व्यतिकरण और अध्यारोपण

जब तरंगें अध्यारोपित होती हैं, तो उनके विस्थापन सीधे जुड़ जाते हैं, $y = y_{1} + y_{2}$ : पथ अंतर $Δ$ के अनुसार वे एक-दूसरे को प्रबल या निर्बल करती हैं, और थोड़ी भिन्न आवृत्तियों पर वे विस्पंद उत्पन्न करती हैं।

डोरियों पर तरंगें बिंदु-दर-बिंदु जुड़ती हुईं: समान कला में वे एक-दूसरे को प्रबल करती हैं, आधी तरंग के कला-अंतर पर निरस्त करती हैं।

इस विषय से पहले: तरंगों की मूल बातें

शुरुआती

मुख्य विचार

दो तरंगें मिलती हैं तो उनकी ऊँचाइयाँ सीधे जुड़ जाती हैं; उसके बाद हर तरंग अपरिवर्तित आगे बढ़ती है।
शृंग पर शृंग से तरंग दोगुनी ऊँची हो जाती है: तरंगें एक-दूसरे की सहायता करती हैं।
शृंग पर गर्त से वे एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं: इसी सिद्धांत से शोर-निरोधक हेडफ़ोन काम करते हैं।
लगभग समान स्वर की दो ध्वनियाँ कभी समान और कभी विपरीत कला में आती हैं: आप विस्पंद सुनते हैं, प्रति सेकंड आवृत्ति-अंतर जितने।
प्रबल ध्वनि के निकट सदा शांत स्थान होते हैं: ऊर्जा केवल इधर-उधर जाती है, नष्ट नहीं होती।

जब दो तरंगें मिलती हैं, तो वे गेंदों की तरह एक-दूसरे से टकराकर नहीं लौटतीं। वे सीधे जुड़ जाती हैं: हर बिंदु पर ऊँचाई वही होती है जो पहली तरंग अकेले देती, और दूसरी तरंग अकेले देती, इन दोनों का योग। उसके बाद हर तरंग अपने मार्ग पर अपरिवर्तित आगे बढ़ती है, जैसे कमरे में पार होती दो बातचीतें एक-दूसरे को बिगाड़ती नहीं। इस जोड़ को अध्यारोपण कहते हैं।

ऐनिमेशन में एक ही डोरी पर दो तरंगें (बिंदीदार) और उनका योग (ठोस) दिखते हैं। ऊपर की डोरी पर तरंगें समान कला में हैं: शृंग शृंग से और गर्त गर्त से मिलता है, इसलिए डोरी दोगुनी ऊँचाई तक झूलती है। यह संपोषी व्यतिकरण है।

नीचे की डोरी पर एक तरंग दूसरी से आधी तरंगदैर्ध्य खिसकी हुई है, इसलिए हर शृंग किसी गर्त से मिलता है। एक तरंग जितना ऊपर खींचती है, दूसरी उतना ही नीचे, और डोरी लगभग नहीं हिलती: यह विनाशी व्यतिकरण है। शोर-निरोधक हेडफ़ोन यही तरकीब अपनाते हैं और आपके कान में शोर की उलटी प्रति बजाते हैं।

शांत स्थान पर ऊर्जा कहाँ जाती है? वह नष्ट नहीं होती। दो लाउडस्पीकर एक ही स्थिर स्वर बजाएँ, तो कमरे में घूमते हुए आपको शांत स्थान ठीक प्रबल स्थानों के बगल में मिलेंगे: ऊर्जा केवल इधर-उधर जाती है। पूर्ण सन्नाटा दुर्लभ है, क्योंकि दीवारें भी ध्वनि परावर्तित करती हैं।

जब दो स्वर लगभग, पर पूरी तरह समान नहीं होते, तो तरंगें धीरे-धीरे समान और विपरीत कला में आती-जाती हैं, और ध्वनि उभरती और मिटती है: वाह, वाह, वाह। इन्हें विस्पंद कहते हैं, और इनकी संख्या प्रति सेकंड दोनों आवृत्तियों के अंतर जितनी होती है। गिटारवादक खूँटी घुमाकर दो तारों को तब तक मिलाता है जब तक विस्पंद धीमे होकर रुक न जाएँ।

स्वयं जाँचें: 440 Hz और 443 Hz के दो स्वरित्र-काँटे एक साथ बजते हैं। आप प्रति सेकंड कितने विस्पंद सुनते हैं? (तीन।)

मध्यम

मुख्य विचार

अध्यारोपण: रैखिक माध्यम में हर बिंदु और हर क्षण पर $y = y_{1} + y_{2}$ ।
पथ अंतर $Δ = mλ$ से संपोषी व्यतिकरण होता है, आयाम $A_{1} + A_{2}$ ।
$Δ = (m + \frac{1}{2}) λ$ से विनाशी व्यतिकरण होता है, आयाम $∣ A_{1} - A_{2} ∣$ , जो केवल $A_{1} = A_{2}$ होने पर शून्य होता है।
आयाम दोगुना होने का अर्थ है तीव्रता चार गुनी, क्योंकि $I \propto A^{2}$ ।
स्थिर व्यतिकरण-प्रारूप के लिए स्थिर कला-अंतर वाले कला-संबद्ध स्रोत चाहिए।

तरंगें बिंदु-दर-बिंदु जुड़ती हैं

जहाँ दो तरंगें एक ही स्थान से गुज़रती हैं, माध्यम का प्रत्येक बिंदु उन विस्थापनों के योग के बराबर विस्थापित होता है जो हर तरंग अकेले उसे देती:
$y = y_{1} + y_{2}$

यही अध्यारोपण का सिद्धांत है। विस्थापनों के चिह्न होते हैं, इसलिए 1 cm का शृंग और 1 cm का गर्त मिलकर शून्य देते हैं। यह रैखिक माध्यम में मान्य है, अर्थात ऐसे माध्यम में जिसमें प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती हो: छोटे आयाम पर डोरियाँ, वायु और जल, तथा निर्वात में प्रकाश।

हर तरंग ऐसे आगे बढ़ती है मानो दूसरी वहाँ है ही नहीं: रस्सी पर एक-दूसरे की ओर दौड़ती दो स्पंद जब अतिव्यापी होते हैं तो जुड़ते हैं, फिर अपरिवर्तित रूप में अलग हो जाते हैं। ध्यान दें कि क्या जुड़ता है: विस्थापन, तीव्रताएँ नहीं।

कला-अंतर और पथ-अंतर

एक ही आवृत्ति की दो तरंगें एक-दूसरे की सहायता करेंगी या निरस्त करेंगी, यह उनके कला-अंतर $φ$ पर निर्भर है, अर्थात एक तरंग चक्र में दूसरी से कितनी आगे है ( $2 π$ एक पूर्ण चक्र है)। समान कला में कंपन करने वाले स्रोतों के लिए यह पथ-अंतर $Δ = r_{2} - r_{1}$ से आता है, यानी वह अतिरिक्त दूरी जो एक तरंग बिंदु तक तय करती है; अतिरिक्त पथ की हर तरंगदैर्ध्य विलंब का एक चक्र है:
$φ = \frac{2 π Δ}{λ}$

अतः $Δ = 0, λ, 2 λ, \dots$ तरंगों को समान कला में लाते हैं, और $Δ = λ /2, 3 λ /2, \dots$ शृंग को गर्त पर लाते हैं। केवल तरंगदैर्ध्यों में मापा गया $Δ$ मायने रखता है: 3.2 तरंगदैर्ध्य का प्रभाव 0.2 के समान होता है।

स्थिर व्यतिकरण-प्रारूप के लिए संबद्ध स्रोत चाहिए, जिनका कला-अंतर स्थिर रहे, जैसे एक ही संकेत से चलने वाले दो लाउडस्पीकर। यदि आवृत्तियाँ थोड़ी भिन्न हों, तो कला-अंतर खिसकता है, और ध्वनि की प्रबलता हर सेकंड उतनी बार उठती-गिरती है जितना आवृत्तियों का अंतर है:
$f_{beat} = ∣ f_{1} - f_{2} ∣$
196 Hz और 198 Hz की डोरियाँ प्रति सेकंड दो विस्पंद देती हैं; ऐनिमेशन की विशेषज्ञ परत इसे तीसरी डोरी पर दिखाती है।

प्रबल और शांत होने की शर्तें

समान कला के स्रोतों और बिंदु पर $A_{1}$ व $A_{2}$ आयाम वाली तरंगों के लिए दो चरम स्थितियाँ ये हैं

$Δ = mλ \to A = A_{1} + A_{2} (constructive)$
$Δ = (m + \frac{1}{2}) λ \to A = ∣ A_{1} - A_{2} ∣ (destructive)$

यहाँ $m = 0, 1, 2, \dots$ है, और $A$ संयुक्त दोलन का आयाम है। पूर्ण सन्नाटे के लिए आयाम समान होने चाहिए।

दो समान आयाम $a$ के लिए, बीच के किसी भी पथ-अंतर पर
$A = 2 a cos \frac{π Δ}{λ}$
मिलता है, जो $Δ = 0$ पर $2 a$ से घटकर $Δ = λ /2$ पर शून्य तक सहजता से गिरता है।

हम जो सुनते या देखते हैं वह तीव्रता $I$ है, अर्थात प्रति वर्ग मीटर से गुज़रने वाली शक्ति, जो आयाम के वर्ग के अनुपात में होती है। अतः प्रत्येक $I_{0}$ अकेले देने वाले दो समान स्रोत उत्पन्न करते हैं
$I = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{π Δ}{λ})$
प्रबल स्थानों पर $4 I_{0}$ , अंधेरे स्थानों पर शून्य, और औसत $2 I_{0}$ , जैसा व्यतिकरण के बिना होता: ऊर्जा शांत स्थानों से प्रबल स्थानों की ओर जाती है, नष्ट नहीं होती।

उदाहरण: ऐनिमेशन की डोरियाँ

हर बिंदीदार तरंग का आयाम $a = 1 cm$ , तरंगदैर्ध्य $λ = 10 cm$ (ऊपरी डोरी के ऊपर का पैमाना) और आवृत्ति 0.5 Hz है, इसलिए हर बिंदु 2 s में अपनी गति दोहराता है और तरंगें $v = f λ = 5 cm/s$ से चलती हैं।

ऊपरी डोरी पर सुनहरी तरंग B नीली तरंग A के ठीक ऊपर है, इसलिए $Δ = 0$ और आयाम जुड़ते हैं:
$A = A_{1} + A_{2} = 1 + 1 = 2 cm$
P पर पाठ्यांक $- 2.0$ और $+ 2.0 cm$ के बीच झूलता है, और लाल योग किसी भी बिंदीदार तरंग से दोगुना ऊँचा है, जिसकी तीव्रता एक तरंग की $2^{2} = 4$ गुनी है।

