Conduction, convection et rayonnement

Débutant

Étape 1. La chaleur va toujours des endroits chauds vers les endroits froids, et elle peut voyager de trois façons. Une casserole d'eau sur une flamme de gaz les montre toutes les trois à la fois.

Étape 2. La conduction : la chaleur traverse un matériau par contact. Les particules du dessous brûlant de la casserole s'agitent fort et heurtent leurs voisines, qui s'agitent plus fort à leur tour, et ainsi de suite à travers le métal. Rien ne se déplace, sauf l'agitation. Les métaux transmettent vite la chaleur ; le bois, le plastique, la laine et l'air immobile la transmettent lentement : ce sont des isolants. Un manteau duveteux tient chaud parce qu'il emprisonne de l'air.

Étape 3. La convection : la chaleur est emportée par un liquide ou un gaz en mouvement. L'eau proche du fond chaud se réchauffe, se dilate un peu et devient plus légère que l'eau plus froide au-dessus : elle monte ; l'eau froide descend prendre sa place, et une boucle se forme. On dit que « la chaleur monte », mais c'est en réalité le fluide chaud qui monte.

Étape 4. Le rayonnement : la chaleur est transportée par une lumière infrarouge invisible, qui n'a besoin d'aucune matière. C'est ainsi que le Soleil vous chauffe le visage à travers le vide. Les surfaces sombres et mates absorbent et émettent bien ce rayonnement ; les surfaces brillantes le réfléchissent, d'où les couvertures de survie argentées.

Dans l'animation, des flèches dorées montrent la chaleur qui traverse le fond métallique, dont les particules s'agitent. L'eau tourne en deux boucles : des taches rouges (chaudes) montent au milieu et des taches bleues (froides) descendent le long des bords. Des ondes violettes emportent le rayonnement loin de la flamme.

Testez-vous : pourquoi une casserole a-t-elle un corps en métal mais souvent un manche en plastique ou en bois ? (Le métal transmet vite la chaleur aux aliments ; le manche doit être mauvais conducteur pour qu'on puisse le tenir.)

Intermédiaire

Le flux de chaleur et ce qui le provoque

La chaleur est de l'énergie qui se déplace sous l'effet d'une différence de température, et qui va spontanément du plus chaud vers le plus froid. La quantité $Q$ se mesure en joules, le flux thermique $Q/t$ (la chaleur transférée par seconde) en watts, et le flux par mètre carré, la densité de flux thermique $q$, en W/m². Une différence $\Delta T$ a la même valeur en kelvins et en degrés Celsius ; seul le rayonnement dépend des températures elles-mêmes, qui doivent alors être exprimées en kelvins.

La chaleur voyage de trois façons : par conduction, de particule en particule à travers un matériau qui reste en place ; par convection, emportée par un liquide ou un gaz en mouvement ; et par rayonnement, des ondes électromagnétiques, surtout infrarouges, qui n'ont besoin d'aucune matière. La casserole de l'animation les montre toutes les trois à la fois.

Conduction : la loi de Fourier

À travers une couche plane d'aire $A$ et d'épaisseur $d$ dont les deux faces diffèrent de $\Delta T$, une fois que les températures à l'intérieur se sont stabilisées, le flux thermique vaut
$\frac{Q}{t}=\frac{kA\Delta T}{d}$

Une aire double offre deux fois plus de chemins, un écart double pousse deux fois plus fort, et une épaisseur double divise le flux par deux. Le matériau intervient par sa conductivité thermique $k$, en W/(m·K) : environ 400 pour le cuivre, 16 pour l'acier inoxydable, 0,7 pour la brique, 0,15 pour le bois, 0,04 pour la laine minérale et 0,025 pour l'air immobile. Les métaux sont les meilleurs conducteurs grâce à leurs électrons libres ; la laine, la mousse et les plumes isolent en emprisonnant l'air dans des poches trop petites pour qu'il y circule.

Des couches en série se combinent comme des résistances. Chaque mètre carré d'une couche a une résistance thermique $R=d/k$, en m²·K/W, et l'on additionne celles des couches pour obtenir le coefficient de transmission thermique $U$ :
$\frac{Q}{t}=UA\Delta T,U=\frac{1}{\sum (d/k)}$
Un $U$ faible signifie une bonne isolation. Pour une seule couche, $U=k/d$ : doubler l'épaisseur divise donc les pertes par deux.

Exemple résolu : la casserole de l'animation

Le fond en acier a $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, $A=0,03{\mathrm{m}}^2$ et $d=4\mathrm{mm}=0,004\mathrm{m}$, et la flamme maintient sa face inférieure 15 K plus chaude que sa face supérieure, donc
$\frac{Q}{t}=\frac{16\cdot 0,03\cdot 15}{0,004}=1800\mathrm{W}$

Pour chauffer 2 kg d'eau, avec $c=4180J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$, de 20 °C à 80 °C, il faut
$Q=mc\Delta T=2\cdot 4180\cdot 60=501600\mathrm{J}\approx 502\mathrm{kJ}$
donc, sans aucune perte, la durée est $t=501600/1800\approx 279\mathrm{s}$, soit environ 4,6 minutes.

