Конденсаторы

Начальный

Конденсатор — одна из самых простых электрических деталей: две металлические пластины, обращённые друг к другу и разделённые тонким слоем воздуха или пластика. Он хранит разделённые электрические заряды, а вместе с ними энергию, и может отдать её за доли секунды. Фотовспышки, дефибрилляторы и схемы в вашем телефоне — всё это работает благодаря конденсаторам.

Шаг 1: электроны перемещаются. В металлах есть электроны, которые могут свободно двигаться. Подключите пластины к батарее: она забирает электроны с одной пластины и по проводам переносит их на другую. Одна пластина становится положительной, другая — отрицательной. Электроны не появляются и не исчезают: каждый, оказавшийся на одной пластине, взят с другой, поэтому заряды пластин всегда равны по величине и противоположны по знаку.

Шаг 2: через зазор ничего не проходит. Зазор — изолятор, и заряд не может его перескочить. Зато пластины «+» и «−» притягиваются друг к другу через него, а пространство между ними заполняет электрическое поле.

Шаг 3: заполнение. Чем больше заряда уже на пластинах, тем сильнее они противодействуют батарее. Поэтому сначала конденсатор заряжается быстро, потом всё медленнее и останавливается, когда его напряжение сравняется с напряжением батареи, — так бак, который наполняется из водонапорной башни, перестаёт наполняться, когда уровни воды сравняются.

Шаг 4: размер имеет значение. Чем больше пластины или чем уже зазор, тем больше заряда запасает конденсатор от той же батареи.

В анимации синие электроны сначала мчатся по проводам, потом замедляются и останавливаются, а заряды накапливаются на пластинах, и шкала заполняется всё медленнее.

Проверьте себя: на одной пластине заряженного конденсатора +5 единиц заряда. Сколько на другой? (Ответ: −5 единиц; в сумме по-прежнему ноль.)

Средний

Заряд, напряжение и ёмкость

Конденсатор — это любая пара проводников, разделённых изолятором; проще всего — две металлические пластины с тонким зазором между ними. Батарея переносит по проводам заряд с одной пластины на другую, оставляя на одной $+q$, а на другой $-q$, поэтому конденсатор в целом остаётся нейтральным, и под его зарядом понимают $q$. Напряжение $U$ на нём — это разность потенциалов между пластинами, то есть работа, которую нужно совершить, чтобы перенести один кулон с отрицательной пластины на положительную.

Удвойте заряд — и поле между пластинами станет вдвое больше во всех точках, а вместе с ним вдвое вырастет и работа на кулон. Значит, заряд и напряжение пропорциональны:
$q=CU$

Постоянная $C$ — это электроёмкость, заряд, запасаемый на каждый вольт; её измеряют в фарадах: $1\mathrm{Ф}=1\mathrm{Кл}/\mathrm{В}$. Фарад — огромная величина, поэтому ёмкость обычных конденсаторов указывают в пикофарадах ($10^{-12}\mathrm{Ф}$), нанофарадах или микрофарадах (мкФ, $10^{-6}\mathrm{Ф}$). В подписях анимации используются международные обозначения: напряжение $V$ ($V_C$, $V_0$), заряд $Q$ и площадь $A$ — это те же $U$ ($U_C$, $U_0$), $q$ и $S$.

От чего зависит ёмкость

У двух плоских параллельных пластин площадью $S$ на расстоянии $d$ друг от друга поле между ними однородно, $E=U/d$, а снаружи почти равно нулю. Ёмкость определяется только этой геометрией и изолятором:
$C=\frac{{\epsilon }_0\epsilon S}{d}$

Здесь ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$ — электрическая постоянная, а $\epsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость изолятора: 1,0006 для воздуха, около 2,2 для полипропилена, 80 для воды.

Заряд на единицу площади определяет поле: $E=q/({\epsilon }_0\epsilon S)$. Поэтому на больших пластинах тот же заряд распределён тоньше, и поле, а с ним и напряжение $U=Ed$, становятся меньше. В узком зазоре поле того же заряда остаётся прежним, но путь поперёк него короче. В диэлектрике молекулы поляризуются: их отрицательные концы поворачиваются к положительной пластине и частично ослабляют поле. Во всех трёх случаях напряжение, приходящееся на кулон заряда, падает, и та же батарея загоняет на пластины больше заряда.

