Interferenz und Superposition

Einsteiger

Wenn sich zwei Wellen treffen, prallen sie nicht wie Bälle voneinander ab. Sie addieren sich einfach: An jeder Stelle ist die Höhe das, was die erste Welle allein ergäbe, plus das, was die zweite allein ergäbe. Danach läuft jede unverändert weiter, so wie sich zwei Gespräche in einem Raum kreuzen, ohne einander zu stören. Diese Addition heißt Superposition.

Die Animation zeigt zwei Wellen (gestrichelt) auf derselben Saite und ihre Summe (durchgezogen). Auf der oberen Saite sind die Wellen in Phase: Berg trifft auf Berg und Tal auf Tal, daher schwingt die Saite doppelt so hoch. Das ist konstruktive Interferenz.

Auf der unteren Saite ist eine Welle um eine halbe Wellenlänge verschoben, sodass jeder Berg auf ein Tal trifft. Eine Welle drückt genauso stark nach oben, wie die andere nach unten zieht, und die Saite bewegt sich kaum: destruktive Interferenz. Noise-Cancelling-Kopfhörer nutzen diesen Trick und spielen eine auf den Kopf gestellte Kopie des Lärms in dein Ohr.

Wohin geht die Energie an einer stillen Stelle? Sie wird nicht vernichtet. Wenn zwei Lautsprecher denselben Dauerton spielen, kannst du durch einen Raum gehen und findest stille Stellen direkt neben lauten: Die Energie wird nur umverteilt. Völlige Stille ist selten, weil auch Wände den Schall reflektieren.

Wenn zwei Töne fast, aber nicht ganz gleich sind, laufen die Wellen langsam in und außer Phase, und der Klang schwillt an und ab: wah, wah, wah. Das sind Schwebungen, und es gibt so viele pro Sekunde, wie sich die beiden Frequenzen unterscheiden. Ein Gitarrist stimmt zwei Saiten, indem er am Wirbel dreht, bis die Schwebungen langsamer werden und aufhören.

Prüfe dich selbst: Zwei Stimmgabeln mit 440 Hz und 443 Hz klingen zusammen. Wie viele Schwebungen pro Sekunde hörst du? (Drei.)

Mittelstufe

Wellen addieren sich Punkt für Punkt

Wo zwei Wellen durch dieselbe Stelle laufen, bewegt sich jeder Punkt des Mediums um die Summe der Auslenkungen, die jede Welle allein ihm geben würde:
$y=y_1+y_2$

Das ist das Superpositionsprinzip. Auslenkungen haben Vorzeichen, daher ergibt ein Berg von 1 cm, der auf ein Tal von 1 cm trifft, null. Es gilt in einem linearen Medium, also einem, dessen rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist: Saiten, Luft und Wasser bei kleinen Amplituden sowie Licht im Vakuum.

Jede Welle läuft weiter, als wäre die andere nicht da: Zwei Impulse, die auf einem Seil aufeinander zulaufen, addieren sich, solange sie sich überlappen, und laufen danach unverändert auseinander. Beachte, was sich addiert: Auslenkungen, nicht Intensitäten.

Phasendifferenz und Gangunterschied

Ob sich zwei Wellen gleicher Frequenz verstärken oder auslöschen, hängt von ihrer Phasendifferenz $\phi$ ab, also davon, wie weit die eine im Zyklus der anderen voraus ist ($2\pi$ für einen ganzen Zyklus). Bei Quellen, die im Takt schwingen, ergibt sie sich aus dem Gangunterschied $\Delta =r_2-r_1$, dem zusätzlichen Weg, den eine Welle zum Punkt zurücklegt; jede Wellenlänge zusätzlichen Weges ist eine Verzögerung um einen Zyklus:
$\phi =\frac{2\pi \Delta }{\lambda }$

Somit bringen $\Delta =0,\lambda ,2\lambda ,\dots$ die Wellen in Phase, und $\Delta =\lambda /2,3\lambda /2,\dots$ bringen Berg auf Tal. Nur $\Delta$ in Wellenlängen zählt: 3,2 Wellenlängen wirken wie 0,2.

Ein stabiles Muster braucht kohärente Quellen, deren Phasendifferenz konstant bleibt, etwa zwei Lautsprecher, die von einem Signal gespeist werden. Wenn sich die Frequenzen leicht unterscheiden, wandert die Phasendifferenz, und die Lautstärke schwillt an und ab, so oft pro Sekunde, wie sich die Frequenzen unterscheiden:
$f_{\mathrm{beat}}=|f_1-f_2|$
Saiten mit 196 Hz und 198 Hz ergeben zwei Schwebungen pro Sekunde; die Expertenebene der Animation zeigt sie an einer dritten Saite.

Die Bedingungen für laut und leise

Für Quellen im Takt und Wellen mit den Amplituden $A_1$ und $A_2$ am Punkt sind die beiden Extremfälle

• $\Delta =m\lambda \to A=A_1+A_2\text{(constructive)}$
• $\Delta =\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \to A=|A_1-A_2|\text{(destructive)}$

Dabei ist $m=0,1,2,\dots$, und $A$ ist die Amplitude der resultierenden Schwingung. Völlige Stille braucht gleiche Amplituden.

Für zwei gleiche Amplituden $a$ ergibt jeder Gangunterschied dazwischen
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
Das fällt sanft von $2a$ bei $\Delta =0$ auf null bei $\Delta =\lambda /2$ ab.

Was wir hören oder sehen, ist die Intensität $I$, die Leistung pro Quadratmeter, die mit dem Quadrat der Amplitude wächst. Zwei gleiche Quellen, die allein je $I_0$ liefern, erzeugen daher
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
Helle Stellen erhalten $4I_0$, dunkle nichts, und der Mittelwert ist $2I_0$, wie ohne Interferenz: Energie wird von stillen zu lauten Stellen verschoben, nicht vernichtet.

