Interférences et superposition

Débutant

Quand deux ondes se rencontrent, elles ne rebondissent pas l’une sur l’autre comme des balles. Elles s’additionnent tout simplement : en chaque point, la hauteur est celle que donnerait la première onde plus celle que donnerait la seconde. Ensuite, chacune poursuit sa route intacte, comme deux conversations qui traversent une pièce sans se gêner. Cette addition s’appelle la superposition.

L’animation montre deux ondes (en pointillés) sur la même corde et leur somme (en trait plein). Sur la corde du haut, les ondes sont en phase : crête sur crête, creux sur creux, et la corde oscille deux fois plus haut. C’est une interférence constructive.

Sur la corde du bas, l’une des ondes est décalée d’une demi-longueur d’onde : chaque crête rencontre un creux. L’une pousse vers le haut exactement autant que l’autre tire vers le bas, et la corde bouge à peine : c’est une interférence destructive. Les casques à réduction de bruit utilisent cette astuce en envoyant dans l’oreille une copie inversée du bruit.

Où passe l’énergie dans une zone calme ? Elle n’est pas détruite. Avec deux haut-parleurs jouant la même note continue, on trouve en traversant une pièce des endroits calmes juste à côté d’endroits bruyants : l’énergie est seulement déplacée. Le silence parfait est rare, car les murs renvoient aussi le son.

Quand deux notes sont presque, mais pas tout à fait, identiques, les ondes se mettent lentement en phase puis en opposition, et le son enfle puis faiblit : oua, oua, oua. Ce sont des battements, et il y en a autant par seconde que l’écart entre les deux fréquences. Un guitariste accorde deux cordes en tournant une cheville jusqu’à ce que les battements ralentissent et disparaissent.

Testez-vous : deux diapasons de 440 Hz et 443 Hz sonnent ensemble. Combien de battements par seconde entendez-vous ? (Trois.)

Intermédiaire

Les ondes s'additionnent, point par point

Là où deux ondes traversent le même endroit, chaque point du milieu se déplace de la somme des déplacements que chaque onde lui donnerait seule :
$y=y_1+y_2$

C'est le principe de superposition. Les déplacements ont un signe : une crête de 1 cm qui rencontre un creux de 1 cm donne zéro. Il s'applique dans un milieu linéaire, c'est-à-dire un milieu dont la force de rappel est proportionnelle au déplacement : cordes, air et eau aux petites amplitudes, lumière dans le vide.

Chaque onde poursuit sa route comme si l'autre n'existait pas : deux impulsions qui courent l'une vers l'autre le long d'une corde s'additionnent tant qu'elles se recouvrent, puis se séparent sans avoir changé. Notez ce qui s'additionne : les déplacements, pas les intensités.

Déphasage et différence de marche

Que deux ondes de même fréquence s'entraident ou s'annulent dépend de leur déphasage $\phi$, c'est-à-dire de l'avance de l'une sur l'autre dans son cycle ($2\pi$ pour un cycle entier). Pour des sources qui vibrent en phase, il provient de la différence de marche $\Delta =r_2-r_1$, la distance supplémentaire que parcourt l'une des ondes jusqu'au point ; chaque longueur d'onde de trajet en plus représente un cycle de retard :
$\phi =\frac{2\pi \Delta }{\lambda }$

Ainsi $\Delta =0,\lambda ,2\lambda ,\dots$ met les ondes en phase, et $\Delta =\lambda /2,3\lambda /2,\dots$ place crête sur creux. Seul compte $\Delta$ exprimé en longueurs d'onde : 3,2 longueurs d'onde agissent comme 0,2.

Une figure stable exige des sources cohérentes, dont le déphasage reste fixe, comme deux haut-parleurs alimentés par un même signal. Si les fréquences diffèrent un peu, le déphasage dérive, et le volume enfle et faiblit autant de fois par seconde que l'écart des fréquences :
$f_{\mathrm{batt}}=|f_1-f_2|$
Des cordes à 196 Hz et 198 Hz donnent deux battements par seconde ; la vue experte de l'animation les montre sur une troisième corde.

Les conditions du son fort et du son faible

Pour des sources en phase et des ondes d'amplitudes $A_1$ et $A_2$ au point considéré, les deux cas extrêmes sont

• $\Delta =m\lambda \to A=A_1+A_2\text{(constructive)}$
• $\Delta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \to A=|A_1-A_2|\text{(destructive)}$

Ici $m=0,1,2,\dots$, et $A$ est l'amplitude de l'oscillation résultante. Le silence complet exige des amplitudes égales.

Pour deux amplitudes égales $a$, toute différence de marche intermédiaire donne
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
qui décroît régulièrement de $2a$ en $\Delta =0$ jusqu'à zéro en $\Delta =\lambda /2$.

Ce que l'on entend ou voit, c'est l'intensité $I$, la puissance par mètre carré, qui croît comme le carré de l'amplitude. Deux sources égales qui donnent chacune $I_0$ seule produisent donc
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
Les zones brillantes reçoivent $4I_0$, les zones sombres rien, et la moyenne vaut $2I_0$, comme sans interférence : l'énergie est déplacée des endroits calmes vers les endroits forts, pas détruite.