Две пластины по 1 см² с воздушным зазором 0,5 мм имеют ёмкость $C=8,85\times 10^{-12}\cdot 10^{-4}/(5\times 10^{-4})\approx 1,77\mathrm{пФ}$; если сблизить их до 0,3 мм, как в ёмкостной кнопке, получится 2,95 пФ. Для ёмкости в один фарад при воздушном зазоре 1 мм понадобились бы пластины площадью 113 км².

Зарядка через резистор

В анимации батарея с напряжением $U_0$ заряжает конденсатор через резистор $R$. Напряжение батареи делится между ними: $U_0=RI+U_C$. Поэтому ток создаёт только та часть напряжения, которая осталась на резисторе:
$I=\frac{U_0-U_C}{R}$

В начале конденсатор пуст, $U_C=0$, и ток наибольший, $U_0/R$, — как будто вместо конденсатора простой провод. Каждая порция пришедшего заряда повышает $U_C$, оставляет резистору меньше напряжения и замедляет ток: чем полнее конденсатор, тем слабее толчок, который его наполняет.

Темп задаёт постоянная времени $\tau =RC$: омы, умноженные на фарады, дают секунды. Через одну постоянную времени конденсатор имеет 63 % конечного напряжения, а через $5\tau$ — больше 99 %. Точные законы, которые выводятся на продвинутом уровне, экспоненциальны:

• $\tau =RC$
• $U_C=U_0(1-e^{-t/RC})$
• $I=\left(\frac{U_0}{R}\right)e^{-t/RC}$

Запасённая энергия и график «напряжение — заряд»

Зарядка требует работы: каждую порцию заряда нужно переносить против уже накопленного напряжения — почти нулевого для первой порции и полного $U$ для последней. На графике напряжения от заряда $U=q/C$ — прямая, выходящая из начала координат, а работа равна площади под ней, то есть треугольнику с основанием $q$ и высотой $U$:
$W=\frac{C{U}^2}{2}=\frac{qU}{2}$

Множитель ½ появляется потому, что среднее напряжение за время зарядки вдвое меньше конечного. Если построить тот же график как зависимость заряда от напряжения, наклон прямой будет равен $C$, так что большей ёмкости соответствует более крутая прямая. Так как $W$ растёт как квадрат напряжения, при удвоении напряжения запасается вчетверо больше энергии, и она сосредоточена в поле между пластинами.

Пример: цепь из анимации

В анимации $U_0=12\mathrm{В}$, $R=10\mathrm{кОм}$ и $C=100\mathrm{мкФ}$, поэтому начальный ток, постоянная времени, конечный заряд и энергия равны
$I_0=\frac{U_0}{R}=\frac{12\mathrm{В}}{10^4\mathrm{Ом}}=1,2\mathrm{мА}$
$\tau =RC=10^4\mathrm{Ом}\cdot 10^{-4}\mathrm{Ф}=1\mathrm{с}$
$q=C{U}_0=10^{-4}\mathrm{Ф}\cdot 12\mathrm{В}=1,2\mathrm{мКл}$
$W=\frac{C{U}_0^2}{2}=\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 12^2=7,2\mathrm{мДж}$

Таковы крайние значения показаний индикаторов: $I$ начинается с 1,20 мА, а когда зарядка закончена, $U_C$ показывает 12,0 В, $q$ — 1,20 мКл и $I$ — 0,00 мА. При $t=\tau =1\mathrm{с}$ они показывают $U_C=7,6\mathrm{В}$ (63 %), $q=0,76\mathrm{мКл}$ и $I=0,44\mathrm{мА}$, что подтверждает правило контура (второе правило Кирхгофа): $(12-7,6)\mathrm{В}/10\mathrm{кОм}=0,44\mathrm{мА}$.

Синие точки — электроны. Они уходят с верхней пластины к положительному полюсу батареи, и столько же электронов выталкивается с отрицательного полюса на нижнюю пластину, поэтому верхняя пластина получает заряд $+q$ (красно-оранжевые точки), а нижняя — $-q$ (синие точки). Золотистая стрелка $I$ — ток в принятом направлении — направлена против дрейфа электронов и укорачивается, когда ток затухает. Фиолетовые стрелки $E$ между пластинами растут пропорционально $q$, и ни одна точка не пересекает зазор.

