Interferência e superposição

Iniciante

Quando duas ondas se encontram, elas não quicam uma na outra como bolas. Elas simplesmente se somam: em cada ponto, a altura é o que a primeira onda produziria mais o que a segunda produziria. Depois, cada uma segue seu caminho inalterada, assim como duas conversas atravessam uma sala sem atrapalhar uma à outra. Essa soma se chama superposição.

A animação mostra duas ondas (tracejadas) na mesma corda e a soma delas (contínua). Na corda de cima, as ondas estão em fase: crista encontra crista e vale encontra vale, então a corda oscila duas vezes mais alto. Esta é a interferência construtiva.

Na corda de baixo, uma onda está deslocada meio comprimento de onda, então cada crista encontra um vale. Uma onda empurra para cima exatamente o quanto a outra puxa para baixo, e a corda quase não se mexe: interferência destrutiva. Os fones com cancelamento de ruído usam esse truque, tocando no seu ouvido uma cópia invertida do ruído.

Para onde vai a energia num ponto silencioso? Ela não é destruída. Com dois alto-falantes tocando a mesma nota contínua, você pode andar por uma sala e encontrar pontos silenciosos bem ao lado de pontos barulhentos: a energia apenas é redistribuída. O silêncio perfeito é raro, porque as paredes também refletem o som.

Quando duas notas são quase, mas não exatamente, iguais, as ondas entram e saem de fase lentamente, e o som cresce e diminui: vuá, vuá, vuá. Esses são os batimentos, e há tantos por segundo quanto a diferença entre as duas frequências. Um violonista afina duas cordas girando a tarraxa até os batimentos ficarem mais lentos e pararem.

Teste você mesmo: dois diapasões de 440 Hz e 443 Hz soam juntos. Quantos batimentos por segundo você ouve? (Três.)

Intermediário

As ondas se somam ponto a ponto

Onde duas ondas passam pelo mesmo lugar, cada ponto do meio se desloca pela soma dos deslocamentos que cada onda, sozinha, lhe daria:
$y=y_1+y_2$

Esse é o princípio da superposição. Os deslocamentos têm sinal, então uma crista de 1 cm encontrando um vale de 1 cm dá zero. Ele vale em um meio linear, isto é, aquele cuja força restauradora é proporcional ao deslocamento: cordas, ar e água com pequenas amplitudes, e a luz no vácuo.

Cada onda segue como se a outra não estivesse ali: dois pulsos que se movem um em direção ao outro ao longo de uma corda se somam enquanto se sobrepõem e, depois, seguem separados e inalterados. Observe o que se soma: deslocamentos, não intensidades.

Diferença de fase e diferença de caminho

Se duas ondas de mesma frequência se ajudam ou se anulam depende de sua diferença de fase $\phi$, ou seja, de quanto uma está adiantada em relação à outra no ciclo ($2\pi$ para um ciclo completo). Para fontes que vibram em fase, ela vem da diferença de caminho $\Delta =r_2-r_1$, a distância extra que uma onda percorre até o ponto; cada comprimento de onda de caminho extra é um ciclo de atraso:
$\phi =\frac{2\pi \Delta }{\lambda }$

Assim, $\Delta =0,\lambda ,2\lambda ,\dots$ colocam as ondas em fase, e $\Delta =\lambda /2,3\lambda /2,\dots$ colocam crista sobre vale. Só importa $\Delta$ em comprimentos de onda: 3,2 comprimentos de onda equivalem a 0,2.

Um padrão estável exige fontes coerentes, cuja diferença de fase permanece fixa, como dois alto-falantes alimentados pelo mesmo sinal. Se as frequências diferem um pouco, a diferença de fase se desloca, e o volume cresce e diminui tantas vezes por segundo quanto vale a diferença entre as frequências:
$f_{\mathrm{beat}}=|f_1-f_2|$
Cordas de 196 Hz e 198 Hz produzem dois batimentos por segundo; o nível avançado da animação mostra isso em uma terceira corda.

Condições para o máximo e o mínimo

Para fontes em fase e ondas de amplitudes $A_1$ e $A_2$ no ponto, os dois casos extremos são

• $\Delta =m\lambda \to A=A_1+A_2\text{(constructive)}$
• $\Delta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \to A=|A_1-A_2|\text{(destructive)}$

Aqui $m=0,1,2,\dots$, e $A$ é a amplitude da oscilação resultante. O silêncio total exige amplitudes iguais.

Para duas amplitudes iguais $a$, qualquer diferença de caminho intermediária produz
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
que cai suavemente de $2a$ em $\Delta =0$ até zero em $\Delta =\lambda /2$.

O que ouvimos ou vemos é a intensidade $I$, a potência que atravessa cada metro quadrado, que cresce com o quadrado da amplitude. Duas fontes iguais que, sozinhas, dão cada uma $I_0$ produzem, portanto,
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
Os lugares brilhantes recebem $4I_0$, os escuros nada, e a média é $2I_0$, como sem interferência: a energia é deslocada de lugares silenciosos para barulhentos, não destruída.