Exemple résolu : les cordes de l'animation

Chaque onde en pointillés a une amplitude $a=1\mathrm{cm}$, une longueur d'onde $\lambda =10\mathrm{cm}$ (la règle au-dessus de la corde du haut) et une fréquence de 0,5 Hz : chaque point répète donc son mouvement toutes les 2 s, et les ondes se propagent à $v=f\lambda =5cm/s$.

Sur la corde du haut, l'onde dorée B se superpose exactement à l'onde bleue A, donc $\Delta =0$ et les amplitudes s'ajoutent :
$A=A_1+A_2=1+1=2\mathrm{cm}$
L'affichage en P oscille entre $-2,0$ et $+2,0\mathrm{cm}$, et la somme rouge est deux fois plus haute que chaque onde en pointillés, avec une intensité $2^2=4$ fois plus grande que celle d'une seule.

Sur la deuxième corde, l'onde B est décalée d'une demi-longueur d'onde, $\Delta =\lambda /2=5\mathrm{cm}$ : chaque crête de A rencontre donc un creux de B :
$A=|A_1-A_2|=|1-1|=0$
La somme rouge reste plate et l'affichage demeure à 0,0 cm.

Entre les deux, un décalage d'un quart de longueur d'onde, 2,5 cm, donnerait $A=2\cos (\pi /4)\approx 1,41\mathrm{cm}$ et exactement $2I_0$ ; un décalage de $\lambda /3$ donne $A=2\cos (\pi /3)=1\mathrm{cm}$, pas plus qu'une onde seule.

Exemple résolu : deux haut-parleurs

Deux petits haut-parleurs sont alimentés en phase par le même signal de 686 Hz. Avec une vitesse du son de 343 m/s, la longueur d'onde vaut $\lambda =v/f=343/686=0,50\mathrm{m}$. Vous vous tenez à 3,00 m d'un haut-parleur et à 3,75 m de l'autre, donc
$\Delta =3,75-3,00=0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$
C'est de la forme $(m+\frac{1}{2})\lambda$ avec $m=1$ : vous êtes dans une zone calme.

À quel point est-ce calme ? L'amplitude d'une petite source décroît comme $1/r$, donc celle du haut-parleur éloigné vaut $3,00/3,75=0,80$ de celle du plus proche. Il reste $1-0,80=0,20$, soit une intensité de $0,20^2=0,04$ de celle du haut-parleur proche seul, alors qu'une zone forte voisine reçoit $1,80^2=3,24$ : 81 fois plus, soit environ 19 dB.

Le résultat dépend aussi de la note : 0,75 m représente un nombre impair de demi-longueurs d'onde à 229, 686 et 1143 Hz, fréquences donc atténuées ici, mais un nombre entier de longueurs d'onde à 457 et 915 Hz, fréquences renforcées. La musique n'est donc jamais réduite au silence en un point.

Additionner des ondes à l'œil

Pour esquisser une superposition, additionnez les hauteurs algébriques des deux ondes en quelques points et reliez les résultats : là où une onde passe par zéro, la somme égale l'autre, et là où les deux sont égales et opposées, elle s'annule. Dans l'animation, les courbes pointillées bleue et dorée sont les ondes, la courbe rouge pleine leur somme, et la ligne pointillée qui passe par P marque l'endroit où les affichages mesurent $y$.

Deux ondes de même fréquence qui se propagent dans le même sens donnent une onde de cette fréquence et de cette vitesse : les crêtes rouges de la corde du haut suivent celles des ondes en pointillés à 5 cm/s. La deuxième corde, plate, où il ne reste ni onde ni énergie, se lit mieux comme ce qui arrive en un point par deux trajets ; avec des sources séparées, l'annulation en un endroit va toujours de pair avec un renforcement ailleurs.

Erreurs fréquentes

• Additionner des intensités au lieu des amplitudes : deux ondes égales en phase donnent $2^2=4$ fois l'intensité d'une seule, et non 2 ; seule la moyenne sur la figure vaut le double d'une source.
• Croire que l'interférence destructive détruit de l'énergie : les 0,04 de la zone calme s'accompagnent de zones fortes à 3,24, dont la moyenne, 1,64, vaut exactement $1+0,80^2$, la somme des intensités séparées des deux haut-parleurs.
• S'attendre au silence dès que les ondes ne sont plus en phase : il faut des amplitudes égales, et des ondes de 4 cm et de 1 cm laissent encore 3 cm.
• Penser que la distance elle-même décide : seule la différence compte, donc 3,00 m et 3,75 m, ou 10,00 m et 10,75 m, donnent tous deux des zones calmes à 686 Hz.
• S'attendre à une figure avec deux sources quelconques : deux lampes, ou deux violonistes qui jouent la même note, ont des phases qui dérivent, et il ne reste que l'intensité totale, $2I_0$.

Où on le rencontre

Les casques à réduction de bruit émettent une copie inversée du bruit ambiant et agissent surtout sur les bourdonnements graves et réguliers, comme ceux d'une cabine d'avion. Les bulles de savon doivent leurs couleurs à la lumière réfléchie par les deux faces d'un film mince, et le traitement antireflet d'un objectif d'appareil photo mesure environ 100 nm d'épaisseur, de sorte que deux réflexions de lumière verte s'annulent.

