र होती है, इसलिए जब कागज़ एक फ़ोकस दूरी पर हो तो बिंदु सबसे छोटा और सबसे गर्म होता है।
शुरुआती एक अभिसारी लेंस दूर के पेड़ को कागज़ पर प्रक्षेपित करता है। कागज़ पर बना प्रतिबिंब कैसा दिखता है?
1. सीधा और बड़ा
2. सीधा और छोटा
3. उल्टा और छोटा
4. कागज़ पर कोई प्रतिबिंब नहीं है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: C. उल्टा और छोटा
दूर की वस्तु फ़ोकस से ठीक परे वास्तविक प्रतिबिंब बनाती है: वह छोटा और उल्टा होता है, जैसे कैमरे के भीतर का प्रतिबिंब।
शुरुआती जब आप एक छोटे कीड़े को पास रखे आवर्धक लेंस से देखते हैं, तो जो प्रतिबिंब दिखता है वह …
1. सीधा और बड़ा
2. उल्टा और बड़ा
3. सीधा और छोटा
4. उल्टा और छोटा
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. सीधा और बड़ा
जब वस्तु फ़ोकस दूरी के भीतर होती है, तब लेंस एक सीधा, बड़ा आभासी प्रतिबिंब बनाता है।
मध्यम फ़ोकस दूरी 10 cm वाले अभिसारी लेंस से 30 cm दूर एक वस्तु है। प्रतिबिंब कहाँ है?
1. लेंस से 20 cm
2. लेंस से 15 cm
3. लेंस से 7.5 cm
4. लेंस से 40 cm
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. लेंस से 15 cm
1/dᵢ = 1/10 − 1/30 = 2/30, इसलिए dᵢ = 15 cm। दूरियों को घटाना (30 − 10 = 20) आम गलती है।
मध्यम एक अभिसारी लेंस मोमबत्ती का तीखा प्रतिबिंब परदे पर डालता है। आप लेंस के ऊपरी आधे भाग को काले कार्ड से ढक देते हैं। प्रतिबिंब को क्या होता है?
1. प्रतिबिंब का ऊपरी आधा भाग गायब हो जाता है
2. प्रतिबिंब का निचला आधा भाग गायब हो जाता है
3. प्रतिबिंब आधा बड़ा रह जाता है
4. पूरा प्रतिबिंब अब भी है, बस कम चमकीला
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: D. पूरा प्रतिबिंब अब भी है, बस कम चमकीला
लेंस का हर भाग मोमबत्ती के हर बिंदु से प्रकाश लेकर उसके संगत प्रतिबिंब-बिंदु पर भेजता है, इसलिए खुला आधा भाग भी पूरा प्रतिबिंब बनाता है; केवल आधा प्रकाश एकत्र होता है।
मध्यम पतले लेंस के केंद्र से गुज़रने वाली मुख्य किरण का क्या होता है?
1. वह बिना मुड़े सीधी निकल जाती है
2. वह अक्ष के समानांतर निकलती है
3. वह दूर वाले फ़ोकस से होकर गुज़रती है
4. वह वापस परावर्तित हो जाती है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. वह बिना मुड़े सीधी निकल जाती है
केंद्र पर पतले लेंस की दोनों सतहें समानांतर होती हैं, इसलिए किरण नगण्य विस्थापन के साथ सीधी निकल जाती है।
उन्नत एक दुकान के उत्तल सुरक्षा दर्पण की वक्रता त्रिज्या 1.0 m है। एक ग्राहक दर्पण के सामने 4.0 m पर खड़ा है। ग्राहक का प्रतिबिंब कहाँ है?
1. दर्पण के सामने 0.57 m पर, उल्टा
2. दर्पण के पीछे 0.44 m पर, सीधा और लगभग 1/9 आकार का
3. दर्पण के पीछे 4.0 m पर, समान आकार का
4. दर्पण के पीछे 0.50 m पर, फ़ोकस पर
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. दर्पण के पीछे 0.44 m पर, सीधा और लगभग 1/9 आकार का
उत्तल दर्पण की f = −R/2 = −0.50 m है, इसलिए 1/dᵢ = 1/f − 1/dₒ = −2.00 − 0.25 = −2.25 m⁻¹ और dᵢ ≈ −0.44 m: दर्पण के पीछे आभासी प्रतिबिंब, m = −dᵢ/dₒ ≈ +0.11, सीधा और छोटा। चिह्न भूल जाने पर (f = +0.50 m) 0.57 m और उल्टा प्रतिबिंब मिलता है। इसी छोटे, चौड़े दृश्य के कारण ऐसे दर्पण पूरी दुकान दिखा सकते हैं।
उन्नत अभिसारी लेंस के dᵢ(dₒ) आलेख में, dₒ = f पर लंबवत अनंतस्पर्शी का भौतिक अर्थ क्या है?
1. प्रतिबिंब यथासंभव छोटा हो जाता है
2. वस्तु से आने वाली किरणें लेंस से समानांतर निकलती हैं, इसलिए प्रतिबिंब अनंत पर है
3. प्रतिबिंब लेंस पर ही पड़ता है
4. लेंस प्रकाश का अपवर्तन बंद कर देता है
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: B. वस्तु से आने वाली किरणें लेंस से समानांतर निकलती हैं, इसलिए प्रतिबिंब अनंत पर है
वस्तु F पर होने पर 1/dᵢ = 1/f − 1/f = 0: निकलती किरणें समानांतर हैं और केवल अनंत पर मिलती हैं; F को पार करते ही प्रतिबिंब वास्तविक से आभासी हो जाता है।