Пример: фотовспышка

Фотовспышка хранит энергию в конденсаторе, скажем, ёмкостью 150 мкФ, заряженном до 300 В. В нём запасены
$q=CU=150\times 10^{-6}\cdot 300=0,045\mathrm{Кл}$
$W=\frac{C{U}^2}{2}=\frac{1}{2}\cdot 150\times 10^{-6}\cdot 300^2=6,75\mathrm{Дж}$

Допустим, зарядное устройство ведёт себя как источник 300 В с внутренним сопротивлением 8 кОм. Тогда $\tau =8000\cdot 150\times 10^{-6}=1,2\mathrm{с}$, а ток в начале равен $300/8000=37,5\mathrm{мА}$. Через $2\tau =2,4\mathrm{с}$ напряжение составит $300(1-e^{-2})\approx 259\mathrm{В}$, то есть 86 %, но энергия, пропорциональная $U^2$, равна всего $0,865^2\approx 0,75$ максимума, около 5,0 Дж.

Затем импульсная лампа разряжает полностью заряженный конденсатор примерно за миллисекунду, поэтому средняя мощность вспышки равна $6,75\mathrm{Дж}/10^{-3}\mathrm{с}\approx 7\mathrm{кВт}$. Чтобы постоянная времени разрядки составила 1 мс, достаточно сопротивления $10^{-3}/(150\times 10^{-6})\approx 7\mathrm{Ом}$. Один и тот же конденсатор медленно наполняется и быстро опустошается: темп задаёт сопротивление на его пути.

Частые ошибки

• Ток не течёт через зазор: заряд приходит на одну пластину, а с другой уходит такой же заряд, поэтому в обоих проводах ток один и тот же — в анимации 1,2 мА в начале и нуль, когда конденсатор полон. Конденсатор не пропускает постоянный ток.
• Заряженный конденсатор не несёт суммарного заряда: в конце зарядки пластины в анимации несут $+1,2\mathrm{мКл}$ и $-1,2\mathrm{мКл}$.
• Запасённая энергия равна $\frac{1}{2}qU$, а не $qU$: в анимации это 7,2 мДж, а не 14,4 мДж, потому что напряжение росло от нуля, пока переносился заряд.
• Одна постоянная времени не заполняет конденсатор: она даёт 63 % конечного напряжения и лишь 40 % конечной энергии. Закладывайте около $5\tau$.
• Килоомы, умноженные на микрофарады, дают миллисекунды: 2,2 кОм и 47 мкФ дают $\tau \approx 0,10\mathrm{с}$ (103 мс), а не 103 с.

Где это встречается

Фотовспышки и дефибрилляторы накапливают энергию медленно, а отдают её за миллисекунды. Сглаживающие конденсаторы в блоках питания заряжаются на пиках переменного напряжения и поддерживают ток в промежутках между ними. Сенсорные экраны реагируют на изменение ёмкости, когда приближается палец, а каждый бит оперативной памяти компьютера — это крошечный конденсатор, заряженный или пустой.

Резистор и правило контура разобраны в уроках «Электрический ток и сопротивление» и «Цепи постоянного тока и закон Ома». Если соединить конденсатор с катушкой (урок «Электромагнитная индукция»), получится контур, в котором заряд колеблется, как в уроке «Гармонические колебания», а сопротивление делает его примером из урока «Затухание и резонанс». Меняющееся поле в зазоре заряжающегося конденсатора действует как ток смещения — тот самый, который замыкает систему уравнений поля и предсказывает электромагнитные волны (урок «Электромагнитные волны»).

Продвинутый

Почему заряд пропорционален напряжению

Все результаты ниже опираются на один факт: для любой пары проводников заряд пропорционален напряжению. Прежде чем им пользоваться, стоит понять, откуда он берётся.

Поместите $+q$ на один проводник и $-q$ на другой, и пусть рядом нет других зарядов. Создаваемое ими поле подчиняется линейным уравнениям: поле нескольких зарядов равно сумме их полей по отдельности. Умножьте все заряды на один и тот же множитель — и поле в каждой точке умножится на этот множитель. В увеличенной конфигурации поле внутри металла по-прежнему равно нулю, а каждый проводник по-прежнему имеет один потенциал, поэтому именно она и есть настоящая конфигурация для большего заряда. Напряжение — это линейный интеграл поля от положительного проводника к отрицательному, $U=\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$, так что оно тоже умножается на тот же множитель.

