Condução, convecção e radiação

Iniciante

Passo 1. O calor sempre vai de lugares mais quentes para lugares mais frios, e pode viajar de três formas. Uma panela com água sobre a chama de um fogão a gás mostra as três ao mesmo tempo.

Passo 2. Condução: calor que passa por um material por contato. As partículas na parte de baixo quente da panela vibram com força e batem nos vizinhos, que também passam a vibrar mais, e assim por diante através do metal. Nada se desloca, só a vibração. Os metais transmitem o calor rapidamente; madeira, plástico, lã e ar parado o transmitem devagar e são chamados de isolantes. Um casaco fofo mantém você aquecido porque prende ar.

Passo 3. Convecção: calor levado por um líquido ou gás em movimento. A água perto do fundo quente esquenta, se expande um pouco e fica mais leve que a água mais fria acima dela, então sobe; a água mais fria desce para ocupar o lugar, e forma-se um ciclo. As pessoas dizem que o calor sobe, mas na verdade é o fluido quente que sobe.

Passo 4. Radiação: calor levado pela luz infravermelha invisível, que não precisa de material nenhum. É assim que a luz do sol aquece seu rosto através do espaço vazio. Superfícies escuras e foscas absorvem e emitem bem essa radiação; as brilhantes a refletem, por isso os cobertores de emergência são prateados.

Na animação, setas douradas mostram o calor atravessando a base metálica, onde as partículas vibram. A água gira em dois ciclos: bolhas vermelhas (quentes) sobem no meio e bolhas azuis (frias) descem pelas laterais. Ondas roxas levam a radiação para longe da chama.

Teste você mesmo: por que uma panela tem corpo de metal, mas muitas vezes um cabo de plástico ou madeira? (O metal passa o calor depressa para a comida; o cabo precisa ser mau condutor para você poder segurá-lo.)

Intermediário

Fluxo de calor e o que o impulsiona

Calor é energia que se move por causa de uma diferença de temperatura e, por si só, sempre vai do mais quente para o mais frio. A quantidade, $Q$, é medida em joules, a taxa $Q/t$ em watts e a taxa por metro quadrado, o fluxo de calor $q$, em W/m². Uma diferença $\Delta T$ tem o mesmo valor em kelvins e em graus Celsius; só a radiação depende das próprias temperaturas, que então devem estar em kelvins.

O calor viaja de três formas: por condução, de partícula a partícula através de um material que permanece no lugar; por convecção, levado por um líquido ou gás em movimento; e por radiação, ondas eletromagnéticas, principalmente infravermelhas, que não precisam de material. A panela da animação mostra as três ao mesmo tempo.

Condução: lei de Fourier

Através de uma camada plana de área $A$ e espessura $d$ cujas faces diferem em $\Delta T$, depois que as temperaturas internas se estabilizam, o fluxo de calor é
$\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{d}$

Área dobrada oferece o dobro de caminhos, diferença dobrada empurra com o dobro de força, e espessura dobrada reduz o fluxo à metade. O material entra por sua condutividade térmica $k$, em W/(m·K): cerca de 400 para o cobre, 16 para o aço inoxidável, 0,7 para o tijolo, 0,15 para a madeira, 0,04 para a lã mineral e 0,025 para o ar parado. Os metais conduzem bem graças aos seus elétrons livres; lã, espuma e penas isolam ao prender ar em bolsas pequenas demais para que ele circule.

Camadas em série se combinam como resistores. Cada metro quadrado de uma camada tem uma resistência térmica $R=d/k$, em m²·K/W, e os construtores somam essas resistências em um valor U:
$\frac{Q}{t}=UA\Delta T,U=\frac{1}{\sum (d/k)}$
Um $U$ baixo significa bom isolamento. Para uma única camada $U=k/d$, então dobrar a espessura reduz a perda à metade.

Exemplo resolvido: a panela da animação

A base de aço tem $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, $A=0,03{\mathrm{m}}^2$ e $d=4\mathrm{mm}=0,004\mathrm{m}$, e a chama mantém sua face inferior 15 K mais quente que a superior, então
$\frac{Q}{t}=\frac{16\cdot 0,03\cdot 15}{0,004}=1800\mathrm{W}$

Para aquecer 2 kg de água, com $c=4180J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, de 20 °C a 80 °C, são necessários
$Q=mc\Delta T=2\cdot 4180\cdot 60=501600\mathrm{J}\approx 502\mathrm{kJ}$
assim, sem perdas, leva $t=501600/1800\approx 279\mathrm{s}$, cerca de 4,6 minutos.

