विद्युत क्षेत्र और विभव

आवेश $Q$ अपने चारों ओर के स्थान को विद्युत क्षेत्र $E$ (प्रति कूलॉम बल) और विभव $V$ (प्रति कूलॉम ऊर्जा) से भर देता है: धन आवेश $E$ की दिशा में, उच्च $V$ से निम्न $V$ की ओर धकेला जाता है।

एक धन और एक ऋण आवेश की विद्युत बल रेखाएँ, और धन आवेश के पास छोड़ा गया एक छोटा धन परीक्षण आवेश। वह केंद्रीय बल रेखा के अनुदिश ऋण आवेश की ओर त्वरित होता है।

इस विषय से पहले: कूलॉम का नियम, कार्य, ऊर्जा और शक्ति

शुरुआती

मुख्य विचार

समान आवेश प्रतिकर्षित करते हैं, विपरीत आवेश आकर्षित करते हैं, भले ही वे छुएँ नहीं; दूरी दोगुनी होने पर बल एक-चौथाई रह जाता है।
आवेश अपने चारों ओर विद्युत क्षेत्र बनाता है: वहाँ रखे छोटे धन आवेश पर लगने वाला धक्का।
विद्युत बल रेखाएँ धन आवेशों से निकलती हैं और ऋण आवेशों पर समाप्त होती हैं; जहाँ वे सघन हों, वहाँ धक्का प्रबल होता है।
क्षेत्र की प्रबलता प्रति कूलॉम बल है: 100 N/C में आधा कूलॉम आवेश पर $0.5 \times 100 = 50 N$ बल लगता है।
विभव पहाड़ की ऊँचाई जैसा है: धन आवेश उच्च से निम्न विभव की ओर गिरकर तेज़ होता है; 1 वोल्ट = 1 जूल प्रति कूलॉम।

गुब्बारे को बालों पर रगड़ने से वह कुछ सेंटीमीटर दूर से बालों को उठा सकता है। विद्युत आवेश बिना छुए धक्का और खिंचाव देते हैं, और मूल नियम सरल है: समान आवेश प्रतिकर्षित करते हैं, विपरीत आवेश आकर्षित करते हैं। बल दूरी के साथ तेज़ी से घटता भी है: दो आवेशों की दूरी दोगुनी करने पर बल एक-चौथाई रह जाता है।

चरण 1: क्षेत्र। हर आवेश का अलग-अलग हिसाब रखने के बजाय हम कहते हैं कि हर आवेश अपने चारों ओर के स्थान को विद्युत क्षेत्र से भर देता है। किसी भी बिंदु पर क्षेत्र बताता है कि वहाँ रखे छोटे धन “परीक्षण” आवेश को किस दिशा में और कितने बल से धकेला जाएगा। धन आवेश के चारों ओर क्षेत्र बाहर की ओर इंगित करता है; ऋण आवेश के चारों ओर भीतर की ओर।

चरण 2: बल रेखाएँ। हम क्षेत्र को तीरों वाली रेखाओं से दर्शाते हैं। ये धन आवेशों से निकलती हैं और ऋण आवेशों पर पहुँचती हैं। जहाँ रेखाएँ सघन हों वहाँ धक्का प्रबल होता है; जहाँ वे फैली हों वहाँ दुर्बल।

चरण 3: कितना प्रबल। क्षेत्र की प्रबलता प्रति कूलॉम आवेश पर लगने वाला बल है, जिसे न्यूटन प्रति कूलॉम (N/C) में मापते हैं। 100 N/C के क्षेत्र में आधे कूलॉम के आवेश पर $0.5 \times 100 = 50 N$ बल लगता है।

चरण 4: वोल्टेज। विद्युत विभव, जो वोल्ट में मापा जाता है, पहाड़ की ऊँचाई जैसा काम करता है। धन आवेश उच्च वोल्टेज से निम्न वोल्टेज की ओर “गिरता” है और गेंद के ढलान से लुढ़कने की तरह तेज़ होता जाता है। एक वोल्ट का अंतर होने का अर्थ है कि हर कूलॉम को एक जूल ऊर्जा मिलती या खोती है।

एनिमेशन में धूसर रेखाएँ धन आवेश से ऋण आवेश की ओर जाती हैं और हर आवेश के पास जमा हो जाती हैं। धन के पास छोड़ा गया छोटा सुनहरा आवेश बीच की रेखा पर फिसलता है, और लगातार तेज़ होता जाता है।

स्वयं जाँचें: 400 N/C के क्षेत्र में 0.005 C आवेश पर कितना बल लगेगा? (उत्तर: 2 N।)

मध्यम

मुख्य विचार

$E = F / q$ : छोटे धन परीक्षण आवेश पर प्रति कूलॉम बल, N/C = V/m में।
बिंदु आवेश से $E = k Q / r^{2}$ (सदिश) और $V = k Q / r$ (जो $Q$ का चिह्न रखता है, अदिश) प्राप्त होते हैं।
कई आवेशों के क्षेत्र सदिश रूप में जुड़ते हैं; विभव सामान्य संख्याओं की तरह जुड़ते हैं।
$q$ को $Δ V$ से गति कराने पर उसकी स्थितिज ऊर्जा $Δ U = q Δ V$ बदलती है; $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ ।
शून्य विभव का अर्थ शून्य क्षेत्र नहीं है: $+ Q$ और $- Q$ के मध्य में $V = 0$ है, पर $E \neq = 0$ ।

क्षेत्र: प्रति इकाई आवेश पर बल

जैसा कूलॉम का नियम बताता है, आवेश खाली स्थान के आर-पार एक-दूसरे को धकेलते और खींचते हैं। क्षेत्र-चित्र इसे दो चरणों में बाँटता है: स्रोत आवेश अपने चारों ओर हर जगह विद्युत क्षेत्र $E$ स्थापित करते हैं, और किसी बिंदु पर रखा आवेश वहीं के क्षेत्र को महसूस करता है।

क्षेत्र मापने के लिए उस बिंदु पर एक छोटा धन परीक्षण आवेश $q$ रखें, उस पर लगने वाला बल मापें और भाग दें:
$E = \frac{F}{q}$

$q$ दोगुना करने पर बल भी दोगुना होता है, इसलिए यह अनुपात उस बिंदु का गुण है, और क्षेत्र वहाँ तब भी होता है जब उसे जाँचने वाला कोई न हो। इसका मात्रक न्यूटन प्रति कूलॉम है, जो वोल्ट प्रति मीटर के बराबर है। उलटकर, $F = q E$ : धन आवेश क्षेत्र की दिशा में, और ऋण आवेश उसके विपरीत धकेला जाता है। एनिमेशन का परीक्षण आवेश $q = + 0.1 nC$ है, जो स्थिर स्रोत आवेशों $\pm 1 nC$ से दस गुना छोटा है।

बिंदु आवेश और अध्यारोपण

कूलॉम के नियम को परीक्षण आवेश से भाग देने पर दूरी $r$ पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ का क्षेत्र मिलता है:
$E = \frac{k Q}{r ^{2}}$
जहाँ $k \approx 8.99 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$ । यह धनात्मक $Q$ से दूर और ऋणात्मक की ओर इंगित करता है।

कई आवेशों में हर आवेश अपना क्षेत्र ऐसे बनाता है मानो दूसरे न हों, और कुल क्षेत्र उनका सदिश योग है। एनिमेशन के युग्म के लंबवत समद्विभाजक पर दोनों क्षेत्र समान प्रबल हैं, एक धन आवेश से दूर और दूसरा ऋण आवेश की ओर। अक्ष के लंबवत उनके घटक एक-दूसरे को निरस्त करते हैं और अक्ष के अनुदिश जुड़ते हैं, इसलिए कुल क्षेत्र अक्ष के समांतर, ऋण आवेश की ओर होता है। नीले ग्रिड तीर ये योग दिखाते हैं, जिनकी लंबाइयाँ आवेशों के पास के प्रबल क्षेत्र के लिए संपीड़ित की गई हैं।

विभव: प्रति इकाई आवेश ऊर्जा

विभव उसी क्षेत्र को हर बिंदु पर एक संख्या से दर्शाता है, तीर से नहीं। आवेश को विद्युत बल के विरुद्ध ले जाने में कार्य लगता है, जो स्थितिज ऊर्जा $U$ के रूप में संचित होता है, जैसे पत्थर उठाने से गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा संचित होती है। प्रति इकाई आवेश यह विद्युत विभव $V = U / q$ बन जाता है, जिसका मात्रक वोल्ट है: $1 V = 1 J/C$ ।

जब आवेश $q$ विभवांतर $Δ V$ से गुज़रता है, तो उसकी स्थितिज ऊर्जा $Δ U = q Δ V$ बदलती है, और क्षेत्र उस पर $W_{field} = - Δ U$ कार्य करता है। धन आवेश स्वतंत्र छोड़ने पर निम्न विभव की ओर जाता है और तेज़ होता है, जैसे गेंद ढलान पर लुढ़कती है; इलेक्ट्रॉन उच्च विभव की ओर जाता है। 1 V से त्वरित इलेक्ट्रॉन एक इलेक्ट्रॉन-वोल्ट ऊर्जा प्राप्त करता है, $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ ।

दूर पर $V = 0$ मानकर, बिंदु आवेश का विभव $V = k Q / r$ है: इसमें वर्ग नहीं है, और $Q$ अपना चिह्न रखता है, इसलिए कई आवेशों के विभव बीजगणितीय संख्याओं की तरह जुड़ते हैं। क्षेत्र निम्न विभव की दिशा में इंगित करता है, और उसका परिमाण उस दिशा में प्रति मीटर $V$ के गिरने की दर है। $d$ दूरी पर स्थित समांतर प्लेटों के बीच क्षेत्र एकसमान है, $E = Δ V / d$ । इस स्तर के कार्यकारी समीकरण ये हैं:

$E = \frac{F}{q}$
$E = \frac{k Q}{r ^{2}}$
$V = \frac{k Q}{r}$
$Δ U = q Δ V = - W_{field}$
$E = \frac{Δ V}{d} (uniform field)$

उदाहरण: एनिमेशन का द्विध्रुव

स्रोत आवेश $Q = \pm 1 nC$ 180 mm की दूरी पर हैं, और परीक्षण आवेश $q = + 0.1 nC$ धन आवेश से 20 mm दूर विराम से शुरू होता है। मध्य बिंदु पर हर स्रोत 0.090 m दूर है और योगदान देता है
$\frac{k Q}{r ^{2}} = \frac{8.99 \times 1 0 ^{9} \cdot 1 0 ^{- 9}}{0.09 0 ^{2}} \approx 1.11 \times 1 0^{3} V/m$

दोनों योगदान ऋण आवेश की ओर इंगित करते हैं, इसलिए $E \approx 2.22 kV/m$ और $F = qE \approx 0.22 μ N$ । आरंभ में धन आवेश, 0.020 m दूर, 22.5 kV/m देता है और ऋण आवेश, 0.160 m दूर, 0.35 kV/m जोड़ता है, अतः $E \approx 22.8 kV/m$ और $F \approx 2.28 μ N$ , जो मध्य से दस गुना है। ये आरंभ और मध्य पर $E$ और $F$ के पाठ्यांक हैं; हरा बल तीर यात्रा के दोनों सिरों पर लंबा और बीच में छोटा है।

आरंभ में विभव $V = k Q /0.020 - k Q /0.160 = 449.5 - 56.2 \approx 393 V$ है; समरूपता से अंत में यह $- 393 V$ और मध्य में शून्य है। 786.6 V की इस गिरावट में क्षेत्र $W = 1 0^{- 10} \cdot 786.6 \approx 7.87 \times 1 0^{- 8} J$ कार्य करता है, जो विशेषज्ञ स्तर के $K$ पाठ्यांक पर 78.7 nJ गतिज ऊर्जा है। मध्य बिंदु तक आधी ऊर्जा प्राप्त हो चुकी होती है, इसलिए वहाँ चाल अंतिम चाल की $1/ 2$ , यानी लगभग 71 % है; विराम से शुरू होकर आवेश अपनी 4.0 s की यात्रा के 2.45 s में वहाँ पहुँचता है।

उदाहरण: दो प्लेटों के बीच इलेक्ट्रॉन

इलेक्ट्रॉन-गन में इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक प्लेट से धन प्लेट की ओर खींचे जाते हैं। मान लें प्लेटें 1.0 cm दूर हैं और उनके बीच 500 V है, और इलेक्ट्रॉन विराम से शुरू होता है; दोनों के बीच क्षेत्र एकसमान है:
$E = \frac{Δ V}{d} = \frac{500}{0.010} = 5.0 \times 1 0^{4} V/m$

बल $F = e E = 1.602 \times 1 0^{- 19} \cdot 5.0 \times 1 0^{4} \approx 8.0 \times 1 0^{- 15} N$ है, जो क्षेत्र के विरुद्ध, धन प्लेट की ओर लगता है; इलेक्ट्रॉन का भार इससे लगभग $1 0^{15}$ गुना कम है। अंतराल पार करते समय यह 500 eV, अर्थात $8.0 \times 1 0^{- 17} J$ प्राप्त करता है। द्रव्यमान $m = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ लेकर, $\frac{1}{2} m v^{2} = e Δ V$ से वेग मिलता है
$v = \frac{2 e Δ V}{m} = \frac{2 \cdot 8.0 \times 1 0 ^{- 17}}{9.11 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 1.33 \times 1 0^{7} m/s$

यह प्रकाश की चाल का लगभग 4.4 % है। त्वरण स्थिर है, इसलिए औसत चाल $v /2$ है और पार करने में $t = 2 d / v \approx 1.5 ns$ लगते हैं। टेलीविज़न ट्यूब लगभग 25 kV उपयोग करती थीं, जो प्रकाश की चाल के लगभग एक-तिहाई तक पहुँचने के लिए पर्याप्त है।

विद्युत क्षेत्र-चित्र पढ़ना

बल रेखा हर बिंदु पर $E$ के अनुदिश चलती है, और उसका तीर दिखाता है कि धन आवेश किस ओर धकेला जाएगा। रेखाएँ धन आवेशों से शुरू होकर ऋण आवेशों पर समाप्त होती हैं, और एनिमेशन में धन आवेश से निकलने वाली उतनी ही रेखाएँ ऋण आवेश तक पहुँचती हैं। वे कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, क्योंकि हर बिंदु पर क्षेत्र की एक ही दिशा होती है; और जहाँ वे आवेशों के पास सघन होती हैं, वहाँ क्षेत्र प्रबल होता है।

विशेषज्ञ स्तर की बिंदीदार समविभव रेखाएँ हर बल रेखा को समकोण पर काटती हैं, क्योंकि उनके अनुदिश आवेश ले जाने में कोई कार्य नहीं लगता; बीच की सीधी रेखा $V = 0$ है।

सामान्य भूलें

बल रेखाएँ पथ नहीं हैं: अक्ष से हटकर छोड़ा गया आवेश मुड़ी हुई रेखाओं को काटता हुआ चलता है, क्योंकि उसकी जड़ता उसे उनके साथ मुड़ने नहीं देती; सुनहरा आवेश केवल इसलिए केंद्रीय रेखा का अनुसरण करता है क्योंकि वह सीधी है।
क्षेत्र ही बल नहीं है: मध्य में किसी भी परीक्षण आवेश के लिए $E = 2.2 kV/m$ है, पर 0.1 nC पर बल 0.22 µN है और 1 nC पर 2.2 µN।
विभव $1/ r$ से और क्षेत्र $1/ r^{2}$ से घटता है: 4 nC से 10 cm पर वर्ग भूल जाने से 360 V/m मिलेगा, 3600 V/m नहीं।
शून्य विभव शून्य क्षेत्र नहीं है: आवेशों के मध्य में विभव $+ 99.9$ और $- 99.9 V$ एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, जबकि क्षेत्र जुड़कर 2.22 kV/m देते हैं।
ऋण आवेश क्षेत्र के विरुद्ध धकेला जाता है और उच्च विभव की ओर जाते हुए तेज़ होता है: 0 V से +500 V तक जाने वाला इलेक्ट्रॉन 500 eV प्राप्त करता है।

उपयोग के क्षेत्र

विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शी में इलेक्ट्रॉनों और द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमीटर में आयनों को दिशा देते हैं, चिमनी की गैसों से धुआँ हटाते हैं, और लेज़र प्रिंटर में टोनर को चिपकाते हैं। शुष्क वायु लगभग 3 MV/m पर टूटती है, इसलिए 1 mm के अंतराल को लगभग 3 kV पर चिंगारी पार कर जाती है। तंत्रिका कोशिकाएँ 7 nm मोटी झिल्ली के आर-पार लगभग 70 mV बनाए रखती हैं, यानी लगभग 10 MV/m।

अगले पाठ संधारित्र में दिखेगा कि दो प्लेटों के बीच का क्षेत्र ऊर्जा कैसे संचित करता है; विद्युत धारा और प्रतिरोध बताएगा कि क्षेत्र तार में आवेश को कैसे चलाता है; और दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम बताएगा कि वोल्टेज परिपथ में आवेश को कैसे गतिमान रखती है। वही गणित, केवल आकर्षित करने वाले द्रव्यमानों के लिए, गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ पर लागू होता है।

उन्नत

मुख्य विचार

पथ-स्वतंत्रता $\oint E \cdot d l = 0$ स्थिर आवेशों से सतत गति को असंभव बनाती है, और $E = - \nabla V$ से $V$ परिभाषित होता है।
ऊर्जा संरक्षण: $K + q V$ नियत है, इसलिए प्राप्त चाल केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करती है, मार्ग पर नहीं।
बल रेखाएँ $1/ r^{2}$ नियम के कारण संभव हैं (गाउस: $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ ); वे समविभव रेखाओं को समकोण पर काटती हैं।
रिक्त स्थान में $\nabla^{2} V = 0$ : कोई स्थिर क्षेत्र आवेश को स्थायी रूप से नहीं बाँध सकता (अर्नशॉ)।
बदलते चुंबकीय क्षेत्रों में $E = - \nabla V - \partial A / \partial t$ और $\oint E \cdot d l \neq = 0$ : अब केवल $V$ से $E$ का वर्णन नहीं होता।

अध्यारोपण से स्थिरवैद्युतिकी हल होती है

यह भाग वह एक नियम देता है जिससे हर स्थिर क्षेत्र निर्धारित होता है। इस पाठ का बाकी भाग या तो उस तक पहुँचने का शॉर्टकट है या उसके उत्तर को चित्रित करने का तरीका। जब स्रोत आवेश स्थिर रहते हैं, तो दो तथ्य पर्याप्त हैं। कूलॉम का नियम एकल आवेश का क्षेत्र देता है: वह आवेश से होकर जाने वाली रेखा के अनुदिश इंगित करता है, और उसका परिमाण दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम में घटता है। अध्यारोपण का सिद्धांत कहता है कि कई आवेशों के क्षेत्र सदिश रूप में सीधे जुड़ जाते हैं, और हर आवेश ऐसे कार्य करता है मानो दूसरे वहाँ न हों।

