Электрическое поле и потенциал

Начальный

Потрите воздушный шарик о волосы, и он приподнимет их на расстоянии нескольких сантиметров. Электрические заряды притягиваются и отталкиваются, не касаясь друг друга, а главное правило умещается в одну строку: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. С расстоянием сила быстро слабеет: разведите два заряда вдвое дальше, и она уменьшится в четыре раза.

Шаг 1: поле. Вместо того чтобы следить за каждым зарядом, говорят, что каждый заряд создаёт вокруг себя электрическое поле. В любой точке поле показывает, куда и с какой силой толкнуло бы маленький положительный «пробный» заряд, помещённый туда. Вокруг заряда «+» поле направлено наружу, вокруг заряда «−» — внутрь.

Шаг 2: силовые линии. Поле изображают линиями со стрелками. Они выходят из зарядов «+» и входят в заряды «−». Там, где линии сгущаются, поле толкает сильно; там, где они расходятся, — слабо.

Шаг 3: насколько сильно. Напряжённость поля — это сила, действующая на каждый кулон заряда; её измеряют в ньютонах на кулон (Н/Кл). В поле 100 Н/Кл на заряд в полкулона действует сила $0,5\times 100=50\mathrm{Н}$.

Шаг 4: напряжение. Электрический потенциал, который измеряют в вольтах, похож на высоту на склоне холма. Заряд «+» «скатывается» от высокого потенциала к низкому и разгоняется, как мяч, катящийся с горки. Разность в один вольт означает, что каждый кулон получает или теряет один джоуль энергии.

В анимации серые линии идут от заряда «+» к заряду «−» и сгущаются возле каждого из них. Маленький золотистый заряд, отпущенный возле «+», скользит вдоль средней линии всё быстрее и быстрее.

Проверьте себя: какая сила действует на заряд 0,005 Кл в поле 400 Н/Кл? (Ответ: 2 Н.)

Средний

Поле: сила на единицу заряда

Заряды притягиваются и отталкиваются через пустое пространство, как описано в уроке «Закон Кулона». Полевой подход делит это взаимодействие на два шага: заряды-источники создают вокруг себя электрическое поле $\vec{E}$, а заряд, помещённый в какую-либо точку, чувствует поле именно в ней.

Чтобы измерить поле, поместите в точку малый положительный пробный заряд $q$, измерьте действующую на него силу и разделите её на заряд:
$E=\frac{F}{q}$

Если удвоить $q$, сила тоже удвоится, поэтому это отношение принадлежит самой точке, и поле там есть, даже когда его ничем не проверяют. Единица напряжённости — ньютон на кулон (Н/Кл), и он равен вольту на метр (В/м). Перевернув формулу, получаем $\vec{F}=q\vec{E}$: поле толкает положительный заряд вдоль себя, а отрицательный — против. Пробный заряд в анимации, $q=+0,1\mathrm{нКл}$, в десять раз меньше неподвижных источников, $\pm 1\mathrm{нКл}$.

Точечные заряды и суперпозиция

Если закон Кулона разделить на пробный заряд, получится поле точечного заряда $Q$ на расстоянии $r$:
$E=\frac{kQ}{r^2}$
где $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{Н}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{К}{\mathrm{л}}^2$. Оно направлено от положительного $Q$ и к отрицательному.

Когда зарядов несколько, каждый создаёт своё поле так, будто остальных нет, а полное поле — это их векторная сумма. На серединном перпендикуляре к паре зарядов из анимации оба поля равны по модулю: одно направлено от заряда «+», другое — к заряду «−». Их составляющие поперёк оси компенсируются, а составляющие вдоль оси складываются, поэтому суммарное поле параллельно оси и направлено в сторону «−». Синие стрелки сетки показывают эти суммы; их длины сжаты, чтобы сильное поле возле зарядов поместилось на экране.

Потенциал: энергия на единицу заряда

Потенциал описывает то же поле, но не стрелкой, а одним числом в каждой точке. Чтобы переместить заряд против электрической силы, нужно совершить работу, и она запасается в виде потенциальной энергии $U$ — так же, как подъём камня запасает потенциальную энергию в поле тяжести. В расчёте на единицу заряда это даёт электрический потенциал $V=U/q$, он измеряется в вольтах: $1\mathrm{В}=1\mathrm{Дж}/\mathrm{Кл}$.

Когда заряд $q$ проходит разность потенциалов $\Delta V$, его потенциальная энергия меняется на $\Delta U=q\Delta V$, а поле совершает над ним работу $A_{\mathrm{поля}}=-\Delta U$. Положительный заряд, предоставленный самому себе, движется к меньшему потенциалу и разгоняется, как шар, катящийся с горки; электрон движется к большему потенциалу. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 В, приобретает один электронвольт: $1\mathrm{эВ}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$.