Rechenbeispiel: die Saiten der Animation

Jede gestrichelte Welle hat die Amplitude $a=1\mathrm{cm}$, die Wellenlänge $\lambda =10\mathrm{cm}$ (das Lineal über der oberen Saite) und die Frequenz 0,5 Hz. Damit wiederholt sich die Bewegung jedes Punktes alle 2 s, und die Wellen laufen mit $v=f\lambda =5cm/s$.

Auf der oberen Saite liegt die goldene Welle B genau auf der blauen Welle A, also ist $\Delta =0$ und die Amplituden addieren sich:
$A=A_1+A_2=1+1=2\mathrm{cm}$
Die Anzeige bei P schwankt zwischen $-2,0$ und $+2,0\mathrm{cm}$, und die rote Summe ist doppelt so hoch wie jede gestrichelte Welle, mit der $2^2=4$-fachen Intensität einer einzelnen.

Auf der zweiten Saite ist Welle B um eine halbe Wellenlänge verschoben, $\Delta =\lambda /2=5\mathrm{cm}$, sodass jeder Berg von A auf ein Tal von B trifft:
$A=|A_1-A_2|=|1-1|=0$
Die rote Summe liegt flach, und die Anzeige bleibt bei 0,0 cm.

Dazwischen würde eine Verschiebung um eine Viertelwellenlänge, 2,5 cm, $A=2\cos (\pi /4)\approx 1,41\mathrm{cm}$ und genau $2I_0$ ergeben; eine Verschiebung um $\lambda /3$ ergibt $A=2\cos (\pi /3)=1\mathrm{cm}$, nicht mehr als eine Welle allein.

Rechenbeispiel: zwei Lautsprecher

Zwei kleine Lautsprecher werden phasengleich vom selben 686-Hz-Signal angesteuert. Bei einer Schallgeschwindigkeit von 343 m/s beträgt die Wellenlänge $\lambda =v/f=343/686=0,50\mathrm{m}$. Du stehst 3,00 m von dem einen und 3,75 m vom anderen Lautsprecher entfernt, also
$\Delta =3,75-3,00=0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$
Das ist $(m+\frac{1}{2})\lambda$ mit $m=1$: Du stehst an einer stillen Stelle.

Wie still? Die Amplitude einer kleinen Quelle nimmt mit $1/r$ ab, also ist die Amplitude des entfernteren Lautsprechers $3,00/3,75=0,80$ mal die des nahen. Übrig bleibt $1-0,80=0,20$, eine Intensität von $0,20^2=0,04$ der des nahen Lautsprechers allein, während eine nahe laute Stelle $1,80^2=3,24$ erhält: 81-mal mehr, etwa 19 dB.

Auch der Ton entscheidet über den Ort: 0,75 m sind eine ungerade Anzahl halber Wellenlängen bei 229, 686 und 1143 Hz, dort ist es leise, aber eine ganze Anzahl Wellenlängen bei 457 und 915 Hz, dort ist es laut. Musik wird also nie an einem Punkt völlig stummgeschaltet.

Wellen mit dem Auge addieren

Um eine Überlagerung zu skizzieren, addierst du die vorzeichenbehafteten Höhen der beiden Wellen an einigen Punkten und verbindest die Ergebnisse: Wo eine Welle null ist, ist die Summe gleich der anderen, und wo beide gleich groß und entgegengesetzt sind, verschwindet sie. In der Animation sind die gestrichelten blauen und goldenen Kurven die Wellen, die durchgezogene rote ihre Summe, und die gestrichelte Linie durch P markiert, wo die Anzeigen $y$ messen.

Zwei Wellen gleicher Frequenz, die in dieselbe Richtung laufen, addieren sich zu einer Welle derselben Frequenz und Geschwindigkeit: Die roten Berge auf der oberen Saite halten mit den gestrichelten bei 5 cm/s Schritt. Die flache zweite Saite, ohne Welle und ohne Energie, liest man am besten als das, was an einem Punkt über zwei Wege ankommt; bei getrennten Quellen geht eine Auslöschung an einer Stelle immer mit einer Verstärkung an anderer Stelle einher.

Typische Fehler

• Intensitäten statt Amplituden addieren: Zwei gleiche Wellen in Phase ergeben die $2^2=4$-fache Intensität einer einzelnen, nicht 2; nur der Mittelwert über das Muster ist das Doppelte einer Quelle.
• Glauben, destruktive Interferenz vernichte Energie: Die 0,04 an der stillen Stelle kommen mit lauten Stellen bei 3,24 einher, deren Mittelwert, 1,64, genau $1+0,80^2$ ist, die Summe der beiden getrennten Intensitäten.
• Erwarten, dass es immer still wird, wenn Wellen außer Phase sind: Das braucht gleiche Amplituden; Wellen von 4 cm und 1 cm lassen noch 3 cm übrig.
• Denken, allein der Abstand entscheide: Nur die Differenz zählt, daher ergeben 3,00 m und 3,75 m oder 10,00 m und 10,75 m beide stille Stellen bei 686 Hz.
• Ein Muster von zwei beliebigen Quellen erwarten: Zwei Lampen oder zwei Violinisten auf demselben Ton haben wandernde Phasen, daher bleibt nur die summierte Intensität $2I_0$ übrig.

Wo dir das begegnet

Noise-Cancelling-Kopfhörer spielen eine invertierte Kopie des eingehenden Lärms ab und wirken am besten bei gleichmäßigen tiefen Brummtönen, etwa in einer Flugzeugkabine. Seifenblasen bekommen ihre Farben vom Licht, das an den beiden Oberflächen eines dünnen Films reflektiert wird, und die Antireflexbeschichtung einer Kameralinse ist etwa 100 nm dick, damit sich zwei Reflexionen von grünem Licht auslöschen.

WLAN bei 2,4 GHz (Wellenlänge 12,5 cm) erreicht einen Laptop über mehrere Wege, sodass schon ein Verschieben um wenige Zentimeter einen schwachen Punkt in einen starken verwandeln kann. Gravitationswellendetektoren nutzen Interferenz, um Längenänderungen zu messen, die weit kleiner sind als ein Proton. Die Lektion Stehende Wellen addiert Wellen, die in entgegengesetzte Richtungen laufen; Beugung und Doppelspalt wendet diese Bedingungen auf Licht an.

