Queda livre

Iniciante

Um objeto está em queda livre quando a gravidade é a única força que importa. Perto da superfície da Terra, ele ganha cerca de 9,81 m/s de velocidade para baixo a cada segundo, seja qual for o material. Esse ganho constante se chama g, a aceleração da gravidade.

Solte uma pedra de uma ponte alta. Depois de 1 s ela cai a cerca de 10 m/s, depois de 2 s a cerca de 20 m/s, depois de 3 s a cerca de 29 m/s: a velocidade aumenta o mesmo tanto a cada segundo.

Verificação rápida: aproximadamente, qual é a velocidade após 5 s? (Cerca de 49 m/s.)

A distância cresce mais depressa que a velocidade, porque a pedra parte do repouso. No primeiro segundo, sua velocidade média é de apenas cerca de 4,9 m/s, então ela cai cerca de 4,9 m; após dois segundos já caiu 19,6 m, quatro vezes mais. Na animação, os círculos claros, um a cada meio segundo, ficam cada vez mais afastados.

Por que coisas pesadas e leves caem juntas? A gravidade puxa um objeto mais pesado com mais força, mas um objeto mais pesado também é mais difícil de acelerar, exatamente na mesma proporção, então os dois efeitos se cancelam. Em um tubo com o ar retirado, uma pena e uma moeda caem lado a lado. No dia a dia, o ar empurra um objeto que cai, cada vez mais à medida que ele acelera, então uma pena ou um paraquedas logo deixa de ganhar velocidade.

A gravidade não desliga na subida. Uma bola lançada para cima perde cerca de 9,81 m/s a cada segundo, para por um instante no topo e cai de volta.

Verificação rápida: uma bola sai da sua mão para cima a cerca de 20 m/s. Quando ela para de subir? (Após cerca de 2 s.)

Intermediário

Queda livre e a escolha do sinal

Um objeto está em queda livre quando apenas a gravidade age sobre ele, desprezando a resistência do ar. Uma bola lançada para cima também está em queda livre, desde o momento em que sai da sua mão. Perto da superfície da Terra, todo corpo em queda livre tem a mesma aceleração para baixo, $g\approx 9,81m/{\mathrm{s}}^2$, qualquer que seja a sua massa.

O movimento acontece em uma linha vertical, então escolha qual sentido é positivo. Para uma queda, tome o sentido para baixo como positivo e comece o cronômetro no instante em que soltar: a velocidade $v$, a aceleração $g$ e a distância percorrida $h$ ficam todas positivas. Para um lançamento, tome o sentido para cima como positivo: a aceleração passa a ser $-g$, e uma velocidade negativa significa que o objeto está descendo. Nunca misture as duas convenções em um mesmo problema. Nas fórmulas abaixo, $h$ é a distância percorrida; a leitura de $h$ da animação mostra a altura acima do chão.

A mesma aceleração para todos os corpos

Na queda livre, a velocidade muda da mesma quantidade a cada segundo, $g=\Delta v/\Delta t$: 9,81 m/s de velocidade para baixo por segundo, tanto para uma moeda quanto para uma pessoa. A gravidade puxa com o peso $W=mg$, proporcional à massa, mas a massa também resiste a qualquer mudança de velocidade, e a segunda lei de Newton dá $a=W/m=g$. Um corpo dez vezes mais pesado é puxado com dez vezes mais força e também é dez vezes mais difícil de acelerar.

Galileu chegou à mesma conclusão por raciocínio. Se corpos pesados caíssem mais depressa, uma pedra leve amarrada a uma pesada deveria retardá-la; mas o conjunto é mais pesado do que qualquer uma das duas e deveria cair ainda mais depressa. A contradição só desaparece se todos os corpos caírem igualmente. Em 1971, um astronauta da missão Apollo 15 soltou um martelo e uma pena de falcão na Lua, onde não há ar e $g\approx 1,62m/{\mathrm{s}}^2$, e os dois chegaram juntos ao chão.

As equações da queda livre

Como $g$ é constante, valem as equações do movimento uniformemente variado com $v_0=0$ e $a=g$, sendo o sentido para baixo positivo:

• $v=gt$
• $h=\frac{1}{2}g{t}^2\text{(distance fallen from rest)}$
• $v=\sqrt{2gh}$

A velocidade cresce em proporção ao tempo, e a distância com o quadrado dele: no dobro do tempo, o objeto cai quatro vezes mais, porque também está mais rápido. A terceira equação, obtida de $v^2=2gh$, relaciona velocidade e altura sem o tempo. Verificações úteis: uma queda de cerca de 5 m leva 1 s, uma de cerca de 20 m leva 2 s.