Le Wi-Fi à 2,4 GHz (longueur d'onde 12,5 cm) atteint un ordinateur portable par plusieurs trajets : le déplacer de quelques centimètres peut transformer une zone faible en zone forte. Les détecteurs d'ondes gravitationnelles, eux, utilisent l'interférence pour percevoir des variations de longueur bien plus petites qu'un proton. La leçon Ondes stationnaires additionne des ondes qui se propagent en sens opposés, et Diffraction et fentes de Young applique ces conditions à la lumière.

Avancé

Pourquoi les ondes s'additionnent simplement

Toute cette leçon repose sur un seul fait : là où deux ondes se superposent, leurs déplacements s'ajoutent. Cette section explique pourquoi il en est ainsi, et les suivantes en tirent les conséquences.

La superposition n'est pas une loi supplémentaire de la nature. C'est une propriété de l'équation que suit l'onde. Prenez une corde tendue et notez $y(x,t)$ le petit déplacement transversal, à l'instant $t$, du morceau de corde situé à l'abscisse $x$. La deuxième loi de Newton appliquée à chaque petit morceau donne, pour de petits déplacements, l'équation d'onde, où $v$ est la vitesse des ondes sur la corde :
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Cette équation est linéaire : chaque terme contient $y$ une seule fois et seulement à la puissance un, sans $y^2$ et sans produit de $y$ par ses propres dérivées. Supposons que $y_1$ et $y_2$ soient toutes deux des solutions, et essayons $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ avec des constantes $c_1$ et $c_2$ quelconques. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et les constantes sortent en facteur, donc chaque membre de l'équation se scinde en une partie en $y_1$ et une partie en $y_2$. Chaque partie s'équilibre séparément, la combinaison est donc elle aussi une solution. C'est le principe de superposition : deux ondes se traversent, et en chaque point le déplacement est simplement $y_1+y_2$.

La solution générale de l'équation d'onde, $y=F(x-vt)+G(x+vt)$, le montre à l'œuvre : $F$ est une impulsion de forme quelconque qui se déplace vers la droite, $G$ une impulsion qui va vers la gauche, et les deux se croisent en gardant leur forme. Les petites variations de pression dans l'air, la lumière dans le vide, dont les équations des champs sont exactement linéaires, et la fonction d'onde de la mécanique quantique obéissent toutes à des équations linéaires de ce genre ; tout ce qui suit s'applique donc aussi à elles.

Additionner deux oscillations avec des phaseurs

En un point donné, chaque onde fait osciller le milieu. Pour trouver le mouvement combiné, il faut additionner deux oscillations de même fréquence, mais d'amplitudes et de phases différentes. Additionner directement des cosinus est laborieux ; dessiner chaque oscillation comme une flèche qui tourne ramène la somme à de la géométrie simple.

Légende

$A_1$	Amplitude de la première oscillation : la longueur de la flèche bleue.	$\mathrm{m}$
$A_2$	Amplitude de la seconde oscillation : la longueur de la flèche dorée.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude de la somme : la flèche rouge, qui ferme le triangle.	$\mathrm{m}$
$\omega t+{\phi }_1$	Phase de la première oscillation : l'angle de la flèche bleue avec l'axe, qui croît au rythme $\omega$.	$\mathrm{rad}$
$\phi$	Déphasage ${\phi }_1-{\phi }_2$ : l'angle entre les deux flèches, fixe tant que les deux tournent.	$\mathrm{rad}$
$y_1$	Déplacement dû à la première oscillation : la projection de la flèche bleue sur l'axe.	$\mathrm{m}$
$y_2$	Déplacement dû à la seconde oscillation : la projection de la flèche dorée sur l'axe.	$\mathrm{m}$
$y$	Déplacement de la somme, $y_1+y_2$ : la projection de la flèche rouge.	$\mathrm{m}$

Les deux oscillations sont $y_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$ et $y_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$, de même pulsation $\omega$. La figure 1 représente chacune d'elles par une flèche, appelée phaseur. La longueur de la flèche est l'amplitude : $A_1$ pour la flèche bleue, $A_2$ pour la dorée. Son angle avec l'axe horizontal est la phase : $\omega t+{\phi }_1$ pour la flèche bleue, marqué à son origine, et $\omega t+{\phi }_2$ pour la dorée. L'oscillation elle-même est la projection de la flèche sur l'axe, son ombre : une flèche de longueur $A_1$ à l'angle $\omega t+{\phi }_1$ a pour projection $A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$, c'est-à-dire exactement $y_1$. Avec le temps, la flèche tourne dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire $\omega$, et son ombre va et vient.

Regardez maintenant trois choses sur la figure. D'abord, la flèche dorée part de la pointe de la bleue, bout à bout, et la flèche rouge $A$ va de l'origine de la flèche bleue à la pointe de la dorée : $A$ est la somme vectorielle des deux. Ensuite, les deux flèches tournent à la même vitesse $\omega$, donc l'angle qui les sépare, $\phi ={\phi }_1-{\phi }_2$, marqué entre la flèche dorée et le prolongement en pointillés de la bleue, ne change jamais. Le triangle ombré garde donc sa forme et tourne d'un bloc, et $A$ tourne lui aussi à la vitesse $\omega$. Enfin, le long de l'axe, les ombres $y_1$ et $y_2$ se suivent et couvrent ensemble $y$, l'ombre de $A$, car la projection d'une somme de vecteurs est la somme des projections. Ainsi $y=y_1+y_2$ est elle-même une oscillation de pulsation $\omega$, et son amplitude est la longueur $A$.

