Conducción, convección y radiación

Principiante

Paso 1. El calor siempre pasa de los lugares más calientes a los más fríos, y puede viajar de tres maneras. Una olla con agua sobre una llama de gas muestra las tres a la vez.

Paso 2. Conducción: el calor atraviesa un material por contacto. Las partículas de la base caliente de la olla se agitan con fuerza y golpean a sus vecinas, que empiezan a agitarse más, y así sucesivamente a través del metal. Lo único que viaja es la agitación. Los metales transmiten el calor deprisa; la madera, el plástico, la lana y el aire quieto lo transmiten despacio y se llaman aislantes. Un abrigo mullido abriga porque atrapa aire.

Paso 3. Convección: el calor lo transporta un líquido o un gas en movimiento. El agua cercana al fondo caliente se calienta, se dilata un poco y se vuelve más ligera que el agua más fría de encima, así que sube; el agua fría baja a ocupar su lugar y se forma un circuito. Se dice que «el calor sube», pero en realidad lo que sube es el fluido caliente.

Paso 4. Radiación: el calor lo transporta una luz infrarroja invisible, que no necesita ningún material. Así te calienta el Sol la cara a través del espacio vacío. Las superficies oscuras y mates absorben y emiten bien esta radiación; las brillantes la reflejan, y por eso las mantas térmicas de emergencia son plateadas.

En la animación, unas flechas doradas muestran el calor que atraviesa la base metálica, donde se agitan las partículas. El agua gira en dos circuitos: manchas rojas (calientes) suben por el centro y manchas azules (frías) bajan por los lados. Ondas moradas se llevan la radiación de la llama.

Ponte a prueba: ¿por qué una cacerola tiene el cuerpo de metal pero a menudo el mango de plástico o de madera? (El metal pasa el calor deprisa a la comida; el mango debe conducir mal el calor para que puedas sujetarlo.)

Intermedio

El flujo de calor y qué lo impulsa

El calor es energía que se transfiere a causa de una diferencia de temperatura y que, por sí solo, va siempre de lo caliente a lo frío. La cantidad, $Q$, se mide en julios; el ritmo $Q/t$, el flujo de calor, en vatios; y el ritmo por metro cuadrado, la densidad de flujo de calor $q$, en W/m². Una diferencia $\Delta T$ vale lo mismo en kelvin que en grados Celsius; solo la radiación depende de las propias temperaturas, que entonces deben estar en kelvin.

El calor viaja de tres maneras: por conducción, de partícula a partícula a través de un material que se queda quieto; por convección, transportado por un líquido o un gas en movimiento; y por radiación, ondas electromagnéticas, sobre todo infrarrojas, que no necesitan ningún material. La olla de la animación muestra las tres a la vez.

Conducción: la ley de Fourier

A través de una capa plana de área $A$ y espesor $d$ cuyas caras difieren en $\Delta T$, una vez estabilizadas las temperaturas interiores, el flujo de calor es
$\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{d}$

El doble de área ofrece el doble de caminos, el doble de diferencia empuja con el doble de fuerza y el doble de espesor reduce el flujo a la mitad. El material interviene mediante su conductividad térmica $k$, en W/(m·K): unos 400 para el cobre, 16 para el acero inoxidable, 0,7 para el ladrillo, 0,15 para la madera, 0,04 para la lana mineral y 0,025 para el aire en reposo. Los metales conducen bien gracias a sus electrones libres; la lana, la espuma y las plumas aíslan porque atrapan aire en bolsas demasiado pequeñas para que circule.

Las capas en serie se combinan como resistencias eléctricas. Cada metro cuadrado de una capa tiene una resistencia térmica $R=d/k$, en m²·K/W, y los constructores las suman para obtener la transmitancia térmica $U$:
$\frac{Q}{t}=UA\Delta T,U=\frac{1}{\sum (d/k)}$
Una $U$ baja indica buen aislamiento. Para una sola capa, $U=k/d$, así que duplicar el espesor reduce la pérdida a la mitad.

Ejemplo resuelto: la olla de la animación

El fondo de acero tiene $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, $A=0,03{\mathrm{m}}^2$ y $d=4\mathrm{mm}=0,004\mathrm{m}$, y la llama mantiene su cara inferior 15 K más caliente que la superior, así que
$\frac{Q}{t}=\frac{16\cdot 0,03\cdot 15}{0,004}=1800\mathrm{W}$

Calentar 2 kg de agua, con $c=4180J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, de 20 °C a 80 °C requiere
$Q=mc\Delta T=2\cdot 4180\cdot 60=501600\mathrm{J}\approx 502\mathrm{kJ}$
así que, sin pérdidas, tarda $t=501600/1800\approx 279\mathrm{s}$, unos 4,6 minutos.