दूसरी डोरी पर तरंग B आधी तरंगदैर्ध्य खिसकी है, $Δ = λ /2 = 5 cm$ , इसलिए A का हर शृंग B के गर्त से मिलता है:
$A = ∣ A_{1} - A_{2} ∣ = ∣1 - 1∣ = 0$
लाल योग सपाट रहता है, और पाठ्यांक 0.0 cm पर रहता है।

बीच की स्थिति में, 2.5 cm (चौथाई तरंगदैर्ध्य) का खिसकाव $A = 2 cos (π /4) \approx 1.41 cm$ और ठीक $2 I_{0}$ देगा; $λ /3$ का विस्थापन $A = 2 cos (π /3) = 1 cm$ देता है, जो अकेली एक तरंग से अधिक नहीं।

उदाहरण: दो लाउडस्पीकर

दो छोटे लाउडस्पीकर एक ही 686 Hz संकेत से समान कला में चलाए जाते हैं। ध्वनि की चाल 343 m/s होने पर तरंगदैर्ध्य $λ = v / f = 343/686 = 0.50 m$ है। आप एक लाउडस्पीकर से 3.00 m और दूसरे से 3.75 m दूरी पर खड़े हैं, अतः
$Δ = 3.75 - 3.00 = 0.75 m = 1.5 λ$
यह $m = 1$ के साथ $(m + \frac{1}{2}) λ$ है: आप एक शांत स्थान पर हैं।

कितने शांत? छोटे स्रोत का आयाम $1/ r$ के अनुपात में घटता है, इसलिए दूर वाले लाउडस्पीकर का आयाम पास वाले का $3.00/3.75 = 0.80$ है। शेष $1 - 0.80 = 0.20$ है, जिसकी तीव्रता अकेले पास वाले लाउडस्पीकर की $0.2 0^{2} = 0.04$ है, जबकि पास के एक प्रबल स्थान पर $1.8 0^{2} = 3.24$ मिलता है: 81 गुना अधिक, लगभग 19 dB।

यह स्थान स्वर पर भी निर्भर करता है: 0.75 m, 229, 686 और 1143 Hz पर अर्ध-तरंगदैर्ध्यों की विषम संख्या है, इसलिए इन स्वरों के लिए वहाँ शांति है; परंतु 457 और 915 Hz पर यह तरंगदैर्ध्यों की पूर्णांक संख्या है, इसलिए वहाँ ध्वनि प्रबल है। अतः संगीत एक स्थान पर कभी पूरी तरह शांत नहीं होता।

आँख से तरंगों को जोड़ना

अध्यारोपण का खाका बनाने के लिए कुछ बिंदुओं पर दोनों तरंगों की चिह्न सहित ऊँचाइयाँ जोड़िए और परिणामों को मिलाइए: जहाँ एक तरंग शून्य पर है, योग दूसरी के बराबर होता है, और जहाँ दोनों बराबर और विपरीत हैं, वहाँ योग शून्य होता है। ऐनिमेशन में बिंदीदार नीले और सुनहरे वक्र तरंगें हैं, ठोस लाल वक्र उनका योग है, और P से गुज़रने वाली बिंदीदार रेखा वह स्थान है जहाँ पाठ्यांक $y$ मापते हैं।

एक ही आवृत्ति की, एक ही दिशा में चलने वाली दो तरंगें जुड़कर उसी आवृत्ति और चाल की एक तरंग देती हैं: ऊपरी डोरी पर लाल शृंग 5 cm/s पर बिंदीदार शृंगों के साथ चलते हैं। सपाट दूसरी डोरी, जिस पर न कोई तरंग है न ऊर्जा, सबसे अच्छी तरह इस रूप में समझी जाती है कि एक बिंदु पर दो मार्गों से जो पहुँचता है; अलग-अलग स्रोतों में एक स्थान पर निरसन सदा किसी दूसरे स्थान पर प्रबलन के साथ होता है।

सामान्य भूलें

तीव्रताएँ जोड़ना, आयाम नहीं: समान कला वाली दो तरंगें एक की तीव्रता से 2 नहीं, $2^{2} = 4$ गुना तीव्रता देती हैं; केवल पूरे प्रारूप पर औसत ही एक स्रोत का दोगुना है।
यह मानना कि विनाशी व्यतिकरण ऊर्जा नष्ट कर देता है: शांत स्थान का 0.04 प्रबल स्थानों के 3.24 के साथ आता है, जिनका औसत 1.64 ठीक $1 + 0.8 0^{2}$ है, यानी दोनों लाउडस्पीकरों की अलग-अलग तीव्रताओं का योग।
तरंगें समान कला में न हों तो हर बार सन्नाटे की अपेक्षा: इसके लिए समान आयाम चाहिए, और 4 cm व 1 cm की तरंगें अब भी 3 cm छोड़ती हैं।
यह सोचना कि दूरी ही निर्णायक है: केवल अंतर मायने रखता है, इसलिए 3.00 m व 3.75 m, या 10.00 m व 10.75 m, दोनों 686 Hz पर शांत स्थान देते हैं।
किन्हीं भी दो स्रोतों से प्रारूप की अपेक्षा: दो बल्ब, या एक ही स्वर बजाते दो वायलिनवादक, भटकती कला वाले होते हैं, इसलिए केवल कुल तीव्रता $2 I_{0}$ बचती है।

यह कहाँ दिखता है

शोर-निरोधक हेडफ़ोन आने वाले शोर की उलटी प्रति बजाते हैं और स्थिर निम्न गुंजन, जैसे विमान-केबिन के, पर सबसे अच्छा काम करते हैं। साबुन के बुलबुलों के रंग एक पतली फ़िल्म की दोनों सतहों से परावर्तित प्रकाश से आते हैं, और कैमरा-लेंस की परावर्तन-रोधी परत लगभग 100 nm मोटी होती है ताकि हरे प्रकाश के दो परावर्तन एक-दूसरे को निरस्त करें।

2.4 GHz (तरंगदैर्ध्य 12.5 cm) पर Wi-Fi संकेत कई मार्गों से लैपटॉप तक पहुँचता है, इसलिए उसे कुछ सेंटीमीटर खिसकाने से कमज़ोर स्थान प्रबल हो सकता है; और गुरुत्वीय-तरंग संसूचक व्यतिकरण से ऐसे लंबाई-परिवर्तन मापते हैं जो प्रोटॉन से भी बहुत छोटे होते हैं। अप्रगामी तरंगें विपरीत दिशाओं में चलती तरंगों को जोड़ती हैं, और विवर्तन और द्वि-झिरी इन्हीं शर्तों को प्रकाश पर लागू करता है।

उन्नत

मुख्य विचार

घूमते तीरों (कलाक) के रूप में समान-आवृत्ति दोलनों को जोड़ें: $A_{R}^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos (φ_{1} - φ_{2})$ ।
समान आयाम पर: $I = 4 I_{0} cos^{2} (π Δ/ λ)$ , जिसका औसत $2 I_{0}$ है: व्यतिकरण ऊर्जा का पुनर्वितरण करता है, उसे उत्पन्न नहीं करता।
एक स्रोत की कला बदलने से प्रबल दिशाएँ खिसकती हैं: कलाबद्ध ऐरे की तरह, दो एंटेना किरण-पुंज की दिशा तय कर सकते हैं।
भिन्न आवृत्तियाँ: कला-अंतर बढ़ता है, $I \propto A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos ((ω_{1} - ω_{2}) t)$ : $∣ f_{1} - f_{2} ∣$ पर विस्पंद।
स्थिर प्रारूप के लिए स्थिर कला-अंतर चाहिए; स्वतंत्र स्रोतों के लिए मिश्रित पद औसत में शून्य हो जाता है और केवल $I_{1} + I_{2}$ बचता है।

तरंगें सीधे क्यों जुड़ती हैं

इस पाठ का हर निष्कर्ष एक तथ्य पर टिका है: जहाँ दो तरंगें अतिव्यापी होती हैं, उनके विस्थापन जुड़ते हैं। यह भाग बताता है कि ऐसा क्यों है, और आगे के भाग इससे निकलने वाले परिणाम दिखाते हैं।

अध्यारोपण प्रकृति का कोई अतिरिक्त नियम नहीं है। यह उस समीकरण का गुण है जिसका पालन तरंग करती है। एक तनी हुई डोरी लीजिए और मान लीजिए $y (x, t)$ समय $t$ पर स्थिति $x$ पर डोरी के उस भाग का छोटा पार्श्व विस्थापन है। हर छोटे भाग पर न्यूटन का द्वितीय नियम लगाने पर छोटे विस्थापनों के लिए तरंग-समीकरण मिलता है, जिसमें $v$ डोरी पर तरंग की चाल है:
$\frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = v^{2} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}$

यह समीकरण रैखिक है: हर पद में $y$ केवल एक बार और केवल पहली घात में आता है, न $y^{2}$ आता है, न $y$ का अपने ही अवकलजों के साथ गुणनफल। मान लीजिए $y_{1}$ और $y_{2}$ दोनों हल हैं, और किन्हीं स्थिरांकों $c_{1}$ और $c_{2}$ के लिए $y = c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2}$ आज़माइए। योग का अवकलज अवकलजों का योग होता है, और स्थिरांक आगे निकल आते हैं, इसलिए समीकरण का हर पक्ष $y_{1}$ भाग और $y_{2}$ भाग में बँट जाता है। हर भाग अपने-आप संतुलित रहता है, इसलिए यह संयोजन भी हल है। यही अध्यारोपण का सिद्धांत है: दो तरंगें एक-दूसरे के आर-पार जाती हैं, और हर बिंदु पर विस्थापन बस $y_{1} + y_{2}$ होता है।

तरंग-समीकरण का सामान्य हल $y = F (x - v t) + G (x + v t)$ इसे व्यवहार में दिखाता है: $F$ दाईं ओर चलने वाला किसी भी आकार का स्पंद है, $G$ बाईं ओर चलने वाला, और दोनों अपने आकार बरकरार रखते हुए एक-दूसरे को पार करते हैं। वायु में छोटे दाब-परिवर्तन, निर्वात में प्रकाश, जिनके क्षेत्र-समीकरण ठीक रैखिक हैं, और क्वांटम यांत्रिकी का तरंग-फलन, सभी इसी प्रकार के रैखिक समीकरणों का पालन करते हैं, इसलिए नीचे का सब कुछ इन पर भी लागू होता है।