चित्र 1 एक बिंदु $P$ पर दो क्षेत्र जोड़ता है। धन आवेश $Q_{1}$ एक धन परीक्षण आवेश को दूर धकेलेगा, इसलिए उसका क्षेत्र $E_{1}$ , $Q_{1}$ से निकलकर $P$ से होकर आगे जाता है। ऋण आवेश $Q_{2}$ परीक्षण आवेश को अपनी ओर खींचेगा, इसलिए उसका क्षेत्र $E_{2}$ , $P$ से $Q_{2}$ की ओर इंगित करता है। हर तीर का परिमाण $k ∣ Q_{i} ∣/ r_{i}^{2}$ है, जहाँ $r_{i}$ आवेश $Q_{i}$ से $P$ की दूरी है और $k \approx 8.99 \times 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$ कूलॉम स्थिरांक है।

अब $P$ की स्थिति देखें: यह युग्म के लंबवत समद्विभाजक पर है। अतः $r_{1} = r_{2}$ और दोनों तीर बराबर लंबे हैं। आवेशों की रेखा के लंबवत उनके घटक बराबर और विपरीत हैं, इसलिए वे निरस्त हो जाते हैं। शेष बचा योग $E$ है, यानी बिंदीदार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण, जो धन आवेश से ऋण आवेश की ओर जाने वाली रेखा के समांतर है।

किसी भी संख्या के आवेशों के लिए यही योग लिखने हेतु, आवेश $Q_{i}$ को स्थिति $r_{i}$ पर रखें और स्थिति $r$ पर क्षेत्र पूछें। आवेश से क्षेत्र-बिंदु तक का सदिश $r - r_{i}$ है, जिसकी लंबाई $r_{i}$ है। इसे $r_{i}^{3}$ से भाग देने पर एक इकाई सदिश को $r_{i}^{2}$ से भाग मिलता है: व्युत्क्रम-वर्ग परिमाण, जिसकी दिशा पहले से सही है। सभी आवेशों पर जोड़ने पर:
$E (r) = \sum_{i} \frac{k Q _{i} ( r - r _{i} )}{∣ r - r _{i} ∣ ^{3}}$

जब आवेश घनत्व $ρ$ (कूलॉम प्रति घन मीटर) के साथ फैला हो, तो उसे $s$ स्थिति पर $ρ d^{3} s$ आवेश के छोटे टुकड़ों में बाँटा जाता है, और योग समाकल बन जाता है:
$E (r) = k \int \frac{ρ ( s ) ( r - s )}{∣ r - s ∣ ^{3}} d^{3} s$

सिद्धांततः इतना ही पर्याप्त है। एनिमेशन की क्षेत्र-रेखाएँ ठीक इसी दो-पद योग से खींची गई हैं। नीचे दिए गए विभव, बल रेखाएँ और गाउस का नियम कम गणना के साथ वही उत्तर देते हैं, या उसका आकार एक नज़र में दिखाते हैं।

विभव: ऐसा कार्य जो मार्ग को अनदेखा करता है

हर बिंदु पर सदिश जोड़ना श्रमसाध्य है। हर बिंदु पर एक संख्या, यानी विभव, जोड़ना कहीं आसान होगा। ऐसी संख्या तभी होती है जब दो बिंदुओं के बीच क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य हर मार्ग पर समान हो। यह भाग दिखाता है कि ऐसा ही है।

चित्र 2 एक बिंदु आवेश $Q$ और बिंदु $a$ से $b$ तक के दो मार्ग दिखाता है। परीक्षण आवेश को छोटे चरणों $d l$ में मार्ग पर चलाएँ। हर चरण पर क्षेत्र आवेश $q$ पर $q E \cdot d l$ कार्य करता है, अतः $a$ से $b$ तक प्रति इकाई आवेश का कार्य रेखा समाकल $\int_{a}^{b} E \cdot d l$ है: यानी सभी चरणों के $E \cdot d l$ का योग।

मार्ग 1 पर खींचे गए चरण को देखें। उसके आरंभ पर क्षेत्र $E$ ठीक $Q$ से दूर की ओर है, इसलिए बिंदु-गुणनफल केवल त्रिज्या के अनुदिश वाला भाग रखता है। वह भाग $d r$ है, यानी $Q$ को केंद्र मानकर खींचे गए दो बिंदीदार चापों के बीच का अंतर: यह बताता है कि चरण ने $Q$ से दूरी कितनी बदली। चाप के अनुदिश पार्श्व गति से कोई कार्य नहीं होता। अतः
$E \cdot d l = E d r = \frac{k Q}{r ^{2}} d r$
दूरी $r_{a}$ से $r_{b}$ तक के चरण जोड़ने पर:
$\int_{a}^{b} E \cdot d l = \int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{k Q}{r ^{2}} d r = k Q (\frac{1}{r _{a}} - \frac{1}{r _{b}})$
परिणाम केवल सिरों की दूरियों $r_{a}$ और $r_{b}$ पर निर्भर करता है, और किसी पर नहीं। मार्ग 2 लंबा है और मार्ग 1 के ऊपर दूर तक झूलता है, परंतु $r_{a}$ और $r_{b}$ के बीच वह $Q$ के चारों ओर के उन्हीं वृत्तों को पार करता है, इसलिए उसका कुल कार्य बिल्कुल वही है।

कोई भी स्थिर विन्यास बिंदु आवेशों का योग है। उस योग का हर पद मार्ग-स्वतंत्र है, इसलिए पूरा क्षेत्र भी है। एक मार्ग से जाकर दूसरे मार्ग से लौटने पर बंद पाश में कार्य शून्य होता है:
$\oint E \cdot d l = 0$
यदि यह सत्य न होता, तो पाश में अनुकूल दिशा में घुमाया गया आवेश कभी न बदलने वाले स्थिर आवेशों से हर चक्कर में ऊर्जा प्राप्त करता: यह सतत गति की मशीन होती।

चूँकि मार्ग मायने नहीं रखता, हर बिंदु पर एक संख्या दी जा सकती है: विद्युत विभव $V$ , वोल्ट (जूल प्रति कूलॉम) में। $a$ से $b$ तक इसका परिवर्तन इस प्रकार परिभाषित है:
$Δ V = V_{b} - V_{a} = - \int_{a}^{b} E \cdot d l$
ऋण चिह्न $V$ को क्षेत्र की दिशा में गिराता है। क्षेत्र से आगे धकेला गया धन आवेश स्थितिज ऊर्जा $q V$ खोता है और उतनी ही गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है। अनंत पर $V = 0$ चुनकर, और समाकल में $Q$ से दूरी के लिए $s$ लिखकर, बिंदु आवेश देता है
$V (r) = - \int_{\infty}^{r} \frac{k Q}{s ^{2}} d s = \frac{k Q}{r}$

उलटे क्रम में देखें तो क्षेत्र विभव की प्रवणता का ऋणात्मक है। वह उस दिशा में इंगित करता है जिसमें $V$ सबसे तेज़ गिरता है, और उसका परिमाण उस दिशा में प्रति मीटर $V$ के गिरने वाले वोल्ट हैं। आवेश $q$ के लिए, जिसकी गतिज ऊर्जा $K$ है, ऊर्जा संरक्षण एक पंक्ति में आता है:
$E = - \nabla V, K + q V = const$

एनिमेशन से एक उदाहरण। इसके स्रोत आवेश +1 nC और −1 nC हैं, 180 mm दूर। सुनहरा परीक्षण आवेश $q = 1 0^{- 10} C$ विराम से धन आवेश से 20 mm दूर शुरू होता है, जहाँ (दूरियाँ मीटर में) $V = k Q (1/0.02 - 1/0.16) \approx + 393 V$ । यह ऋण आवेश से 20 mm दूर के सममित बिंदु पर पहुँचता है, जहाँ $V \approx - 393 V$ । अतः यह
$K = q (V_{a} - V_{b}) = 1 0^{- 10} \cdot 786.6 \approx 7.87 \times 1 0^{- 8} J$
के साथ पहुँचता है, जो $K$ पाठ्यांक का 78.7 nJ है। उन्हीं दो बिंदुओं के बीच किसी अन्य मार्ग पर, उदाहरण के लिए घर्षण-रहित पटरी पर, चलने पर भी यह उतनी ही ऊर्जा के साथ पहुँचेगा।

सतह से गुज़रने वाला फ़्लक्स और गाउस का नियम

गाउस का नियम एक बंद सतह पर के क्षेत्र को उसके भीतर के आवेश से जोड़ता है। सममिति होने पर यह बिना किसी योग के एक पंक्ति में क्षेत्र दे देता है। इसका विचार बल रेखाओं से शुरू होता है। स्थिर संख्या की रेखाएँ एक बिंदु आवेश से निकलती हैं, और उनमें से हर एक आवेश के चारों ओर की हर गोलीय सतह को पार करती है। गोले का क्षेत्रफल $4 π r^{2}$ से बढ़ता है, इसलिए प्रति वर्ग मीटर रेखाएँ $1/ r^{2}$ से घटती हैं, ठीक क्षेत्र की तरह: रेखा-घनत्व क्षेत्र-प्रबलता का सही चित्र है। “किसी सतह से गुज़रने वाली रेखाओं की संख्या” को किसी भी आकार की सतह के लिए उपयोगी राशि बनाने के लिए सतह को छोटे टुकड़ों में काटना होगा।