La longueur $A$ découle du triangle. L'angle intérieur du triangle, là où les deux flèches se rejoignent, vaut $\pi -\phi$, car $\phi$ est mesuré à partir du prolongement de la flèche bleue. La loi des cosinus, avec $\cos (\pi -\phi )=-\cos \phi$, donne
$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \phi$
L'amplitude est maximale, $A_1+A_2$, pour $\phi =0$, quand les flèches pointent dans le même sens, et minimale, $|A_1-A_2|$, pour $\phi =\pi$, quand elles pointent en sens opposés.

En nombres complexes, la même somme s'écrit ainsi. Chaque oscillation est la partie réelle de $A_j{e}^{i(\omega t+{\phi }_j)}$, le facteur commun $e^{i\omega t}$ sort, et $A^2=|A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}{|}^2$ ; l'argument de cette somme complexe est la phase de la résultante. En développant le carré du module, on retrouve la loi des cosinus.

D'où vient $\phi$ ? Prenons deux sources de même pulsation $\omega$, de phases propres ${\alpha }_1$ et ${\alpha }_2$, et un point situé à des distances $r_1$ et $r_2$ de ces sources. Une onde qui se propage à la vitesse $v$ met le temps $r_j/v$ pour arriver ; ce qui atteint le point à l'instant $t$ a donc quitté la source $j$ à l'instant $t-r_j/v$. Sa phase est ainsi $\omega (t-r_j/v)+{\alpha }_j=\omega t+{\alpha }_j-k{r}_j$, où $k=\omega /v=2\pi /\lambda$ est le nombre d'onde et $\lambda$ la longueur d'onde. Donc ${\phi }_j={\alpha }_j-k{r}_j$, et dans la différence le terme commun $\omega t$ disparaît :
$\phi ={\phi }_1-{\phi }_2=\frac{2\pi \Delta }{\lambda }+({\alpha }_1-{\alpha }_2),\Delta =r_2-r_1$
Ici $\Delta$ est la différence de marche, la distance supplémentaire parcourue par l'onde issue de la seconde source. Chaque longueur d'onde de trajet supplémentaire ajoute $2\pi$ au déphasage.

Pour deux amplitudes égales $a$ issues de sources en phase (${\alpha }_1={\alpha }_2$), la loi des cosinus devient $A^2=2a^2(1+\cos \phi )$. L'identité $1+\cos \phi =2{\cos }^2(\phi /2)$ la transforme en $A^2=4a^2{\cos }^2(\phi /2)$, et comme $\phi /2=\pi \Delta /\lambda$,
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
On lit des cas particuliers directement sur le triangle. Pour $\Delta =\lambda /3$, le déphasage est $2\pi /3$, soit 120°, donc l'angle intérieur du triangle est de 60° ; deux côtés égaux autour d'un angle de 60° forment un triangle équilatéral, et $A=a$. Pour $\Delta =\lambda /4$, les flèches sont perpendiculaires, $A$ est l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle, et $A=\sqrt{2}a$.

Intensité et destination de l'énergie

L'oreille ou l'œil n'enregistre pas l'amplitude, mais l'intensité $I$, la puissance qui traverse chaque mètre carré, proportionnelle au carré de l'amplitude. Cette section transforme la loi des amplitudes en loi des intensités et vérifie que l'interférence ne fait que déplacer l'énergie.

Multipliez la loi des cosinus par la constante qui transforme $A^2$ en intensité. Les termes $A_1^2$ et $A_2^2$ deviennent $I_1$ et $I_2$, les intensités que chaque source donne seule, et $A_1{A}_2$ devient $\sqrt{I_1{I}_2}$ :
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$
Pour deux sources égales en phase qui donnent chacune $I_0$ seule, $\phi =2\pi \Delta /\lambda$ et
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
Le dernier terme de la loi générale, $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$, s'appelle le terme croisé, et il constitue toute l'interférence : sans lui, les intensités s'ajouteraient simplement. Sur un écran ou dans une salle, $\phi$ parcourt de nombreux cycles entiers, et la moyenne de $\cos \phi$ sur un cycle entier est nulle. Il reste en moyenne $I_1+I_2=2I_0$ : les franges brillantes, à $4I_0$, gagnent exactement ce que perdent les sombres.

Ce bilan suppose que les sources sont distantes de nombreuses longueurs d'onde. Rapprochées, elles sont couplées : chaque source pousse sur un milieu que l'onde de l'autre met aussi en mouvement. Si cette onde arrive en phase avec la poussée, la source travaille contre une pression, ou un champ, plus élevé et rayonne davantage ; si elle arrive en opposition de phase, la source rayonne moins. Deux petites sources distantes de $d$, excitées avec la même amplitude et avec un déphasage $\alpha$, rayonnent au total
$P=2P_0\left(1+\cos \alpha \frac{\sin kd}{kd}\right)$
où $P_0$ est la puissance qu'une source rayonne seule. Deux vérifications : quand $kd$ est grand, $\sin kd/(kd)$ est petit et $P\approx 2P_0$, la somme des puissances séparées ; quand $d\to 0$, le facteur tend vers 1, donc deux sources en phase agissent comme une source d'amplitude double, $P=4P_0$, tandis que deux sources en opposition de phase s'annulent.