Если принять $V=0$ на бесконечности, потенциал точечного заряда равен $V=kQ/r$: квадрата нет, а $Q$ берётся со знаком, поэтому потенциалы нескольких зарядов складываются как числа со знаком. Поле направлено в сторону меньшего потенциала, а его модуль показывает, как быстро $V$ убывает на каждый метр. Между параллельными пластинами на расстоянии $d$ друг от друга поле однородно, $E=\Delta V/d$. Вот рабочие формулы этого уровня:

• $E=\frac{F}{q}$
• $E=\frac{kQ}{r^2}$
• $V=\frac{kQ}{r}$
• $\Delta U=q\Delta V=-A_{\mathrm{поля}}$
• $E=\frac{\Delta V}{d}\text{(однородное поле)}$

Пример: диполь из анимации

Заряды-источники $Q=\pm 1\mathrm{нКл}$ находятся на расстоянии 180 мм друг от друга, а пробный заряд $q=+0,1\mathrm{нКл}$ стартует из покоя в 20 мм от заряда «+». В середине отрезка каждый источник удалён на 0,090 м и даёт вклад
$\frac{kQ}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot 10^{-9}}{0,090^2}\approx 1,11\times 10^3\mathrm{В}/\mathrm{м}$

Оба вклада направлены к заряду «−», поэтому $E\approx 2,22\mathrm{кВ}/\mathrm{м}$ и $F=qE\approx 0,22\mathrm{мкН}$. В начале заряд «+», удалённый на 0,020 м, даёт 22,5 кВ/м, а заряд «−», удалённый на 0,160 м, добавляет 0,35 кВ/м, так что $E\approx 22,8\mathrm{кВ}/\mathrm{м}$ и $F\approx 2,28\mathrm{мкН}$ — в десять раз больше. Именно эти значения показывают индикаторы $E$ и $F$ в начале и на середине пути; зелёная стрелка силы длинная на обоих концах пути и короткая посередине.

В начале потенциал равен $V=kQ/0,020-kQ/0,160=449,5-56,2\approx 393\mathrm{В}$; по симметрии в конце он равен $-393\mathrm{В}$, а в середине — нулю. На этом перепаде в 786,6 В поле совершает работу $A=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{Дж}$ — это 78,7 нДж кинетической энергии на индикаторе $K$ экспертного слоя. Половина её набирается к середине, поэтому скорость там составляет $1/\sqrt{2}$ от конечной, около 71 %; стартуя из покоя, заряд добирается туда за 2,45 с из 4,0 с пути.

Пример: электрон между двумя пластинами

В электронной пушке электроны вытягиваются из отрицательной пластины к положительной. Возьмём пластины на расстоянии 1,0 см при напряжении 500 В; электрон стартует из покоя, а поле между пластинами однородно:
$E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{500}{0,010}=5,0\times 10^4\mathrm{В}/\mathrm{м}$

Сила $F=eE=1,602\times 10^{-19}\cdot 5,0\times 10^4\approx 8,0\times 10^{-15}\mathrm{Н}$ направлена против поля, к положительной пластине; вес электрона примерно в $10^{15}$ раз меньше. Пересекая зазор, электрон набирает 500 эВ, то есть $8,0\times 10^{-17}\mathrm{Дж}$, и при массе $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{кг}$ из равенства $\frac{1}{2}m{v}^2=e\Delta V$ получаем
$v=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8,0\times 10^{-17}}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 1,33\times 10^7\mathrm{м}/\mathrm{с}$

Это около 4,4 % скорости света. Ускорение постоянно, поэтому средняя скорость равна $v/2$, и пролёт занимает $t=2d/v\approx 1,5\mathrm{нс}$. В телевизионных кинескопах напряжение достигало примерно 25 кВ, и электроны разгонялись почти до трети скорости света.

Как читать карту поля

Силовая линия в каждой точке идёт вдоль $\vec{E}$, а её стрелка показывает, куда поле толкало бы положительный заряд. Линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных, и в анимации к заряду «−» подходит столько же линий, сколько выходит из заряда «+». Они никогда не пересекаются, потому что в каждой точке у поля одно направление, а там, где они сгущаются, возле зарядов, поле сильное.

Штриховые эквипотенциали экспертного слоя пересекают каждую силовую линию под прямым углом, потому что перемещение заряда вдоль эквипотенциали не требует работы; прямая посередине — это $V=0$.