Para um lançamento, mantenha a velocidade inicial $v_0$. Com o sentido para cima positivo e $y$ a altura acima do ponto de lançamento,
$v=v_0-gt\text{(up positive)}$
$y=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
Uma bola lançada para cima com $v_0$ para no topo após $v_0/g$, numa altura $v_0^2/(2g)$, e volta ao ponto de lançamento após $2v_0/g$, descendo com a velocidade $v_0$: a descida espelha a subida. Um lançamento para baixo simplesmente tem $v_0$ negativo.

Exemplo resolvido: a bola da animação

A bola é solta do repouso, de $h_0=40\mathrm{m}$ acima do chão, e chega ao chão quando tiver caído 40 m:
$t=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{9,81}}\approx 2,86\mathrm{s}$
$v=gt=9,81\cdot 2,856\approx 28,0m/s$
A terceira equação confirma sem usar o tempo: $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 40}=\sqrt{784,8}\approx 28,0m/s$, cerca de 100 km/h.

Estas são as leituras na chegada: $t$ para em 2,9 s (mostram uma casa decimal) e $v$ em 28,0 m/s, enquanto a leitura de $h$, a altura $h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$, desce de 40 m até 0. A seta azul $v$ cresce o mesmo tanto a cada segundo, e a seta verde $g$ mantém seu comprimento durante toda a queda.

Na metade do tempo, em 1,43 s, a bola caiu apenas 10,0 m, um quarto da queda, e se move a 14,0 m/s; a leitura de $h$ mostra 30,0 m. Ela passa pela metade da altura, 20 m, só depois de 2,02 s, a 19,8 m/s: atravessa a metade inferior em menos de um terço do tempo. Sua velocidade média, $40/2,856\approx 14,0m/s$, é metade da velocidade final.

Exemplo resolvido: uma bola lançada para cima

Você lança uma bola verticalmente para cima a 12 m/s de uma mão 1,5 m acima do chão e então se afasta. Até que altura ela sobe, quando volta à altura da mão e com que velocidade chega ao chão? Tome o sentido para cima como positivo e a origem na mão: $v_0=+12m/s$, aceleração $-9,81m/{\mathrm{s}}^2$.

No topo $v=0$, então $0=12-9,81t$ dá $t\approx 1,22\mathrm{s}$, e a altura ganha é $v_0^2/(2g)=144/19,62\approx 7,34\mathrm{m}$: o topo fica a 8,84 m do chão. A bola volta à altura da mão após $2v_0/g\approx 2,45\mathrm{s}$, descendo a 12 m/s. Em $t=2\mathrm{s}$, $v=12-9,81\cdot 2=-7,6m/s$: o sinal de menos indica que ela já está caindo.

Ao chegar ao chão, seu deslocamento é $\Delta y=-1,5\mathrm{m}$, e o tempo não é necessário, então use $v^2=v_0^2-2g\Delta y$:
$v^2=12^2-2\cdot 9,81\cdot (-1,5)=144+29,4=173,4{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$
Ela chega ao chão a 13,2 m/s para baixo, $v=-13,2m/s$, após $t=(12+13,2)/9,81\approx 2,57\mathrm{s}$, mais rápido do que foi lançada, porque termina 1,5 m mais baixo.

Lendo o estroboscópio e os gráficos

Os círculos claros mostram a bola a cada 0,5 s; nos círculos marcados com 1 s e 2 s, ela caiu 4,9 m e 19,6 m. Os intervalos entre círculos sucessivos são 1,23, 3,68, 6,13, 8,58 e 11,04 m, na razão 1 : 3 : 5 : 7 : 9. Esta é a regra dos números ímpares de Galileu: a distância varia com $t^2$ (1, 4, 9, 16, 25), e quadrados sucessivos diferem por números ímpares. Cada intervalo é $g(\Delta t{)}^2=9,81\cdot 0,5^2\approx 2,45\mathrm{m}$ maior que o anterior.

No gráfico velocidade–tempo, a queda é uma reta passando pela origem com inclinação $g$, e a distância percorrida é a área sob ela: para a animação, um triângulo de 2,86 s de base e 28,0 m/s de altura, com área $\frac{1}{2}\cdot 2,856\cdot 28,0\approx 40\mathrm{m}$. O gráfico altura–tempo, desenhado no nível avançado, é uma parábola que começa horizontal e fica cada vez mais inclinada; sua inclinação é a velocidade.

