电场与电势

入门

用气球在头发上摩擦后，它能在几厘米外把头发吸起来。电荷无需接触就能相互推拉，基本规律很简单：同种电荷相斥，异种电荷相吸。作用力还会随距离迅速减弱：把两个电荷的距离增大为两倍，作用力就降为四分之一。

第 1 步：电场。与其逐一追踪每个电荷，不如说每个电荷都在其周围空间建立一个电场。在任一点，电场告诉你：若在该处放一个小正“试探”电荷，它会被推向哪个方向、受多大的力。围绕正电荷的电场指向外侧；围绕负电荷的电场指向内侧。

第 2 步：电场线。我们用带箭头的线来画电场。它们从正电荷出发，到达负电荷。线密集的地方推力强；线稀疏的地方推力弱。

第 3 步：有多强。场强是每库仑电荷所受的力，单位是牛顿每库仑（N/C）。在 100 N/C 的电场中，半库仑的电荷受力 $0.5\times 100=50\mathrm{N}$。

第 4 步：电压。电势以伏特计量，它的作用好比山坡的高度。正电荷从高电压“落”到低电压，并像球滚下山坡一样加速。电势差为一伏，意味着每库仑电荷获得或失去一焦耳的能量。

在动画中，灰色线条从正电荷指向负电荷，并在每个电荷附近聚集。靠近正电荷释放的小金色电荷沿中间那条线滑动，越来越快。

自我检验：在 400 N/C 的电场中，0.005 C 的电荷受到多大的力？（答案：2 N。）

中级

电场：单位电荷所受的力

如《库仑定律》所描述，电荷通过空间相互推拉。场的观点把这一过程分为两步：源电荷在其周围各处建立电场 $\vec{E}$，而置于某点的电荷则受到该点电场的作用。

为了测量电场，在该点放一个小的正试探电荷 $q$，测出它所受的力再相除：
$E=\frac{F}{q}$

$q$ 加倍，力也加倍，所以这个比值属于该点本身；即使没有东西去探测，电场也依然存在。它的单位是牛顿每库仑，等于伏特每米。反过来，$\vec{F}=q\vec{E}$：正电荷沿电场方向受力，负电荷则逆着电场受力。动画中的试探电荷 $q=+0.1\mathrm{nC}$，比固定的源电荷 $\pm 1\mathrm{nC}$ 小十倍。

点电荷与叠加

将库仑定律除以试探电荷，即得距离 $r$ 处点电荷 $Q$ 的电场：
$E=\frac{kQ}{r^2}$
其中 $k\approx 8.99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$。它背离正的 $Q$，指向负电荷。

若有多个电荷，每个电荷单独产生的电场与其他电荷不存在时相同，总电场是它们的矢量和。在动画中那对电荷的中垂线上，两个电场大小相等，一个背离正电荷，一个指向负电荷。它们垂直于连线方向的分量相互抵消，沿连线方向的分量相加，因此总场与连线平行，指向负电荷一侧。图中的蓝色网格箭头即为这些和，其长度经过压缩，以适应电荷附近的强场。

电势：单位电荷的能量

电势用每个点一个数来描述同一电场，而不用箭头。把电荷逆着电场力移动需要做功，所做的功以电势能 $U$ 的形式储存，正如举起石头储存重力势能一样。单位电荷对应的量就是电势 $V=U/q$，单位为伏特：$1\mathrm{V}=1J/C$。

电荷 $q$ 穿过电势差 $\Delta V$ 时，其电势能变化 $\Delta U=q\Delta V$，电场对它做的功为 $W_{\mathrm{field}}=-\Delta U$。正电荷若自由运动，会移向低电势并加速，好比球滚下山坡；电子则移向高电势。电子经 1 V 电压加速后获得 1 电子伏特的能量，$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$。

取远处 $V=0$，点电荷的电势为 $V=kQ/r$：没有平方，且 $Q$ 保留其符号，因此多个电荷的电势按带符号的代数量相加。电场指向电势降低的方向，其大小为沿该方向每米 $V$ 下降的量。在相距为 $d$ 的平行板之间，电场是均匀的，$E=\Delta V/d$。以下为本层级的工作公式：

