Interferencia y superposición

Principiante

Cuando dos ondas se encuentran, no rebotan una contra otra como pelotas. Simplemente se suman: en cada punto, la altura es la que daría la primera onda más la que daría la segunda. Después, cada una sigue su camino sin cambios, igual que dos conversaciones cruzan una habitación sin estropearse. Esta suma se llama superposición.

La animación muestra dos ondas (discontinuas) en la misma cuerda y su suma (continua). En la cuerda de arriba las ondas van al paso: cresta con cresta y valle con valle, así que la cuerda oscila el doble de alto. Es la interferencia constructiva.

En la cuerda de abajo una onda está desplazada media longitud de onda, así que cada cresta coincide con un valle. Una onda empuja hacia arriba exactamente lo que la otra tira hacia abajo, y la cuerda apenas se mueve: interferencia destructiva. Los auriculares con cancelación de ruido usan este truco y envían al oído una copia invertida del ruido.

¿Adónde va la energía en un punto silencioso? No se destruye. Con dos altavoces que tocan la misma nota constante, al cruzar una habitación encuentras sitios tranquilos justo al lado de sitios ruidosos: la energía solo se reparte de otra forma. El silencio perfecto es raro, porque las paredes también reflejan el sonido.

Cuando dos notas son casi, pero no del todo, iguales, las ondas entran y salen de paso lentamente, y el sonido crece y se apaga: guau, guau, guau. Son los batidos, y hay tantos por segundo como la diferencia entre las dos frecuencias. Un guitarrista afina dos cuerdas girando una clavija hasta que los batidos se hacen lentos y desaparecen.

Ponte a prueba: suenan juntos dos diapasones de 440 Hz y 443 Hz. ¿Cuántos batidos por segundo oyes? (Tres.)

Intermedio

Las ondas se suman punto a punto

Donde dos ondas pasan por el mismo lugar, cada punto del medio se desplaza la suma de los desplazamientos que le daría cada onda por separado:
$y=y_1+y_2$

Es el principio de superposición. Los desplazamientos tienen signo, así que una cresta de 1 cm que se encuentra con un valle de 1 cm da cero. Vale en un medio lineal, aquel cuya fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento: las cuerdas, el aire y el agua con amplitudes pequeñas, y la luz en el vacío.

Cada onda sigue su camino como si la otra no estuviera: dos pulsos que avanzan uno hacia el otro por una cuerda se suman mientras se solapan y luego se separan sin cambios. Fíjate en lo que se suma: desplazamientos, no intensidades.

Diferencia de fase y diferencia de camino

Que dos ondas de la misma frecuencia se ayuden o se anulen depende de su diferencia de fase $\phi$, es decir, de cuánto se adelanta una a la otra en su ciclo ($2\pi$ para un ciclo completo). Si las fuentes vibran en fase, esa diferencia procede de la diferencia de camino $\Delta =r_2-r_1$, el trayecto extra que recorre una onda hasta el punto; cada longitud de onda de camino extra supone un ciclo de retraso:
$\phi =\frac{2\pi \Delta }{\lambda }$

Así, $\Delta =0,\lambda ,2\lambda ,\dots$ hace que las ondas lleguen en fase, y $\Delta =\lambda /2,3\lambda /2,\dots$ hace que una cresta caiga sobre un valle. Solo importa $\Delta$ medida en longitudes de onda: 3,2 longitudes de onda actúan como 0,2.

Un patrón estable requiere fuentes coherentes, cuya diferencia de fase se mantiene fija, como dos altavoces alimentados con una misma señal. Si las frecuencias difieren un poco, la diferencia de fase va cambiando, y la sonoridad crece y se apaga (son las pulsaciones, o batidos) tantas veces por segundo como difieren las frecuencias:
$f_{\mathrm{pulso}}=|f_1-f_2|$
Dos cuerdas de 196 Hz y 198 Hz dan dos pulsaciones por segundo; la vista experta de la animación las muestra en una tercera cuerda.

Condiciones para lo intenso y lo silencioso

Para fuentes en fase y ondas de amplitudes $A_1$ y $A_2$ en el punto, los dos casos extremos son

• $\Delta =m\lambda \to A=A_1+A_2\text{(constructiva)}$
• $\Delta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \to A=|A_1-A_2|\text{(destructiva)}$

Aquí $m=0,1,2,\dots$, y $A$ es la amplitud de la oscilación combinada. El silencio total exige amplitudes iguales.

Para dos amplitudes iguales $a$, cualquier diferencia de camino intermedia da
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
que baja de forma gradual desde $2a$ en $\Delta =0$ hasta cero en $\Delta =\lambda /2$.

Lo que oímos o vemos es la intensidad $I$, la potencia que atraviesa cada metro cuadrado, que crece con el cuadrado de la amplitud. Dos fuentes iguales que por separado dan cada una $I_0$ producen, por tanto,
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
Los lugares brillantes reciben $4I_0$, los oscuros nada, y la media es $2I_0$, igual que sin interferencia: la energía pasa de los sitios silenciosos a los intensos, no se destruye.

