Caída libre

Principiante

Un objeto está en caída libre cuando la gravedad es la única fuerza que importa. Cerca de la superficie de la Tierra gana unos 9,81 m/s de rapidez hacia abajo cada segundo, sea del material que sea. Esta ganancia constante se llama g, la aceleración de la gravedad.

Suelta una piedra desde un puente alto. Al cabo de 1 s cae a unos 10 m/s, al cabo de 2 s a unos 20 m/s, al cabo de 3 s a unos 29 m/s: la rapidez sube el mismo escalón cada segundo.

Comprueba: ¿a qué rapidez cae, más o menos, a los 5 s? (Unos 49 m/s.)

La distancia crece más deprisa que la rapidez, porque la piedra parte del reposo. Durante el primer segundo su rapidez media es solo de unos 4,9 m/s, así que baja unos 4,9 m; a los dos segundos ha caído 19,6 m, cuatro veces más. En la animación, los círculos tenues, uno cada medio segundo, se separan cada vez más.

¿Por qué caen juntos los objetos pesados y los ligeros? La gravedad tira más fuerte de un objeto pesado, pero también cuesta más acelerarlo, exactamente en la misma proporción, así que los dos efectos se compensan. En un tubo sin aire, una pluma y una moneda caen una junto a otra. En la vida diaria el aire frena al objeto que cae, tanto más cuanto más deprisa va, de modo que una pluma o un paracaídas pronto dejan de ganar rapidez.

La gravedad no se apaga en la subida. Una pelota lanzada hacia arriba pierde unos 9,81 m/s cada segundo, se detiene un instante arriba y vuelve a caer.

Comprueba: una pelota sale de tu mano hacia arriba a unos 20 m/s. ¿Cuándo deja de subir? (Al cabo de unos 2 s.)

Intermedio

Caída libre y elección del signo

Un objeto está en caída libre cuando la gravedad es la única fuerza que actúa sobre él, despreciando la resistencia del aire. Una pelota lanzada hacia arriba también está en caída libre desde el momento en que sale de tu mano. Cerca de la superficie terrestre, todo cuerpo en caída libre tiene la misma aceleración hacia abajo, $g\approx 9,81m/{\mathrm{s}}^2$, sea cual sea su masa.

El movimiento transcurre a lo largo de una recta vertical, así que hay que elegir qué sentido es el positivo. Para una caída, toma el sentido hacia abajo como positivo y pon en marcha el reloj al soltar: la velocidad $v$, la aceleración $g$ y la distancia caída $h$ son entonces todas positivas. Para un lanzamiento, toma el sentido hacia arriba como positivo: la aceleración pasa a ser $-g$, y una velocidad negativa significa que el objeto está bajando. No mezcles nunca los dos convenios en un mismo problema. En las fórmulas de abajo, $h$ es la distancia caída; el indicador $h$ de la animación muestra la altura sobre el suelo.

Una misma aceleración para todos los cuerpos

En caída libre la velocidad cambia lo mismo cada segundo, $g=\Delta v/\Delta t$: 9,81 m/s de velocidad hacia abajo por segundo, tanto para una moneda como para una persona. La gravedad tira con una fuerza igual al peso, $W=mg$, proporcional a la masa, pero la masa también se opone a cualquier cambio de velocidad, y la segunda ley de Newton da $a=W/m=g$. Un cuerpo diez veces más pesado es atraído con diez veces más fuerza, y cuesta diez veces más acelerarlo.

Galileo llegó a la misma conclusión razonando. Si los cuerpos pesados cayeran más deprisa, una piedra ligera atada a una pesada la frenaría; sin embargo, el conjunto pesa más que cada una y debería caer aún más deprisa. La contradicción desaparece solo si todos los cuerpos caen igual. En 1971, un astronauta del Apolo 15 soltó un martillo y una pluma de halcón en la Luna, donde no hay aire y $g\approx 1,62m/{\mathrm{s}}^2$, y llegaron al suelo a la vez.

Las ecuaciones de la caída libre

Como $g$ es constante, valen las ecuaciones de aceleración constante de Movimiento rectilíneo con $v_0=0$ y $a=g$, tomando el sentido hacia abajo como positivo:

• $v=gt$
• $h=\frac{1}{2}g{t}^2\text{(distancia caıˊda desde el reposo)}$
• $v=\sqrt{2gh}$

La rapidez crece en proporción al tiempo, y la distancia con su cuadrado: en el doble de tiempo un objeto cae cuatro veces más lejos, porque además va más deprisa. La tercera ecuación, que sale de $v^2=2gh$, relaciona la rapidez con la altura sin usar el tiempo. Comprobaciones útiles: una caída de unos 5 m dura 1 s, y una de unos 20 m, 2 s.