Son los valores finales de las lecturas: $t$ llega a 4,6 min, el agua a 80 °C y $Q$ a 502 kJ, con el tiempo acelerado para que todo quepa en ocho segundos. Las flechas doradas marcan el flujo estacionario que sube por el fondo, dibujado mucho más grueso que 4 mm para que se vean sus átomos agitados. El acero es un conductor mediocre, pero 4 mm es un espesor tan pequeño que 15 K hacen pasar 1800 W. Un fondo de madera, con $k=0,15W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, dejaría pasar unas cien veces menos.

Convección: los circuitos de la olla

El agua que toca el fondo caliente se dilata un poco y se vuelve menos densa que el agua más fría que la rodea, como indica la etiqueta de densidad de la escena, así que el empuje la eleva y el agua más densa baja a ocupar su lugar. Las líneas de corriente verdes discontinuas se cierran en dos circuitos que suben juntos sobre la llama y bajan por las paredes; cada porción se vuelve roja al subir y azul al bajar. Es convección natural; con un ventilador o una bomba pasa a ser convección forzada.

Ninguna fórmula sencilla describe todo el movimiento del fluido, así que los ingenieros escriben el calor intercambiado entre una superficie y un fluido como
$\frac{Q}{t}=hA\Delta T$
con $\Delta T$ entre la superficie y el fluido lejano, y un coeficiente $h$ medido: unos 10 W/(m²·K) para el aire en reposo, alrededor de 100 para el aire de un ventilador y decenas de miles para el agua hirviendo. Es la ley de enfriamiento de Newton; la sensación de frío con viento obedece a la misma ley, porque el viento eleva $h$.

Radiación: la cuarta potencia de la temperatura

Toda superficie radia; cerca de la temperatura ambiente, sobre todo infrarrojo de unos 10 µm. La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia de un área $A$ a temperatura absoluta $T$:
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
con $\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ y una emisividad $\epsilon$ que va de 0 (un espejo perfecto) a 1 (un cuerpo negro). Calentar una placa de 27 °C a 327 °C (de 300 K a 600 K) duplica $T$ y multiplica $P$ por $2^4=16$.

Un cuerpo también absorbe la radiación de su entorno, y un buen emisor es igual de buen absorbente. Con el entorno a $T_0$, la pérdida neta es
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$
La piel desnuda a 306 K (33 °C), con $\epsilon \approx 0,97$ y unos 1,5 m² radiando, en una habitación con paredes a 293 K pierde $0,97\cdot 5,67\times 10^{-8}\cdot 1,5\cdot (306^4-293^4)\approx 115\mathrm{W}$, más que los 100 W, en números redondos, que produce un cuerpo en reposo. Las ondas moradas llevan energía hacia los lados desde la llama, donde la conducción y la convección casi no envían nada.

Ejemplo resuelto: una ventana de un solo cristal

Una ventana de 1,5 m² tiene un único cristal de 4 mm de espesor, con $k=1,0W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, entre una habitación a 20 °C y el exterior a 0 °C. Solo para el vidrio, la ley de Fourier da $1,0\cdot 1,5\cdot 20/0,004=7500\mathrm{W}$, la potencia de varios calefactores. Las ventanas reales pierden mucho menos: una película de aire casi inmóvil se adhiere a cada cara y añade una resistencia $1/h$, con $h\approx 8W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ en el interior (mitad convección, mitad radiación) y $h\approx 25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ en el exterior con viento flojo.

Por metro cuadrado, las tres resistencias se suman:
$R=\frac{1}{8}+\frac{0,004}{1,0}+\frac{1}{25}=0,125+0,004+0,040=0,169{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
$\frac{Q}{t}=\frac{A\Delta T}{R}=\frac{1,5\cdot 20}{0,169}\approx 178\mathrm{W},U=\frac{1}{R}\approx 5,9W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$

El vidrio aporta solo un 2 % de la resistencia; las películas de aire son las que aíslan. La densidad de flujo es $20/0,169\approx 118W/{\mathrm{m}}^2$, así que la película interior se lleva $118\cdot 0,125\approx 15\mathrm{K}$ y la cara interior del vidrio queda cerca de 5 °C, por debajo del punto de rocío del aire de la habitación con un 50 % de humedad, unos 9 °C: un cristal sencillo se cubre de gotas de condensación. Un doble acristalamiento con $U\approx 1,2W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ perdería aquí unos 36 W, y el muro de ladrillo y lana de la vista experta, solo unos 11 W.

