Campo elétrico e potencial

Iniciante

Esfregue um balão no cabelo e ele pode levantar os fios a alguns centímetros de distância. Cargas elétricas empurram e puxam sem se tocar, e a regra básica é curta: cargas iguais se repelem, cargas opostas se atraem. A força também cai rápido com a distância: afaste duas cargas para o dobro da distância e ela cai para um quarto.

Passo 1: o campo. Em vez de seguir cada carga, dizemos que cada carga preenche o espaço ao seu redor com um campo elétrico. Em cada ponto, o campo indica em que direção e com que intensidade uma pequena carga de “teste” positiva, colocada ali, seria empurrada. Ao redor de uma carga + o campo aponta para fora; ao redor de uma carga − ele aponta para dentro.

Passo 2: linhas de campo. Desenhamos o campo como linhas com setas. Elas saem das cargas + e chegam às cargas −. Onde as linhas se concentram, o empurrão é forte; onde se espalham, é fraco.

Passo 3: quão forte. A intensidade do campo é a força sobre cada coulomb de carga, em newtons por coulomb (N/C). Em um campo de 100 N/C, uma carga de meio coulomb sente $0,5\times 100=50\mathrm{N}$.

Passo 4: tensão. O potencial elétrico, medido em volts, funciona como a altura de uma colina. Uma carga + “cai” da tensão alta para a baixa e acelera, do jeito que uma bola rola ladeira abaixo. Uma diferença de um volt significa que cada coulomb ganha ou perde um joule de energia.

Na animação, linhas cinzentas vão da carga + até a carga − e se juntam perto de cada uma. A pequena carga dourada, solta perto da +, desliza pela linha do meio, cada vez mais rápido.

Teste-se: em um campo de 400 N/C, que força atua sobre uma carga de 0,005 C? (Resposta: 2 N.)

Intermediário

O campo: força por unidade de carga

Cargas empurram e puxam umas às outras através do espaço vazio, como descreve a lei de Coulomb. A visão de campo divide isso em dois passos: as cargas de origem criam um campo elétrico $\vec{E}$ em todo o espaço ao seu redor, e uma carga colocada em um ponto sente o campo exatamente ali.

Para medir o campo, coloque no ponto uma pequena carga de teste positiva $q$, meça a força sobre ela e divida:
$E=\frac{F}{q}$

Dobrar $q$ dobra a força, então a razão pertence ao ponto, e o campo está ali mesmo quando nada o sonda. Sua unidade é o newton por coulomb, que equivale ao volt por metro. Invertendo a relação, $\vec{F}=q\vec{E}$: uma carga positiva é empurrada ao longo do campo, e uma negativa, contra ele. A carga de teste da animação, $q=+0,1\mathrm{nC}$, é dez vezes menor que as fontes fixas, $\pm 1\mathrm{nC}$.

Cargas pontuais e superposição

Dividindo a lei de Coulomb pela carga de teste, obtém-se o campo de uma carga pontual $Q$ a uma distância $r$:
$E=\frac{kQ}{r^2}$
com $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Ele aponta para longe de um $Q$ positivo e em direção a um negativo.

Com várias cargas, cada uma produz seu próprio campo como se as outras não existissem, e o total é a soma vetorial deles. Na mediatriz do par da animação, os dois campos têm a mesma intensidade: um aponta para longe da carga +, e o outro para a carga −. As componentes transversais ao eixo se anulam e as ao longo do eixo se somam, então o total é paralelo ao eixo, para o lado da carga −. As setas azuis da grade mostram essas somas, com os comprimentos reduzidos para caber no campo forte perto das cargas.

Potencial: energia por unidade de carga

O potencial descreve o mesmo campo com um número por ponto, em vez de uma seta. Mover uma carga contra a força elétrica exige trabalho, armazenado como energia potencial elétrica $U$, assim como levantar uma pedra armazena energia potencial gravitacional. Por unidade de carga, isso vira o potencial elétrico $V=U/q$, medido em volts: $1\mathrm{V}=1J/C$.

Quando uma carga $q$ se move por uma diferença de potencial $\Delta V$, sua energia potencial muda em $\Delta U=q\Delta V$, e o campo realiza sobre ela o trabalho $W_{\mathrm{field}}=-\Delta U$. Uma carga positiva deixada livre se move para potencial menor e acelera, como uma bola rolando morro abaixo; um elétron se move para potencial maior. Um elétron acelerado por 1 V ganha um elétron-volt, $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$.