Erros comuns

• A aceleração não é zero no topo: só a velocidade é, por um instante; a aceleração continua 9,81 m/s² para baixo e faz a bola voltar. Lançada para cima a 19,62 m/s, uma bola para após 2,0 s e retorna após 4,0 s.
• Objetos pesados não caem mais depressa: sem ar, um peso de arremesso de 5 kg e uma bola de gude de 5 g ganham ambas 9,81 m/s a cada segundo.
• Não esqueça o fator 2 e a raiz quadrada em $v=\sqrt{2gh}$: uma queda de 20 m dá $\sqrt{392,4}\approx 19,8m/s$, e não 392 nem 196 m/s.
• Não confunda a distância percorrida com a altura acima do chão: após 1 s, a bola da animação caiu 4,9 m e está a 35,1 m de altura.

Onde isso aparece

Solte uma régua entre os dedos de um amigo: se ela cair 20 cm antes que ele a segure, o tempo de reação dele é $\sqrt{2\cdot 0,20/9,81}\approx 0,20\mathrm{s}$. Um mergulhador de uma plataforma de 10 m chega à água após cerca de 1,4 s a cerca de 14 m/s, e cronometrar a queda de uma pedra permite medir a profundidade de um poço. A queda livre também é a metade vertical de todo lançamento: o movimento de projéteis acrescenta um movimento horizontal constante, as leis de Newton explicam a aceleração, Trabalho, Energia e Potência lê $v^2=2gh$ como conservação de energia, e Resistência do ar e velocidade terminal acrescenta o ar.

Avançado

Inércia, peso e o princípio da equivalência

Tudo nesta aula se apoia em um fato experimental: no vácuo, todos os corpos perto do chão caem com a mesma aceleração, seja qual for a massa ou o material. Esta seção mostra por que esse fato é surpreendente e aonde ele levou.

Tome o sentido para cima como direção $y$ positiva. A segunda lei de Newton para um corpo em queda fica então
$m_i\ddot{y}=-m_{g}g$
Aqui aparecem duas massas diferentes. À esquerda, a massa inercial $m_i$ mede o quanto o corpo é difícil de acelerar. À direita, a massa gravitacional $m_g$ mede o quanto a gravidade o puxa, assim como uma carga elétrica mede o quanto um campo elétrico a puxa; $g$ é a intensidade da gravidade terrestre perto do chão, cerca de 9,81 m/s². Nada na mecânica de Newton diz que as duas massas precisam ser iguais.

O experimento diz que são. Balanças de torção encontram a razão $m_g/m_i$ igual para materiais diferentes com precisão de cerca de uma parte em $10^{13}$, e em 2022 um satélite que comparava massas de teste de ligas de platina e titânio atingiu cerca de uma parte em $10^{15}$. Com $m_i=m_g$, a massa se cancela dos dois lados, restando $\ddot{y}=-g$ para todo corpo: a aceleração da queda livre não depende do que está caindo.

Einstein transformou essa igualdade em um princípio, o princípio da equivalência. Imagine uma pequena caixa fechada em queda livre. Todo objeto dentro dela tem a mesma aceleração da caixa, então, em relação à caixa, nada acelera: objetos soltos flutuam, e nenhum experimento feito lá dentro consegue distinguir a queda de flutuar longe, no espaço vazio. A caixa precisa ser pequena para que $g$ tenha o mesmo tamanho e direção em todo o seu interior. O princípio da equivalência é o ponto de partida da relatividade geral, a teoria em que a gravidade se torna a geometria do espaço-tempo.

É por isso que os astronautas flutuam. Na altitude de uma estação espacial, cerca de 400 km, $g$ ainda vale cerca de 8,7 m/s², quase 90 % do seu valor no chão. A gravidade não foi desligada: a tripulação e a estação caem juntas, então nenhuma delas pressiona a outra.

Integrando a equação do movimento

Sem a massa, todo o movimento segue de $a_y=-g$. Duas integrações dão a velocidade e a posição, e mais um passo dá a energia.