Ce sont les valeurs finales des affichages : $t$ atteint 4,6 min, l'eau 80 °C et $Q$ 502 kJ, le tout condensé en huit secondes. Les flèches dorées marquent le flux régulier qui monte à travers le fond, dessiné bien plus épais que 4 mm pour que l'on voie l'agitation de ses atomes. L'acier est un conducteur médiocre, mais 4 mm est si mince que 15 K y font passer 1800 W. Un fond en bois, avec $k=0,15W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, laisserait passer environ cent fois moins.

Convection : les boucles dans la casserole

L'eau en contact avec le fond chaud se dilate un peu et devient moins dense que l'eau plus froide qui l'entoure, comme l'indique l'étiquette de masse volumique sur la scène ; la poussée d'Archimède la soulève, et l'eau plus dense descend prendre sa place. Les lignes de courant vertes en pointillés se referment en deux boucles qui montent ensemble au-dessus de la flamme et descendent le long des parois ; chaque parcelle d'eau devient rouge en montant et bleue en descendant. C'est la convection naturelle ; avec un ventilateur ou une pompe, elle devient de la convection forcée.

Aucune formule simple ne décrit un écoulement entier ; on écrit donc la chaleur échangée entre une surface et un fluide sous la forme
$\frac{Q}{t}=hA\Delta T$
avec $\Delta T$ l'écart entre la surface et le fluide loin d'elle, et un coefficient mesuré $h$ : environ 10 W/(m²·K) pour l'air immobile, autour de 100 pour de l'air soufflé par un ventilateur et des dizaines de milliers pour de l'eau qui bout. C'est la loi de refroidissement de Newton ; la température ressentie par temps de vent obéit à la même loi, le vent augmentant $h$.

Rayonnement : la quatrième puissance de la température

Toute surface rayonne, à température ambiante surtout dans l'infrarouge, autour de 10 µm. La loi de Stefan-Boltzmann donne la puissance émise par une aire $A$ à la température absolue $T$ :
$P=\epsilon \sigma A{T}^4$
avec $\sigma =5,67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$ et une émissivité $\epsilon$ comprise entre 0 (un miroir parfait) et 1 (un corps noir). Chauffer une plaque de 27 °C à 327 °C (de 300 K à 600 K) double $T$ et multiplie $P$ par $2^4=16$.

Un corps absorbe aussi le rayonnement de son environnement, et un bon émetteur est tout aussi bon absorbeur. Avec un environnement à la température $T_0$, la perte nette vaut
$P_{\mathrm{net}}=\epsilon \sigma A(T^4-T_0^4)$
Une peau nue à 306 K (33 °C), avec $\epsilon \approx 0,97$ et environ 1,5 m² qui rayonnent, dans une pièce dont les murs sont à 293 K, perd $0,97\cdot 5,67\times 10^{-8}\cdot 1,5\cdot (306^4-293^4)\approx 115\mathrm{W}$, plus que les 100 W environ que produit un corps au repos. Les ondes violettes emportent de l'énergie sur les côtés de la flamme, là où la conduction et la convection n'en envoient presque pas.

Exemple résolu : une fenêtre à simple vitrage

Une fenêtre de 1,5 m² a une vitre unique de 4 mm d'épaisseur, avec $k=1,0W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, entre une pièce à 20 °C et l'extérieur à 0 °C. Pour le verre seul, la loi de Fourier donne $1,0\cdot 1,5\cdot 20/0,004=7500\mathrm{W}$, la puissance de plusieurs radiateurs. Les vraies fenêtres perdent bien moins : une pellicule d'air presque immobile adhère à chaque face et ajoute une résistance $1/h$, avec $h\approx 8W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ à l'intérieur (moitié convection, moitié rayonnement) et $h\approx 25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ à l'extérieur par vent léger.

Par mètre carré, les trois résistances s'additionnent :
$R=\frac{1}{8}+\frac{0,004}{1,0}+\frac{1}{25}=0,125+0,004+0,040=0,169{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
$\frac{Q}{t}=\frac{A\Delta T}{R}=\frac{1,5\cdot 20}{0,169}\approx 178\mathrm{W},U=\frac{1}{R}\approx 5,9W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$

Le verre ne fournit que 2 % environ de la résistance ; ce sont les pellicules d'air qui isolent. La densité de flux vaut $20/0,169\approx 118W/{\mathrm{m}}^2$ ; la pellicule intérieure fait donc chuter la température de $118\cdot 0,125\approx 15\mathrm{K}$, et la face intérieure de la vitre se trouve vers 5 °C, sous le point de rosée de l'air de la pièce à 50 % d'humidité, environ 9 °C : les simples vitrages se couvrent de condensation. Un double vitrage avec $U\approx 1,2W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ perdrait ici environ 36 W, et le mur brique + laine de la vue experte seulement 11 W environ.