Exemplo resolvido: as cordas da animação

Cada onda tracejada tem amplitude $a=1\mathrm{cm}$, comprimento de onda $\lambda =10\mathrm{cm}$ (a régua acima da corda de cima) e frequência 0,5 Hz, então cada ponto repete seu movimento a cada 2 s e as ondas se movem com $v=f\lambda =5cm/s$.

Na corda de cima, a onda dourada B está exatamente sobre a onda azul A, logo $\Delta =0$ e as amplitudes se somam:
$A=A_1+A_2=1+1=2\mathrm{cm}$
A leitura em P oscila entre $-2,0$ e $+2,0\mathrm{cm}$, e a soma vermelha é duas vezes mais alta que qualquer onda tracejada, com $2^2=4$ vezes a intensidade de uma delas.

Na segunda corda, a onda B está deslocada meio comprimento de onda, $\Delta =\lambda /2=5\mathrm{cm}$, então cada crista de A encontra um vale de B:
$A=|A_1-A_2|=|1-1|=0$
A soma vermelha fica plana, e a leitura permanece em 0,0 cm.

No meio do caminho, um deslocamento de um quarto de comprimento de onda, 2,5 cm, daria $A=2\cos (\pi /4)\approx 1,41\mathrm{cm}$ e exatamente $2I_0$; um deslocamento de $\lambda /3$ dá $A=2\cos (\pi /3)=1\mathrm{cm}$, não mais que uma onda sozinha.

Exemplo resolvido: dois alto-falantes

Dois pequenos alto-falantes são acionados em fase pelo mesmo sinal de 686 Hz. Com a velocidade do som em 343 m/s, o comprimento de onda é $\lambda =v/f=343/686=0,50\mathrm{m}$. Você está a 3,00 m de um alto-falante e a 3,75 m do outro, então
$\Delta =3,75-3,00=0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$
Isso é $(m+\frac{1}{2})\lambda$ com $m=1$: você está em um ponto silencioso.

Quão silencioso? A amplitude de uma fonte pequena cai com $1/r$, então a amplitude do alto-falante mais distante é $3,00/3,75=0,80$ da amplitude do mais próximo. O que sobra é $1-0,80=0,20$, uma intensidade de $0,20^2=0,04$ da do alto-falante próximo sozinho, enquanto um ponto barulhento próximo recebe $1,80^2=3,24$: 81 vezes mais, cerca de 19 dB.

A nota também decide o lugar: 0,75 m é um número ímpar de meios comprimentos de onda em 229, 686 e 1143 Hz, que ali são silenciosos, mas um número inteiro de comprimentos de onda em 457 e 915 Hz, que ali são barulhentos. Portanto, a música nunca é silenciada em um único ponto.

Somar ondas a olho

Para esboçar uma superposição, some as alturas com sinal das duas ondas em alguns pontos e una os resultados: onde uma onda está em zero, a soma é igual à outra, e onde as duas são iguais e opostas, ela desaparece. Na animação, as curvas azul e dourada tracejadas são as ondas, a vermelha contínua é a soma, e a linha tracejada que passa por P marca onde as leituras medem $y$.

Duas ondas de mesma frequência que viajam no mesmo sentido se somam em uma onda dessa frequência e velocidade: as cristas vermelhas na corda de cima acompanham as tracejadas a 5 cm/s. A segunda corda, plana, sem onda e sem energia, é melhor lida como o que chega a um ponto por dois caminhos; com fontes separadas, a anulação em um lugar sempre vem acompanhada de reforço em outro.

Erros comuns

• Somar intensidades em vez de amplitudes: duas ondas iguais em fase dão $2^2=4$ vezes a intensidade de uma, não 2; só a média sobre o padrão é o dobro de uma fonte.
• Achar que a interferência destrutiva destrói energia: os 0,04 do ponto silencioso vêm com pontos barulhentos em 3,24, cuja média, 1,64, é exatamente $1+0,80^2$, a soma das intensidades separadas dos dois alto-falantes.
• Esperar silêncio sempre que as ondas estão fora de fase: isso exige amplitudes iguais; ondas de 4 cm e 1 cm ainda deixam 3 cm.
• Achar que só a distância decide: só a diferença conta, então 3,00 m e 3,75 m, ou 10,00 m e 10,75 m, dão ambos pontos silenciosos em 686 Hz.
• Esperar um padrão de quaisquer duas fontes: duas lâmpadas, ou dois violinistas tocando a mesma nota, têm fases errantes, então só a intensidade somada, $2I_0$, permanece.

Onde você encontra isso

Os fones com cancelamento de ruído tocam uma cópia invertida do ruído que chega e funcionam melhor com zumbidos graves e constantes, como o de uma cabine de avião. As bolhas de sabão ganham cores com a luz refletida pelas duas superfícies de uma película fina, e o revestimento antirreflexo de uma lente de câmera tem cerca de 100 nm de espessura para que duas reflexões da luz verde se anulem.