Com $V=0$ bem longe, uma carga pontual tem $V=kQ/r$: sem quadrado, e $Q$ mantém seu sinal, de modo que os potenciais de várias cargas se somam como números com sinal. O campo aponta para o potencial menor, e sua intensidade é a rapidez com que $V$ cai por metro. Entre placas paralelas separadas por uma distância $d$, o campo é uniforme, $E=\Delta V/d$. Estas são as equações de trabalho deste nível:

• $E=\frac{F}{q}$
• $E=\frac{kQ}{r^2}$
• $V=\frac{kQ}{r}$
• $\Delta U=q\Delta V=-W_{\mathrm{field}}$
• $E=\frac{\Delta V}{d}\text{(uniform field)}$

Exemplo resolvido: o dipolo da animação

As cargas de origem $Q=\pm 1\mathrm{nC}$ estão a 180 mm uma da outra, e a carga de teste $q=+0,1\mathrm{nC}$ começa em repouso a 20 mm da carga +. No ponto médio, cada fonte está a 0,090 m e contribui com
$\frac{kQ}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot 10^{-9}}{0,090^2}\approx 1,11\times 10^{3}V/m$

As duas contribuições apontam para a carga −, então $E\approx 2,22kV/m$ e $F=qE\approx 0,22\mu \mathrm{N}$. No início, a carga +, a 0,020 m, dá 22,5 kV/m, e a carga −, a 0,160 m, soma 0,35 kV/m; logo $E\approx 22,8kV/m$ e $F\approx 2,28\mu \mathrm{N}$, dez vezes mais. Estes são os valores de $E$ e $F$ no início e no meio do trajeto; a seta verde da força é longa nas duas extremidades e curta no meio.

No início, o potencial é $V=kQ/0,020-kQ/0,160=449,5-56,2\approx 393\mathrm{V}$; por simetria, é $-393\mathrm{V}$ no fim e zero no ponto médio. Ao longo dessa queda de 786,6 V, o campo realiza o trabalho $W=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$, os 78,7 nJ de energia cinética da leitura de $K$ no nível avançado. Metade dela é ganha até o ponto médio, então a velocidade ali é $1/\sqrt{2}$, cerca de 71 %, da velocidade final. Partindo do repouso, a carga leva 2,45 s de seus 4,0 s de trajeto para chegar lá.

Exemplo resolvido: um elétron entre duas placas

Em um canhão de elétrons, elétrons são puxados de uma placa negativa em direção a uma positiva. Considere placas a 1,0 cm de distância com 500 V, com um elétron partindo do repouso; o campo entre elas é uniforme:
$E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{500}{0,010}=5,0\times 10^{4}V/m$

A força, $F=eE=1,602\times 10^{-19}\cdot 5,0\times 10^4\approx 8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$, aponta contra o campo, para a placa positiva; o peso do elétron é cerca de $10^{15}$ vezes menor. Ao atravessar o intervalo, ele ganha 500 eV, ou $8,0\times 10^{-17}\mathrm{J}$. Com sua massa $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$, $\frac{1}{2}m{v}^2=e\Delta V$ dá
$v=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8,0\times 10^{-17}}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 1,33\times 10^{7}m/s$

Isso é cerca de 4,4 % da velocidade da luz. A aceleração é constante, então a velocidade média é $v/2$ e a travessia leva $t=2d/v\approx 1,5\mathrm{ns}$. Tubos de televisão usavam cerca de 25 kV, o suficiente para quase um terço da velocidade da luz.

Lendo o mapa de campo

Uma linha de campo segue $\vec{E}$ em cada ponto, e sua seta mostra para onde uma carga positiva seria empurrada. As linhas começam em cargas positivas e terminam em negativas, e na animação tantas linhas chegam à carga − quanto saem da carga +. Elas nunca se cruzam, pois o campo tem apenas uma direção em cada ponto; e onde se concentram, perto das cargas, o campo é forte.

As equipotenciais tracejadas do nível avançado cortam cada linha de campo em ângulo reto, pois mover uma carga ao longo de uma delas não exige trabalho; a reta do meio é $V=0$.

Erros comuns

• Linhas de campo não são trajetórias: uma carga solta fora do eixo corta as linhas curvas, pois sua inércia a impede de girar com elas; a carga dourada segue a linha central só porque ela é reta.
• O campo não é a força: no meio, $E=2,2kV/m$ para qualquer carga de teste, mas a força é 0,22 µN sobre 0,1 nC e 2,2 µN sobre 1 nC.
• O potencial cai com $1/r$, o campo com $1/r^2$: a 10 cm de uma carga de 4 nC, esquecer o quadrado dá 360 V/m em vez de 3600 V/m.
• Potencial zero não é campo zero: no meio entre as cargas, os potenciais $+99,9$ e $-99,9\mathrm{V}$ se cancelam, enquanto os campos somam 2,22 kV/m.
• Uma carga negativa é empurrada contra o campo e ganha velocidade indo para potencial maior: o elétron entre as placas ganha 500 eV indo de 0 V para +500 V.