Erreurs fréquentes

• « La chaleur monte » n'est qu'à moitié vrai : c'est le fluide chaud qui monte, mais la chaleur elle-même se propage dans toutes les directions par conduction et par rayonnement, de sorte qu'un chauffage au plafond réchauffe les gens situés 2 m plus bas.
• L'isolation n'arrête pas la chaleur, elle la ralentit. Même 10 cm de laine minérale, avec $U=0,04/0,1=0,4W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, laissent passer 8 W par mètre carré pour un écart de 20 K.
• Un morceau de métal et un morceau de bois laissés dans la pièce sont à la même température. L'acier paraît plus froid parce qu'il conduit environ cent fois mieux (16 contre 0,15 W/(m·K)) : il soutire donc la chaleur de votre main plus vite.
• Ne mettez jamais de degrés Celsius dans $T^4$. De 27 °C à 327 °C, la puissance rayonnée est multipliée par 16 (de 300 K à 600 K), et non par 12, encore moins par 21 000.
• La différence $T^4-T_0^4$ n'est pas $(T-T_0{)}^4$. Pour 306 K et 293 K, la première vaut environ 79 W par mètre carré de surface noire, la seconde moins de 0,002 W.

Où on le rencontre

Toute facture de chauffage est une somme de termes $UA\Delta T$ pour les murs, le toit et les fenêtres. Une bouteille isotherme déjoue les trois mécanismes : le vide arrête la conduction et la convection, et l'argenture arrête l'essentiel du rayonnement. La météo, c'est la convection à grande échelle, et la température de la Terre équilibre la lumière du Soleil absorbée et l'infrarouge rayonné vers l'espace. Ensuite, la leçon Théorie cinétique des gaz montre la conduction molécule par molécule, la leçon Rayonnement du corps noir et quanta explique d'où vient $\sigma T^4$, et la leçon Le second principe de la thermodynamique et l'entropie explique pourquoi la chaleur ne passe d'elle-même que du chaud vers le froid.

Avancé

Densité de flux et gradient de température

La loi de la couche plane $Q/t=kA\Delta T/d$ ne vaut que pour une couche plane dont les températures se sont stabilisées. Pour traiter des corps de forme quelconque, et des températures qui changent avec le temps, il faut une loi valable en chaque point. Cette section la met en place.

En chaque point, on utilise deux vecteurs. La densité de flux thermique $\vec{q}$ pointe dans le sens où va l'énergie ; sa norme est l'énergie qui traverse l'unité d'aire, prise perpendiculairement à l'écoulement, par unité de temps, en W/m². Le gradient de température $\nabla T$ pointe dans le sens où la température augmente le plus vite ; sa norme est cette hausse par mètre, en K/m. La loi de Fourier sous sa forme locale dit que la chaleur s'écoule droit dans le sens opposé au gradient, à un rythme fixé par la conductivité $k$ :
$\vec{q}=-k\nabla T$
Le signe moins fait aller la chaleur du chaud vers le froid, à l'opposé du gradient.

Pour une couche plane, le gradient vaut simplement $\Delta T/d$, et la loi locale redonne la loi de la couche plane. Dans la casserole de l'animation, le fond en acier a 4 mm d'épaisseur, avec $k=16W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, et sa face inférieure est 15 K plus chaude que sa face supérieure. Donc $|\nabla T|=15/0,004=3750K/m$ et $q=16\cdot 3750=60000W/{\mathrm{m}}^2$ ; sur les 0,03 m² du fond, cela fait les 1800 W de la loi de la couche plane.

Cette loi a la forme de la loi d'Ohm écrite en un point, $\vec{J}=-{\sigma }_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{l}}\nabla V$ : la température joue le rôle du potentiel, $\vec{q}$ celui de la densité de courant et $k$ celui de la conductivité électrique ${\sigma }_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{l}}$. Comme la loi d'Ohm, c'est une loi de comportement du matériau, valable pour des gradients faibles, et non un principe fondamental. Dans les matériaux fibreux ou stratifiés, $k$ dépend de la direction : le bois conduit la chaleur environ deux fois mieux le long des fibres qu'en travers, si bien que $\vec{q}$ n'y pointe pas forcément exactement à l'opposé du gradient.

Établir l'équation de la chaleur

La loi de Fourier donne l'écoulement à un instant donné. Pour prédire comment un profil de température évolue dans le temps, on la combine avec la conservation de l'énergie. Le résultat, l'équation de la chaleur, gouverne tous les problèmes du reste de cette leçon.

