干涉与叠加

入门

两列波相遇时，它们不会像球一样互相弹开，而是直接相加：每一点的高度，等于第一列波单独造成的高度加上第二列波单独造成的高度。相遇之后，它们各自继续前进，保持原样，就像两段对话在房间里交错而过，并不会互相干扰。这种相加称为叠加。

动画展示了同一根弦上的两列波（虚线）及它们的和（实线）。上面一根弦上，两列波同相：波峰遇波峰，波谷遇波谷，因此弦的摆动幅度是原来的两倍。这就是相长干涉。

下面一根弦上，一列波相对另一列平移了半个波长，因此每个波峰都遇到一个波谷。一列波向上推的力恰好与另一列波向下拉的力相等，弦几乎不动：这就是相消干涉。降噪耳机正是利用这一技巧，向你的耳朵播放一份倒相的噪声。

在安静处，能量去哪儿了？它并没有被消灭。两个扬声器播放同一个稳定音时，你在房间里走动，会发现安静处紧挨着响亮处：能量只是被重新分布。完全的寂静很少见，因为墙壁也会反射声音。

当两个音几乎、但并非完全相同时，两列波会缓慢地时而同相、时而反相，声音时强时弱，呈现出“哇、哇、哇”的声音。这就是拍音，每秒的拍数等于两个频率之差。吉他手调弦时，转动琴轴，直到拍音变慢并消失。

自测：频率为 440 Hz 和 443 Hz 的两个音叉同时发声，你每秒会听到几次拍音？（三次。）

中级

波逐点相加

两列波经过同一位置时，介质中的每一点都会移动，其位移等于每列波单独造成的位移之和：
$y=y_1+y_2$

这就是叠加原理。位移带有正负号，因此 1 cm 的波峰遇到 1 cm 的波谷，结果为零。它适用于线性介质，即回复力与位移成正比的介质：小振幅时的弦、空气和水，以及真空中的光。

每列波都像另一列波不存在一样继续传播：沿绳子相向而行的两个脉冲，在重叠时相加，随后各自分开，形状不变。注意相加的是位移，而不是强度。

相位差与路程差

两列同频率的波是相互加强还是相互抵消，取决于它们的相位差 $\phi$，即一列波在周期中领先另一列波多少（一个完整周期为 $2\pi$）。对于步调一致振动的波源，相位差来自路程差 $\Delta =r_2-r_1$，即一列波到达该点时多走的距离；每多走一个波长，就相当于延迟一个周期：
$\phi =\frac{2\pi \Delta }{\lambda }$

因此 $\Delta =0,\lambda ,2\lambda ,\dots$ 使两列波同相，而 $\Delta =\lambda /2,3\lambda /2,\dots$ 使波峰对准波谷。只有以波长计的 $\Delta$ 才有意义：3.2 个波长的效果与 0.2 个波长相同。

稳定的干涉图样需要相干波源，即相位差保持固定，例如由同一信号驱动的两个扬声器。若频率略有不同，相位差就会漂移，响度每秒涨落的次数等于两个频率之差：
$f_{\mathrm{beat}}=|f_1-f_2|$
196 Hz 与 198 Hz 的两根弦每秒产生两次拍音；动画的专家层在第三根弦上展示了这一点。

响亮与安静的条件

对于步调一致的波源，在该点振幅分别为 $A_1$ 与 $A_2$ 时，两种极端情况为

• $\Delta =m\lambda \to A=A_1+A_2\text{(constructive)}$
• $\Delta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \to A=|A_1-A_2|\text{(destructive)}$

其中 $m=0,1,2,\dots$，$A$ 为合成振动的振幅。要做到完全寂静，必须两列波振幅相等。

对于两个振幅均为 $a$ 的波，任意中间路程差给出
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
它从 $\Delta =0$ 时的 $2a$ 平滑下降，到 $\Delta =\lambda /2$ 时为零。

我们听到或看到的是强度 $I$，即单位面积上通过的功率，它与振幅的平方成正比。因此，两个各自单独产生 $I_0$ 的等强度波源会产生
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
亮处为 $4I_0$，暗处为零，平均值为 $2I_0$，与无干涉时相同：能量只是从安静处转移到了响亮处，并未消失。

例题：动画中的弦

每列虚线波的振幅为 $a=1\mathrm{cm}$，波长为 $\lambda =10\mathrm{cm}$（上方弦上的标尺），频率为 0.5 Hz，因此每个点每 2 s 重复一次运动，波的传播速度为 $v=f\lambda =5cm/s$。