Para un lanzamiento, conserva la velocidad inicial $v_0$. Con el sentido hacia arriba como positivo e $y$ la altura sobre el punto de lanzamiento,
$v=v_0-gt\text{(positivo hacia arriba)}$
$y=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
Una pelota lanzada hacia arriba con $v_0$ se detiene en lo más alto al cabo de $v_0/g$, a una altura $v_0^2/(2g)$, y vuelve al punto de lanzamiento al cabo de $2v_0/g$, bajando con rapidez $v_0$: la bajada es el reflejo de la subida. Un lanzamiento hacia abajo tiene, sencillamente, una $v_0$ negativa.

Ejemplo resuelto: la pelota de la animación

La pelota se suelta desde el reposo a $h_0=40\mathrm{m}$ sobre el suelo y llega abajo cuando ha caído 40 m:
$t=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{9,81}}\approx 2,86\mathrm{s}$
$v=gt=9,81\cdot 2,856\approx 28,0m/s$
La tercera ecuación coincide, sin usar el tiempo: $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 40}=\sqrt{784,8}\approx 28,0m/s$, unos 100 km/h.

Son las lecturas en el momento del impacto: $t$ se detiene en 2,9 s (los indicadores muestran un decimal) y $v$ en 28,0 m/s, mientras que el indicador $h$, la altura $h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$, baja de 40 m a 0. La flecha azul $v$ crece lo mismo cada segundo, y la flecha verde $g$ mantiene su longitud todo el tiempo.

A la mitad del tiempo, a 1,43 s, la pelota ha caído solo 10,0 m, la cuarta parte de la altura, y va a 14,0 m/s; el indicador $h$ marca 30,0 m. No pasa por la altura intermedia, 20 m, hasta los 2,02 s, a 19,8 m/s: cruza la mitad inferior en menos de un tercio del tiempo. Su rapidez media, $40/2,856\approx 14,0m/s$, es la mitad de la final.

Ejemplo resuelto: una pelota lanzada hacia arriba

Lanzas una pelota hacia arriba a 12 m/s desde una mano situada a 1,5 m del suelo y te apartas. ¿Hasta qué altura sube, cuándo vuelve a la altura de la mano y con qué rapidez llega al suelo? Toma el sentido hacia arriba como positivo y el origen en la mano: $v_0=+12m/s$, aceleración $-9,81m/{\mathrm{s}}^2$.

En lo más alto $v=0$, así que $0=12-9,81t$ da $t\approx 1,22\mathrm{s}$, y la altura ganada es $v_0^2/(2g)=144/19,62\approx 7,34\mathrm{m}$: el punto más alto está a 8,84 m del suelo. La pelota vuelve a la altura de la mano al cabo de $2v_0/g\approx 2,45\mathrm{s}$, bajando a 12 m/s. En $t=2\mathrm{s}$, $v=12-9,81\cdot 2=-7,6m/s$: el signo menos indica que ya está cayendo.

Al llegar al suelo su desplazamiento es $\Delta y=-1,5\mathrm{m}$ y no hace falta el tiempo, así que se usa $v^2=v_0^2-2g\Delta y$:
$v^2=12^2-2\cdot 9,81\cdot (-1,5)=144+29,4=173,4{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$
Llega al suelo a 13,2 m/s hacia abajo, $v=-13,2m/s$, al cabo de $t=(12+13,2)/9,81\approx 2,57\mathrm{s}$, con más rapidez que la del lanzamiento porque acaba 1,5 m más abajo.

Cómo leer la imagen estroboscópica y las gráficas

Los círculos tenues muestran la pelota cada 0,5 s; en los círculos rotulados 1 s y 2 s ha caído 4,9 m y 19,6 m. Las separaciones entre círculos sucesivos son 1,23; 3,68; 6,13; 8,58 y 11,04 m, en la proporción 1 : 3 : 5 : 7 : 9. Es la regla de los números impares de Galileo: la distancia crece como $t^2$ (1, 4, 9, 16, 25), y los cuadrados sucesivos se diferencian en números impares. Cada separación es $g(\Delta t{)}^2=9,81\cdot 0,5^2\approx 2,45\mathrm{m}$ más larga que la anterior.

En una gráfica velocidad–tiempo, la caída es una recta que pasa por el origen con pendiente $g$, y la distancia caída es el área bajo ella: en la animación, un triángulo de 2,86 s de base y 28,0 m/s de altura, de área $\frac{1}{2}\cdot 2,856\cdot 28,0\approx 40\mathrm{m}$. La gráfica altura–tiempo, que se dibuja en el nivel experto, es una parábola que empieza plana y se va empinando; su pendiente es la velocidad.