Fortgeschritten

Warum sich Wellen einfach addieren

Alles in dieser Lektion beruht auf einer Tatsache: Wo sich zwei Wellen überlagern, addieren sich ihre Auslenkungen. Dieser Abschnitt zeigt, warum das so ist, und die folgenden Abschnitte ziehen die Konsequenzen.

Superposition ist kein zusätzliches Naturgesetz. Sie ist eine Eigenschaft der Gleichung, der die Welle gehorcht. Nimm eine gespannte Saite und sei $y(x,t)$ die kleine seitliche Auslenkung des Saitenstücks an der Stelle $x$ zur Zeit $t$. Das zweite newtonsche Gesetz, auf jedes kurze Stück angewandt, ergibt für kleine Auslenkungen die Wellengleichung, in der $v$ die Geschwindigkeit der Wellen auf der Saite ist:
$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$

Diese Gleichung ist linear: Jeder Term enthält $y$ nur einmal und nur in der ersten Potenz, ohne $y^2$ und ohne Produkt von $y$ mit seinen eigenen Ableitungen. Angenommen, $y_1$ und $y_2$ sind beide Lösungen, und probiere $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ mit beliebigen Konstanten $c_1$ und $c_2$. Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen, und Konstanten werden vor die Ableitung gezogen; daher zerfällt jede Seite der Gleichung in einen $y_1$-Teil und einen $y_2$-Teil. Jeder Teil geht für sich auf, also ist auch die Kombination eine Lösung. Das ist das Superpositionsprinzip: Zwei Wellen laufen durcheinander hindurch, und an jedem Punkt ist die Auslenkung einfach $y_1+y_2$.

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung, $y=F(x-vt)+G(x+vt)$, zeigt dies in Aktion: $F$ ist ein Impuls beliebiger Form, der nach rechts läuft, $G$ einer, der nach links läuft, und beide kreuzen sich mit unveränderter Form. Kleine Druckänderungen in der Luft, Licht im Vakuum, deren Feldgleichungen genau linear sind, und die Wellenfunktion der Quantenmechanik gehorchen alle linearen Gleichungen dieser Art; daher gilt alles Folgende auch für sie.

Zwei Schwingungen mit Phasoren addieren

An jedem Punkt bringt jede Welle das Medium zum Schwingen. Um die resultierende Bewegung zu finden, müssen wir zwei Schwingungen gleicher Frequenz, aber mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen addieren. Kosinusfunktionen direkt zu addieren ist umständlich; zeichnet man jede Schwingung als drehenden Pfeil, wird die Summe zu einer einfachen Geometrie.

Legende

$A_1$	Amplitude der ersten Schwingung: die Länge des blauen Pfeils.	$\mathrm{m}$
$A_2$	Amplitude der zweiten Schwingung: die Länge des goldenen Pfeils.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude der Summe: der rote Pfeil, der das Dreieck schließt.	$\mathrm{m}$
$\omega t+{\phi }_1$	Phase der ersten Schwingung: der Winkel des blauen Pfeils zur Achse, der mit der Rate $\omega$ wächst.	$\mathrm{rad}$
$\phi$	Phasendifferenz ${\phi }_1-{\phi }_2$: der Winkel zwischen den beiden Pfeilen, der fest bleibt, während beide sich drehen.	$\mathrm{rad}$
$y_1$	Auslenkung durch die erste Schwingung: die Projektion des blauen Pfeils auf die Achse.	$\mathrm{m}$
$y_2$	Auslenkung durch die zweite Schwingung: die Projektion des goldenen Pfeils auf die Achse.	$\mathrm{m}$
$y$	Auslenkung der Summe, $y_1+y_2$: die Projektion des roten Pfeils.	$\mathrm{m}$

Die beiden Schwingungen sind $y_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$ und $y_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$ mit derselben Kreisfrequenz $\omega$. Abbildung 1 zeichnet jede als Pfeil, Phasor genannt. Die Länge des Pfeils ist die Amplitude: $A_1$ für den blauen Pfeil, $A_2$ für den goldenen. Sein Winkel zur horizontalen Achse ist die Phase: $\omega t+{\phi }_1$ für den blauen Pfeil, an seinem Fuß markiert, und $\omega t+{\phi }_2$ für den goldenen. Die Schwingung selbst ist die Projektion des Pfeils auf die Achse, sein Schatten: Ein Pfeil der Länge $A_1$ im Winkel $\omega t+{\phi }_1$ hat die Projektion $A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$, also genau $y_1$. Mit der Zeit dreht sich der Pfeil gegen den Uhrzeigersinn mit der Rate $\omega$, und sein Schatten bewegt sich hin und her.

Schau dir nun drei Dinge in der Abbildung an. Erstens beginnt der goldene Pfeil an der Spitze des blauen, Spitze an Fuß, und der rote Pfeil $A$ läuft vom Fuß des blauen Pfeils zur Spitze des goldenen: $A$ ist die Vektorsumme der beiden. Zweitens drehen sich beide Pfeile mit derselben Rate $\omega$, daher ändert sich der Winkel zwischen ihnen, $\phi ={\phi }_1-{\phi }_2$, zwischen dem goldenen Pfeil und der gestrichelten Verlängerung des blauen, nie. Das schraffierte Dreieck behält also seine Form und dreht sich als starres Ganzes, und auch $A$ dreht sich mit der Rate $\omega$. Drittens liegen auf der Achse die Schatten $y_1$ und $y_2$ hintereinander und überspannen zusammen $y$, den Schatten von $A$, weil die Projektion einer Vektorsumme die Summe der Projektionen ist. Also ist $y=y_1+y_2$ selbst eine Schwingung mit derselben Kreisfrequenz $\omega$, und ihre Amplitude ist die Länge $A$.