Errores frecuentes

• «El calor sube» es cierto solo a medias: sube el fluido caliente, pero el calor mismo se propaga en todas direcciones por conducción y radiación, y por eso un calefactor de techo calienta a las personas que están 2 m por debajo.
• Aislar no detiene el calor; lo frena. Incluso 10 cm de lana mineral, con $U=0,04/0,1=0,4W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, dejan pasar 8 W por metro cuadrado con 20 K de diferencia.
• Un trozo de metal y uno de madera que están en la misma habitación tienen la misma temperatura. El acero se siente más frío porque conduce unas cien veces mejor (16 frente a 0,15 W/(m·K)), así que le quita calor a tu mano más deprisa.
• Nunca pongas grados Celsius en $T^4$. De 27 °C a 327 °C la potencia radiada aumenta 16 veces (de 300 K a 600 K), no 12 veces, y mucho menos 21 000.
• La diferencia $T^4-T_0^4$ no es $(T-T_0{)}^4$. Para 306 K y 293 K, la primera da unos 79 W por metro cuadrado de superficie negra; la segunda, menos de 0,002 W.

Dónde aparece

Toda factura de calefacción es una suma de términos $UA\Delta T$ sobre muros, tejado y ventanas. Un termo vence a los tres mecanismos: el vacío detiene la conducción y la convección, y el plateado frena casi toda la radiación. El tiempo atmosférico es convección a gran escala, y la temperatura de la Tierra equilibra la luz solar absorbida con el infrarrojo que irradia al espacio. A continuación, Teoría cinética de los gases muestra la conducción molécula a molécula y Radiación de cuerpo negro y cuantos explica de dónde sale $\sigma T^4$. La segunda ley de la termodinámica y la entropía explica por qué el calor solo fluye por sí mismo de lo caliente a lo frío.

Avanzado

Densidad de flujo y gradiente de temperatura

La ley de la capa plana $Q/t=kA\Delta T/d$ solo sirve para una capa plana cuyas temperaturas ya se han estabilizado. Para tratar cuerpos de cualquier forma, y temperaturas que cambian con el tiempo, hace falta una ley que valga en cada punto. Esta sección la plantea.

En cada punto usamos dos vectores. La densidad de flujo de calor $\vec{q}$ apunta hacia donde va la energía; su módulo es la energía que cruza la unidad de área, colocada perpendicular al flujo, por unidad de tiempo, en W/m². El gradiente de temperatura $\nabla T$ apunta hacia donde la temperatura sube más deprisa; su módulo es esa subida por metro, en K/m. La ley de Fourier en forma local dice que el calor fluye justo en sentido contrario al gradiente, con un ritmo fijado por la conductividad $k$:
$\vec{q}=-k\nabla T$
El signo menos hace que el calor vaya de lo caliente a lo frío, contra el gradiente.

En una capa plana el gradiente es simplemente $\Delta T/d$, y la ley local devuelve la ley de la capa plana. En la olla de la animación, el fondo de acero tiene 4 mm de espesor, con $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, y su cara inferior está 15 K más caliente que la superior. Así que $|\nabla T|=15/0,004=3750K/m$ y $q=16\cdot 3750=60000W/{\mathrm{m}}^2$; sobre los 0,03 m² del fondo, son los 1800 W de la ley de la capa plana.

Esta ley tiene la forma de la ley de Ohm escrita en un punto, $\vec{J}=-{\sigma }_{\mathrm{el}}\nabla V$: la temperatura hace de potencial, $\vec{q}$ de densidad de corriente y $k$ de conductividad eléctrica ${\sigma }_{\mathrm{el}}$. Como la ley de Ohm, es una ley del material, válida para gradientes suaves, y no un principio fundamental. En materiales fibrosos o laminados, $k$ depende de la dirección: la madera conduce el calor aproximadamente el doble de bien a lo largo de la veta que a través de ella, así que allí $\vec{q}$ no tiene por qué apuntar exactamente en sentido contrario al gradiente.

Deducción de la ecuación del calor

La ley de Fourier da el flujo en un instante. Para predecir cómo cambia un perfil de temperatura con el tiempo, la combinamos con la conservación de la energía. El resultado, la ecuación del calor, gobierna todos los problemas del resto de esta lección.