Légende

$x$	Position le long de la barre.	$\mathrm{m}$
$T$	Profil de température le long de la barre à un instant donné ; ses tangentes sont en tirets.	$\mathrm{K}$
$dx$	Épaisseur de la fine tranche.	$\mathrm{m}$
$q(x)$	Densité de flux thermique qui entre dans la tranche par sa face gauche.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$q(x+dx)$	Densité de flux thermique qui sort par sa face droite ; plus petite que $q(x)$.	$W/{\mathrm{m}}^2$
$\rho c$	Capacité thermique volumique : masse volumique fois capacité thermique massique.	$J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$
$\partial T/\partial t$	Vitesse à laquelle la tranche se réchauffe.	$K/s$

La figure 1 montre une barre où la chaleur ne circule que selon $x$, et une fine tranche de cette barre, d'épaisseur $dx$. Au-dessus de la barre se trouve le profil de température $T(x)$ à un instant donné, avec des tangentes en tirets aux deux faces de la tranche. Regardez les tangentes : celle de gauche est plus raide que celle de droite, car le profil est convexe (il se courbe vers le haut). Le flux à chaque face est fixé par la pente locale, $q=-k\partial T/\partial x$, donc la flèche $q(x)$ qui entre à gauche est plus longue que la flèche $q(x+dx)$ qui sort à droite. Il entre plus de chaleur qu'il n'en sort, et l'excédent réchauffe la tranche au rythme $\partial T/\partial t$ de la flèche verte.

Comptons maintenant l'énergie, par unité d'aire de la section de la barre. Chaque seconde, la tranche reçoit $q(x)-q(x+dx)$. Pour une tranche mince, cette différence est la variation de $q$ le long de la barre multipliée par l'épaisseur, $-(\partial q/\partial x)dx$. La tranche a pour volume $dx$ par unité d'aire, et $\rho c$ est la capacité thermique volumique (masse volumique fois capacité thermique massique) ; la réchauffer au rythme $\partial T/\partial t$ demande donc $\rho cdx\partial T/\partial t$. En égalant le gain et le stockage, puis en simplifiant par $dx$ :
$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\frac{\partial q}{\partial x}$

Remplaçons maintenant $q$ par la loi de Fourier, $q=-k\partial T/\partial x$. Avec $k$ constant, $\partial q/\partial x=-k{\partial }^{2}T/\partial x^2$, et la division par $\rho c$ donne l'équation de la chaleur :
$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2},\alpha =\frac{k}{\rho c}$

Le même décompte vaut pour une petite boîte en trois dimensions. La chaleur nette qui en sort par unité de volume est la divergence $\nabla \cdot \vec{q}$, donc $\rho c\partial T/\partial t=-\nabla \cdot \vec{q}$, et ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ devient le laplacien ${\nabla }^{2}T$. La constante $\alpha$ est la diffusivité thermique, en m²/s. Elle augmente avec $k$, qui fait circuler la chaleur plus vite, et diminue avec $\rho c$, qui exige plus de chaleur pour chaque kelvin.

L'équation se lit simplement. La dérivée seconde ${\partial }^{2}T/\partial x^2$ est la courbure du profil : la variation de la pente entre les deux faces de la tranche dans la figure 1. Là où le profil se courbe vers le haut, un point est plus froid que la moyenne de ses voisins et il se réchauffe ; là où il se courbe vers le bas, le point est plus chaud que ses voisins et il se refroidit. Ainsi, chaque bosse d'un profil de température est aplanie avec le temps.

Jusqu'où et à quelle vitesse la chaleur se propage

Avant de résoudre quoi que ce soit, l'équation de la chaleur nous donne déjà les échelles de temps d'un problème. C'est souvent tout ce dont un ingénieur a besoin.

L'équation ne contient qu'une seule constante, $\alpha$, en m²/s. La seule longueur que l'on puisse former avec $\alpha$ et un temps $t$ est $\sqrt{\alpha t}$ : au bout d'un temps $t$, une perturbation s'est donc propagée sur une distance de l'ordre de $\sqrt{\alpha t}$. Dans l'autre sens, une couche d'épaisseur $d$ atteint son régime permanent en un temps de l'ordre de $d^2/\alpha$. Ce temps croît comme le carré de l'épaisseur : deux fois plus épaisse, quatre fois plus lente.

Trois exemples. Le fond en acier de la casserole, de masse volumique 7900 kg/m³ et de capacité thermique massique 500 J/(kg·K), a $\alpha =16/(7900\cdot 500)\approx 4,1\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$ et atteint son régime permanent en $0,004^2/(4,1\times 10^{-6})\approx 4\mathrm{s}$ environ. C'est minuscule à côté des 279 s de chauffe : employer la loi de la couche plane en régime permanent pour la casserole était donc justifié. Vingt centimètres de brique, avec $\alpha \approx 4,6\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$, demandent environ 24 h. Les 6,7 cm d'eau de la casserole demanderaient quelque 9 heures pour se réchauffer de part en part par conduction seule ; la convection y parvient en quelques minutes.

