Campo y potencial eléctricos

Principiante

Frota un globo contra tu pelo y podrá levantarlo desde unos centímetros de distancia. Las cargas eléctricas se empujan y se atraen sin tocarse, y la regla básica cabe en una línea: cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen. Además, la fuerza se debilita deprisa con la distancia: si separas dos cargas el doble, baja a la cuarta parte.

Paso 1: el campo. En lugar de seguir cada carga, decimos que cada carga llena el espacio que la rodea con un campo eléctrico. En cualquier punto, el campo indica hacia dónde, y con cuánta fuerza, sería empujada una pequeña carga «de prueba» positiva colocada allí. Alrededor de una carga + el campo apunta hacia fuera; alrededor de una carga −, hacia dentro.

Paso 2: las líneas de campo. Dibujamos el campo con líneas con flechas. Salen de las cargas + y llegan a las cargas −. Donde las líneas se apiñan, el empuje es fuerte; donde se separan, es débil.

Paso 3: cuánta fuerza. La intensidad del campo es la fuerza sobre cada culombio de carga, en newtons por culombio (N/C). En un campo de 100 N/C, una carga de medio culombio siente $0,5\times 100=50\mathrm{N}$.

Paso 4: el voltaje. El potencial eléctrico, que se mide en voltios, funciona como la altura en una colina. Una carga + «cae» del voltaje alto al bajo y gana velocidad, como una pelota que rueda cuesta abajo. Una diferencia de un voltio significa que cada culombio gana o pierde un julio de energía.

En la animación, unas líneas grises van de la carga + a la carga − y se apiñan cerca de cada una. La pequeña carga dorada, soltada cerca de la +, se desliza por la línea central cada vez más rápido.

Ponte a prueba: en un campo de 400 N/C, ¿qué fuerza actúa sobre una carga de 0,005 C? (Respuesta: 2 N.)

Intermedio

El campo: fuerza por unidad de carga

Las cargas se repelen y se atraen a través del espacio vacío, como describe la lección Ley de Coulomb. La imagen del campo divide esto en dos pasos: las cargas fuente crean un campo eléctrico $\vec{E}$ en todo el espacio a su alrededor, y una carga colocada en un punto siente el campo que hay justo allí.

Para medir el campo, coloca en el punto una pequeña carga de prueba positiva $q$, mide la fuerza que actúa sobre ella y divide:
$E=\frac{F}{q}$

Si duplicas $q$, se duplica la fuerza, así que el cociente pertenece al punto, y el campo está ahí aunque nada lo explore. Su unidad es el newton por culombio, que equivale al voltio por metro. Despejando la fuerza, $\vec{F}=q\vec{E}$: una carga positiva es empujada en el sentido del campo, y una negativa en el contrario. La carga de prueba de la animación, $q=+0,1\mathrm{nC}$, es diez veces menor que las fuentes fijas, de $\pm 1\mathrm{nC}$.

Cargas puntuales y superposición

Al dividir la ley de Coulomb entre la carga de prueba se obtiene el campo de una carga puntual $Q$ a una distancia $r$:
$E=\frac{kQ}{r^2}$
con $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Apunta alejándose de una $Q$ positiva y hacia una negativa.

Con varias cargas, cada una produce su propio campo como si las demás no estuvieran, y el total es la suma vectorial. En la mediatriz del par de cargas de la animación, los dos campos son igual de intensos, uno alejándose de la carga + y otro acercándose a la carga −. Sus componentes perpendiculares al eje se anulan y las componentes a lo largo del eje se suman, así que el total es paralelo al eje, hacia el lado −. Las flechas azules de la cuadrícula muestran estas sumas, con sus longitudes comprimidas para que quepa el campo intenso cercano a las cargas.

Potencial: energía por unidad de carga

El potencial describe el mismo campo con un número por punto en lugar de una flecha. Mover una carga en contra de la fuerza eléctrica exige trabajo, que queda almacenado como energía potencial eléctrica $U$, igual que levantar una piedra almacena energía potencial gravitatoria. Por unidad de carga, esto se convierte en el potencial eléctrico $V=U/q$, que se mide en voltios: $1\mathrm{V}=1J/C$.

Cuando una carga $q$ atraviesa una diferencia de potencial $\Delta V$, su energía potencial cambia en $\Delta U=q\Delta V$, y el campo realiza sobre ella un trabajo $W_{\mathrm{campo}}=-\Delta U$. Una carga positiva abandonada a sí misma se mueve hacia potenciales más bajos y gana rapidez, como una bola que rueda cuesta abajo; un electrón se mueve hacia potenciales más altos. Un electrón acelerado por 1 V gana un electronvoltio, $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$.