Par exemple, deux haut-parleurs distants de 1,5 m qui jouent un son de 50 Hz (longueur d'onde de 6,86 m dans l'air, donc $kd=1,37$) rayonnent $3,43P_0$ en phase, mais seulement $0,57P_0$ si l'un est branché à l'envers, ce qui inverse sa phase. C'est un facteur 6, presque 8 dB de graves perdus. L'énergie reste conservée : l'air charge chaque haut-parleur différemment, et l'amplificateur fournit simplement une autre puissance.

Différence de marche lointaine et pointage du faisceau

Les antennes, les haut-parleurs et les fentes sont en général observés de loin, à une distance égale à plusieurs fois leur écartement. La différence de marche ne dépend alors que de la direction, et la figure d'interférence devient une figure de directions. La figure 2 détermine cette différence de marche.

Légende

$S_1$	Première source.
$S_2$	Seconde source.
$d$	Distance entre les deux sources.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Direction du point éloigné, mesurée depuis la médiatrice de $S_1{S}_2$.	$\mathrm{rad}$
$\Delta$	Différence de marche : de combien l'onde issue de $S_2$ parcourt plus que l'onde issue de $S_1$.	$\mathrm{m}$

Sur la figure 2, les sources $S_1$ et $S_2$ sont distantes de $d$, et nous regardons vers un point éloigné dans la direction qui fait l'angle $\theta$ avec leur médiatrice, la droite horizontale en pointillés. Le point étant très loin, les deux rayons qui y mènent, bleu depuis $S_1$ et doré depuis $S_2$, sont pratiquement parallèles. La droite en pointillés menée de $S_1$ vers le rayon doré le rencontre à angle droit. Au-delà de cette droite, les deux trajets ont la même longueur ; la seule longueur supplémentaire du trajet depuis $S_2$ est donc le segment violet entre $S_2$ et le pied de la droite en pointillés. Ce segment est $\Delta$.

Le segment violet est un côté d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est $S_1{S}_2$, de longueur $d$. L'angle de ce triangle en $S_1$ est égal à $\theta$ : la droite $S_1{S}_2$ est perpendiculaire à la médiatrice, la droite en pointillés est perpendiculaire aux rayons, et faire tourner deux droites du même angle droit laisse inchangé l'angle qu'elles forment. Le côté violet est opposé à cet angle, donc
$\Delta =d\sin \theta$
Pour des sources en phase, les ondes arrivent donc en phase et forment un faisceau intense dans toutes les directions où $d\sin \theta$ est un nombre entier de longueurs d'onde.

On peut aussi fixer volontairement les phases des sources. Supposons que $S_1$ soit en retard sur $S_2$ de la phase $\alpha$, c'est-à-dire ${\alpha }_1-{\alpha }_2=-\alpha$. Alors $\phi =2\pi d\sin \theta /\lambda -\alpha$, et la direction la plus intense, où $\phi =0$, se déplace vers
$\sin \theta =\frac{\alpha \lambda }{2\pi d}$
Le faisceau pivote du côté de la source retardée, $S_1$ : son trajet plus court compense exactement son départ tardif. Un radar à 10 GHz ($\lambda =3,0\mathrm{cm}$) dont les éléments, distants de 1,5 cm, sont chacun en retard d'un quart de cycle (90°) sur leur voisin, vise la direction où $\sin \theta =0,5$, soit 30°. Modifier les phases par voie électronique oriente le faisceau sans aucune pièce mobile : c'est ainsi que fonctionnent les antennes à réseau phasé.

Battements : l'interférence dans le temps

Jusqu'ici, les deux ondes avaient la même fréquence, si bien que le déphasage en un point restait fixe. Si les fréquences diffèrent légèrement, le déphasage croît régulièrement avec le temps, et le niveau sonore combiné en un endroit monte et descend. Ces variations sont les battements, que les musiciens utilisent pour accorder leurs instruments.

Légende

$a$	Amplitude de chaque oscillation : la longueur de la flèche bleue et de la flèche dorée.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude de la somme : la longueur de la flèche rouge, tracée en courbe rouge.	$\mathrm{m}$
$2a$	Plus grande valeur de $A$, atteinte quand les deux flèches pointent dans le même sens.	$\mathrm{m}$
$\Delta \omega t$	Angle dont la flèche dorée a pris du retard sur la bleue ; il croît proportionnellement au temps $t$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Un demi-tour : les flèches sont opposées et $A=0$.	$\mathrm{rad}$
$2\pi$	Un tour complet : les flèches sont de nouveau alignées, et un battement est terminé.	$\mathrm{rad}$

La figure 3 montre les battements avec les mêmes flèches. Les deux oscillations ont l'amplitude $a$, et leurs pulsations ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$ diffèrent d'une petite quantité $\Delta \omega ={\omega }_1-{\omega }_2$. Regardez les flèches depuis la flèche bleue, comme si vous tourniez avec elle à la pulsation ${\omega }_1$, de sorte qu'elle reste immobile le long de l'axe. La flèche dorée, qui tourne à la pulsation plus lente ${\omega }_2$, prend du retard régulièrement : au bout d'un temps $t$, elle a reculé de l'angle $\Delta \omega t$. Son origine reste à la pointe de la flèche bleue, donc sa propre pointe parcourt le cercle en pointillés de rayon $a$ centré en ce point. La somme rouge $A$ s'allonge et se raccourcit donc : elle vaut $2a$ quand les deux flèches sont alignées et $0$ quand elles pointent en sens opposés, pour $\Delta \omega t=\pi$.