Tome o sentido para cima como positivo e comece o relógio no instante da soltura, $t=0$, quando o corpo está na altura $h_0$ com a velocidade vertical $v_0$. Como $a_y=d{v}_y/dt=-g$ é constante, uma integração dá a velocidade; como $v_y=dy/dt$, uma segunda dá a posição:
$v_y(t)=v_0+{\int }_0^t(-g)d{t}^{\prime }=v_0-gt$
$y(t)=h_0+{\int }_0^t{v}_y(t^{\prime })d{t}^{\prime }=h_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
Cada integração traz uma constante, fixada pelo estado inicial: $v_0$ na primeira, $h_0$ na segunda. A própria gravidade fornece apenas o termo $-\frac{1}{2}g{t}^2$, que curva o gráfico de $y(t)$ numa parábola, e curva toda queda do mesmo modo.

Na animação, a bola é solta do repouso, $v_0=0$, de $h_0=40\mathrm{m}$. Ela atinge o chão, $y=0$, quando $\frac{1}{2}g{T}^2=h_0$, ou seja, em
$T=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{9,81}}\approx 2,86\mathrm{s}$
Sua velocidade é então $v_y=-gT\approx -28,0m/s$, com o sinal de menos indicando para baixo.

Muitas vezes o tempo não importa, só como a velocidade depende da altura. A regra da cadeia elimina $t$: $a_y=d{v}_y/dt=(d{v}_y/dy)(dy/dt)=v_{y}d{v}_y/dy$. Assim $v_{y}d{v}_y=-gdy$, e integrando desde a soltura resulta
$v_y^2=v_0^2-2g(y-h_0)$
Multiplique por $m/2$ e rearranje: $\frac{1}{2}m{v}_y^2+mgy=\frac{1}{2}m{v}_0^2+mg{h}_0$. O lado esquerdo, energia cinética mais potencial, mantém o valor inicial: a energia se conserva. Cada quilograma da bola da animação começa com $g{h}_0=9,81\cdot 40=392,4J/kg$ de energia potencial e chega com $\frac{1}{2}{v}_y^2=\frac{1}{2}\cdot 784,8=392,4J/kg$ de energia cinética.

Lendo os gráficos de velocidade e altura

As duas fórmulas são mais fáceis de entender como gráficos. Ler inclinações e áreas neles é a verificação mais rápida de qualquer movimento com aceleração constante.

Legenda

$t$	Tempo desde a soltura.	$\mathrm{s}$
$T$	Instante do impacto, em que a queda termina.	$\mathrm{s}$
$v_y$	Velocidade vertical, para cima positiva: a altura da reta superior e a inclinação da tangente a $h(t)$.	$m/s$
$gT$	Velocidade ganha em toda a queda; a reta superior termina em $v_y=-gT$.	$m/s$
$\Delta t$	Um intervalo de tempo qualquer: o cateto horizontal do triângulo de inclinação.	$\mathrm{s}$
$\Delta v_y$	Variação de $v_y$ em $\Delta t$: o cateto vertical. A inclinação é $\Delta v_y/\Delta t=-g$.	$m/s$
$\Delta h$	Variação de altura em toda a queda: a área com sinal entre a reta de $v_y$ e o eixo $t$.	$\mathrm{m}$
$h$	Altura acima do chão.	$\mathrm{m}$
$h_0$	Altura de soltura, em $t=0$.	$\mathrm{m}$

A figura 1 mostra a queda da animação como dois gráficos, um sobre o outro, no mesmo eixo de tempo $t$. A linha vertical tracejada no instante do impacto $T\approx 2,86\mathrm{s}$ liga os dois.

Olhe primeiro para o gráfico superior, $v_y(t)=-gt$: uma reta que vai de zero até $-gT\approx -28,0m/s$. Sua inclinação é a aceleração. O pequeno triângulo mostra que, em qualquer intervalo $\Delta t$, a velocidade muda $\Delta v_y=-g\Delta t$, e a inclinação da reta inteira, $-28,01/2,856\approx -9,81m/{\mathrm{s}}^2$, é $a_y=-g$. Como a inclinação é a mesma em toda parte, a aceleração também é: em um gráfico, aceleração constante significa uma reta de velocidade.

Agora observe o triângulo sombreado entre a reta e o eixo do tempo. Sua área é a variação de altura $\Delta h$, porque cada faixa vertical fina dele tem largura $dt$ e altura $v_y$, e $v_{y}dt$ é a distância percorrida nesse tempo. O triângulo está abaixo do eixo, então sua área conta como negativa: $\Delta h=\frac{1}{2}\cdot 2,856\cdot (-28,0)\approx -40\mathrm{m}$, a queda inteira.