Значит, заряд и напряжение растут вместе в постоянном отношении, $q=CU$. Ёмкость $C$ определяется формой проводников, расстоянием между ними и изолятором между ними, но никак не $q$ и не $U$. Отсюда сразу следует рецепт её нахождения: задать заряд $q$, найти поле, проинтегрировать его, чтобы получить $U$, и поделить.

Плоские пластины и теорема Гаусса

Простейший случай — две плоские пластины площадью $S$ на малом расстоянии $d$ друг от друга. Теорема Гаусса даёт поле между ними за один шаг, а рисунок 1 показывает, как именно.

Обозначения

$Q$	Заряд каждой пластины (в тексте $q$): $+q$ на левой пластине, $-q$ на правой.	$\mathrm{Кл}$
$\sigma$	Заряд на квадратный метр внутренней поверхности положительной пластины, $\sigma =q/S$ для пластин площадью $S$.	$\mathrm{Кл}/{\mathrm{м}}^2$
$dA$	Площадь правой грани гауссовой коробки (в тексте $dS$): единственной грани, которую пересекает поле.	${\mathrm{м}}^2$
$E$	Электрическое поле в зазоре: однородное, от положительной пластины к отрицательной; внутри металла равно нулю.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
$d$	Ширина зазора между пластинами.	$\mathrm{м}$
$V$	Напряжение между пластинами (в тексте $U$): линейный интеграл поля от положительной пластины к отрицательной, $U=Ed$.	$\mathrm{В}$

Рисунок 1 показывает пластины сбоку: $+q$ на левой пластине, $-q$ на правой и зазор $d$ между ними. Положительный заряд располагается на внутренней поверхности своей пластины, обращённой к отрицательной, и на каждый квадратный метр приходится заряд $\sigma$; для пластин площадью $S$ это $\sigma =q/S$. Маленькая коробка, нарисованная поперёк этой поверхности, — гауссова коробка: воображаемая замкнутая поверхность, к которой применяют теорему Гаусса. Площадь её грани на рисунке обозначена $dA$, в тексте это $dS$.

Посмотрите на две большие грани коробки. Левая грань лежит внутри металла и отмечена $E=0$. В проводнике, где всё неподвижно, поле должно быть равно нулю, иначе свободные заряды продолжали бы двигаться. Правая грань, площадка площадью $dS$, лежит в зазоре, и поле $E$ пересекает её под прямым углом. Остальные грани либо идут вдоль поля, либо лежат в металле, поэтому через них ничего не проходит. Значит, поток наружу из коробки равен $EdS$, а заряд внутри неё равен $\sigma dS$.

Теорема Гаусса приравнивает поток наружу из замкнутой поверхности заряду внутри, делённому на ${\epsilon }_0$:
$EdS=\frac{\sigma dS}{{\epsilon }_0}$
Площадь $dS$ сокращается, поэтому размер коробки не важен, и поле в зазоре равно
$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}=\frac{q}{{\epsilon }_{0}S}$

Так как $\sigma$ одинакова по всей большой пластине, это поле одинаково в каждой точке зазора, что и показывают равномерно расположенные линии поля на рисунке. Снаружи пары поля двух пластин взаимно уничтожаются.

Теперь напряжение. Стрелка на рисунке с подписью $V$ (это напряжение $U$ из текста) идёт через зазор от положительной пластины к отрицательной. Вдоль неё поле на каждом шаге имеет одно и то же значение $E$, поэтому линейный интеграл просто равен $E$, умноженному на длину $d$:
$U=Ed=\frac{qd}{{\epsilon }_{0}S},C=\frac{q}{U}=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$
Как и обещано, $q$ выпало из ответа. Чем больше площадь, тем больше заряда удерживается на вольт; чем шире зазор, тем меньше. Изолятор с относительной диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, заполняющий зазор, увеличивает $C$ в $\epsilon$ раз, как объясняет раздел о диэлектриках.

Тот же рецепт работает и для других форм. Снаружи уединённой сферы радиуса $a$ поле такое же, как у точечного заряда, и его интегрирование от поверхности до бесконечности даёт $U=q/(4\pi {\epsilon }_{0}a)$. В коаксиальном кабеле с внутренним радиусом $a$ и внешним радиусом $b$ поле между проводниками убывает как $1/r$, поэтому интегрирование от $a$ до $b$ даёт логарифм. Для сферы и для кабеля длиной $\ell$ с изоляцией, у которой относительная диэлектрическая проницаемость $\epsilon$:
$C=4\pi {\epsilon }_{0}a,\frac{C}{\ell }=\frac{2\pi {\epsilon }_0\epsilon }{\ln (b/a)}$
Числа весьма красноречивы. Вся Земля как сфера имеет ёмкость всего около 0,71 мФ — меньше, чем у обычного электролитического конденсатора на 1000 мкФ. Кабель с полиэтиленовой изоляцией ($\epsilon =2,3$) и $b/a=3,5$ имеет около 100 пФ на метр.