Ejemplo resuelto: las cuerdas de la animación

Cada onda discontinua tiene amplitud $a=1\mathrm{cm}$, longitud de onda $\lambda =10\mathrm{cm}$ (la regla sobre la cuerda de arriba) y frecuencia 0,5 Hz, así que cada punto repite su movimiento cada 2 s y las ondas avanzan a $v=f\lambda =5cm/s$.

En la cuerda de arriba, la onda dorada B coincide exactamente con la onda azul A, así que $\Delta =0$ y las amplitudes se suman:
$A=A_1+A_2=1+1=2\mathrm{cm}$
La lectura en P oscila entre $-2,0$ y $+2,0\mathrm{cm}$, y la suma roja es el doble de alta que cada onda discontinua, con $2^2=4$ veces la intensidad de una sola.

En la segunda cuerda la onda B está desplazada media longitud de onda, $\Delta =\lambda /2=5\mathrm{cm}$, así que cada cresta de A se encuentra con un valle de B:
$A=|A_1-A_2|=|1-1|=0$
La suma roja queda plana y la lectura se mantiene en 0,0 cm.

Entre ambos casos, un desplazamiento de un cuarto de longitud de onda, 2,5 cm, daría $A=2\cos (\pi /4)\approx 1,41\mathrm{cm}$ y exactamente $2I_0$; un desplazamiento de $\lambda /3$ da $A=2\cos (\pi /3)=1\mathrm{cm}$, no más que una onda sola.

Ejemplo resuelto: dos altavoces

Dos altavoces pequeños reciben en fase la misma señal de 686 Hz. Con la velocidad del sonido en 343 m/s, la longitud de onda es $\lambda =v/f=343/686=0,50\mathrm{m}$. Estás a 3,00 m de un altavoz y a 3,75 m del otro, así que
$\Delta =3,75-3,00=0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$
Es $(m+\frac{1}{2})\lambda$ con $m=1$: estás en un punto silencioso.

¿Hasta qué punto es silencioso? La amplitud de una fuente pequeña cae como $1/r$, así que la del altavoz lejano es $3,00/3,75=0,80$ de la del cercano. Queda $1-0,80=0,20$, una intensidad de $0,20^2=0,04$ veces la del altavoz cercano solo, mientras que un punto intenso próximo recibe $1,80^2=3,24$: 81 veces más, unos 19 dB.

Que un lugar sea silencioso también depende de la nota: 0,75 m es un número impar de semilongitudes de onda a 229, 686 y 1143 Hz, que allí se oyen débiles, pero un número entero de longitudes de onda a 457 y 915 Hz, que allí suenan fuertes. Por eso, en un mismo lugar, la música nunca se silencia por completo.

Sumar ondas a ojo

Para dibujar una superposición, suma las alturas con signo de las dos ondas en unos cuantos puntos y une los resultados: donde una onda vale cero, la suma es igual a la otra, y donde las dos son iguales y opuestas, se anula. En la animación, las curvas discontinuas azul y dorada son las ondas, la roja continua es su suma, y la línea discontinua que pasa por P marca el punto donde las lecturas miden $y$.

Dos ondas de la misma frecuencia que viajan en el mismo sentido dan una onda de esa frecuencia y esa velocidad: las crestas rojas de la cuerda de arriba mantienen el paso de las discontinuas a 5 cm/s. La segunda cuerda, plana, sin onda y sin energía, se entiende mejor como lo que llega a un punto por dos caminos; con fuentes separadas, la anulación en un lugar siempre viene acompañada de refuerzo en otro.

Errores frecuentes

• Sumar intensidades en lugar de amplitudes: dos ondas iguales y en fase dan $2^2=4$ veces la intensidad de una, no 2; solo la media sobre todo el patrón es el doble de la de una sola fuente.
• Creer que la interferencia destructiva destruye energía: los 0,04 del punto silencioso vienen acompañados de puntos intensos con 3,24, cuya media, 1,64, es exactamente $1+0,80^2$, la suma de las intensidades por separado de los dos altavoces.
• Esperar silencio siempre que las ondas llegan en oposición de fase: eso exige amplitudes iguales, y ondas de 4 cm y 1 cm siguen dejando 3 cm.
• Pensar que la distancia por sí sola decide: solo cuenta la diferencia, así que 3,00 m y 3,75 m, o 10,00 m y 10,75 m, dan ambos puntos silenciosos a 686 Hz.
• Esperar un patrón de dos fuentes cualesquiera: dos bombillas, o dos violinistas con una misma nota, tienen fases que cambian al azar, así que solo queda la intensidad sumada, $2I_0$.

Dónde aparece

Los auriculares con cancelación de ruido reproducen una copia invertida del ruido que llega y funcionan mejor con zumbidos graves y constantes, como el de la cabina de un avión. Las pompas de jabón deben sus colores a la luz reflejada por las dos caras de una película delgada, y el tratamiento antirreflectante del objetivo de una cámara tiene unos 100 nm de grosor para que dos reflexiones de luz verde se anulen.

El wifi a 2,4 GHz (longitud de onda de 12,5 cm) llega a un portátil por varios caminos, así que moverlo unos centímetros puede convertir un punto débil en uno fuerte, y los detectores de ondas gravitacionales usan la interferencia para notar variaciones de longitud mucho menores que un protón. La lección Ondas estacionarias suma ondas que avanzan en sentidos opuestos, y Difracción y experimento de la doble rendija aplica estas condiciones a la luz.