Les deux flèches égales et leur somme forment un triangle isocèle, qui donne la longueur de la somme à chaque instant, $A=2a|\cos (\Delta \omega t/2)|$. Le graphique de droite la trace en fonction de $\Delta \omega t$, et son point marque l'instant dessiné à gauche. La courbe se répète tous les $2\pi$ de $\Delta \omega t$, c'est-à-dire toutes les $2\pi /\Delta \omega$ en temps. C'est un battement : le temps dont la flèche la plus rapide a besoin pour gagner un tour complet sur la plus lente.

L'algèbre donne le même résultat. En un point fixe, prenons $y=a\sin {\omega }_{1}t+a\sin {\omega }_{2}t$. L'identité $\sin p+\sin q=2\cos \frac{p-q}{2}\sin \frac{p+q}{2}$ transforme cela en
$y=2a\cos \left(\frac{\Delta \omega t}{2}\right)\sin (\bar{\omega }t)$
où $\bar{\omega }=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$ est la pulsation moyenne. Le second facteur est une oscillation rapide à la pulsation moyenne ; le premier est une enveloppe lente qui en fixe l'amplitude.

La troisième corde de l'animation, montrée à ce niveau, additionne deux ondes d'amplitude $a=1\mathrm{cm}$ de fréquences $f_1=1,5\mathrm{Hz}$ et $f_2=1,25\mathrm{Hz}$ (en hertz, $f=\omega /(2\pi )$). L'oscillation rapide est à leur moyenne, 1,375 Hz, et le cosinus de l'enveloppe à la moitié de leur différence, 0,125 Hz : une période du cosinus par boucle de 8 s. Le volume sonore suit la taille de l'enveloppe, et non son signe, et cette taille culmine deux fois par période du cosinus, une fois quand le cosinus vaut $+1$ et une fois quand il vaut $-1$. Les battements se produisent donc à la différence complète des fréquences,
$f_{\mathrm{batt}}=|f_1-f_2|$
soit ici 0,25 Hz, un battement toutes les 4 s. Sur le graphique de $y(t)$ au point P, la courbe violette enfle jusqu'à presque 2 cm vers $t=0,4\mathrm{s}$ et $4,4\mathrm{s}$ et se pince jusqu'à zéro vers 2,4 s et 6,4 s, toujours à l'intérieur de l'enveloppe en pointillés $\pm 2a$.

Chaque battement contient $1,375\cdot 4=5,5$ oscillations rapides, car en 4 s l'onde 1 fait 6 cycles et l'onde 2 en fait 5. Le demi-cycle en trop fait que le mouvement rapide repart à l'envers après chaque pincement, ce qui explique que le cosinus de l'enveloppe ait besoin de deux battements pour se répéter. Sur la figure 3, c'est la flèche la plus rapide qui dépasse la plus lente une fois par battement. Avec des amplitudes inégales $A_1$ et $A_2$, la loi des cosinus avec $\phi =\Delta \omega t$ donne l'intensité
$I\propto A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \omega t)$
qui oscille entre $(A_1+A_2{)}^2$ et $(A_1-A_2{)}^2$. Les battements sont toujours là, mais le son ne s'éteint jamais.

Modulation : les battements lus à l'envers

Les battements montrent que deux fréquences voisines additionnées ressemblent à une seule fréquence dont l'amplitude varie lentement. Lue dans l'autre sens, cette idée dit qu'une onde dont on fait varier l'amplitude contient des fréquences supplémentaires. C'est ainsi que la radio AM transporte le son.

Soit une porteuse de pulsation ${\omega }_c$ dont l'amplitude suit un son de pulsation ${\omega }_m$, avec la profondeur de modulation $b$ : le signal est $(1+b\cos {\omega }_{m}t)\cos {\omega }_{c}t$. La formule du produit $\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$ le décompose en la porteuse elle-même plus deux bandes latérales d'amplitude $b/2$, aux pulsations ${\omega }_c+{\omega }_m$ et ${\omega }_c-{\omega }_m$. Une station AM à 1,2 MHz qui transmet des sons jusqu'à 4,5 kHz occupe donc la bande de 1195,5 à 1204,5 kHz, large de 9 kHz, ce qui explique que les canaux AM soient espacés de 9 kHz en Europe.

Nombreuses sources : un polygone de flèches

Les réseaux de diffraction et les réseaux d'antennes combinent de nombreuses sources, et non deux. L'image des phaseurs s'applique à un nombre quelconque d'entre elles : les flèches sont simplement posées bout à bout en une chaîne plus longue.