Errores frecuentes

• La aceleración no es cero en lo más alto: lo es solo la velocidad, durante un instante, mientras que la aceleración sigue siendo de 9,81 m/s² hacia abajo y hace volver la pelota. Lanzada hacia arriba a 19,62 m/s, una pelota se detiene a los 2,0 s y regresa a los 4,0 s.
• Los objetos más pesados no caen más deprisa: sin aire, una bola de acero de 5 kg y una canica de 5 g ganan las dos 9,81 m/s cada segundo.
• Conserva el factor 2 y la raíz cuadrada en $v=\sqrt{2gh}$: una caída de 20 m da $\sqrt{392,4}\approx 19,8m/s$, no 392 ni 196 m/s.
• No confundas la distancia caída con la altura sobre el suelo: al cabo de 1 s, la pelota de la animación ha caído 4,9 m y está a 35,1 m de altura.

Dónde aparece

Deja caer una regla entre los dedos de un amigo: si cae 20 cm antes de que la atrape, su tiempo de reacción es $\sqrt{2\cdot 0,20/9,81}\approx 0,20\mathrm{s}$. Un saltador que se lanza desde una plataforma de 10 m llega al agua tras unos 1,4 s, a unos 14 m/s, y cronometrar una piedra que se deja caer permite hallar la profundidad de un pozo. La caída libre es además la mitad vertical de todo lanzamiento: Tiro parabólico le añade un movimiento horizontal uniforme, Leyes de Newton explica la aceleración, Trabajo, energía y potencia lee $v^2=2gh$ como conservación de la energía, y Fuerza de arrastre y velocidad terminal añade el aire.

Avanzado

Inercia, peso y principio de equivalencia

Todo lo de esta lección descansa sobre un hecho experimental: en el vacío, todos los cuerpos cerca del suelo caen con la misma aceleración, sean cuales sean su masa y su material. Esta sección muestra por qué ese hecho es sorprendente y adónde condujo.

Toma hacia arriba como sentido positivo de $y$. La segunda ley de Newton para un cuerpo que cae se escribe entonces
$m_i\ddot{y}=-m_{g}g$
Aquí aparecen dos masas distintas. A la izquierda, la masa inercial $m_i$ mide lo difícil que es acelerar el cuerpo. A la derecha, la masa gravitatoria $m_g$ mide con qué fuerza tira de él la gravedad, igual que una carga eléctrica mide con qué fuerza tira de ella un campo eléctrico; $g$ es la intensidad de la gravedad terrestre cerca del suelo, unos 9,81 m/s². Nada en la mecánica de Newton exige que las dos masas sean iguales.

El experimento dice que lo son. Las balanzas de torsión encuentran el mismo cociente $m_g/m_i$ para materiales distintos con una precisión de alrededor de una parte en $10^{13}$, y en 2022 un satélite que comparaba masas de prueba de aleaciones de platino y de titanio llegó a cerca de una parte en $10^{15}$. Con $m_i=m_g$ la masa se cancela en ambos lados y queda $\ddot{y}=-g$ para todo cuerpo: la aceleración de caída libre no depende de qué es lo que cae.

Einstein convirtió esta igualdad en un principio, el principio de equivalencia. Imagina una caja cerrada pequeña que cae libremente. Todo objeto de su interior tiene la misma aceleración que la caja, así que respecto a ella nada se acelera: los objetos sueltos flotan, y ningún experimento hecho dentro permite distinguir la caída de flotar lejos de todo, en el espacio vacío. La caja debe ser pequeña, para que $g$ tenga el mismo valor y la misma dirección en todo su interior. El principio de equivalencia es el punto de partida de la relatividad general, la teoría en la que la gravedad pasa a ser la geometría del espacio-tiempo.

Por eso flotan los astronautas. A la altitud de una estación espacial, unos 400 km, $g$ sigue valiendo unos 8,7 m/s², casi el 90 % de su valor en el suelo. La gravedad no se ha apagado: la tripulación y la estación caen juntas, de modo que ninguna de las dos presiona sobre la otra.

Integración de la ecuación del movimiento

Eliminada la masa, todo el movimiento se deduce de $a_y=-g$. Dos integraciones dan la velocidad y la posición, y un paso más da la energía.

Toma hacia arriba como positivo y pon en marcha el reloj al soltar, $t=0$, cuando el cuerpo está a la altura $h_0$ con la velocidad vertical $v_0$. Como $a_y=d{v}_y/dt=-g$ es constante, una integración da la velocidad; como $v_y=dy/dt$, una segunda da la posición:
$v_y(t)=v_0+{\int }_0^t(-g)d{t}^{\prime }=v_0-gt$
$y(t)=h_0+{\int }_0^t{v}_y(t^{\prime })d{t}^{\prime }=h_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
Cada integración aporta una constante, fijada por el estado inicial: $v_0$ en la primera, $h_0$ en la segunda. La gravedad solo aporta el término $-\frac{1}{2}g{t}^2$, que curva la gráfica de $y(t)$ en forma de parábola, y curva todas las caídas de la misma manera.