कलाकों से दो दोलनों को जोड़ना

किसी एक बिंदु पर हर तरंग माध्यम को दोलित करती है। संयुक्त गति जानने के लिए हमें दो ऐसे दोलन जोड़ने होंगे जिनकी आवृत्ति समान हो पर आयाम और कला भिन्न हों। कोज्याओं को सीधे जोड़ना कठिन है; हर दोलन को घूमता हुआ तीर मानकर चित्र बनाने से योग सरल ज्यामिति बन जाता है।

दो दोलन हैं $y_{1} = A_{1} cos (ω t + φ_{1})$ और $y_{2} = A_{2} cos (ω t + φ_{2})$ , समान कोणीय आवृत्ति $ω$ के साथ। चित्र 1 हर एक को एक तीर के रूप में दिखाता है, जिसे कलाक (फ़ेज़र) कहते हैं। तीर की लंबाई आयाम है: नीले तीर के लिए $A_{1}$ , सुनहरे के लिए $A_{2}$ । क्षैतिज अक्ष से उसका कोण कला है: नीले तीर के लिए $ω t + φ_{1}$ , जो उसके आधार पर अंकित है, और सुनहरे के लिए $ω t + φ_{2}$ । दोलन स्वयं तीर का अक्ष पर प्रक्षेप है, उसकी छाया: लंबाई $A_{1}$ और कोण $ω t + φ_{1}$ वाले तीर का प्रक्षेप $A_{1} cos (ω t + φ_{1})$ है, जो ठीक $y_{1}$ है। समय बीतने के साथ तीर $ω$ की दर से वामावर्त घूमता है, और उसकी छाया आगे-पीछे चलती है।

अब चित्र की तीन बातों पर ध्यान दीजिए। पहली, सुनहरा तीर नीले तीर के सिरे से शुरू होता है, सिर से पूँछ तक, और लाल तीर $A$ नीले तीर के आधार से सुनहरे तीर के सिरे तक जाता है: $A$ दोनों का सदिश योग है। दूसरी, दोनों तीर समान दर $ω$ से घूमते हैं, इसलिए उनके बीच का कोण, $φ = φ_{1} - φ_{2}$ , जो सुनहरे तीर और नीले तीर के बिंदीदार विस्तार के बीच अंकित है, कभी नहीं बदलता। अतः छायांकित त्रिभुज अपना आकार बनाए रखता है और एक दृढ़ पिंड की तरह घूमता है, और $A$ भी दर $ω$ से घूमता है। तीसरी, अक्ष पर छायाएँ $y_{1}$ और $y_{2}$ एक के बाद एक पड़ती हैं और मिलकर $y$ बनाती हैं, जो $A$ की छाया है, क्योंकि सदिशों के योग का प्रक्षेप उनके प्रक्षेपों का योग होता है। अतः $y = y_{1} + y_{2}$ स्वयं उसी कोणीय आवृत्ति $ω$ का दोलन है, और उसका आयाम लंबाई $A$ है।

लंबाई $A$ त्रिभुज से निकलती है। जिस कोण पर दोनों तीर मिलते हैं, वह त्रिभुज के अंदर $π - φ$ है, क्योंकि $φ$ नीले तीर के विस्तार से मापा गया है। कोसाइन नियम, और $cos (π - φ) = - cos φ$ के साथ, देता है
$A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos φ$
आयाम सबसे बड़ा, $A_{1} + A_{2}$ , तब होता है जब $φ = 0$ और तीर एक ही दिशा में हों, और सबसे छोटा, $∣ A_{1} - A_{2} ∣$ , तब जब $φ = π$ और वे विपरीत दिशाओं में हों।

सम्मिश्र संख्याओं में वही योग इस प्रकार दिखता है। हर दोलन $A_{j} e^{i (ω t + φ_{j})}$ का वास्तविक भाग है, उभयनिष्ठ गुणक $e^{iω t}$ बाहर आ जाता है, और $A^{2} = ∣ A_{1} e^{i φ_{1}} + A_{2} e^{i φ_{2}} ∣^{2}$ ; उस सम्मिश्र योग का कोण परिणामी तरंग की कला है। वर्ग-मापांक को विस्तारित करने पर फिर से कोसाइन नियम मिलता है।

$φ$ कहाँ से आता है? समान कोणीय आवृत्ति $ω$ वाले दो स्रोत लीजिए, जिनकी अपनी कलाएँ $α_{1}$ और $α_{2}$ हैं, और एक बिंदु जो उनसे $r_{1}$ और $r_{2}$ दूरी पर है। चाल $v$ से चलने वाली तरंग को पहुँचने में $r_{j} / v$ समय लगता है, इसलिए समय $t$ पर बिंदु तक पहुँचने वाली तरंग स्रोत $j$ से समय $t - r_{j} / v$ पर निकली थी। अतः उसकी कला $ω (t - r_{j} / v) + α_{j} = ω t + α_{j} - k r_{j}$ है, जहाँ $k = ω / v = 2 π / λ$ तरंग-संख्या है और $λ$ तरंगदैर्ध्य। अतः $φ_{j} = α_{j} - k r_{j}$ , और अंतर में उभयनिष्ठ $ω t$ लुप्त हो जाता है:
$φ = φ_{1} - φ_{2} = \frac{2 π Δ}{λ} + (α_{1} - α_{2}), Δ = r_{2} - r_{1}$
यहाँ $Δ$ पथ-अंतर है, अर्थात दूसरे स्रोत की तरंग द्वारा तय की गई अतिरिक्त दूरी। पथ की हर अतिरिक्त तरंगदैर्ध्य कला-अंतर में $2 π$ जोड़ती है।

समान आयाम $a$ वाले, समान कला वाले स्रोतों ( $α_{1} = α_{2}$ ) के लिए कोसाइन नियम $A^{2} = 2 a^{2} (1 + cos φ)$ बन जाता है। सर्वसमिका $1 + cos φ = 2 cos^{2} (φ /2)$ इसे $A^{2} = 4 a^{2} cos^{2} (φ /2)$ बनाती है, और चूँकि $φ /2 = π Δ/ λ$ ,
$A = 2 a cos \frac{π Δ}{λ}$
कुछ विशेष स्थितियाँ सीधे त्रिभुज से पढ़ी जा सकती हैं। $Δ = λ /3$ पर कला-अंतर $2 π /3$ , यानी 120° है, इसलिए त्रिभुज के अंदर का कोण 60° है; 60° कोण पर दो बराबर भुजाएँ समबाहु त्रिभुज बनाती हैं, और $A = a$ । $Δ = λ /4$ पर तीर लंबवत हैं, $A$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज का कर्ण है, और $A = 2 a$ ।

तीव्रता और ऊर्जा कहाँ जाती है

कान या आँख आयाम नहीं, बल्कि तीव्रता $I$ दर्ज करते हैं, अर्थात प्रति वर्ग मीटर से गुज़रने वाली शक्ति, जो आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। यह भाग आयाम-नियम को तीव्रता-नियम में बदलता है और जाँचता है कि व्यतिकरण केवल ऊर्जा को इधर-उधर करता है।

कोसाइन नियम को उस स्थिरांक से गुणा कीजिए जो $A^{2}$ को तीव्रता में बदलता है। पद $A_{1}^{2}$ और $A_{2}^{2}$ बन जाते हैं $I_{1}$ और $I_{2}$ , यानी हर स्रोत अकेले जितनी तीव्रता देता है, और $A_{1} A_{2}$ बन जाता है $I_{1} I_{2}$ :
$I = I_{1} + I_{2} + 2 I_{1} I_{2} cos φ$
समान कला में दो समान स्रोत, जिनमें से हर एक अकेला $I_{0}$ देता है, के लिए $φ = 2 π Δ/ λ$ और
$I = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{π Δ}{λ})$
सामान्य नियम का अंतिम पद, $2 I_{1} I_{2} cos φ$ , क्रॉस-पद (cross term) कहलाता है, और व्यतिकरण यही है: इसके बिना तीव्रताएँ सीधे जुड़ जातीं। किसी पर्दे या कमरे में $φ$ कई पूर्ण चक्रों से गुज़रता है, और एक पूर्ण चक्र पर $cos φ$ का औसत शून्य होता है। औसतन जो बचता है वह है $I_{1} + I_{2} = 2 I_{0}$ : दीप्त पट्टियाँ, $4 I_{0}$ पर, वही पाती हैं जो अदीप्त पट्टियाँ खोती हैं।

यह लेखा-जोखा मानता है कि स्रोत कई तरंगदैर्ध्य दूर हैं। पास-पास होने पर वे युग्मित होते हैं: हर स्रोत एक ऐसे माध्यम को धकेलता है जिसे दूसरे स्रोत की तरंग भी गति दे रही है। यदि वह तरंग धक्के के साथ समान कला में पहुँचे, तो स्रोत अधिक दाब, या क्षेत्र, के विरुद्ध काम करता है और अधिक विकिरण करता है; यदि विपरीत कला में पहुँचे, तो कम। $d$ दूरी पर रखे दो छोटे स्रोत, समान प्रबलता से और कला-अंतर $α$ के साथ चलाए गए, कुल मिलाकर विकिरण करते हैं
$P = 2 P_{0} (1 + cos α \frac{s i n k d}{k d})$
जहाँ $P_{0}$ वह शक्ति है जो एक स्रोत अकेले विकिरित करता है। दो जाँच: जब $k d$ बड़ा हो, तो $sin k d / (k d)$ छोटा होता है और $P \approx 2 P_{0}$ , यानी अलग-अलग शक्तियों का योग; जब $d \to 0$ , तो गुणक 1 की ओर जाता है, इसलिए समान कला के दो स्रोत दोगुनी शक्ति वाले एक स्रोत की तरह व्यवहार करते हैं, $P = 4 P_{0}$ , जबकि विपरीत कला के दो स्रोत एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

उदाहरण: 1.5 m दूर रखे, 50 Hz बजाते दो लाउडस्पीकर (वायु में तरंगदैर्ध्य 6.86 m, इसलिए $k d = 1.37$ ) समान कला में $3.43 P_{0}$ विकिरित करते हैं, परंतु उनमें से एक उल्टे तार से जुड़ा हो, जिससे उसकी कला पलट जाए, तो केवल $0.57 P_{0}$ । यह 6 गुना का अंतर है, लगभग 8 dB की निम्न-आवृत्ति हानि। ऊर्जा फिर भी संरक्षित रहती है: हवा हर लाउडस्पीकर पर अलग भार डालती है, इसलिए एम्पलीफ़ायर बस एक भिन्न शक्ति देता है।