Légende

$N$	Nombre de sources égales, ici 5.
$a$	Amplitude d'une source : la longueur de chaque flèche bleue.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude de la somme : la flèche rouge, du début de la chaîne à sa fin.	$\mathrm{m}$
$\phi$	Pas de phase entre sources voisines : l'angle dont chaque flèche est tournée par rapport à la précédente.	$\mathrm{rad}$
$N\phi$	Angle sous-tendu par la chaîne entière, de la première flèche à la dernière, au centre du cercle en pointillés.	$\mathrm{rad}$

La figure 4 prend $N$ sources égales alignées, chacune en avance de la phase $\phi$ sur la précédente ; à gauche, $N=5$. Les $N$ flèches ont toutes la même longueur $a$, et chacune est tournée du même angle $\phi$ par rapport à la précédente. Une chaîne de côtés égaux, avec la même rotation à chaque sommet, fait partie d'un polygone régulier, donc ses sommets sont sur un même cercle, celui en pointillés ; soit $R$ son rayon. Vu du centre, chaque côté sous-tend l'angle $\phi$, et la chaîne entière, de l'origine de la première flèche à la pointe de la dernière, sous-tend $N\phi$. La somme $A$, la flèche rouge, ferme la chaîne.

Une corde qui sous-tend l'angle $\beta$ au centre d'un cercle de rayon $R$ a pour longueur $2R\sin (\beta /2)$ : la droite menée du centre à son milieu coupe le triangle isocèle en deux triangles rectangles. Un côté vaut donc $a=2R\sin (\phi /2)$, et la corde de fermeture $A=2R|\sin (N\phi /2)|$. Diviser la seconde par la première élimine le rayon inconnu $R$ :
$A=a\left|\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right|$
Pour $N=2$, l'identité $\sin \phi =2\sin (\phi /2)\cos (\phi /2)$ redonne $A=2a|\cos (\phi /2)|$.

Deux cas ressortent. Quand $\phi$ est un multiple de $2\pi$, toutes les flèches pointent dans le même sens, donc $A=Na$ et l'intensité est $I=N^2{I}_0$, où $I_0$ est l'intensité d'une source seule. Quand $\phi$ croît à partir de zéro, la chaîne s'enroule, et le premier zéro arrive pour $\phi =2\pi /N$ : les $N$ rotations successives de $\phi$ font alors un tour complet et le polygone se referme sur lui-même, comme à droite de la figure 4. Avec dix sources, les pics sont 100 fois plus intenses que pour une source seule, et leurs premiers zéros se situent à $\phi =2\pi /10$ au lieu de $\pi$ pour deux sources, de sorte que les pics sont cinq fois plus étroits. L'intensité moyenne reste $10I_0$, car les termes croisés ont une moyenne nulle : l'énergie est rassemblée en pics étroits et brillants. C'est le principe des réseaux de diffraction et des réseaux de radiotélescopes.

Ondes stationnaires et paquets d'ondes

La superposition explique aussi deux motifs que l'on retrouve dans des leçons ultérieures : les ondes qui restent en place, et les ondes confinées dans un paquet court.

Deux ondes égales qui se propagent en sens opposés s'additionnent, par l'identité utilisée pour les battements, en
$a\sin (kx-\omega t)+a\sin (kx+\omega t)=2a\sin kx\cos \omega t$
Chaque point oscille en phase avec tous les autres, avec une amplitude $2a|\sin kx|$ fixée par sa position. Là où $\sin kx=0$, tous les $\lambda /2$, se trouvent des nœuds qui ne bougent jamais : c'est une onde stationnaire.

Additionner de nombreuses fréquences voisines, réparties sur une bande de largeur $\Delta f$, produit un paquet d'ondes unique. Les composantes sont en phase à un instant donné, puis se décalent en un temps d'environ $1/\Delta f$ ; plus le paquet est court, plus la bande dont il a besoin est large : à peu près $\Delta f\Delta t\approx 1$. L'enveloppe du paquet se déplace à la vitesse de groupe $d\omega /dk$ ; pour deux ondes, c'est la vitesse $\Delta \omega /\Delta k$ de la figure de battements. Sur la corde de l'animation, toutes les fréquences se propagent à la même vitesse de 5 cm/s, donc $\omega =vk$ et la vitesse de groupe est égale à la vitesse des ondes : l'enveloppe des battements, qui se répète tous les $v/\Delta f=20\mathrm{cm}$ le long de la corde, suit le rythme des ondes. En eau profonde, où les ondes longues vont plus vite que les courtes, il n'en irait pas ainsi : l'enveloppe s'y déplace à la moitié seulement de la vitesse des crêtes.

Problème résolu : un haut-parleur désaccordé

Ce problème réunit la loi des amplitudes, le contraste d'une figure d'interférence et les battements.

Reprenez les deux haut-parleurs du niveau intermédiaire, en phase à 686 Hz, de sorte que $\lambda =0,50\mathrm{m}$ dans l'air à 343 m/s. Un auditeur se trouve à 3,00 m de l'un et à 3,75 m de l'autre. L'amplitude de chaque haut-parleur décroît en $1/r$, donc, chez l'auditeur, le plus éloigné est plus faible dans le rapport $3,00/3,75=0,80$. Trouvez le contraste de la figure, puis laissez le haut-parleur éloigné dériver jusqu'à 686,25 Hz.