Leyenda

$x$	Posición a lo largo de la barra.	$\mathrm{m}$
$T$	Perfil de temperatura a lo largo de la barra en un instante; sus tangentes van discontinuas.	$\mathrm{K}$
$dx$	Espesor de la rebanada fina.	$\mathrm{m}$
$q(x)$	Densidad de flujo de calor que entra en la rebanada por su cara izquierda.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$q(x+dx)$	Densidad de flujo de calor que sale por su cara derecha; menor que $q(x)$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\rho c$	Capacidad calorífica por unidad de volumen: densidad por calor específico.	$J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$
$\partial T/\partial t$	Ritmo al que se calienta la rebanada.	$K/s$

La figura 1 muestra una barra por la que el calor fluye solo a lo largo de $x$, y una rebanada fina de ella, de espesor $dx$. Encima de la barra está el perfil de temperatura $T(x)$ en un instante, con tangentes discontinuas en las dos caras de la rebanada. Fíjate en las tangentes: la de la izquierda es más empinada que la de la derecha, porque el perfil es convexo (se curva hacia arriba). El flujo en cada cara lo fija la pendiente local, $q=-k\partial T/\partial x$, así que la flecha $q(x)$ que entra por la izquierda es más larga que la flecha $q(x+dx)$ que sale por la derecha. Entra más calor del que sale, y el excedente calienta la rebanada al ritmo $\partial T/\partial t$ de la flecha verde.

Ahora contemos la energía, por unidad de área de la sección de la barra. Cada segundo la rebanada recibe $q(x)-q(x+dx)$. Para una rebanada fina, esta diferencia es la variación de $q$ a lo largo de la barra por el espesor, $-(\partial q/\partial x)dx$. La rebanada tiene un volumen $dx$ por unidad de área, y $\rho c$ es la capacidad calorífica por unidad de volumen (densidad por calor específico), así que calentarla al ritmo $\partial T/\partial t$ cuesta $\rho cdx\partial T/\partial t$. Igualando lo que entra con lo que se almacena y simplificando $dx$:
$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

Ahora sustituimos la ley de Fourier, $q=-k\partial T/\partial x$. Con $k$ constante, $\partial q/\partial x=-k{\partial }^{2}T/\partial x^2$, y al dividir entre $\rho c$ sale la ecuación del calor:
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\alpha =\frac{k}{\rho c}$

El mismo recuento vale para una cajita en tres dimensiones. El calor neto que sale de ella por unidad de volumen es la divergencia $\nabla \cdot \vec{q}$, así que $\rho c\partial T/\partial t=-\nabla \cdot \vec{q}$, y ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ pasa a ser el laplaciano ${\nabla }^{2}T$. La constante $\alpha$ es la difusividad térmica, en m²/s. Crece con $k$, que mueve el calor más deprisa, y disminuye con $\rho c$, que exige más calor por cada kelvin.

La ecuación tiene una lectura sencilla. La derivada segunda ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ es la curvatura del perfil: el cambio de pendiente entre las dos caras de la rebanada en la figura 1. Donde el perfil se curva hacia arriba, un punto está más frío que la media de sus vecinos y se calienta; donde se curva hacia abajo, el punto está más caliente que sus vecinos y se enfría. Así, cada bulto de un perfil de temperatura se va allanando con el tiempo.

Hasta dónde y con qué rapidez se extiende el calor

Antes de resolver nada, la ecuación del calor ya nos dice las escalas de tiempo de un problema. A menudo es todo lo que necesita un ingeniero.

La ecuación contiene una sola constante, $\alpha$, en m²/s. La única longitud que se puede formar con $\alpha$ y un tiempo $t$ es $\sqrt{\alpha t}$, así que pasado un tiempo $t$ una perturbación se ha extendido una distancia del orden de $\sqrt{\alpha t}$. Dicho al revés, una capa de espesor $d$ alcanza su régimen estacionario en un tiempo del orden de $d^2/\alpha$. El tiempo crece con el cuadrado del espesor: el doble de grueso, cuatro veces más lento.

Tres ejemplos. El fondo de acero de la olla, con densidad 7900 kg/m³ y calor específico 500 J/(kg·K), tiene $\alpha =16/(7900\cdot 500)\approx 4,1\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ y alcanza su régimen estacionario en unos $0,004^2/(4,1\times 10^{-6})\approx 4\mathrm{s}$. Es minúsculo comparado con los 279 s de calentamiento, así que usar la ley de la capa plana en régimen estacionario para la olla estaba justificado. Veinte centímetros de ladrillo, con $\alpha \approx 4,6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$, tardan unas 24 h. Los 6,7 cm de agua de la olla necesitarían unas 9 horas para calentarse de lado a lado solo por conducción; la convección lo consigue en minutos.

El muro de la gráfica

La vista experta de la animación muestra un muro que se calienta. Seguirlo enseña la ecuación del calor en acción: el calor que se va colando, la energía que se almacena y un régimen estacionario final.