Con $V=0$ muy lejos, una carga puntual tiene $V=kQ/r$: sin cuadrado y con $Q$ conservando su signo, de modo que los potenciales de varias cargas se suman como números con signo. El campo apunta hacia potenciales más bajos, y su intensidad es lo deprisa que cae $V$ por metro. Entre placas paralelas separadas una distancia $d$, el campo es uniforme, $E=\Delta V/d$. Estas son las ecuaciones de trabajo de este nivel:

• $E=\frac{F}{q}$
• $E=\frac{kQ}{r^2}$
• $V=\frac{kQ}{r}$
• $\Delta U=q\Delta V=-W_{\mathrm{campo}}$
• $E=\frac{\Delta V}{d}\text{(campo uniforme)}$

Ejemplo resuelto: el dipolo de la animación

Las cargas fuente $Q=\pm 1\mathrm{nC}$ están separadas 180 mm, y la carga de prueba $q=+0,1\mathrm{nC}$ parte del reposo a 20 mm de la carga +. En el punto medio, cada fuente está a 0,090 m y aporta
$\frac{kQ}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot 10^{-9}}{0,090^2}\approx 1,11\times 10^{3}V/m$

Las dos aportaciones apuntan hacia la carga −, así que $E\approx 2,22kV/m$ y $F=qE\approx 0,22\mu \mathrm{N}$. Al principio, la carga +, a 0,020 m, da 22,5 kV/m y la carga −, a 0,160 m, suma otros 0,35 kV/m, de modo que $E\approx 22,8kV/m$ y $F\approx 2,28\mu \mathrm{N}$, diez veces más. Son las lecturas de $E$ y $F$ al principio y a mitad del trayecto, y la flecha verde de la fuerza es larga en los dos extremos del recorrido y corta en el medio.

Al principio, el potencial es $V=kQ/0,020-kQ/0,160=449,5-56,2\approx 393\mathrm{V}$; por simetría vale $-393\mathrm{V}$ al final y cero en el punto medio. En esta caída de 786,6 V, el campo realiza un trabajo $W=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$, los 78,7 nJ de energía cinética que marca la lectura de $K$ en la vista experta. La mitad se gana al llegar al punto medio, de modo que allí la rapidez es $1/\sqrt{2}$, cerca del 71 %, de la rapidez final; partiendo del reposo, la carga tarda 2,45 s de su recorrido de 4,0 s en llegar.

Ejemplo resuelto: un electrón entre dos placas

En un cañón de electrones, los electrones son acelerados desde una placa negativa hacia otra positiva. Toma placas separadas 1,0 cm con 500 V entre ellas y un electrón que parte del reposo; el campo entre ellas es uniforme:
$E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{500}{0,010}=5,0\times 10^{4}V/m$

La fuerza, $F=eE=1,602\times 10^{-19}\cdot 5,0\times 10^4\approx 8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$, apunta en contra del campo, hacia la placa positiva; el peso del electrón es unas $10^{15}$ veces menor. Al cruzar el espacio entre las placas gana 500 eV, es decir, $8,0\times 10^{-17}\mathrm{J}$, y con su masa $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$, $\frac{1}{2}m{v}^2=e\Delta V$ da
$v=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8,0\times 10^{-17}}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 1,33\times 10^{7}m/s$

Es cerca del 4,4 % de la velocidad de la luz. La aceleración es constante, así que la rapidez media es $v/2$ y el cruce dura $t=2d/v\approx 1,5\mathrm{ns}$. Los tubos de los televisores antiguos usaban unos 25 kV, suficientes para casi un tercio de la velocidad de la luz.

Cómo leer el mapa del campo

Una línea de campo va a lo largo de $\vec{E}$ en cada punto, y su flecha muestra hacia dónde sería empujada una carga positiva. Las líneas nacen en las cargas positivas y acaban en las negativas, y en la animación llegan a la carga − tantas como salen de la carga +. No se cruzan nunca, porque el campo tiene una sola dirección en cada punto, y donde se apiñan, cerca de las cargas, el campo es intenso.

Las equipotenciales discontinuas de la vista experta cortan cada línea de campo en ángulo recto, ya que mover una carga a lo largo de una de ellas no cuesta trabajo; la recta del medio es $V=0$.