Le mur du graphique

La vue experte de l'animation montre un mur qui se réchauffe. La suivre montre l'équation de la chaleur à l'œuvre : la chaleur qui s'insinue, l'énergie qui se stocke, et un régime permanent final.

Légende

$x$	Distance à la face intérieure (côté pièce).	$\mathrm{m}$
$T$	Température dans le mur six heures après le début.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Conductivité thermique de la brique, couche intérieure.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Conductivité thermique de la laine minérale, couche extérieure.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$\sqrt{\alpha t}$	Distance dont le réchauffement a pénétré dans la brique au bout du temps $t$ ; à cet endroit, le profil vaut environ la moitié de sa valeur en surface.	$\mathrm{m}$
$E$	Énergie stockée dans la brique par unité d'aire de mur : $\rho c$ fois l'aire colorée.	$J/{\mathrm{m}}^2$
$T_{\infty }$	Profil du régime permanent dont le mur se rapproche, droit dans chaque couche.	$\mathrm{K}$

La figure 2 montre le mur six heures après le début. Il comprend 20 cm de brique ($k_1=0,7W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) côté pièce et 10 cm de laine minérale ($k_2=0,04W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$) à l'extérieur, dessinés en barres sous l'axe $x$, à la même échelle. Tout était à 0 °C jusqu'à ce que la face intérieure, en $x=0$, soit maintenue à 20 °C ; la face extérieure reste à 0 °C.

Lisez le profil rouge $T(x)$ de gauche à droite. Il chute fortement près de la face intérieure et a à peine atteint la laine : le réchauffement ne s'est insinué que d'environ $\sqrt{\alpha t}$ dans la brique, la distance marquée sous l'axe. Après $t=6\mathrm{h}=21600\mathrm{s}$, cela donne $\sqrt{4,6\times 10^{-7}\cdot 21600}\approx 0,10\mathrm{m}$. À cette profondeur, marquée par le point, le profil vaut environ 10 °C, près de la moitié de sa valeur sur la face.

L'aire colorée entre le profil et la droite initiale à 0 °C mesure l'énergie stockée : multipliée par $\rho c$, c'est la chaleur $E$ absorbée par la brique par mètre carré de mur. La part de la laine est minuscule, car son $\rho c$ est 60 fois plus petit que celui de la brique. Toute cette énergie est entrée par la face intérieure et n'est pas ressortie par la face extérieure : $E$ est donc, à très peu près, l'intégrale en temps de $q(0)-q(d)$, c'est-à-dire du flux entrant par la face intérieure moins le flux sortant par la face extérieure, en $x=d$.

Les affichages de l'animation montrent ces deux flux. Le flux intérieur $q(0)$ démarre très haut et décroît à peu près comme $1/\sqrt{t}$, comme le flux qui entre dans un bloc de brique très épais, $\Delta T\sqrt{k\rho c/(\pi t)}$, soit environ 190 W/m² au bout d'une heure. Le flux extérieur $q(d)$ reste nul tant que le réchauffement ne l'a pas atteint. Aux six heures de la figure 2, ils valent environ 76 et 2,3 W/m² : l'essentiel de ce qui entre sert encore à charger la brique. Les deux tendent vers 7,2 W/m², et ils diffèrent de moins de 10 % au bout de 48 heures et de moins de 1 % au bout de 72.

La droite grise en tirets $T_{\infty }$ est le régime permanent où le mur finit par arriver. Là, $\partial T/\partial t=0$, donc l'équation de la chaleur donne ${\partial }^{2}T/\partial x^2=0$ : le profil est une droite dans chaque couche. En régime permanent, l'énergie ne s'accumule nulle part, donc le même flux $q$ traverse les deux couches. La pente de chaque couche est donc $q/k$, si bien que les pentes sont dans le rapport inverse des conductivités, et la droite dans la laine est $k_1/k_2=17,5$ fois plus raide. Le flux se déduit de l'addition des résistances $d/k$ des deux couches par mètre carré, avec $d_1=0,20\mathrm{m}$ de brique et $d_2=0,10\mathrm{m}$ de laine :
$q=\frac{\Delta T}{d_1/k_1+d_2/k_2}=\frac{20}{0,286+2,5}\approx 7,2W/{\mathrm{m}}^2,U\approx 0,36W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$
La chute de température dans chaque couche vaut $q$ fois sa résistance. La résistance de la laine est environ neuf fois celle de la brique : elle prend donc 17,9 K des 20 K, et la brique seulement 2,1 K.

Les modes de décroissance

À quelle vitesse le mur oublie-t-il son état initial pour se fixer sur $T_{\infty }$ ? La réponse vient de la décomposition du profil en formes simples, qui s'éteignent chacune à leur propre rythme.