O gráfico inferior é a altura $h(t)$, que durante a queda vale $y(t)=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$: uma parábola voltada para baixo. Sua inclinação em cada instante é o $v_y$ atual, lido no gráfico superior. Na soltura $v_y=0$, então a curva deixa o nível $h_0=40\mathrm{m}$ horizontalmente. No impacto $v_y=-28,0m/s$, então a curva é mais inclinada ali; a tangente traçada em $T$, rotulada $v_y$, tem inclinação $-gT$, o valor em que a reta superior termina. A taxa com que a inclinação muda, a curvatura do gráfico, é a segunda derivada, $-g$ o tempo todo.

A parábola também mostra como a queda distribui seu tempo de modo desigual. Na metade do tempo, $T/2=1,43\mathrm{s}$, a bola caiu apenas $\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 1,428^2=10,0\mathrm{m}$ e ainda está a 30 m, três quartos da altura; os 30 m restantes levam a segunda metade do tempo. Em $T$ os dois gráficos param: o chão empurra de volta, e a queda livre termina.

De onde vem g

Até aqui, $g$ foi um número dado. A lei da gravitação universal de Newton explica seu valor e mostra por que ele é só aproximadamente constante.

Uma Terra esférica de massa $M$ e raio $R$ atrai um corpo de massa $m$ em sua superfície com a força $GMm/R^2$, como se toda a massa estivesse no centro. Dividindo por $m$, obtemos a aceleração
$g=\frac{GM}{R^2}$
Com $G=6,674\times 10^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$, $M=5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$ e $R=6371\mathrm{km}$, resulta 9,82 m/s². O valor medido varia um pouco de lugar para lugar, porque a Terra gira, é achatada nos polos e não é uniforme em seu interior.

A uma altura $h$ acima da superfície, a distância ao centro é $R+h$, então $g$ se torna $GM/(R+h{)}^2\approx (GM/R^2)(1-2h/R)$ quando $h\ll R$: menor por uma fração de cerca de $2h/R$. Para os 40 m da animação, essa fração é $80/(6,371\times 10^6)\approx 1,3\times 10^{-5}$, cerca de 13 partes por milhão. É por isso que $g$ parece constante: as alturas do cotidiano são minúsculas em comparação com $R$.

Uma órbita é uma queda que continua errando o chão

A mesma $g$ que faz uma bola solta cair também mantém um satélite no alto. A figura 2 mostra como, comparando duas pequenas distâncias.

Legenda

$O$	Centro da Terra.
$R$	Raio da Terra.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidade no início, horizontal, ao longo da tangente.	$m/s$
$vt$	Distância ao longo da reta no tempo $t$, sem gravidade.	$\mathrm{m}$
$\vec{g}$	Aceleração da gravidade, apontando para o centro $O$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\frac{1}{2}g{t}^2$	Distância que a gravidade faz a bola descer abaixo da reta no tempo $t$.	$\mathrm{m}$

Na figura 2, uma bola é lançada de lado, logo acima do chão, com a velocidade $\vec{v}$. Sem gravidade, ela se moveria pela reta tracejada, tangente à Terra, e após um curto tempo $t$ estaria na bola clara, a uma distância $vt$ de seu início. A gravidade acrescenta um deslocamento de cerca de $\frac{1}{2}g{t}^2$ em direção ao centro $O$, o segmento dourado. Assim, após o tempo $t$ a bola não está na bola clara, mas na bola escura logo abaixo dela, sobre a trajetória curva; ali a seta $\vec{g}$ aponta para $O$.

O chão também se afasta da reta tracejada, porque a Terra é redonda. A tangente é perpendicular ao raio $R$, então, pelo teorema de Pitágoras, um ponto a uma distância $x$ ao longo dela está a $\sqrt{R^2+x^2}$ de $O$, e sua altura acima da superfície é
$\sqrt{R^2+x^2}-R\approx \frac{x^2}{2R}$
para $x\ll R$. Com $x=vt$, o chão fica $(vt{)}^2/(2R)$ abaixo da reta.