在上方弦上，金色的波 B 与蓝色的波 A 完全重合，因此 $\Delta =0$，振幅相加：
$A=A_1+A_2=1+1=2\mathrm{cm}$
P 点的读数在 $-2.0$ 与 $+2.0\mathrm{cm}$ 之间摆动；红色的和是任一虚线波高度的两倍，强度为单列波的 $2^2=4$ 倍。

在第二根弦上，波 B 相对波 A 平移了半个波长，$\Delta =\lambda /2=5\mathrm{cm}$，因此 A 的每个波峰都遇到 B 的一个波谷：
$A=|A_1-A_2|=|1-1|=0$
红色的和保持平直，读数始终为 0.0 cm。

介于两者之间的情况：平移 2.5 cm（四分之一波长）时，$A=2\cos (\pi /4)\approx 1.41\mathrm{cm}$，强度恰好为 $2I_0$；平移 $\lambda /3$ 时，$A=2\cos (\pi /3)=1\mathrm{cm}$，不超过单列波本身。

例题：两个扬声器

两个小型扬声器由同一个 686 Hz 信号同相驱动。声速为 343 m/s，则波长为 $\lambda =v/f=343/686=0.50\mathrm{m}$。你站在距一个扬声器 3.00 m、距另一个扬声器 3.75 m 的位置，因此
$\Delta =3.75-3.00=0.75\mathrm{m}=1.5\lambda$
这正是 $m=1$ 时的 $(m+\frac{1}{2})\lambda$：你站在一个安静处。

究竟有多安静？小型波源的振幅随距离按 $1/r$ 减小，因此远处扬声器的振幅是近处的 $3.00/3.75=0.80$ 倍。剩下的振幅为 $1-0.80=0.20$，强度仅为近处扬声器单独工作时的 $0.20^2=0.04$ 倍；而附近的一个响亮点则得到 $1.80^2=3.24$：是安静处的 81 倍，约 19 dB。

这一处的安静程度还取决于音高：0.75 m 对于 229、686 和 1143 Hz 而言是半波长的奇数倍，因而在此处安静；而对于 457 和 915 Hz，它是整数个波长，因而响亮。所以音乐不会在某一点被完全消音。

用目测叠加波

要画出叠加图，可在若干点上将两列波的带符号高度相加，再把结果连成曲线：某列波为零处，和就等于另一列波；两列波大小相等、方向相反处，和为零。在动画中，虚线的蓝色与金色曲线是两列波，实线的红色曲线是它们的和，穿过 P 点的虚线标明读数测量 $y$ 的位置。

两列同频率、沿同一方向传播的波相加后，得到同样频率和速度的波：上方弦上红色的波峰以 5 cm/s 的速度与虚线波峰同步前进。平直的第二根弦既无波也无能量剩余，最好理解为同一点通过两条路径收到的波之和；有两个分开的波源时，某处的抵消总是伴随着别处的加强。

常见错误

• 错误地对强度而非振幅求和：两列同相的等幅波给出的强度是单列波的 $2^2=4$ 倍，而不是 2 倍；只有对整个图样求平均，结果才是单个波源的两倍。
• 认为相消干涉会消灭能量：安静处的 0.04 与响亮处的 3.24 同时存在，二者的平均值 1.64 恰好是 $1+0.80^2$，即两个扬声器各自强度之和。
• 以为只要两列波反相就会完全寂静：这需要振幅相等；4 cm 与 1 cm 的波仍会留下 3 cm。
• 以为距离本身决定结果：只有路程差才有影响，因此 3.00 m 与 3.75 m，或 10.00 m 与 10.75 m，在 686 Hz 下都会得到安静处。
• 以为任意两个波源都能产生图样：两盏灯，或两位小提琴手演奏同一个音，其相位都会漂移，因此只剩下强度之和 $2I_0$。

你在哪里遇到它

降噪耳机播放与传入噪声倒相的副本，对于飞机客舱中那样平稳的低频嗡嗡声效果最好。肥皂泡的颜色来自薄膜两个表面反射的光，相机镜头的增透膜厚约 100 nm，使绿光的两次反射相互抵消。

2.4 GHz（波长 12.5 cm）的 Wi-Fi 信号通过多条路径到达笔记本电脑，因此将其移动几厘米就可能把弱点变成强点；引力波探测器则利用干涉来测量远小于质子的长度变化。《驻波》讲的是反向传播的波相加，《衍射与双缝》则把这些条件应用于光。