Errores frecuentes

• Las líneas de campo no son trayectorias: una carga soltada fuera del eje corta las líneas curvas, porque su inercia le impide girar con ellas; la carga dorada sigue la línea central solo porque esa línea es recta.
• El campo no es la fuerza: en el punto medio $E=2,2kV/m$ para cualquier carga de prueba, pero la fuerza es de 0,22 µN sobre 0,1 nC y de 2,2 µN sobre 1 nC.
• El potencial cae como $1/r$ y el campo como $1/r^2$: a 10 cm de 4 nC, olvidar el cuadrado da 360 V/m en lugar de 3600 V/m.
• Potencial cero no significa campo cero: a medio camino entre las cargas, los potenciales $+99,9$ y $-99,9\mathrm{V}$ se anulan, mientras que los campos suman 2,22 kV/m.
• Una carga negativa es empujada en contra del campo y gana rapidez al ir hacia potenciales más altos: el electrón entre las placas gana 500 eV al ir de 0 V a +500 V.

Dónde aparece

Los campos eléctricos guían a los electrones en los microscopios electrónicos y a los iones en los espectrómetros de masas, depuran el humo de los gases de las chimeneas y colocan el tóner en las impresoras láser. El aire seco deja de aislar a unos 3 MV/m, así que una chispa salta un hueco de 1 mm a unos 3 kV. Las células nerviosas mantienen unos 70 mV a lo largo de una membrana de 7 nm de grosor, es decir, unos 10 MV/m.

A continuación, Condensadores muestra cómo el campo entre dos placas almacena energía; Corriente eléctrica y resistencia, cómo un campo empuja la carga por un cable; y Circuitos de corriente continua y ley de Ohm, cómo un voltaje mantiene la carga en movimiento alrededor de un circuito. Las mismas matemáticas, para masas que solo se atraen, gobiernan Gravitación y órbitas.

Avanzado

La superposición resuelve la electrostática

Esta sección da la regla única que fija todo campo estático. Lo demás de la lección es un atajo hacia ella o una forma de imaginar su resultado. Cuando las cargas fuente permanecen quietas, bastan dos hechos. La ley de Coulomb da el campo de una sola carga: apunta a lo largo de la recta que pasa por la carga, y su módulo cae como el inverso del cuadrado de la distancia. El principio de superposición dice que los campos de varias cargas se suman simplemente como vectores, y que cada carga actúa como si las demás no estuvieran.

Leyenda

$Q_1$	Carga fuente positiva.	$\mathrm{C}$
$Q_2$	Carga fuente negativa, aquí $-Q_1$.	$\mathrm{C}$
$P$	Punto donde se calcula el campo.
$r_1$	Distancia de $Q_1$ a $P$; aquí igual a $r_2$.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distancia de $Q_2$ a $P$; aquí igual a $r_1$.	$\mathrm{m}$
${\vec{E}}_1$	Campo de $Q_1$ sola en $P$, que se aleja de $Q_1$.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Campo de $Q_2$ sola en $P$, que apunta hacia $Q_2$.	$N/C$
$\vec{E}$	Campo total en $P$: la suma vectorial ${\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2$.	$N/C$

La figura 1 suma dos campos en un punto $P$. La carga positiva $Q_1$ empujaría hacia fuera a una carga de prueba positiva, así que su campo ${\vec{E}}_1$ apunta desde $Q_1$ hacia $P$ y más allá. La carga negativa $Q_2$ atraería a la carga de prueba, así que su campo ${\vec{E}}_2$ apunta desde $P$ hacia $Q_2$. Cada flecha tiene el módulo $k|Q_i|/r_i^2$, donde $r_i$ es la distancia de la carga $Q_i$ a $P$ y $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ es la constante de Coulomb.

Fíjate ahora en dónde está $P$: en la mediatriz del segmento que une las dos cargas. Por tanto $r_1=r_2$, y las dos flechas tienen la misma longitud. Sus partes perpendiculares a la recta de las cargas son iguales y opuestas, así que se anulan. Lo que queda es la suma $\vec{E}$, la diagonal del paralelogramo discontinuo, que es paralela a la dirección que va de la carga positiva a la negativa.

Para escribir la misma suma con cualquier número de cargas, coloca la carga $Q_i$ en la posición ${\vec{r}}_i$ y pregunta por el campo en la posición $\vec{r}$. El vector que va de la carga al punto es $\vec{r}-{\vec{r}}_i$, de longitud $r_i$. Al dividirlo entre $r_i^3$ queda un vector unitario dividido entre $r_i^2$: el módulo del inverso del cuadrado, ya con la dirección correcta. Sumando sobre todas las cargas:
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_i\frac{k{Q}_i(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}$

Una carga repartida con densidad $\rho$, en culombios por metro cúbico, se corta en pequeños trozos de carga $\rho d^{3}s$ en los puntos $\vec{s}$, y la suma se convierte en una integral:
$\vec{E}(\vec{r})=k\int \frac{\rho (\vec{s})(\vec{r}-\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}{|}^3}{d}^{3}s$

En principio no hace falta nada más. La animación traza sus líneas de campo exactamente a partir de esta suma de dos términos. El potencial, las líneas de campo y la ley de Gauss que vienen a continuación llegan a la misma respuesta con menos trabajo, o muestran su forma de un vistazo.