Die Länge $A$ folgt aus dem Dreieck. Der Winkel im Dreieck, an dem sich die beiden Pfeile treffen, ist $\pi -\phi$, weil $\phi$ von der Verlängerung des blauen Pfeils aus gemessen wird. Der Kosinussatz liefert zusammen mit $\cos (\pi -\phi )=-\cos \phi$
$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \phi$
Die Amplitude ist am größten, $A_1+A_2$, wenn $\phi =0$ ist und die Pfeile in dieselbe Richtung zeigen, und am kleinsten, $|A_1-A_2|$, wenn $\phi =\pi$ ist und sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

In komplexen Zahlen liest sich dieselbe Summe so. Jede Schwingung ist der Realteil von $A_j{e}^{i(\omega t+{\phi }_j)}$, der gemeinsame Faktor $e^{i\omega t}$ wird herausgezogen, und $A^2=|A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}{|}^2$; das Argument dieser komplexen Summe ist die Phase der Resultierenden. Ausmultipliziert ergibt der quadrierte Betrag wieder den Kosinussatz.

Woher kommt $\phi$? Nimm zwei Quellen mit derselben Kreisfrequenz $\omega$, mit ihren eigenen Phasen ${\alpha }_1$ und ${\alpha }_2$, und einen Punkt in den Abständen $r_1$ und $r_2$ von ihnen. Eine Welle mit der Geschwindigkeit $v$ braucht die Zeit $r_j/v$ bis zur Ankunft, also hat das, was zur Zeit $t$ den Punkt erreicht, Quelle $j$ zur Zeit $t-r_j/v$ verlassen. Seine Phase ist daher $\omega (t-r_j/v)+{\alpha }_j=\omega t+{\alpha }_j-k{r}_j$, wobei $k=\omega /v=2\pi /\lambda$ die Wellenzahl und $\lambda$ die Wellenlänge ist. Also ist ${\phi }_j={\alpha }_j-k{r}_j$, und in der Differenz fällt das gemeinsame $\omega t$ weg:
$\phi ={\phi }_1-{\phi }_2=\frac{2\pi \Delta }{\lambda }+({\alpha }_1-{\alpha }_2),\Delta =r_2-r_1$
Hier ist $\Delta$ der Gangunterschied, der zusätzliche Weg, den die Welle von der zweiten Quelle zurücklegt. Jede Wellenlänge zusätzlichen Weges addiert $2\pi$ zur Phasendifferenz.

Für zwei gleiche Amplituden $a$ von Quellen im Takt (${\alpha }_1={\alpha }_2$) wird der Kosinussatz zu $A^2=2a^2(1+\cos \phi )$. Die Identität $1+\cos \phi =2{\cos }^2(\phi /2)$ macht daraus $A^2=4a^2{\cos }^2(\phi /2)$, und da $\phi /2=\pi \Delta /\lambda$ ist,
$A=2a\left|\cos \frac{\pi \Delta }{\lambda }\right|$
Spezialfälle lassen sich direkt am Dreieck ablesen. Bei $\Delta =\lambda /3$ beträgt die Phasendifferenz $2\pi /3$, also 120°, daher ist der Winkel im Dreieck 60°; zwei gleich lange Seiten um einen 60°-Winkel ergeben ein gleichseitiges Dreieck, und $A=a$. Bei $\Delta =\lambda /4$ stehen die Pfeile senkrecht aufeinander, $A$ ist die Hypotenuse eines rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecks, und $A=\sqrt{2}a$.

Intensität und wohin die Energie geht

Ohr und Auge registrieren nicht die Amplitude, sondern die Intensität $I$, die Leistung, die durch jeden Quadratmeter fließt; sie ist proportional zum Quadrat der Amplitude. Dieser Abschnitt übersetzt das Amplitudengesetz in ein Intensitätsgesetz und prüft, dass Interferenz Energie nur umverteilt.

Multipliziere den Kosinussatz mit der Konstante, die $A^2$ in Intensität umrechnet. Die Terme $A_1^2$ und $A_2^2$ werden zu $I_1$ und $I_2$, den Intensitäten, die jede Quelle allein liefert, und $A_1{A}_2$ wird zu $\sqrt{I_1{I}_2}$:
$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$
Für zwei gleiche Quellen im Takt, die allein je $I_0$ liefern, gilt $\phi =2\pi \Delta /\lambda$ und
$I=4I_0{\cos }^2\left(\frac{\pi \Delta }{\lambda }\right)$
Der letzte Term des allgemeinen Gesetzes, $2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \phi$, heißt Kreuzterm, und er ist die ganze Interferenz: Ohne ihn würden sich die Intensitäten einfach addieren. Über einen Schirm oder durch einen Raum hinweg durchläuft $\phi$ viele volle Zyklen, und der Mittelwert von $\cos \phi$ über einen vollen Zyklus ist null. Im Mittel bleibt $I_1+I_2=2I_0$: Die hellen Streifen mit $4I_0$ gewinnen genau das, was die dunklen verlieren.

Diese Buchführung setzt voraus, dass die Quellen viele Wellenlängen auseinanderliegen. Eng beieinander sind sie gekoppelt: Jede Quelle drückt auf ein Medium, in dem auch die Welle der anderen schwingt. Trifft diese Welle im Takt mit dem Druck ein, arbeitet die Quelle gegen einen höheren Druck oder ein höheres Feld und strahlt mehr ab; trifft sie außer Takt ein, strahlt die Quelle weniger ab. Zwei kleine Quellen im Abstand $d$, mit gleicher Stärke und Phasendifferenz $\alpha$ angetrieben, strahlen insgesamt
$P=2P_0\left(1+\cos \alpha \frac{\sin kd}{kd}\right)$
ab, wobei $P_0$ die Leistung ist, die eine Quelle allein abstrahlt. Zwei Kontrollen: Wenn $kd$ groß ist, ist $\sin kd/(kd)$ klein und $P\approx 2P_0$, die Summe der getrennten Leistungen; wenn $d\to 0$ geht der Faktor gegen 1, daher wirken zwei Quellen im Takt wie eine Quelle doppelter Stärke, $P=4P_0$, während sich zwei in Gegenphase auslöschen.