Esses são os valores finais dos marcadores: $t$ chega a 4,6 min, a água a 80 °C e $Q$ a 502 kJ, em um filme acelerado de oito segundos. As setas douradas marcam o fluxo constante para cima pela base, desenhada bem mais grossa que 4 mm para que seus átomos vibrantes apareçam. O aço é um condutor mediano, mas 4 mm é tão fino que 15 K impulsionam 1800 W através dele. Uma base de madeira, com $k=0,15W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, deixaria passar cerca de cem vezes menos.

Convecção: os ciclos na panela

A água que toca a base quente se expande um pouco e fica menos densa que a água mais fria ao redor, como indica o rótulo de densidade na cena. O empuxo a eleva, e a água mais densa desce para ocupar o lugar. As linhas de corrente verdes tracejadas se fecham em dois ciclos que sobem juntos acima da chama e descem pelas paredes; cada porção de água fica vermelha na subida e azul na descida. Esta é a convecção natural; com um ventilador ou uma bomba, torna-se convecção forçada.

Nenhuma fórmula simples cobre um escoamento inteiro, então engenheiros escrevem o calor trocado entre uma superfície e um fluido como
$\frac{Q}{t}=hA\Delta T$
com $\Delta T$ entre a superfície e o fluido distante, e um coeficiente $h$ medido: cerca de 10 W/(m²·K) para o ar parado, em torno de 100 para o ar de um ventilador e dezenas de milhares para a água fervendo. Esta é a lei de resfriamento de Newton; a sensação térmica do vento é a mesma lei, com o vento aumentando $h$.

Radiação: a quarta potência da temperatura

Toda superfície irradia; perto da temperatura ambiente, principalmente infravermelho em torno de 10 µm. A lei de Stefan-Boltzmann dá a potência de uma área $A$ à temperatura absoluta $T$:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
com $\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ e uma emissividade $\epsilon$ de 0 (um espelho perfeito) a 1 (um corpo negro). Aquecer uma placa de 27 °C a 327 °C (de 300 K a 600 K) dobra $T$ e multiplica $P$ por $2^4=16$.

Um corpo também absorve radiação do ambiente, e um bom emissor é igualmente um bom absorvedor. Com o ambiente a $T_0$, a perda líquida é
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$
Pele nua a 306 K (33 °C), com $\epsilon \approx 0,97$ e cerca de 1,5 m² irradiando, em um cômodo com paredes a 293 K, perde $0,97\cdot 5,67\times 10^{-8}\cdot 1,5\cdot (306^4-293^4)\approx 115\mathrm{W}$, mais que os cerca de 100 W que um corpo em repouso produz. As ondas roxas levam energia lateralmente a partir da chama, onde a condução e a convecção quase não levam nada.

Exemplo resolvido: uma janela de vidro simples

Uma janela de 1,5 m² tem uma vidraça de 4 mm com $k=1,0W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, entre um cômodo a 20 °C e o exterior a 0 °C. Só para o vidro, a lei de Fourier dá $1,0\cdot 1,5\cdot 20/0,004=7500\mathrm{W}$, a potência de vários aquecedores. Janelas reais perdem muito menos: uma película de ar lento adere a cada face e acrescenta uma resistência $1/h$, com $h\approx 8W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ por dentro (metade convecção, metade radiação) e $h\approx 25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ por fora, com vento fraco.

Por metro quadrado, as três resistências se somam:
$R=\frac{1}{8}+\frac{0,004}{1,0}+\frac{1}{25}=0,125+0,004+0,040=0,169{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
$\frac{Q}{t}=\frac{A\Delta T}{R}=\frac{1,5\cdot 20}{0,169}\approx 178\mathrm{W},U=\frac{1}{R}\approx 5,9W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$

A vidraça fornece apenas cerca de 2 % da resistência; quem isola são as películas de ar. O fluxo é $20/0,169\approx 118W/{\mathrm{m}}^2$, então a película interna responde por $118\cdot 0,125\approx 15\mathrm{K}$, e a face interna do vidro fica perto de 5 °C, abaixo do ponto de orvalho do ar do cômodo a 50 % de umidade, cerca de 9 °C: vidros simples embaçam. Vidro duplo, com $U\approx 1,2W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, perderia cerca de 36 W aqui, e a parede de tijolo e lã do nível avançado, apenas cerca de 11 W.