• $E=\frac{F}{q}$
• $E=\frac{kQ}{r^2}$
• $V=\frac{kQ}{r}$
• $\Delta U=q\Delta V=-W_{\mathrm{field}}$
• $E=\frac{\Delta V}{d}\text{(uniform field)}$

例题：动画中的偶极子

源电荷 $Q=\pm 1\mathrm{nC}$ 相距 180 mm，试探电荷 $q=+0.1\mathrm{nC}$ 从静止出发，位于距正电荷 20 mm 处。在中点，每个源电荷的距离为 0.090 m，各自贡献
$\frac{kQ}{r^2}=\frac{8.99\times 10^9\cdot 10^{-9}}{0.090^2}\approx 1.11\times 10^{3}V/m$

两个贡献都指向负电荷，因此 $E\approx 2.22kV/m$，$F=qE\approx 0.22\mu \mathrm{N}$。起点处，距正电荷 0.020 m，贡献为 22.5 kV/m；距负电荷 0.160 m，贡献为 0.35 kV/m。相加得 $E\approx 22.8kV/m$，$F\approx 2.28\mu \mathrm{N}$，是中点的十倍。这些即为起点与中点处的 $E$ 和 $F$ 读数；绿色力箭头在行程两端都很长，在中间很短。

起点的电势为 $V=kQ/0.020-kQ/0.160=449.5-56.2\approx 393\mathrm{V}$；由对称性，终点为 $-393\mathrm{V}$，中点为零。在这段 786.6 V 的电势降落中，电场做功 $W=10^{-10}\cdot 786.6\approx 7.87\times 10^{-8}\mathrm{J}$，即专家层级中动能 $K$ 读数的 78.7 nJ。中点获得其中一半，因此该处速率为末速率的 $1/\sqrt{2}$，约为 71 %；从静止出发，电荷需要其 4.0 s 行程中的 2.45 s 才能到达中点。

例题：两极板间的电子

在电子枪中，电子从负极板被拉向正极板。取两板相距 1.0 cm，电压为 500 V，电子从静止出发；两板间的电场是均匀的：
$E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{500}{0.010}=5.0\times 10^{4}V/m$

作用力 $F=eE=1.602\times 10^{-19}\cdot 5.0\times 10^4\approx 8.0\times 10^{-15}\mathrm{N}$，方向逆着电场，指向正极板；电子的重量比这个力小约 $10^{15}$ 倍。穿过间隙时，它获得 500 eV，即 $8.0\times 10^{-17}\mathrm{J}$。取其质量 $m=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$，由 $\frac{1}{2}m{v}^2=e\Delta V$ 得
$v=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8.0\times 10^{-17}}{9.11\times 10^{-31}}}\approx 1.33\times 10^{7}m/s$

这约为光速的 4.4 %。加速度恒定，因此平均速率为 $v/2$，穿越所需时间为 $t=2d/v\approx 1.5\mathrm{ns}$。电视显像管使用约 25 kV，足以使电子达到光速的三分之一左右。

读懂电场图

电场线在每一点都沿 $\vec{E}$ 的方向，其箭头标示正电荷将被推动的方向。电场线从正电荷出发，终止于负电荷；在动画中，到达负电荷的线与离开正电荷的线一样多。电场线互不相交，因为在每一点电场只有一个方向；在电荷附近，线密集之处电场很强。

专家层级中的虚线等势线与每条电场线成直角相交，因为沿等势线移动电荷不做功；中间那条直线是 $V=0$。

常见错误

• 电场线不是路径：离轴释放的电荷会穿越弯曲的电场线，因为其惯性使它无法随线转向；金色电荷只是因为中央那条线是直的，才沿其运动。
• 电场不等于力：在中点，对任何试探电荷都有 $E=2.2kV/m$，但 0.1 nC 的电荷受力 0.22 µN，1 nC 的电荷受力 2.2 µN。
• 电势按 $1/r$ 减小，电场按 $1/r^2$ 减小：在距 4 nC 电荷 10 cm 处，若忘记平方，会得到 360 V/m 而不是 3600 V/m。
• 电势为零不等于电场为零：在两电荷的中点，电势 $+99.9$ 与 $-99.9\mathrm{V}$ 相互抵消，而电场相加得 2.22 kV/m。
• 负电荷逆着电场受力，并向高电势加速：从 0 V 运动到 +500 V 的电子获得 500 eV。