दूर के क्षेत्र में पथ-अंतर और किरण-पुंज का मोड़

एंटेना, लाउडस्पीकर और झिरियों को आमतौर पर उनके अंतराल से कई गुना दूर से देखा जाता है। तब पथ-अंतर केवल दिशा पर निर्भर होता है, और व्यतिकरण-प्रारूप दिशाओं का प्रारूप बन जाता है। चित्र 2 यही पथ-अंतर निकालता है।

चित्र 2 में स्रोत $S_{1}$ और $S_{2}$ एक-दूसरे से $d$ दूरी पर हैं, और हम उनके लंब-समद्विभाजक (क्षैतिज बिंदीदार रेखा) से कोण $θ$ पर स्थित एक दूर के बिंदु की ओर देख रहे हैं। चूँकि बिंदु बहुत दूर है, उस तक जाने वाली दो किरणें, नीली $S_{1}$ से और सुनहरी $S_{2}$ से, लगभग समानांतर हैं। $S_{1}$ से सुनहरी किरण तक खींची बिंदीदार रेखा उस किरण से समकोण पर मिलती है। इस रेखा के आगे दोनों पथ समान लंबाई के हैं, इसलिए $S_{2}$ के पथ की अतिरिक्त लंबाई केवल $S_{2}$ और बिंदीदार रेखा के पाद के बीच का बैंगनी खंड है। वही खंड $Δ$ है।

बैंगनी खंड एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा है, जिसका कर्ण $S_{1} S_{2}$ है, जिसकी लंबाई $d$ है। उस त्रिभुज का $S_{1}$ पर कोण $θ$ के बराबर है: रेखा $S_{1} S_{2}$ लंब-समद्विभाजक के समकोण पर है, बिंदीदार रेखा किरणों के समकोण पर है, और दो रेखाओं को एक ही समकोण से घुमाने पर उनके बीच का कोण नहीं बदलता। बैंगनी भुजा उस कोण के सामने है, अतः
$Δ = d sin θ$
समान कला वाले स्रोतों के लिए तरंगें उन सभी दिशाओं में समान कला में पहुँचती हैं और प्रबल किरण-पुंज बनाती हैं, जहाँ $d sin θ$ तरंगदैर्ध्यों की पूर्ण संख्या हो।

स्रोतों की कलाएँ जानबूझकर भी तय की जा सकती हैं। मान लीजिए $S_{1}$ , $S_{2}$ से कला $α$ जितनी पीछे है, अर्थात $α_{1} - α_{2} = - α$ । तब $φ = 2 π d sin θ / λ - α$ , और सबसे प्रबल दिशा, जहाँ $φ = 0$ है, खिसककर आ जाती है
$sin θ = \frac{α λ}{2 π d}$
किरण-पुंज विलंबित स्रोत $S_{1}$ की ओर झुकता है: उसका छोटा पथ उसके देर से शुरू होने की भरपाई ठीक-ठीक कर देता है। 10 GHz के एक रडार ( $λ = 3.0 cm$ ) के तत्व 1.5 cm दूर हैं, और हर तत्व अपने पड़ोसी से एक चौथाई चक्र (90°) पीछे है; यह $sin θ = 0.5$ , यानी 30° पर लक्ष्य करता है। कलाएँ विद्युतीय रूप से बदलकर किरण-पुंज को बिना किसी चलते पुर्ज़े के घुमाया जा सकता है: कलाबद्ध ऐरे एंटेना इसी प्रकार काम करते हैं।

समय में व्यतिकरण: विस्पंद

अब तक दोनों तरंगों की आवृत्ति समान थी, इसलिए किसी बिंदु पर कला-अंतर स्थिर रहता था। यदि आवृत्तियाँ थोड़ी भिन्न हों, तो कला-अंतर समय के साथ लगातार बढ़ता है, और एक स्थान पर संयुक्त प्रबलता उठती-गिरती है। ये उभार विस्पंद हैं, जिनसे संगीतकार अपने वाद्यों को सुर में लाते हैं।

चित्र 3 उन्हीं तीरों से विस्पंद दिखाता है। दोनों दोलनों का आयाम $a$ है, और उनकी कोणीय आवृत्तियाँ $ω_{1}$ और $ω_{2}$ एक छोटी मात्रा $Δ ω = ω_{1} - ω_{2}$ से भिन्न हैं। नीले तीर को देखिए, मानो आप उसके साथ $ω_{1}$ पर घूम रहे हों, ताकि वह अक्ष के अनुदिश स्थिर रहे। सुनहरा तीर, जो धीमी $ω_{2}$ से घूमता है, लगातार पीछे रहता है: समय $t$ के बाद वह कोण $Δ ω t$ से पीछे खिसक चुका होता है। उसका आधार नीले तीर के सिरे पर रहता है, इसलिए उसका अपना सिरा वहाँ केंद्रित त्रिज्या $a$ के बिंदीदार वृत्त पर घूमता है। लाल योग $A$ इसीलिए खिंचता और सिकुड़ता है: जब दोनों तीर एक रेखा में होते हैं तब यह $2 a$ होता है, और जब वे विपरीत दिशाओं में होते हैं, अर्थात $Δ ω t = π$ पर, तब $0$ ।

दो समान तीर और उनका योग एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं, जो किसी भी क्षण योग की लंबाई देता है: $A = 2 a ∣ cos (Δ ω t /2) ∣$ । दाईं ओर का आलेख इसे $Δ ω t$ के विरुद्ध दर्शाता है, और उसका बिंदु बाईं ओर के क्षण को चिह्नित करता है। वक्र $Δ ω t$ के हर $2 π$ पर दोहराता है, अर्थात समय में हर $2 π /Δ ω$ पर। यही एक विस्पंद है: वह समय जिसमें तेज़ तीर धीमे तीर से एक पूरा चक्र आगे निकल जाता है।

बीजगणित भी यही परिणाम देता है। एक स्थिर बिंदु पर $y = a sin ω_{1} t + a sin ω_{2} t$ लीजिए। सर्वसमिका $sin p + sin q = 2 cos \frac{p - q}{2} sin \frac{p + q}{2}$ इसे बदल देती है
$y = 2 a cos (\frac{Δ ω t}{2}) sin (\overset{ω}{ˉ} t)$
जहाँ $\overset{ω}{ˉ} = (ω_{1} + ω_{2}) /2$ माध्य कोणीय आवृत्ति है। दूसरा गुणक माध्य आवृत्ति पर तेज़ दोलन है; पहला धीमा आवरण है जो उसका आकार तय करता है।

ऐनिमेशन की तीसरी डोरी, इस स्तर पर दिखाई गई, आयाम $a = 1 cm$ और आवृत्तियों $f_{1} = 1.5 Hz$ व $f_{2} = 1.25 Hz$ वाली दो तरंगें जोड़ती है (हर्ट्ज़ में, $f = ω / (2 π)$ )। तेज़ दोलन उनके माध्य, 1.375 Hz, पर चलता है, और आवरण की कोज्या उनके अंतर के आधे, 0.125 Hz, पर: कोज्या का एक चक्र हर 8 s के लूप में। प्रबलता आवरण के आकार का अनुसरण करती है, उसके चिह्न का नहीं, और यह आकार कोज्या के हर चक्र में दो बार चरम पर होता है, एक बार जहाँ कोज्या $+ 1$ है और एक बार जहाँ $- 1$ । अतः विस्पंद पूरे अंतर पर आते हैं,
$f_{beat} = ∣ f_{1} - f_{2} ∣$
यहाँ 0.25 Hz, यानी हर 4 s पर एक विस्पंद। बिंदु P पर $y (t)$ के आलेख में बैंगनी रेखा $t = 0.4 s$ और $4.4 s$ के आसपास लगभग 2 cm तक फूलती है और 2.4 s व 6.4 s के आसपास शून्य तक सिकुड़ती है, हमेशा बिंदीदार आवरण $\pm 2 a$ के भीतर।

हर विस्पंद में $1.375 \cdot 4 = 5.5$ तेज़ दोलन होते हैं, क्योंकि 4 s में तरंग 1 के 6 चक्र और तरंग 2 के 5 चक्र होते हैं। अतिरिक्त आधा चक्र यह दर्शाता है कि हर सिकुड़न के बाद तेज़ गति उलटी होकर फिर से शुरू होती है, इसीलिए आवरण की कोज्या को दोहराने के लिए दो विस्पंद चाहिए। चित्र 3 में यह हर विस्पंद में एक बार तेज़ तीर का धीमे तीर को पार करना है। असमान आयाम $A_{1}$ और $A_{2}$ के साथ, $φ = Δ ω t$ रखकर कोसाइन नियम तीव्रता देता है
$I \propto A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos (Δ ω t)$
जो $(A_{1} + A_{2})^{2}$ और $(A_{1} - A_{2})^{2}$ के बीच झूलती है। विस्पंद फिर भी रहते हैं, पर ध्वनि कभी पूरी तरह शांत नहीं होती।

मॉड्यूलेशन: विस्पंद को उल्टा पढ़ना

विस्पंद दिखाते हैं कि दो निकट आवृत्तियाँ जोड़ने पर एक धीरे-धीरे बदलते आयाम वाली एक आवृत्ति जैसी लगती हैं। उलटी दिशा में पढ़ें, तो जिस तरंग का आयाम बदला जाता है, उसमें अतिरिक्त आवृत्तियाँ होती हैं। AM रेडियो इसी प्रकार ध्वनि ले जाता है।

कोणीय आवृत्ति $ω_{c}$ की एक वाहक तरंग का आयाम, मॉड्यूलेशन-गहराई $b$ के साथ, कोणीय आवृत्ति $ω_{m}$ की एक स्वर का अनुसरण करे: संकेत है $(1 + b cos ω_{m} t) cos ω_{c} t$ । गुणन-नियम $cos p cos q = \frac{1}{2} [cos (p + q) + cos (p - q)]$ इसे वाहक स्वयं और दो पार्श्व-बैंड में विभाजित करता है, जिनका आयाम $b /2$ है, $ω_{c} + ω_{m}$ और $ω_{c} - ω_{m}$ पर। अतः 1.2 MHz का एक AM स्टेशन, जो 4.5 kHz तक की ध्वनि ले जाता है, 1195.5 से 1204.5 kHz का बैंड घेरता है, 9 kHz चौड़ा, इसीलिए यूरोप में AM चैनल 9 kHz के अंतर पर होते हैं।