En la animación, la pelota se suelta desde el reposo, $v_0=0$, a $h_0=40\mathrm{m}$. Llega al suelo, $y=0$, cuando $\frac{1}{2}g{T}^2=h_0$, es decir, en
$T=\sqrt{\frac{2h_0}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 40}{9,81}}\approx 2,86\mathrm{s}$
Su velocidad es entonces $v_y=-gT\approx -28,0m/s$; el signo menos significa que apunta hacia abajo.

A menudo el tiempo no importa, solo cómo depende la rapidez de la altura. La regla de la cadena elimina $t$: $a_y=d{v}_y/dt=(d{v}_y/dy)(dy/dt)=v_{y}d{v}_y/dy$. Así que $v_{y}d{v}_y=-gdy$, y al integrar desde el instante de soltar se obtiene
$v_y^2=v_0^2-2g(y-h_0)$
Multiplica por $m/2$ y reordena: $\frac{1}{2}m{v}_y^2+mgy=\frac{1}{2}m{v}_0^2+mg{h}_0$. El miembro izquierdo, energía cinética más potencial, mantiene su valor inicial: la energía se conserva. Cada kilogramo de la pelota de la animación parte con $g{h}_0=9,81\cdot 40=392,4J/kg$ de energía potencial y llega abajo con $\frac{1}{2}{v}_y^2=\frac{1}{2}\cdot 784,8=392,4J/kg$ de energía cinética.

Cómo leer las gráficas de velocidad y altura

Las dos fórmulas se entienden mejor como gráficas. Leer pendientes y áreas en ellas es la forma más rápida de comprobar cualquier movimiento con aceleración constante.

Leyenda

$t$	Tiempo desde que se suelta.	$\mathrm{s}$
$T$	Instante del impacto, en el que termina la caída.	$\mathrm{s}$
$v_y$	Velocidad vertical, positiva hacia arriba: la altura de la recta de arriba y la pendiente de la tangente a $h(t)$.	$m/s$
$gT$	Rapidez ganada en toda la caída; la recta de arriba termina en $v_y=-gT$.	$m/s$
$\Delta t$	Cualquier intervalo de tiempo: el cateto horizontal del triángulo de pendiente.	$\mathrm{s}$
$\Delta v_y$	Cambio de $v_y$ en $\Delta t$: el cateto vertical. La pendiente es $\Delta v_y/\Delta t=-g$.	$m/s$
$\Delta h$	Cambio de altura en toda la caída: el área con signo entre la recta de $v_y$ y el eje $t$.	$\mathrm{m}$
$h$	Altura sobre el suelo.	$\mathrm{m}$
$h_0$	Altura desde la que se suelta, en $t=0$.	$\mathrm{m}$

La figura 1 muestra la caída de la animación como dos gráficas, una encima de la otra, sobre el mismo eje de tiempo $t$. La línea vertical discontinua en el instante del impacto, $T\approx 2,86\mathrm{s}$, las une.

Fíjate primero en la gráfica de arriba, $v_y(t)=-gt$: una recta que baja desde cero hasta $-gT\approx -28,0m/s$. Su pendiente es la aceleración. El pequeño triángulo muestra que en cualquier intervalo $\Delta t$ la velocidad cambia en $\Delta v_y=-g\Delta t$, y la pendiente de toda la recta, $-28,01/2,856\approx -9,81m/{\mathrm{s}}^2$, es $a_y=-g$. Como la pendiente es la misma en todas partes, también lo es la aceleración: en una gráfica, aceleración constante significa una recta de velocidad.

Fíjate ahora en el triángulo sombreado entre la recta y el eje del tiempo. Su área es el cambio de altura $\Delta h$, porque cada una de sus franjas verticales estrechas tiene la anchura $dt$ y la altura $v_y$, y $v_{y}dt$ es la distancia recorrida en ese tiempo. El triángulo está por debajo del eje, así que su área cuenta como negativa: $\Delta h=\frac{1}{2}\cdot 2,856\cdot (-28,0)\approx -40\mathrm{m}$, toda la caída.