Avanzado

Por qué las ondas simplemente se suman

Todo en esta lección se apoya en un solo hecho: donde dos ondas se superponen, sus desplazamientos se suman. Esta sección explica por qué ocurre así, y las siguientes sacan las consecuencias.

La superposición no es una ley adicional de la naturaleza. Es una propiedad de la ecuación que obedece la onda. Toma una cuerda tensa y llama $y(x,t)$ al pequeño desplazamiento transversal, en el instante $t$, del trozo de cuerda situado en la posición $x$. La segunda ley de Newton aplicada a cada trozo corto da, para desplazamientos pequeños, la ecuación de onda, en la que $v$ es la velocidad de las ondas en la cuerda:
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Esta ecuación es lineal: cada término contiene $y$ una sola vez y solo a la primera potencia, sin $y^2$ y sin productos de $y$ con sus propias derivadas. Supón que $y_1$ e $y_2$ son soluciones, y prueba con $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ para unas constantes $c_1$ y $c_2$ cualesquiera. La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y las constantes salen como factor, así que cada miembro de la ecuación se separa en una parte con $y_1$ y otra con $y_2$. Cada parte se equilibra por sí sola, de modo que la combinación también es una solución. Ese es el principio de superposición: dos ondas se cruzan sin alterarse, y en cada punto el desplazamiento es simplemente $y_1+y_2$.

La solución general de la ecuación de onda, $y=F(x-vt)+G(x+vt)$, lo muestra en acción: $F$ es un pulso de forma cualquiera que avanza hacia la derecha, $G$ uno que avanza hacia la izquierda, y ambos se cruzan conservando su forma. Las pequeñas variaciones de presión del aire, la luz en el vacío, cuyas ecuaciones de campo son exactamente lineales, y la función de onda de la mecánica cuántica obedecen ecuaciones lineales de este tipo, así que todo lo que sigue se aplica también a ellas.

Sumar dos oscilaciones con fasores

En un punto dado, cada onda hace oscilar el medio. Para hallar el movimiento combinado hay que sumar dos oscilaciones de la misma frecuencia pero con amplitudes y fases distintas. Sumar cosenos directamente es engorroso; dibujar cada oscilación como una flecha que gira convierte la suma en geometría sencilla.

Leyenda

$A_1$	Amplitud de la primera oscilación: la longitud de la flecha azul.	$\mathrm{m}$
$A_2$	Amplitud de la segunda oscilación: la longitud de la flecha dorada.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitud de la suma: la flecha roja, que cierra el triángulo.	$\mathrm{m}$
$\omega t+{\phi }_1$	Fase de la primera oscilación: el ángulo de la flecha azul con el eje, que crece al ritmo $\omega$.	$\mathrm{rad}$
$\phi$	Diferencia de fase ${\phi }_1-{\phi }_2$: el ángulo entre las dos flechas, fijo mientras ambas giran.	$\mathrm{rad}$
$y_1$	Desplazamiento debido a la primera oscilación: la proyección de la flecha azul sobre el eje.	$\mathrm{m}$
$y_2$	Desplazamiento debido a la segunda oscilación: la proyección de la flecha dorada sobre el eje.	$\mathrm{m}$
$y$	Desplazamiento de la suma, $y_1+y_2$: la proyección de la flecha roja.	$\mathrm{m}$

Las dos oscilaciones son $y_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$ e $y_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$, con la misma frecuencia angular $\omega$. La figura 1 dibuja cada una como una flecha, llamada fasor. La longitud de la flecha es la amplitud: $A_1$ para la flecha azul, $A_2$ para la dorada. Su ángulo con el eje horizontal es la fase: $\omega t+{\phi }_1$ para la flecha azul, marcado en su origen, y $\omega t+{\phi }_2$ para la dorada. La oscilación en sí es la proyección de la flecha sobre el eje, su sombra: una flecha de longitud $A_1$ con el ángulo $\omega t+{\phi }_1$ tiene la proyección $A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$, que es exactamente $y_1$. Con el paso del tiempo la flecha gira en sentido contrario a las agujas del reloj con velocidad angular $\omega$, y su sombra va y viene.

Fíjate ahora en tres cosas de la figura. Primero, la flecha dorada empieza en la punta de la azul, una a continuación de la otra, y la flecha roja $A$ va desde el origen de la azul hasta la punta de la dorada: $A$ es la suma vectorial de las dos. Segundo, ambas flechas giran con la misma velocidad $\omega$, así que el ángulo que forman, $\phi ={\phi }_1-{\phi }_2$, marcado entre la flecha dorada y la prolongación discontinua de la azul, nunca cambia. El triángulo sombreado conserva, por tanto, su forma y gira como una sola pieza rígida, y $A$ también gira con velocidad $\omega$. Tercero, a lo largo del eje las sombras $y_1$ e $y_2$ van una tras otra y juntas abarcan $y$, la sombra de $A$, porque la proyección de una suma de vectores es la suma de sus proyecciones. Así, $y=y_1+y_2$ es en sí una oscilación de frecuencia angular $\omega$, y su amplitud es la longitud $A$.