कई स्रोत: तीरों का बहुभुज

ग्रेटिंग और एंटेना ऐरे दो नहीं, कई स्रोतों को जोड़ते हैं। कलाक-आरेख किसी भी संख्या को संभाल लेता है: तीर केवल एक लंबी शृंखला में सिर से पूँछ तक रखे जाते हैं।

चित्र 4 एक पंक्ति में रखे $N$ समान स्रोत लेता है, जिनमें से हर एक अपने पिछले से कला $φ$ आगे है; बाईं ओर $N = 5$ है। सभी $N$ तीरों की लंबाई $a$ है, और हर एक अपने पिछले से उसी कोण $φ$ पर घुमाया गया है। समान भुजाओं और हर कोने पर समान मोड़ वाली शृंखला एक नियमित बहुभुज का भाग है, इसलिए उसके कोने एक ही वृत्त पर होते हैं, जो बिंदीदार है; उसकी त्रिज्या $R$ मानिए। केंद्र से देखने पर हर भुजा कोण $φ$ घेरती है, और पूरी शृंखला, पहले तीर के आधार से अंतिम तीर के सिरे तक, कोण $Nφ$ घेरती है। योग $A$ , लाल तीर, शृंखला को बंद करता है।

त्रिज्या $R$ वाले वृत्त पर केंद्र पर कोण $β$ घेरने वाली जीवा की लंबाई $2 R sin (β /2)$ होती है: केंद्र से उसके मध्य-बिंदु तक की रेखा समद्विबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में बाँट देती है। अतः एक भुजा $a = 2 R sin (φ /2)$ है, और बंद करने वाली जीवा $A = 2 R ∣ sin (Nφ /2) ∣$ । दूसरे को पहले से भाग देने पर अज्ञात त्रिज्या $R$ विलुप्त हो जाती है:
$A = a \frac{s i n ( Nφ /2 )}{s i n ( φ /2 )}$
$N = 2$ के लिए सर्वसमिका $sin φ = 2 sin (φ /2) cos (φ /2)$ से फिर $A = 2 a ∣ cos (φ /2) ∣$ मिलता है।

दो स्थितियाँ विशेष रूप से उभरती हैं। जब $φ$ $2 π$ का गुणज हो, तो सभी तीर एक ही दिशा में होते हैं, इसलिए $A = N a$ और तीव्रता $I = N^{2} I_{0}$ होती है, जहाँ $I_{0}$ अकेले एक स्रोत की तीव्रता है। जैसे-जैसे $φ$ शून्य से बढ़ता है, शृंखला मुड़ जाती है, और पहला शून्य $φ = 2 π / N$ पर आता है: तब $φ$ के $N$ मोड़ मिलकर एक पूरा चक्कर बना देते हैं और बहुभुज अपने-आप बंद हो जाता है, जैसा चित्र 4 के दाईं ओर है। दस स्रोतों से शिखर एक स्रोत से 100 गुना तीव्र होते हैं, और उनके पहले शून्य दो स्रोतों के $π$ के बजाय $φ = 2 π /10$ पर होते हैं, इसलिए शिखर पाँच गुना संकरे होते हैं। औसत तीव्रता फिर भी $10 I_{0}$ है, क्योंकि क्रॉस-पद औसत में शून्य हो जाते हैं: ऊर्जा संकरे, चमकीले शिखरों में सिमट जाती है। यही विवर्तन ग्रेटिंग और रेडियो-दूरदर्शी ऐरे का सिद्धांत है।

अप्रगामी तरंगें और तरंग-पैकेट

अध्यारोपण बाद के पाठों में मिलने वाले दो प्रारूपों की भी व्याख्या करता है: वे तरंगें जो स्थिर दिखती हैं, और वे जो एक छोटे पैकेट में सीमित होती हैं।

विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो समान तरंगें, विस्पंद के लिए प्रयुक्त सर्वसमिका से, इस प्रकार जुड़ती हैं
$a sin (k x - ω t) + a sin (k x + ω t) = 2 a sin k x cos ω t$
हर बिंदु दूसरे हर बिंदु के साथ समकालिक दोलन करता है, और उसका आयाम $2 a ∣ sin k x ∣$ उसकी स्थिति से तय होता है। जहाँ $sin k x = 0$ है, यानी हर $λ /2$ पर, वहाँ कुछ ऐसे नोड हैं जो कभी नहीं हिलते: यही अप्रगामी तरंग है।

चौड़ाई $Δ f$ के बैंड में फैली बहुत-सी निकटवर्ती आवृत्तियाँ जोड़ने पर एक ही तरंग-पैकेट बनता है। घटक एक क्षण में कला में मेल खाते हैं और लगभग $1/Δ f$ समय में बेमेल हो जाते हैं, इसलिए पैकेट जितना छोटा होगा, उसे उतना चौड़ा बैंड चाहिए: मोटे तौर पर $Δ f Δ t \approx 1$ । पैकेट का आवरण समूह-वेग $d ω / d k$ से चलता है; दो तरंगों के लिए यह विस्पंद-प्रारूप की चाल $Δ ω /Δ k$ है। ऐनिमेशन की डोरी पर हर आवृत्ति 5 cm/s पर चलती है, इसलिए $ω = v k$ और समूह-वेग तरंग-वेग के बराबर है: विस्पंद-आवरण, जो डोरी के साथ हर $v /Δ f = 20 cm$ पर दोहराता है, तरंगों के साथ चलता है। गहरे पानी में, जहाँ लंबी तरंगें छोटी से तेज़ चलती हैं, ऐसा नहीं होता: वहाँ आवरण शिखरों की चाल का केवल आधा चलता है।

उदाहरण: बेसुरे लाउडस्पीकर का सवाल

यह प्रश्न आयाम-नियम, प्रारूप के विपर्यास और विस्पंद तीनों को एक साथ लाता है।

मध्यम स्तर वाले उदाहरण के दो लाउडस्पीकर लीजिए, जो 686 Hz पर समान कला में हैं, ताकि वायु में 343 m/s पर $λ = 0.50 m$ हो। एक श्रोता एक से 3.00 m और दूसरे से 3.75 m दूरी पर बैठा है। हर लाउडस्पीकर का आयाम $1/ r$ के अनुपात में घटता है, इसलिए श्रोता पर दूर वाला $3.00/3.75 = 0.80$ अनुपात से कमज़ोर है। प्रारूप का विपर्यास ज्ञात कीजिए, फिर दूर वाले लाउडस्पीकर को 686.25 Hz तक बहने दीजिए।

बहाव से पहले पथ-अंतर $Δ = 0.75 m = 1.5 λ$ है, अतः $φ = 2 π \cdot 1.5 = 3 π$ और $cos φ = - 1$ : श्रोता एक शांत स्थान पर है। तीव्रताएँ केवल पास वाले स्रोत की इकाइयों में मापिए, ताकि $A_{1} = 1$ और $A_{2} = 0.8$ । प्रारूप जो सबसे शांत और सबसे प्रबल मान ले सकता है, $cos φ = - 1$ और $cos φ = + 1$ पर, वे हैं
$I_{min} = (1 - 0.8)^{2} = 0.04, I_{max} = (1 + 0.8)^{2} = 3.24$
प्रारूप की दृश्यता, या विपर्यास, इन दोनों की तुलना करता है। चूँकि $I_{max} - I_{min} = 4 A_{1} A_{2}$ और $I_{max} + I_{min} = 2 (A_{1}^{2} + A_{2}^{2})$ ,
$V = \frac{I _{max} - I _{min}}{I _{max} + I _{min}} = \frac{2 A _{1} A _{2}}{A _{1}^{2} + A _{2}^{2}} = \frac{1.6}{1.64} = 0.98$
आयाम में 20 % का बेमेल फिर भी सबसे प्रबल मान से $10 lo g_{10} (3.24/0.04) \approx 19 dB$ नीचे की गिरावट छोड़ता है: व्यतिकरण क्षमाशील है।

अब दूर वाले लाउडस्पीकर को 0.25 Hz से बेसुरा कीजिए। उसकी कला हर 4 s पर दूसरे के मुकाबले एक पूरा चक्र आगे बढ़ती है, इसलिए $φ$ सभी मानों से गुज़रता है, और श्रोता 0.25 Hz के विस्पंद सुनता है, जो ऐनिमेशन की तीसरी डोरी की लय है: $t = 0$ पर 0.04, दो सेकंड बाद 3.24, और 4 s पर फिर 0.04।

यही बहाव प्रारूप को स्थान में भी खिसकाता है। दोनों लाउडस्पीकरों को जोड़ने वाली रेखा पर, किसी एक की ओर $δ$ का कदम एक पथ को $δ$ छोटा करता है और दूसरे को $δ$ लंबा, इसलिए $Δ$ को $2 δ$ बदल देता है; शांत स्थान, जो $Δ$ की एक तरंगदैर्ध्य दूर हैं, इसलिए $λ /2 = 0.25 m$ दूर हैं। जैसे-जैसे कला खिसकती है, पूरा प्रारूप हर विस्पंद पर एक अंतराल खिसकता है, यानी 4 s में 0.25 m, या लगभग 6 cm/s, कम आवृत्ति वाले लाउडस्पीकर की ओर। समय में विस्पंद और स्थान में पट्टियाँ एक ही घटना हैं: एक स्थिर कान के सामने से गुज़रता प्रारूप।

एक विस्पंद पर औसत लेने पर, क्रॉस-पद विलुप्त होता है और $1 + 0. 8^{2} = 1.64$ बचता है, जो दोनों अलग-अलग तीव्रताओं का योग है। यदि बेसुरापन कुछ हर्ट्ज़ तक यादृच्छिक रूप से भटके, तो हर सीट को औसतन वही 1.64 मिलेगा: स्वतंत्र स्रोत तीव्रताएँ जोड़ते हैं, आयाम नहीं।

वैधता की सीमाएँ

अध्यारोपण तभी सटीक है जब तक माध्यम रैखिक रूप से प्रतिक्रिया देता है, अर्थात जब तक विक्षोभ दोगुना करने पर प्रतिक्रिया भी दोगुनी होती है। प्रबल तरंगें यह नियम तोड़ती हैं, और कला-संबद्धता (कोहेरेंस) एक दूसरी सीमा तय करती है।