O Wi-Fi em 2,4 GHz (comprimento de onda de 12,5 cm) chega a um notebook por vários caminhos, então mover o aparelho alguns centímetros pode transformar um ponto fraco em forte, e detectores de ondas gravitacionais usam interferência para medir variações de comprimento muito menores que um próton. A lição Ondas estacionárias soma ondas que viajam em sentidos opostos, e Difração e fenda dupla aplica essas condições à luz.

Avançado

Por que as ondas simplesmente se somam

Tudo nesta lição se apoia em um fato: onde duas ondas se sobrepõem, seus deslocamentos se somam. Esta seção mostra por que isso acontece, e as seções seguintes tiram as consequências.

A superposição não é uma lei extra da natureza. É uma propriedade da equação que a onda obedece. Tome uma corda esticada e seja $y(x,t)$ o pequeno deslocamento lateral, no instante $t$, do trecho da corda na posição $x$. A segunda lei de Newton aplicada a cada pequeno trecho dá, para deslocamentos pequenos, a equação de onda, na qual $v$ é a velocidade das ondas na corda:
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Essa equação é linear: cada termo contém $y$ uma única vez e apenas na primeira potência, sem $y^2$ e sem produto de $y$ com suas próprias derivadas. Suponha que $y_1$ e $y_2$ sejam ambas soluções e teste $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ com constantes quaisquer $c_1$ e $c_2$. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e as constantes saem para fora, então cada lado da equação se divide em uma parte com $y_1$ e uma parte com $y_2$. Cada parte se equilibra por si só, logo a combinação também é solução. Esse é o princípio da superposição: duas ondas atravessam uma à outra, e em cada ponto o deslocamento é simplesmente $y_1+y_2$.

A solução geral da equação de onda, $y=F(x-vt)+G(x+vt)$, mostra isso em ação: $F$ é um pulso de forma qualquer que se move para a direita, $G$ um que se move para a esquerda, e os dois se cruzam com suas formas intactas. Pequenas variações de pressão no ar, a luz no vácuo, cujas equações de campo são exatamente lineares, e a função de onda da mecânica quântica obedecem todas a equações lineares desse tipo, então tudo o que vem a seguir também vale para elas.

Somando duas oscilações com fasores

Em qualquer ponto, cada onda faz o meio oscilar. Para encontrar o movimento combinado, precisamos somar duas oscilações de mesma frequência, mas com amplitudes e fases diferentes. Somar cossenos diretamente é trabalhoso; desenhar cada oscilação como uma seta girante transforma a soma em geometria simples.

Legenda

$A_1$	Amplitude da primeira oscilação: o comprimento da seta azul.	$\mathrm{m}$
$A_2$	Amplitude da segunda oscilação: o comprimento da seta dourada.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude da soma: a seta vermelha, que fecha o triângulo.	$\mathrm{m}$
$\omega t+{\phi }_1$	Fase da primeira oscilação: o ângulo da seta azul em relação ao eixo, crescendo à taxa $\omega$.	$\mathrm{rad}$
$\phi$	Diferença de fase ${\phi }_1-{\phi }_2$: o ângulo entre as duas setas, fixo enquanto ambas giram.	$\mathrm{rad}$
$y_1$	Deslocamento devido à primeira oscilação: a projeção da seta azul no eixo.	$\mathrm{m}$
$y_2$	Deslocamento devido à segunda oscilação: a projeção da seta dourada no eixo.	$\mathrm{m}$
$y$	Deslocamento da soma, $y_1+y_2$: a projeção da seta vermelha.	$\mathrm{m}$

As duas oscilações são $y_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$ e $y_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$, com a mesma frequência angular $\omega$. A Figura 1 desenha cada uma como uma seta, chamada fasor. O comprimento da seta é a amplitude: $A_1$ para a seta azul, $A_2$ para a dourada. Seu ângulo em relação ao eixo horizontal é a fase: $\omega t+{\phi }_1$ para a seta azul, marcado na base, e $\omega t+{\phi }_2$ para a dourada. A própria oscilação é a projeção da seta sobre o eixo, sua sombra: uma seta de comprimento $A_1$ no ângulo $\omega t+{\phi }_1$ tem projeção $A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$, que é exatamente $y_1$. Com o passar do tempo, a seta gira no sentido anti-horário à taxa $\omega$, e sua sombra vai e volta.

Agora observe três coisas na figura. Primeiro, a seta dourada começa na ponta da azul (a origem de uma sobre a ponta da outra) e a seta vermelha $A$ vai da base da seta azul até a ponta da dourada: $A$ é a soma vetorial das duas. Segundo, as duas setas giram à mesma taxa $\omega$, então o ângulo entre elas, $\phi ={\phi }_1-{\phi }_2$, marcado entre a seta dourada e o prolongamento tracejado da azul, nunca muda. O triângulo sombreado mantém portanto sua forma e gira como um bloco rígido, e $A$ também gira à taxa $\omega$. Terceiro, sobre o eixo, as sombras $y_1$ e $y_2$ ficam uma após a outra e juntas cobrem $y$, a sombra de $A$, porque a projeção de uma soma de vetores é a soma das projeções. Assim, $y=y_1+y_2$ é ela mesma uma oscilação com a mesma frequência angular $\omega$, e sua amplitude é o comprimento $A$.