Erros comuns

• “O calor sobe” é meia verdade: o fluido quente sobe, mas o calor em si se espalha em todas as direções por condução e radiação, então um aquecedor de teto aquece pessoas a 2 m abaixo dele.
• O isolamento não impede o calor; ele apenas o retarda. Até 10 cm de lã mineral, com $U=0,04/0,1=0,4W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, deixam passar 8 W por metro quadrado com 20 K.
• Metal e madeira em temperatura ambiente estão igualmente quentes. O aço parece mais frio porque conduz cerca de cem vezes melhor (16 contra 0,15 W/(m·K)), então tira calor da sua mão mais depressa.
• Nunca coloque graus Celsius em $T^4$. De 27 °C a 327 °C, a potência irradiada sobe 16 vezes (de 300 K a 600 K), não 12 vezes, muito menos 21 000.
• A diferença $T^4-T_0^4$ não é $(T-T_0{)}^4$. Para 306 K e 293 K, a primeira dá cerca de 79 W por metro quadrado de superfície negra; a segunda, menos de 0,002 W.

Onde isso aparece

Toda conta de aquecimento é uma soma de termos $UA\Delta T$ sobre paredes, telhado e janelas. Uma garrafa térmica vence os três mecanismos: o vácuo impede condução e convecção, e o revestimento espelhado impede a maior parte da radiação. O clima é convecção em grande escala, e a temperatura da Terra equilibra a luz solar absorvida com o infravermelho irradiado para o espaço. A seguir, a Teoria cinética dos gases mostra a condução molécula por molécula, a Radiação de corpo negro e o quantum explica de onde vem $\sigma T^4$, e a Segunda lei da termodinâmica e entropia explica por que o calor flui sozinho apenas do quente para o frio.

Avançado

Fluxo de calor e gradiente de temperatura

A lei para camadas planas $Q/t=kA\Delta T/d$ cobre apenas uma camada plana cujas temperaturas se estabilizaram. Para tratar corpos de qualquer forma e temperaturas que mudam no tempo, precisamos de uma lei que valha em cada ponto. Esta seção a estabelece.

Em cada ponto usamos dois vetores. A densidade de fluxo de calor $\vec{q}$ aponta o caminho da energia; seu módulo é a energia que atravessa uma unidade de área perpendicular ao fluxo, por unidade de tempo, em W/m². O gradiente de temperatura $\nabla T$ aponta para onde a temperatura sobe mais rápido; seu módulo é esse aumento por metro, em K/m. A lei de Fourier em forma local diz que o calor flui diretamente no sentido contrário ao do gradiente, com uma taxa definida pela condutividade $k$:
$\vec{q}=-k\nabla T$
O sinal de menos faz o calor ir do quente para o frio, contra o gradiente.

Para uma camada plana o gradiente é simplesmente $\Delta T/d$, e a lei local devolve a lei da camada plana. Na panela da animação, a base de aço tem 4 mm de espessura, com $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, e sua face inferior está 15 K mais quente que a superior. Então $|\nabla T|=15/0,004=3750K/m$ e $q=16\cdot 3750=60000W/{\mathrm{m}}^2$; sobre os 0,03 m² da base, isso dá os 1800 W da lei da camada plana.

A lei tem a forma da lei de Ohm escrita em um ponto, $\vec{J}=-{\sigma }_{\mathrm{el}}\nabla V$: a temperatura faz o papel do potencial, $\vec{q}$ o da densidade de corrente e $k$ o da condutividade elétrica ${\sigma }_{\mathrm{el}}$. Como a lei de Ohm, é uma lei de material válida para gradientes suaves, não um princípio fundamental. Em materiais fibrosos ou em camadas, $k$ depende da direção: a madeira conduz calor cerca de duas vezes melhor ao longo da fibra do que transversalmente, então ali $\vec{q}$ não precisa apontar exatamente contra o gradiente.

Dedução da equação do calor

A lei de Fourier dá o fluxo em um instante. Para prever como um perfil de temperatura muda no tempo, nós a combinamos com a conservação da energia. O resultado, a equação do calor, governa todos os problemas do restante desta lição.