高级

波为何直接相加

本课的一切都建立在一个事实之上：两列波重叠之处，它们的位移相加。本节说明其原因，后续各节则推导由此产生的结论。

叠加并非自然界额外的定律，而是波所遵循的方程的一种性质。取一根拉紧的弦，令 $y(x,t)$ 为时刻 $t$ 位于位置 $x$ 处那段弦的微小横向位移。对每一小段应用牛顿第二定律，在位移很小时得到波动方程，其中 $v$ 为弦上波的速度：
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

该方程是线性的：每一项中 $y$ 只出现一次且次数为一，不含 $y^2$，也不含 $y$ 与其自身导数的乘积。设 $y_1$ 与 $y_2$ 都是解，并取 $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$，其中 $c_1$ 与 $c_2$ 为任意常数。和的导数等于导数之和，常数可以提到前面，因此方程两边都可以分为 $y_1$ 部分与 $y_2$ 部分。每一部分各自平衡，所以这一组合也是解。这就是叠加原理：两列波彼此穿过，在每一点上位移就是 $y_1+y_2$。

波动方程的通解 $y=F(x-vt)+G(x+vt)$ 清楚地展示了这一点：$F$ 是向右传播的任意形状的脉冲，$G$ 是向左传播的脉冲，两者交叉时形状保持不变。空气中的微小压强变化、真空中的光（其场方程恰好是线性的）以及量子力学中的波函数，都服从这类线性方程，因此下文的结论也同样适用于它们。

用相量叠加两个振动

在任意一点，每列波都使介质振动。要求出合成运动，必须将两个频率相同、但振幅与相位不同的振动相加。直接相加余弦很麻烦；把每个振动画成旋转的箭头，求和就变成了简单的几何问题。

图例

$A_1$	第一个振动的振幅：蓝色箭头的长度。	$\mathrm{m}$
$A_2$	第二个振动的振幅：金色箭头的长度。	$\mathrm{m}$
$A$	和的振幅：红色箭头，它使三角形闭合。	$\mathrm{m}$
$\omega t+{\phi }_1$	第一个振动的相位：蓝色箭头与坐标轴的夹角，以速率 $\omega$ 增大。	$\mathrm{rad}$
$\phi$	相位差 ${\phi }_1-{\phi }_2$：两个箭头之间的夹角，在两者转动时保持不变。	$\mathrm{rad}$
$y_1$	第一个振动造成的位移：蓝色箭头在坐标轴上的投影。	$\mathrm{m}$
$y_2$	第二个振动造成的位移：金色箭头在坐标轴上的投影。	$\mathrm{m}$
$y$	和的位移 $y_1+y_2$：红色箭头的投影。	$\mathrm{m}$

两个振动为 $y_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$ 与 $y_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$，具有相同的角频率 $\omega$。图 1 将每个振动画成一个称为相量的箭头。箭头的长度为振幅：蓝色箭头为 $A_1$，金色箭头为 $A_2$。它与水平轴的夹角为相位：蓝色箭头的相位 $\omega t+{\phi }_1$ 标在其根部，金色箭头为 $\omega t+{\phi }_2$。振动本身就是箭头在坐标轴上的投影，即它的影子：长度为 $A_1$、夹角为 $\omega t+{\phi }_1$ 的箭头，其投影为 $A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$，恰好就是 $y_1$。随着时间推移，箭头以角速度 $\omega$ 逆时针旋转，其影子则来回运动。

现在观察图中的三点。第一，金色箭头首尾相接地接在蓝色箭头的末端，而红色箭头 $A$ 从蓝色箭头的根部延伸到金色箭头的末端：$A$ 是两者的矢量和。第二，两个箭头以相同的角速度 $\omega$ 旋转，因此它们之间的夹角 $\phi ={\phi }_1-{\phi }_2$（标在金色箭头与蓝色箭头的虚线延长线之间）永远不变。因此阴影三角形保持形状，作为一个刚体一同转动，$A$ 也以角速度 $\omega$ 转动。第三，由于矢量和的投影等于投影之和，沿坐标轴，影子 $y_1$ 与 $y_2$ 首尾相接，共同构成 $A$ 的影子 $y$。所以 $y=y_1+y_2$ 本身就是角频率为 $\omega$ 的振动，其振幅就是长度 $A$。