La gráfica de abajo es la altura $h(t)$, que durante la caída vale $y(t)=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2$: una parábola abierta hacia abajo. Su pendiente en cada instante es el valor actual de $v_y$, que se lee en la gráfica de arriba. Al soltar, $v_y=0$, así que la curva sale del nivel $h_0=40\mathrm{m}$ en horizontal. En el impacto, $v_y=-28,0m/s$, así que ahí la curva es más empinada; la tangente trazada en $T$, rotulada $v_y$, tiene la pendiente $-gT$, el valor en el que termina la recta de arriba. El ritmo al que cambia la pendiente, es decir, cuánto se dobla la curva, es la derivada segunda, $-g$ durante toda la caída.

La parábola muestra también lo desigual que es el reparto del tiempo en la caída. A mitad de tiempo, $T/2=1,43\mathrm{s}$, la pelota solo ha caído $\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 1,428^2=10,0\mathrm{m}$ y sigue a 30 m, a tres cuartas partes de la altura; los 30 m restantes ocupan la segunda mitad. En $T$ las dos gráficas se detienen: el suelo empuja de vuelta, y la caída libre ha terminado.

De dónde viene g

Hasta aquí $g$ ha sido un número dado. La ley de la gravitación universal de Newton explica su valor y muestra por qué solo es aproximadamente constante.

Una Tierra esférica de masa $M$ y radio $R$ atrae a un cuerpo de masa $m$ situado en su superficie con la fuerza $GMm/R^2$, como si toda su masa estuviera en el centro. Al dividir por $m$ se obtiene la aceleración
$g=\frac{GM}{R^2}$
Con $G=6,674\times 10^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$, $M=5,97\times 10^{24}\mathrm{kg}$ y $R=6371\mathrm{km}$ resulta 9,82 m/s². El valor medido difiere ligeramente de un lugar a otro, porque la Tierra gira, está achatada por los polos y no es uniforme por dentro.

A una altura $h$ sobre la superficie, la distancia al centro es $R+h$, así que $g$ pasa a ser $GM/(R+h{)}^2\approx (GM/R^2)(1-2h/R)$ cuando $h\ll R$: menor en una fracción de aproximadamente $2h/R$. Para los 40 m de la animación esa fracción es $80/(6,371\times 10^6)\approx 1,3\times 10^{-5}$, unas 13 partes por millón. Por eso $g$ parece constante: las alturas cotidianas son minúsculas comparadas con $R$.

Una órbita es una caída que nunca llega al suelo

La misma $g$ que hace bajar una pelota que se suelta mantiene arriba un satélite. La figura 2 muestra cómo, comparando dos distancias pequeñas.

Leyenda

$O$	Centro de la Tierra.
$R$	Radio de la Tierra.	$\mathrm{m}$
$\vec{v}$	Velocidad inicial, horizontal, a lo largo de la tangente.	$m/s$
$vt$	Distancia a lo largo de la recta en el tiempo $t$, sin gravedad.	$\mathrm{m}$
$\vec{g}$	Aceleración de la gravedad, dirigida hacia el centro $O$.	$m/{\mathrm{s}}^2$
$\frac{1}{2}g{t}^2$	Distancia que la gravedad hace bajar la pelota por debajo de la recta en el tiempo $t$.	$\mathrm{m}$

En la figura 2 se lanza una pelota horizontalmente desde justo encima del suelo con la velocidad $\vec{v}$. Sin gravedad seguiría la recta discontinua, tangente a la Tierra, y tras un tiempo corto $t$ estaría en la posición de la pelota pálida, a una distancia $vt$ de su punto de partida. La gravedad añade un desplazamiento de unos $\frac{1}{2}g{t}^2$ hacia el centro $O$, el segmento dorado. Así que, al cabo del tiempo $t$, la pelota no está en la posición de la pelota pálida sino en la de la pelota maciza que hay justo debajo, sobre la trayectoria curva; allí la flecha $\vec{g}$ apunta hacia $O$.

El suelo también se aleja de la recta discontinua, porque la Tierra es redonda. La tangente es perpendicular al radio $R$, así que, por Pitágoras, un punto situado a una distancia $x$ a lo largo de ella está a $\sqrt{R^2+x^2}$ de $O$, y su altura sobre la superficie es
$\sqrt{R^2+x^2}-R\approx \frac{x^2}{2R}$
para $x\ll R$. Con $x=vt$, el suelo queda $(vt{)}^2/(2R)$ por debajo de la recta.

Compara ahora los dos descensos. Si la pelota baja menos que el suelo, se aleja de él; si baja más, aterriza; si baja exactamente lo mismo, se mantiene a la misma altura sobre el suelo. Como lo mismo ocurre en cada punto de su trayectoria, en ese caso da vueltas para siempre. La condición es
$\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{(vt{)}^2}{2R}$
El tiempo se cancela y queda $v^2/R=g$: la gravedad aporta exactamente la aceleración centrípeta $v^2/R$ que necesita un movimiento circular de radio $R$. Cerca de la superficie esto exige $v=\sqrt{gR}=\sqrt{9,81\cdot 6,371\times 10^6}\approx 7,9km/s$. Una órbita es una caída libre con tanta rapidez lateral que el suelo se va curvando y alejando por debajo sin cesar.