Onde ele aparece

Campos elétricos guiam elétrons em microscópios eletrônicos e íons em espectrômetros de massa, limpam a fumaça dos gases de chaminés e posicionam o toner nas impressoras a laser. O ar seco rompe por volta de 3 MV/m, então uma faísca salta um vão de 1 mm com cerca de 3 kV. Células nervosas mantêm cerca de 70 mV através de uma membrana de 7 nm de espessura, algo como 10 MV/m.

A seguir, Capacitores mostra como o campo entre duas placas armazena energia, Corrente elétrica e resistência como um campo impulsiona carga por um fio, e Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm como uma tensão mantém a carga circulando no circuito. A mesma matemática, para massas que apenas se atraem, rege a Gravitação e órbitas.

Avançado

A superposição resolve a eletrostática

Esta seção dá a regra única que resolve todo campo estático. Tudo o que vem depois na lição é um atalho para ela ou uma forma de visualizar sua resposta. Quando as cargas de origem permanecem paradas, bastam dois fatos. A lei de Coulomb dá o campo de uma única carga: ele aponta ao longo da reta que passa pela carga, e seu tamanho cai com o inverso do quadrado da distância. O princípio da superposição diz que os campos de várias cargas simplesmente se somam como vetores, cada carga agindo como se as outras não estivessem ali.

Legenda

$Q_1$	Carga de origem positiva.	$\mathrm{C}$
$Q_2$	Carga de origem negativa, aqui $-Q_1$.	$\mathrm{C}$
$P$	Ponto onde o campo é determinado.
$r_1$	Distância de $Q_1$ até $P$; igual a $r_2$ aqui.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distância de $Q_2$ até $P$; igual a $r_1$ aqui.	$\mathrm{m}$
${\vec{E}}_1$	Campo de $Q_1$ sozinha em $P$, apontando para longe de $Q_1$.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Campo de $Q_2$ sozinha em $P$, apontando para $Q_2$.	$N/C$
$\vec{E}$	Campo total em $P$: a soma vetorial ${\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2$.	$N/C$

A figura 1 soma dois campos em um ponto $P$. A carga positiva $Q_1$ empurraria uma carga de teste positiva para longe, então seu campo ${\vec{E}}_1$ aponta de $Q_1$ através de $P$ e além. A carga negativa $Q_2$ puxaria a carga de teste, então seu campo ${\vec{E}}_2$ aponta de $P$ para $Q_2$. Cada seta tem tamanho $k|Q_i|/r_i^2$, onde $r_i$ é a distância da carga $Q_i$ até $P$, e $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ é a constante de Coulomb.

Agora observe onde $P$ está: na mediatriz do par. Logo $r_1=r_2$, e as duas setas têm o mesmo comprimento. Suas partes perpendiculares à reta das cargas são iguais e opostas, e por isso se anulam. O que sobra é a soma $\vec{E}$, a diagonal do paralelogramo tracejado, que é paralela à reta que vai da carga positiva à negativa.

Para escrever a mesma soma para qualquer número de cargas, coloque a carga $Q_i$ na posição ${\vec{r}}_i$ e pergunte pelo campo na posição $\vec{r}$. O vetor da carga até o ponto é $\vec{r}-{\vec{r}}_i$, de comprimento $r_i$. Dividindo-o por $r_i^3$, sobra um vetor unitário dividido por $r_i^2$: o módulo com a dependência do inverso do quadrado, já apontando na direção certa. Somando sobre todas as cargas:
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_i\frac{k{Q}_i(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}$

Se a carga estiver espalhada com densidade $\rho$, em coulombs por metro cúbico, ela é dividida em pequenos pedaços de carga $\rho d^{3}s$ nos pontos $\vec{s}$, e a soma se torna uma integral:
$\vec{E}(\vec{r})=k\int \frac{\rho (\vec{s})(\vec{r}-\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}{|}^3}{d}^{3}s$

Em princípio, nada mais é necessário. A animação desenha suas linhas de campo exatamente a partir dessa soma de dois termos. O potencial, as linhas de campo e a lei de Gauss abaixo chegam à mesma resposta com menos trabalho, ou mostram sua forma de relance.