La longitud $A$ sale del triángulo. El ángulo interior del triángulo, donde se encuentran las dos flechas, vale $\pi -\phi$, porque $\phi$ se mide desde la prolongación de la flecha azul. El teorema del coseno, junto con $\cos (\pi -\phi )=-\cos \phi$, da
$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \phi$
La amplitud es máxima, $A_1+A_2$, cuando $\phi =0$ y las flechas apuntan en el mismo sentido, y mínima, $|A_1-A_2|$, cuando $\phi =\pi$ y apuntan en sentidos opuestos.

En números complejos, la misma suma se escribe así. Cada oscilación es la parte real de $A_j{e}^{i(\omega t+{\phi }_j)}$, el factor común $e^{i\omega t}$ sale fuera, y $A^2=|A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}{|}^2$; el argumento de esa suma compleja es la fase de la resultante. Al desarrollar el cuadrado del módulo se vuelve a obtener el teorema del coseno.

¿De dónde sale $\phi$? Toma dos fuentes de la misma frecuencia angular $\omega$, con fases propias ${\alpha }_1$ y ${\alpha }_2$, y un punto situado a distancias $r_1$ y $r_2$ de ellas. Una onda que viaja con velocidad $v$ tarda el tiempo $r_j/v$ en llegar, así que lo que alcanza el punto en el instante $t$ salió de la fuente $j$ en el instante $t-r_j/v$. Su fase es por tanto $\omega (t-r_j/v)+{\alpha }_j=\omega t+{\alpha }_j-k{r}_j$, donde $k=\omega /v=2\pi /\lambda$ es el número de onda y $\lambda$ la longitud de onda. Así, ${\phi }_j={\alpha }_j-k{r}_j$, y en la diferencia el término común $\omega t$ desaparece:
$\phi ={\phi }_1-{\phi }_2=\frac{2\pi \Delta }{\lambda }+({\alpha }_1-{\alpha }_2),\Delta =r_2-r_1$
Aquí $\Delta$ es la diferencia de camino, la distancia adicional que recorre la onda de la segunda fuente. Cada longitud de onda de camino extra añade $2\pi$ a la diferencia de fase.

Para dos amplitudes iguales $a$ de fuentes en fase (${\alpha }_1={\alpha }_2$), el teorema del coseno se convierte en $A^2=2a^2(1+\cos \phi )$. La identidad $1+\cos \phi =2{\cos }^2(\phi /2)$ lo transforma en $A^2=4a^2{\cos }^2(\phi /2)$, y como $\phi /2=\pi \Delta /\lambda$,
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
Los casos particulares se leen directamente en el triángulo. Para $\Delta =\lambda /3$ la diferencia de fase es $2\pi /3$, es decir, 120°, así que el ángulo interior del triángulo es de 60°; dos lados iguales alrededor de un ángulo de 60° forman un triángulo equilátero, y $A=a$. Para $\Delta =\lambda /4$ las flechas son perpendiculares, $A$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, y $A=\sqrt{2}a$.

Intensidad y adónde va la energía

Un oído o un ojo no registra la amplitud, sino la intensidad $I$, la potencia que atraviesa cada metro cuadrado, que es proporcional al cuadrado de la amplitud. Esta sección convierte la ley de las amplitudes en una ley de intensidades y comprueba que la interferencia solo traslada energía de un sitio a otro.

Multiplica el teorema del coseno por la constante que convierte $A^2$ en intensidad. Los términos $A_1^2$ y $A_2^2$ pasan a ser $I_1$ e $I_2$, las intensidades que da cada fuente por separado, y $A_1{A}_2$ pasa a ser $\sqrt{I_1{I}_2}$:
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$
Para dos fuentes iguales en fase que dan cada una $I_0$ por separado, $\phi =2\pi \Delta /\lambda$ y
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
El último término de la ley general, $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$, se llama término cruzado, y es toda la interferencia: sin él, las intensidades simplemente se sumarían. A lo largo de una pantalla o de una sala, $\phi$ recorre muchos ciclos completos, y el promedio de $\cos \phi$ en un ciclo completo es cero. En promedio queda $I_1+I_2=2I_0$: las franjas brillantes, con $4I_0$, ganan exactamente lo que pierden las oscuras.

Esa contabilidad supone que las fuentes están separadas muchas longitudes de onda. Si están muy juntas, se acoplan: cada fuente empuja un medio que la onda de la otra también está moviendo. Si esa onda llega en fase con el empuje, la fuente trabaja contra una presión, o un campo, mayor y radia más; si llega en oposición, la fuente radia menos. Dos fuentes pequeñas separadas una distancia $d$, excitadas con la misma amplitud y con una diferencia de fase $\alpha$, radian en total
$P=2P_0\left(1+\cos \alpha \frac{\sin kd}{kd}\right)$
donde $P_0$ es la potencia que radia una sola fuente. Dos comprobaciones: cuando $kd$ es grande, $\sin kd/(kd)$ es pequeño y $P\approx 2P_0$, la suma de las potencias por separado; cuando $d\to 0$ el factor tiende a 1, así que dos fuentes en fase actúan como una sola de amplitud doble, $P=4P_0$, mientras que dos en oposición de fase se anulan.