应用场合

电场可以操纵电子显微镜中的电子和质谱仪中的离子，从烟囱废气中除去烟尘，并在激光打印机中吸附墨粉。干燥空气在约 3 MV/m 时被击穿，因此 1 mm 的间隙在约 3 kV 时就会火花放电。神经细胞在厚 7 nm 的膜两侧保持约 70 mV 的电压，场强约 10 MV/m。

接下来，《电容器》说明两板之间的电场如何储存能量，《电流与电阻》说明电场如何驱动电荷穿过导线，《直流电路与欧姆定律》说明电压如何使电荷在电路中持续流动。同样的数学适用于只相互吸引的质量，它支配着《万有引力与轨道》。

高级

叠加原理解决静电学问题

本节给出能确定所有静电场的一条规则。本课后面的内容，要么是通向它的捷径，要么是描绘其答案的方式。源电荷保持静止时，两个事实已经足够。库仑定律给出单个电荷的电场：它沿过电荷的连线方向，大小与距离的平方成反比。叠加原理指出，多个电荷的电场直接矢量相加，每个电荷的作用都如同其他电荷不存在一样。

图例

$Q_1$	正源电荷。	$\mathrm{C}$
$Q_2$	负源电荷，此处为 $-Q_1$。	$\mathrm{C}$
$P$	求电场的点。
$r_1$	$Q_1$ 到 $P$ 的距离；此处等于 $r_2$。	$\mathrm{m}$
$r_2$	$Q_2$ 到 $P$ 的距离；此处等于 $r_1$。	$\mathrm{m}$
${\vec{E}}_1$	仅由 $Q_1$ 产生的 $P$ 处电场，背离 $Q_1$。	$N/C$
${\vec{E}}_2$	仅由 $Q_2$ 产生的 $P$ 处电场，指向 $Q_2$。	$N/C$
$\vec{E}$	$P$ 处的总电场：矢量和 ${\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2$。	$N/C$

图 1 将一点 $P$ 处的两个电场相加。正电荷 $Q_1$ 会把试探正电荷推开，因此其电场 ${\vec{E}}_1$ 从 $Q_1$ 出发，经过 $P$ 并继续延伸。负电荷 $Q_2$ 会把试探电荷拉过来，因此其电场 ${\vec{E}}_2$ 从 $P$ 指向 $Q_2$。每个箭头的大小为 $k|Q_i|/r_i^2$，其中 $r_i$ 为电荷 $Q_i$ 到 $P$ 的距离，$k\approx 8.99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ 为库仑常量。

现在看 $P$ 的位置：它位于电荷对的中垂线上。因此 $r_1=r_2$，两个箭头等长。它们垂直于电荷连线方向的分量大小相等、方向相反，因而相互抵消。剩下的是和 $\vec{E}$，即虚线平行四边形的对角线，它平行于从正电荷指向负电荷的连线。

对于任意数目的电荷，将电荷 $Q_i$ 置于位置 ${\vec{r}}_i$，求位置 $\vec{r}$ 处的电场。从电荷指向场点的矢量为 $\vec{r}-{\vec{r}}_i$，长度为 $r_i$。将其除以 $r_i^3$，得到一个单位矢量除以 $r_i^2$：大小为平方反比，方向已经正确。对所有电荷求和：
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_i\frac{k{Q}_i(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}$

若电荷以密度 $\rho$（单位为库仑每立方米）连续分布，则将其切成位于 $\vec{s}$ 处的小块电荷 $\rho d^{3}s$，求和变为积分：
$\vec{E}(\vec{r})=k\int \frac{\rho (\vec{s})(\vec{r}-\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}{|}^3}{d}^{3}s$