长度 $A$ 可由三角形求得。两个箭头相交处三角形的内角为 $\pi -\phi$，因为 $\phi$ 是从蓝色箭头的延长线量起的。由余弦定理，并利用 $\cos (\pi -\phi )=-\cos \phi$，得到
$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \phi$
当 $\phi =0$、两箭头指向相同时，振幅最大，为 $A_1+A_2$；当 $\phi =\pi$、两箭头指向相反时，振幅最小，为 $|A_1-A_2|$。

用复数表示，同样的求和如下。每个振动是 $A_j{e}^{i(\omega t+{\phi }_j)}$ 的实部，公因子 $e^{i\omega t}$ 可以提出，且 $A^2=|A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}{|}^2$；该复数和的辐角即为合成振动的相位。将模的平方展开，又得到余弦定理。

$\phi$ 从何而来？设有两个角频率同为 $\omega$ 的波源，其初相分别为 ${\alpha }_1$ 与 ${\alpha }_2$，某点到它们的距离分别为 $r_1$ 与 $r_2$。以速率 $v$ 传播的波需要时间 $r_j/v$ 才能到达，因此在时刻 $t$ 到达该点的波，是在时刻 $t-r_j/v$ 从波源 $j$ 发出的。其相位因此为 $\omega (t-r_j/v)+{\alpha }_j=\omega t+{\alpha }_j-k{r}_j$，其中 $k=\omega /v=2\pi /\lambda$ 为波数，$\lambda$ 为波长。于是 ${\phi }_j={\alpha }_j-k{r}_j$，相减时公共项 $\omega t$ 消去：
$\phi ={\phi }_1-{\phi }_2=\frac{2\pi \Delta }{\lambda }+({\alpha }_1-{\alpha }_2),\Delta =r_2-r_1$
其中 $\Delta$ 为路程差，即来自第二个波源的波多走的距离。每多一个波长的路程，相位差就增加 $2\pi$。

对于步调一致的波源（${\alpha }_1={\alpha }_2$），两个振幅均为 $a$ 时，余弦定理化为 $A^2=2a^2(1+\cos \phi )$。利用恒等式 $1+\cos \phi =2{\cos }^2(\phi /2)$，得到 $A^2=4a^2{\cos }^2(\phi /2)$，再由 $\phi /2=\pi \Delta /\lambda$，得
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
几种特殊情况可直接由三角形读出。当 $\Delta =\lambda /3$ 时，相位差为 $2\pi /3$，即 120°，因此三角形内角为 60°；两条等长边夹 60° 角，构成正三角形，于是 $A=a$。当 $\Delta =\lambda /4$ 时，两箭头互相垂直，$A$ 为等腰直角三角形的斜边，$A=\sqrt{2}a$。

强度与能量的去向

耳朵或眼睛感知的并非振幅，而是强度 $I$，即单位面积上通过的功率，它与振幅的平方成正比。本节将振幅规律转化为强度规律，并验证干涉只是转移能量。

将余弦定理乘以把 $A^2$ 转换为强度的常数。$A_1^2$ 与 $A_2^2$ 变为 $I_1$ 与 $I_2$，即各波源单独产生的强度，而 $A_1{A}_2$ 变为 $\sqrt{I_1{I}_2}$：
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$
对于两个各自单独产生 $I_0$ 的步调一致的等强度波源，$\phi =2\pi \Delta /\lambda$，且
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
一般规律中的最后一项 $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$ 称为交叉项，它就是干涉的全部内容：若没有它，强度便只是简单相加。在屏幕或房间各处，$\phi$ 经历许多整周期，而 $\cos \phi$ 在一个整周期内的平均值为零。平均而言，剩下的是 $I_1+I_2=2I_0$：亮纹上的强度增至 $4I_0$，所增加的恰好是暗纹所减少的。

上述计算假定波源相隔许多个波长。若两者靠得很近，它们便会相互耦合：每个波源都在推动一种介质，而另一波源的波也在该介质中运动。若该波与推动同相到达，波源就要克服更高的压强或场强工作，辐射更多；若异相到达，则辐射更少。两个相距 $d$、强度相同且相位差为 $\alpha$ 的小波源，总辐射功率为
$P=2P_0\left(1+\cos \alpha \frac{\sin kd}{kd}\right)$
其中 $P_0$ 为单独一个波源的辐射功率。可作两项检验：当 $kd$ 很大时，$\sin kd/(kd)$ 很小，$P\approx 2P_0$，即各自功率之和；当 $d\to 0$ 时，该因子趋于 1，两个同相波源相当于一个强度加倍的波源，$P=4P_0$，而两个反相波源则相互抵消。