O potencial: trabalho que ignora o caminho

Somar vetores em cada ponto é trabalhoso. Um único número em cada ponto, o potencial, seria muito mais fácil de somar. Tal número só existe se o trabalho que o campo realiza entre dois pontos for o mesmo por qualquer caminho. Esta seção mostra que é.

Legenda

$Q$	Carga pontual que produz o campo.	$\mathrm{C}$
$a$	Início dos dois caminhos.
$b$	Fim dos dois caminhos.
$r_a$	Distância de $Q$ até $a$.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Distância de $Q$ até $b$.	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	Um pequeno passo ao longo do caminho 1: comprimento e direção.	$\mathrm{m}$
$dr$	Variação da distância até $Q$ nesse passo: o intervalo entre os arcos tracejados.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Campo no início do passo, apontando diretamente para longe de $Q$.	$N/C$

A figura 2 mostra uma carga pontual $Q$ e dois caminhos do ponto $a$ ao ponto $b$. Mova uma carga de teste ao longo de um caminho em pequenos passos $d\vec{l}$. Em cada passo, o campo realiza sobre uma carga $q$ o trabalho $q\vec{E}\cdot d\vec{l}$, então o trabalho por unidade de carga de $a$ a $b$ é a integral de linha ${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$: a soma de $\vec{E}\cdot d\vec{l}$ sobre todos os passos.

Observe o passo desenhado no caminho 1. O campo $\vec{E}$ em seu início aponta diretamente para longe de $Q$, então o produto escalar mantém apenas a parte do passo ao longo do raio. Essa parte é $dr$, a distância entre os dois arcos tracejados centrados em $Q$: quanto o passo muda a distância até $Q$. Andar de lado, ao longo de um arco, não custa trabalho algum. Daí
$\vec{E}\cdot d\vec{l}=Edr=\frac{kQ}{r^2}dr$
Somando os passos desde a distância $r_a$ até a distância $r_b$:
${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{kQ}{r^2}dr=kQ\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
O resultado depende apenas das distâncias finais $r_a$ e $r_b$, e de nada mais. O caminho 2 é mais longo e se afasta bastante acima do caminho 1, mas entre $r_a$ e $r_b$ ele cruza o mesmo conjunto de círculos em torno de $Q$, então acumula exatamente o mesmo total.

Qualquer arranjo estático é uma soma de cargas pontuais. Cada termo dessa soma é independente do caminho, portanto o campo inteiro também é. Ir por um caminho e voltar por outro dá, então, trabalho nulo ao longo do laço fechado:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$
Se isso falhasse, uma carga enviada em volta do laço no sentido favorável ganharia energia a cada volta, a partir de cargas que nunca mudam: uma máquina de movimento perpétuo.

Como o caminho não importa, pode-se associar um número a cada ponto: o potencial elétrico $V$, em volts (joules por coulomb). Sua variação de $a$ até $b$ é definida como
$\Delta V=V_b-V_a=-{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
O sinal de menos faz $V$ cair no sentido em que o campo aponta. Uma carga positiva empurrada pelo campo perde então energia potencial $qV$ e ganha a mesma quantidade de energia cinética. Escolhendo $V=0$ no infinito e escrevendo $s$ para a distância a $Q$ dentro da integral, uma carga pontual dá
$V(r)=-{\int }_{\infty }^r\frac{kQ}{s^2}ds=\frac{kQ}{r}$

Lido no sentido inverso, o campo é menos o gradiente do potencial. Ele aponta para onde $V$ cai mais rapidamente, e seu tamanho é quantos volts $V$ cai por metro nessa direção. A conservação de energia para uma carga $q$ com energia cinética $K$ cabe então em uma linha:
$\vec{E}=-\nabla V,K+qV=\mathrm{const}$

Um exemplo da animação. Suas cargas de origem são +1 nC e −1 nC, separadas por 180 mm. A carga de teste dourada, $q=10^{-10}\mathrm{C}$, começa em repouso a 20 mm da carga +, onde $V=kQ(1/0,02-1/0,16)\approx +393\mathrm{V}$ com distâncias em metros. Ela termina no ponto espelhado, a 20 mm da carga −, onde $V\approx -393\mathrm{V}$. Então chega com
$K=q(V_a-V_b)=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$
que são os 78,7 nJ da leitura de $K$. Guiada por qualquer outro caminho entre os mesmos dois pontos, por um trilho sem atrito, por exemplo, ela chegaria com a mesma energia.