原则上到此已经足够。动画中的电场线正是由这个两项之和画出的。下文的电势、电场线和高斯定律，将以更少的计算得到同一结果，或者一眼看出其形状。

电势：与路径无关的功

逐点做矢量加法非常繁琐。若每一点只用一个数，即电势，求和会容易得多。只有当电场在两点之间做的功沿所有路径都相同时，这样的数才存在。本节将证明这一点。

图例

$Q$	产生电场的点电荷。	$\mathrm{C}$
$a$	两条路径的起点。
$b$	两条路径的终点。
$r_a$	$Q$ 到 $a$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$r_b$	$Q$ 到 $b$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	路径 1 上的一小段：其长度与方向。	$\mathrm{m}$
$dr$	该小段中离 $Q$ 距离的变化：即两段虚线圆弧之间的间距。	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	小段起点处的电场，沿离开 $Q$ 的方向。	$N/C$

图 2 展示一个点电荷 $Q$ 以及从点 $a$ 到点 $b$ 的两条路径。沿路径以小步 $d\vec{l}$ 移动试探电荷。每一步中，电场对电荷 $q$ 做功 $q\vec{E}\cdot d\vec{l}$，因此从 $a$ 到 $b$ 单位电荷所做的功为线积分 ${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$：即所有步的 $\vec{E}\cdot d\vec{l}$ 之和。

看路径 1 上画出的那一步。其起点处的电场 $\vec{E}$ 沿着离开 $Q$ 的方向，因此点积只保留该步沿径向的部分。这部分就是 $dr$，即以 $Q$ 为圆心的两段虚线圆弧之间的间距：它表示该步使离 $Q$ 的距离改变了多少。沿圆弧的侧向移动不做任何功。于是
$\vec{E}\cdot d\vec{l}=Edr=\frac{kQ}{r^2}dr$
将从距离 $r_a$ 到距离 $r_b$ 的各步相加：
${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{kQ}{r^2}dr=kQ\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
结果只取决于两端的距离 $r_a$ 和 $r_b$，与其他因素无关。路径 2 更长，并大幅偏离到路径 1 的上方，但在 $r_a$ 与 $r_b$ 之间，它穿过的是同一组以 $Q$ 为中心的圆，因此总功完全相同。

任何静态电荷分布都是点电荷之和。该和式的每一项都与路径无关，所以整个电场也与路径无关。沿一条路径去、沿另一条路径回，闭合回路上做的功为零：
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$
若此式不成立，那么一个在固定电荷作用下沿有利方向绕行的电荷，每绕一圈都会获得能量，这就是永动机。

由于路径无关，可以为每个点赋予一个数：电势 $V$，单位为伏特（焦耳每库仑）。从 $a$ 到 $b$ 的变化定义为
$\Delta V=V_b-V_a=-{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
负号使 $V$ 沿电场方向下降。正电荷在电场推动下运动时，失去势能 $qV$，并获得等量的动能。取无穷远处 $V=0$，并在积分中用 $s$ 表示离 $Q$ 的距离，点电荷给出
$V(r)=-{\int }_{\infty }^r\frac{kQ}{s^2}ds=\frac{kQ}{r}$

反过来看，电场等于电势梯度的负值。它指向 $V$ 下降最快的方向，其大小为沿该方向每米 $V$ 下降的伏特数。对电荷 $q$ 而言，动能为 $K$ 时的能量守恒可以用一行写出：
$\vec{E}=-\nabla V,K+qV=\mathrm{const}$

来看动画中的例子。其源电荷为 +1 nC 与 −1 nC，相距 180 mm。金色试探电荷 $q=10^{-10}\mathrm{C}$ 从静止出发，位于距正电荷 20 mm 处；此处（距离以米计）$V=kQ(1/0.02-1/0.16)\approx +393\mathrm{V}$。它最终到达对称点，即距负电荷 20 mm 处，此处 $V\approx -393\mathrm{V}$。因此它到达时的动能为
$K=q(V_a-V_b)=10^{-10}\cdot 786.6\approx 7.87\times 10^{-8}\mathrm{J}$
即 $K$ 读数的 78.7 nJ。若沿同样两点之间的其他路径运动，例如沿无摩擦的轨道，它到达时的能量仍然相同。