Agora compare as duas quedas. Se a bola cai menos que o chão, ela se afasta do chão; se cai mais, ela pousa; se cai exatamente o mesmo, permanece à mesma altura acima do chão. Como isso vale em todos os pontos da trajetória, ela então circula para sempre. A condição é
$\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{(vt{)}^2}{2R}$
O tempo se cancela, restando $v^2/R=g$: a gravidade fornece exatamente a aceleração centrípeta $v^2/R$ que um círculo de raio $R$ exige. Perto da superfície isso dá $v=\sqrt{gR}=\sqrt{9,81\cdot 6,371\times 10^6}\approx 7,9km/s$. Uma órbita é queda livre com velocidade lateral suficiente para que o chão continue se curvando para longe, embaixo.

O mesmo raciocínio passou pelo teste decisivo de Newton, a Lua. Se a gravidade enfraquece como $1/r^2$, com $r$ a distância ao centro, então, na distância da Lua de cerca de 60 raios terrestres, ela deveria dar uma aceleração de $g/60^2\approx 2,7\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$. A Lua de fato orbita a 384.000 km de distância, com uma volta a cada 27,3 dias, o que exige uma aceleração centrípeta de $2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$: os dois valores concordam. Em um segundo a Lua cai $\frac{1}{2}\cdot 2,72\times 10^{-3}\cdot 1^2\approx 1,4\times 10^{-3}\mathrm{m}$, cerca de 1,4 mm, abaixo da reta que seguiria de outro modo. Isso é o $\frac{1}{2}g{t}^2$ da figura 2 com o $g$ muito menor da Lua; uma maçã perto do chão cai 4,9 m no mesmo segundo.

Queda pelo ar

No ar, a regra de que todos os corpos caem igualmente deixa de valer, e deixa de valer de um modo previsível. A figura 3 mostra o efeito antes que as equações o expliquem.

Legenda

$t$	Tempo desde a soltura.	$\mathrm{s}$
$v$	Velocidade da bola, medida para baixo.	$m/s$
$gt$	Velocidade após um tempo $t$ sem ar: a reta tracejada.	$m/s$
$v_t$	Velocidade terminal da bola mais leve. A da mais pesada é $2v_t$, já que $v_t\propto \sqrt{m}$.	$m/s$
$m$	Massa da bola mais leve; a mais pesada tem $4m$.	$\mathrm{kg}$

A figura 3 representa a velocidade $v$ em função do tempo $t$ para duas bolas de mesmo tamanho e forma, uma de massa $m$ e outra de massa $4m$. A reta tracejada é $v=gt$, a queda sem ar. As duas curvas saem da origem sobre ela, pois em baixa velocidade o arrasto é desprezível. Depois elas se curvam e se estabilizam em suas próprias velocidades terminais, marcadas pelas linhas horizontais tracejadas: $v_t$ para a bola mais leve e $2v_t$ para a mais pesada. A bola mais pesada segue a reta por mais tempo e termina com o dobro da velocidade. O restante desta seção deriva as curvas e o fator 2.

O arrasto é a força que o ar exerce sobre um corpo que se move através dele, dirigida contra o movimento e crescente com a velocidade. Para tamanhos e velocidades do dia a dia, ela é próxima de
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
onde $\rho$ é a densidade do ar, $A$ a área da seção transversal voltada para o escoamento e $C_d$ o coeficiente de arrasto, um número puro definido pela forma, por volta de 0,5 para uma esfera. Para gotículas de poeira e de neblina, que são minúsculas e lentas, o arrasto é proporcional a $v$.

Tome o sentido para baixo como positivo. A segunda lei de Newton, com o peso puxando para baixo e o arrasto empurrando para cima, fica
$m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
No início $v=0$, o arrasto é nulo e a aceleração é $g$. Conforme a velocidade cresce, o arrasto alcança o peso e a aceleração diminui. A velocidade se aproxima do valor em que as duas forças se equilibram e $dv/dt=0$, a velocidade terminal:
$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{d}A}}$

Escrita com $v_t$, a equação do movimento fica $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$. Sua solução partindo do repouso é
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
Você pode verificar derivando: como $d(\tanh x)/dx=1-{\tanh }^{2}x$, a derivada é $g(1-v^2/v_t^2)$. Para $t$ pequeno, $\tanh x\approx x$ e $v\approx gt$, a reta sem ar; para $t\gg v_t/g$, $\tanh \to 1$ e $v\to v_t$. Assim, $v_t/g$ é a escala de tempo em que a curva se estabiliza.