Уравнение зарядки и его решение

Конденсатор никогда не заряжается мгновенно: какое-то сопротивление в цепи всегда ограничивает ток. В этом разделе выясняется, как заряд накапливается со временем, — это закон, лежащий в основе любой времязадающей цепи из резистора и конденсатора.

Обозначения

$V_0$	Напряжение батареи (в тексте $U_0$): подъём потенциала на батарее.	$\mathrm{В}$
$R$	Сопротивление резистора.	$\mathrm{Ом}$
$C$	Ёмкость конденсатора.	$\mathrm{Ф}$
$I$	Ток, одинаковый во всём контуре: скорость, с которой заряд приходит на верхнюю пластину, $I=dq/dt$.	$\mathrm{А}$
$q$	Заряд конденсатора в нарисованный момент: $+q$ на верхней пластине, $-q$ на нижней.	$\mathrm{Кл}$
$V_R$	Падение потенциала на резисторе (в тексте $U_R$), $U_R=RI$.	$\mathrm{В}$
$V_C$	Падение потенциала на конденсаторе (в тексте $U_C$), $U_C=q/C$.	$\mathrm{В}$

Рисунок 2 показывает контур: батарея с напряжением $U_0$ (на рисунке подписано $V_0$), резистор $R$ и конденсатор $C$, соединённые последовательно. Путь только один, поэтому через все элементы идёт один и тот же ток $I$. В нарисованный момент на верхней пластине конденсатора заряд $+q$, а на нижней $-q$; $q$ растёт от нуля, по мере того как ток приносит заряд.

Обойдите контур один раз в направлении тока $I$, следя за потенциалом. Батарея повышает его на $U_0$. Резистор понижает его на $U_R=RI$ (закон Ома), а конденсатор — на $U_C=q/C$. Вернувшись в исходную точку, потенциал должен принять прежнее значение, поэтому подъём равен сумме двух падений:
$U_0=U_R+U_C$

Ток — это скорость, с которой заряд приходит на верхнюю пластину, $I=dq/dt$. Записав $U_R=Rdq/dt$ и $U_C=q/C$, получаем из правила контура уравнение для одного только заряда:
$R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=U_0$
Оно первого порядка, потому что в нём только первая производная, и линейное, потому что $q$ входит только в первой степени.

Чтобы решить его, умножьте на $C$ и преобразуйте: $RCdq/dt=C{U}_0-q$. Правая часть — это заряд, которого ещё не хватает до конечного значения $C{U}_0$. Если разделить обе части на неё, всё с $q$ окажется в одной части, а всё с $t$ — в другой:
$\frac{dq}{C{U}_0-q}=\frac{dt}{RC}$
Проинтегрируйте от пустого конденсатора, $q=0$ в момент замыкания ключа $t=0$, до заряда $q$ в момент $t$:
$-\ln \left(1-\frac{q}{C{U}_0}\right)=\frac{t}{RC}$

Избавившись от логарифма, получаем $q=C{U}_0(1-e^{-t/RC})$. Деление на $C$ даёт напряжение на конденсаторе, а дифференцирование $q$ — ток:
$U_C=U_0(1-e^{-t/RC})$
$I=\frac{U_0}{R}{e}^{-t/RC}$
Произведение $\tau =RC$ имеет размерность времени, так как $\mathrm{Ом}\cdot \mathrm{Ф}=\mathrm{с}$. Его называют постоянной времени, и она задаёт темп всего, что происходит дальше.

Уравнению первого порядка нужно одно начальное условие, здесь $q(0)=0$. Обратите внимание, что может, а что не может измениться скачком при замыкании ключа. Ток сразу скачком вырастает от нуля до $U_0/R$. Заряд скачком измениться не может, потому что для мгновенного изменения понадобился бы бесконечный ток; поэтому напряжение на конденсаторе всегда непрерывно. Разрядка через $R$ с напряжения $U_1$ описывается тем же уравнением при $U_0=0$ и даёт $U_C=U_1{e}^{-t/RC}$.