L'équation de la chaleur est linéaire : la somme de deux solutions est encore une solution. Tout écart au régime permanent peut donc s'écrire comme une somme de modes sinusoïdaux, et chacun s'amortit de son côté en gardant sa forme. Injectons dans l'équation de la chaleur un mode $\sin (2\pi x/\lambda )$ de longueur d'onde $\lambda$ : deux dérivées en $x$ le multiplient par $-(2\pi /\lambda {)}^2$, donc son amplitude doit décroître comme $e^{-t/\tau }$, avec
$\tau =\frac{{\lambda }^2}{4{\pi }^2\alpha }$
Comme le temps de décroissance varie comme ${\lambda }^2$, les fines ondulations disparaissent presque aussitôt et seul le mode le plus large s'attarde. Joseph Fourier a mis au point ses séries, des sommes de sinus, précisément pour ce problème, dans sa théorie de la chaleur de 1822.

Dans le mur, le mode le plus lent doit s'ajuster aux deux faces de la brique. Sur la face intérieure, la température est imposée, donc l'écart au régime permanent y est nul. Sur la face extérieure, la laine arrête presque le flux, donc la pente de l'écart y est presque nulle. Le sinus le plus large qui s'annule à une extrémité et présente un sommet plat à l'autre est un quart d'onde, $\lambda =4d$, ce qui donne $\tau =4d^2/({\pi }^2\alpha )\approx 9,7\mathrm{h}$. La laine laisse tout de même fuir un peu de chaleur, donc la décroissance réelle est un peu plus rapide : l'écart entre les deux affichages est divisé par $e$ toutes les 9 heures environ, de moins de 10 % à 48 h à moins de 1 % à 72 h.

Ondes de température

Quand la température de surface monte et descend chaque jour, ou chaque année, l'équation de la chaleur transforme cette oscillation en une onde qui s'affaiblit en pénétrant vers l'intérieur. C'est pourquoi les murs épais et les caves profondes restent à une température presque constante.

Légende

$t$	Temps.	$\mathrm{s}$
$T$	Température, mesurée à partir de sa moyenne.	$\mathrm{K}$
$T_0$	Température de surface, qui oscille à la pulsation $\omega$.	$\mathrm{K}$
$T_x$	Température à la profondeur $x$ sous la surface (ici 20 cm).	$\mathrm{K}$
$A$	Amplitude de la température de surface autour de sa moyenne.	$\mathrm{K}$
$A_x$	Amplitude à la profondeur $x$ : $A{e}^{-x/\delta }$, avec $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.	$\mathrm{K}$
$\Delta t$	Retard du maximum à la profondeur $x$ sur celui de la surface : $x/(\delta \omega )$.	$\mathrm{s}$

La figure 3 trace deux températures en fonction du temps $t$, chacune mesurée à partir de sa moyenne. La grande courbe $T_0$ est la surface, qui oscille à la pulsation $\omega$ avec l'amplitude $A$. La petite courbe $T_x$ est la température à une profondeur $x$ à l'intérieur. Remarquez deux choses : $T_x$ oscille beaucoup moins, de $A_x$ seulement, et ses maxima arrivent plus tard, de $\Delta t$.

Les deux effets viennent d'une même solution de l'équation de la chaleur, une onde amortie qui se propage vers l'intérieur :
$T(x,t)-T_{\mathrm{moy}}=A{e}^{-x/\delta }\cos (\omega t-x/\delta ),\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$
Pour voir pourquoi $\delta$ a cette valeur, écrivons l'onde comme la partie réelle de $A{e}^{i\omega t}{e}^{-(1+i)x/\delta }$. Une dérivée par rapport au temps la multiplie par $i\omega$ ; deux dérivées par rapport à l'espace la multiplient par $(1+i{)}^2/{\delta }^2=2i/{\delta }^2$. L'équation de la chaleur exige alors $i\omega =2i\alpha /{\delta }^2$, c'est-à-dire $\delta =\sqrt{2\alpha /\omega }$.

Lisons la solution terme à terme. L'amplitude est divisée par $e$ sur chaque distance $\delta$, donc à la profondeur $x$ l'oscillation a pour amplitude $A_x=A{e}^{-x/\delta }$. La phase $x/\delta$ retranchée de $\omega t$ signifie que chaque maximum arrive plus tard qu'en surface, de $\Delta t=x/(\delta \omega )$. Les cycles lents pénètrent plus profondément, car $\delta$ varie comme $1/\sqrt{\omega }$.

Pour la brique et le cycle journalier, $\omega =2\pi /(24\mathrm{h})$, la profondeur $\delta$ vaut environ 11 cm. La figure est tracée pour $x=20\mathrm{cm}$, où $x/\delta \approx 1,8$ : à 20 cm dans une maçonnerie épaisse, l'oscillation est réduite à environ un sixième, $e^{-1,8}\approx 0,17$, et arrive avec quelque 7 heures de retard. Dans le sol, avec $\alpha \approx 5\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2/s$, l'onde annuelle a $\delta \approx 2,2\mathrm{m}$ : une cave à 3 m de profondeur voit le quart de l'oscillation de surface, avec environ deux mois et demi de retard.