Legenda

$x$	Posição ao longo da barra.	$\mathrm{m}$
$T$	Perfil de temperatura ao longo da barra em um instante; suas tangentes são tracejadas.	$\mathrm{K}$
$dx$	Espessura da fatia fina.	$\mathrm{m}$
$q(x)$	Densidade de fluxo de calor que entra na fatia pela face esquerda.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$q(x+dx)$	Densidade de fluxo de calor que sai pela face direita; menor que $q(x)$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\rho c$	Capacidade térmica por unidade de volume: densidade vezes calor específico.	$J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$
$\partial T/\partial t$	Taxa com que a fatia esquenta.	$K/s$

A Figura 1 mostra uma barra em que o calor flui apenas ao longo de $x$, e uma fatia fina dela, de espessura $dx$. Acima da barra está o perfil de temperatura $T(x)$ em um momento, com tangentes tracejadas nas duas faces da fatia. Observe as tangentes: a da esquerda é mais íngreme que a da direita, porque o perfil é convexo (curva-se para cima). O fluxo em cada face é dado pela inclinação local, $q=-k\partial T/\partial x$, então a seta $q(x)$ que entra pela esquerda é mais longa que a seta $q(x+dx)$ que sai pela direita. Entra mais calor do que sai, e o excedente aquece a fatia à taxa $\partial T/\partial t$ da seta verde.

Agora contemos a energia, por unidade de área da seção transversal da barra. A cada segundo a fatia ganha $q(x)-q(x+dx)$. Para uma fatia fina, essa diferença é a taxa de variação de $q$ ao longo da barra vezes a espessura, ou seja, $-(\partial q/\partial x)dx$. A fatia tem volume $dx$ por unidade de área, e $\rho c$ é a capacidade térmica por unidade de volume (densidade vezes calor específico), então aquecê-la à taxa $\partial T/\partial t$ exige $\rho cdx\partial T/\partial t$. Igualando ganho e armazenamento e cancelando $dx$:
$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

Agora substituímos a lei de Fourier, $q=-k\partial T/\partial x$. Com $k$ constante, $\partial q/\partial x=-k{\partial }^{2}T/\partial x^2$, e dividindo por $\rho c$ obtemos a equação do calor:
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\alpha =\frac{k}{\rho c}$

A mesma contagem vale para uma pequena caixa em três dimensões. O calor líquido que sai dela por unidade de volume é o divergente $\nabla \cdot \vec{q}$, então $\rho c\partial T/\partial t=-\nabla \cdot \vec{q}$, e ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ se torna o laplaciano ${\nabla }^{2}T$. A constante $\alpha$ é a difusividade térmica, em m²/s. Ela cresce com $k$, que move o calor mais depressa, e cai com $\rho c$, que exige mais calor para cada kelvin.

A equação tem uma leitura simples. A segunda derivada ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ é a curvatura do perfil: a variação da inclinação entre as duas faces da fatia na Figura 1. Onde o perfil se curva para cima, um ponto está mais frio que a média de seus vizinhos e esquenta; onde se curva para baixo, o ponto está mais quente que seus vizinhos e esfria. Assim, toda elevação de um perfil de temperatura é aplainada com o tempo.

Até onde e com que rapidez o calor se espalha

Antes de resolver qualquer coisa, a equação do calor já nos dá as escalas de tempo de um problema. Muitas vezes é tudo de que um engenheiro precisa.

A equação contém uma única constante, $\alpha$, em m²/s. O único comprimento que se pode formar com $\alpha$ e um tempo $t$ é $\sqrt{\alpha t}$, então, após um tempo $t$, uma perturbação se espalhou por uma distância da ordem de $\sqrt{\alpha t}$. Visto ao contrário, uma camada de espessura $d$ se estabiliza em um tempo da ordem de $d^2/\alpha$. O tempo cresce com o quadrado da espessura: o dobro de espessura, quatro vezes mais lento.

Três exemplos. A base de aço da panela, com densidade 7900 kg/m³ e calor específico 500 J/(kg·K), tem $\alpha =16/(7900\cdot 500)\approx 4,1\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ e se estabiliza em cerca de $0,004^2/(4,1\times 10^{-6})\approx 4\mathrm{s}$. Isso é muito pouco perto dos 279 s de aquecimento, então usar a lei estacionária da camada plana para a panela se justifica. Vinte centímetros de tijolo, com $\alpha \approx 4,6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$, levam cerca de 24 h. Os 6,7 cm de água na panela precisariam de cerca de 9 horas para se aquecer por completo apenas por condução; a convecção faz isso em minutos.

A parede no gráfico

O nível avançado da animação mostra uma parede se aquecendo. Acompanhá-la mostra a equação do calor em ação: o calor se infiltrando, a energia sendo armazenada e um estado estacionário final.