通过曲面的通量与高斯定律

高斯定律把闭合曲面上的电场与其内部的电荷联系起来。在有对称性的情况下，它可以一行给出电场，而无需任何求和。其思路始于电场线。固定数目的电场线从点电荷射出，每一条都穿过包围它的每个球面。球面面积为 $4\pi r^2$，因此每平方米的电场线数随 $1/r^2$ 减小，与电场完全一致：电场线的疏密如实反映了场强。要把“穿过某曲面的电场线数目”变成对任意形状曲面都适用的量，需要将曲面切成小片。

图例

$S$	包围电荷的闭合曲面，形状可以任意。
$Q$	$S$ 内的电荷：即高斯定律中的 $Q_{\mathrm{enc}}$。	$\mathrm{C}$
$dA$	$S$ 的一小片的面积。	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	该小片的矢量：长度为 $dA$，垂直于该小片并指向 $S$ 外侧。	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{E}$	$Q$ 在该小片处产生的电场。	$N/C$
$\theta$	$\vec{E}$ 与 $d\vec{A}$ 之间的夹角。	$\mathrm{rad}$

图 3 展示了包围电荷 $Q$ 的闭合曲面 $S$，并放大了其中一小片。该小片面积为 $dA$。为记录其朝向，将其表示为矢量 $d\vec{A}$：长度为 $dA$，垂直于该小片，指向 $S$ 外侧。穿过该小片的通量，即穿过它的电场量为
$d\Phi =\vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA\cos \theta$
其中 $\theta$ 为电场 $\vec{E}$ 与 $d\vec{A}$ 之间的夹角。只有穿过该小片的那部分电场才有贡献。正对电荷的小片（$\theta =0$）截获的电场线最多；倾斜角度 $\theta$ 时，截获数目按因子 $\cos \theta$ 减少；电场只是掠过的小片（$\theta =90^{\circ }$）则一条也截获不到。对 $S$ 的每一小片的通量求和，即得高斯定律：
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{{\epsilon }_0}$
此处 $Q_{\mathrm{enc}}$ 为 $S$ 包围的总电荷，${\epsilon }_0\approx 8.85\times 10^{-12}F/m$ 为真空介电常数，它与库仑常量的关系为 $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$。

为什么 $S$ 的形状无关紧要。立体角之于球，犹如平面角之于圆，而围绕一点的整个球面为 $4\pi$。从 $Q$ 看去，距离为 $r$ 的小片所张的小立体角为 $d\Omega =dA\cos \theta /r^2$：即它从 $Q$ 正面看去的面积，除以 $r^2$。因此其通量为
$EdA\cos \theta =\frac{kQ}{r^2}dA\cos \theta =kQd\Omega$
小片视面积中的 $r^2$ 与电场中的 $1/r^2$ 相抵消，因此张角相同的一个近处小片与一个远处大片，通过的通量相同。围绕 $Q$ 的闭合曲面所张的立体角之和为 $4\pi$，所以总通量为 $4\pi kQ=Q/{\epsilon }_0$，无论 $S$ 多么凹凸不平。$S$ 之外的电荷，会使其电场线从一块小片进入、从另一块小片射出，产生的负通量与正通量相等。这就是为什么只有内部电荷才有贡献。

对动画中 +1 nC 的电荷而言，穿过包围它的任意闭合曲面的通量为 $10^{-9}/(8.85\times 10^{-12})\approx 113\mathrm{V}\mathrm{m}$。包围两个电荷的曲面，其净通量为零：从其中射出的每条电场线都会再回到其中。

由此可得两个推论。将曲面收缩到单个点附近，高斯定律就变成关于该点的陈述 $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$：电场线只在有电荷处开始或终止。而在有对称性时，高斯定律几乎可以免费给出电场。均匀带电球体在其外部的作用，如同位于球心的点电荷。一个面电荷密度为 $\sigma$（单位为库仑每平方米）的大平面片，其电场垂直于平面向两侧射出；跨在该平面上、端面面积为 $A$ 的扁平盒形曲面，其通量为 $2EA$，所包围的电荷为 $\sigma A$，因此每侧 $E=\sigma /(2{\epsilon }_0)$。