Leyenda

$x$	Distancia a la cara interior (la del lado de la habitación).	$\mathrm{m}$
$T$	Temperatura en el muro seis horas después del comienzo.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Conductividad térmica del ladrillo, la capa interior.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Conductividad térmica de la lana mineral, la capa exterior.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$\sqrt{\alpha t}$	Hasta dónde se ha colado el calentamiento en el ladrillo pasado el tiempo $t$; ahí el perfil está cerca de la mitad de su valor en la superficie.	$\mathrm{m}$
$E$	Energía almacenada en el ladrillo por unidad de área de muro: $\rho c$ por el área coloreada.	$J/{\mathrm{m}}^2$
$T_{\infty }$	Perfil estacionario al que se acerca el muro, recto dentro de cada capa.	$\mathrm{K}$

La figura 2 muestra el muro seis horas después del comienzo. Tiene 20 cm de ladrillo ($k_1=0,7W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) del lado de la habitación y 10 cm de lana mineral ($k_2=0,04W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) en el exterior, dibujados como barras bajo el eje $x$, a la misma escala. Todo estaba a 0 °C hasta que la cara interior, en $x=0$, se mantuvo a 20 °C; la cara exterior sigue a 0 °C.

Lee el perfil rojo $T(x)$ de izquierda a derecha. Cae con fuerza cerca de la cara interior y apenas ha llegado a la lana: el calentamiento solo se ha colado unos $\sqrt{\alpha t}$ en el ladrillo, la distancia marcada bajo el eje. Tras $t=6\mathrm{h}=21600\mathrm{s}$ son $\sqrt{4,6\times 10^{-7}\cdot 21600}\approx 0,10\mathrm{m}$. A esa profundidad, marcada con el punto, el perfil está en unos 10 °C, cerca de la mitad de su valor en la cara.

El área coloreada entre el perfil y la línea inicial de 0 °C mide la energía almacenada: multiplicada por $\rho c$, es el calor $E$ que ha absorbido el ladrillo por cada metro cuadrado de muro. La parte de la lana es minúscula, porque su $\rho c$ es 60 veces menor que la del ladrillo. Toda esta energía entró por la cara interior y no ha salido por la exterior, así que $E$ es, casi exactamente, la integral en el tiempo de $q(0)-q(d)$: el flujo que entra por la cara interior menos el que sale por la cara exterior, en $x=d$.

Las lecturas de la animación muestran estos dos flujos. El flujo interior $q(0)$ empieza altísimo y cae aproximadamente como $1/\sqrt{t}$, igual que el flujo que entra en un bloque de ladrillo muy grueso, $\Delta T\sqrt{k\rho c/(\pi t)}$, que es de unos 190 W/m² tras una hora. El flujo exterior $q(d)$ se mantiene en cero hasta que el calentamiento llega a él. A las seis horas de la figura 2 valen unos 76 y 2,3 W/m²: casi todo lo que entra sigue cargando el ladrillo. Ambos se acercan a 7,2 W/m², y están a menos de un 10 % uno del otro tras 48 horas y a menos de un 1 % tras 72.

La recta gris discontinua $T_{\infty }$ es el régimen estacionario en el que acaba el muro. Allí $\partial T/\partial t=0$, así que la ecuación del calor da ${\partial }^{2}T/\partial x^2=0$: el perfil es recto dentro de cada capa. En régimen estacionario la energía no se acumula en ningún sitio, así que el mismo flujo $q$ cruza las dos capas. La pendiente de cada capa es, por tanto, $q/k$, de modo que las pendientes están en razón inversa a las conductividades, y la recta de la lana es $k_1/k_2=17,5$ veces más empinada. El flujo sale de sumar las resistencias $d/k$ de las dos capas por metro cuadrado, con $d_1=0,20\mathrm{m}$ de ladrillo y $d_2=0,10\mathrm{m}$ de lana:
$q=\frac{\Delta T}{d_1/k_1+d_2/k_2}=\frac{20}{0,286+2,5}\approx 7,2W/{\mathrm{m}}^2,U\approx 0,36W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$
La caída de temperatura en cada capa es $q$ por su resistencia. La resistencia de la lana es unas nueve veces la del ladrillo, así que se lleva 17,9 K de los 20 K y el ladrillo solo 2,1 K.

Modos de decaimiento

¿Con qué rapidez olvida el muro su estado inicial y se asienta en $T_{\infty }$? La respuesta sale de descomponer el perfil en formas sencillas, cada una de las cuales se apaga a su propio ritmo.