चित्र 3 आवेश $Q$ के चारों ओर एक बंद सतह $S$ दिखाता है, जिसका एक छोटा टुकड़ा बड़ा करके दिखाया गया है। इस टुकड़े का क्षेत्रफल $d A$ है। उसकी दिशा बताने के लिए उसे सदिश $d A$ बनाएँ: लंबाई $d A$ , टुकड़े के लंबवत और $S$ से बाहर की ओर। उस टुकड़े से गुज़रने वाला फ़्लक्स, यानी उसे पार करने वाले क्षेत्र की मात्रा, है
$d Φ = E \cdot d A = E d A cos θ$
जहाँ $θ$ क्षेत्र $E$ और $d A$ के बीच का कोण है। केवल वही क्षेत्र गिना जाता है जो टुकड़े से होकर गुज़रता है। आवेश की ओर सीधे मुँह वाला टुकड़ा ( $θ = 0$ ) सबसे अधिक रेखाएँ पकड़ता है; $θ$ कोण पर झुका हो तो गुणक $cos θ$ से कम पकड़ता है; जो टुकड़ा क्षेत्र को केवल छूता है ( $θ = 9 0^{\circ}$ ), वह एक भी रेखा नहीं पकड़ता। $S$ के हर टुकड़े का फ़्लक्स जोड़ने पर गाउस का नियम मिलता है:
$\oint E \cdot d A = \frac{Q _{enc}}{ε _{0}}$
यहाँ $Q_{enc}$ , $S$ द्वारा घिरा कुल आवेश है, और $ε_{0} \approx 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ मुक्त आकाश की विद्युतशीलता है, जो कूलॉम स्थिरांक से $k = 1/ (4 π ε_{0})$ द्वारा जुड़ी है।

सतह $S$ का आकार क्यों मायने नहीं रखता। ठोस कोण गोले का वही है जो कोण वृत्त का है, और किसी बिंदु के चारों ओर पूरा गोला $4 π$ है। $Q$ से देखने पर दूरी $r$ पर स्थित टुकड़ा छोटा ठोस कोण $d Ω = d A cos θ / r^{2}$ घेरता है: यानी $Q$ की ओर सीधे मुँह वाला उसका क्षेत्रफल, $r^{2}$ से भाग देकर। अतः उसका फ़्लक्स है
$E d A cos θ = \frac{k Q}{r ^{2}} d A cos θ = k Q d Ω$
टुकड़े के दिखने वाले आकार का $r^{2}$ क्षेत्र के $1/ r^{2}$ को निरस्त करता है, इसलिए एक ही ठोस कोण घेरने वाले पास के छोटे और दूर के बड़े टुकड़े समान फ़्लक्स रखते हैं। $Q$ के चारों ओर बंद सतह के ठोस कोण $4 π$ तक जुड़ते हैं, इसलिए कुल फ़्लक्स $4 πk Q = Q / ε_{0}$ है, चाहे $S$ कितनी भी ऊबड़-खाबड़ हो। $S$ के बाहर का आवेश अपनी हर रेखा एक टुकड़े से अंदर और दूसरे से बाहर भेजता है, जिससे उतना ही ऋणात्मक फ़्लक्स बनता है जितना धनात्मक। इसीलिए केवल घिरा हुआ आवेश गिना जाता है।

एनिमेशन के +1 nC आवेश के लिए, उसके चारों ओर किसी भी बंद सतह का फ़्लक्स $1 0^{- 9} / (8.85 \times 1 0^{- 12}) \approx 113 V m$ है। दोनों आवेशों को घेरने वाली सतह का शुद्ध फ़्लक्स शून्य है: उससे निकलने वाली हर रेखा वापस लौट आती है।

इससे दो परिणाम निकलते हैं। सतह को एक बिंदु के पास सिकोड़ने पर गाउस का नियम उस बिंदु के बारे में कथन बन जाता है, $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ : बल रेखाएँ केवल वहीं शुरू या समाप्त होती हैं जहाँ आवेश है। और सममिति होने पर गाउस का नियम लगभग बिना प्रयास के क्षेत्र दे देता है। एकसमान आवेशित गोला अपने बाहर, केंद्र पर रखे बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है। $σ$ (कूलॉम प्रति वर्ग मीटर) आवेश घनत्व वाली एक विशाल समतल चादर अपना क्षेत्र दोनों ओर सीधा बाहर भेजती है; चादर को बीच से काटने वाला, फलक क्षेत्रफल $A$ का चपटा डिब्बा $2 E A$ फ़्लक्स रखता है और $σ A$ आवेश घेरता है, अतः हर ओर $E = σ / (2 ε_{0})$ ।

समविभव रेखाएँ और V(x) ग्राफ़

समविभव सतह वह सतह है जिस पर $V$ हर जगह एक ही मान रखता है। उस पर आवेश ले जाने में कोई कार्य नहीं लगता, और पड़ोसी समविभव सतहों के बीच की दूरी क्षेत्र को मापती है। इसलिए समविभव रेखाओं का मानचित्र वही सूचना देता है जो बल रेखाएँ देती हैं, और अक्सर पढ़ने में आसान रूप में।

एनिमेशन के विशेषज्ञ स्तर में, बैंगनी बिंदीदार वक्र ±400, ±150 और ±50 V की समविभव रेखाएँ हैं, और आवेशों के बीच सीधी बिंदीदार रेखा $V = 0$ है। वे हर बल रेखा को समकोण पर काटती हैं। कारण: $- \nabla V$ उस दिशा में इंगित करता है जिसमें $V$ सबसे तेज़ गिरता है, और यह वह दिशा है जो उस सतह के लंबवत है जिस पर $V$ बिल्कुल नहीं बदलता। सुनहरा आवेश 393 V पर शुरू होता है, 400 V वक्र के ठीक बाहर, जो धन आवेश से 19.7 mm पर अक्ष को काटता है।

समविभव रेखाओं का पास-पास होना प्रबल क्षेत्र का संकेत है, क्योंकि $V$ कम दूरी पर उतना ही बदलता है। +50 V वक्र मध्य-रेखा ( $V = 0$ ) से 21.3 mm पर अक्ष को काटता है, अतः उस अंतराल पर औसत क्षेत्र $50/0.0213 \approx 2.35 kV/m$ है। यह मध्य बिंदु के 2.22 kV/m से थोड़ा अधिक है, क्योंकि क्षेत्र आवेश की ओर बढ़ने पर प्रबल होता है।

$V (x)$ ग्राफ़ आवेशों से होकर जाने वाली अक्ष के अनुदिश वही दिखाता है। उसकी प्रवणता $- E_{x}$ है, यानी अक्ष के अनुदिश क्षेत्र के घटक का ऋणात्मक: मध्य पर लगभग $- 2.2$ V/mm, और यात्रा के आरंभ में दस गुना तीव्र। युग्म के बाहर $V (x)$ दोनों ओर $x$ के साथ बढ़ता है, इसलिए वहाँ $E_{x} < 0$ : धन आवेश के बाईं ओर क्षेत्र उससे दूर है, ऋण आवेश के दाईं ओर वह उसकी ओर है, और दोनों दिशाएँ बाईं ओर हैं। सुनहरा बिंदु वक्र पर नीचे फिसलता है, जैसे-जैसे उसकी स्थितिज ऊर्जा $U = q V$ गतिज ऊर्जा $K$ में बदलती है।

लाप्लास समीकरण: टिकने की कोई जगह नहीं

ऊपर के दो परिणामों को मिलाने पर केवल $V$ के लिए एक समीकरण मिलता है। उस समीकरण का एक गुण स्थिर आवेशों से बने किसी भी स्थायी बंधन को निषिद्ध करता है।

$E = - \nabla V$ को $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ में रखने पर पॉइसन समीकरण $\nabla^{2} V = - ρ / ε_{0}$ मिलता है; रिक्त स्थान में, जहाँ $ρ = 0$ , यह लाप्लास समीकरण $\nabla^{2} V = 0$ बन जाता है। लाप्लासियन $\nabla^{2} V$ मापता है कि किसी बिंदु के चारों ओर छोटे गोले पर $V$ का औसत उसके केंद्र के मान से कितना अधिक है। रिक्त स्थान में यह शून्य है, इसलिए हर बिंदु पर $V$ उसके चारों ओर किसी भी छोटे गोले के औसत के बराबर है।

जो मान अपने आसपास के औसत के बराबर हो, वह न तो सभी पड़ोसियों से ऊपर हो सकता है और न सभी से नीचे। अतः रिक्त स्थान में $V$ का न कोई उच्चिष्ठ है न निम्निष्ठ, केवल सैडल बिंदु हैं। किसी धन आवेश को स्थायी संतुलन में टिकने के लिए $V$ का निम्निष्ठ चाहिए, इसलिए स्थिर आवेशों का कोई विन्यास किसी आवेश को स्थायी रूप से नहीं रोक सकता (अर्नशॉ का प्रमेय)। उदाहरण के लिए, दो बराबर धन आवेशों के मध्य $E = 0$ है, पर वहाँ रखा धन परीक्षण आवेश केवल अक्ष के अनुदिश वापस धकेला जाता है; पार्श्व में वह बाहर धकेला जाता है। परमाणुओं की स्थिरता किसी और कारण से है: क्वांटम यांत्रिकी से।

चालक और संधारित्र का क्षेत्र

चालक में कुछ आवेश स्वतंत्र रूप से चल सकते हैं। यही एक तथ्य हर चालक के भीतर और ठीक बाहर के क्षेत्र को निर्धारित करता है, और संधारित्र के एकसमान क्षेत्र की व्याख्या करता है।