Para obter a velocidade após uma queda através de uma distância $s$, use mais uma vez a regra da cadeia: $dv/dt=vdv/ds=\frac{1}{2}d(v^2)/ds$. A equação para $v^2$ fica então
$\frac{d(v^2)}{ds}=2g\left(1-\frac{v^2}{v_t^2}\right)$
logo $v^2$ se aproxima de $v_t^2$ exponencialmente, numa escala de distância $v_t^2/(2g)$:
$v^2=v_t^2\left(1-e^{-2gs/v_t^2}\right)$
Para uma queda curta, $s\ll v_t^2/(2g)$, a exponencial fica perto de $1-2gs/v_t^2$, e o resultado se reduz ao $v^2=2gs$ sem ar.

Agora o fator 2. Com tamanho e forma fixos, $\rho$, $C_d$ e $A$ são os mesmos para as duas bolas, então $v_t\propto \sqrt{m}$: quatro vezes a massa dá o dobro da velocidade terminal. Isso também dobra a escala de tempo $v_t/g$, então a bola mais pesada permanece perto de $v=gt$ por duas vezes mais tempo. Essa é a segunda curva da figura 3.

Deixe cair uma bola de tênis, a bola mais leve da figura 3, dos 40 m da animação. Tome $m=57\mathrm{g}$, um diâmetro de 6,7 cm (logo $A=\pi \cdot 0,0335^2\approx 3,53\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$), $C_d\approx 0,55$ e $\rho =1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. Sua velocidade terminal é
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 0,057\cdot 9,81}{1,2\cdot 0,55\cdot 3,53\times 10^{-3}}}\approx 22m/s$
e ela chega ao chão a 19,7 m/s após 3,26 s, em vez de 28,0 m/s após 2,86 s sem ar. Uma bola do mesmo tamanho quatro vezes mais pesada tem o dobro da velocidade terminal, cerca de 44 m/s, e chega a 25,4 m/s após 2,95 s. Assim, o ar de fato separa as pesadas das leves, através de $v_t\propto \sqrt{m}$ com tamanho e forma fixos.

Para comparação, um paraquedista caindo de barriga se estabiliza perto de 55 m/s (cerca de 200 km/h), e uma gota de chuva de 1 mm de diâmetro, em cerca de 4 m/s. Na velocidade terminal a aceleração é nula, não $g$: o corpo cai com velocidade constante, com o arrasto equilibrando o peso.

Problema resolvido: encontrando a bola que cai

No instante em que a bola da animação é solta de 40 m, uma segunda bola é lançada verticalmente para cima, do chão, logo abaixo dela, a 28,0 m/s, a velocidade com que a primeira chega ao chão. Quando e onde elas se encontram?

Legenda

$t$	Tempo desde a soltura da primeira bola.	$\mathrm{s}$
$T$	Instante em que a primeira bola chega ao chão e a segunda atinge o ponto mais alto.	$\mathrm{s}$
$\frac{T}{2}$	Instante em que as bolas se encontram.	$\mathrm{s}$
$y$	Altura acima do chão, para cima positiva.	$\mathrm{m}$
$h_0$	Altura de soltura da primeira bola e o topo do voo da segunda.	$\mathrm{m}$
$\frac{3}{4}{h}_0$	Altura em que as bolas se encontram.	$\mathrm{m}$
$y_1$	Altura da bola solta.	$\mathrm{m}$
$y_2$	Altura da bola lançada para cima do chão.	$\mathrm{m}$

A figura 4 representa as duas alturas em função do tempo, com o sentido para cima positivo e a origem no chão. A primeira bola é solta de $h_0$; a segunda é lançada para cima com $v_0=28,0m/s$:
$y_1=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2,y_2=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
Acompanhe $y_1$: ele parte de $h_0$ com tangente horizontal e chega ao chão em $T$. Acompanhe $y_2$: ele começa no chão e, como $v_0=gT$, sua velocidade $v_0-gt$ se anula exatamente em $T$. Assim, a segunda bola atinge o topo de seu voo em $T$, na altura $v_{0}T-\frac{1}{2}g{T}^2=\frac{1}{2}g{T}^2=h_0$, de onde a primeira bola começou.

As duas curvas são imagens espelhadas uma da outra em relação à reta tracejada em $T/2$: $y_2(t)=y_1(T-t)$. Para conferir, use $h_0=\frac{1}{2}g{T}^2$: então $y_1(T-t)=h_0-\frac{1}{2}g(T-t{)}^2=gTt-\frac{1}{2}g{t}^2$, que é $y_2(t)$. As bolas se encontram onde as curvas se cruzam, e, pela simetria, esse cruzamento está sobre a reta tracejada.