O comprimento $A$ segue do triângulo. O ângulo interno do triângulo, onde as duas setas se encontram, é $\pi -\phi$, porque $\phi$ é medido a partir do prolongamento da seta azul. A lei dos cossenos, junto com $\cos (\pi -\phi )=-\cos \phi$, dá
$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \phi$
A amplitude é maior, $A_1+A_2$, quando $\phi =0$ e as setas apontam no mesmo sentido, e menor, $|A_1-A_2|$, quando $\phi =\pi$ e apontam em sentidos opostos.

Em números complexos, a mesma soma se lê assim. Cada oscilação é a parte real de $A_j{e}^{i(\omega t+{\phi }_j)}$, o fator comum $e^{i\omega t}$ sai para fora, e $A^2=|A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}{|}^2$; o argumento dessa soma complexa é a fase da resultante. Desenvolvendo o módulo ao quadrado, obtemos de novo a lei dos cossenos.

De onde vem $\phi$? Tome duas fontes com a mesma frequência angular $\omega$, com suas próprias fases ${\alpha }_1$ e ${\alpha }_2$, e um ponto a distâncias $r_1$ e $r_2$ delas. Uma onda que viaja com velocidade $v$ precisa do tempo $r_j/v$ para chegar, então o que chega ao ponto no instante $t$ saiu da fonte $j$ no instante $t-r_j/v$. Sua fase é portanto $\omega (t-r_j/v)+{\alpha }_j=\omega t+{\alpha }_j-k{r}_j$, onde $k=\omega /v=2\pi /\lambda$ é o número de onda e $\lambda$ o comprimento de onda. Logo ${\phi }_j={\alpha }_j-k{r}_j$, e na diferença o $\omega t$ comum desaparece:
$\phi ={\phi }_1-{\phi }_2=\frac{2\pi \Delta }{\lambda }+({\alpha }_1-{\alpha }_2),\Delta =r_2-r_1$
Aqui $\Delta$ é a diferença de caminho, a distância extra percorrida pela onda da segunda fonte. Cada comprimento de onda de caminho extra soma $2\pi$ à diferença de fase.

Para duas amplitudes iguais $a$ de fontes em fase (${\alpha }_1={\alpha }_2$), a lei dos cossenos fica $A^2=2a^2(1+\cos \phi )$. A identidade $1+\cos \phi =2{\cos }^2(\phi /2)$ transforma isso em $A^2=4a^2{\cos }^2(\phi /2)$, e como $\phi /2=\pi \Delta /\lambda$,
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
Casos especiais podem ser lidos diretamente no triângulo. Em $\Delta =\lambda /3$, a diferença de fase é $2\pi /3$, ou 120°, então o ângulo interno do triângulo é 60°; dois lados iguais em torno de um ângulo de 60° formam um triângulo equilátero, e $A=a$. Em $\Delta =\lambda /4$, as setas são perpendiculares, $A$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, e $A=\sqrt{2}a$.

Intensidade e para onde vai a energia

O ouvido ou o olho não registram a amplitude, mas a intensidade $I$, a potência que atravessa cada metro quadrado, que é proporcional ao quadrado da amplitude. Esta seção transforma a lei das amplitudes em uma lei de intensidades e verifica que a interferência apenas redistribui energia.

Multiplique a lei dos cossenos pela constante que transforma $A^2$ em intensidade. Os termos $A_1^2$ e $A_2^2$ tornam-se $I_1$ e $I_2$, as intensidades que cada fonte dá sozinha, e $A_1{A}_2$ torna-se $\sqrt{I_1{I}_2}$:
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$
Para duas fontes iguais em fase, que dão cada uma $I_0$ sozinha, $\phi =2\pi \Delta /\lambda$ e
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
O último termo da lei geral, $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$, chama-se termo cruzado, e ele é toda a interferência: sem ele, as intensidades simplesmente se somariam. Ao longo de uma tela ou de uma sala, $\phi$ percorre muitos ciclos completos, e a média de $\cos \phi$ em um ciclo completo é zero. O que resta em média é $I_1+I_2=2I_0$: as franjas claras, com $4I_0$, ganham exatamente o que as escuras perdem.

Essa contabilidade supõe que as fontes estejam muitos comprimentos de onda afastadas. Quando estão próximas, elas se acoplam: cada fonte empurra um meio que a onda da outra também está movendo. Se essa onda chega em fase com o empurrão, a fonte trabalha contra uma pressão, ou campo, maior e irradia mais; se chega fora de fase, a fonte irradia menos. Duas pequenas fontes a uma distância $d$ uma da outra, acionadas com a mesma intensidade e diferença de fase $\alpha$, irradiam no total
$P=2P_0\left(1+\cos \alpha \frac{\sin kd}{kd}\right)$
onde $P_0$ é a potência que uma fonte irradia sozinha. Duas verificações: quando $kd$ é grande, $\sin kd/(kd)$ é pequeno e $P\approx 2P_0$, a soma das potências separadas; quando $d\to 0$, o fator tende a 1, então duas fontes em fase agem como uma fonte de intensidade dupla, $P=4P_0$, enquanto duas em fase oposta se cancelam.