Por ejemplo, dos altavoces separados 1,5 m que reproducen 50 Hz (longitud de onda de 6,86 m en el aire, así que $kd=1,37$) radian $3,43P_0$ en fase, pero solo $0,57P_0$ si uno está conectado al revés, lo que invierte su fase. Es un factor de 6, casi 8 dB de graves perdidos. La energía sigue conservándose: el aire carga a cada altavoz de manera distinta, y el amplificador simplemente entrega otra potencia.

Diferencia de camino lejana y orientación del haz

Las antenas, los altavoces y las rendijas se suelen observar desde lejos, a una distancia de muchas veces su separación. Entonces la diferencia de camino depende solo de la dirección, y la figura de interferencia pasa a ser una figura de direcciones. La figura 2 halla esa diferencia de camino.

Leyenda

$S_1$	Primera fuente.
$S_2$	Segunda fuente.
$d$	Distancia entre las dos fuentes.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Dirección del punto lejano, medida desde la mediatriz de $S_1{S}_2$.	$\mathrm{rad}$
$\Delta$	Diferencia de camino: cuánto más recorre la onda de $S_2$ que la onda de $S_1$.	$\mathrm{m}$

En la figura 2 las fuentes $S_1$ y $S_2$ están separadas una distancia $d$, y miramos hacia un punto lejano en la dirección que forma el ángulo $\theta$ con su mediatriz, la recta horizontal discontinua. Como el punto está tan lejos, los dos rayos que llegan a él, el azul desde $S_1$ y el dorado desde $S_2$, son prácticamente paralelos. La recta discontinua trazada desde $S_1$ hasta el rayo dorado lo corta en ángulo recto. Más allá de esa recta ambos caminos tienen la misma longitud, así que lo único que alarga el camino desde $S_2$ es el segmento morado entre $S_2$ y el pie de la recta discontinua. Ese segmento es $\Delta$.

El segmento morado es un lado de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $S_1{S}_2$, de longitud $d$. El ángulo de ese triángulo en $S_1$ es igual a $\theta$: la recta $S_1{S}_2$ es perpendicular a la mediatriz, la recta discontinua es perpendicular a los rayos, y girar dos rectas el mismo ángulo recto no cambia el ángulo que forman entre sí. El lado morado está opuesto a ese ángulo, de modo que
$\Delta =d\sin \theta$
Para fuentes en fase, las ondas llegan por tanto en fase y forman un haz intenso en todas las direcciones en las que $d\sin \theta$ es un número entero de longitudes de onda.

Las fases de las fuentes también se pueden fijar a propósito. Sea $S_1$ la que va retrasada respecto a $S_2$ una fase $\alpha$, de modo que ${\alpha }_1-{\alpha }_2=-\alpha$. Entonces $\phi =2\pi d\sin \theta /\lambda -\alpha$, y la dirección más intensa, donde $\phi =0$, se desplaza hasta
$\sin \theta =\frac{\alpha \lambda }{2\pi d}$
El haz gira hacia el lado de la fuente retrasada, $S_1$: su camino más corto compensa exactamente su salida tardía. Un radar de 10 GHz ($\lambda =3,0\mathrm{cm}$) con elementos separados 1,5 cm, cada uno retrasado un cuarto de ciclo (90°) respecto a su vecino, apunta donde $\sin \theta =0,5$, es decir, a 30°. Cambiar las fases por medios electrónicos orienta el haz sin ninguna pieza móvil: así funcionan las antenas de fase controlada.

Pulsaciones: interferencia en el tiempo

Hasta ahora ambas ondas tenían la misma frecuencia, así que la diferencia de fase en un punto permanecía fija. Si las frecuencias difieren ligeramente, la diferencia de fase crece de forma constante con el tiempo, y la sonoridad combinada en un lugar sube y baja. Esas oscilaciones son las pulsaciones, que los músicos usan para afinar sus instrumentos.

Leyenda

$a$	Amplitud de cada oscilación: la longitud de la flecha azul y de la flecha dorada.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitud de la suma: la longitud de la flecha roja, representada por la curva roja.	$\mathrm{m}$
$2a$	Valor máximo de $A$, que se alcanza cuando las dos flechas apuntan en el mismo sentido.	$\mathrm{m}$
$\Delta \omega t$	Ángulo que la flecha dorada se ha retrasado respecto a la azul; crece en proporción al tiempo $t$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Media vuelta: las flechas apuntan en sentidos opuestos y $A=0$.	$\mathrm{rad}$
$2\pi$	Una vuelta completa: las flechas vuelven a alinearse, y se completa una pulsación.	$\mathrm{rad}$

La figura 3 muestra las pulsaciones con las mismas flechas. Ambas oscilaciones tienen amplitud $a$, y sus frecuencias angulares ${\omega }_1$ y ${\omega }_2$ difieren en una cantidad pequeña $\Delta \omega ={\omega }_1-{\omega }_2$. Mira las flechas desde la azul, como si giraras con ella a ${\omega }_1$, de modo que se queda quieta sobre el eje. La flecha dorada, que gira a la velocidad más lenta ${\omega }_2$, se va quedando atrás de forma constante: pasado un tiempo $t$ se ha retrasado el ángulo $\Delta \omega t$. Su origen sigue en la punta de la flecha azul, así que su propia punta recorre la circunferencia discontinua de radio $a$ centrada en ese punto. La suma roja $A$ se estira y se encoge, por tanto: vale $2a$ cuando las dos flechas están alineadas y $0$ cuando apuntan en sentidos opuestos, en $\Delta \omega t=\pi$.