Zum Beispiel strahlen zwei Lautsprecher im Abstand von 1,5 m, die 50 Hz spielen (Wellenlänge 6,86 m in Luft, also $kd=1,37$), $3,43P_0$ im Takt ab, aber nur $0,57P_0$, wenn einer falsch herum angeschlossen ist und seine Phase umkehrt. Das ist ein Faktor 6, fast 8 dB Bass weniger. Die Energie bleibt dennoch erhalten: Die Luft belastet jeden Lautsprecher unterschiedlich, daher liefert der Verstärker einfach eine andere Leistung.

Gangunterschied in der Ferne und Strahlsteuerung

Antennen, Lautsprecher und Spalte werden meist aus großer Entfernung beobachtet, bei einem Vielfachen ihres Abstands. Dann hängt der Gangunterschied nur von der Richtung ab, und das Interferenzmuster wird zu einem Muster von Richtungen. Abbildung 2 bestimmt diesen Gangunterschied.

Legende

$S_1$	Erste Quelle.
$S_2$	Zweite Quelle.
$d$	Abstand zwischen den beiden Quellen.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Richtung des fernen Punktes, gemessen von der Mittelsenkrechten von $S_1{S}_2$.	$\mathrm{rad}$
$\Delta$	Gangunterschied: um wie viel weiter die Welle von $S_2$ läuft als die von $S_1$.	$\mathrm{m}$

In Abbildung 2 liegen die Quellen $S_1$ und $S_2$ im Abstand $d$, und wir blicken zu einem fernen Punkt in der Richtung, die unter dem Winkel $\theta$ zu ihrer Mittelsenkrechten liegt, der waagerechten gestrichelten Linie. Weil der Punkt so weit entfernt ist, sind die beiden Strahlen zu ihm, blau von $S_1$ und golden von $S_2$, praktisch parallel. Die gestrichelte Linie von $S_1$ zum goldenen Strahl trifft diesen Strahl im rechten Winkel. Jenseits dieser Linie sind beide Wege gleich lang, daher ist die einzige zusätzliche Länge des Weges von $S_2$ das violette Stück zwischen $S_2$ und dem Fußpunkt der gestrichelten Linie. Dieses Stück ist $\Delta$.

Das violette Stück ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse $S_1{S}_2$ mit der Länge $d$ ist. Der Winkel dieses Dreiecks bei $S_1$ ist gleich $\theta$: Die Linie $S_1{S}_2$ steht senkrecht zur Mittelsenkrechten, die gestrichelte Linie steht senkrecht zu den Strahlen, und wenn man zwei Geraden um denselben rechten Winkel dreht, bleibt der Winkel zwischen ihnen unverändert. Die violette Seite liegt diesem Winkel gegenüber, also
$\Delta =d\sin \theta$
Bei Quellen im Takt kommen die Wellen daher im Takt an und bilden einen starken Strahl in jeder Richtung, in der $d\sin \theta$ eine ganze Zahl von Wellenlängen ist.

Die Phasen der Quellen lassen sich auch gezielt einstellen. Sei $S_1$ um die Phase $\alpha$ gegenüber $S_2$ verzögert, sodass ${\alpha }_1-{\alpha }_2=-\alpha$ ist. Dann ist $\phi =2\pi d\sin \theta /\lambda -\alpha$, und die stärkste Richtung, wo $\phi =0$ ist, wandert nach
$\sin \theta =\frac{\alpha \lambda }{2\pi d}$
Der Strahl schwenkt zur Seite der verzögerten Quelle, $S_1$: Ihr kürzerer Weg gleicht den späteren Start genau aus. Ein 10-GHz-Radar ($\lambda =3,0\mathrm{cm}$) mit Elementen im Abstand von 1,5 cm, von denen jedes eine Viertelperiode (90°) hinter seinem Nachbarn liegt, zielt dorthin, wo $\sin \theta =0,5$ ist, also auf 30°. Die elektronische Änderung der Phasen steuert den Strahl ohne bewegliche Teile: So funktionieren phasengesteuerte Gruppenantennen.

Schwebungen: Interferenz in der Zeit

Bisher hatten beide Wellen dieselbe Frequenz, daher blieb die Phasendifferenz an einem Punkt fest. Wenn sich die Frequenzen leicht unterscheiden, wächst die Phasendifferenz stetig mit der Zeit, und die gemeinsame Lautstärke an einem Ort steigt und fällt. Diese Anschwellungen sind Schwebungen, die Musiker zum Stimmen ihrer Instrumente nutzen.

Legende

$a$	Amplitude jeder Schwingung: die Länge des blauen und des goldenen Pfeils.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude der Summe: die Länge des roten Pfeils, als rote Kurve aufgetragen.	$\mathrm{m}$
$2a$	Größter Wert von $A$, erreicht, wenn die beiden Pfeile in dieselbe Richtung zeigen.	$\mathrm{m}$
$\Delta \omega t$	Winkel, um den der goldene Pfeil gegenüber dem blauen zurückgefallen ist; er wächst proportional zur Zeit $t$.	$\mathrm{rad}$
$\pi$	Eine halbe Umdrehung: Die Pfeile zeigen in entgegengesetzte Richtungen, und $A=0$.	$\mathrm{rad}$
$2\pi$	Eine volle Umdrehung: Die Pfeile liegen wieder aufeinander, und eine Schwebung ist vollendet.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 zeigt Schwebungen mit denselben Pfeilen. Beide Schwingungen haben die Amplitude $a$, und ihre Kreisfrequenzen ${\omega }_1$ und ${\omega }_2$ unterscheiden sich um einen kleinen Betrag $\Delta \omega ={\omega }_1-{\omega }_2$. Betrachte die Pfeile vom blauen aus, als ob du dich mit ihm mit ${\omega }_1$ drehst, sodass er entlang der Achse stillsteht. Der goldene Pfeil, der sich mit dem langsameren ${\omega }_2$ dreht, fällt stetig zurück: Nach der Zeit $t$ ist er um den Winkel $\Delta \omega t$ zurückgefallen. Sein Fuß bleibt an der Spitze des blauen Pfeils, daher läuft seine eigene Spitze um den gestrichelten Kreis mit dem Radius $a$, der dort seinen Mittelpunkt hat. Die rote Summe $A$ dehnt und staucht sich daher: Sie ist $2a$, wenn die beiden Pfeile fluchten, und $0$, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen, bei $\Delta \omega t=\pi$.