Por exemplo, dois alto-falantes a 1,5 m um do outro tocando 50 Hz (comprimento de onda de 6,86 m no ar, então $kd=1,37$) irradiam $3,43P_0$ em fase, mas apenas $0,57P_0$ se um deles estiver ligado ao contrário, invertendo sua fase. Isso é um fator de 6, quase 8 dB de graves perdidos. A energia continua conservada: o ar oferece uma carga diferente a cada alto-falante, então o amplificador simplesmente entrega uma potência diferente.

Diferença de caminho à distância e feixes

Antenas, alto-falantes e fendas costumam ser observados de longe, a muitas vezes a sua separação. Então a diferença de caminho depende apenas da direção, e o padrão de interferência se torna um padrão de direções. A Figura 2 determina essa diferença de caminho.

Legenda

$S_1$	Primeira fonte.
$S_2$	Segunda fonte.
$d$	Distância entre as duas fontes.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Direção do ponto distante, medida a partir da mediatriz de $S_1{S}_2$.	$\mathrm{rad}$
$\Delta$	Diferença de caminho: quanto mais a onda de $S_2$ percorre em relação à de $S_1$.	$\mathrm{m}$

Na Figura 2, as fontes $S_1$ e $S_2$ estão a uma distância $d$ uma da outra, e olhamos para um ponto distante na direção que forma o ângulo $\theta$ com sua mediatriz, a linha tracejada horizontal. Como o ponto está tão longe, os dois raios até ele, o azul de $S_1$ e o dourado de $S_2$, são praticamente paralelos. A linha tracejada de $S_1$ até o raio dourado encontra esse raio em ângulo reto. Além dessa linha, os dois caminhos têm o mesmo comprimento, então o único comprimento extra do caminho de $S_2$ é o trecho roxo entre $S_2$ e o pé da linha tracejada. Esse trecho é $\Delta$.

O trecho roxo é um dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é $S_1{S}_2$, de comprimento $d$. O ângulo desse triângulo em $S_1$ é igual a $\theta$: a reta $S_1{S}_2$ é perpendicular à mediatriz, a linha tracejada é perpendicular aos raios, e girar duas retas pelo mesmo ângulo reto não altera o ângulo entre elas. O lado roxo está oposto a esse ângulo, então
$\Delta =d\sin \theta$
Para fontes em fase, as ondas chegam portanto em fase e formam um feixe forte em toda direção em que $d\sin \theta$ é um número inteiro de comprimentos de onda.

As fases das fontes também podem ser ajustadas de propósito. Seja $S_1$ atrasada em relação a $S_2$ pela fase $\alpha$, de modo que ${\alpha }_1-{\alpha }_2=-\alpha$. Então $\phi =2\pi d\sin \theta /\lambda -\alpha$, e a direção mais forte, onde $\phi =0$, passa a ser
$\sin \theta =\frac{\alpha \lambda }{2\pi d}$
O feixe se desloca para o lado da fonte atrasada, $S_1$: seu caminho mais curto compensa exatamente o início tardio. Um radar de 10 GHz ($\lambda =3,0\mathrm{cm}$) com elementos a 1,5 cm uns dos outros, cada um um quarto de ciclo (90°) atrás do vizinho, aponta para onde $\sin \theta =0,5$, ou seja, 30°. Mudar as fases eletronicamente direciona o feixe sem nenhuma peça móvel: assim funcionam as antenas de arranjo de fase.

Batimentos: interferência no tempo

Até aqui, as duas ondas tinham a mesma frequência, então a diferença de fase em um ponto permanecia fixa. Se as frequências diferem um pouco, a diferença de fase cresce continuamente com o tempo, e a intensidade combinada em um lugar sobe e desce. Essas oscilações de intensidade são os batimentos, que os músicos usam para afinar seus instrumentos.

Legenda

$a$	Amplitude de cada oscilação: o comprimento da seta azul e da dourada.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude da soma: o comprimento da seta vermelha, traçado como curva vermelha.	$\mathrm{m}$
$2a$	Maior valor de $A$, atingido quando as duas setas apontam no mesmo sentido.	$\mathrm{m}$
$\Delta \omega t$	Ângulo pelo qual a seta dourada ficou para trás em relação à azul; cresce em proporção ao tempo $t$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Meia volta: as setas apontam em sentidos opostos e $A=0$.	$\mathrm{rad}$
$2\pi$	Uma volta completa: as setas se alinham de novo, e um batimento está completo.	$\mathrm{rad}$

A Figura 3 mostra batimentos com as mesmas setas. As duas oscilações têm a amplitude $a$, e suas frequências angulares ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ diferem por uma pequena quantidade $\Delta \omega ={\omega }_1-{\omega }_2$. Olhe para as setas a partir da azul, como se você girasse junto com ela a ${\omega }_1$, de modo que ela fique parada ao longo do eixo. A seta dourada, girando com a frequência angular menor ${\omega }_2$, vai ficando para trás continuamente: depois de um tempo $t$, ela recuou o ângulo $\Delta \omega t$. Seu pé permanece na ponta da seta azul, então sua própria ponta percorre o círculo tracejado de raio $a$ centrado ali. A soma vermelha $A$ portanto se estica e encolhe: vale $2a$ quando as duas setas se alinham e $0$ quando apontam em sentidos opostos, em $\Delta \omega t=\pi$.