$O$	वस्तु-बिंदु।
$I$	प्रतिबिंब-बिंदु: जहाँ $O$ से सभी पथ एक ही समय पर पहुँचते हैं।
$d_{o}$	अक्ष के अनुदिश $O$ से लेंस तक की दूरी।	$m$
$d_{i}$	अक्ष के अनुदिश लेंस से $I$ तक की दूरी।	$m$
$h$	वह ऊँचाई जिस पर पथ 2 लेंस को पार करता है, अक्ष से ऊपर।	$m$
$t_{0}$	अक्ष पर लेंस की मोटाई: वह काँच जिसे पथ 1 पार करता है।	$m$
$t$	ऊँचाई $h$ पर लेंस की मोटाई: वह काँच जिसे पथ 2 पार करता है।	$m$

$O$	वस्तु-बिंदु, वायु में।
$I$	प्रतिबिंब-बिंदु, काँच के भीतर।
$C$	इस सतह का वक्रता-केंद्र।
$R$	सतह की त्रिज्या: $C$ से शीर्ष तक, और सतह के हर बिंदु तक की दूरी।	$m$
$s$	वस्तु-दूरी: $O$ से सतह के शीर्ष तक।	$m$
$s^{'}$	प्रतिबिंब-दूरी: शीर्ष से $I$ तक, जो काँच के भीतर है।	$m$
$h$	वह ऊँचाई जिस पर पथ 2 सतह से मिलता है, अक्ष से।	$m$
$z$	उत्तलता: ऊँचाई $h$ पर सतह शीर्ष-तल के पीछे कितनी दूर है।	$m$
$n$	काँच का अपवर्तनांक; वायु का अपवर्तनांक 1 है।

$d_{o}$	वस्तु-दूरी: वस्तु से लेंस तक।	$m$
$d_{i}$	प्रतिबिंब-दूरी: लेंस के पीछे वास्तविक प्रतिबिंब के लिए धनात्मक, आभासी के लिए ऋणात्मक।	$m$
$f$	फ़ोकस दूरी: यह दोनों अनंतस्पर्शी रेखाओं और शीर्ष $(2 f, 2 f)$ को निश्चित करती है।	$m$
$x_{o}$	फ़ोकस से मापी गई वस्तु-दूरी: $d_{o} - f$ ।	$m$
$x_{i}$	फ़ोकस से मापी गई प्रतिबिंब-दूरी: $d_{i} - f$ ।	$m$

$L$	लैंप से परदे तक की दूरी, जो स्थिर रहती है।	$m$
$a$	दो तीखी स्थितियों के बीच लेंस का विस्थापन।	$m$
$d_{o}$	स्थिति 1 पर लैंप से लेंस की दूरी, और स्थिति 2 पर लेंस से परदे की दूरी।	$m$
$d_{i}$	स्थिति 1 पर लेंस से परदे की दूरी, और स्थिति 2 पर लैंप से लेंस की दूरी।	$m$