Die beiden gleichen Pfeile und ihre Summe bilden ein gleichschenkliges Dreieck, das die Länge der Summe zu jedem Zeitpunkt liefert, $A=2a|\cos (\Delta \omega t/2)|$. Der Graph rechts trägt sie gegen $\Delta \omega t$ auf, und sein Punkt markiert den Moment, der links gezeichnet ist. Die Kurve wiederholt sich alle $2\pi$ von $\Delta \omega t$, das heißt zeitlich alle $2\pi /\Delta \omega$. Das ist eine Schwebung: die Zeit, die der schnellere Pfeil braucht, um dem langsameren eine ganze Umdrehung abzugewinnen.

Die Algebra liefert dasselbe Ergebnis. An einem festen Punkt sei $y=a\sin {\omega }_{1}t+a\sin {\omega }_{2}t$. Die Identität $\sin p+\sin q=2\cos \frac{p-q}{2}\sin \frac{p+q}{2}$ macht daraus
$y=2a\cos \left(\frac{\Delta \omega t}{2}\right)\sin (\bar{\omega }t)$
wobei $\bar{\omega }=({\omega }_1+{\omega }_2)/2$ die mittlere Kreisfrequenz ist. Der zweite Faktor ist eine schnelle Schwingung mit der mittleren Frequenz; der erste ist eine langsame Hüllkurve, die ihre Größe bestimmt.

Die dritte Saite der Animation, hier auf dieser Stufe gezeigt, addiert zwei Wellen mit der Amplitude $a=1\mathrm{cm}$ und den Frequenzen $f_1=1,5\mathrm{Hz}$ und $f_2=1,25\mathrm{Hz}$ (in Hertz, $f=\omega /(2\pi )$). Die schnelle Schwingung läuft mit ihrem Mittelwert, 1,375 Hz, und der Kosinus der Hüllkurve mit der halben Differenz, 0,125 Hz: eine Periode des Kosinus pro 8-s-Schleife. Die Lautstärke folgt der Größe der Hüllkurve, nicht ihrem Vorzeichen, und diese Größe erreicht in jeder Periode des Kosinus zweimal ein Maximum, einmal dort, wo der Kosinus $+1$ ist, und einmal dort, wo er $-1$ ist. Die Schwebungen treten also mit der vollen Differenz auf,
$f_{\mathrm{beat}}=|f_1-f_2|$
hier 0,25 Hz, eine Schwebung alle 4 s. Auf dem Graphen von $y(t)$ am Punkt P schwillt die violette Kurve bei $t=0,4\mathrm{s}$ und $4,4\mathrm{s}$ fast auf 2 cm an und fällt bei etwa 2,4 s und 6,4 s auf null zusammen, immer innerhalb der gestrichelten Hüllkurve $\pm 2a$.

Jede Schwebung umfasst $1,375\cdot 4=5,5$ schnelle Schwingungen, denn in 4 s macht Welle 1 6 Zyklen und Welle 2 macht 5. Der zusätzliche halbe Zyklus bewirkt, dass die schnelle Bewegung nach jedem Einbruch auf dem Kopf neu startet, weshalb der Kosinus der Hüllkurve zwei Schwebungen braucht, um sich zu wiederholen. In Abbildung 3 ist das der schnellere Pfeil, der den langsameren einmal pro Schwebung überholt. Bei ungleichen Amplituden $A_1$ und $A_2$ liefert der Kosinussatz mit $\phi =\Delta \omega t$ die Intensität
$I\propto A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (\Delta \omega t)$
die zwischen $(A_1+A_2{)}^2$ und $(A_1-A_2{)}^2$ schwankt. Die Schwebungen sind immer noch da, aber der Klang verstummt nie.

Modulation: Schwebungen rückwärts gelesen

Schwebungen zeigen, dass zwei nahe beieinanderliegende Frequenzen, zusammengefügt, wie eine einzige Frequenz mit langsam wechselnder Amplitude aussehen. Von der anderen Seite gelesen enthält eine Welle, deren Amplitude man verändert, zusätzliche Frequenzen. So überträgt das AM-Radio den Ton.

Angenommen, ein Träger der Kreisfrequenz ${\omega }_c$ hat seine Amplitude im Rhythmus eines Tons der Kreisfrequenz ${\omega }_m$, mit der Modulationstiefe $b$: Das Signal ist $(1+b\cos {\omega }_{m}t)\cos {\omega }_{c}t$. Die Produktformel $\cos p\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$ zerlegt es in den Träger selbst plus zwei Seitenbänder der Amplitude $b/2$, bei ${\omega }_c+{\omega }_m$ und ${\omega }_c-{\omega }_m$. Ein AM-Sender bei 1,2 MHz, der Ton bis 4,5 kHz überträgt, belegt daher das Band von 1195,5 bis 1204,5 kHz, 9 kHz breit; deshalb sind AM-Kanäle in Europa 9 kHz auseinander.

Viele Quellen: ein Polygon aus Pfeilen

Gitter und Antennenarrays kombinieren viele Quellen, nicht nur zwei. Das Zeigerbild behandelt beliebig viele davon: Die Pfeile werden einfach Spitze an Fuß zu einer längeren Kette gelegt.