मुक्त आवेश तब तक चलते हैं जब तक उन पर कोई क्षेत्र कार्य करता है, इसलिए वे तभी रुकते हैं जब धातु के भीतर क्षेत्र शून्य हो। विराम में चालक इसलिए पूरा एक ही समविभव है। धातु के भीतर खींची गई किसी भी बंद सतह का फ़्लक्स शून्य है, अतः गाउस के नियम से उसके भीतर कोई आवेश नहीं है: कोई भी अतिरिक्त आवेश पृष्ठ पर बैठता है। ठीक बाहर, क्षेत्र पृष्ठ के लंबवत होता है, क्योंकि उसका कोई घटक पृष्ठ के अनुदिश होने पर पृष्ठीय आवेश गतिमान हो जाते। पृष्ठ को बीच से काटने वाले छोटे चपटे डिब्बे का फ़्लक्स केवल उसके बाहरी फलक से होता है, जिससे क्षेत्र का परिमाण $E = σ / ε_{0}$ मिलता है, जहाँ $σ$ प्रति वर्ग मीटर पृष्ठीय आवेश है।

दो समांतर प्लेटें जिन पर $+ σ$ और $- σ$ है, प्रत्येक $σ / (2 ε_{0})$ का चादर-क्षेत्र बनाती हैं। प्लेटों के बीच दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में होकर जुड़ते हैं; बाहर वे विपरीत दिशाओं में होकर निरस्त होते हैं। परिणाम संधारित्र का एकसमान क्षेत्र है, $E = σ / ε_{0} = Δ V / d$ , जहाँ प्लेटें $d$ दूरी पर हैं।

दूर से द्विध्रुव

द्विध्रुव समान परिमाण और विपरीत चिह्न के दो आवेशों का युग्म है, जो प्रकृति का एक सामान्य स्रोत है: कई अणु द्विध्रुव होते हैं। उससे दूर दोनों विभव लगभग निरस्त हो जाते हैं, और जो बचता है वह अपने ही सरल नियम का पालन करता है।

चित्र 4 ज्यामिति स्थापित करता है। आवेश $+ Q$ और $- Q$ एक-दूसरे से दूरी $d$ पर हैं। द्विध्रुव आघूर्ण $p$ का परिमाण $p = Q d$ है और वह $- Q$ से $+ Q$ की ओर इंगित करता है। बिंदु $P$ युग्म के केंद्र से दूरी $r$ पर है, $p$ से कोण $θ$ पर, और दोनों आवेशों से क्रमशः दूरी $r_{+}$ और $r_{-}$ पर। दोनों बिंदु-आवेश विभवों को जोड़ने पर:
$V = k Q (\frac{1}{r _{+}} - \frac{1}{r _{-}}) = k Q \frac{r _{-} - r _{+}}{r _{+} r _{-}}$

सब कुछ छोटे अंतर $r_{-} - r_{+}$ पर निर्भर करता है। जब $P$ , $d$ की तुलना में बहुत दूर हो, तो दोनों आवेशों से $P$ तक की रेखाएँ लगभग समांतर होती हैं। $+ Q$ से, $- Q$ से $P$ की रेखा पर डाला गया बिंदीदार लंब उसे काटता है; उस पाद से आगे, $P$ तक की शेष दूरी लगभग ठीक $r_{+}$ है। इसलिए $r_{-}$ , $r_{+}$ से उस मोटे खंड जितना लंबा है जो $- Q$ से पाद तक जाता है और जिसे $d cos θ$ लिखा गया है: यानी वह भाग जो $d$ में $P$ की ओर है। हर में दोनों दूरियाँ लगभग समान हैं, अतः $r_{+} r_{-} \approx r^{2}$ । फलतः
$V \approx \frac{k Q d c o s θ}{r ^{2}} = \frac{k p c o s θ}{r ^{2}}$

चूँकि दोनों योगदान लगभग निरस्त होते हैं, विभव $1/ r$ के बजाय $1/ r^{2}$ से घटता है, और उसकी प्रवणता, यानी क्षेत्र, $1/ r^{3}$ से। किसी दी गई दूरी पर $V$ , $p$ के अनुदिश ( $θ = 0$ ) सबसे बड़ा है, केंद्र से होकर $p$ के लंबवत तल पर ( $θ = 9 0^{\circ}$ ) शून्य है, और ऋण आवेश की ओर ऋणात्मक है।

एनिमेशन के युग्म से जाँच: $p = 1 0^{- 9} \cdot 0.18 = 1.8 \times 1 0^{- 10} C m$ । अक्ष पर 1 m की दूरी पर सूत्र 1.62 V देता है, जबकि सटीक मान $k Q (1/0.91 - 1/1.09) \approx 1.63 V$ है। सापेक्ष त्रुटि लगभग $d^{2} / (4 r^{2})$ है, यहाँ 0.8 %, इसलिए आवेशों के बीच की दूरी के पाँच गुने से थोड़ी ही अधिक दूरी पर भी सन्निकटन अच्छा है।

उदाहरण: प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन

ऊपर मिले विभवों के साथ ऊर्जा संरक्षण किसी गति-समीकरण को हल किए बिना चाल देता है। दो कणों की तुलना से पता चलता है कि क्या द्रव्यमान पर निर्भर है और क्या नहीं।

सुनहरे आवेश की जगह एक प्रोटॉन लें, जिसका आवेश $e$ और द्रव्यमान $m_{p}$ है, और उसे उसी बिंदु से, धन आवेश से 20 mm दूर, विराम से छोड़ें। मध्य में उसकी चाल कितनी है, और 20 mm दूर ऋण आवेश तक की यात्रा के अंत में कितनी है? मध्य की ओर जाते हुए विभव 393.3 V गिरता है, जहाँ $V = 0$ है, और अंत की ओर 786.6 V। एक इलेक्ट्रॉनवोल्ट (eV), यानी $1.602 \times 1 0^{- 19} J$ , वह ऊर्जा है जो आवेश $e$ को एक वोल्ट गिरने पर मिलती है, अतः
$\frac{1}{2} m_{p} v_{1}^{2} = e \cdot 393.3 V = 393 eV, v_{1} \approx 2.74 \times 1 0^{5} m/s$
$\frac{1}{2} m_{p} v_{2}^{2} = e \cdot 786.6 V = 787 eV, v_{2} \approx 3.88 \times 1 0^{5} m/s$
दोगुनी ऊर्जा से चाल $2$ गुना होती है।

अब दूर के बिंदु से विराम से एक इलेक्ट्रॉन छोड़ें, जिसका आवेश $- e$ और द्रव्यमान $m_{e}$ है। उस पर बल $- e E$ क्षेत्र के विरुद्ध है, इसलिए वह धन आवेश की ओर, विभव की चढ़ाई में, वापस धकेला जाता है। व्यवस्था सममित है, और इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $- e V$ प्रोटॉन की ऊर्जा का दर्पण-प्रतिबिंब है, इसलिए वह उसी पथ पर उल्टी दिशा में चलता है और वही 787 eV, यानी $1.26 \times 1 0^{- 16} J$ , प्राप्त करता है। उसका द्रव्यमान 1836 गुना कम है, इसलिए उसकी चाल $1836 \approx 42.8$ गुना अधिक है: $1.66 \times 1 0^{7} m/s$ , यानी प्रकाश की चाल का 5.5 %। किसी सापेक्षीय संशोधन का परिमाण गतिज ऊर्जा और विराम ऊर्जा के अनुपात से तय होता है, $K / (m_{e} c^{2}) = 787/511 000 \approx 0.15 %$ , और वह इस चाल को केवल लगभग 0.1 % घटाता है।

ऊर्जा चाल देती है, समय नहीं। समय के लिए अक्ष के अनुदिश गति-समीकरण $m \overset{x}{¨} = qE (x)$ चाहिए। $m$ से भाग देने पर वह कण पर केवल $q / m$ के रूप में निर्भर करता है। अतः समान चिह्न वाले आवेश, जो एक ही बिंदु से विराम से छोड़े जाएँ, एक ही पथ पर चलते हैं; और यदि $q / m$ किसी गुणक से बड़ा हो, तो पूरी गति उस गुणक के वर्गमूल से तेज़ होती है: सभी समय $m / q$ से बदलते हैं। एनिमेशन के आवेश को लगभग 49 mg द्रव्यमान दिया गया है, ताकि उसकी यात्रा 4.0 s में पूरी हो। प्रोटॉन का $q / m$ $4.7 \times 1 0^{13}$ गुना बड़ा है, अतः उसकी यात्रा $4.0 s / 4.7 \times 1 0^{13} \approx 0.58 μ s$ में होती है। इलेक्ट्रॉन 42.8 गुना और तेज़ होकर 13.6 ns में पहुँचता है।

वैधता की सीमाएँ

ऊपर का हर परिणाम कुछ मान्यताओं पर टिका है। यह जानना कि वे कहाँ विफल होती हैं, बताता है कि कब एक बड़े सिद्धांत की आवश्यकता होगी।

स्रोत स्थिर हैं। स्थिरवैद्युतिकी मानती है कि आवेश अपनी जगह रहते हैं। एक आवेश पर हुए परिवर्तन की सूचना दूसरे तक प्रकाश के संचरण-समय के बाद ही पहुँचती है। एनिमेशन की 180 mm दूरी पर यह 0.6 ns है, इसलिए तात्कालिक कूलॉम योग केवल उन आवेशों के लिए काम करता है जो प्रकाश की तुलना में धीरे चलते हैं। चुंबकीय क्षेत्र बदलने पर फैराडे का नियम देता है $\oint E \cdot d l \neq = 0$ : किसी पाश पर कार्य अब शून्य नहीं है, और क्षेत्र अब शुद्ध प्रवणता नहीं रहा। वह $E = - \nabla V - \partial A / \partial t$ बन जाता है, जहाँ $A$ चुंबकीय सदिश विभव है।