Частые ошибки

• Силовые линии — не траектории: заряд, отпущенный вне оси, пересекает изогнутые линии, потому что по инерции не успевает поворачивать вместе с ними; золотистый заряд идёт по центральной линии только потому, что она прямая.
• Поле — не сила: в середине отрезка $E=2,2\mathrm{кВ}/\mathrm{м}$ для любого пробного заряда, а сила равна 0,22 мкН для заряда 0,1 нКл и 2,2 мкН для заряда 1 нКл.
• Потенциал убывает как $1/r$, а поле — как $1/r^2$: на расстоянии 10 см от заряда 4 нКл, если забыть про квадрат, получится 360 В/м вместо 3600 В/м.
• Нулевой потенциал — не нулевое поле: посередине между зарядами потенциалы $+99,9$ и $-99,9\mathrm{В}$ компенсируют друг друга, а поля складываются в 2,22 кВ/м.
• Отрицательный заряд поле толкает против своего направления, и скорость он набирает, двигаясь к большему потенциалу: электрон между пластинами приобретает 500 эВ, переходя от 0 В к +500 В.

Где это встречается

Электрические поля управляют электронами в электронных микроскопах и ионами в масс-спектрометрах, очищают от дыма газы из заводских труб и укладывают тонер на бумагу в лазерных принтерах. Сухой воздух пробивается при напряжённости около 3 МВ/м, поэтому искра перескакивает через зазор в 1 мм при напряжении около 3 кВ. У нервных клеток на мембране толщиной 7 нм поддерживается напряжение около 70 мВ, то есть порядка 10 МВ/м.

Дальше урок «Конденсаторы» показывает, как поле между двумя пластинами запасает энергию, урок «Электрический ток и сопротивление» — как поле гонит заряд по проводу, а урок «Цепи постоянного тока и закон Ома» — как напряжение поддерживает движение заряда по цепи. Та же математика, но для масс, которые только притягиваются, описывает тяготение в уроке «Тяготение и орбиты».

Продвинутый

Суперпозиция решает электростатику

В этом разделе дано единственное правило, которое определяет любое статическое поле. Всё остальное в уроке — либо короткий путь к нему, либо способ наглядно представить его результат. Когда заряды-источники неподвижны, достаточно двух фактов. Закон Кулона даёт поле одного заряда: оно направлено вдоль прямой, проходящей через заряд, а его модуль убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Принцип суперпозиции говорит, что поля нескольких зарядов просто складываются как векторы, причём каждый заряд действует так, будто других нет.

Обозначения

$Q_1$	Положительный заряд-источник.	$\mathrm{Кл}$
$Q_2$	Отрицательный заряд-источник, здесь $-Q_1$.	$\mathrm{Кл}$
$P$	Точка, в которой ищется поле.
$r_1$	Расстояние от $Q_1$ до $P$; здесь равно $r_2$.	$\mathrm{м}$
$r_2$	Расстояние от $Q_2$ до $P$; здесь равно $r_1$.	$\mathrm{м}$
${\vec{E}}_1$	Поле одного лишь заряда $Q_1$ в точке $P$, направленное от $Q_1$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
${\vec{E}}_2$	Поле одного лишь заряда $Q_2$ в точке $P$, направленное к $Q_2$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
$\vec{E}$	Полное поле в точке $P$: векторная сумма ${\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$

На рисунке 1 складываются два поля в точке $P$. Положительный заряд $Q_1$ отталкивал бы положительный пробный заряд, поэтому его поле ${\vec{E}}_1$ направлено от $Q_1$ через $P$ и дальше. Отрицательный заряд $Q_2$ притягивал бы пробный заряд, поэтому его поле ${\vec{E}}_2$ направлено из $P$ к $Q_2$. Длина каждой стрелки равна $k|Q_i|/r_i^2$, где $r_i$ — расстояние от заряда $Q_i$ до $P$, а $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{Н}{\mathrm{м}}^2/\mathrm{К}{\mathrm{л}}^2$ — постоянная Кулона.

Теперь посмотрите, где расположена точка $P$: на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды. Поэтому $r_1=r_2$, и обе стрелки одинаковой длины. Их составляющие, перпендикулярные прямой, на которой лежат заряды, равны по модулю и противоположны по направлению, так что они компенсируются. Остаётся сумма $\vec{E}$ — диагональ штрихового параллелограмма, — и она параллельна направлению от положительного заряда к отрицательному.

Чтобы записать ту же сумму для любого числа зарядов, поместим заряд $Q_i$ в точку с радиус-вектором ${\vec{r}}_i$ и найдём поле в точке $\vec{r}$. Вектор от заряда к этой точке равен $\vec{r}-{\vec{r}}_i$, его длина — $r_i$. Если разделить его на $r_i^3$, получится единичный вектор, делённый на $r_i^2$: модуль по закону обратных квадратов, уже направленный как нужно. Суммируя по всем зарядам, получаем
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_i\frac{k{Q}_i(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}$

Заряд, распределённый с плотностью $\rho$ (в кулонах на кубический метр), разбивается на малые кусочки с зарядом $\rho d^{3}s$ в точках $\vec{s}$, и сумма превращается в интеграл:
$\vec{E}(\vec{r})=k\int \frac{\rho (\vec{s})(\vec{r}-\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}{|}^3}{d}^{3}s$

В принципе, больше ничего не нужно. Анимация строит силовые линии именно по этой сумме из двух слагаемых. Потенциал, силовые линии и теорема Гаусса, о которых речь пойдёт дальше, приводят к тому же ответу с меньшей работой или позволяют увидеть его форму с первого взгляда.