等势线与 V(x) 图像

等势面是 $V$ 处处取相同值的曲面。沿它移动电荷不做功，相邻等势面的间距则衡量电场的强弱。因此，等势线图包含的信息与电场线相同，且往往更易读。

在动画的专家层级中，紫色虚线为 ±400、±150 和 ±50 V 的等势线，两电荷连线中点处的直线虚线为 $V=0$。它们与每条电场线成直角相交。原因是：$-\nabla V$ 指向 $V$ 下降最快的方向，而这正是在 $V$ 完全不变的面上所垂直的方向。金色电荷从 393 V 处出发，恰在 400 V 等势线外侧；该等势线在距正电荷 19.7 mm 处与轴线相交。

等势线密集意味着电场强，因为 $V$ 在更短的距离上变化相同的量。+50 V 等势线在距中线（$V=0$）21.3 mm 处与轴线相交，因此该段的平均电场为 $50/0.0213\approx 2.35kV/m$。这略高于中点本身的 2.22 kV/m，因为电场在靠近电荷处会增强。

$V(x)$ 图像沿穿过两个电荷的轴线展示了同样的内容。其斜率为 $-E_x$，即电场沿轴分量的负值：中点处约为 $-2.2$ V/mm，而行程起点处斜率陡十倍。在电荷对之外，$V(x)$ 在两侧都随 $x$ 增大，因此在那里 $E_x<0$：正电荷左侧的电场背离它，负电荷右侧的电场指向它，二者方向都向左。金色的点沿曲线滑下，其势能 $U=qV$ 转化为动能 $K$。

拉普拉斯方程：没有静止的稳定位置

将上面的两个结果结合起来，即可得到只关于 $V$ 的单一方程。该方程的一个性质禁止由固定电荷构成任何稳定的束缚。

将 $\vec{E}=-\nabla V$ 代入 $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$，得到泊松方程 ${\nabla }^{2}V=-\rho /{\epsilon }_0$；在无电荷的空间中 $\rho =0$，则为拉普拉斯方程 ${\nabla }^{2}V=0$。拉普拉斯算子 ${\nabla }^{2}V$ 衡量的是：一点附近小球面上 $V$ 的平均值超出其中心值的程度。在无电荷的空间中它为零，因此每一点的 $V$ 都等于其周围任一小球面上的平均值。

一个数值若等于其周围各值的平均，既不可能高于所有周围值，也不可能低于所有周围值。因此在无电荷的空间中 $V$ 没有极大值和极小值，只有鞍点。正电荷若要在稳定平衡中静止，就需要 $V$ 有一个极小值，因此没有任何固定电荷分布能稳定地束缚电荷（厄恩肖定理）。例如，在两个相等正电荷的中点 $E=0$，但位于该处的正试探电荷只沿轴线方向受到回推力；垂直于轴线的方向上，它会被推离。原子的稳定性则源于别的原因：量子力学。

导体与电容器的电场

在导体中有一部分电荷可以自由移动。这一个事实就决定了每个导体内部及其外侧的电场，并解释了电容器的均匀电场。

自由电荷只要受到任何电场的作用就会运动，因此只有当金属内部的电场为零时它们才会停下。静止的导体因此是单一的等势体。在金属内部画出的任意闭合曲面，其通量为零，由高斯定律可知它所包围的电荷为零：任何多余电荷都位于表面上。紧贴表面外侧，电场垂直于表面，因为沿表面的分量会驱使表面电荷运动。跨在表面上的一个小扁平盒形曲面，只在其外侧端面有通量，由此得到电场大小 $E=\sigma /{\epsilon }_0$，其中 $\sigma$ 为每平方米的表面电荷。

带有 $+\sigma$ 和 $-\sigma$ 的两块平行板，各自产生电场 $\sigma /(2{\epsilon }_0)$。两板之间，两个电场方向相同而相加；板外，方向相反而抵消。结果即电容器的均匀电场 $E=\sigma /{\epsilon }_0=\Delta V/d$，其中两板相距 $d$。