La ecuación del calor es lineal: la suma de dos soluciones es otra solución. Por eso cualquier desviación respecto al régimen estacionario se puede escribir como una suma de modos sinusoidales, y cada uno decae por su cuenta conservando su forma. Si metemos en la ecuación del calor un modo $\sin (2\pi x/\lambda )$ de longitud de onda $\lambda$, dos derivadas respecto a $x$ lo multiplican por $-(2\pi /\lambda {)}^2$, así que su amplitud debe disminuir como $e^{-t/\tau }$, con
$\tau =\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2\alpha }$
Como el tiempo de decaimiento va como ${\lambda }^2$, las ondulaciones finas desaparecen casi al instante y solo perdura el modo más ancho. Joseph Fourier desarrolló sus series, sumas de senos, precisamente para este problema, en su teoría del calor de 1822.

En el muro, el modo más lento tiene que encajar en las dos caras del ladrillo. En la cara interior la temperatura está impuesta, así que allí la desviación respecto al régimen estacionario es cero. En la cara exterior la lana casi detiene el flujo, así que allí la pendiente de la desviación es casi cero. El seno más ancho que se anula en un extremo y tiene un máximo plano en el otro es un cuarto de onda, $\lambda =4d$, lo que da $\tau =4d^2/({\pi }^2\alpha )\approx 9,7\mathrm{h}$. La lana deja escapar algo de calor, así que el decaimiento real es un poco más rápido: la diferencia entre las dos lecturas se reduce en un factor $e$ más o menos cada 9 horas, de menos de un 10 % a las 48 h a menos de un 1 % a las 72 h.

Ondas de temperatura

Cuando la temperatura de la superficie sube y baja cada día, o cada año, la ecuación del calor convierte esa oscilación en una onda que se debilita al avanzar hacia dentro. Por eso los muros gruesos y las bodegas profundas se mantienen a una temperatura casi constante.

Leyenda

$t$	Tiempo.	$\mathrm{s}$
$T$	Temperatura, medida desde su media.	$\mathrm{K}$
$T_0$	Temperatura de la superficie, que oscila con frecuencia angular $\omega$.	$\mathrm{K}$
$T_x$	Temperatura a la profundidad $x$ bajo la superficie (aquí 20 cm).	$\mathrm{K}$
$A$	Amplitud de la temperatura de la superficie en torno a su media.	$\mathrm{K}$
$A_x$	Amplitud a la profundidad $x$: $A{e}^{-x/\delta }$, con $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.	$\mathrm{K}$
$\Delta t$	Retraso con que llega el máximo a la profundidad $x$ respecto a la superficie: $x/(\delta \omega )$.	$\mathrm{s}$

La figura 3 representa dos temperaturas frente al tiempo $t$, cada una medida desde su media. La curva grande $T_0$ es la superficie, que oscila con frecuencia angular $\omega$ y amplitud $A$. La curva pequeña $T_x$ es la temperatura a una profundidad $x$ en el interior. Fíjate en dos cosas: $T_x$ oscila mucho menos, solo $A_x$, y sus máximos llegan más tarde, con un retraso $\Delta t$.

Ambos efectos salen de una misma solución de la ecuación del calor, una onda amortiguada que viaja hacia dentro:
$T(x,t)-T_{\mathrm{media}}=A{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta ),\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$
Para ver por qué $\delta$ tiene este valor, escribe la onda como la parte real de $A{e}^{i\omega t}{e}^{-(1+i)x/\delta }$. Una derivada respecto al tiempo la multiplica por $i\omega$; dos derivadas respecto al espacio la multiplican por $(1+i{)}^2/{\delta }^2=2i/{\delta }^2$. La ecuación del calor exige entonces $i\omega =2i\alpha /{\delta }^2$, es decir, $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.

Leamos la solución término a término. La amplitud disminuye en un factor $e$ cada distancia $\delta$, así que a la profundidad $x$ la oscilación tiene una amplitud $A_x=A{e}^{-x/\delta }$. La fase $x/\delta$ que se resta a $\omega t$ significa que cada máximo llega más tarde que en la superficie, con un retraso $\Delta t=x/(\delta \omega )$. Los ciclos lentos llegan más hondo, porque $\delta$ crece como $1/\sqrt{\omega }$.

Para el ladrillo y el ciclo diario, $\omega =2\pi /(24\mathrm{h})$, la profundidad $\delta$ es de unos 11 cm. La figura está dibujada para $x=20\mathrm{cm}$, donde $x/\delta \approx 1,8$: a 20 cm dentro de un muro grueso de ladrillo, la oscilación queda reducida a una sexta parte aproximadamente, $e^{-1,8}\approx 0,17$, y llega con unas 7 horas de retraso. En el suelo, con $\alpha \approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$, la onda anual tiene $\delta \approx 2,2\mathrm{m}$: un sótano a 3 m de profundidad nota una cuarta parte de la oscilación de la superficie, con unos dos meses y medio de retraso.