Потенциал: работа, не зависящая от пути

Складывать векторы в каждой точке трудно. Куда легче было бы складывать одно число в каждой точке — потенциал. Такое число существует, только если работа поля между двумя точками одинакова при любом пути. В этом разделе показано, что так и есть.

Обозначения

$Q$	Точечный заряд, создающий поле.	$\mathrm{Кл}$
$a$	Начало обоих путей.
$b$	Конец обоих путей.
$r_a$	Расстояние от $Q$ до $a$.	$\mathrm{м}$
$r_b$	Расстояние от $Q$ до $b$.	$\mathrm{м}$
$d\vec{l}$	Малый шаг вдоль пути 1: его длина и направление.	$\mathrm{м}$
$dr$	Изменение расстояния до $Q$ за этот шаг: расстояние между штриховыми дугами.	$\mathrm{м}$
$\vec{E}$	Поле в начале шага, направленное прямо от $Q$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$

На рисунке 2 показаны точечный заряд $Q$ и два пути из точки $a$ в точку $b$. Будем перемещать пробный заряд по пути малыми шагами $d\vec{l}$. На каждом шаге поле совершает над зарядом $q$ работу $q\vec{E}\cdot d\vec{l}$, поэтому работа на единицу заряда от $a$ до $b$ — это линейный интеграл ${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$, то есть сумма $\vec{E}\cdot d\vec{l}$ по всем шагам.

Посмотрите на шаг, нарисованный на пути 1. Поле $\vec{E}$ в его начале направлено прямо от $Q$, поэтому скалярное произведение учитывает только часть шага вдоль радиуса. Эта часть равна $dr$ — расстоянию между двумя штриховыми дугами с центром в $Q$, то есть тому, насколько шаг изменяет расстояние до $Q$. Движение вбок, вдоль дуги, вообще не требует работы. Следовательно,
$\vec{E}\cdot d\vec{l}=Edr=\frac{kQ}{r^2}dr$
Складывая шаги от расстояния $r_a$ до расстояния $r_b$, получаем
${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{kQ}{r^2}dr=kQ\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
Результат зависит от конечных расстояний $r_a$ и $r_b$ и больше ни от чего. Путь 2 длиннее и уходит далеко выше пути 1, но между $r_a$ и $r_b$ он пересекает то же самое семейство окружностей с центром в $Q$, поэтому набирает ровно ту же сумму.

Всякая статическая система зарядов — это сумма точечных зарядов. Каждое слагаемое этой суммы не зависит от пути, значит, не зависит от него и всё поле. Поэтому, если уйти по одному пути и вернуться по другому, работа по замкнутому контуру равна нулю:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$
Если бы это нарушалось, заряд, пущенный по контуру в выгодную сторону, получал бы энергию на каждом круге от зарядов, которые никогда не меняются: получился бы вечный двигатель.

Поскольку путь не важен, каждой точке можно приписать одно число — электрический потенциал $V$, измеряемый в вольтах (джоулях на кулон). Его изменение от $a$ до $b$ определяется так:
$\Delta V=V_b-V_a=-{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
Знак минус нужен, чтобы $V$ убывал в направлении поля. Положительный заряд, движущийся по полю, теряет потенциальную энергию $qV$ и приобретает столько же кинетической. Примем $V=0$ на бесконечности и обозначим через $s$ расстояние до $Q$ под знаком интеграла; тогда точечный заряд даёт
$V(r)=-{\int }_{\infty }^r\frac{kQ}{s^2}ds=\frac{kQ}{r}$

Если прочесть это в обратную сторону, поле равно минус градиенту потенциала. Оно направлено туда, где $V$ убывает быстрее всего, а его модуль равен числу вольт, на которое $V$ убывает на метр в этом направлении. Закон сохранения энергии для заряда $q$ с кинетической энергией $K$ тогда умещается в одну строку:
$\vec{E}=-\nabla V,K+qV=\mathrm{const}$

Пример из анимации. Её заряды-источники равны +1 нКл и −1 нКл и находятся на расстоянии 180 мм друг от друга. Золотистый пробный заряд $q=10^{-10}\mathrm{Кл}$ стартует из покоя в 20 мм от заряда «+», где $V=kQ(1/0,02-1/0,16)\approx +393\mathrm{В}$ (расстояния в метрах). Он заканчивает путь в симметричной точке, в 20 мм от заряда «−», где $V\approx -393\mathrm{В}$. Поэтому в конце у него
$K=q(V_a-V_b)=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{Дж}$
то есть те самые 78,7 нДж на индикаторе $K$. Если провести заряд между теми же двумя точками по любому другому пути, например по жёлобу без трения, он придёт с той же энергией.