El mismo razonamiento permitió a Newton superar su prueba decisiva, la Luna. Si la gravedad se debilita como $1/r^2$ con la distancia $r$ al centro, entonces a la distancia de la Luna, unos 60 radios terrestres, debería dar una aceleración de $g/60^2\approx 2,7\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$. En realidad, la Luna describe su órbita a 384 000 km una vez cada 27,3 días, lo que exige una aceleración centrípeta de $2,72\times 10^{-3}m/{\mathrm{s}}^2$: las dos coinciden. En un segundo la Luna cae $\frac{1}{2}\cdot 2,72\times 10^{-3}\cdot 1^2\approx 1,4\times 10^{-3}\mathrm{m}$, unos 1,4 mm, por debajo de la recta que seguiría de otro modo. Es el $\frac{1}{2}g{t}^2$ de la figura 2 con la $g$ mucho menor de la órbita lunar; una manzana cerca del suelo cae 4,9 m en ese mismo segundo.

Caída a través del aire

En el aire, la regla de que todos los cuerpos caen igual deja de cumplirse, y deja de cumplirse de una forma predecible. La figura 3 muestra el efecto antes de que las ecuaciones lo expliquen.

Leyenda

$t$	Tiempo desde que se suelta.	$\mathrm{s}$
$v$	Rapidez de la bola, medida hacia abajo.	$m/s$
$gt$	Rapidez tras un tiempo $t$ sin aire: la recta discontinua.	$m/s$
$v_t$	Velocidad terminal de la bola más ligera. La de la más pesada es $2v_t$, ya que $v_t\propto \sqrt{m}$.	$m/s$
$m$	Masa de la bola más ligera; la más pesada tiene $4m$.	$\mathrm{kg}$

La figura 3 representa la rapidez $v$ frente al tiempo $t$ para dos bolas del mismo tamaño y forma, una de masa $m$ y otra de masa $4m$. La recta discontinua es $v=gt$, la caída sin aire. Las dos curvas salen del origen a lo largo de ella, porque a poca rapidez el arrastre es despreciable. Después se separan de ella y se estabilizan cada una en su propia velocidad terminal, marcada por una recta horizontal discontinua: $v_t$ para la bola más ligera y $2v_t$ para la más pesada. La bola más pesada sigue la recta durante más tiempo y termina cayendo el doble de rápido. El resto de esta sección deduce las curvas y el factor 2.

El arrastre es la fuerza que ejerce el aire sobre un cuerpo que se mueve a través de él; se opone al movimiento y crece con la rapidez. Para tamaños y rapideces corrientes es casi
$F_d=\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
donde $\rho$ es la densidad del aire, $A$ el área de la sección transversal que da al flujo y $C_d$ el coeficiente de arrastre, un número sin dimensiones fijado por la forma, de unos 0,5 para una esfera. Para el polvo y las gotitas de niebla, diminutos y lentos, el arrastre es en cambio proporcional a $v$.

Toma hacia abajo como positivo. La segunda ley de Newton, con el peso tirando hacia abajo y el arrastre empujando hacia arriba, se escribe
$m\frac{dv}{dt}=mg-\frac{1}{2}\rho C_{d}A{v}^2$
Al principio $v=0$, el arrastre es nulo y la aceleración es $g$. Al crecer la rapidez, el arrastre alcanza al peso y la aceleración se va apagando. La rapidez se acerca al valor en el que las dos fuerzas se equilibran y $dv/dt=0$, la velocidad terminal:
$v_t=\sqrt{\frac{2mg}{\rho C_{d}A}}$

Escrita con $v_t$, la ecuación del movimiento queda $dv/dt=g(1-v^2/v_t^2)$. Su solución partiendo del reposo es
$v(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right)$
Puedes comprobarlo derivando: como $d(\tanh x)/dx=1-{\tanh }^{2}x$, la derivada es $g(1-v^2/v_t^2)$. Para $t$ pequeño, $\tanh x\approx x$ y $v\approx gt$, la recta sin aire; para $t\gg v_t/g$, $\tanh \to 1$ y $v\to v_t$. Así que $v_t/g$ es la escala de tiempo en la que la curva se estabiliza.