Régimen estacionario y ecuación de Laplace

Cuando nada cambia con el tiempo, el flujo de calor se convierte en el mismo problema matemático que la electrostática, y por eso se puede reutilizar cualquier solución encontrada allí.

En régimen estacionario $\partial T/\partial t=0$, y la ecuación del calor se reduce a ${\nabla }^{2}T=0$. Es la ecuación de Laplace, que cumple el potencial electrostático en el espacio vacío. Por tanto, toda solución electrostática describe también un flujo de calor, con la temperatura en lugar del potencial y la densidad de flujo $\vec{q}$ en lugar del campo.

Toma una pequeña fuente de potencia $W$ muy dentro de un bloque grande. En régimen estacionario toda la potencia $W$ atraviesa cada esfera de radio $r$ que la rodea, así que $q=W/(4\pi r^2)$, igual que el campo de una carga puntual. Con $q=-kdT/dr$, al integrar desde muy lejos, donde el bloque no está perturbado, resulta una subida de temperatura de $W/(4\pi kr)$. Para 10 W liberados a gran profundidad en un suelo con $k=1W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, el suelo a 0,5 m está más caliente en $10/(4\pi \cdot 1\cdot 0,5)\approx 1,6\mathrm{K}$.

Problema resuelto: ¿aislamiento por dentro o por fuera?

¿Importa de qué lado del muro se pone el aislante? La pérdida en régimen estacionario dice que no; el calor almacenado y el tiempo de calentamiento dicen que sí, y mucho.

Leyenda

$x$	Distancia a la cara del lado de la habitación.	$\mathrm{m}$
$T$	Temperatura en el muro en régimen estacionario.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Conductividad térmica del ladrillo.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Conductividad térmica de la lana mineral.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$T_m$	Temperatura en la interfaz entre las dos capas.	$\mathrm{K}$
$\Delta T$	Diferencia de temperatura total a través del muro; la misma en las dos gráficas.	$\mathrm{K}$
$E$	Energía almacenada en el ladrillo por unidad de área de muro: $\rho c$ por el área coloreada.	$J/{\mathrm{m}}^2$

La figura 4 compara las dos disposiciones en régimen estacionario, con la habitación a la izquierda, en $x=0$, y la misma diferencia total $\Delta T=20\mathrm{K}$ a través del muro. La gráfica de arriba es el muro de la animación: ladrillo ($k_1$) del lado de la habitación, lana ($k_2$) fuera. La de abajo intercambia las capas: lana del lado de la habitación, ladrillo fuera. Compara dónde queda la temperatura de la interfaz $T_m$ y lo grande que es el área coloreada bajo el perfil del ladrillo.

Paso 1, la pérdida estacionaria. Las resistencias en serie se suman en cualquier orden, así que el total sigue siendo $0,286+2,5=2,786{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$ y la pérdida sigue siendo $q=7,2W/{\mathrm{m}}^2$.

Paso 2, el perfil. La caída en cada capa es $qd/k$, así que viaja con la capa. Con la lana fuera (gráfica de arriba), el ladrillo va de 20 °C a $T_m\approx 17,9{}^{\circ }\mathrm{C}$. Con la lana dentro (gráfica de abajo), la lana se lleva primero sus 17,9 K, así que $T_m=20-7,18\cdot 2,5\approx 2,1{}^{\circ }\mathrm{C}$, y el ladrillo solo abarca de 2,1 °C a 0 °C.

Paso 3, el calor almacenado. Por metro cuadrado, el ladrillo almacena $\rho cd$ por su aumento medio de temperatura sobre 0 °C, con $\rho c=1,51\times 10^{6}J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$; esa es la energía $E$, $\rho c$ por el área coloreada de la figura 4. Con la lana fuera, el ladrillo está de media a 19,0 °C y guarda $1,51\times 10^6\cdot 0,20\cdot 19,0\approx 5,7\mathrm{MJ}$; con la lana dentro, está de media a 1 °C aproximadamente y guarda solo 0,31 MJ. Sumando las pocas centésimas de megajulio de la lana, los totales son 5,8 y 0,34 MJ por metro cuadrado, un factor 17. Con la lana fuera, la habitación debe aportar esos 5,8 MJ mientras el muro se calienta, además de lo que sale por la cara exterior: tanto como 9 días de pérdida estacionaria.