Поток через поверхность и теорема Гаусса

Теорема Гаусса связывает поле на замкнутой поверхности с зарядом внутри неё. Там, где есть симметрия, она даёт поле одной строкой, вообще без суммирования. Идея начинается с силовых линий. Из точечного заряда выходит фиксированное число линий, и каждая из них пересекает каждую сферу вокруг него. Площадь сферы растёт как $4\pi r^2$, поэтому число линий на квадратный метр убывает как $1/r^2$, в точности как поле: густота линий верно изображает модуль поля. Чтобы превратить «число линий сквозь поверхность» в величину, пригодную для поверхности любой формы, разобьём поверхность на малые площадки.

Обозначения

$S$	Замкнутая поверхность вокруг заряда; её форма может быть любой.
$Q$	Заряд внутри $S$: то самое $Q_{\mathrm{внутр}}$ из теоремы Гаусса.	$\mathrm{Кл}$
$dA$	Площадь одной малой площадки поверхности $S$.	${\mathrm{м}}^2$
$d\vec{A}$	Площадка как вектор: длина $dA$, направление наружу от $S$ перпендикулярно площадке.	${\mathrm{м}}^2$
$\vec{E}$	Поле заряда $Q$ на площадке.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
$\theta$	Угол между $\vec{E}$ и $d\vec{A}$.	$\mathrm{рад}$

На рисунке 3 показана замкнутая поверхность $S$ вокруг заряда $Q$ и одна малая площадка в увеличенном виде. Площадь площадки равна $dA$. Чтобы учесть, куда она обращена, сделаем из неё вектор $d\vec{A}$: длиной $dA$, направленный наружу от $S$ перпендикулярно площадке. Поток через площадку, то есть количество поля, которое её пересекает, равен
$d\Phi =\vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA\cos \theta$
где $\theta$ — угол между полем $\vec{E}$ и $d\vec{A}$. Считается только та часть поля, которая проходит сквозь площадку. Площадка, обращённая к заряду прямо ($\theta =0$), ловит больше всего линий; наклонённая на угол $\theta$, она ловит меньше — в $\cos \theta$ раз; площадку, вдоль которой поле лишь скользит ($\theta =90^{\circ }$), линии не пересекают вовсе. Сложив потоки всех площадок поверхности $S$, получаем теорему Гаусса:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\mathrm{внутр}}}{{\epsilon }_0}$
Здесь $Q_{\mathrm{внутр}}$ — полный заряд внутри $S$, а ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$ — электрическая постоянная, связанная с постоянной Кулона соотношением $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$.

Почему форма $S$ не имеет значения. Телесный угол относится к сфере так же, как обычный угол к окружности, а вся сфера вокруг точки составляет $4\pi$. Из точки $Q$ площадка на расстоянии $r$ занимает малый телесный угол $d\Omega =dA\cos \theta /r^2$: площадь её проекции на плоскость, перпендикулярную направлению на $Q$, делённая на $r^2$. Поэтому её поток равен
$EdA\cos \theta =\frac{kQ}{r^2}dA\cos \theta =kQd\Omega$
Множитель $r^2$ в видимых размерах площадки сокращается с $1/r^2$ в выражении для поля, поэтому маленькая близкая площадка и большая далёкая, занимающие один и тот же телесный угол, несут один и тот же поток. Телесные углы замкнутой поверхности вокруг $Q$ в сумме дают $4\pi$, поэтому полный поток равен $4\pi kQ=Q/{\epsilon }_0$, как бы ни была бугриста поверхность $S$. Заряд вне $S$ посылает каждую свою линию внутрь через одну площадку и наружу через другую, давая столько же отрицательного потока, сколько положительного. Поэтому важен только заряд внутри.

Для заряда +1 нКл из анимации поток через любую замкнутую поверхность вокруг него равен $10^{-9}/(8,85\times 10^{-12})\approx 113\mathrm{В}\mathrm{м}$. Через поверхность, охватывающую оба заряда, суммарный поток равен нулю: каждая линия, вышедшая наружу, возвращается внутрь.

Отсюда следуют два вывода. Если стягивать поверхность вокруг одной точки, теорема Гаусса превращается в утверждение об этой точке, $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$: силовые линии начинаются и заканчиваются только там, где есть заряд. А при наличии симметрии теорема Гаусса даёт поля почти даром. Равномерно заряженная сфера снаружи действует как точечный заряд в её центре. Большая плоскость с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ (в кулонах на квадратный метр) направляет поле прямо наружу в обе стороны; плоская коробка с площадью каждого основания $A$, пересекающая плоскость, имеет поток $2EA$ и охватывает заряд $\sigma A$, поэтому с каждой стороны $E=\sigma /(2{\epsilon }_0)$.