Para obtener la rapidez tras caer una distancia $s$, usa de nuevo la regla de la cadena: $dv/dt=vdv/ds=\frac{1}{2}d(v^2)/ds$. La ecuación para $v^2$ es entonces
$\frac{d(v^2)}{ds}=2g\left(1-\frac{v^2}{v_t^2}\right)$
así que $v^2$ se acerca a $v_t^2$ de forma exponencial, en una escala de distancia $v_t^2/(2g)$:
$v^2=v_t^2\left(1-e^{-2gs/v_t^2}\right)$
En una caída corta, $s\ll v_t^2/(2g)$, la exponencial es casi $1-2gs/v_t^2$, y el resultado se reduce al de la caída sin aire, $v^2=2gs$.

Ahora, el factor 2. A igual tamaño y forma, $\rho$, $C_d$ y $A$ son los mismos para las dos bolas, así que $v_t\propto \sqrt{m}$: cuatro veces la masa da el doble de velocidad terminal. También duplica la escala de tiempo $v_t/g$, de modo que la bola más pesada se mantiene cerca de $v=gt$ el doble de tiempo. Esa es la segunda curva de la figura 3.

Deja caer una pelota de tenis, la bola más ligera de la figura 3, desde los 40 m de la animación. Toma $m=57\mathrm{g}$, un diámetro de 6,7 cm (así que $A=\pi \cdot 0,0335^2\approx 3,53\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$), $C_d\approx 0,55$ y $\rho =1,2kg/{\mathrm{m}}^3$. Su velocidad terminal es
$v_t=\sqrt{\frac{2\cdot 0,057\cdot 9,81}{1,2\cdot 0,55\cdot 3,53\times 10^{-3}}}\approx 22m/s$
y llega al suelo a 19,7 m/s al cabo de 3,26 s, en lugar de a 28,0 m/s al cabo de 2,86 s sin aire. Una bola del mismo tamaño y cuatro veces más pesada tiene el doble de velocidad terminal, unos 44 m/s, y llega a 25,4 m/s al cabo de 2,95 s. Así que el aire sí separa lo pesado de lo ligero, a través de $v_t\propto \sqrt{m}$ a igual tamaño y forma.

Como comparación, un paracaidista que cae boca abajo se estabiliza hacia los 55 m/s (unos 200 km/h), y una gota de lluvia de 1 mm de diámetro, hacia los 4 m/s. A velocidad terminal la aceleración es cero, no $g$: el cuerpo cae con rapidez constante, con el arrastre equilibrando el peso.

Problema resuelto: el encuentro con la pelota que cae

En el instante en que la pelota de la animación se suelta a 40 m, se lanza una segunda pelota hacia arriba desde el suelo, justo debajo de ella, a 28,0 m/s, la rapidez con que la primera llega al suelo. ¿Cuándo y dónde se encuentran?

Leyenda

$t$	Tiempo desde que se suelta la primera pelota.	$\mathrm{s}$
$T$	Instante en que la primera pelota llega al suelo y la segunda alcanza su punto más alto.	$\mathrm{s}$
$\frac{T}{2}$	Instante en que se encuentran las pelotas.	$\mathrm{s}$
$y$	Altura sobre el suelo, positiva hacia arriba.	$\mathrm{m}$
$h_0$	Altura desde la que se suelta la primera pelota, y punto más alto del vuelo de la segunda.	$\mathrm{m}$
$\frac{3}{4}{h}_0$	Altura a la que se encuentran las pelotas.	$\mathrm{m}$
$y_1$	Altura de la pelota soltada.	$\mathrm{m}$
$y_2$	Altura de la pelota lanzada hacia arriba desde el suelo.	$\mathrm{m}$

La figura 4 representa las dos alturas frente al tiempo, con el sentido hacia arriba como positivo y el origen en el suelo. La primera pelota se suelta desde $h_0$; la segunda se lanza hacia arriba con $v_0=28,0m/s$:
$y_1=h_0-\frac{1}{2}g{t}^2,y_2=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$
Sigue $y_1$: la curva sale de $h_0$ en horizontal y llega al suelo en $T$. Sigue $y_2$: la segunda pelota sale del suelo y, como $v_0=gT$, su velocidad $v_0-gt$ se anula justo en $T$. Así que la segunda pelota alcanza el punto más alto de su vuelo en $T$, a la altura $v_{0}T-\frac{1}{2}g{T}^2=\frac{1}{2}g{T}^2=h_0$, de donde partió la primera.

Las dos curvas son simétricas la una de la otra respecto a la línea discontinua en $T/2$: $y_2(t)=y_1(T-t)$. Para comprobarlo, usa $h_0=\frac{1}{2}g{T}^2$: entonces $y_1(T-t)=h_0-\frac{1}{2}g(T-t{)}^2=gTt-\frac{1}{2}g{t}^2$, que es $y_2(t)$. Las pelotas se encuentran donde se cruzan las curvas, y por la simetría ese cruce está sobre la línea discontinua.