Fluxo através de uma superfície e a lei de Gauss

A lei de Gauss liga o campo sobre uma superfície fechada à carga que ela contém. Onde há simetria, ela dá o campo em uma linha, sem soma alguma. Sua ideia parte das linhas de campo. Um número fixo de linhas sai de uma carga pontual, e cada uma delas cruza cada esfera em torno dela. A área da esfera cresce como $4\pi r^2$, então o número de linhas por metro quadrado cai com $1/r^2$, exatamente como o campo: a densidade de linhas é uma imagem fiel da intensidade do campo. Para transformar "o número de linhas que atravessam uma superfície" em uma grandeza que funcione para uma superfície de qualquer forma, corta-se a superfície em pequenos pedaços.

Legenda

$S$	Superfície fechada em torno da carga; sua forma pode ser qualquer uma.
$Q$	Carga dentro de $S$: o $Q_{\mathrm{enc}}$ da lei de Gauss.	$\mathrm{C}$
$dA$	Área de um pequeno pedaço de $S$.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	O pedaço como vetor: comprimento $dA$, apontando para fora de $S$, perpendicular ao pedaço.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{E}$	Campo de $Q$ no pedaço.	$N/C$
$\theta$	Ângulo entre $\vec{E}$ e $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$

A figura 3 mostra uma superfície fechada $S$ em torno da carga $Q$, com um pequeno pedaço ampliado. O pedaço tem área $dA$. Para registrar para que lado ele está voltado, torna-se um vetor $d\vec{A}$: de comprimento $dA$, apontando para fora de $S$ perpendicularmente ao pedaço. O fluxo através do pedaço, a quantidade de campo que o atravessa, é
$d\Phi =\vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA\cos \theta$
onde $\theta$ é o ângulo entre o campo $\vec{E}$ e $d\vec{A}$. Só a parte do campo que atravessa o pedaço conta. Um pedaço voltado de frente para a carga ($\theta =0$) capta o maior número de linhas; inclinado de $\theta$, capta menos, pelo fator $\cos \theta$; um pedaço que o campo apenas roça ($\theta =90^{\circ }$) não capta nenhuma. Somando o fluxo de todos os pedaços de $S$, obtém-se a lei de Gauss:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{{\epsilon }_0}$
Aqui $Q_{\mathrm{enc}}$ é a carga total contida em $S$, e ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ é a permissividade do vácuo, relacionada à constante de Coulomb por $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$.

Por que a forma de $S$ não importa: um ângulo sólido está para a esfera assim como um ângulo está para o círculo, e a esfera inteira em torno de um ponto vale $4\pi$. Visto de $Q$, o pedaço à distância $r$ cobre o pequeno ângulo sólido $d\Omega =dA\cos \theta /r^2$: sua área vista de frente a partir de $Q$, dividida por $r^2$. Seu fluxo é, portanto,
$EdA\cos \theta =\frac{kQ}{r^2}dA\cos \theta =kQd\Omega$
O $r^2$ do tamanho aparente do pedaço cancela o $1/r^2$ do campo, de modo que um pedaço pequeno e próximo e um pedaço grande e distante que cobrem o mesmo ângulo sólido carregam o mesmo fluxo. Os ângulos sólidos de uma superfície fechada em torno de $Q$ somam $4\pi$, então o fluxo total é $4\pi kQ=Q/{\epsilon }_0$, por mais irregular que seja $S$. Uma carga fora de $S$ envia cada uma de suas linhas para dentro por um pedaço e para fora por outro, dando tanto fluxo negativo quanto positivo. É por isso que só a carga contida conta.

Para a carga de +1 nC da animação, o fluxo por qualquer superfície fechada em torno dela é $10^{-9}/(8,85\times 10^{-12})\approx 113\mathrm{V}\mathrm{m}$. Uma superfície em torno das duas cargas tem fluxo líquido zero: toda linha que sai por ela volta a entrar.

Duas consequências seguem. Encolher a superfície em torno de um único ponto transforma a lei de Gauss em uma afirmação sobre esse ponto, $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$: as linhas de campo começam e terminam apenas onde há carga. E com simetria, a lei de Gauss fornece campos quase de graça. Uma esfera uniformemente carregada age, do lado de fora, como uma carga pontual em seu centro. Uma grande placa plana com $\sigma$ coulombs por metro quadrado envia seu campo reto para os dois lados; uma caixa plana de área de face $A$ atravessando a placa tem então fluxo $2EA$ e contém a carga $\sigma A$, logo $E=\sigma /(2{\epsilon }_0)$ de cada lado.