Эквипотенциали и график V(x)

Эквипотенциаль — поверхность, на которой $V$ имеет одно и то же значение во всех точках. Перемещение заряда по ней не требует работы, а расстояние между соседними эквипотенциалями измеряет поле. Карта эквипотенциалей поэтому несёт ту же информацию, что и силовые линии, зачастую в более удобном для чтения виде.

В экспертном слое анимации фиолетовые штриховые кривые — это эквипотенциали при $\pm 400$, $\pm 150$ и $\pm 50\mathrm{В}$, а прямая штриховая линия посередине между зарядами — это $V=0$. Они пересекают каждую силовую линию под прямым углом. Причина такая: $-\nabla V$ направлен туда, куда $V$ убывает быстрее всего, а это прямо поперёк поверхности, на которой $V$ вообще не меняется. Золотистый заряд стартует при потенциале 393 В, чуть снаружи кривой 400 В, которая пересекает ось в 19,7 мм от заряда «+».

Частое расположение эквипотенциалей означает сильное поле, потому что $V$ меняется на ту же величину на меньшем расстоянии. Кривая +50 В пересекает ось в 21,3 мм от средней линии, где $V=0$, поэтому среднее поле на этом промежутке равно $50/0,0213\approx 2,35\mathrm{кВ}/\mathrm{м}$. Это немного больше, чем 2,22 кВ/м в самой середине, потому что при приближении к заряду поле растёт.

График $V(x)$ показывает то же самое вдоль оси, проходящей через заряды. Его наклон равен $-E_x$ — минус проекция поля на ось: около $-2,2$ В на миллиметр в середине и в десять раз круче там, где начинается путь. Вне пары $V(x)$ растёт с ростом $x$ по обе стороны, поэтому там $E_x<0$: слева от заряда «+» поле направлено от него, справа от заряда «−» — к нему, и оба направления — влево. Золотистая точка скатывается по кривой, пока её потенциальная энергия $U=qV$ превращается в кинетическую $K$.

Уравнение Лапласа: устойчивого равновесия нет

Объединив два предыдущих результата, получаем одно уравнение для одного лишь $V$. Одно из свойств этого уравнения запрещает любую устойчивую ловушку из неподвижных зарядов.

Подставим $\vec{E}=-\nabla V$ в $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$. Получится уравнение Пуассона, ${\nabla }^{2}V=-\rho /{\epsilon }_0$, а в пустом пространстве, где $\rho =0$, — уравнение Лапласа, ${\nabla }^{2}V=0$. Лапласиан ${\nabla }^{2}V$ показывает, насколько среднее значение $V$ по малой сфере вокруг точки превышает значение в центре. В пустом пространстве он равен нулю, поэтому $V$ в каждой точке равно своему среднему по любой малой сфере вокруг неё.

Значение, равное среднему по окружению, не может быть ни больше всех окружающих значений, ни меньше их всех. Поэтому в пустом пространстве у $V$ нет ни максимума, ни минимума, а есть только седловые точки. Чтобы положительный заряд покоился в устойчивом равновесии, ему был бы нужен минимум $V$, поэтому никакая система неподвижных зарядов не может удерживать заряд в устойчивом равновесии (теорема Ирншоу). Например, посередине между двумя одинаковыми положительными зарядами $E=0$, но положительный пробный заряд возвращается назад только вдоль прямой, соединяющей заряды, а в стороны его выталкивает. Устойчивостью атомы обязаны другому: квантовой механике.

Проводники и поле конденсатора

В проводнике часть зарядов свободно перемещается. Одного этого факта достаточно, чтобы определить поле внутри каждого проводника и сразу снаружи него, и он же объясняет однородное поле конденсатора.

Свободные заряды движутся, пока на них действует хоть какое-то поле, поэтому останавливаются они, только когда поле внутри металла становится равным нулю. Значит, проводник в равновесии — единая эквипотенциаль. Любая замкнутая поверхность внутри металла имеет нулевой поток, поэтому по теореме Гаусса она не охватывает заряда: избыточный заряд находится на поверхности. Сразу снаружи поле перпендикулярно поверхности, так как составляющая вдоль поверхности привела бы поверхностные заряды в движение. Малая плоская коробка, пересекающая поверхность, имеет поток только через внешнее основание, и это даёт модуль поля, $E=\sigma /{\epsilon }_0$, где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда (заряд на квадратный метр).

Две параллельные пластины с зарядами $+\sigma$ и $-\sigma$ создают каждая поле плоскости $\sigma /(2{\epsilon }_0)$. Между пластинами оба поля направлены одинаково и складываются; снаружи они направлены противоположно и компенсируются. Получается однородное поле конденсатора, $E=\sigma /{\epsilon }_0=\Delta V/d$ для пластин, расположенных на расстоянии $d$ друг от друга.