El potencial: un trabajo que ignora el camino

Sumar vectores en cada punto es laborioso. Sería mucho más fácil sumar un solo número en cada punto, el potencial. Ese número existe solo si el trabajo que hace el campo entre dos puntos es el mismo por cualquier camino. Esta sección muestra que lo es.

Leyenda

$Q$	Carga puntual que crea el campo.	$\mathrm{C}$
$a$	Comienzo de los dos caminos.
$b$	Final de los dos caminos.
$r_a$	Distancia de $Q$ a $a$.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Distancia de $Q$ a $b$.	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	Un paso pequeño a lo largo del camino 1: su longitud y su dirección.	$\mathrm{m}$
$dr$	Cambio de la distancia a $Q$ en ese paso: la separación entre los arcos discontinuos.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Campo al comienzo del paso, que apunta directamente hacia fuera de $Q$.	$N/C$

La figura 2 muestra una carga puntual $Q$ y dos caminos del punto $a$ al punto $b$. Mueve una carga de prueba a lo largo de un camino en pasos pequeños $d\vec{l}$. En cada paso el campo realiza sobre una carga $q$ el trabajo $q\vec{E}\cdot d\vec{l}$, así que el trabajo por unidad de carga de $a$ a $b$ es la integral de línea ${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$: la suma de $\vec{E}\cdot d\vec{l}$ sobre todos los pasos.

Fíjate en el paso dibujado en el camino 1. El campo $\vec{E}$ al comienzo del paso apunta directamente hacia fuera de $Q$, así que el producto escalar solo conserva la parte del paso a lo largo del radio. Esa parte es $dr$, la separación entre los dos arcos discontinuos centrados en $Q$: cuánto cambia el paso la distancia a $Q$. Moverse de lado, a lo largo de un arco, no cuesta ningún trabajo. Por tanto
$\vec{E}\cdot d\vec{l}=Edr=\frac{kQ}{r^2}dr$
Sumando los pasos desde la distancia $r_a$ hasta la distancia $r_b$:
${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{kQ}{r^2}dr=kQ\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
El resultado depende de las distancias extremas $r_a$ y $r_b$ y de nada más. El camino 2 es más largo y se aleja mucho por encima del camino 1, pero entre $r_a$ y $r_b$ cruza el mismo conjunto de circunferencias alrededor de $Q$, así que recoge exactamente el mismo total.

Cualquier disposición estática es una suma de cargas puntuales. Cada término de esa suma es independiente del camino, y por tanto lo es todo el campo. Ir por un camino y volver por otro da entonces trabajo nulo en el circuito cerrado:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$
Si esto fallara, una carga enviada por el circuito en el sentido favorable ganaría energía en cada vuelta de unas cargas que nunca cambian: una máquina de movimiento perpetuo.

Como el camino no importa, se puede asignar un número a cada punto: el potencial eléctrico $V$, en voltios (julios por culombio). Su variación de $a$ a $b$ se define como
$\Delta V=V_b-V_a=-{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
El signo menos hace que $V$ disminuya en el sentido en que apunta el campo. Una carga positiva empujada por el campo pierde entonces energía potencial $qV$ y gana la misma cantidad de energía cinética. Eligiendo $V=0$ en el infinito, y escribiendo $s$ para la distancia a $Q$ dentro de la integral, una carga puntual da
$V(r)=-{\int }_{\infty }^r\frac{kQ}{s^2}ds=\frac{kQ}{r}$

Leído al revés, el campo es menos el gradiente del potencial. Apunta hacia donde $V$ cae más deprisa, y su módulo es cuántos voltios cae $V$ por metro en esa dirección. La conservación de la energía para una carga $q$ con energía cinética $K$ cabe entonces en una línea:
$\vec{E}=-\nabla V,K+qV=\mathrm{cte}$

Un ejemplo de la animación. Sus cargas fuente son +1 nC y −1 nC, separadas 180 mm. La carga de prueba dorada, $q=10^{-10}\mathrm{C}$, parte del reposo a 20 mm de la carga +, donde $V=kQ(1/0,02-1/0,16)\approx +393\mathrm{V}$ con las distancias en metros. Termina en el punto simétrico, a 20 mm de la carga −, donde $V\approx -393\mathrm{V}$. Así que llega con
$K=q(V_a-V_b)=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$
que son los 78,7 nJ de la lectura de $K$. Llevada por cualquier otro camino entre los mismos dos puntos, por ejemplo una pista sin rozamiento, llegaría con la misma energía.