Legenda

$x$	Distância da face interna (do lado do cômodo).	$\mathrm{m}$
$T$	Temperatura na parede seis horas após o início.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Condutividade térmica do tijolo, a camada interna.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Condutividade térmica da lã mineral, a camada externa.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$\sqrt{\alpha t}$	Quanto o aquecimento se infiltrou no tijolo após o tempo $t$; ali o perfil está perto da metade do seu valor na superfície.	$\mathrm{m}$
$E$	Energia armazenada no tijolo por metro quadrado de parede: $\rho c$ vezes a área sombreada.	$J/{\mathrm{m}}^2$
$T_{\infty }$	Perfil estacionário para o qual a parede tende, reto dentro de cada camada.	$\mathrm{K}$

A Figura 2 mostra a parede seis horas após o início. São 20 cm de tijolo ($k_1=0,7W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) do lado do cômodo e 10 cm de lã mineral ($k_2=0,04W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) do lado de fora, desenhados como barras sob o eixo $x$, na mesma escala. Tudo estava a 0 °C até que a face interna, em $x=0$, foi mantida a 20 °C; a face externa continua a 0 °C.

Leia o perfil vermelho $T(x)$ da esquerda para a direita. Ele cai acentuadamente perto da face interna e mal chegou à lã: o aquecimento se infiltrou apenas cerca de $\sqrt{\alpha t}$ no tijolo, a distância marcada sob o eixo. Após $t=6\mathrm{h}=21600\mathrm{s}$, isso é $\sqrt{4,6\times 10^{-7}\cdot 21600}\approx 0,10\mathrm{m}$. Nessa profundidade, marcada pelo ponto, o perfil está em cerca de 10 °C, quase a metade do seu valor na face.

A área sombreada entre o perfil e a linha inicial de 0 °C mede a energia armazenada: multiplicada por $\rho c$, é o calor $E$ absorvido pelo tijolo por metro quadrado de parede. A parcela da lã é minúscula, porque o seu $\rho c$ é 60 vezes menor que o do tijolo. Toda essa energia entrou pela face interna e não saiu pela externa, então $E$ é, muito aproximadamente, a integral no tempo de $q(0)-q(d)$: o fluxo que entra pela face interna menos o fluxo que sai pela face externa, onde $x=d$.

Os marcadores da animação mostram esses dois fluxos. O fluxo interno $q(0)$ começa enorme e cai aproximadamente com $1/\sqrt{t}$, como o fluxo para um bloco de tijolo muito espesso, $\Delta T\sqrt{k\rho c/(\pi t)}$, que é cerca de 190 W/m² após uma hora. O fluxo externo $q(d)$ permanece zero até que o aquecimento o alcance. Nas seis horas da Figura 2 eles valem cerca de 76 e 2,3 W/m²: a maior parte do que entra ainda está carregando o tijolo. Ambos se aproximam de 7,2 W/m², e ficam a menos de 10 % um do outro após 48 horas e a menos de 1 % após 72.

A linha cinza tracejada $T_{\infty }$ é o estado estacionário em que a parede acaba. Ali $\partial T/\partial t=0$, então a equação do calor diz que ${\partial }^{2}T/\partial x^2=0$: o perfil é reto dentro de cada camada. No estado estacionário, nenhuma energia se acumula em lugar algum, então o mesmo fluxo $q$ atravessa as duas camadas. A inclinação de cada camada é, portanto, $q/k$; as inclinações estão na razão inversa das condutividades, e a reta pela lã é $k_1/k_2=17,5$ vezes mais íngreme. O fluxo vem da soma das resistências $d/k$ das duas camadas por metro quadrado, com $d_1=0,20\mathrm{m}$ de tijolo e $d_2=0,10\mathrm{m}$ de lã:
$q=\frac{\Delta T}{d_1/k_1+d_2/k_2}=\frac{20}{0,286+2,5}\approx 7,2W/{\mathrm{m}}^2,U\approx 0,36W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$
A queda em cada camada é $q$ vezes a sua resistência. A resistência da lã é cerca de nove vezes a do tijolo, então ela fica com 17,9 K dos 20 K e o tijolo apenas com 2,1 K.

Modos de decaimento

Com que rapidez a parede esquece seu início e se assenta em $T_{\infty }$? A resposta vem de decompor o perfil em formas simples, cada uma se desvanecendo na sua própria taxa.