例如，两个相距 1.5 m、播放 50 Hz 声音的扬声器（空气中波长为 6.86 m，因此 $kd=1.37$）同相时辐射 $3.43P_0$，但若其中一个接线反了、相位反转，则只辐射 $0.57P_0$。两者相差约 6 倍，即损失了近 8 dB 的低音。能量仍然守恒：空气对每个扬声器的负载不同，因此放大器只是输出了不同的功率。

远场中的路程差与波束转向

天线、扬声器和狭缝通常在远离它们的地方观测，距离是其间隔的许多倍。此时路程差只取决于方向，干涉图样也就变成了方向上的图样。图 2 给出了这一路程差。

图例

$S_1$	第一个波源。
$S_2$	第二个波源。
$d$	两个波源之间的距离。	$\mathrm{m}$
$\theta$	远点的方向，从 $S_1{S}_2$ 的中垂线量起。	$\mathrm{rad}$
$\Delta$	路程差：来自 $S_2$ 的波比来自 $S_1$ 的波多走的距离。	$\mathrm{m}$

在图 2 中，波源 $S_1$ 与 $S_2$ 相距 $d$，我们观察的是与它们中垂线（水平虚线）成夹角 $\theta$ 方向上的一个远处点。由于该点极其遥远，从 $S_1$ 出发的蓝色射线与从 $S_2$ 出发的金色射线几乎平行。从 $S_1$ 引向金色射线的虚线与该射线成直角相交。越过这条线，两条路径长度相等，因此来自 $S_2$ 的路径仅多出 $S_2$ 与虚线垂足之间的紫色线段。该线段即为 $\Delta$。

紫色线段是一个直角三角形的一条边，该三角形的斜边为 $S_1{S}_2$，长为 $d$。该三角形在 $S_1$ 处的角等于 $\theta$：直线 $S_1{S}_2$ 与中垂线垂直，虚线与射线垂直，两条直线各转过同一个直角，它们之间的夹角保持不变。紫色边位于该角的对边，因此
$\Delta =d\sin \theta$
对于步调一致的波源，凡使 $d\sin \theta$ 为整数个波长的方向，波都同相到达，从而形成强烈的波束。

波源的相位也可以人为设定。设 $S_1$ 比 $S_2$ 迟后相位 $\alpha$，即 ${\alpha }_1-{\alpha }_2=-\alpha$。则 $\phi =2\pi d\sin \theta /\lambda -\alpha$，而最强方向（即 $\phi =0$ 处）移至
$\sin \theta =\frac{\alpha \lambda }{2\pi d}$
波束偏向迟后波源 $S_1$ 一侧：它较短的路程恰好补偿了其较晚的起始时间。一台 10 GHz 雷达（$\lambda =3.0\mathrm{cm}$）的阵元相距 1.5 cm，每个阵元比其相邻阵元落后四分之一周期（90°），它将波束指向 $\sin \theta =0.5$，即 30°。通过电子方式改变相位即可转动波束，而无需任何运动部件：相控阵天线正是这样工作的。

拍：时间上的干涉

到目前为止，两列波的频率都相同，因此某点的相位差保持不变。若频率略有不同，相位差就会随时间稳定增长，该处的合成响度随之起伏。这种起伏即为拍，音乐家正是利用它来调音的。

图例

$a$	每个振动的振幅：蓝色箭头与金色箭头的长度。	$\mathrm{m}$
$A$	和的振幅：红色箭头的长度，在图中以红色曲线绘出。	$\mathrm{m}$
$2a$	$A$ 的最大值，两箭头同向时取得。	$\mathrm{m}$
$\Delta \omega t$	金色箭头相对蓝色箭头落后的角度，与时间 $t$ 成正比增长。	$\mathrm{rad}$
$\pi$	半圈：两箭头方向相反，$A=0$。	$\mathrm{rad}$
$2\pi$	一整圈：两箭头再次重合，一次拍完成。	$\mathrm{rad}$

图 3 用同样的箭头表示拍。两个振动的振幅均为 $a$，其角频率 ${\omega }_1$ 与 ${\omega }_2$ 相差一个小量 $\Delta \omega ={\omega }_1-{\omega }_2$。以蓝色箭头为参照，设想你随它以 ${\omega }_1$ 转动，于是它沿坐标轴保持静止。金色箭头以较慢的 ${\omega }_2$ 转动，逐渐落后：经过时间 $t$，它落后的角度为 $\Delta \omega t$。它的根部始终位于蓝色箭头的末端，因此其自身的末端沿以该点为圆心、半径为 $a$ 的虚线圆周运动。于是红色的和 $A$ 时伸时缩：当两箭头同向时为 $2a$，当两者反向、即 $\Delta \omega t=\pi$ 时为 $0$。