Диполь издалека

Диполь — это пара равных по модулю и противоположных по знаку зарядов, источник, часто встречающийся в природе: многие молекулы — диполи. Вдали от него два потенциала почти компенсируют друг друга, а то, что остаётся, подчиняется собственному простому закону.

Обозначения

$Q$	Модуль каждого из двух зарядов, $+Q$ и $-Q$.	$\mathrm{Кл}$
$d$	Расстояние между зарядами.	$\mathrm{м}$
$\vec{p}$	Дипольный момент: модуль $p=Qd$, направлен от $-Q$ к $+Q$.	$\mathrm{Кл}\cdot \mathrm{м}$
$P$	Точка, в которой ищется потенциал.
$r$	Расстояние от центра диполя до $P$.	$\mathrm{м}$
$\theta$	Угол между $\vec{p}$ и прямой от центра к $P$.	$\mathrm{рад}$
$r_{+}$	Расстояние от $+Q$ до $P$.	$\mathrm{м}$
$r_{-}$	Расстояние от $-Q$ до $P$.	$\mathrm{м}$
$d\cos \theta$	На сколько $P$ дальше от $-Q$, чем от $+Q$, когда $P$ далеко: часть $d$, направленная к $P$.	$\mathrm{м}$

На рисунке 4 задана геометрия. Заряды $+Q$ и $-Q$ находятся на расстоянии $d$ друг от друга. Дипольный момент $\vec{p}$ имеет модуль $p=Qd$ и направлен от $-Q$ к $+Q$. Точка $P$ находится на расстоянии $r$ от центра пары в направлении, составляющем угол $\theta$ с $\vec{p}$, и на расстояниях $r_{+}$ и $r_{-}$ от двух зарядов. Складывая потенциалы двух точечных зарядов, получаем
$V=kQ\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right)=kQ\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{+}{r}_{-}}$

Теперь всё зависит от малой разности $r_{-}-r_{+}$. Когда $P$ далеко по сравнению с $d$, прямые от двух зарядов к $P$ почти параллельны. Штриховой перпендикуляр, опущенный из $+Q$, встречает прямую от $-Q$ к $P$; от этого основания до $P$ остаётся расстояние, почти точно равное $r_{+}$. Значит, $r_{-}$ больше $r_{+}$ на толстый отрезок от $-Q$ до основания, обозначенный $d\cos \theta$: ту часть расстояния $d$, которая направлена к $P$. В знаменателе два расстояния почти не отличаются, поэтому $r_{+}{r}_{-}\approx r^2$. Следовательно,
$V\approx \frac{kQd\cos \theta }{r^2}=\frac{kp\cos \theta }{r^2}$

Поскольку два вклада почти компенсируются, потенциал убывает как $1/r^2$, а не как $1/r$, а поле, его градиент, — как $1/r^3$. На заданном расстоянии $V$ наибольший вдоль $\vec{p}$ ($\theta =0$), равен нулю на плоскости, проходящей через центр перпендикулярно $\vec{p}$ ($\theta =90^{\circ }$), и отрицателен со стороны отрицательного заряда.

Проверка на паре из анимации: $p=10^{-9}\cdot 0,18=1,8\times 10^{-10}\mathrm{Кл}\mathrm{м}$. На расстоянии 1 м вдоль оси формула даёт 1,62 В против точного значения $kQ(1/0,91-1/1,09)\approx 1,63\mathrm{В}$. Относительная погрешность составляет около $d^2/(4r^2)$, здесь 0,8 %, поэтому приближение хорошо уже на расстоянии чуть больше пяти расстояний между зарядами.

Задача: протон и электрон

Закон сохранения энергии вместе с найденными выше потенциалами даёт скорости без решения какого-либо уравнения движения. Сравнение двух частиц показывает затем, что зависит от массы, а что нет.

Заменим золотистый заряд протоном с зарядом $e$ и массой $m_p$, отпущенным из покоя в той же точке, в 20 мм от заряда «+». Какова его скорость в середине пути и в конце, в 20 мм от заряда «−»? До середины, где $V=0$, потенциал убывает на 393,3 В, а до конца — на 786,6 В. Один электронвольт (эВ), $1,602\times 10^{-19}\mathrm{Дж}$, — это энергия, которую приобретает заряд $e$, пройдя разность потенциалов в один вольт, поэтому
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_1^2=e\cdot 393,3\mathrm{В}=393\mathrm{эВ},v_1\approx 2,74\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_2^2=e\cdot 786,6\mathrm{В}=787\mathrm{эВ},v_2\approx 3,88\times 10^5\mathrm{м}/\mathrm{с}$
Вдвое большая энергия даёт скорость в $\sqrt{2}$ раз больше.