Las dos flechas iguales y su suma forman un triángulo isósceles, que da la longitud de la suma en cada instante, $A=2a|\cos (\Delta \omega t/2)|$. La gráfica de la derecha la representa frente a $\Delta \omega t$, y su punto marca el instante dibujado a la izquierda. La curva se repite cada $2\pi$ de $\Delta \omega t$, es decir, cada $2\pi /\Delta \omega$ de tiempo. Eso es una pulsación: el tiempo que necesita la flecha más rápida para ganar una vuelta completa a la más lenta.

El álgebra da el mismo resultado. En un punto fijo toma $y=a\sin {\omega }_{1}t+a\sin {\omega }_{2}t$. La identidad $\sin p+\sin q=2\cos \frac{p-q}{2}\sin \frac{p+q}{2}$ lo convierte en
$y=2a\cos \left(\frac{\Delta \omega t}{2}\right)\sin (\bar{\omega }t)$
donde $\bar{\omega }=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$ es la frecuencia angular media. El segundo factor es una oscilación rápida a la frecuencia media; el primero es una envolvente lenta que fija su tamaño.

La tercera cuerda de la animación, que se muestra en este nivel, suma dos ondas de amplitud $a=1\mathrm{cm}$ con las frecuencias $f_1=1,5\mathrm{Hz}$ y $f_2=1,25\mathrm{Hz}$ (en hercios, $f=\omega /(2\pi )$). La oscilación rápida va a su media, 1,375 Hz, y el coseno de la envolvente a la mitad de su diferencia, 0,125 Hz: un periodo del coseno por cada bucle de 8 s. La sonoridad sigue el tamaño de la envolvente, no su signo, y ese tamaño alcanza un máximo dos veces por periodo del coseno, una vez donde el coseno vale $+1$ y otra donde vale $-1$. Así que las pulsaciones se producen a la diferencia completa,
$f_{\mathrm{pulso}}=|f_1-f_2|$
aquí 0,25 Hz, una pulsación cada 4 s. En la gráfica de $y(t)$ en el punto P, la curva morada crece hasta casi 2 cm cerca de $t=0,4\mathrm{s}$ y $4,4\mathrm{s}$ y se estrecha hasta anularse cerca de 2,4 s y 6,4 s, siempre dentro de la envolvente discontinua $\pm 2a$.

Cada pulsación contiene $1,375\cdot 4=5,5$ oscilaciones rápidas, porque en 4 s la onda 1 hace 6 ciclos y la onda 2 hace 5. El medio ciclo de más hace que el movimiento rápido vuelva a empezar al revés después de cada estrechamiento, y por eso el coseno de la envolvente necesita dos pulsaciones para repetirse. En la figura 3, esto es la flecha más rápida adelantando a la más lenta una vez por pulsación. Con amplitudes desiguales $A_1$ y $A_2$, el teorema del coseno con $\phi =\Delta \omega t$ da la intensidad
$I\propto A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \omega t)$
que oscila entre $(A_1+A_2{)}^2$ y $(A_1-A_2{)}^2$. Las pulsaciones siguen ahí, pero el sonido nunca llega a callar.

Modulación: las pulsaciones leídas al revés

Las pulsaciones muestran que dos frecuencias próximas sumadas parecen una sola frecuencia con una amplitud que cambia despacio. Leído al revés, esto significa que una onda cuya amplitud se hace variar contiene frecuencias adicionales. Así transporta el sonido la radio AM.

Sea una portadora de frecuencia angular ${\omega }_c$ cuya amplitud sigue un tono de frecuencia angular ${\omega }_m$, con profundidad de modulación $b$: la señal es $(1+b\cos {\omega }_{m}t)\cos {\omega }_{c}t$. La fórmula del producto $\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$ la descompone en la propia portadora más dos bandas laterales de amplitud $b/2$, en ${\omega }_c+{\omega }_m$ y ${\omega }_c-{\omega }_m$. Una emisora de AM a 1,2 MHz que transmite sonido de hasta 4,5 kHz ocupa por tanto la banda de 1195,5 a 1204,5 kHz, de 9 kHz de ancho, y por eso los canales de AM en Europa están separados 9 kHz.

Muchas fuentes: un polígono de flechas

Las redes de difracción y los conjuntos de antenas combinan muchas fuentes, no dos. La imagen de los fasores sirve para cualquier número de ellas: las flechas se colocan simplemente una a continuación de otra en una cadena más larga.