बिंदु आवेश। व्युत्क्रम-वर्ग नियम भौतिकी के सबसे अच्छी तरह परखे गए नियमों में से है: घात लगभग $1 0^{- 15}$ की सीमा तक 2 के बराबर है। फिर भी बिंदु आवेश एक आदर्श कल्पना है: इसकी क्षेत्र-ऊर्जा, $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ प्रति घन मीटर, एक वास्तविक बिंदु के निकट अनंत तक जुड़ जाती है। बहुत छोटी दूरियों पर क्वांटम प्रभाव दिखते हैं। इलेक्ट्रॉन की समानीत कॉम्पटन तरंगदैर्घ्य $4 \times 1 0^{- 13} m$ से छोटी दूरी पर, परीक्षण कण क्वांटम निर्वात-उतार-चढ़ाव के बादल के भीतर से गुज़रता है, जो हर आवेश को आंशिक रूप से परिरक्षित करता है। तब वह आवेश का अधिक भाग देखता है, इसलिए बल $1/ r^{2}$ से थोड़ा तेज़ बढ़ता है, और यह हाइड्रोजन के ऊर्जा-स्तरों को मापने योग्य रूप से खिसकाता है। हाइड्रोजन परमाणु के भीतर क्षेत्र लगभग $5 \times 1 0^{11} V/m$ है; वहाँ के इलेक्ट्रॉन का उपचार क्वांटम यांत्रिकी से करना होगा, फिर भी वह कूलॉम विभव में है।

पदार्थ और प्रबल क्षेत्र। पदार्थ में मुक्त आवेश का क्षेत्र आपेक्षिक विद्युतशीलता से घट जाता है, जल के लिए लगभग 80। कुचालकों की भी सीमाएँ हैं: शुष्क वायु लगभग 3 MV/m पर टूटकर चिंगारी देती है, और रिक्त स्थान भी लगभग $1.3 \times 1 0^{18} V/m$ पर इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन युग्म बनाना शुरू कर देगा।

इसके आगे

संधारित्र में $E = σ / ε_{0}$ , और प्रति घन मीटर ऊर्जा $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2}$ प्लेटों के बीच के क्षेत्र का वर्णन करते हैं। विद्युत धारा और प्रतिरोध तथा दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम, विभवांतर द्वारा पदार्थ में चलाए गए आवेशों की बात करते हैं। गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल $q E$ के साथ $q v \times B$ जोड़ता है, और विशिष्ट आपेक्षिकता दिखाती है कि दोनों क्षेत्र एक ही के अंश हैं: जिसे एक प्रेक्षक शुद्ध विद्युत क्षेत्र कहता है, दूसरा उसे आंशिक रूप से चुंबकीय देखता है। विद्युत चुंबकीय प्रेरण $\oint E \cdot d l = 0$ को तोड़ता है, और विद्युत चुंबकीय तरंगें दिखाती हैं कि क्षेत्र $c = 1/ ε_{0} μ_{0}$ की चाल से स्वयं यात्रा करते हैं। वही $1/ r$ विभव गुरुत्वाकर्षण और कक्षाओं में गुरुत्व का वर्णन करता है, और परमाणु मॉडल: बोर परमाणु में इलेक्ट्रॉन को बाँधे रखता है, जहाँ हाइड्रोजन की बंधन ऊर्जा 13.6 eV है।

मुख्य सूत्र

परीक्षण आवेश पर बल से विद्युत क्षेत्र

E = \frac{F}{q}

किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र वह बल है जो वहाँ रखे छोटे धन परीक्षण आवेश पर लगता है, उसे उस आवेश से भाग देने पर। आवेश दोगुना करने पर बल भी दोगुना होता है, इसलिए यह अनुपात बिंदु का गुण बताता है, परीक्षण का नहीं। उसी क्षेत्र में ऋण आवेश विपरीत दिशा में धकेला जाता है, क्योंकि $F = q E$ में $q < 0$ है।

चिह्न
$E$	विद्युत क्षेत्र का परिमाण	$V/m$
$F$	परीक्षण आवेश पर बल का परिमाण	$N$
$q$	परीक्षण आवेश	$C$

कब लागू होता है: परीक्षण आवेश इतना छोटा होना चाहिए कि वह स्रोत आवेशों को न हिलाए या विचलित न करे। चलते आवेश पर चुंबकीय क्षेत्र अपना अलग बल $q v \times B$ जोड़ता है।

उदाहरण: एनिमेशन के मध्य में 0.1 nC आवेश पर 0.22 µN बल लगता है: $E = 2.22 \times 1 0^{- 7} /1 0^{- 10} \approx 2.2 \times 1 0^{3} V/m$ ।

बिंदु आवेश का क्षेत्र

E = \frac{k Q}{r ^{2}}

कूलॉम का नियम, परीक्षण आवेश से भाग दिया हुआ। क्षेत्र धन आवेश से त्रिज्यीय रूप से दूर और ऋण आवेश की ओर इंगित करता है, तथा दूरी के वर्ग के व्युत्क्रम में घटता है, क्योंकि उतनी ही बल रेखाएँ $4 π r^{2}$ क्षेत्रफल के गोलों पर फैलती हैं।

चिह्न
$E$	क्षेत्र का परिमाण	$V/m$
$k$	कूलॉम स्थिरांक, $8.99 \times 1 0^{9}$	$N m^{2} / C^{2}$
$Q$	स्रोत आवेश (परिमाण के लिए उसका मान)	$C$
$r$	आवेश से दूरी	$m$

कब लागू होता है: बिंदु आवेश के लिए, या निर्वात में स्थिर गोलीय सममित आवेश के बाहर। कई आवेश हों तो क्षेत्रों को सदिश रूप में जोड़ें।

उदाहरण: एनिमेशन का +1 nC आवेश आरंभ बिंदु पर, 20 mm दूर: $E = 8.99 \times 1 0^{9} \cdot 1 0^{- 9} /0.02 0^{2} \approx 2.25 \times 1 0^{4} V/m$ ।

बिंदु आवेश का विभव

V = \frac{k Q}{r}

एक परीक्षण आवेश को बहुत दूर (जहाँ $V = 0$ ) से दूरी $r$ तक लाने में प्रति इकाई आवेश जितना कार्य लगता है: $k Q / r^{2}$ का $r$ से अनंत तक समाकल। यह $1/ r$ से घटता है, $1/ r^{2}$ से नहीं, और $Q$ का चिह्न रखता है, इसलिए कई आवेशों के विभव बीजगणितीय संख्याओं की तरह जुड़ते हैं।

चिह्न
$V$	दूरी $r$ पर विभव, दूर शून्य	$V$
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N m^{2} / C^{2}$
$Q$	स्रोत आवेश, उसके चिह्न सहित	$C$
$r$	आवेश से दूरी	$m$

कब लागू होता है: निर्वात में स्थिर बिंदु आवेश के लिए, या गोलीय आवेश के बाहर, जिसका विभव-शून्य अनंत पर हो।

उदाहरण: आरंभ पर, +1 nC से 20 mm और −1 nC से 160 mm: $V = 449.5 - 56.2 \approx 393 V$ ।

स्थितिज ऊर्जा और क्षेत्र का कार्य

Δ U = q Δ V = - W_{field}

आवेश $q$ को विभवांतर $Δ V$ से गति कराने पर उसकी स्थितिज ऊर्जा $q Δ V$ बदलती है, और क्षेत्र का अपना कार्य उसका ऋणात्मक होता है। निम्न विभव की ओर जाता धन आवेश स्थितिज ऊर्जा खोता है, क्षेत्र उस पर धनात्मक कार्य करता है और उसे तेज़ करता है; ऋण आवेश के लिए सभी चिह्न उलट जाते हैं।

चिह्न
$Δ U$	विद्युत स्थितिज ऊर्जा का परिवर्तन	$J$
$q$	गति कराया गया आवेश, उसके चिह्न सहित	$C$
$Δ V$	विभवांतर, अंतिम घटा प्रारंभिक	$V$
$W_{field}$	विद्युत क्षेत्र द्वारा आवेश पर किया गया कार्य	$J$

कब लागू होता है: स्थिरवैद्युत क्षेत्रों के लिए, जहाँ कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता। परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्रों से उत्पन्न क्षेत्रों का कोई एकल-मान विभव नहीं होता।

उदाहरण: एनिमेशन का 0.1 nC आवेश +393 V से −393 V तक जाता है: $Δ U = 1 0^{- 10} \cdot (- 786.6) \approx - 78.7 nJ$ , अतः क्षेत्र उस पर 78.7 nJ कार्य करता है।

क्षेत्र विभव की प्रवणता के रूप में

E = - \frac{d V}{d x} (E = - \nabla V)

किसी भी दिशा में क्षेत्र का घटक उस दिशा में विभव के परिवर्तन की दर का ऋणात्मक होता है। अतः क्षेत्र $V$ की ढलान की ओर, यानी निम्न विभव की ओर इंगित करता है; जहाँ $V$ सबसे तेज़ बदलता है वहाँ सबसे प्रबल होता है, और समविभव रेखाओं के लंबवत होता है। प्रवणता $\nabla V$ तीनों ढलानों को एक सदिश में समेटती है।

चिह्न
$E$	$x$ दिशा में क्षेत्र का घटक	$V/m$
$V$	विद्युत विभव	$V$
$x$	चुनी दिशा में स्थिति	$m$
$E$	विद्युत क्षेत्र सदिश	$V/m$
$\nabla V$	विभव की प्रवणता, जिस दिशा में $V$ सबसे तेज़ बढ़ता है	$V/m$