ध्वनि-तरंग का दाब-आयाम वायुमंडलीय दाब से बड़ा नहीं हो सकता, क्योंकि विरलन-क्षेत्र में दाब शून्य से नीचे नहीं जा सकता; शुद्ध स्वर के लिए यह सीमा लगभग 191 dB है। उस तक पहुँचने से बहुत पहले, प्रबल तरंग के संपीड़न अपने विरलनों से तेज़ चलने लगते हैं और तरंग तीखी होकर आघात-तरंग (शॉक) बन जाती है। डोरी को ज़्यादा झुलाने पर वह खिंच जाती है, इसलिए उसका तनाव और उसकी पिच बढ़ जाती है, और पानी की तरंग तब टूट जाती है जब उसकी ऊँचाई तरंगदैर्ध्य के लगभग सातवें भाग तक पहुँच जाती है।

निर्वात में प्रकाश रैखिक समीकरणों का पालन करता है: प्रकाश के प्रकाश से प्रकीर्णन का, जिसकी भविष्यवाणी क्वांटम सिद्धांत करता है, केवल कण-त्वरक में अवलोकन हुआ है। कुछ क्रिस्टलों में, हालाँकि, तीव्र प्रकाश इलेक्ट्रॉनों को उनकी रैखिक प्रतिक्रिया से परे धकेल देता है और नई आवृत्तियाँ उत्पन्न करता है: एक हरा लेज़र पॉइंटर 1064 nm के अवरक्त प्रकाश को 532 nm के हरे प्रकाश में बदल देता है, दुगुनी आवृत्ति पर।

स्थिर पट्टियों के लिए कला-संबद्धता भी चाहिए: दोनों तरंगों को एक स्थिर कला-अंतर बनाए रखना होगा। आवृत्तियों के प्रसार $Δ f$ वाली एक वास्तविक तरंग-श्रृंखला अपनी कला-संबद्धता लंबाई $L_{c} \approx c /Δ f$ तक ही स्थिर कला रखती है, जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है। सूर्य के प्रकाश के लिए, जो पूरे दृश्य बैंड में फैला है, यह लगभग 1 µm है, इसीलिए साबुन की फ़िल्म तभी रंग दिखाती है जब वह लगभग एक माइक्रोमीटर से मोटी न हो। $Δ f \approx 1 MHz$ वाले लेज़र के लिए यह लगभग 300 m है। संसूचक भी औसत करते हैं: आँखें और फ़ोटोडायोड केवल औसत तीव्रता दर्ज करते हैं, और कान केवल लगभग 15 प्रति सेकंड तक के विस्पंद पकड़ता है।

इससे आगे का रास्ता

विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो समान तरंगें अप्रगामी तरंगों के स्थिर नोड देती हैं। एक झिरी या ग्रेटिंग के साथ रखे बहुत-से संबद्ध स्रोत विवर्तन और द्वि-झिरी की पट्टियाँ बनाते हैं, जहाँ फिर से $Δ = d sin θ$ है। प्रकाश विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का एक चलता प्रारूप है, जैसा विद्युत चुंबकीय तरंगें समझाती हैं, और एक-चौथाई चक्र के अंतर पर रखे दो समान लंबवत घटक प्रकाश के ध्रुवण की वृत्तीय अवस्थाएँ देते हैं।

असंबद्ध स्रोत तीव्रताएँ जोड़ते हैं, और डेसिबल भी इसी प्रकार संयुक्त होते हैं (प्रबलता, तीव्रता और डेसिबल); दो समान कला वाले संबद्ध स्रोत एक प्रबल बिंदु पर 3 dB के बजाय 6 dB जोड़ते हैं, क्योंकि वहाँ तीव्रता एक स्रोत की दो गुनी नहीं, चार गुनी होती है। इलेक्ट्रॉन और एकल फ़ोटॉन पट्टियाँ बिंदु-दर-बिंदु बनाते हैं: आयाम जुड़ते हैं, और प्रायिकताएँ उनके वर्ग हैं। यह विचार, जो तरंग-कण द्वैतता और श्रोडिंगर समीकरण और सुरंगन का हृदय है, अध्यारोपण अपने सबसे गहरे रूप में है।

मुख्य सूत्र

अध्यारोपण का सिद्धांत

y = y_{1} + y_{2}

जहाँ दो तरंगें अतिव्यापी होती हैं, वहाँ हर बिंदु उन विस्थापनों के योग के बराबर विस्थापित होता है जो हर तरंग अकेले देती। चिह्न मायने रखते हैं: $+ 1 cm$ का शृंग और $- 1 cm$ का गर्त मिलकर शून्य हो जाते हैं। यह नियम तरंग-समीकरण की रैखिकता से निकलता है, क्योंकि हलों का योग भी हल होता है, अतः हर तरंग अपने मार्ग पर ऐसे आगे बढ़ती है मानो दूसरी थी ही नहीं।

चिह्न
$y$	किसी बिंदु और क्षण पर कुल विस्थापन	$m$
$y_{1}$	पहली तरंग अकेले द्वारा उत्पन्न विस्थापन	$m$
$y_{2}$	दूसरी तरंग अकेले द्वारा उत्पन्न विस्थापन	$m$

कब लागू होता है: रैखिक माध्यमों में मान्य: डोरियाँ, छोटे आयाम की ध्वनि और जल-तरंगें, तथा निर्वात में प्रकाश। बहुत बड़े आयामों (आघात-तरंगें, टूटती तरंगें) और कुछ क्रिस्टलों में बहुत तीव्र प्रकाश पर यह विफल होता है।

उदाहरण: ऐनिमेशन की ऊपरी डोरी पर, जब हर तरंग P को 1 cm ऊपर उठाती है, तो $y = 1 + 1 = 2 cm$ ; दूसरी डोरी पर $y = 1 + (- 1) = 0$ ।

संपोषी व्यतिकरण

Δ = mλ \to A = A_{1} + A_{2} (constructive)

यदि पथ-अंतर तरंगदैर्ध्य की पूर्णांक संख्या हो, तो दोनों तरंगें समान कला में पहुँचती हैं, शृंग शृंग पर, और उनके आयाम जुड़ जाते हैं। अतिरिक्त पथ की एक तरंगदैर्ध्य ठीक एक चक्र का विलंब है, जो कोई निशान नहीं छोड़ता। समान तरंगों के लिए आयाम दोगुना और तीव्रता चार गुनी हो जाती है।

चिह्न
$Δ$	पथ-अंतर, $r_{2} - r_{1}$	$m$
$m$	कोटि: $0, 1, 2, \dots$
$λ$	तरंगदैर्ध्य	$m$
$A$	संयुक्त दोलन का आयाम	$m$
$A_{1}$	बिंदु पर पहली तरंग का आयाम	$m$
$A_{2}$	बिंदु पर दूसरी तरंग का आयाम	$m$

कब लागू होता है: एक ही तरंगदैर्ध्य के संबद्ध स्रोत, जो समान कला में दोलन करें। यदि एक स्रोत उल्टा हो, तो संपोषी और विनाशी शर्तें आपस में बदल जाती हैं।

उदाहरण: 686 Hz ( $λ = 0.50 m$ ) पर दो लाउडस्पीकर जहाँ भी $Δ = 0.50 m$ होता है, वहाँ प्रबल होते हैं, यानी $m = 1$ की स्थिति।

विनाशी व्यतिकरण

Δ = (m + \frac{1}{2}) λ \to A = ∣ A_{1} - A_{2} ∣ (destructive)

यदि पथ-अंतर आधी तरंगदैर्ध्य की विषम संख्या हो, तो एक तरंग आधा चक्र देर से पहुँचती है: उसके शृंग दूसरी के गर्तों से मिलते हैं और आयामों का अंतर ही बचता है। परिणाम शून्य तभी होता है जब आयाम समान हों; अन्यथा छोटी तरंग केवल बड़ी को कमज़ोर करती है। यहाँ लुप्त ऊर्जा पास के प्रबल स्थानों पर प्रकट होती है।

चिह्न
$Δ$	पथ-अंतर, $r_{2} - r_{1}$	$m$
$m$	कोटि: $0, 1, 2, \dots$
$λ$	तरंगदैर्ध्य	$m$
$A$	संयुक्त दोलन का आयाम	$m$
$A_{1}$	बिंदु पर पहली तरंग का आयाम	$m$
$A_{2}$	बिंदु पर दूसरी तरंग का आयाम	$m$

कब लागू होता है: एक ही तरंगदैर्ध्य के संबद्ध स्रोत, जो समान कला में दोलन करें। पूर्ण सन्नाटे के लिए बिंदु पर आयाम भी समान होने चाहिए, जो भिन्न दूरियों और परावर्तनों से प्रायः बिगड़ जाते हैं।

उदाहरण: आयाम 1 और 0.8 के अनुपात में $Δ = 1.5 λ$ पर मिलें तो $A = 0.2$ बचता है: तीव्रता 0.04, जबकि प्रबल स्थान पर 3.24।

दो समान तरंगों का परिणामी आयाम

A = 2 a cos \frac{π Δ}{λ}

समान कला वाले स्रोतों से आई दो समान तरंगों की बिंदु पर कला-अंतर $φ = 2 π Δ/ λ$ होता है, और उनका योग आयाम $2 a ∣ cos (φ /2) ∣$ देता है। यह $Δ = 0$ पर $2 a$ से सहजता से घटकर $Δ = λ /2$ पर शून्य हो जाता है, और पथ-अंतर की हर तरंगदैर्ध्य पर प्रारूप दोहराता है।

चिह्न
$A$	योग का आयाम	$m$
$a$	हर तरंग का आयाम	$m$
$Δ$	पथ-अंतर	$m$
$λ$	तरंगदैर्ध्य	$m$

कब लागू होता है: समान आयाम, एक ही आवृत्ति और समान कला वाले स्रोत। असमान आयामों के लिए $A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos φ$ प्रयोग करें।

उदाहरण: ऐनिमेशन के $a = 1 cm$ और $λ = 10 cm$ पर, 2.5 cm के पथ-अंतर से $A = 2 cos (π /4) \approx 1.41 cm$ ।

एक ही आवृत्ति के दो दोलनों का योग

A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos φ

हर दोलन को उसके आयाम के बराबर लंबाई वाले घूमते तीर (कलाक) के रूप में बनाइए। एक ही आवृत्ति के तीर साथ घूमते हैं, इसलिए वे अपने योग के साथ एक दृढ़ त्रिभुज बनाते हैं, और कोसाइन नियम से उस योग की लंबाई मिलती है। अंतिम पद, यानी क्रॉस-पद, व्यतिकरण है: दोनों तरंगों के लगभग समान कला में होने पर धनात्मक, लगभग विपरीत कला में होने पर ऋणात्मक।

चिह्न
$A$	योग का आयाम	$m$
$A_{1}$	पहले दोलन का आयाम	$m$
$A_{2}$	दूसरे दोलन का आयाम	$m$
$φ$	दोनों दोलनों के बीच कला-अंतर	$rad$