Equipotenciais e o gráfico V(x)

Uma equipotencial é uma superfície em que $V$ tem o mesmo valor em todos os pontos. Mover uma carga ao longo dela não exige trabalho, e o espaçamento entre equipotenciais vizinhas mede o campo. Um mapa de equipotenciais traz, portanto, a mesma informação que as linhas de campo, muitas vezes numa forma mais fácil de ler.

No nível avançado da animação, as curvas roxas tracejadas são equipotenciais de ±400, ±150 e ±50 V, e a reta tracejada no meio entre as cargas é $V=0$. Elas cruzam cada linha de campo em ângulo reto. A razão: $-\nabla V$ aponta para onde $V$ cai mais rapidamente, e isso é exatamente perpendicular a uma superfície em que $V$ não muda. A carga dourada começa em 393 V, logo fora da curva de 400 V, que corta o eixo a 19,7 mm da carga +.

Espaçamento pequeno significa campo forte, porque $V$ muda a mesma quantidade numa distância menor. A curva de +50 V corta o eixo a 21,3 mm da reta do meio, onde $V=0$, então o campo médio nesse intervalo é $50/0,0213\approx 2,35kV/m$. Isso é um pouco acima dos 2,22 kV/m no próprio ponto médio, porque o campo cresce em direção à carga.

O gráfico $V(x)$ mostra o mesmo ao longo do eixo que passa pelas cargas. Sua inclinação é $-E_x$, menos a componente do campo ao longo do eixo: cerca de $-2,2$ V por milímetro no ponto médio, e dez vezes mais íngreme onde a viagem começa. Fora do par, $V(x)$ sobe com $x$ dos dois lados, então ali $E_x<0$: à esquerda da carga + o campo aponta para longe dela, à direita da carga − aponta para ela, e ambas as direções apontam para a esquerda. O ponto dourado desliza pela curva enquanto sua energia potencial $U=qV$ se converte em energia cinética $K$.

Equação de Laplace: sem ponto de repouso

Combinando os dois resultados acima, obtém-se uma única equação só para $V$. Uma propriedade dessa equação proíbe qualquer armadilha estável construída com cargas fixas.

Colocando $\vec{E}=-\nabla V$ em $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$, obtém-se a equação de Poisson, ${\nabla }^{2}V=-\rho /{\epsilon }_0$, e no espaço vazio, onde $\rho =0$, a equação de Laplace, ${\nabla }^{2}V=0$. O laplaciano ${\nabla }^{2}V$ mede quanto a média de $V$ sobre uma pequena esfera em torno de um ponto excede o seu valor no centro. No espaço vazio ele é zero, então $V$ em cada ponto é igual à sua média sobre qualquer pequena esfera em torno dele.

Um valor igual à média de seus vizinhos não pode estar acima de todos eles nem abaixo de todos eles. Assim, no espaço vazio $V$ não tem máximo nem mínimo, apenas pontos de sela. Uma carga positiva precisaria de um mínimo de $V$ para repousar em equilíbrio estável; por isso nenhum arranjo de cargas fixas consegue manter uma carga de forma estável (teorema de Earnshaw). Por exemplo, no ponto médio entre duas cargas positivas iguais $E=0$, mas uma carga de teste positiva ali é empurrada de volta só ao longo do eixo; lateralmente, é empurrada para fora. Os átomos devem sua estabilidade a outra coisa: a mecânica quântica.

Condutores e o campo do capacitor

Num condutor, algumas cargas são livres para se mover. Esse único fato fixa o campo dentro e logo fora de qualquer condutor, e explica o campo uniforme de um capacitor.

Cargas livres se movem enquanto houver algum campo atuando sobre elas, então só param quando o campo dentro do metal é zero. Um condutor em repouso é, portanto, uma única equipotencial. Qualquer superfície fechada traçada dentro do metal tem fluxo zero; pela lei de Gauss, ela não contém carga alguma: qualquer excesso de carga fica na superfície. Logo fora, o campo é perpendicular à superfície, pois uma componente ao longo dela poria as cargas superficiais em movimento. Uma pequena caixa plana atravessando a superfície tem fluxo apenas pela face externa, o que dá o tamanho do campo, $E=\sigma /{\epsilon }_0$, com $\sigma$ a carga superficial por metro quadrado.

Duas placas paralelas com $+\sigma$ e $-\sigma$ produzem, cada uma, o campo de folha $\sigma /(2{\epsilon }_0)$. Entre as placas, os dois campos apontam no mesmo sentido e se somam; fora delas, apontam em sentidos opostos e se anulam. O resultado é o campo uniforme de um capacitor, $E=\sigma /{\epsilon }_0=\Delta V/d$ para placas separadas por uma distância $d$.