两个等长箭头与它们的和构成一个等腰三角形，由此可得任一时刻和的长度 $A=2a|\cos (\Delta \omega t/2)|$。右侧的图像以 $\Delta \omega t$ 为横坐标绘出它，其中的圆点标示左图所示的时刻。曲线每隔 $\Delta \omega t$ 的 $2\pi$ 重复一次，即每隔时间 $2\pi /\Delta \omega$ 重复一次。这便是一次拍：较快的箭头追上较慢箭头、多转一整圈所需的时间。

代数运算得到同样的结果。在某固定点取 $y=a\sin {\omega }_{1}t+a\sin {\omega }_{2}t$。利用恒等式 $\sin p+\sin q=2\cos \frac{p-q}{2}\sin \frac{p+q}{2}$，可将其化为
$y=2a\cos \left(\frac{\Delta \omega t}{2}\right)\sin (\bar{\omega }t)$
其中 $\bar{\omega }=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$ 为平均角频率。第二个因子是平均频率下的快速振动；第一个因子是决定其大小的缓变包络。

动画中的第三根弦（此层级展示）叠加了两列振幅为 $a=1\mathrm{cm}$、频率分别为 $f_1=1.5\mathrm{Hz}$ 与 $f_2=1.25\mathrm{Hz}$ 的波（以赫兹计，$f=\omega /(2\pi )$）。快速振动的频率为二者的平均值 1.375 Hz，包络余弦的频率为二者之差的一半 0.125 Hz：余弦每 8 s 完成一个周期，即动画循环一次的时间。响度跟随包络的大小而非其正负，而该大小在余弦的每个周期内出现两次峰值，分别在余弦为 $+1$ 与 $-1$ 时。因此拍以完整的频率差出现，
$f_{\mathrm{beat}}=|f_1-f_2|$
此处为 0.25 Hz，即每 4 s 一次拍。在 P 点的 $y(t)$ 图像上，紫色曲线在 $t=0.4\mathrm{s}$ 与 $4.4\mathrm{s}$ 附近膨胀至接近 2 cm，在 2.4 s 与 6.4 s 附近收缩至零，始终位于虚线包络 $\pm 2a$ 之内。

每个拍内包含 $1.375\cdot 4=5.5$ 次快速振动，因为在 4 s 内，波 1 完成 6 个周期，波 2 完成 5 个周期。多出的半个周期意味着每次收缩后，快速运动都以颠倒的方式重新开始，这正是包络余弦需要两个拍才能重复的原因。在图 3 中，这相当于每个拍内较快的箭头超过较慢箭头一次。若振幅 $A_1$ 与 $A_2$ 不相等，取 $\phi =\Delta \omega t$，由余弦定理得强度
$I\propto A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \omega t)$
它在 $(A_1+A_2{)}^2$ 与 $(A_1-A_2{)}^2$ 之间振荡。拍仍然存在，但声音永远不会完全消失。

调制：反过来读拍

拍表明，两个相近频率相加后，看起来像是一个振幅缓慢变化的单一频率。倒过来看，振幅被人为改变的波包含额外的频率。这正是调幅（AM）广播传送声音的方式。

设角频率为 ${\omega }_c$ 的载波，其振幅随角频率为 ${\omega }_m$ 的音调变化，调制深度为 $b$：信号为 $(1+b\cos {\omega }_{m}t)\cos {\omega }_{c}t$。利用积化和差公式 $\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$，可将其分解为载波本身，加上两个振幅为 $b/2$、频率分别为 ${\omega }_c+{\omega }_m$ 与 ${\omega }_c-{\omega }_m$ 的边带。因此，一座载频为 1.2 MHz、传送最高 4.5 kHz 声音的调幅电台占据 1195.5 至 1204.5 kHz 的频带，宽 9 kHz，这也是欧洲调幅频道间隔为 9 kHz 的原因。

多个波源：箭头构成的多边形

光栅与天线阵列要叠加的是许多个波源，而非两个。相量图能处理任意数量的波源：箭头只需首尾相接，组成更长的链条。

图例

$N$	等强度波源的个数，此处为 5。
$a$	单个波源的振幅：每个蓝色箭头的长度。	$\mathrm{m}$
$A$	和的振幅：从链条起点到终点的红色箭头。	$\mathrm{m}$
$\phi$	相邻波源之间的相位差：每个箭头相对前一个转过的角度。	$\mathrm{rad}$
$N\phi$	从第一个箭头到最后一个箭头的整条链条，在虚线圆心处张开的角。	$\mathrm{rad}$