Flujo a través de una superficie y ley de Gauss

La ley de Gauss relaciona el campo sobre una superficie cerrada con la carga que hay dentro. Donde hay simetría, da el campo en una línea, sin ninguna suma. Su idea parte de las líneas de campo. De una carga puntual sale un número fijo de líneas, y cada una atraviesa todas las esferas que la rodean. El área de la esfera crece como $4\pi r^2$, así que el número de líneas por metro cuadrado cae como $1/r^2$, exactamente igual que el campo: la densidad de líneas es una imagen fiel de la intensidad del campo. Para convertir «el número de líneas a través de una superficie» en una magnitud que sirva para una superficie de cualquier forma, corta la superficie en pequeños elementos.

Leyenda

$S$	Superficie cerrada alrededor de la carga; su forma puede ser cualquiera.
$Q$	Carga dentro de $S$: la $Q_{\mathrm{enc}}$ de la ley de Gauss.	$\mathrm{C}$
$dA$	Área de un pequeño elemento de $S$.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	El elemento como vector: longitud $dA$, dirigido hacia fuera de $S$ perpendicularmente al elemento.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{E}$	Campo de $Q$ en el elemento.	$N/C$
$\theta$	Ángulo entre $\vec{E}$ y $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$

La figura 3 muestra una superficie cerrada $S$ alrededor de la carga $Q$, con un pequeño elemento dibujado ampliado. El elemento tiene área $dA$. Para registrar hacia dónde está orientado, conviértelo en un vector $d\vec{A}$: de longitud $dA$, que apunta hacia fuera de $S$ perpendicularmente al elemento. El flujo a través del elemento, la cantidad de campo que lo atraviesa, es
$d\Phi =\vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA\cos \theta$
donde $\theta$ es el ángulo entre el campo $\vec{E}$ y $d\vec{A}$. Solo cuenta la parte del campo que atraviesa el elemento. Un elemento que mira de frente a la carga ($\theta =0$) recoge el máximo de líneas; inclinado un ángulo $\theta$, recoge menos, en el factor $\cos \theta$; un elemento que el campo solo roza ($\theta =90^{\circ }$) no recoge ninguna. Sumando el flujo de todos los elementos de $S$ se obtiene la ley de Gauss:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{{\epsilon }_0}$
Aquí $Q_{\mathrm{enc}}$ es la carga total encerrada por $S$, y ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ es la permitividad del vacío, relacionada con la constante de Coulomb por $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$.

Por qué no importa la forma de $S$. Un ángulo sólido es a una esfera lo que un ángulo es a una circunferencia, y la esfera entera alrededor de un punto vale $4\pi$. Visto desde $Q$, el elemento a distancia $r$ cubre el pequeño ángulo sólido $d\Omega =dA\cos \theta /r^2$: su área vista de frente desde $Q$, dividida entre $r^2$. Su flujo es por tanto
$EdA\cos \theta =\frac{kQ}{r^2}dA\cos \theta =kQd\Omega$
El $r^2$ del tamaño aparente del elemento cancela el $1/r^2$ del campo, así que un elemento pequeño y cercano y otro grande y lejano que cubran el mismo ángulo sólido llevan el mismo flujo. Los ángulos sólidos de una superficie cerrada alrededor de $Q$ suman $4\pi$, de modo que el flujo total es $4\pi kQ=Q/{\epsilon }_0$, por abollada que esté $S$. Una carga exterior a $S$ manda cada una de sus líneas hacia dentro por un elemento y hacia fuera por otro, y da tanto flujo negativo como positivo. Por eso solo cuenta la carga encerrada.

Para la carga de +1 nC de la animación, el flujo a través de cualquier superficie cerrada que la rodee es $10^{-9}/(8,85\times 10^{-12})\approx 113\mathrm{V}\mathrm{m}$. Una superficie que rodee las dos cargas tiene flujo neto nulo: cada línea que sale por ella vuelve a entrar.

De aquí se siguen dos consecuencias. Al reducir la superficie alrededor de un solo punto, la ley de Gauss se convierte en una afirmación sobre ese punto, $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$: las líneas de campo empiezan y acaban solo donde hay carga. Y con simetría, la ley de Gauss da los campos casi gratis. Una esfera con carga uniforme actúa, fuera de ella, como una carga puntual en su centro. Una lámina plana grande con $\sigma$ culombios por metro cuadrado envía su campo directamente hacia fuera a ambos lados; una caja plana de área de cara $A$ a caballo sobre la lámina tiene entonces flujo $2EA$ y encierra $\sigma A$, de modo que $E=\sigma /(2{\epsilon }_0)$ a cada lado.