Paso 4, el tiempo. Con la lana dentro, la capa que da a la habitación es ligera, con $\alpha \approx 1,6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$, y alcanza su régimen estacionario en unos $d^2/\alpha =0,10^2/(1,6\times 10^{-6})\approx 1,75\mathrm{h}$. Tras dos horas, el lado de la habitación pierde 7,8 W/m², a menos de un 10 % de su valor final. Con la lana fuera, $q(0)$ necesita dos días para acercarse tanto.

El veredicto. El aislamiento interior conviene a habitaciones que se calientan de vez en cuando, y que entonces se calientan en pocas horas. El aislamiento exterior convierte el ladrillo en un almacén de calor que suaviza las oscilaciones diarias. Además mantiene caliente el ladrillo: detrás de un aislamiento interior, el ladrillo se queda entre 0 y 2 °C, donde la humedad de la habitación puede condensarse dentro del muro si una barrera de vapor no lo impide.

De dónde salen los coeficientes

Hasta ahora hemos dado por buenos la conductividad $k$, el coeficiente de convección y el intercambio por radiación. Unos modelos sencillos explican su tamaño.

Gases. La teoría cinética da $k\approx \frac{1}{3}n\bar{v}\ell c_1$: hay $n$ moléculas por unidad de volumen, que se mueven con una rapidez media $\bar{v}$, y cada una lleva una capacidad calorífica $c_1$ a lo largo de un camino libre medio $\ell$ antes de chocar. Como $\ell \propto 1/n$, la densidad se cancela: un gas conduce igual de bien a la mitad de presión. Esto vale hasta que $\ell$ se vuelve comparable con el recipiente. En el aire a 1 atm, $\ell \approx 70\mathrm{nm}$, así que un termo necesita una presión inferior a 1 Pa, aproximadamente, para que $\ell$ supere la separación de unos milímetros entre sus paredes y la conducción se desplome.

Metales. Los electrones libres transportan el calor igual que la carga, y por eso los buenos conductores eléctricos conducen bien el calor.

Convección. Una capa de fluido de espesor $d$ calentada por debajo empieza a circular cuando su número de Rayleigh, $g\beta \Delta T{d}^3/(\nu \alpha )$, supera un valor crítico: unos 1700 entre dos placas sólidas, y unos 1100 cuando la parte superior es una superficie libre, como en la olla. Aquí $g$ es la aceleración de la gravedad, $\beta$ el coeficiente de dilatación del fluido y $\nu$ su viscosidad cinemática. El número compara el empuje, que impulsa el flujo, con la viscosidad y la conducción, que lo frenan. Para los 6,7 cm de agua de la olla, basta con menos de una milésima de kelvin a lo largo de la capa.

Radiación. Para diferencias pequeñas, $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$, así que la radiación también se comporta como un coeficiente: una superficie casi negra cerca de la temperatura ambiente intercambia unos $4\sigma T_0^3\approx 6W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, tanto como la convección natural en el aire.

Límites de validez

La ley de Fourier supone que los portadores del calor (moléculas, vibraciones de la red o electrones) chocan muchas veces en las distancias y los tiempos que interesan. Falla en estructuras comparables a su camino libre medio, unos cientos de nanómetros para las vibraciones de la red del silicio a temperatura ambiente. En transistores de decenas de nanómetros de ancho, el calor fluye en parte de forma balística, sin choques, y la $k$ efectiva cae muy por debajo del valor del material macizo. La ecuación del calor también hace que un calentamiento súbito se note al instante en todas partes, aunque sea muy débilmente; esto falla en escalas de tiempo de picosegundos, antes de que los portadores hayan chocado.

La conductividad varía con la temperatura, lo que hace no lineal la ecuación en intervalos amplios. La ley de Stefan-Boltzmann supone superficies grises mucho mayores que la longitud de onda térmica, unos 10 µm a temperatura ambiente. A través de separaciones mucho más estrechas, la radiación de campo cercano puede superar muchas veces el límite del cuerpo negro.

Lo que viene después

La difusión de las moléculas obedece la misma ecuación que el calor; Corriente eléctrica y resistencia es el gemelo eléctrico de la conducción, y el flujo de calor estacionario repite Campo y potencial eléctricos. Teoría cinética de los gases aporta el camino libre medio que hay detrás de $k$, y Radiación de cuerpo negro y cuantos deduce $\sigma$ de la ley de Planck. La segunda ley de la termodinámica y la entropía muestra que el calor que fluye por una diferencia de temperatura produce entropía, unos $7,2(1/273-1/293)\approx 1,8\times 10^{-3}W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ en el muro, y Ecuación de Schrödinger y efecto túnel se encuentra con una ecuación de difusión de coeficiente imaginario.