Régimes permanents et équation de Laplace

Dès que plus rien ne change dans le temps, l'écoulement de la chaleur devient le même problème mathématique que l'électrostatique, si bien que toute solution trouvée là-bas peut être réutilisée.

En régime permanent, $\partial T/\partial t=0$, et l'équation de la chaleur se réduit à ${\nabla }^{2}T=0$. C'est l'équation de Laplace, que le potentiel électrostatique vérifie dans le vide. Toute solution électrostatique décrit donc aussi un écoulement de chaleur, avec la température à la place du potentiel et le flux $\vec{q}$ à la place du champ.

Prenons une petite source de puissance $W$ en profondeur dans un grand bloc. En régime permanent, toute la puissance $W$ traverse chaque sphère de rayon $r$ qui l'entoure, donc $q=W/(4\pi r^2)$, exactement comme le champ d'une charge ponctuelle. Avec $q=-kdT/dr$, l'intégration depuis le lointain, où le bloc n'est pas perturbé, donne une élévation de température de $W/(4\pi kr)$. Pour 10 W libérés en profondeur dans un sol de $k=1W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$, le sol à 0,5 m est plus chaud de $10/(4\pi \cdot 1\cdot 0,5)\approx 1,6\mathrm{K}$.

Problème résolu : isolation intérieure ou extérieure ?

Est-il indifférent de mettre l'isolant d'un côté ou de l'autre d'un mur ? La perte en régime permanent dit que oui ; la chaleur stockée et le temps de chauffe disent que non, et même beaucoup.

Légende

$x$	Distance à la face côté pièce.	$\mathrm{m}$
$T$	Température dans le mur en régime permanent.	$\mathrm{K}$
$k_1$	Conductivité thermique de la brique.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$k_2$	Conductivité thermique de la laine minérale.	$W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
$T_m$	Température à l'interface entre les deux couches.	$\mathrm{K}$
$\Delta T$	Écart de température total de part et d'autre du mur ; le même dans les deux graphiques.	$\mathrm{K}$
$E$	Énergie stockée dans la brique par unité d'aire de mur : $\rho c$ fois l'aire colorée.	$J/{\mathrm{m}}^2$

La figure 4 compare les deux dispositions en régime permanent, avec la pièce à gauche en $x=0$ et le même écart total $\Delta T=20\mathrm{K}$ de part et d'autre du mur. Le graphique du haut est le mur de l'animation : brique ($k_1$) côté pièce, laine ($k_2$) à l'extérieur. Celui du bas échange les couches : laine côté pièce, brique dehors. Comparez la position de la température d'interface $T_m$ et la taille de l'aire colorée sous le profil de la brique.

Étape 1, la perte en régime permanent. Les résistances en série s'additionnent dans n'importe quel ordre, donc le total vaut toujours $0,286+2,5=2,786{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$ et la perte reste $q=7,2W/{\mathrm{m}}^2$.

Étape 2, le profil. La chute dans chaque couche vaut $qd/k$ : elle suit la couche. Avec la laine à l'extérieur (graphique du haut), la brique va de 20 °C à $T_m\approx 17,9{}^{\circ }\mathrm{C}$. Avec la laine à l'intérieur (graphique du bas), la laine prend d'abord ses 17,9 K, donc $T_m=20-7,18\cdot 2,5\approx 2,1{}^{\circ }\mathrm{C}$, et la brique ne s'étend que de 2,1 °C à 0 °C.

Étape 3, la chaleur stockée. Par mètre carré, la brique stocke $\rho cd$ fois son élévation de température moyenne au-dessus de 0 °C, avec $\rho c=1,51\times 10^{6}J/({\mathrm{m}}^3\cdot \mathrm{K})$ ; c'est l'énergie $E$, égale à $\rho c$ fois l'aire colorée de la figure 4. Avec la laine à l'extérieur, la brique est en moyenne à 19,0 °C et contient $1,51\times 10^6\cdot 0,20\cdot 19,0\approx 5,7\mathrm{MJ}$ ; avec la laine à l'intérieur, elle est en moyenne à environ 1 °C et ne contient que 0,31 MJ. En ajoutant les quelques centièmes de mégajoule de la laine, les totaux sont de 5,8 et 0,34 MJ par mètre carré, un facteur 17. Avec la laine à l'extérieur, la pièce doit fournir ces 5,8 MJ pendant que le mur se réchauffe, en plus de ce qui sort par la face extérieure : autant que 9 jours de perte en régime permanent.