图 4 取 $N$ 个排成一列的等强度波源，每个波源的相位比前一个超前 $\phi$；左图中 $N=5$。全部 $N$ 个箭头长度均为 $a$，且每个箭头都比前一个转过相同的角度 $\phi$。各边等长、每个拐角转角相同的折线，是正多边形的一部分，因此其所有顶点位于同一圆周上，即图中的虚线圆；设其半径为 $R$。从圆心看去，每条边张开的角为 $\phi$，整条折线（从第一个箭头的根部到最后一个箭头的末端）张开的角为 $N\phi$。红色箭头即合成量 $A$，它使折线闭合。

半径为 $R$ 的圆上，在圆心处张开角 $\beta$ 的弦长为 $2R\sin (\beta /2)$：从圆心到弦中点的连线将等腰三角形分为两个直角三角形。于是一条边为 $a=2R\sin (\phi /2)$，封闭弦为 $A=2R|\sin (N\phi /2)|$。将后者除以前者，即消去未知的半径 $R$：
$A=a\left|\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right|$
当 $N=2$ 时，利用恒等式 $\sin \phi =2\sin (\phi /2)\cos (\phi /2)$，即回到 $A=2a|\cos (\phi /2)|$。

有两种情况尤为突出。当 $\phi$ 为 $2\pi$ 的整数倍时，所有箭头指向同一方向，因此 $A=Na$，强度为 $I=N^2{I}_0$，其中 $I_0$ 为单个波源单独产生的强度。当 $\phi$ 从零开始增大时，链条逐渐卷曲，第一个零点出现在 $\phi =2\pi /N$：此时 $N$ 个 $\phi$ 的转角恰好合成一整圈，多边形自行闭合，如图 4 右图所示。对于十个波源，峰值强度为单个波源的 100 倍，其第一个零点位于 $\phi =2\pi /10$，而两个波源时则位于 $\pi$，因此峰的宽度缩小为原来的五分之一。平均强度仍为 $10I_0$，因为交叉项平均后为零：能量被集中到狭窄而明亮的峰上。这正是衍射光栅与射电望远镜阵列的原理。

驻波与波包

叠加还可以解释后续课程中遇到的两种图样：静止不动的波，以及局限于短暂波包中的波。

两列沿相反方向传播的等幅波，利用拍时所用的恒等式相加得到
$a\sin (kx-\omega t)+a\sin (kx+\omega t)=2a\sin kx\cos \omega t$
各点同步振动，其振幅 $2a|\sin kx|$ 由位置决定。在 $\sin kx=0$ 处（每隔 $\lambda /2$ 一处）存在永不移动的节点：这就是驻波。

将分布在宽度为 $\Delta f$ 频带内的许多相邻频率相加，即得到单个波包。各分量在某一时刻相位一致，并在约 $1/\Delta f$ 的时间内逐渐失去同步，因此波包越短，所需的频带越宽：大致有 $\Delta f\Delta t\approx 1$。波包的包络以群速度 $d\omega /dk$ 运动；对于两列波而言，这就是拍形图样的速度 $\Delta \omega /\Delta k$。在动画的弦上，每种频率都以相同的 5 cm/s 传播，因此 $\omega =vk$，群速度等于波速：拍包络沿弦每隔 $v/\Delta f=20\mathrm{cm}$ 重复一次，并与波同步前进。在深水中，长波比短波传播得快，情况则不同：那里包络的运动速度仅为波峰速度的一半。

例题：失谐的扬声器

本题综合运用振幅规律、图样的对比度以及拍的知识。

取中级层级中的两个扬声器，二者以 686 Hz 同相工作，因此在声速为 343 m/s 的空气中 $\lambda =0.50\mathrm{m}$。听者距一个扬声器 3.00 m，距另一个 3.75 m。每个扬声器的振幅按 $1/r$ 衰减，因此在听者处，较远的一个扬声器的振幅是近处的 $3.00/3.75=0.80$ 倍。求出图样的对比度，然后让较远的扬声器漂移至 686.25 Hz。