Legende

$N$	Anzahl der gleichen Quellen, hier 5.
$a$	Amplitude einer Quelle: die Länge jedes blauen Pfeils.	$\mathrm{m}$
$A$	Amplitude der Summe: der rote Pfeil vom Anfang bis zum Ende der Kette.	$\mathrm{m}$
$\phi$	Phasenschritt zwischen benachbarten Quellen: der Winkel, um den jeder Pfeil gegenüber dem vorherigen gedreht ist.	$\mathrm{rad}$
$N\phi$	Winkel, den die ganze Kette vom ersten bis zum letzten Pfeil im Mittelpunkt des gestrichelten Kreises überspannt.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 4 nimmt $N$ gleiche Quellen in einer Reihe, jede um eine Phase $\phi$ vor der davor; links ist $N=5$. Alle $N$ Pfeile haben dieselbe Länge $a$, und jeder ist um denselben Winkel $\phi$ gegenüber dem vorherigen gedreht. Eine Kette mit gleich langen Seiten und derselben Drehung an jeder Ecke ist Teil eines regelmäßigen Vielecks, daher liegen ihre Ecken auf einem Kreis, dem gestrichelten; sei $R$ dessen Radius. Vom Mittelpunkt aus gesehen überspannt jede Seite den Winkel $\phi$, und die ganze Kette, vom Fuß des ersten Pfeils bis zur Spitze des letzten, überspannt $N\phi$. Die Summe $A$, der rote Pfeil, schließt die Kette.

Eine Sehne, die im Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius $R$ den Winkel $\beta$ überspannt, hat die Länge $2R\sin (\beta /2)$: Die Linie vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt der Sehne zerlegt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige. Also ist eine Seite $a=2R\sin (\phi /2)$, und die schließende Sehne ist $A=2R|\sin (N\phi /2)|$. Teilt man das zweite durch das erste, verschwindet der unbekannte Radius $R$:
$A=a\left|\frac{\sin (N\phi /2)}{\sin (\phi /2)}\right|$
Für $N=2$ bringt die Identität $\sin \phi =2\sin (\phi /2)\cos (\phi /2)$ wieder $A=2a|\cos (\phi /2)|$.

Zwei Fälle stechen hervor. Wenn $\phi$ ein Vielfaches von $2\pi$ ist, zeigen alle Pfeile in dieselbe Richtung, also ist $A=Na$ und die Intensität $I=N^2{I}_0$, wobei $I_0$ die Intensität einer einzelnen Quelle allein ist. Wächst $\phi$ von null an, rollt sich die Kette auf, und die erste Nullstelle kommt bei $\phi =2\pi /N$: Die $N$ Drehungen von $\phi$ ergeben dann genau eine volle Umdrehung, und das Vieleck schließt sich, wie rechts in Abbildung 4. Bei zehn Quellen sind die Maxima 100-mal so intensiv wie eine Quelle, und ihre ersten Nullstellen liegen bei $\phi =2\pi /10$ statt bei $\pi$ wie bei zwei Quellen, daher sind die Maxima fünfmal schmaler. Die mittlere Intensität bleibt $10I_0$, weil sich die Kreuzterme im Mittel herausmitteln: Die Energie sammelt sich in schmalen, hellen Maxima. Das ist das Prinzip von Beugungsgittern und Radioteleskop-Arrays.

Stehende Wellen und Wellenpakete

Die Superposition erklärt außerdem zwei Muster aus späteren Lektionen: Wellen, die stillzustehen scheinen, und Wellen, die auf ein kurzes Paket begrenzt sind.

Zwei gleiche Wellen, die in entgegengesetzte Richtungen laufen, ergeben nach der Identität, die bei den Schwebungen verwendet wurde,
$a\sin (kx-\omega t)+a\sin (kx+\omega t)=2a\sin kx\cos \omega t$
Jeder Punkt schwingt im Takt mit allen anderen, mit einer Amplitude $2a|\sin kx|$, die durch seine Lage festgelegt ist. Wo $\sin kx=0$ ist, also alle $\lambda /2$, gibt es Knoten, die sich nie bewegen: Das ist eine stehende Welle.

Viele benachbarte Frequenzen, über ein Band der Breite $\Delta f$ verteilt, ergeben ein einziges Wellenpaket. Die Anteile stimmen zu einem Zeitpunkt in der Phase überein und geraten innerhalb einer Zeit von etwa $1/\Delta f$ außer Takt; daher braucht ein kürzeres Paket ein breiteres Band: grob $\Delta f\Delta t\approx 1$. Die Hüllkurve des Pakets bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit $d\omega /dk$; für zwei Wellen ist das die Geschwindigkeit $\Delta \omega /\Delta k$ des Schwebungsmusters. Auf der Saite der Animation läuft jede Frequenz mit denselben 5 cm/s, also gilt $\omega =vk$, und die Gruppengeschwindigkeit ist gleich der Wellengeschwindigkeit: Die Schwebungshüllkurve, die sich entlang der Saite alle $v/\Delta f=20\mathrm{cm}$ wiederholt, hält mit den Wellen Schritt. Auf tiefem Wasser, wo lange Wellen schneller laufen als kurze, wäre das nicht so: Dort bewegt sich die Hüllkurve nur mit der halben Geschwindigkeit der Wellenberge.

Rechenaufgabe: ein verstimmter Lautsprecher

Diese Aufgabe verbindet das Amplitudengesetz, den Kontrast eines Musters und Schwebungen.

Nimm die beiden Lautsprecher der mittleren Stufe, phasengleich bei 686 Hz, sodass $\lambda =0,50\mathrm{m}$ in Luft bei 343 m/s gilt. Du sitzt 3,00 m von dem einen und 3,75 m vom anderen Lautsprecher entfernt. Die Amplitude jedes Lautsprechers fällt mit $1/r$ ab, daher ist bei dir der entferntere im Verhältnis $3,00/3,75=0,80$ schwächer. Bestimme den Kontrast des Musters und lass dann den entfernteren Lautsprecher auf 686,25 Hz driften.