O dipolo visto de longe

Um dipolo é um par de cargas iguais e opostas, uma fonte comum na natureza: muitas moléculas são dipolos. Longe dele, os dois potenciais quase se cancelam, e o que sobra obedece a uma lei simples própria.

Legenda

$Q$	Valor de cada uma das duas cargas, $+Q$ e $-Q$.	$\mathrm{C}$
$d$	Distância entre as duas cargas.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Momento de dipolo: valor $p=Qd$, apontando de $-Q$ para $+Q$.	$\mathrm{C}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Ponto onde o potencial é determinado.
$r$	Distância do centro do dipolo até $P$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Ângulo entre $\vec{p}$ e a reta do centro até $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_{+}$	Distância de $+Q$ até $P$.	$\mathrm{m}$
$r_{-}$	Distância de $-Q$ até $P$.	$\mathrm{m}$
$d\cos \theta$	Quanto mais longe $P$ está de $-Q$ do que de $+Q$, quando $P$ está longe: a parte de $d$ que aponta para $P$.	$\mathrm{m}$

A figura 4 apresenta a geometria. As cargas $+Q$ e $-Q$ estão a uma distância $d$ uma da outra. O momento de dipolo $\vec{p}$ tem tamanho $p=Qd$ e aponta de $-Q$ para $+Q$. O ponto $P$ está a uma distância $r$ do centro do par, numa direção com ângulo $\theta$ em relação a $\vec{p}$, e a distâncias $r_{+}$ e $r_{-}$ das duas cargas. Somando os dois potenciais de cargas pontuais:
$V=kQ\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right)=kQ\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{+}{r}_{-}}$

Tudo agora depende da pequena diferença $r_{-}-r_{+}$. Quando $P$ está longe em comparação com $d$, as retas das duas cargas até $P$ são quase paralelas. A perpendicular tracejada a partir de $+Q$ encontra a reta de $-Q$ até $P$; a partir desse pé, a distância restante até $P$ é quase exatamente $r_{+}$. Assim, $r_{-}$ é maior que $r_{+}$ pelo segmento grosso de $-Q$ até o pé, rotulado $d\cos \theta$: a parte da separação $d$ que aponta para $P$. No denominador, as duas distâncias quase não diferem, então $r_{+}{r}_{-}\approx r^2$. Daí
$V\approx \frac{kQd\cos \theta }{r^2}=\frac{kp\cos \theta }{r^2}$

Como as duas contribuições quase se cancelam, o potencial cai com $1/r^2$ em vez de $1/r$, e o campo, seu gradiente, cai com $1/r^3$. A uma dada distância, $V$ é maior ao longo de $\vec{p}$ ($\theta =0$), zero no plano que passa pelo centro, perpendicular a $\vec{p}$ ($\theta =90^{\circ }$), e negativo do lado da carga negativa.

Uma verificação com o par da animação: $p=10^{-9}\cdot 0,18=1,8\times 10^{-10}\mathrm{C}\mathrm{m}$. A 1 m ao longo do eixo, a fórmula dá 1,62 V, contra o valor exato $kQ(1/0,91-1/1,09)\approx 1,63\mathrm{V}$. O erro relativo é cerca de $d^2/(4r^2)$, aqui 0,8 %; a aproximação já é boa a uma distância de pouco mais de cinco separações.

Problema resolvido: um próton e um elétron

A conservação de energia com os potenciais encontrados acima dá velocidades sem resolver nenhuma equação de movimento. Comparar duas partículas mostra então o que depende da massa e o que não depende.

Substitua a carga dourada por um próton, de carga $e$ e massa $m_p$, solto do repouso no mesmo ponto, a 20 mm da carga +. Qual é a sua velocidade no ponto médio e no fim da viagem, a 20 mm da carga −? O potencial cai 393,3 V no caminho até o ponto médio, onde $V=0$, e 786,6 V no caminho até o fim. Um elétron-volt (eV), $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$, é a energia que uma carga $e$ ganha ao cair através de um volt, então
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_1^2=e\cdot 393,3\mathrm{V}=393\mathrm{eV},v_1\approx 2,74\times 10^{5}m/s$
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_2^2=e\cdot 786,6\mathrm{V}=787\mathrm{eV},v_2\approx 3,88\times 10^{5}m/s$
O dobro da energia dá $\sqrt{2}$ vezes a velocidade.