漂移之前，路程差为 $\Delta =0.75\mathrm{m}=1.5\lambda$，因此 $\phi =2\pi \cdot 1.5=3\pi$，$\cos \phi =-1$：听者处于一个安静点。以近处扬声器单独工作时的强度为单位，即 $A_1=1$，$A_2=0.8$。图样在 $\cos \phi =-1$ 与 $\cos \phi =+1$ 时分别取到最小值与最大值：
$I_{\min }=(1-0.8{)}^2=0.04,I_{\max }=(1+0.8{)}^2=3.24$
图样的可见度（即对比度）正是比较这两个值。由于 $I_{\max }-I_{\min }=4A_1{A}_2$，且 $I_{\max }+I_{\min }=2(A_1^2+A_2^2)$，
$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{2A_1{A}_2}{A_1^2+A_2^2}=\frac{1.6}{1.64}=0.98$
振幅失配 20 % 时，最低处仍比最响处低 $10{\log }_{10}(3.24/0.04)\approx 19\mathrm{dB}$：干涉对失配相当宽容。

现在让较远的扬声器失谐 0.25 Hz。它的相位每 4 s 相对另一个扬声器多增加一整周，因此 $\phi$ 经历所有数值，听者会听到 0.25 Hz 的拍，即动画第三根弦的节奏：$t=0$ 时为 0.04，两秒后为 3.24，4 s 时又回到 0.04。

同样的漂移也会使图样在空间中移动。在两个扬声器的连线上，向其中一个扬声器前进 $\delta$，会使一条路径缩短 $\delta$、另一条路径伸长 $\delta$，因此 $\Delta$ 改变 $2\delta$；安静点之间相隔 $\Delta$ 的一个波长，因而间距为 $\lambda /2=0.25\mathrm{m}$。随着相位漂移，整个图样每个拍移动一个间距，即 4 s 内移动 0.25 m，约为 6 cm/s，并朝频率较低的扬声器方向移动。时间上的拍与空间中的条纹是同一现象：一个图样扫过一个固定的耳朵。

在一个拍内取平均，交叉项消失，剩下 $1+0.8^2=1.64$，即两个扬声器各自强度之和。若失谐量随机地在几赫兹范围内漂移，那么每个座位平均都会接收到同样的 1.64：独立波源相加的是强度，而非振幅。

适用范围的限制

只有当介质呈线性响应，即扰动加倍时响应也加倍，叠加才严格成立。强波会打破这一规律，而相干性则设定了第二个限制。

声波的压强振幅不可能大于大气压，因为稀疏区的压强不能降到零以下；对于纯音，这一极限约为 191 dB。在达到这一极限之前很久，强声波的压缩区就会比稀疏区传播得更快，波形随之变陡，形成激波。弦摆动过大时会被拉伸，其张力与音高随之升高；水波在其高度达到约七分之一波长时便会破碎。

真空中的光遵循线性方程：量子理论所预言的光与光的散射，仅在粒子对撞机中被观测到。然而，在某些晶体中，强光会使电子超出其线性响应范围，从而产生新的频率：绿色激光笔将 1064 nm 的红外光转换为 532 nm 的绿光，频率加倍。

稳定的条纹还需要相干性：两列波必须保持固定的相位差。实际波列的频率分布为 $\Delta f$，它只能在其相干长度 $L_c\approx c/\Delta f$ 内保持稳定的相位，其中 $c$ 为光速。对于横跨整个可见光波段的日光，相干长度约为 1 µm，这也是肥皂膜只有在厚度不超过约一微米时才呈现颜色的原因。对于 $\Delta f\approx 1\mathrm{MHz}$ 的激光，其相干长度约为 300 m。探测器也进行平均：眼睛和光电二极管只记录平均强度，而耳朵只能分辨每秒约 15 次以内的拍。

由此通向何方

两列沿相反方向传播的等幅波给出《驻波》中固定的节点。沿狭缝或光栅排列的许多相干波源形成《衍射与双缝》中的条纹，其中同样有 $\Delta =d\sin \theta$。正如《电磁波》所说，光是电场与磁场的传播图样；两个振幅相等、相互垂直、相位相差四分之一周期的分量，则给出《光的偏振》中的圆偏振态。

非相干波源则相加强度，分贝正是按此方式合成的（见《响度、声强与分贝》）；两个同相的相干波源在亮点处增加 6 dB，而非 3 dB，因为该处强度是单个波源的四倍，而非两倍。电子和单个光子则一点一点地积累出条纹：振幅相加，而概率则是振幅的平方。这一思想是《波粒二象性》以及《薛定谔方程与隧穿效应》的核心，也是叠加原理最深刻的体现。