Leyenda

$N$	Número de fuentes iguales, aquí 5.
$a$	Amplitud de una fuente: la longitud de cada flecha azul.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitud de la suma: la flecha roja desde el principio de la cadena hasta su final.	$\mathrm{m}$
$\phi$	Salto de fase entre fuentes vecinas: el ángulo que cada flecha está girada respecto a la anterior.	$\mathrm{rad}$
$N\phi$	Ángulo que abarca la cadena entera, de la primera flecha a la última, en el centro de la circunferencia discontinua.	$\mathrm{rad}$

La figura 4 toma $N$ fuentes iguales en fila, cada una con una fase $\phi$ por delante de la anterior; a la izquierda, $N=5$. Las $N$ flechas tienen la misma longitud $a$, y cada una está girada el mismo ángulo $\phi$ respecto a la anterior. Una cadena de lados iguales y con el mismo giro en cada vértice es parte de un polígono regular, así que sus vértices están en una misma circunferencia, la discontinua; sea $R$ su radio. Vista desde el centro, cada lado abarca el ángulo $\phi$, y la cadena entera, desde el origen de la primera flecha hasta la punta de la última, abarca $N\phi$. La suma $A$, la flecha roja, cierra la cadena.

Una cuerda que abarca el ángulo $\beta$ en el centro de una circunferencia de radio $R$ mide $2R\sin (\beta /2)$: la recta que va del centro a su punto medio divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos. Así, un lado es $a=2R\sin (\phi /2)$, y la cuerda que cierra la cadena es $A=2R|\sin (N\phi /2)|$. Al dividir la segunda entre la primera desaparece el radio desconocido $R$:
$A=a\left|\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right|$
Para $N=2$, la identidad $\sin \phi =2\sin (\phi /2)\cos (\phi /2)$ devuelve $A=2a|\cos (\phi /2)|$.

Destacan dos casos. Cuando $\phi$ es múltiplo de $2\pi$, todas las flechas apuntan en el mismo sentido, así que $A=Na$ y la intensidad es $I=N^2{I}_0$, donde $I_0$ es la intensidad de una sola fuente. A medida que $\phi$ crece desde cero, la cadena se enrosca, y el primer cero llega en $\phi =2\pi /N$: los $N$ giros sucesivos de $\phi$ suman entonces una vuelta completa y el polígono se cierra sobre sí mismo, como a la derecha de la figura 4. Con diez fuentes, los picos son 100 veces más intensos que los de una sola fuente, y sus primeros ceros están en $\phi =2\pi /10$ en lugar de $\pi$ como con dos fuentes, de modo que los picos son cinco veces más estrechos. La intensidad media sigue siendo $10I_0$, porque los términos cruzados promedian cero: la energía se concentra en picos estrechos y brillantes. Este es el principio de las redes de difracción y de los conjuntos de radiotelescopios.

Ondas estacionarias y paquetes de ondas

La superposición también explica dos patrones que aparecen en lecciones posteriores: las ondas que se quedan quietas y las ondas confinadas en un paquete corto.

Dos ondas iguales que avanzan en sentidos opuestos suman, por la identidad usada para las pulsaciones,
$a\sin (kx-\omega t)+a\sin (kx+\omega t)=2a\sin kx\cos \omega t$
Todos los puntos oscilan acompasados entre sí, con una amplitud $2a|\sin kx|$ fijada por su posición. Donde $\sin kx=0$, cada $\lambda /2$, hay nodos que nunca se mueven: es una onda estacionaria.

Sumar muchas frecuencias vecinas, repartidas en una banda de anchura $\Delta f$, forma un único paquete de ondas. Las componentes coinciden en fase en un instante y se desacompasan en un tiempo de alrededor de $1/\Delta f$, así que cuanto más corto es el paquete, más ancha es la banda que necesita: aproximadamente $\Delta f\Delta t\approx 1$. La envolvente del paquete se mueve con la velocidad de grupo $d\omega /dk$; para dos ondas, es la velocidad $\Delta \omega /\Delta k$ del patrón de pulsaciones. En la cuerda de la animación todas las frecuencias viajan a los mismos 5 cm/s, así que $\omega =vk$ y la velocidad de grupo es igual a la velocidad de las ondas: la envolvente de las pulsaciones, que se repite cada $v/\Delta f=20\mathrm{cm}$ a lo largo de la cuerda, mantiene el paso de las ondas. En aguas profundas, donde las ondas largas van más deprisa que las cortas, no sería así: allí la envolvente se mueve a solo la mitad de la velocidad de las crestas.

Problema resuelto: un altavoz desafinado

Este problema reúne la ley de las amplitudes, el contraste de un patrón y las pulsaciones.

Toma los dos altavoces del nivel intermedio, en fase a 686 Hz, de modo que $\lambda =0,50\mathrm{m}$ en el aire a 343 m/s. Un oyente está a 3,00 m de uno y a 3,75 m del otro. La amplitud de cada altavoz cae como $1/r$, así que en el oyente el lejano es más débil en la proporción $3,00/3,75=0,80$. Halla el contraste del patrón y luego deja que el altavoz lejano se desvíe hasta 686,25 Hz.