Étape 4, le temps. Avec la laine à l'intérieur, la couche qui fait face à la pièce est légère, avec $\alpha \approx 1,6\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2/s$, et atteint son régime permanent en $d^2/\alpha =0,10^2/(1,6\times 10^{-6})\approx 1,75\mathrm{h}$. Au bout de deux heures, le côté pièce perd 7,8 W/m², à moins de 10 % de sa valeur finale. Avec la laine à l'extérieur, $q(0)$ met deux jours à s'en approcher autant.

Le verdict. L'isolation par l'intérieur convient aux pièces chauffées de temps en temps, qui se réchauffent alors en quelques heures. L'isolation par l'extérieur fait de la brique une réserve de chaleur qui lisse les variations journalières. Elle garde aussi la brique chaude : derrière une isolation intérieure, la brique reste vers 0 à 2 °C, où l'humidité de la pièce peut se condenser dans le mur si un pare-vapeur ne l'arrête pas.

D'où viennent les coefficients

Jusqu'ici, la conductivité $k$, le coefficient de convection et l'échange par rayonnement ont été pris comme donnés. Des modèles simples expliquent leur ordre de grandeur.

Gaz. La théorie cinétique donne $k\approx \frac{1}{3}n\bar{v}\ell c_1$ : il y a $n$ molécules par unité de volume, de vitesse moyenne $\bar{v}$, et chacune transporte une capacité thermique $c_1$ sur un libre parcours moyen $\ell$ avant de subir une collision. Comme $\ell \propto 1/n$, la densité s'élimine : un gaz conduit aussi bien à moitié pression. Cela vaut tant que $\ell$ ne devient pas comparable au récipient. Dans l'air à 1 atm, $\ell \approx 70\mathrm{nm}$ ; une bouteille isotherme exige donc une pression inférieure à 1 Pa environ pour que $\ell$ dépasse l'écart de quelques millimètres entre ses parois et que la conduction s'effondre.

Métaux. Les électrons libres transportent la chaleur comme la charge, ce qui explique pourquoi les bons conducteurs électriques conduisent aussi bien la chaleur.

Convection. Une couche de fluide d'épaisseur $d$ chauffée par le dessous se met à circuler lorsque son nombre de Rayleigh, $g\beta \Delta T{d}^3/(\nu \alpha )$, dépasse une valeur critique : environ 1700 entre deux plaques solides, et environ 1100 lorsque le dessus est une surface libre, comme dans la casserole. Ici $g$ est l'accélération de la pesanteur, $\beta$ le coefficient de dilatation du fluide et $\nu$ sa viscosité cinématique. Ce nombre compare la poussée d'Archimède, qui entretient l'écoulement, à la viscosité et à la conduction, qui l'amortissent. Pour les 6,7 cm d'eau de la casserole, moins d'un millième de kelvin sur l'épaisseur de la couche suffit.

Rayonnement. Pour de petits écarts, $T^4-T_0^4\approx 4T_0^3\Delta T$ ; le rayonnement se comporte donc lui aussi comme un coefficient : une surface presque noire proche de la température ambiante échange environ $4\sigma T_0^3\approx 6W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$, autant que la convection naturelle dans l'air.

Limites de validité

La loi de Fourier suppose que les porteurs de chaleur (molécules, vibrations du réseau ou électrons) subissent de nombreuses collisions sur les distances et les durées considérées. Elle tombe en défaut dans des structures comparables à leur libre parcours moyen, de quelques centaines de nanomètres pour les vibrations du réseau du silicium à température ambiante. Dans des transistors larges de quelques dizaines de nanomètres, la chaleur s'écoule en partie de façon balistique, sans collisions, et le $k$ effectif tombe bien en dessous de la valeur du matériau massif. L'équation de la chaleur permet aussi qu'un chauffage brutal se fasse sentir aussitôt partout, même très faiblement ; cela tombe en défaut à l'échelle de la picoseconde, avant que les porteurs aient subi des collisions.

La conductivité varie avec la température, ce qui rend l'équation non linéaire sur de larges plages. La loi de Stefan-Boltzmann suppose des surfaces grises bien plus grandes que la longueur d'onde thermique, environ 10 µm à température ambiante. À travers des intervalles bien plus étroits, le rayonnement en champ proche peut dépasser de nombreuses fois la limite du corps noir.

Ce qui vient ensuite

La diffusion des molécules obéit à la même équation que la chaleur ; la leçon Courant électrique et résistance est la jumelle électrique de la conduction, et l'écoulement permanent de la chaleur reprend les mathématiques de la leçon Champ et potentiel électriques. La leçon Théorie cinétique des gaz fournit le libre parcours moyen qui sous-tend $k$, et la leçon Rayonnement du corps noir et quanta déduit $\sigma$ de la loi de Planck. La leçon Le second principe de la thermodynamique et l'entropie montre que la chaleur qui descend une différence de température produit de l'entropie, environ $7,2(1/273-1/293)\approx 1,8\times 10^{-3}W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ dans le mur, et la leçon Équation de Schrödinger et effet tunnel rencontre une équation de diffusion à coefficient imaginaire.