Все величины в такой цепи — заряд, напряжения и ток — подчиняются одной закономерности. Величина $x$ начинается с $x_0$ и стремится к конечному значению $x_{\infty }$:
$x(t)=x_{\infty }+(x_0-x_{\infty })e^{-t/\tau }$
Причина в том, что скорость её изменения пропорциональна расстоянию, которое ещё осталось пройти, $dx/dt=(x_{\infty }-x)/\tau$. Поэтому за равные времена это расстояние сокращается в равное число раз: в $e\approx 2,7$ раза, то есть до $e^{-1}\approx 0,37$, за каждую постоянную времени и вдвое за каждые $\tau \ln 2\approx 0,69\tau$.

Как читать экспоненциальные графики

Решения проще всего понять по графикам. Они построены здесь для цепи из анимации: $U_0=12\mathrm{В}$, $R=10\mathrm{кОм}$ и $C=100\mathrm{мкФ}$, так что $\tau =RC=1\mathrm{с}$, а начальный ток равен $I_0=U_0/R=1,2\mathrm{мА}$.

Обозначения

$t$	Время, прошедшее после замыкания ключа.	$\mathrm{с}$
$\tau$	Постоянная времени, $\tau =RC$: время, за которое проходится 63 % изменения.	$\mathrm{с}$
$V_C$	Напряжение на конденсаторе (в тексте $U_C$), растущее от нуля к $U_0$.	$\mathrm{В}$
$V_0$	Напряжение батареи (в тексте $U_0$), конечное значение $U_C$.	$\mathrm{В}$
$I$	Ток в контуре, падающий от $I_0$ к нулю; $I=Cd{U}_C/dt$.	$\mathrm{А}$
$I_0$	Начальный ток, $I_0=U_0/R$.	$\mathrm{А}$
$Q$	Полный перенесённый заряд (в тексте $q$): закрашенная площадь под $I(t)$, равная $I_0\tau =C{U}_0$.	$\mathrm{Кл}$

Рисунок 3 рисует оба решения на общей оси времени $t$ (на рисунке подписи $V_C$ и $V_0$ стоят там, где в тексте $U_C$ и $U_0$). Верхний график — напряжение на конденсаторе $U_C$, растущее от нуля к напряжению батареи $U_0$. Нижний график — ток $I$, падающий от $I_0$ к нулю. Пунктирная вертикальная линия на каждом отмечает одну постоянную времени, $t=\tau$. В экспертном слое анимации нарисованы те же кривые, каждая как доля своего максимума: $U_C$ синим, а $I$ золотистым.

Сначала посмотрите на точки при $t=\tau$. На верхней кривой напряжение достигло 63 % от $U_0$; на нижней ток упал до 37 % от $I_0$. В сумме это 100 %, и так должно быть в каждый момент, потому что $U_C+RI=U_0$: напряжение, которого конденсатор ещё не набрал, всё ещё лежит на резисторе. В долях две кривые зеркальны друг другу и пересекаются на уровне 50 % при $t=\tau \ln 2\approx 0,69\mathrm{с}$.

Дальше — наклонная пунктирная линия на верхнем графике. Это касательная к $U_C$ при $t=0$ с наклоном $U_0/\tau =12\mathrm{В}/\mathrm{с}$, и она показывает, что произошло бы, если бы ток сохранял начальное значение $I_0$: конденсатор заполнился бы ровно за одну постоянную времени. Касательная действительно достигает уровня $U_0$ при $t=\tau$. Это верно из любой точки кривой, а не только из начала: касательная всегда достигает $U_0$ на $\tau$ позже. Настоящая кривая всё время замедляется, потому что оставшийся промежуток сокращается в $e$ раз за каждую постоянную времени, здесь за каждую секунду: 12; 4,4; 1,6; 0,60; 0,22 и 0,08 В при $t=0$, 1, 2, 3, 4 и 5 с. Примерно через $5\tau$ конденсатор можно считать полностью заряженным.

Два графика связаны соотношением $I=Cd{U}_C/dt$: нижняя кривая — это наклон верхней, умноженный на $C$. Там, где напряжение круто растёт, в начале, ток велик; там, где оно выходит на плато, ток затухает.