Equipotenciales y la gráfica de V(x)

Una equipotencial es una superficie en la que $V$ tiene el mismo valor en todos sus puntos. Mover una carga a lo largo de ella no cuesta trabajo, y la separación entre equipotenciales vecinas mide el campo. Un mapa de equipotenciales lleva, por tanto, la misma información que las líneas de campo, a menudo en una forma más fácil de leer.

En la vista experta de la animación, las curvas moradas discontinuas son equipotenciales de $\pm 400$, $\pm 150$ y $\pm 50\mathrm{V}$, y la recta discontinua a medio camino entre las cargas es $V=0$. Cortan cada línea de campo en ángulo recto. La razón: $-\nabla V$ apunta hacia donde $V$ cae más deprisa, y eso es justo a través de una superficie en la que $V$ no cambia en absoluto. La carga dorada parte de 393 V, justo fuera de la curva de 400 V, que corta el eje a 19,7 mm de la carga +.

Una separación pequeña significa un campo intenso, porque $V$ cambia lo mismo en una distancia más corta. La curva de +50 V corta el eje a 21,3 mm de la línea media, donde $V=0$, así que el campo medio en ese intervalo es $50/0,0213\approx 2,35kV/m$. Es algo más que los 2,22 kV/m del propio punto medio, porque el campo crece hacia la carga.

La gráfica de $V(x)$ muestra lo mismo a lo largo del eje que pasa por las cargas. Su pendiente es $-E_x$, menos la componente del campo a lo largo del eje: unos $-2,2$ V por milímetro en el punto medio, y diez veces más empinada donde empieza el recorrido. Fuera del par, $V(x)$ crece con $x$ a ambos lados, así que allí $E_x<0$: a la izquierda de la carga + el campo se aleja de ella, a la derecha de la carga − se dirige hacia ella, y las dos direcciones son hacia la izquierda. El punto dorado se desliza cuesta abajo por la curva a medida que su energía potencial $U=qV$ se convierte en energía cinética $K$.

Ecuación de Laplace: sin equilibrio estable

Al combinar los dos resultados anteriores se obtiene una sola ecuación para $V$. Una propiedad de esa ecuación prohíbe cualquier trampa estable hecha con cargas fijas.

Sustituye $\vec{E}=-\nabla V$ en $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$. Se obtiene la ecuación de Poisson, ${\nabla }^{2}V=-\rho /{\epsilon }_0$, y en el espacio vacío, donde $\rho =0$, la ecuación de Laplace, ${\nabla }^{2}V=0$. El laplaciano ${\nabla }^{2}V$ mide cuánto supera el promedio de $V$ sobre una pequeña esfera alrededor de un punto a su valor en el centro. En el espacio vacío es cero, así que $V$ en cada punto es igual a su promedio sobre cualquier esfera pequeña a su alrededor.

Un valor igual al promedio de su entorno no puede estar por encima de todos ellos ni por debajo de todos ellos. Así, en el espacio vacío $V$ no tiene máximos ni mínimos, solo puntos de silla. Una carga positiva necesitaría un mínimo de $V$ para reposar en equilibrio estable, de modo que ninguna disposición de cargas fijas puede mantener una carga en equilibrio estable (teorema de Earnshaw). Por ejemplo, a medio camino entre dos cargas positivas iguales $E=0$, pero una carga de prueba positiva allí es empujada de vuelta solo a lo largo de la recta que une las cargas; hacia los lados es expulsada. Los átomos deben su estabilidad a otra cosa: la mecánica cuántica.

Conductores y el campo del condensador

En un conductor, algunas cargas son libres de moverse. Ese único hecho fija el campo dentro y justo fuera de todo conductor, y explica el campo uniforme de un condensador.

Las cargas libres se mueven mientras actúe sobre ellas cualquier campo, así que solo se detienen cuando el campo dentro del metal es cero. Un conductor en reposo es, por tanto, una única equipotencial. Cualquier superficie cerrada dibujada dentro del metal tiene flujo nulo, así que por la ley de Gauss no encierra carga: todo exceso de carga está en la superficie. Justo fuera, el campo es perpendicular a la superficie, porque una componente a lo largo de ella pondría en movimiento las cargas superficiales. Una pequeña caja plana a caballo sobre la superficie tiene flujo solo por su cara exterior, lo que da el módulo del campo, $E=\sigma /{\epsilon }_0$, con $\sigma$ la carga superficial por metro cuadrado.

Dos placas paralelas con $+\sigma$ y $-\sigma$ crean cada una el campo de lámina $\sigma /(2{\epsilon }_0)$. Entre las placas los dos campos apuntan en el mismo sentido y se suman; fuera apuntan en sentidos opuestos y se anulan. El resultado es el campo uniforme de un condensador, $E=\sigma /{\epsilon }_0=\Delta V/d$ para placas separadas una distancia $d$.