Antes de la desviación, la diferencia de camino es $\Delta =0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$, así que $\phi =2\pi \cdot 1,5=3\pi$ y $\cos \phi =-1$: el oyente está en un punto silencioso. Mide las intensidades en unidades del altavoz cercano solo, de modo que $A_1=1$ y $A_2=0,8$. Los valores más bajo y más alto que puede tomar el patrón, en $\cos \phi =-1$ y $\cos \phi =+1$, son
$I_{\min }=(1-0,8{)}^2=0,04,I_{\max }=(1+0,8{)}^2=3,24$
La visibilidad, o contraste, del patrón compara ambos. Como $I_{\max }-I_{\min }=4A_1{A}_2$ e $I_{\max }+I_{\min }=2(A_1^2+A_2^2)$,
$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{2A_1{A}_2}{A_1^2+A_2^2}=\frac{1,6}{1,64}=0,98$
Un desajuste del 20 % en la amplitud sigue dejando una caída de $10{\log }_{10}(3,24/0,04)\approx 19\mathrm{dB}$ por debajo del valor más alto: la interferencia es tolerante.

Desafina ahora el altavoz lejano 0,25 Hz. Su fase gana un ciclo completo sobre la del otro cada 4 s, así que $\phi$ recorre todos los valores, y el oyente percibe pulsaciones a 0,25 Hz, el ritmo de la tercera cuerda de la animación: 0,04 en $t=0$, 3,24 dos segundos después, 0,04 otra vez a los 4 s.

La misma deriva desplaza el patrón en el espacio. En la línea que une los altavoces, un paso $\delta$ hacia uno acorta un camino en $\delta$ y alarga el otro en $\delta$, así que cambia $\Delta$ en $2\delta$; los puntos silenciosos, separados una longitud de onda de $\Delta$, están por tanto a $\lambda /2=0,25\mathrm{m}$ unos de otros. Mientras la fase deriva, todo el patrón se desliza una separación por pulsación, 0,25 m en 4 s o unos 6 cm/s, hacia el altavoz de menor frecuencia. Las pulsaciones en el tiempo y las franjas en el espacio son un único fenómeno: un patrón que pasa ante un oído fijo.

Promediado sobre una pulsación, el término cruzado se anula y queda $1+0,8^2=1,64$, la suma de las dos intensidades por separado. Si la desviación variara al azar unos pocos hercios, todos los asientos recibirían de media ese mismo 1,64: las fuentes independientes suman intensidades, no amplitudes.

Límites de validez

La superposición solo es exacta mientras el medio responda de forma lineal, es decir, mientras duplicar la perturbación duplique la respuesta. Las ondas intensas rompen esta regla, y la coherencia impone un segundo límite.

Una onda sonora no puede tener una amplitud de presión mayor que la presión atmosférica, porque la presión en una rarefacción no puede bajar de cero; para un tono puro ese límite es de unos 191 dB. Mucho antes de alcanzarlo, las compresiones de una onda intensa viajan más deprisa que sus rarefacciones, y la onda se empina hasta formar una onda de choque. Una cuerda que se aparta demasiado se estira, de modo que su tensión y su tono suben, y una ola rompe cuando su altura alcanza aproximadamente un séptimo de su longitud de onda.

La luz en el vacío obedece ecuaciones lineales: la dispersión de luz por luz que predice la teoría cuántica solo se ha observado en colisionadores de partículas. En algunos cristales, en cambio, una luz intensa lleva a los electrones más allá de su respuesta lineal y crea frecuencias nuevas: un puntero láser verde convierte luz infrarroja de 1064 nm en luz verde de 532 nm, de frecuencia doble.

Las franjas estables exigen además coherencia: las dos ondas deben mantener una diferencia de fase fija. Un tren de ondas real con una dispersión de frecuencias $\Delta f$ mantiene una fase estable solo a lo largo de su longitud de coherencia, $L_c\approx c/\Delta f$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Para la luz solar, que abarca toda la banda visible, es de alrededor de 1 µm, y por eso las películas de jabón solo muestran colores mientras no pasan de un micrómetro de grosor. Para un láser con $\Delta f\approx 1\mathrm{MHz}$ es de unos 300 m. Los detectores también promedian: los ojos y los fotodiodos solo registran la intensidad media, y el oído sigue las pulsaciones solo hasta unas 15 por segundo.

Lo que viene después

Dos ondas iguales que avanzan en sentidos opuestos dan los nodos fijos de la lección Ondas estacionarias. Muchas fuentes coherentes a lo largo de una rendija o de una red forman las franjas de la lección Difracción y experimento de la doble rendija, donde de nuevo $\Delta =d\sin \theta$. La luz es un patrón viajero de campos eléctrico y magnético, como explica la lección Ondas electromagnéticas, y dos componentes perpendiculares iguales, desfasadas un cuarto de ciclo, dan los estados circulares de la lección Polarización de la luz.

Las fuentes incoherentes suman intensidades, que es como se combinan los decibelios en la lección Sonoridad, intensidad y decibelios; dos fuentes coherentes en fase suman 6 dB en un punto brillante en lugar de 3 dB, porque la intensidad allí es cuatro veces, y no el doble, la de una sola fuente. Los electrones y los fotones sueltos van formando las franjas punto a punto: se suman amplitudes, y las probabilidades son sus cuadrados. Esa idea, el corazón de las lecciones Dualidad onda-corpúsculo y Ecuación de Schrödinger y efecto túnel, es la superposición en su sentido más profundo.