从远处看偶极子

偶极子是一对大小相等、符号相反的电荷，是自然界中的常见源：许多分子都是偶极子。在远离它的地方，两个电势近乎相互抵消，剩下的部分遵循其自身的简单规律。

图例

$Q$	两个电荷 $+Q$ 与 $-Q$ 各自的大小。	$\mathrm{C}$
$d$	两个电荷之间的距离。	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	偶极矩：大小 $p=Qd$，方向从 $-Q$ 指向 $+Q$。	$\mathrm{C}\cdot \mathrm{m}$
$P$	求电势的点。
$r$	从偶极子中心到 $P$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$\theta$	$\vec{p}$ 与从中心到 $P$ 的连线之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
$r_{+}$	从 $+Q$ 到 $P$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$r_{-}$	从 $-Q$ 到 $P$ 的距离。	$\mathrm{m}$
$d\cos \theta$	当 $P$ 很远时，$P$ 到 $-Q$ 比到 $+Q$ 多出的距离：即 $d$ 中指向 $P$ 的分量。	$\mathrm{m}$

图 4 给出了几何结构。电荷 $+Q$ 与 $-Q$ 相距 $d$。偶极矩 $\vec{p}$ 的大小为 $p=Qd$，方向从 $-Q$ 指向 $+Q$。点 $P$ 到电荷对中心的距离为 $r$，其方向与 $\vec{p}$ 成夹角 $\theta$，到两个电荷的距离分别为 $r_{+}$ 和 $r_{-}$。将两个点电荷的电势相加：
$V=kQ\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right)=kQ\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{+}{r}_{-}}$

一切都取决于微小的差 $r_{-}-r_{+}$。当 $P$ 远离、与 $d$ 相比很远时，从两个电荷到 $P$ 的连线近乎平行。从 $+Q$ 所作的、垂直于从 $-Q$ 到 $P$ 连线的虚线与之相交；从该垂足起，到 $P$ 的剩余距离几乎恰好为 $r_{+}$。因此 $r_{-}$ 比 $r_{+}$ 多出从 $-Q$ 到垂足的粗线段，标记为 $d\cos \theta$：即间距 $d$ 中指向 $P$ 方向的部分。分母中两个距离几乎没有差别，因此 $r_{+}{r}_{-}\approx r^2$。于是
$V\approx \frac{kQd\cos \theta }{r^2}=\frac{kp\cos \theta }{r^2}$

由于两项贡献几乎相消，电势按 $1/r^2$ 而非 $1/r$ 减小，而其梯度即电场则按 $1/r^3$ 减小。在给定距离上，$V$ 沿 $\vec{p}$ 方向（$\theta =0$）最大，在过中心且垂直于 $\vec{p}$ 的平面上（$\theta =90^{\circ }$）为零，在负电荷一侧为负。

用动画中的电荷对检验：$p=10^{-9}\cdot 0.18=1.8\times 10^{-10}\mathrm{C}\mathrm{m}$。沿轴线距离 1 m 处，公式给出 1.62 V，而精确值为 $kQ(1/0.91-1/1.09)\approx 1.63\mathrm{V}$。相对误差约为 $d^2/(4r^2)$，此处为 0.8 %，因此在距离仅略超过五倍间距时，近似已经很好。

例题：质子与电子

利用上面求得的电势与能量守恒，无需解任何运动方程即可求出速率。比较两个粒子，即可看出什么取决于质量，什么不取决于质量。

用一个质子代替金色电荷，其电荷为 $e$，质量为 $m_p$，从同一点（距正电荷 20 mm 处）静止释放。它在中点时速率多大？到达距负电荷 20 mm 的行程终点时又多大？沿途电势到中点时降低 393.3 V（中点 $V=0$），到终点时降低 786.6 V。一个电子伏特（eV），即 $1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$，是电荷 $e$ 下降一伏所获得的能量，因此
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_1^2=e\cdot 393.3\mathrm{V}=393\mathrm{eV},v_1\approx 2.74\times 10^{5}m/s$
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_2^2=e\cdot 786.6\mathrm{V}=787\mathrm{eV},v_2\approx 3.88\times 10^{5}m/s$
能量加倍，速率则为 $\sqrt{2}$ 倍。