El dipolo visto desde lejos

Un dipolo es un par de cargas iguales y opuestas, una fuente común en la naturaleza: muchas moléculas son dipolos. Lejos de él, los dos potenciales casi se anulan, y lo que queda obedece una ley sencilla propia.

Leyenda

$Q$	Valor de cada una de las dos cargas, $+Q$ y $-Q$.	$\mathrm{C}$
$d$	Distancia entre las dos cargas.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Momento dipolar: módulo $p=Qd$, dirigido de $-Q$ a $+Q$.	$\mathrm{C}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Punto donde se calcula el potencial.
$r$	Distancia del centro del dipolo a $P$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ángulo entre $\vec{p}$ y la recta que va del centro a $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_{+}$	Distancia de $+Q$ a $P$.	$\mathrm{m}$
$r_{-}$	Distancia de $-Q$ a $P$.	$\mathrm{m}$
$d\cos \theta$	Cuánto más lejos está $P$ de $-Q$ que de $+Q$, cuando $P$ está lejos: la parte de $d$ que apunta hacia $P$.	$\mathrm{m}$

La figura 4 plantea la geometría. Las cargas $+Q$ y $-Q$ están separadas una distancia $d$. El momento dipolar $\vec{p}$ tiene módulo $p=Qd$ y apunta de $-Q$ a $+Q$. El punto $P$ está a distancia $r$ del centro del par, en una dirección que forma el ángulo $\theta$ con $\vec{p}$, y a distancias $r_{+}$ y $r_{-}$ de las dos cargas. Sumando los dos potenciales de carga puntual:
$V=kQ\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right)=kQ\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{+}{r}_{-}}$

Todo depende ahora de la pequeña diferencia $r_{-}-r_{+}$. Cuando $P$ está lejos comparado con $d$, las rectas que van de las dos cargas a $P$ son casi paralelas. La perpendicular discontinua desde $+Q$ corta la recta de $-Q$ a $P$; desde ese pie hasta $P$, la distancia que queda es casi exactamente $r_{+}$. Así que $r_{-}$ es mayor que $r_{+}$ en el segmento grueso que va de $-Q$ al pie, rotulado $d\cos \theta$: la parte de la separación $d$ que apunta hacia $P$. En el denominador las dos distancias apenas difieren, de modo que $r_{+}{r}_{-}\approx r^2$. Por tanto
$V\approx \frac{kQd\cos \theta }{r^2}=\frac{kp\cos \theta }{r^2}$

Como las dos contribuciones casi se anulan, el potencial cae como $1/r^2$ en vez de $1/r$, y el campo, su gradiente, cae como $1/r^3$. A una distancia dada, $V$ es máximo a lo largo de $\vec{p}$ ($\theta =0$), nulo en el plano que pasa por el centro perpendicular a $\vec{p}$ ($\theta =90^{\circ }$), y negativo del lado de la carga negativa.

Una comprobación con el par de la animación: $p=10^{-9}\cdot 0,18=1,8\times 10^{-10}\mathrm{C}\mathrm{m}$. A 1 m sobre el eje, la fórmula da 1,62 V frente a los $kQ(1/0,91-1/1,09)\approx 1,63\mathrm{V}$ exactos. El error relativo es de unos $d^2/(4r^2)$, aquí el 0,8 %, así que la aproximación ya es buena a una distancia de poco más de cinco veces la separación.

Problema resuelto: un protón y un electrón

La conservación de la energía, con los potenciales hallados antes, da rapideces sin resolver ninguna ecuación del movimiento. Comparar dos partículas muestra entonces qué depende de la masa y qué no.

Sustituye la carga dorada por un protón, de carga $e$ y masa $m_p$, soltado desde el reposo en el mismo punto, a 20 mm de la carga +. ¿A qué rapidez va en el punto medio y al final del recorrido, a 20 mm de la carga −? El potencial cae 393,3 V hasta el punto medio, donde $V=0$, y 786,6 V hasta el final. Un electronvoltio (eV), $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$, es la energía que gana una carga $e$ al caer un voltio, así que
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_1^2=e\cdot 393,3\mathrm{V}=393\mathrm{eV},v_1\approx 2,74\times 10^{5}m/s$
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_2^2=e\cdot 786,6\mathrm{V}=787\mathrm{eV},v_2\approx 3,88\times 10^{5}m/s$
El doble de energía da $\sqrt{2}$ veces la rapidez.