Vor dem Driften beträgt der Gangunterschied $\Delta =0,75\mathrm{m}=1,5\lambda$, also $\phi =2\pi \cdot 1,5=3\pi$ und $\cos \phi =-1$: Du stehst an einer stillen Stelle. Miss die Intensitäten in Einheiten des nahen Lautsprechers allein, sodass $A_1=1$ und $A_2=0,8$ ist. Die kleinsten und größten Werte, die das Muster annehmen kann, bei $\cos \phi =-1$ bzw. $\cos \phi =+1$, sind
$I_{\min }=(1-0,8{)}^2=0,04,I_{\max }=(1+0,8{)}^2=3,24$
Die Sichtbarkeit, oder der Kontrast, des Musters vergleicht beide. Da $I_{\max }-I_{\min }=4A_1{A}_2$ und $I_{\max }+I_{\min }=2(A_1^2+A_2^2)$ ist,
$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}=\frac{2A_1{A}_2}{A_1^2+A_2^2}=\frac{1,6}{1,64}=0,98$
Eine Amplitudenabweichung von 20 % lässt immer noch eine Senke von $10{\log }_{10}(3,24/0,04)\approx 19\mathrm{dB}$ unter dem lautesten Wert: Interferenz verzeiht viel.

Verstimme nun den entfernteren Lautsprecher um 0,25 Hz. Seine Phase gewinnt alle 4 s einen ganzen Zyklus gegenüber dem anderen, sodass $\phi$ alle Werte durchläuft, und du hörst Schwebungen mit 0,25 Hz, dem Rhythmus der dritten Saite der Animation: 0,04 bei $t=0$, 3,24 zwei Sekunden später, wieder 0,04 bei 4 s.

Dieselbe Verschiebung bewegt das Muster im Raum. Auf der Linie zwischen den Lautsprechern verkürzt ein Schritt $\delta$ zu einem Lautsprecher hin den einen Weg um $\delta$ und verlängert den anderen um $\delta$, ändert also $\Delta$ um $2\delta$; die stillen Stellen, die um eine Wellenlänge in $\Delta$ auseinanderliegen, sind daher $\lambda /2=0,25\mathrm{m}$ voneinander entfernt. Während die Phase driftet, verschiebt sich das ganze Muster pro Schwebung um einen Abstand, 0,25 m in 4 s oder etwa 6 cm/s, zu dem Lautsprecher mit der niedrigeren Frequenz. Schwebungen in der Zeit und Streifen im Raum sind ein und dasselbe Phänomen: ein Muster, das an einem festen Ohr vorbeizieht.

Über eine Schwebung gemittelt verschwindet der Kreuzterm und lässt $1+0,8^2=1,64$ übrig, die Summe der beiden getrennten Intensitäten. Würde die Verstimmung zufällig um einige Hertz schwanken, erhielte jeder Platz im Mittel dieselben 1,64: Unabhängige Quellen addieren Intensitäten, nicht Amplituden.

Grenzen der Gültigkeit

Die Superposition gilt genau nur, solange das Medium linear reagiert, das heißt, solange eine Verdopplung der Störung auch die Antwort verdoppelt. Starke Wellen brechen diese Regel, und die Kohärenz setzt eine zweite Grenze.

Eine Schallwelle kann keine Druckamplitude haben, die größer als der Atmosphärendruck ist, denn der Druck in einer Verdünnung kann nicht unter null fallen; für einen reinen Ton liegt diese Grenze bei etwa 191 dB. Lange bevor sie erreicht ist, laufen die Verdichtungen einer lauten Welle schneller als ihre Verdünnungen, und die Welle steilt sich zu einer Stoßwelle auf. Eine Saite, die zu weit ausgelenkt wird, dehnt sich, daher steigen ihre Spannung und ihre Tonhöhe, und eine Wasserwelle bricht, wenn ihre Höhe etwa ein Siebtel ihrer Wellenlänge erreicht.

Licht im Vakuum gehorcht linearen Gleichungen: Die Streuung von Licht an Licht, die die Quantentheorie vorhersagt, wurde nur in Teilchenbeschleunigern beobachtet. In manchen Kristallen treibt intensives Licht die Elektronen jedoch über ihre lineare Antwort hinaus und erzeugt neue Frequenzen: Ein grüner Laserpointer macht aus infrarotem Licht von 1064 nm grünes Licht von 532 nm, mit der doppelten Frequenz.

Stabile Streifen brauchen außerdem Kohärenz: Die beiden Wellen müssen eine feste Phasendifferenz einhalten. Ein echter Wellenzug mit einer Streuung der Frequenzen $\Delta f$ behält eine stabile Phase nur über seine Kohärenzlänge, $L_c\approx c/\Delta f$, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Bei Sonnenlicht, das das ganze sichtbare Band umfasst, sind es etwa 1 µm, weshalb Seifenfilme nur dann Farben zeigen, wenn sie nicht dicker als etwa ein Mikrometer sind. Bei einem Laser mit $\Delta f\approx 1\mathrm{MHz}$ sind es rund 300 m. Auch Detektoren mitteln: Augen und Fotodioden erfassen nur die mittlere Intensität, und das Ohr folgt Schwebungen nur bis etwa 15 pro Sekunde.

Wohin das führt

Zwei gleiche Wellen, die in entgegengesetzte Richtungen laufen, ergeben die festen Knoten der Lektion Stehende Wellen. Viele kohärente Quellen entlang eines Spalts oder eines Gitters erzeugen die Streifen von Beugung und Doppelspalt, wo wieder $\Delta =d\sin \theta$ gilt. Licht ist ein laufendes Muster aus elektrischen und magnetischen Feldern, wie Elektromagnetische Wellen erklärt, und zwei gleich große, senkrechte Komponenten mit einer Viertelperiode Versatz ergeben die zirkularen Zustände aus Polarisation des Lichts.

Inkohärente Quellen addieren Intensitäten, so verbinden sich Dezibel in Lautstärke, Intensität und Dezibel; zwei kohärente Quellen im Takt ergeben an einem hellen Punkt 6 dB statt 3 dB, weil die Intensität dort das Vierfache statt des Doppelten einer Quelle beträgt. Elektronen und einzelne Photonen bauen Streifen Punkt für Punkt auf: Amplituden addieren sich, und Wahrscheinlichkeiten sind deren Quadrate. Diese Idee, das Herz von Welle-Teilchen-Dualismus sowie von Schrödinger-Gleichung und Tunneleffekt, ist die Superposition in ihrer tiefsten Form.