कब लागू होता है: स्थिर क्षेत्रों के लिए। चुंबकीय क्षेत्र बदलने पर $E = - \nabla V - \partial A / \partial t$ ।

उदाहरण: एनिमेशन के मध्य में $V (x)$ प्रति मिलीमीटर लगभग 2.2 V गिरता है, अतः $E_{x} \approx + 2.2 kV/m$ , ऋण आवेश की ओर।

रेखा समाकल के रूप में विभवांतर

Δ V = - \int E \cdot d l

एक बिंदु से दूसरे तक के मार्ग पर $E \cdot d l$ जोड़ें और चिह्न बदलें। क्षेत्र की दिशा में चलने से विभव घटता है, विरुद्ध चलने से बढ़ता है, और उसके लंबवत चलने से नहीं बदलता। यह प्रवणता सूत्र का व्युत्क्रम है।

चिह्न
$Δ V$	अंत पर विभव घटा आरंभ पर विभव	$V$
$E$	मार्ग के साथ विद्युत क्षेत्र	$V/m$
$d l$	मार्ग पर एक छोटा खंड	$m$

कब लागू होता है: स्थिरवैद्युतिकी में दो बिंदुओं के बीच किसी भी मार्ग के लिए परिणाम समान होता है। परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्रों में वह मार्ग पर निर्भर करता है।

उदाहरण: 50 kV/m के एकसमान क्षेत्र में 1.0 cm चलने पर: $Δ V = - 5.0 \times 1 0^{4} \cdot 0.010 = - 500 V$ ।

समांतर प्लेटों के बीच एकसमान क्षेत्र

E = \frac{Δ V}{d} (uniform field)

एकसमान क्षेत्र में रेखा समाकल केवल क्षेत्र गुणा दूरी है, इसलिए क्षेत्र वोल्टेज को अंतराल से भाग देने पर मिलता है। वह अधिक विभव वाली प्लेट से कम विभव वाली प्लेट की ओर इंगित करता है, और उसका मात्रक वोल्ट प्रति मीटर इसी सूत्र से आती है।

चिह्न
$E$	एकसमान क्षेत्र का परिमाण	$V/m$
$Δ V$	प्लेटों के बीच वोल्टेज	$V$
$d$	प्लेटों के बीच की दूरी, क्षेत्र की दिशा में मापी गई	$m$

कब लागू होता है: ऐसी प्लेटों के लिए जो अंतराल से कहीं अधिक चौड़ी हों, और किनारों से दूर, जहाँ क्षेत्र बाहर की ओर फैलता है।

उदाहरण: 1.0 cm दूर प्लेटों पर 500 V: $E = 500/0.010 = 5.0 \times 1 0^{4} V/m$ , जो वायु के टूटने की 3 MV/m सीमा से बहुत नीचे है।

गाउस का नियम

\oint E \cdot d A = \frac{Q _{enc}}{ε _{0}}

किसी बंद सतह से विद्युत क्षेत्र का फ़्लक्स, यानी उस पर $E \cdot d A$ का योग, भीतर के आवेश को $ε_{0}$ से भाग देने के बराबर होता है, चाहे सतह का आकार कुछ भी हो। यह व्युत्क्रम-वर्ग नियम से निकलता है: बिंदु आवेश के लिए हर त्रिज्या पर $E \cdot 4 π r^{2} = Q / ε_{0}$ । सतह के बाहर के आवेश उतनी ही रेखाएँ भीतर भेजते हैं जितनी बाहर ले जाते हैं।

चिह्न
$E$	सतह पर विद्युत क्षेत्र	$V/m$
$d A$	सतह का एक छोटा भाग, बाहर की ओर इंगित	$m^{2}$
$Q_{enc}$	सतह के भीतर शुद्ध आवेश	$C$
$ε_{0}$	निर्वात विद्युतशीलता, $8.85 \times 1 0^{- 12}$	$C^{2} / (N m^{2})$

कब लागू होता है: किसी भी बंद सतह के लिए लागू, यहाँ तक कि गतिमान आवेशों के लिए भी; पर क्षेत्र को सीधे तभी निकाला जा सकता है जब सममिति सतह पर उसकी दिशा और परिमाण तय कर दे। पदार्थ में प्रेरित आवेश भी गिनने होंगे।

उदाहरण: +1 nC आवेश को घेरने वाली कोई भी बंद सतह: फ़्लक्स $= 1 0^{- 9} / (8.85 \times 1 0^{- 12}) \approx 113 V m$ ; दोनों आवेशों को घेरने पर शून्य।

शब्दावली

विद्युत क्षेत्र: आवेशों के आसपास के स्थान की वह अवस्था जो वहाँ रखे किसी भी आवेश पर धक्का डालती है, $F = q E$ । वहाँ कोई आवेश उसे महसूस करे या न करे, वह मौजूद रहता है, और हर बिंदु पर उसका परिमाण और दिशा होते हैं।
परीक्षण आवेश: क्षेत्र जाँचने के लिए प्रयुक्त एक छोटा धन आवेश, जो इतना छोटा है कि उन आवेशों को विचलित न करे जो क्षेत्र बनाते हैं। क्षेत्र उस पर लगे बल को उसके आवेश से भाग देने से मिलता है, इसलिए परिणाम उसके आकार पर निर्भर नहीं करता।
आवेशों के लिए अध्यारोपण सिद्धांत: हर आवेश अपना क्षेत्र ऐसे बनाता है मानो दूसरे न हों: क्षेत्र सदिश रूप में जुड़ते हैं, विभव चिह्नयुक्त संख्याओं की तरह। कूलॉम के नियम के साथ मिलकर यह हर स्थिरवैद्युत क्षेत्र को निर्धारित करता है।
विद्युत बल रेखा: एक वक्र जो हर बिंदु पर क्षेत्र के अनुदिश चलता है। रेखाएँ धन आवेशों से शुरू होकर ऋण आवेशों पर समाप्त होती हैं, एक-दूसरे को नहीं काटतीं और प्रबल क्षेत्र में सघन होती हैं; सामान्यतः छोड़े गए आवेश इन रेखाओं के अनुदिश नहीं चलते।
विद्युत विभव: किसी बिंदु पर प्रति इकाई आवेश की स्थितिज ऊर्जा, $V = U / q$ , किसी चुने गए शून्य से मापी गई (आमतौर पर दूर के बिंदु से)। धन आवेश निम्न विभव की ओर, और ऋण आवेश उच्च विभव की ओर धकेला जाता है।
विभवांतर (वोल्टेज): दो बिंदुओं के बीच विभव का अंतर: प्रति कूलॉम वह कार्य जो क्षेत्र के विरुद्ध करके आवेश को एक से दूसरे तक ले जाने में लगता है। 9 V की बैटरी परिपथ में धकेले गए हर कूलॉम को 9 J देती है।
समविभव पृष्ठ: वह सतह जिस पर विभव हर जगह एक ही मान रखता है। बल रेखाएँ उसे समकोण पर काटती हैं, और उस पर आवेश ले जाने में कोई कार्य नहीं लगता; विराम में चालक की सतह एक ऐसी ही सतह है।
संरक्षी क्षेत्र: वह क्षेत्र जिसमें दो बिंदुओं के बीच चलते आवेश पर उसका कार्य मार्ग पर निर्भर नहीं करता, इसलिए किसी भी पाश पर $\oint E \cdot d l = 0$ । हर स्थिरवैद्युत क्षेत्र संरक्षी होता है, और इसी कारण विभव का अस्तित्व है।
इलेक्ट्रॉन-वोल्ट: 1 V से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त ऊर्जा, $1 eV = 1.602 \times 1 0^{- 19} J$ । परमाणु ऊर्जाएँ कुछ eV की होती हैं; 100 V से त्वरित प्रोटॉन 100 eV प्राप्त करता है।
विद्युत द्विध्रुव: $d$ दूरी पर स्थित दो समान परिमाण और विपरीत चिह्न वाले आवेश, जैसे एनिमेशन का युग्म। दूर से उनके क्षेत्र लगभग निरस्त हो जाते हैं: विभव $1/ r^{2}$ से और क्षेत्र $1/ r^{3}$ से घटता है।
गाउस का नियम: $E$ का किसी भी बंद सतह से फ़्लक्स भीतर के आवेश को $ε_{0}$ से भाग देने के बराबर है, सतह का आकार कुछ भी हो। 1 nC के लिए फ़्लक्स लगभग 113 V·m है; यह व्युत्क्रम-वर्ग नियम का ज्यामितीय रूप है।
अर्नशॉ का प्रमेय: रिक्त स्थान में स्थिर आवेशों का कोई विन्यास किसी आवेश को स्थायी संतुलन में नहीं रख सकता, क्योंकि वहाँ विभव का कोई निम्निष्ठ नहीं, केवल सैडल बिंदु होते हैं। परमाणुओं की स्थिरता के लिए क्वांटम यांत्रिकी चाहिए।