El álgebra es aún más corta. Los términos $\frac{1}{2}g{t}^2$ son idénticos, así que se cancelan en la distancia entre las pelotas: $y_1-y_2=h_0-v_{0}t$. La distancia se acorta a un ritmo constante de 28,0 m/s, como si no hubiera gravedad, y se anula en $t=h_0/v_0=40/28,01\approx 1,43\mathrm{s}$, exactamente $T/2$.

En ese instante las dos pelotas están a $y=40-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot 1,428^2=30,0\mathrm{m}$, el nivel $\frac{3}{4}{h}_0$ marcado en la figura 4. La primera baja a $gT/2=14,0m/s$ y la segunda sube a $28,0-14,0=14,0m/s$. Que las rapideces sean iguales no es casualidad: el vuelo de la segunda pelota es el de la primera reproducido al revés, que es lo que dice la simetría especular de la figura 4.

Un lanzamiento más lento da un encuentro más tarde y más abajo. El tiempo de encuentro $h_0/v_0$ no puede superar los 2,86 s que tarda en caer la primera pelota, así que el lanzamiento necesita al menos $v_0=h_0/T=14,0m/s$, la rapidez media de la caída; justo con esa rapidez, las dos pelotas llegan al suelo a la vez.

Visto desde la primera pelota, la gravedad ha desaparecido: las dos pelotas tienen la misma aceleración $-g$, así que en el sistema de referencia en caída libre de la primera, la segunda se acerca en línea recta con la rapidez constante $v_0$. Es el principio de equivalencia de la primera sección en acción. El mismo razonamiento explica por qué, en Tiro parabólico, un dardo apuntado directamente a un blanco que empieza a caer en el instante del disparo lo alcanza sea cual sea su rapidez de lanzamiento, siempre que llegue antes de que el blanco toque el suelo.

Límites de validez

El modelo ideal de la caída libre hace tres suposiciones: $g$ es uniforme, no hay aire y la Tierra no gira. Los números anteriores muestran hasta qué punto se cumple cada una.

Una $g$ uniforme es excelente en una caída de 40 m, donde $g$ cambia en 13 partes por millón. Una caída desde alturas orbitales, en cambio, exige $g=GM/r^2$ a cada distancia $r$ del centro. Despreciar el aire solo es válido mientras $v\ll v_t$: desde 40 m, la bola más pesada de la sección anterior se queda un 9 % por debajo de los 28,0 m/s ideales, y la pelota de tenis, un 30 %.

La rotación de la Tierra convierte el suelo en un sistema de referencia ligeramente no inercial, uno que está él mismo acelerado. Parte de la gravedad se emplea en mantener el suelo en su circunferencia diaria, lo que reduce la $g$ efectiva hasta en 0,034 m/s² en el ecuador. Junto con el achatamiento de la Tierra, esto hace que $g$ vaya de 9,78 m/s² en el ecuador a 9,83 m/s² en los polos. La rotación también desvía la caída hacia el este: lo alto de una torre se mueve hacia el este un poco más deprisa que su base, y una pelota soltada desde arriba conserva esa rapidez extra. La pelota de la animación, soltada a una latitud de 45°, caería unos 4 mm al este del punto situado directamente bajo el lugar de donde se soltó.

La relatividad añade solo correcciones minúsculas a estas rapideces: a 28 m/s, $v^2/c^2\approx 9\times 10^{-15}$. La gravedad afecta además al propio tiempo: un reloj situado 40 m más arriba va más deprisa que uno en el suelo en una fracción $gh/c^2\approx 4,4\times 10^{-15}$. Este efecto se midió por primera vez hacia 1960 con rayos gamma enviados a lo alto de una torre de 22,5 m, y hoy los relojes ópticos lo detectan con diferencias de altura de menos de un metro.

Lo que viene después

La caída libre conecta con casi toda la mecánica. En la lección Tiro parabólico se combina con un movimiento horizontal uniforme; en Leyes de Newton, la aceleración se explica como el peso dividido entre la masa; en Trabajo, energía y potencia, $v^2=2gh$, la rapidez tras caer una altura $h$ desde el reposo, se convierte en $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$. En Gravitación y órbitas, $g=GM/r^2$ se extiende a planetas y satélites; en Fuerza de arrastre y velocidad terminal se trata el aire como es debido, y en Movimiento armónico simple se ve cómo el periodo de un péndulo depende de $g$, que es como se midió $g$ durante siglos. La lección La gravedad como curvatura del espacio-tiempo construye toda una teoría sobre el hecho de que todos los cuerpos caen igual.