Avant la dérive, la différence de marche est $\Delta =0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$, donc $\phi =2\pi \cdot 1,5=3\pi$ et $\cos \phi =-1$ : l'auditeur se trouve à un endroit calme. Mesurons les intensités avec pour unité celle du haut-parleur proche seul, de sorte que $A_1=1$ et $A_2=0,8$. Les valeurs la plus faible et la plus forte que peut prendre la figure, pour $\cos \phi =-1$ et $\cos \phi =+1$, sont
$I_{\min }=(1-0,8{)}^2=0,04,I_{\max }=(1+0,8{)}^2=3,24$
La visibilité, ou contraste, de la figure compare les deux. Comme $I_{\max }-I_{\min }=4A_1{A}_2$ et $I_{\max }+I_{\min }=2(A_1^2+A_2^2)$,
$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{2A_1{A}_2}{A_1^2+A_2^2}=\frac{1,6}{1,64}=0,98$
Un désaccord de 20 % sur les amplitudes laisse encore un creux de $10{\log }_{10}(3,24/0,04)\approx 19\mathrm{dB}$ sous la valeur la plus forte : l'interférence est indulgente.

Désaccordons maintenant le haut-parleur éloigné de 0,25 Hz. Sa phase gagne un cycle entier sur l'autre toutes les 4 s, donc $\phi$ parcourt toutes les valeurs, et l'auditeur entend des battements à 0,25 Hz, le rythme de la troisième corde de l'animation : 0,04 à $t=0$, 3,24 deux secondes plus tard, de nouveau 0,04 à 4 s.

La même dérive déplace la figure dans l'espace. Sur la droite qui joint les haut-parleurs, un pas $\delta$ vers l'un raccourcit un trajet de $\delta$ et allonge l'autre de $\delta$, donc il change $\Delta$ de $2\delta$ ; les zones calmes, séparées d'une longueur d'onde de $\Delta$, sont donc distantes de $\lambda /2=0,25\mathrm{m}$. Quand la phase dérive, toute la figure glisse d'un intervalle par battement, soit 0,25 m en 4 s ou environ 6 cm/s, vers le haut-parleur de plus basse fréquence. Battements dans le temps et franges dans l'espace sont un seul phénomène : une figure qui défile devant une oreille immobile.

Moyenné sur un battement, le terme croisé s'annule et laisse $1+0,8^2=1,64$, la somme des deux intensités séparées. Si le désaccord variait au hasard de quelques hertz, chaque siège recevrait en moyenne ce même 1,64 : des sources indépendantes additionnent les intensités, et non les amplitudes.

Limites de validité

La superposition n'est exacte que tant que le milieu répond de façon linéaire, c'est-à-dire tant que doubler la perturbation double la réponse. Les ondes fortes enfreignent cette règle, et la cohérence impose une seconde limite.

Une onde sonore ne peut pas avoir une amplitude de pression supérieure à la pression atmosphérique, car la pression dans une raréfaction ne peut pas descendre sous zéro ; pour un son pur, cette limite est d'environ 191 dB. Bien avant de l'atteindre, les compressions d'une onde forte se propagent plus vite que ses raréfactions, et l'onde se raidit en une onde de choc. Une corde trop écartée s'allonge, si bien que sa tension et sa hauteur augmentent, et une vague déferle quand sa hauteur atteint environ un septième de sa longueur d'onde.

La lumière dans le vide obéit à des équations linéaires : la diffusion de la lumière par la lumière que prédit la théorie quantique n'a été observée que dans des collisionneurs de particules. Dans certains cristaux, en revanche, une lumière intense entraîne les électrons au-delà de leur réponse linéaire et crée de nouvelles fréquences : un pointeur laser vert transforme la lumière infrarouge de 1064 nm en lumière verte de 532 nm, de fréquence double.

Des franges stables exigent aussi la cohérence : les deux ondes doivent garder un déphasage fixe. Un vrai train d'ondes dont les fréquences s'étalent sur $\Delta f$ ne garde une phase stable que sur sa longueur de cohérence, $L_c\approx c/\Delta f$, où $c$ est la vitesse de la lumière. Pour la lumière du Soleil, qui couvre toute la bande visible, elle est d'environ 1 µm, ce qui explique que les films de savon ne montrent des couleurs que tant qu'ils ne dépassent pas un micromètre d'épaisseur environ. Pour un laser dont $\Delta f\approx 1\mathrm{MHz}$, elle est d'environ 300 m. Les détecteurs moyennent eux aussi : l'œil et les photodiodes n'enregistrent que l'intensité moyenne, et l'oreille ne suit les battements que jusqu'à une quinzaine par seconde.

Où cela mène

Deux ondes égales qui se propagent en sens opposés donnent les nœuds fixes de la leçon Ondes stationnaires. De nombreuses sources cohérentes le long d'une fente ou d'un réseau font les franges de la leçon Diffraction et fentes de Young, où l'on retrouve $\Delta =d\sin \theta$. La lumière est un motif voyageur de champs électrique et magnétique, comme l'explique la leçon Ondes électromagnétiques, et deux composantes perpendiculaires égales, déphasées d'un quart de cycle, donnent les états circulaires de la leçon Polarisation de la lumière.

Les sources incohérentes additionnent les intensités, et c'est ainsi que les décibels se combinent dans la leçon Volume sonore, intensité et décibels ; deux sources cohérentes en phase ajoutent 6 dB en un point brillant au lieu de 3 dB, car l'intensité y est quatre fois, et non deux fois, celle d'une seule source. Les électrons et les photons isolés construisent les franges point par point : les amplitudes s'ajoutent, et les probabilités sont leurs carrés. Cette idée, au cœur des leçons Dualité onde-corpuscule et Équation de Schrödinger et effet tunnel, est la superposition dans son sens le plus profond.