As duas setas iguais e a soma formam um triângulo isósceles, que dá o comprimento da soma em qualquer instante, $A=2a|\cos (\Delta \omega t/2)|$. O gráfico à direita representa isso em função de $\Delta \omega t$, e seu ponto marca o instante desenhado à esquerda. A curva se repete a cada $2\pi$ de $\Delta \omega t$, ou seja, a cada $2\pi /\Delta \omega$ no tempo. Isso é um batimento: o tempo que a seta mais rápida leva para ganhar uma volta inteira da mais lenta.

A álgebra dá o mesmo resultado. Em um ponto fixo, tome $y=a\sin {\omega }_{1}t+a\sin {\omega }_{2}t$. A identidade $\sin p+\sin q=2\cos \frac{p-q}{2}\sin \frac{p+q}{2}$ transforma isso em
$y=2a\cos \left(\frac{\Delta \omega t}{2}\right)\sin (\bar{\omega }t)$
onde $\bar{\omega }=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$ é a frequência angular média. O segundo fator é uma oscilação rápida na frequência média; o primeiro é uma envoltória lenta que define seu tamanho.

A terceira corda da animação, mostrada neste nível, soma duas ondas de amplitude $a=1\mathrm{cm}$ com as frequências $f_1=1,5\mathrm{Hz}$ e $f_2=1,25\mathrm{Hz}$ (em hertz, $f=\omega /(2\pi )$). A oscilação rápida ocorre na média delas, 1,375 Hz, e o cosseno da envoltória na metade da diferença, 0,125 Hz: um período do cosseno por repetição de 8 s da animação. O volume sonoro segue o tamanho da envoltória, não o seu sinal, e esse tamanho atinge um pico duas vezes em cada período do cosseno, uma vez onde o cosseno é $+1$ e outra vez onde é $-1$. Assim, os batimentos ocorrem na diferença total,
$f_{\mathrm{beat}}=|f_1-f_2|$
aqui 0,25 Hz, um batimento a cada 4 s. No gráfico de $y(t)$ no ponto P, o traço roxo sobe quase a 2 cm perto de $t=0,4\mathrm{s}$ e $4,4\mathrm{s}$ e cai a zero perto de 2,4 s e 6,4 s, sempre dentro da envoltória tracejada $\pm 2a$.

Cada batimento contém $1,375\cdot 4=5,5$ oscilações rápidas, porque em 4 s a onda 1 faz 6 ciclos e a onda 2 faz 5. O meio ciclo extra significa que o movimento rápido recomeça de cabeça para baixo após cada mínimo, e é por isso que o cosseno da envoltória precisa de dois batimentos para se repetir. Na Figura 3, isso corresponde à seta mais rápida ultrapassando a mais lenta uma vez por batimento. Com amplitudes desiguais $A_1$ e $A_2$, a lei dos cossenos com $\phi =\Delta \omega t$ dá a intensidade
$I\propto A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \omega t)$
que oscila entre $(A_1+A_2{)}^2$ e $(A_1-A_2{)}^2$. Os batimentos continuam existindo, mas o som nunca se cala.

Modulação: batimentos lidos ao contrário

Os batimentos mostram que duas frequências próximas somadas parecem uma única frequência com amplitude que muda devagar. Lido no sentido inverso, uma onda cuja amplitude é variada contém frequências extras. É assim que o rádio AM transmite som.

Suponha que uma portadora de frequência angular ${\omega }_c$ tenha sua amplitude seguindo um tom de frequência angular ${\omega }_m$, com profundidade de modulação $b$: o sinal é $(1+b\cos {\omega }_{m}t)\cos {\omega }_{c}t$. A regra do produto $\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$ o separa na própria portadora mais duas bandas laterais de amplitude $b/2$, em ${\omega }_c+{\omega }_m$ e ${\omega }_c-{\omega }_m$. Uma emissora AM em 1,2 MHz transmitindo sons até 4,5 kHz ocupa, portanto, a faixa de 1195,5 a 1204,5 kHz, com 9 kHz de largura, e é por isso que os canais AM na Europa são espaçados de 9 kHz.

Muitas fontes: um polígono de setas

Redes de difração e arranjos de antenas combinam muitas fontes, não apenas duas. O quadro dos fasores lida com qualquer número delas: as setas são simplesmente dispostas uma após a outra, a origem de cada uma na ponta da anterior, em uma cadeia mais longa.