Ahora suelta un electrón, de carga $-e$ y masa $m_e$, desde el reposo en el punto lejano. La fuerza sobre él, $-e\vec{E}$, apunta contra el campo, así que es empujado de vuelta hacia la carga +, cuesta arriba en el potencial. La disposición es simétrica, y la energía potencial del electrón, $-eV$, es la imagen especular de la del protón, así que recorre el mismo camino al revés y gana los mismos 787 eV, o $1,26\times 10^{-16}\mathrm{J}$. Su masa es 1836 veces menor, así que su rapidez es $\sqrt{1836}\approx 42,8$ veces mayor: $1,66\times 10^{7}m/s$, el 5,5 % de la velocidad de la luz. El tamaño de cualquier corrección relativista lo da la energía cinética comparada con la energía en reposo, $K/(m_e{c}^2)=787/511000\approx 0,15\%$, y reduce esa rapidez en solo un 0,1 % aproximadamente.

La energía da rapideces, no tiempos. Para los tiempos hace falta la ecuación del movimiento a lo largo del eje, $m\ddot{x}=qE(x)$. Dividida entre $m$, depende de la partícula solo a través de $q/m$. Así que toda partícula con carga del mismo signo, soltada desde el reposo en el mismo punto, sigue el mismo camino, y si $q/m$ es mayor en cierto factor, todo el movimiento va más deprisa en la raíz cuadrada de ese factor: todos los tiempos escalan como $\sqrt{m/q}$. A la carga de la animación se le da una masa de unos 49 mg para que su recorrido dure 4,0 s. El $q/m$ del protón es $4,7\times 10^{13}$ veces mayor, así que hace el recorrido en $4,0\mathrm{s}/\sqrt{4,7\times 10^{13}}\approx 0,58\mu \mathrm{s}$. El electrón, todavía 42,8 veces más rápido, tarda 13,6 ns.

Límites de validez

Todos los resultados anteriores descansan en suposiciones. Saber dónde fallan te dice cuándo hace falta una teoría más amplia.

Fuentes en reposo. La electrostática supone que las cargas permanecen quietas. La noticia de un cambio en una carga llega a la otra solo tras el tiempo que tarda la luz, 0,6 ns a lo largo de los 180 mm de la animación, así que la suma instantánea de Coulomb solo vale para cargas que se mueven despacio comparadas con la luz. Cuando cambian los campos magnéticos, la ley de Faraday da $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}\ne 0$: el trabajo en un circuito cerrado ya no es nulo, y el campo ya no es un gradiente puro. Pasa a ser $\vec{E}=-\nabla V-\partial \vec{A}/\partial t$, con $\vec{A}$ el potencial vector magnético.

Cargas puntuales. La ley del inverso del cuadrado es una de las mejor comprobadas de la física: el exponente es igual a 2 con una precisión de unos $10^{-15}$. La carga puntual, sin embargo, es una idealización: su energía de campo, $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ por metro cúbico, suma infinito cerca de un punto verdadero. A distancias muy cortas aparecen efectos cuánticos. Por debajo de unos $4\times 10^{-13}\mathrm{m}$, la longitud de onda de Compton reducida del electrón, una sonda entra en la nube de fluctuaciones cuánticas del vacío que apantalla en parte toda carga. Entonces ve más carga, así que la fuerza crece algo más deprisa que $1/r^2$, y eso desplaza de forma medible los niveles de energía del hidrógeno. Dentro del átomo de hidrógeno el campo es de unos $5\times 10^{11}V/m$; el electrón debe tratarse allí con la mecánica cuántica, aunque todavía en el potencial de Coulomb.

Materia y campos intensos. En un material, el campo de una carga libre se reduce por la permitividad relativa, de unos 80 en el agua. Los aislantes también tienen límites: en el aire seco se produce la ruptura dieléctrica y salta la chispa hacia 3 MV/m, e incluso el espacio vacío empezaría a crear pares electrón–positrón hacia los $1,3\times 10^{18}V/m$.

Lo que viene después

En Condensadores, $E=\sigma /{\epsilon }_0$ y la energía $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ por metro cúbico describen el campo entre las placas, mientras que Corriente eléctrica y resistencia, junto con Circuitos de corriente continua y ley de Ohm, siguen a las cargas empujadas a través de la materia por una diferencia de potencial. En Fuerza magnética sobre cargas en movimiento se suma $q\vec{v}\times \vec{B}$ a $q\vec{E}$, y Relatividad especial muestra que los dos campos son partes de uno solo: lo que un observador llama un campo puramente eléctrico, otro lo ve en parte como magnético. En Inducción electromagnética deja de cumplirse $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$, y en Ondas electromagnéticas los campos viajan por sí solos a $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$. El mismo potencial $1/r$ describe la gravedad en Gravitación y órbitas y sujeta al electrón en Modelos atómicos: el átomo de Bohr, donde la energía de enlace del hidrógeno es de 13,6 eV.