A álgebra é ainda mais curta. Os termos $\frac{1}{2}g{t}^2$ são idênticos, então se cancelam na distância entre as bolas: $y_1-y_2=h_0-v_{0}t$. A distância diminui a uma velocidade constante de 28,0 m/s, como se não houvesse gravidade, e se anula em $t=h_0/v_0=40/28,01\approx 1,43\mathrm{s}$, exatamente $T/2$.

Nesse instante, as duas bolas estão em $y=40-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 1,428^2=30,0\mathrm{m}$, o nível $\frac{3}{4}{h}_0$ marcado na figura 4. A primeira bola desce a $gT/2=14,0m/s$ e a segunda sobe a $28,0-14,0=14,0m/s$. As velocidades iguais não são coincidência: o voo da segunda bola é o da primeira reproduzido ao contrário, o que diz a simetria de espelho da figura 4.

Um lançamento mais lento encontra mais tarde e mais baixo. O tempo de encontro $h_0/v_0$ não pode exceder os 2,86 s que a primeira bola leva para chegar ao chão; por isso o lançamento precisa de pelo menos $v_0=h_0/T=14,0m/s$, a velocidade média da queda; a essa velocidade exata, as duas bolas chegam ao chão juntas.

Visto da primeira bola, a gravidade desapareceu: as duas bolas têm a mesma aceleração $-g$, então, no referencial da primeira bola em queda livre, a segunda se aproxima em linha reta com velocidade constante $v_0$. É o princípio da equivalência da primeira seção em ação. O mesmo raciocínio explica por que, no movimento de projéteis, um dardo apontado diretamente para um alvo que cai no instante do disparo o atinge, qualquer que seja a velocidade de lançamento, desde que chegue antes de o alvo tocar o chão.

Limites de validade

O modelo ideal de queda livre faz três suposições: $g$ é uniforme, não há ar e a Terra não gira. Os números acima mostram o quanto cada uma vale.

Um $g$ uniforme é excelente numa queda de 40 m, onde $g$ muda 13 partes por milhão. Já uma queda desde alturas orbitais exige $g=GM/r^2$ em cada distância $r$ ao centro. Desprezar o ar só é aceitável enquanto $v\ll v_t$: de 40 m, a bola mais pesada da seção anterior chega 9 % abaixo da velocidade ideal de 28,0 m/s, e a bola de tênis, 30 % abaixo.

A rotação da Terra torna o chão um referencial levemente não inercial, ou seja, ele próprio acelera. Parte da gravidade é usada para manter o chão em seu círculo diário, o que reduz o $g$ efetivo em até 0,034 m/s² no equador. Junto com o achatamento da Terra, isso faz $g$ variar de 9,78 m/s² no equador a 9,83 m/s² nos polos. A rotação também desvia uma queda para leste: o topo de uma torre se move um pouco mais rápido para leste do que sua base, e uma bola solta dali mantém essa velocidade extra. A bola da animação, solta na latitude de 45°, cairia cerca de 4 mm a leste do ponto diretamente abaixo de seu ponto de soltura.

A relatividade acrescenta apenas correções minúsculas nessas velocidades: a 28 m/s, $v^2/c^2\approx 9\times 10^{-15}$. A gravidade também afeta o próprio tempo: um relógio 40 m acima roda mais depressa que outro no chão, na fração $gh/c^2\approx 4,4\times 10^{-15}$. Esse deslocamento foi medido pela primeira vez por volta de 1960, com raios gama enviados ao alto de uma torre de 22,5 m, e relógios ópticos hoje o detectam em diferenças de altura de menos de um metro.

Para onde isso leva

A queda livre se conecta com quase toda a mecânica. O movimento de projéteis a combina com um movimento horizontal uniforme; as leis de Newton explicam a aceleração como peso dividido pela massa; Trabalho, Energia e Potência transforma $v^2=2gh$, a velocidade após uma queda de altura $h$ partindo do repouso, em $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$. Gravitação e Órbitas estende $g=GM/r^2$ a planetas e satélites, Resistência do ar e velocidade terminal trata o ar corretamente, e o Movimento Harmônico Simples mostra como o período de um pêndulo depende de $g$, que é como $g$ foi medido por séculos. A Gravidade como Espaço-Tempo Curvo constrói uma teoria inteira sobre o fato de que todos os corpos caem igualmente.