Legenda

$N$	Número de fontes iguais, aqui 5.
$a$	Amplitude de uma fonte: o comprimento de cada seta azul.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude da soma: a seta vermelha do início ao fim da cadeia.	$\mathrm{m}$
$\phi$	Passo de fase entre fontes vizinhas: o ângulo pelo qual cada seta é girada em relação à anterior.	$\mathrm{rad}$
$N\phi$	Ângulo que a cadeia inteira, da primeira seta à última, abrange no centro do círculo tracejado.	$\mathrm{rad}$

A Figura 4 toma $N$ fontes iguais em fila, cada uma com uma fase $\phi$ adiantada em relação à anterior; à esquerda, $N=5$. Todas as $N$ setas têm o mesmo comprimento $a$, e cada uma é girada pelo mesmo ângulo $\phi$ em relação à anterior. Uma cadeia com lados iguais e a mesma rotação em cada vértice é parte de um polígono regular, então seus vértices estão sobre um mesmo círculo, o tracejado; seja $R$ o raio dele. Visto do centro, cada lado abrange o ângulo $\phi$, e a cadeia inteira, do pé da primeira seta até a ponta da última, abrange $N\phi$. A soma $A$, a seta vermelha, fecha a cadeia.

Uma corda que abrange o ângulo $\beta$ no centro de um círculo de raio $R$ tem comprimento $2R\sin (\beta /2)$: a linha do centro até o ponto médio da corda divide o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos. Assim, um lado é $a=2R\sin (\phi /2)$, e a corda de fechamento é $A=2R|\sin (N\phi /2)|$. Dividindo a segunda pela primeira, o raio desconhecido $R$ desaparece:
$A=a\left|\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right|$
Para $N=2$, a identidade $\sin \phi =2\sin (\phi /2)\cos (\phi /2)$ recupera $A=2a|\cos (\phi /2)|$.

Dois casos se destacam. Quando $\phi$ é múltiplo de $2\pi$, todas as setas apontam para o mesmo lado, então $A=Na$ e a intensidade é $I=N^2{I}_0$, onde $I_0$ é a intensidade de uma fonte sozinha. Conforme $\phi$ cresce a partir de zero, a cadeia se enrola, e o primeiro zero ocorre em $\phi =2\pi /N$: as $N$ rotações de $\phi$ então somam uma volta completa e o polígono se fecha sobre si mesmo, como à direita da Figura 4. Com dez fontes, os picos têm intensidade 100 vezes maior que a de uma fonte, e seus primeiros zeros ficam em $\phi =2\pi /10$ em vez de $\pi$ para duas fontes, de modo que os picos são cinco vezes mais estreitos. A intensidade média continua sendo $10I_0$, porque os termos cruzados se anulam na média: a energia se concentra em picos estreitos e brilhantes. Esse é o princípio das redes de difração e dos arranjos de radiotelescópios.

Ondas estacionárias e pacotes de ondas

A superposição também explica dois padrões que aparecem em lições posteriores: ondas que parecem paradas e ondas confinadas em um pacote curto.

Duas ondas iguais que viajam em sentidos opostos somam-se, pela identidade usada nos batimentos, em
$a\sin (kx-\omega t)+a\sin (kx+\omega t)=2a\sin kx\cos \omega t$
Cada ponto oscila em fase com todos os outros, com amplitude $2a|\sin kx|$ fixada por sua posição. Onde $\sin kx=0$, a cada $\lambda /2$, há nós que nunca se movem: esta é uma onda estacionária.

Somar muitas frequências vizinhas, espalhadas por uma faixa de largura $\Delta f$, produz um único pacote de ondas. As componentes concordam em fase em um instante e saem de fase em um tempo de cerca de $1/\Delta f$; assim, quanto mais curto o pacote, mais larga a faixa que ele exige: aproximadamente $\Delta f\Delta t\approx 1$. A envoltória do pacote se move com a velocidade de grupo $d\omega /dk$; para duas ondas, essa é a velocidade $\Delta \omega /\Delta k$ do padrão de batimentos. Na corda da animação, toda frequência viaja com os mesmos 5 cm/s, então $\omega =vk$ e a velocidade de grupo é igual à velocidade da onda: a envoltória dos batimentos, que se repete a cada $v/\Delta f=20\mathrm{cm}$ ao longo da corda, acompanha as ondas. Em águas profundas, onde ondas longas correm mais que ondas curtas, isso não aconteceria: ali a envoltória se move com apenas metade da velocidade das cristas.

Problema resolvido: um alto-falante desafinado

Este problema reúne a lei das amplitudes, o contraste de um padrão e os batimentos.

Tome os dois alto-falantes do nível intermediário, em fase em 686 Hz, de modo que $\lambda =0,50\mathrm{m}$ no ar a 343 m/s. Um ouvinte está a 3,00 m de um e a 3,75 m do outro. A amplitude de cada alto-falante cai com $1/r$, então, no ouvinte, o mais distante é mais fraco na razão $3,00/3,75=0,80$. Encontre o contraste do padrão e depois deixe o alto-falante distante derivar para 686,25 Hz.