Agora solte um elétron, de carga $-e$ e massa $m_e$, do ponto distante, em repouso. A força sobre ele, $-e\vec{E}$, aponta contra o campo, então ele é empurrado de volta em direção à carga +, subindo o potencial. A disposição é simétrica, e a energia potencial $-eV$ do elétron é a imagem espelhada da do próton; ele percorre então o mesmo caminho em sentido inverso e ganha os mesmos 787 eV, ou $1,26\times 10^{-16}\mathrm{J}$. Sua massa é 1836 vezes menor, então sua velocidade é $\sqrt{1836}\approx 42,8$ vezes maior: $1,66\times 10^{7}m/s$, 5,5 % da velocidade da luz. O tamanho de qualquer correção relativística é dado pela energia cinética comparada à energia de repouso, $K/(m_e{c}^2)=787/511000\approx 0,15\%$, e ela reduz essa velocidade em apenas cerca de 0,1 %.

Energia dá velocidades, não tempos. Para os tempos precisamos da equação de movimento ao longo do eixo, $m\ddot{x}=qE(x)$. Dividida por $m$, ela depende da partícula apenas por meio de $q/m$. Assim, toda partícula com carga do mesmo sinal, solta do repouso no mesmo ponto, segue o mesmo caminho; e se $q/m$ for maior por algum fator, todo o movimento acontece mais rápido pela raiz quadrada desse fator: todos os tempos escalam com $\sqrt{m/q}$. A carga da animação recebeu uma massa de cerca de 49 mg para que sua viagem dure 4,0 s. O $q/m$ do próton é $4,7\times 10^{13}$ vezes maior, então ele faz a viagem em $4,0\mathrm{s}/\sqrt{4,7\times 10^{13}}\approx 0,58\mu \mathrm{s}$. O elétron, 42,8 vezes mais rápido ainda, leva 13,6 ns.

Limites de validade

Todos os resultados acima se apoiam em hipóteses. Saber onde elas falham mostra quando é necessária uma teoria mais ampla.

Fontes em repouso. A eletrostática supõe que as cargas permaneçam no lugar. Uma notícia de mudança em uma carga só alcança a outra após o tempo de viagem da luz, 0,6 ns pelos 180 mm da animação; a soma coulombiana instantânea funciona, portanto, apenas para cargas que se movem devagar em relação à luz. Quando campos magnéticos variam, a lei de Faraday dá $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}\ne 0$: o trabalho ao longo de um laço não é mais zero, e o campo não é mais um gradiente puro. Ele passa a ser $\vec{E}=-\nabla V-\partial \vec{A}/\partial t$, com $\vec{A}$ o potencial vetor magnético.

Cargas pontuais. A lei do inverso do quadrado está entre as leis mais bem testadas da física: o expoente vale 2 com precisão de cerca de $10^{-15}$. A carga pontual, porém, é uma idealização: sua energia de campo, $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ por metro cúbico, soma infinito perto de um ponto real. Em distâncias muito curtas, aparecem efeitos quânticos. Abaixo de cerca de $4\times 10^{-13}\mathrm{m}$, o comprimento de onda Compton reduzido do elétron, uma sonda passa para dentro da nuvem de flutuações quânticas do vácuo, que blindam parcialmente toda carga. Ela então enxerga mais da carga, de modo que a força cresce um pouco mais rápido que $1/r^2$, e isso desloca de forma mensurável os níveis de energia do hidrogênio. Dentro do átomo de hidrogênio o campo é de cerca de $5\times 10^{11}V/m$; o elétron ali deve ser tratado pela mecânica quântica, embora ainda no potencial de Coulomb.

Matéria e campos intensos. Num material, o campo de uma carga livre é reduzido pela permissividade relativa, cerca de 80 para a água. Isolantes também têm limites: o ar seco rompe e faísca a cerca de 3 MV/m, e até o espaço vazio começaria a criar pares elétron–pósitron perto de $1,3\times 10^{18}V/m$.

Aonde isso leva

Em Capacitores, $E=\sigma /{\epsilon }_0$ e a energia $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ por metro cúbico descrevem o campo entre as placas. Corrente elétrica e resistência e Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm acompanham cargas impelidas pela matéria por uma diferença de potencial. Força magnética sobre cargas em movimento acrescenta $q\vec{v}\times \vec{B}$ a $q\vec{E}$, e Relatividade restrita mostra que os dois campos são partes de um só: o que um observador chama de campo elétrico puro, outro vê parcialmente magnético. Indução eletromagnética quebra $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$, e Ondas eletromagnéticas mostra os campos se propagando sozinhos a $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$. O mesmo potencial $1/r$ descreve a gravidade em Gravitação e órbitas e mantém o elétron no átomo de Bohr, em Modelos atômicos: o átomo de Bohr, onde a energia de ligação do hidrogênio é 13,6 eV.