कब लागू होता है: कोई भी दो ज्या-रूपी दोलन जिनकी आवृत्ति बिल्कुल समान हो, उनके आयाम और कलाएँ कुछ भी हों। यदि आवृत्तियाँ भिन्न हों, तो $φ$ समय के साथ बदलता है और यह सूत्र विस्पंद का वर्णन करता है।

उदाहरण: 4 cm और 3 cm के आयाम, $φ = π /2$ पर: $A = 16 + 9 = 5 cm$ , जो दोनों में से किसी से बड़ा है पर उनके योग से छोटा।

दो समान स्रोतों का तीव्रता-प्रारूप

I = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{π Δ}{λ})

तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है, इसलिए $A = 2 a ∣ cos (π Δ/ λ) ∣$ का वर्ग करने पर यह प्रारूप मिलता है। इसका शिखर $4 I_{0}$ है, यानी एक स्रोत का चार गुना, और पथ-अंतर में आधी तरंगदैर्ध्य दूर यह शून्य हो जाता है। कई पट्टियों पर इसका औसत $2 I_{0}$ है, जो दोनों स्रोतों का योग है: व्यतिकरण ऊर्जा का स्थानांतरण करता है, उसे उत्पन्न नहीं करता।

चिह्न
$I$	बिंदु पर तीव्रता	$W/ m^{2}$
$I_{0}$	अकेले एक स्रोत की तीव्रता	$W/ m^{2}$
$Δ$	पथ-अंतर	$m$
$λ$	तरंगदैर्ध्य	$m$

कब लागू होता है: दो समान संबद्ध स्रोत, समान कला में, इतनी दूर कि हर स्रोत अकेले की भाँति विकिरण करे। असंबद्ध स्रोतों के लिए क्रॉस-पद औसत में विलुप्त हो जाता है और हर जगह $I = 2 I_{0}$ होता है।

उदाहरण: $Δ = λ /4$ पर $cos^{2} (π /4) = 1/2$ और $I = 2 I_{0}$ : ठीक दोनों तीव्रताओं का योग।

दो निकट आवृत्तियों का योग

y = 2 a cos (\frac{Δ ω t}{2}) sin (\overset{ω}{ˉ} t)

ज्या-योग की सर्वसमिका से $a sin ω_{1} t$ और $a sin ω_{2} t$ जोड़ने पर माध्य कोणीय आवृत्ति पर एक तेज़ दोलन मिलता है, जो धीमे आवरण $2 a cos (Δ ω t /2)$ के भीतर है। आवरण की कोज्या हर आधे आवर्त में चिह्न बदलती है, और प्रबलता, जो उसके आकार का अनुसरण करती है, अपने हर आवर्त में दो बार चरम पर होती है।

चिह्न
$y$	बिंदु पर विस्थापन	$m$
$a$	हर तरंग का आयाम	$m$
$Δ ω$	कोणीय आवृत्तियों का अंतर, $ω_{1} - ω_{2}$	$rad/s$
$t$	समय	$s$
$\overset{ω}{ˉ}$	माध्य कोणीय आवृत्ति, $(ω_{1} + ω_{2}) /2$	$rad/s$

कब लागू होता है: समान आयाम; असमान आयामों पर आवरण कभी शून्य नहीं होता। तेज़ दोलन-धीमा आवरण का चित्र तभी उपयोगी है जब आवृत्तियाँ निकट हों, $∣Δ ω ∣ ≪ \overset{ω}{ˉ}$ ।

उदाहरण: ऐनिमेशन की 1.5 Hz और 1.25 Hz तरंगों के लिए तेज़ दोलन 1.375 Hz पर है, और आवरण की कोज्या की आवृत्ति 0.125 Hz है, यानी 8 s का आवर्त, जो लूप की लंबाई है।

विस्पंद आवृत्ति

f_{beat} = ∣ f_{1} - f_{2} ∣

दोनों तरंगों के बीच कला-अंतर हर $1/∣ f_{1} - f_{2} ∣$ सेकंड में एक पूरा चक्र बढ़ता है, और हर बार जब वे फिर समान कला में आती हैं, तो ध्वनि प्रबल होती है। सुनाई देने वाली पिच माध्य आवृत्ति होती है; केवल प्रबलता अंतर की दर से धड़कती है।

चिह्न
$f_{beat}$	प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या	$Hz$
$f_{1}$	पहली तरंग की आवृत्ति	$Hz$
$f_{2}$	दूसरी तरंग की आवृत्ति	$Hz$

कब लागू होता है: विस्पंद के रूप में तभी सुनाई देते हैं जब आवृत्ति-अंतर छोटा हो, लगभग प्रति सेकंड 15 तक; बड़े अंतर खुरदरे लगते हैं, और तब वे दो अलग स्वरों जैसे लगते हैं।

उदाहरण: ऐनिमेशन की 1.5 Hz और 1.25 Hz तरंगें $f_{beat} = 0.25 Hz$ देती हैं, यानी हर 4 s पर एक विस्पंद; 196 Hz और 198 Hz की डोरियाँ प्रति सेकंड दो विस्पंद देती हैं।

शब्दावली

अध्यारोपण का सिद्धांत: जहाँ तरंगें अतिव्यापी होती हैं, वहाँ हर बिंदु और हर क्षण पर कुल विस्थापन उन विस्थापनों का योग है जो हर तरंग अकेले देती, अर्थात $y = y_{1} + y_{2}$ । उसके बाद हर तरंग अपरिवर्तित आगे बढ़ती है।
रैखिक माध्यम: ऐसा माध्यम जिसका प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती हो, इसलिए तरंग-समीकरण में $y$ केवल पहली घात में आता है और उसके हल जोड़े जा सकते हैं। डोरियाँ, वायु और जल छोटे आयामों पर रैखिक होते हैं; बहुत तेज़ ध्वनि और बहुत तीव्र प्रकाश नहीं।
व्यतिकरण: संबद्ध तरंगों के अतिव्यापन पर बनने वाला प्रबलन और निरसन का प्रारूप। यह ऊर्जा को कुछ स्थानों से दूसरों की ओर ले जाता है, बिना किसी ऊर्जा को उत्पन्न या नष्ट किए।
संपोषी व्यतिकरण: पथ-अंतर $Δ = mλ$ पर तरंगें समान कला में, शृंग शृंग पर, पहुँचती हैं। आयाम जुड़ते हैं, $A = A_{1} + A_{2}$ , और दो समान तरंगें एक की तीव्रता से चार गुनी तीव्रता देती हैं।
विनाशी व्यतिकरण: पथ-अंतर $Δ = (m + \frac{1}{2}) λ$ पर आधे चक्र के अंतर से पहुँचने वाली तरंगें, शृंग गर्त पर। आयाम घटते हैं, $A = ∣ A_{1} - A_{2} ∣$ , जो केवल समान होने पर शून्य है।
पथ-अंतर: एक तरंग का किसी बिंदु तक दूसरी से जितनी अधिक दूरी तय करना, $Δ = r_{2} - r_{1}$ । केवल तरंगदैर्ध्यों में उसका आकार मायने रखता है: 1.5 तरंगदैर्ध्य आधी तरंगदैर्ध्य की तरह व्यवहार करते हैं, और 2 तरंगदैर्ध्य शून्य के समान।
कला-अंतर: एक दोलन दूसरे से चक्र में कितना आगे है, रेडियन में, जहाँ $2 π$ एक पूरा चक्र है। पथ-अंतर से $φ = 2 π Δ/ λ$ मिलता है, और स्वयं स्रोतों के बीच का कोई भी अंतर जोड़ा जाता है।
संबद्ध स्रोत: ऐसे स्रोत जिनका कला-अंतर स्थिर रहे, जैसे एक संकेत से चलने वाले दो लाउडस्पीकर या दो भागों में बँटी लेज़र किरण। असंबद्ध स्रोतों की कलाएँ भटकती हैं, इसलिए उनका प्रारूप औसत में मिट जाता है और केवल तीव्रताएँ जुड़ती हैं।
व्यतिकरण-पट्टियाँ: संबद्ध स्रोतों से बनी ध्वनि की स्थिर प्रबल और शांत पट्टियाँ, या प्रकाश की चमकीली और अंधेरी पट्टियाँ। एक प्रबल पट्टी से अगली तक पथ-अंतर एक तरंगदैर्ध्य बदलता है।
कलाक: एक घूमता तीर जिसकी लंबाई दोलन का आयाम है और कोण उसकी कला; दोलन तीर का प्रक्षेप है। एक आवृत्ति के दोलन सदिशों की तरह जुड़ते हैं, जिससे $A^{2} = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2 A_{1} A_{2} cos φ$ मिलता है।
विस्पंद: दो निकट आवृत्तियों की तरंगें अतिव्यापित होने पर प्रबलता का धीमा उठना-गिरना, क्योंकि उनका कला-अंतर स्थिर रूप से खिसकता है। प्रति सेकंड $∣ f_{1} - f_{2} ∣$ विस्पंद होते हैं: 196 Hz और 198 Hz से 2।
आवरण: वह धीरे बदलता वक्र जो एक तेज़ दोलन को घेरता है, जैसे विस्पंद के लिए $\pm 2 a cos (Δ ω t /2)$ । कान आवरण के आकार को प्रबलता के रूप में सुनता है।