A equação do calor é linear: a soma de duas soluções é outra solução. Então qualquer desvio do estado estacionário pode ser escrito como uma soma de modos senoidais, e cada um decai por conta própria, mantendo a forma. Ao colocar um modo $\sin (2\pi x/\lambda )$ de comprimento de onda $\lambda$ na equação do calor, duas derivadas em $x$ o multiplicam por $-(2\pi /\lambda {)}^2$, então sua amplitude deve cair como $e^{-t/\tau }$, com
$\tau =\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2\alpha }$
Como o tempo de decaimento cresce com ${\lambda }^2$, as oscilações finas desaparecem quase de imediato, e só o modo mais largo persiste. Joseph Fourier desenvolveu sua série, somas de senos, exatamente para esse problema, em sua teoria do calor de 1822.

Na parede, o modo mais lento precisa se ajustar às duas faces do tijolo. Na face interna a temperatura é mantida, então o desvio em relação ao estado estacionário é zero ali. Na face externa, a lã quase interrompe o fluxo, então a inclinação do desvio é quase zero. A senoide mais larga, com um zero em uma extremidade e um topo plano na outra, é um quarto de onda, $\lambda =4d$, o que dá $\tau =4d^2/({\pi }^2\alpha )\approx 9,7\mathrm{h}$. A lã deixa passar um pouco, então o decaimento real é ligeiramente mais rápido: a diferença entre os dois marcadores diminui por um fator $e$ a cada 9 horas aproximadamente, de menos de 10 % às 48 h para menos de 1 % às 72 h.

Ondas de temperatura

Quando a temperatura da superfície sobe e desce todo dia, ou todo ano, a equação do calor transforma a oscilação em uma onda que se atenua à medida que avança para dentro. Por isso paredes grossas e porões profundos permanecem em temperatura quase constante.

Legenda

$t$	Tempo.	$\mathrm{s}$
$T$	Temperatura, medida a partir de sua média.	$\mathrm{K}$
$T_0$	Temperatura da superfície, oscilando com frequência angular $\omega$.	$\mathrm{K}$
$T_x$	Temperatura à profundidade $x$ abaixo da superfície (aqui, 20 cm).	$\mathrm{K}$
$A$	Oscilação da temperatura da superfície em torno da média.	$\mathrm{K}$
$A_x$	Oscilação na profundidade $x$: $A{e}^{-x/\delta }$, com $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.	$\mathrm{K}$
$\Delta t$	Quanto mais tarde o pico chega na profundidade $x$ do que na superfície: $x/(\delta \omega )$.	$\mathrm{s}$

A Figura 3 mostra duas temperaturas em função do tempo $t$, cada uma medida a partir de sua média. A curva grande $T_0$ é a superfície, oscilando com frequência angular $\omega$ e amplitude $A$. A curva pequena $T_x$ é a temperatura a uma profundidade $x$ no interior. Note duas coisas: $T_x$ oscila bem menos, apenas $A_x$, e seus picos chegam mais tarde, em $\Delta t$.

Os dois efeitos vêm de uma única solução da equação do calor, uma onda amortecida que se propaga para dentro:
$T(x,t)-T_{\mathrm{mean}}=A{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta ),\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$
Para ver por que $\delta$ tem esse valor, escreva a onda como a parte real de $A{e}^{i\omega t}{e}^{-(1+i)x/\delta }$. Uma derivada no tempo a multiplica por $i\omega$; duas derivadas no espaço a multiplicam por $(1+i{)}^2/{\delta }^2=2i/{\delta }^2$. A equação do calor exige então $i\omega =2i\alpha /{\delta }^2$, que é $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.

Leia a solução termo a termo. A amplitude cai por um fator $e$ a cada distância $\delta$, então na profundidade $x$ a oscilação é $A_x=A{e}^{-x/\delta }$. A fase $x/\delta$ subtraída de $\omega t$ faz com que cada pico chegue mais tarde do que na superfície, em $\Delta t=x/(\delta \omega )$. Ciclos lentos chegam mais fundo, porque $\delta$ cresce com $1/\sqrt{\omega }$.

Para tijolo e o ciclo diário, $\omega =2\pi /(24\mathrm{h})$, a profundidade $\delta$ é de cerca de 11 cm. A figura foi desenhada para $x=20\mathrm{cm}$, onde $x/\delta \approx 1,8$: 20 cm dentro de uma alvenaria espessa, a oscilação é reduzida a cerca de um sexto, $e^{-1,8}\approx 0,17$, e chega cerca de 7 horas atrasada. No solo, com $\alpha \approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$, a onda anual tem $\delta \approx 2,2\mathrm{m}$: um porão a 3 m de profundidade vê um quarto da oscilação da superfície, com cerca de dois meses e meio de atraso.