Antes da deriva, a diferença de caminho é $\Delta =0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$, logo $\phi =2\pi \cdot 1,5=3\pi$ e $\cos \phi =-1$: o ouvinte está em um ponto silencioso. Meça as intensidades em unidades do alto-falante próximo sozinho, de modo que $A_1=1$ e $A_2=0,8$. Os valores mínimo e máximo que o padrão pode assumir, em $\cos \phi =-1$ e $\cos \phi =+1$, são
$I_{\min }=(1-0,8{)}^2=0,04,I_{\max }=(1+0,8{)}^2=3,24$
A visibilidade, ou contraste, do padrão compara os dois. Como $I_{\max }-I_{\min }=4A_1{A}_2$ e $I_{\max }+I_{\min }=2(A_1^2+A_2^2)$,
$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{2A_1{A}_2}{A_1^2+A_2^2}=\frac{1,6}{1,64}=0,98$
Uma diferença de 20 % na amplitude ainda deixa um vale de $10{\log }_{10}(3,24/0,04)\approx 19\mathrm{dB}$ abaixo do valor mais alto: a interferência é tolerante.

Agora desafine o alto-falante distante em 0,25 Hz. A fase dele ganha um ciclo inteiro sobre o outro a cada 4 s, então $\phi$ percorre todos os valores, e o ouvinte ouve batimentos a 0,25 Hz, o ritmo da terceira corda da animação: 0,04 em $t=0$, 3,24 dois segundos depois, 0,04 novamente em 4 s.

A mesma deriva move o padrão no espaço. Na linha entre os alto-falantes, um passo $\delta$ em direção a um deles encurta um caminho em $\delta$ e alonga o outro em $\delta$, logo muda $\Delta$ em $2\delta$; os pontos silenciosos, separados por um comprimento de onda de $\Delta$, ficam portanto a $\lambda /2=0,25\mathrm{m}$ uns dos outros. Conforme a fase deriva, o padrão inteiro desliza um espaçamento por batimento, 0,25 m em 4 s, ou cerca de 6 cm/s, em direção ao alto-falante de frequência mais baixa. Batimentos no tempo e franjas no espaço são um único fenômeno: um padrão que passa por um ouvido parado.

Na média ao longo de um batimento, o termo cruzado se anula e resta $1+0,8^2=1,64$, a soma das duas intensidades separadas. Se a desafinação oscilasse aleatoriamente por alguns hertz, cada lugar receberia, em média, o mesmo 1,64: fontes independentes somam intensidades, não amplitudes.

Limites de validade

A superposição é exata apenas enquanto o meio responde linearmente, isto é, enquanto dobrar a perturbação dobra a resposta. Ondas fortes quebram essa regra, e a coerência impõe um segundo limite.

Uma onda sonora não pode ter uma amplitude de pressão maior que a pressão atmosférica, porque a pressão em uma rarefação não pode cair abaixo de zero; para um tom puro, esse limite é de cerca de 191 dB. Muito antes de isso acontecer, as compressões de uma onda forte viajam mais rápido que as rarefações, e a onda se transforma em uma onda de choque. Uma corda que oscila demais se alonga, então sua tensão e seu tom sobem, e uma onda na água arrebenta quando sua altura chega a cerca de um sétimo do seu comprimento de onda.

A luz no vácuo obedece a equações lineares: o espalhamento da luz pela luz, previsto pela teoria quântica, só foi observado em aceleradores de partículas. Em alguns cristais, porém, a luz intensa leva os elétrons além da resposta linear e cria novas frequências: um ponteiro laser verde transforma luz infravermelha de 1064 nm em luz verde de 532 nm, com o dobro da frequência.

Franjas estáveis também exigem coerência: as duas ondas devem manter uma diferença de fase fixa. Um trem de ondas real, com uma dispersão de frequências $\Delta f$, mantém fase estável apenas ao longo do seu comprimento de coerência, $L_c\approx c/\Delta f$, onde $c$ é a velocidade da luz. Para a luz do Sol, que abrange toda a faixa visível, isso dá cerca de 1 µm, por isso películas de sabão só mostram cores enquanto não são mais espessas que cerca de um micrômetro. Para um laser com $\Delta f\approx 1\mathrm{MHz}$, são cerca de 300 m. Os detectores também fazem média: olhos e fotodiodos registram apenas a intensidade média, e o ouvido acompanha batimentos apenas até cerca de 15 por segundo.

Para onde isso leva

Duas ondas iguais que viajam em sentidos opostos produzem os nós fixos de Ondas estacionárias. Muitas fontes coerentes ao longo de uma fenda ou de uma rede formam as franjas de Difração e fenda dupla, onde novamente $\Delta =d\sin \theta$. A luz é um padrão que se propaga de campos elétricos e magnéticos, como explica Ondas eletromagnéticas, e duas componentes perpendiculares iguais, defasadas de um quarto de ciclo, dão os estados circulares de Polarização da luz.

Fontes incoerentes somam intensidades, e é assim que os decibéis se combinam em Volume, intensidade e decibéis; duas fontes coerentes em fase somam 6 dB em um ponto brilhante, em vez de 3 dB, porque a intensidade ali é quatro vezes, não o dobro, a de uma fonte. Elétrons e fótons isolados formam as franjas ponto a ponto: as amplitudes se somam, e as probabilidades são seus quadrados. Essa ideia, o núcleo da Dualidade onda-partícula e da Equação de Schrödinger e tunelamento, é a superposição em sua forma mais profunda.