राशियाँ
$y$	विस्थापन	$m$	किसी तरंग-माध्यम के बिंदु का उसकी विराम-स्थिति से, किसी क्षण पर, चिह्न सहित दूरी: शृंग पर धनात्मक, गर्त पर ऋणात्मक। यही राशि अध्यारोपण में जुड़ती है।
$A$	परिणामी आयाम	$m$	किसी बिंदु पर संयुक्त दोलन का आयाम, जो $∣ A_{1} - A_{2} ∣$ और $A_{1} + A_{2}$ के बीच होता है; यहाँ $A_{1}$ और $A_{2}$ वहाँ अलग-अलग तरंगों के आयाम हैं।
$a$	हर तरंग का आयाम	$m$	दो समान तरंगों का साझा आयाम; ऐनिमेशन में 1 cm, इसलिए उनका योग $2 a = 2 cm$ तक पहुँचता है।
$λ$	तरंगदैर्ध्य	$m$	एक शृंग से अगले शृंग तक की दूरी; ऐनिमेशन के पैमाने पर 10 cm। पथ-अंतर इसी इकाई में मापे जाते हैं।
$Δ$	पथ-अंतर	$m$	वह अतिरिक्त दूरी जो एक तरंग बिंदु तक दूसरी से अधिक तय करती है, $r_{2} - r_{1}$ । पूर्ण तरंगदैर्ध्य प्रबल स्थान देते हैं, और आधी तरंगदैर्ध्य की विषम संख्याएँ शांत स्थान।
$m$	व्यतिकरण की कोटि		एक पूर्णांक, $0, 1, 2, \dots$ , जो पथ-अंतर में समाहित पूर्ण तरंगदैर्ध्यों की गिनती करती है।
$φ$	कला-अंतर	$rad$	एक दोलन चक्र में दूसरे से कितना आगे है; $2 π rad$ एक पूरा चक्र है, और समान कला वाले स्रोतों के लिए $φ = 2 π Δ/ λ$ ।
$I$	तीव्रता	$W/ m^{2}$	प्रति वर्ग मीटर से गुज़रने वाली औसत शक्ति। यह आयाम के वर्ग के समानुपाती है, इसलिए $A$ को दोगुना करने पर यह चार गुना हो जाती है।
$I_{0}$	एक स्रोत की तीव्रता	$W/ m^{2}$	दो समान स्रोतों में से एक अकेले जो तीव्रता देता है। समान कला वाले दो स्रोत प्रबल बिंदु पर $4 I_{0}$ देते हैं, और प्रारूप पर औसतन $2 I_{0}$ ।
$f_{beat}$	विस्पंद आवृत्ति	$Hz$	जब दो निकट आवृत्तियाँ अतिव्यापित होती हैं, तो प्रति सेकंड प्रबल क्षणों की संख्या, $∣ f_{1} - f_{2} ∣$ : ऐनिमेशन की 1.5 Hz और 1.25 Hz तरंगों के लिए 0.25 Hz, यानी हर 4 s पर एक विस्पंद।
$\overset{ω}{ˉ}$	माध्य कोणीय आवृत्ति	$rad/s$	दो कोणीय आवृत्तियों का माध्य $(ω_{1} + ω_{2}) /2$ , जहाँ हर $ω = 2 π f$ : विस्पंद आवरण के भीतर तेज़ दोलन की दर, जिसकी कोज्या $Δ ω /2$ पर घूमती है, $Δ ω = ω_{1} - ω_{2}$ । ऐनिमेशन में $\overset{ω}{ˉ} = 2 π \cdot 1.375 \approx 8.6 rad/s$ ।

क्विज़

शुरुआती समान ऊँचाई की दो तरंगें ऐसे मिलती हैं कि एक शृंग ठीक दूसरे शृंग पर पड़े। वहाँ पानी क्या करता है?
1. सपाट रहता है
2. लगभग दोगुना ऊँचा शृंग बनाता है
3. उतनी ही ऊँचाई का शृंग बनाता है
4. एक गहरा गर्त बनाता है
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उत्तर: B. लगभग दोगुना ऊँचा शृंग बनाता है
ऊँचाइयाँ सीधे जुड़ती हैं: शृंग पर शृंग से दोगुना ऊँचा शृंग बनता है। यह संपोषी व्यतिकरण है।
शुरुआती शोर-निरोधक हेडफ़ोन स्वयं एक ध्वनि बजाते हैं। वे किस तरह की ध्वनि बजाते हैं?
1. वही शोर, पर अधिक तेज़, ताकि उसे ढक दे
2. एक हल्की, स्थिर गुनगुनाहट
3. शोर की उलटी प्रति, ताकि उसके शृंग शोर के गर्तों से मिलें
4. एक बहुत ऊँची पिच की ध्वनि
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उत्तर: C. शोर की उलटी प्रति, ताकि उसके शृंग शोर के गर्तों से मिलें
शोर को उलटा करने से हर शृंग गर्त बन जाता है, इसलिए यह प्रति आपके कान में हर पिच पर शोर को निरस्त कर देती है: यह विनाशी व्यतिकरण है।
शुरुआती दो स्पंद रस्सी पर एक-दूसरे की ओर चलते हैं, अतिव्यापित होते हैं, और फिर अलग हो जाते हैं। बाद में वे कैसे दिखते हैं?
1. ठीक पहले जैसे, मानो कभी मिले ही न हों
2. दोनों छोटे, क्योंकि ऊर्जा खो गई
3. एक बड़े स्पंद में मिल गए
4. उसी रास्ते वापस उछल गए
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. ठीक पहले जैसे, मानो कभी मिले ही न हों
तरंगें एक-दूसरे के आर-पार जा सकती हैं: वे केवल अतिव्यापन के दौरान जुड़ती हैं, और फिर हर एक अपरिवर्तित आगे बढ़ती है।
मध्यम दो लाउडस्पीकर एक ही स्वर समान कला में बजाते हैं। जिस बिंदु पर पथ-अंतर 1.5·λ है, वहाँ आप क्या सुनते हैं?
1. एक प्रबल ध्वनि (संपोषी)
2. एक शांत स्थान (विनाशी)
3. एक सप्तक ऊँची ध्वनि
4. वही जो एक लाउडस्पीकर से सुनाई देता
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उत्तर: B. एक शांत स्थान (विनाशी)
1.5·λ का रूप (m + ½)·λ है, जहाँ m = 1, इसलिए शृंग गर्तों से मिलते हैं और तरंगें एक-दूसरे को निरस्त करती हैं।
मध्यम दो संबद्ध तरंगें, जिनके आयाम 5 cm और 3 cm हैं, ठीक आधी तरंगदैर्ध्य के कला-अंतर पर मिलती हैं। परिणामी तरंग का आयाम क्या है?
1. 8 cm
2. 0 cm
3. 2 cm
4. 4 cm
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उत्तर: C. 2 cm
विपरीत कला में आयाम घटाए जाते हैं: |5 − 3| = 2 cm। पूर्ण निरसन के लिए आयाम समान होने चाहिए।
मध्यम दो समान संबद्ध स्रोतों के संपोषी व्यतिकरण वाले बिंदु पर, अकेले एक स्रोत की तुलना में तीव्रता कैसी होती है?
1. 4 गुना अधिक
2. 2 गुना अधिक
3. समान
4. आधी
उत्तर दिखाएँ
उत्तर: A. 4 गुना अधिक
आयाम दोगुना होता है और तीव्रता आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है, इसलिए यह 2² = 4 गुना है। अन्य स्थानों पर अंधेरे धब्बे हैं, इसलिए औसत केवल एक स्रोत का दोगुना है।
उन्नत 256 Hz और 260 Hz के दो स्वरित्र-काँटे एक साथ बजते हैं। आप प्रति सेकंड कितने विस्पंद सुनते हैं?
1. 2
2. 258
3. 516
4. 4
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उत्तर: D. 4
f_beat = |f₁ − f₂| = 260 − 256 = 4 Hz। आप जो स्वर सुनते हैं वह माध्य 258 Hz के निकट होता है।
उन्नत y = 2a·cos(Δω·t/2)·sin(ω̄·t) में आवरण की कोज्या की आवृत्ति |f₁ − f₂|/2 है। विस्पंद आवृत्ति |f₁ − f₂| क्यों है?
1. क्योंकि ज्या-पद उसे दोगुना कर देता है
2. क्योंकि प्रबलता |cos| का अनुसरण करती है, जो कोज्या के हर चक्र में दो बार चरम पर होती है
3. केवल एक माप-परिपाटी के कारण
4. क्योंकि कान हर विस्पंद को दो बार सुनता है
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उत्तर: B. क्योंकि प्रबलता |cos| का अनुसरण करती है, जो कोज्या के हर चक्र में दो बार चरम पर होती है
कान आवरण |cos(Δω·t/2)| का आकार महसूस करता है, जो कोज्या के हर चक्र में दो बार अधिकतम होता है, इसलिए प्रबल क्षण |f₁ − f₂| पर दोहराते हैं।

$A_{1}$	पहले दोलन का आयाम: नीले तीर की लंबाई।	$m$
$A_{2}$	दूसरे दोलन का आयाम: सुनहरे तीर की लंबाई।	$m$
$A$	योग का आयाम: लाल तीर, जो त्रिभुज को बंद करता है।	$m$
$ω t + φ_{1}$	पहले दोलन की कला: अक्ष से नीले तीर का कोण, जो दर $ω$ से बढ़ता है।	$rad$
$φ$	कला-अंतर $φ_{1} - φ_{2}$ : दोनों तीरों के बीच का कोण, जो उनके घूमते समय स्थिर रहता है।	$rad$
$y_{1}$	पहले दोलन से विस्थापन: अक्ष पर नीले तीर का प्रक्षेप।	$m$
$y_{2}$	दूसरे दोलन से विस्थापन: अक्ष पर सुनहरे तीर का प्रक्षेप।	$m$
$y$	योग का विस्थापन $y_{1} + y_{2}$ : लाल तीर का प्रक्षेप।	$m$

$S_{1}$	पहला स्रोत।
$S_{2}$	दूसरा स्रोत।
$d$	दोनों स्रोतों के बीच की दूरी।	$m$
$θ$	दूर बिंदु की दिशा, $S_{1} S_{2}$ के लंब-समद्विभाजक से मापी गई।	$rad$
$Δ$	पथ-अंतर: $S_{2}$ की तरंग द्वारा $S_{1}$ की तरंग से अधिक तय की गई दूरी।	$m$

$a$	हर दोलन का आयाम: नीले और सुनहरे तीर की लंबाई।	$m$
$A$	योग का आयाम: लाल तीर की लंबाई, जो आलेख में लाल वक्र है।	$m$
$2 a$	$A$ का अधिकतम मान, जब दोनों तीर एक दिशा में हों।	$m$
$Δ ω t$	नीले तीर से सुनहरे तीर के पीछे रहने का कोण; यह समय $t$ के समानुपाती बढ़ता है।	$rad$
$π$	आधा चक्र: तीर विपरीत दिशा में हैं और $A = 0$ ।	$rad$
$2 π$	पूरा चक्र: तीर फिर एक रेखा में हैं और एक विस्पंद पूरा हुआ।	$rad$

$N$	समान स्रोतों की संख्या, यहाँ 5।
$a$	एक स्रोत का आयाम: हर नीले तीर की लंबाई।	$m$
$A$	योग का आयाम: शृंखला के आरंभ से अंत तक का लाल तीर।	$m$
$φ$	पड़ोसी स्रोतों के बीच कला-अंतर: हर तीर पिछले से जितने कोण घूमा है।	$rad$
$Nφ$	पूरी शृंखला, पहले तीर से अंतिम तीर तक, बिंदीदार वृत्त के केंद्र पर जितना कोण घेरती है।	$rad$