现在从远端静止释放一个电子，其电荷为 $-e$，质量为 $m_e$。作用力 $-e\vec{E}$ 逆着电场方向，因此它被推回正电荷一侧，即逆着电势上升的方向运动。由于装置对称，电子的势能 $-eV$ 与质子的势能互为镜像，因此它沿相同路径反向运动，并获得相同的 787 eV，即 $1.26\times 10^{-16}\mathrm{J}$。其质量小 1836 倍，因此速率大 $\sqrt{1836}\approx 42.8$ 倍：为 $1.66\times 10^{7}m/s$，即光速的 5.5 %。相对论修正的大小由动能与静止能量之比决定，$K/(m_e{c}^2)=787/511000\approx 0.15\%$，它只使该速率降低约 0.1 %。

能量给出的是速率，而非时间。要求时间，需要沿轴线的运动方程 $m\ddot{x}=qE(x)$。两边除以 $m$ 后，它只通过 $q/m$ 依赖于粒子。因此，同号电荷若从同一点静止释放，将沿同一路径运动；若 $q/m$ 大若干倍，整个运动就快该倍数的平方根：所有时间都按 $\sqrt{m/q}$ 缩放。动画中的电荷被赋予约 49 mg 的质量，使其行程耗时 4.0 s。质子的 $q/m$ 大 $4.7\times 10^{13}$ 倍，因此其行程耗时 $4.0\mathrm{s}/\sqrt{4.7\times 10^{13}}\approx 0.58\mu \mathrm{s}$。电子又快 42.8 倍，耗时 13.6 ns。

适用范围的限制

以上每个结果都依赖于若干假设。知道它们在何处失效，就能判断何时需要更完备的理论。

源电荷静止。静电学假设电荷保持不动。某个电荷的变化要经过光的传播时间才能到达另一个电荷，在动画中相距 180 mm，需时 0.6 ns，因此瞬时的库仑求和只适用于运动速度远小于光速的电荷。当磁场变化时，法拉第定律给出 $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}\ne 0$：绕回路的功不再为零，电场也不再是纯粹的梯度。它变为 $\vec{E}=-\nabla V-\partial \vec{A}/\partial t$，其中 $\vec{A}$ 为磁矢势。

点电荷。平方反比定律是物理学中检验最严格的定律之一：指数在约 $10^{-15}$ 的精度内等于 2。然而点电荷只是一种理想化：其电场能量密度 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$（每立方米）在真正的点附近会累积为无穷大。在极短距离上，量子效应开始显现。在电子的约化康普顿波长 $4\times 10^{-13}\mathrm{m}$ 以内，探测粒子会穿过量子真空涨落的云团，该云团会部分屏蔽每个电荷。于是它看到的电荷更多，作用力随之略快于 $1/r^2$ 减小，这一效应可以测量，并会使氢原子的能级发生可测的移动。在氢原子内部，电场约为 $5\times 10^{11}V/m$；此处的电子必须用量子力学处理，但仍处于库仑势中。

物质与强场。在材料中，自由电荷的电场会因相对介电常数而减弱，水的相对介电常数约为 80。绝缘体也有其极限：干燥空气在约 3 MV/m 时被击穿并发生火花，而即使是真空，在约 $1.3\times 10^{18}V/m$ 附近也会开始产生电子-正电子对。

延伸

在《电容器》中，$E=\sigma /{\epsilon }_0$，以及每立方米 $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ 的能量，描述了两板之间的电场。《电流与电阻》和《直流电路与欧姆定律》讨论电势差如何驱动电荷穿过物质。《运动电荷受到的磁场力》在 $q\vec{E}$ 之外又加上 $q\vec{v}\times \vec{B}$；《狭义相对论》则表明两种场实为一体：一个观察者认为是纯电场的，在另一个观察者看来部分是磁场。《电磁感应》打破了 $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$，《电磁波》则说明场以 $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ 的速度自行传播。同样的 $1/r$ 势描述了《万有引力与轨道》中的引力，并把电子束缚在《原子模型：玻尔原子》中的氢原子里，氢的结合能为 13.6 eV。