Теперь отпустим из покоя электрон с зарядом $-e$ и массой $m_e$ в дальней точке. Сила $-e\vec{E}$, действующая на него, направлена против поля, поэтому его тянет обратно к заряду «+», вверх по потенциалу. Система симметрична, а потенциальная энергия электрона $-eV$ зеркальна энергии протона, поэтому он проходит тот же путь в обратном направлении и приобретает те же 787 эВ, или $1,26\times 10^{-16}\mathrm{Дж}$. Его масса в 1836 раз меньше, поэтому скорость в $\sqrt{1836}\approx 42,8$ раза больше: $1,66\times 10^7\mathrm{м}/\mathrm{с}$, или 5,5 % скорости света. Размер любой релятивистской поправки задаётся отношением кинетической энергии к энергии покоя, $K/(m_e{c}^2)=787/511000\approx 0,15\%$, и скорость из-за неё уменьшается всего примерно на 0,1 %.

Энергия даёт скорости, но не времена. Для времён нужно уравнение движения вдоль оси, $m\ddot{x}=qE(x)$. После деления на $m$ оно зависит от частицы только через $q/m$. Поэтому все частицы с зарядом того же знака, отпущенные из покоя в одной точке, идут по одному и тому же пути, а если $q/m$ больше в некоторое число раз, всё движение происходит быстрее в корень из этого числа раз: все времена масштабируются как $\sqrt{m/q}$. Заряду из анимации придана масса около 49 мг, чтобы его путь занимал 4,0 с. У протона $q/m$ больше в $4,7\times 10^{13}$ раз, поэтому он проходит путь за $4,0\mathrm{с}/\sqrt{4,7\times 10^{13}}\approx 0,58\mathrm{мкс}$. Электрон, быстрее ещё в 42,8 раза, тратит на путь 13,6 нс.

Границы применимости

Все результаты выше опираются на допущения. Знание того, где они перестают работать, подсказывает, когда нужна более общая теория.

Неподвижные источники. Электростатика предполагает, что заряды остаются на месте. Известие об изменении одного заряда доходит до другого лишь через время распространения света — 0,6 нс на 180 мм в анимации, — поэтому мгновенная кулоновская сумма работает только для зарядов, которые движутся медленно по сравнению со светом. Когда магнитные поля меняются, закон Фарадея даёт $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}\ne 0$: работа по замкнутому контуру больше не равна нулю, и поле перестаёт быть чистым градиентом. Оно принимает вид $\vec{E}=-\nabla V-\partial \vec{A}/\partial t$, где $\vec{A}$ — векторный потенциал магнитного поля.

Точечные заряды. Закон обратных квадратов — один из самых точно проверенных в физике: показатель степени равен 2 с точностью около $10^{-15}$. Но точечный заряд — идеализация: энергия его поля, $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ на кубический метр, вблизи настоящей точки в сумме бесконечна. На очень малых расстояниях проявляются квантовые эффекты. Ближе, чем примерно $4\times 10^{-13}\mathrm{м}$ (приведённая комптоновская длина волны электрона), зонд оказывается внутри облака квантовых флуктуаций вакуума, которое частично экранирует любой заряд. Тогда он «видит» бо́льшую часть заряда, поэтому сила растёт чуть быстрее, чем $1/r^2$, и это измеримо сдвигает энергетические уровни водорода. Внутри атома водорода поле составляет около $5\times 10^{11}\mathrm{В}/\mathrm{м}$; электрон там необходимо описывать квантовой механикой, хотя по-прежнему в кулоновском потенциале.

Вещество и сильные поля. В веществе поле свободного заряда уменьшается в число раз, равное относительной диэлектрической проницаемости, — около 80 для воды. У изоляторов тоже есть пределы: сухой воздух пробивается и искрит при напряжённости около 3 МВ/м, а даже пустое пространство начало бы рождать электрон-позитронные пары при $1,3\times 10^{18}\mathrm{В}/\mathrm{м}$.

Что дальше

В уроке «Конденсаторы» $E=\sigma /{\epsilon }_0$ и энергия $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ на кубический метр описывают поле между пластинами, а в уроках «Электрический ток и сопротивление» и «Цепи постоянного тока и закон Ома» заряды движутся сквозь вещество под действием разности потенциалов. Урок «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» добавляет к $q\vec{E}$ слагаемое $q\vec{v}\times \vec{B}$, а урок «Специальная теория относительности» показывает, что два поля — части одного: то, что один наблюдатель называет чисто электрическим полем, другой видит отчасти как магнитное. В уроке «Электромагнитная индукция» равенство $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$ перестаёт выполняться, а в уроке «Электромагнитные волны» поля распространяются сами по себе со скоростью $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$. Тот же потенциал $1/r$ описывает тяготение в уроке «Тяготение и орбиты» и удерживает электрон в уроке «Модели атома: атом Бора», где энергия связи водорода равна 13,6 эВ.