Estados estacionários e a equação de Laplace

Quando nada muda no tempo, o fluxo de calor se torna o mesmo problema matemático da eletrostática, então toda solução encontrada lá pode ser reutilizada.

Em regime estacionário $\partial T/\partial t=0$, e a equação do calor se reduz a ${\nabla }^{2}T=0$. Esta é a equação de Laplace, à qual obedece o potencial eletrostático no espaço vazio. Toda solução eletrostática descreve, portanto, também um fluxo de calor, com a temperatura no lugar do potencial e o fluxo $\vec{q}$ no lugar do campo.

Considere uma pequena fonte de potência $W$ no interior de um grande bloco. Em regime estacionário, toda a potência $W$ atravessa cada esfera de raio $r$ ao seu redor, então $q=W/(4\pi r^2)$, exatamente como o campo de uma carga pontual. Com $q=-kdT/dr$, integrando de longe para dentro, onde o bloco não está perturbado, obtemos uma elevação de temperatura de $W/(4\pi kr)$. Para 10 W liberados no fundo do solo, com $k=1W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, o solo a 0,5 m de distância fica mais quente em $10/(4\pi \cdot 1\cdot 0,5)\approx 1,6\mathrm{K}$.

Exemplo resolvido: isolamento por dentro ou por fora?

Faz diferença de que lado da parede fica o isolamento? A perda de calor em regime estacionário diz que não; o calor armazenado e o tempo de aquecimento dizem que sim, e muito.

Legenda

$x$	Distância da face do lado do cômodo.	$\mathrm{m}$
$T$	Temperatura na parede em regime estacionário.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Condutividade térmica do tijolo.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Condutividade térmica da lã mineral.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$T_m$	Temperatura na interface entre as duas camadas.	$\mathrm{K}$
$\Delta T$	Diferença total de temperatura através da parede; igual nos dois gráficos.	$\mathrm{K}$
$E$	Energia armazenada no tijolo por metro quadrado de parede: $\rho c$ vezes a área sombreada.	$J/{\mathrm{m}}^2$

A Figura 4 compara as duas disposições em regime estacionário, com o cômodo à esquerda em $x=0$ e a mesma diferença total $\Delta T=20\mathrm{K}$ através da parede. O gráfico de cima é a parede da animação: tijolo ($k_1$) do lado do cômodo, lã ($k_2$) por fora. O gráfico de baixo troca as camadas: lã do lado do cômodo, tijolo por fora. Compare onde fica a temperatura da interface $T_m$ e o tamanho da área sombreada sob o perfil do tijolo.

Passo 1, a perda estacionária. Resistências em série se somam em qualquer ordem, então o total continua $0,286+2,5=2,786{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$ e a perda continua $q=7,2W/{\mathrm{m}}^2$.

Passo 2, o perfil. A queda em cada camada é $qd/k$, então ela acompanha a camada. Com a lã por fora (gráfico de cima), o tijolo vai de 20 °C até $T_m\approx 17,9{}^{\circ }\mathrm{C}$. Com a lã por dentro (gráfico de baixo), a lã leva primeiro seus 17,9 K, então $T_m=20-7,18\cdot 2,5\approx 2,1{}^{\circ }\mathrm{C}$, e o tijolo vai apenas de 2,1 °C a 0 °C.

Passo 3, o calor armazenado. Por metro quadrado, o tijolo armazena $\rho cd$ vezes sua elevação média de temperatura acima de 0 °C, com $\rho c=1,51\times 10^{6}J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$; esta é a energia $E$, $\rho c$ vezes a área sombreada da Figura 4. Com a lã por fora, o tijolo tem média de 19,0 °C e armazena $1,51\times 10^6\cdot 0,20\cdot 19,0\approx 5,7\mathrm{MJ}$; com a lã por dentro, a média é de cerca de 1 °C e ele armazena apenas 0,31 MJ. Somando as poucas centésimas de megajoule da lã, os totais são 5,8 e 0,34 MJ por metro quadrado, um fator de 17. Com a lã por fora, o cômodo precisa fornecer esses 5,8 MJ enquanto a parede se aquece, além do que sai pela face externa: o equivalente a 9 dias da perda estacionária.