राशियाँ
$E$	विद्युत क्षेत्र	$V/m$	किसी छोटे धन परीक्षण आवेश पर प्रति इकाई आवेश बल, हर बिंदु पर एक सदिश; $E$ उसका परिमाण है। 1 V/m, 1 N/C के बराबर है।
$q$	परीक्षण आवेश	$C$	वह आवेश जो क्षेत्र को महसूस करता है, $F = q E$ ; एनिमेशन में $q = + 0.1 nC$ ।
$Q$	स्रोत आवेश	$C$	वह आवेश जो क्षेत्र उत्पन्न करता है, धन या ऋण; एनिमेशन के आवेश $\pm 1 nC$ हैं।
$r$	आवेश से दूरी	$m$	स्रोत आवेश से उस बिंदु तक की दूरी जहाँ क्षेत्र या विभव चाहिए।
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N \cdot m^{2} / C^{2}$	कूलॉम के नियम का स्थिरांक, $k = 1/ (4 π ε_{0}) \approx 8.99 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ ।
$ε_{0}$	निर्वात विद्युतशीलता	$C^{2} / (N \cdot m^{2})$	वह स्थिरांक जो तय करता है कि निर्वात में एक आवेश कितना क्षेत्र बनाता है, $8.85 \times 1 0^{- 12} C^{2} / (N \cdot m^{2})$ ; यह गाउस के नियम में आता है।
$V$	विद्युत विभव	$V$	किसी बिंदु पर प्रति इकाई आवेश स्थितिज ऊर्जा, एक चिह्नयुक्त संख्या; $1 V = 1 J/C$ । एनिमेशन के आरंभ में यह लगभग 393 V है।
$Δ V$	विभवांतर	$V$	अंतिम घटा प्रारंभिक विभव: दो बिंदुओं के बीच का वोल्टेज, जो तय करता है कि उनके बीच आवेश कितनी ऊर्जा प्राप्त या खोता है।
$U$	विद्युत स्थितिज ऊर्जा	$J$	क्षेत्र में अपनी स्थिति के कारण आवेश की ऊर्जा, $U = q V$ ; एनिमेशन के परीक्षण आवेश के लिए यह 39.3 nJ से घटकर −39.3 nJ होती है।
$F$	विद्युत बल	$N$	क्षेत्र में आवेश पर लगा बल, $F = q E$ ; एनिमेशन के परीक्षण आवेश पर मध्य में 0.22 µN और आरंभ में 2.28 µN।

क्विज़

शुरुआती विद्युत बल रेखा पर तीर क्या दिखाता है?
1. वह पथ जिसका हर आवेश अनुसरण करता है
2. वह दिशा जिसमें इलेक्ट्रॉन धकेला जाएगा
3. वह दिशा जिसमें छोटा धन आवेश धकेला जाएगा
4. जहाँ आवेश संचित है
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उत्तर: C. वह दिशा जिसमें छोटा धन आवेश धकेला जाएगा
परिभाषा के अनुसार बल रेखाएँ छोटे धन परीक्षण आवेश पर धक्के को दर्शाती हैं। इलेक्ट्रॉन इसके विपरीत दिशा में धकेला जाएगा।
शुरुआती बल रेखा-चित्र पर विद्युत क्षेत्र कहाँ सबसे प्रबल है?
1. जहाँ रेखाएँ सबसे पास-पास हों
2. जहाँ रेखाएँ सबसे दूर हों
3. जहाँ रेखाएँ सीधी हों
4. हर जगह एक समान
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उत्तर: A. जहाँ रेखाएँ सबसे पास-पास हों
बल रेखाओं का घनत्व क्षेत्र की प्रबलता बताता है: सघन रेखाओं का अर्थ है प्रबल क्षेत्र।
शुरुआती किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र दाईं ओर इंगित करता है। वहाँ एक छोटा ऋण आवेश रखा जाता है। उस पर किस दिशा में बल लगता है?
1. दाईं ओर
2. बाईं ओर
3. ऊपर की ओर
4. उस पर कोई बल नहीं लगता
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उत्तर: B. बाईं ओर
ऋण आवेश पर बल क्षेत्र की दिशा के विपरीत लगता है, इसलिए वह बाईं ओर धकेला जाता है।
मध्यम किसी बिंदु पर रखे 2 nC आवेश पर 6 µN बल लगता है। वहाँ विद्युत क्षेत्र कितना है?
1. 1.2 × 10⁻¹⁴ N/C
2. 333 N/C
3. 3 × 10⁻³ N/C
4. 3000 N/C
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उत्तर: D. 3000 N/C
E = F / q = 6 × 10⁻⁶ ÷ (2 × 10⁻⁹) = 3000 N/C (= 3 kV/m)। भाग की जगह गुणा करने पर 1.2 × 10⁻¹⁴ आता है।
मध्यम 4 nC के बिंदु आवेश से 10 cm दूर क्षेत्र कितना है? (k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²)
1. 360 V/m
2. 3600 V/m
3. 36 V/m
4. 36 000 V/m
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उत्तर: B. 3600 V/m
E = k·Q / r² = 8.99 × 10⁹ × 4 × 10⁻⁹ ÷ 0.1² ≈ 3600 V/m। r का वर्ग न लेने पर 360 V/m आता है।
मध्यम एक प्रोटॉन 100 V के विभवांतर से विराम से त्वरित होता है। वह कितनी गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है?
1. 100 eV
2. 100 J
3. 1.6 × 10⁻¹⁹ eV
4. 50 eV
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उत्तर: A. 100 eV
ΔK = q·ΔV = e × 100 V = 100 eV (लगभग 1.6 × 10⁻¹⁷ J)। इलेक्ट्रॉन-वोल्ट की परिभाषा इसी गणना को सरल बनाने के लिए है।
उन्नत x-अक्ष के अनुदिश विभव V(x) = 200·x² है (V वोल्ट में, x मीटर में)। x = 0.5 m पर E_x कितना है?
1. +200 V/m
2. −50 V/m
3. −200 V/m
4. +50 V/m
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उत्तर: C. −200 V/m
E_x = −dV/dx = −400·x = −200 V/m। ऋण चिह्न बताता है कि क्षेत्र घटते x की दिशा में है, यानी V की ढलान के नीचे।
उन्नत दो बराबर आवेश +Q, d दूरी पर हैं। दूर पर V = 0 मानकर, मध्य बिंदु पर E और V कितने हैं?
1. E = 0 और V = 0
2. E = 0 और V = 4k·Q/d
3. E = 8k·Q/d² और V = 0
4. E = 8k·Q/d² और V = 4k·Q/d
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उत्तर: B. E = 0 और V = 4k·Q/d
दोनों क्षेत्र बराबर और विपरीत हैं, इसलिए E = 0। विभव अदिश है और सीधा जुड़ता है: 2 × k·Q/(d/2) = 4k·Q/d। E = −∇V शून्य है क्योंकि उस बिंदु पर V का परिवर्तन शून्य है (सैडल बिंदु), न कि इसलिए कि V शून्य है। +Q और −Q के लिए स्थिति उलट है: V = 0 पर E = 8k·Q/d²।

$Q_{1}$	धन स्रोत आवेश।	$C$
$Q_{2}$	ऋण स्रोत आवेश, यहाँ $- Q_{1}$ ।	$C$
$P$	वह बिंदु जहाँ क्षेत्र ज्ञात करना है।
$r_{1}$	$Q_{1}$ से $P$ की दूरी; यहाँ $r_{2}$ के बराबर।	$m$
$r_{2}$	$Q_{2}$ से $P$ की दूरी; यहाँ $r_{1}$ के बराबर।	$m$
$E_{1}$	केवल $Q_{1}$ का $P$ पर क्षेत्र, $Q_{1}$ से दूर।	$N/C$
$E_{2}$	केवल $Q_{2}$ का $P$ पर क्षेत्र, $Q_{2}$ की ओर।	$N/C$
$E$	$P$ पर कुल क्षेत्र: सदिश योग $E_{1} + E_{2}$ ।	$N/C$

$Q$	क्षेत्र बनाने वाला बिंदु आवेश।	$C$
$a$	दोनों मार्गों का आरंभ।
$b$	दोनों मार्गों का अंत।
$r_{a}$	$Q$ से $a$ की दूरी।	$m$
$r_{b}$	$Q$ से $b$ की दूरी।	$m$
$d l$	मार्ग 1 पर एक छोटा चरण: उसकी लंबाई और दिशा।	$m$
$d r$	उस चरण में $Q$ से दूरी का परिवर्तन: बिंदीदार चापों के बीच का अंतर।	$m$
$E$	चरण के आरंभ पर क्षेत्र, $Q$ से सीधे दूर की ओर।	$N/C$

$S$	आवेश को घेरने वाली बंद सतह; उसका आकार कुछ भी हो सकता है।
$Q$	$S$ के भीतर आवेश: गाउस के नियम का $Q_{enc}$ ।	$C$
$d A$	$S$ के एक छोटे टुकड़े का क्षेत्रफल।	$m^{2}$
$d A$	टुकड़े का सदिश: लंबाई $d A$ , टुकड़े के लंबवत और $S$ से बाहर।	$m^{2}$
$E$	टुकड़े पर $Q$ का क्षेत्र।	$N/C$
$θ$	$E$ और $d A$ के बीच का कोण।	$rad$

$Q$	दोनों आवेशों $+ Q$ और $- Q$ में से हर एक का परिमाण।	$C$
$d$	दोनों आवेशों के बीच की दूरी।	$m$
$p$	द्विध्रुव आघूर्ण: परिमाण $p = Q d$ , $- Q$ से $+ Q$ की ओर।	$C \cdot m$
$P$	वह बिंदु जहाँ विभव ज्ञात करना है।
$r$	द्विध्रुव के केंद्र से $P$ तक की दूरी।	$m$
$θ$	$p$ और केंद्र से $P$ की रेखा के बीच का कोण।	$rad$
$r_{+}$	$+ Q$ से $P$ की दूरी।	$m$
$r_{-}$	$- Q$ से $P$ की दूरी।	$m$
$d cos θ$	जब $P$ दूर हो, तो $- Q$ से $P$ की दूरी $+ Q$ की दूरी से जितनी अधिक है: यानी $d$ का वह भाग जो $P$ की ओर है।	$m$