Passo 4, o tempo. Com a lã por dentro, a camada voltada para o cômodo é leve, com $\alpha \approx 1,6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$, e se estabiliza em cerca de $d^2/\alpha =0,10^2/(1,6\times 10^{-6})\approx 1,75\mathrm{h}$. Após duas horas, o lado do cômodo perde 7,8 W/m², a menos de 10 % do valor final. Com a lã por fora, $q(0)$ leva dois dias para chegar tão perto.

O veredito. Isolamento interno serve para cômodos aquecidos de vez em quando, que então esquentam em poucas horas. Isolamento externo transforma o tijolo em um acumulador de calor que suaviza as variações diárias. Ele também mantém o tijolo quente: atrás do isolamento interno, o tijolo fica perto de 0 a 2 °C, onde a umidade do cômodo pode condensar na parede, a menos que uma barreira de vapor a impeça.

De onde vêm os coeficientes

Até agora a condutividade $k$, o coeficiente de convecção e a troca radiativa foram tomados como dados. Modelos simples explicam seus tamanhos.

Gases. A teoria cinética dá $k\approx \frac{1}{3}n\bar{v}\ell c_1$: há $n$ moléculas por unidade de volume, movendo-se com velocidade média $\bar{v}$, e cada uma carrega uma capacidade térmica $c_1$ ao longo de um caminho livre médio $\ell$ antes de colidir. Como $\ell \propto 1/n$, a densidade se cancela: um gás conduz tão bem com metade da pressão. Isso vale até que $\ell$ se torne comparável ao recipiente. No ar a 1 atm, $\ell \approx 70\mathrm{nm}$, então uma garrafa térmica precisa de uma pressão abaixo de cerca de 1 Pa antes que $\ell$ ultrapasse seu espaço de alguns milímetros e a condução desabe.

Metais. Os elétrons livres carregam o calor, assim como a carga, por isso bons condutores elétricos também conduzem bem o calor.

Convecção. Uma camada de fluido de profundidade $d$, aquecida por baixo, começa a circular quando seu número de Rayleigh, $g\beta \Delta T{d}^3/(\nu \alpha )$, excede um valor crítico: cerca de 1700 entre duas placas sólidas, e cerca de 1100 quando o topo é uma superfície livre, como na panela. Aqui $g$ é a aceleração da gravidade, $\beta$ o coeficiente de expansão do fluido e $\nu$ sua viscosidade cinemática. O número compara o empuxo, que impulsiona o escoamento, com a viscosidade e a condução, que o amortecem. Para os 6,7 cm de água da panela, basta menos de um milésimo de kelvin de diferença através da camada.

Radiação. Para pequenas diferenças, $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, então a radiação também se comporta como um coeficiente: uma superfície quase negra perto da temperatura ambiente troca cerca de $4\sigma T_0^3\approx 6W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, tanto quanto a convecção natural no ar.

Limites de validade

A lei de Fourier pressupõe que os portadores de calor (moléculas, vibrações da rede ou elétrons) colidam muitas vezes nas distâncias e tempos de interesse. Ela falha em estruturas comparáveis ao seu caminho livre médio, que é de algumas centenas de nanômetros para vibrações da rede no silício à temperatura ambiente. Em transistores de dezenas de nanômetros, o calor flui em parte balisticamente, sem colisões, e o $k$ efetivo cai bem abaixo do valor do material maciço. A equação do calor também faz um aquecimento súbito ser sentido de imediato em todo lugar, por mais fraco que seja; isso falha em escalas de picossegundos, antes que os portadores tenham colidido.

A condutividade varia com a temperatura, o que torna a equação não linear em faixas amplas. A lei de Stefan-Boltzmann pressupõe superfícies cinzentas muito maiores que o comprimento de onda térmico, cerca de 10 µm à temperatura ambiente. Em folgas bem mais estreitas, a radiação de campo próximo pode superar o limite do corpo negro muitas vezes.

Para onde isso leva

A difusão molecular obedece à mesma equação que o calor, Corrente elétrica e resistência é o gêmeo elétrico da condução, e o fluxo de calor estacionário repete Campo elétrico e potencial. A teoria cinética dos gases fornece o caminho livre médio por trás de $k$, e a Radiação de corpo negro e o quantum deriva $\sigma$ a partir da lei de Planck. A Segunda lei da termodinâmica e entropia mostra que o calor fluindo por uma diferença de temperatura produz entropia, cerca de $7,2(1/273-1/293)\approx 1,8\times 10^{-3}W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ na parede, e a Equação de Schrödinger e tunelamento encontra uma equação de difusão com um coeficiente imaginário.