Наконец, закрашенная площадь под $I(t)$. Ток — это заряд в секунду, поэтому площадь под кривой тока равна полному перенесённому заряду:
$q={\int }_0^{\infty }{I}_0{e}^{-t/\tau }dt=I_0\tau =1,2\mathrm{мА}\cdot 1\mathrm{с}=1,2\mathrm{мКл}$
Это конечное показание $q$ в анимации, и оно равно $C{U}_0$, как и должно быть. Это также площадь пунктирного прямоугольника высотой $I_0$ и шириной $\tau$: длинный экспоненциальный хвост содержит ровно тот заряд, которого прямоугольнику не хватает.

Запасённая энергия $W=\frac{1}{2}C{U}_C^2$ отстаёт от напряжения, потому что она пропорциональна квадрату $U_C$. При $t=\tau$ напряжение составляет 63 %, но показание энергии равно 2,88 мДж — всего 40 % (то есть $0,63^2$) от конечных 7,2 мДж.

Куда уходит энергия

Зарядка конденсатора от батареи всегда расходует энергию впустую, и всегда одну и ту же её долю. Чтобы понять почему, сравним, что запасает конденсатор и что отдаёт батарея.

Сначала запасённая энергия. Перенос малого заряда $dq$ с отрицательной пластины на положительную против напряжения $q/C$, которое уже есть, требует работы $dW=(q/C)dq$. Сложив это от пустого конденсатора до конечного заряда $q$, получаем
$W=\frac{q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{U}^2$
Множитель ½ появляется потому, что ранние заряды проходят малое напряжение, и только последние проходят полное $U$.

Батарея же с самого начала проводит весь заряд $q=C{U}_0$ через своё полное напряжение $U_0$, поэтому отдаёт $q{U}_0=C{U}_0^2$. В анимации это 14,4 мДж, вдвое больше запасённых 7,2 мДж. Разница превращается в тепло в резисторе, что подтверждает интеграл его мощности $I^{2}R$:
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{U_0^2}{R}{\int }_0^{\infty }{e}^{-2t/RC}dt=\frac{1}{2}C{U}_0^2$

Теряется ровно половина, 7,2 мДж, каким бы ни было $R$. Меньшее сопротивление даёт больший ток в течение более короткого времени, и эти два эффекта компенсируют друг друга. Большая часть тепла выделяется рано, пока ток велик: к моменту $t=\tau$ резистор уже превратил в тепло 6,2 мДж. Задача ниже показывает, как терять меньше.

Плотность энергии поля

Где в конденсаторе хранится запасённая энергия? Ответ подсказывают формулы плоского конденсатора. Подставьте $C={\epsilon }_0\epsilon S/d$ и $U=Ed$ в $\frac{1}{2}C{U}^2$:
$\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0\epsilon E^2\cdot Sd$
Произведение $Sd$ — это объём зазора, как раз той области, которую заполняет поле. Поэтому энергию можно считать распределённой по полю с плотностью энергии, то есть энергией в кубическом метре,
$w=\frac{1}{2}{\epsilon }_0\epsilon E^2$
Это верно для любого электрического поля, а не только между пластинами, и если отнестись к этому всерьёз, получается неожиданный вывод.

Как энергия попадает в зазор

Если энергия находится в поле между пластинами, она должна попасть туда в то время, пока конденсатор заряжается. Самое очевидное предположение — что она течёт по проводам — оказывается неверным.

Обозначения

$I$	Ток в подводящих проводах, текущий вниз к верхней пластине.	$\mathrm{А}$
$\vec{E}$	Электрическое поле в зазоре, направленное вниз и растущее по мере зарядки пластин.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
$\vec{B}$	Магнитное поле, созданное растущим $\vec{E}$ и обходящее ось по часовой стрелке, если смотреть сверху.	$\mathrm{Тл}$
$\vec{S}$	Поток энергии (вектор Пойнтинга; в тексте $\vec{\Pi }$), $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: энергия в секунду на квадратный метр, направленная внутрь по всему краю.	$\mathrm{Вт}/{\mathrm{м}}^2$

Рисунок 4 показывает воздушный конденсатор с круглыми пластинами во время зарядки. Ток $I$ в подводящих проводах течёт вниз к верхней пластине, поэтому пластины получают заряд, а поле $\vec{E}$ в зазоре, направленное вниз, растёт.

Меняющееся электрическое поле создаёт магнитное, как и ток. Максвелл назвал слагаемое ${\epsilon }_{0}d{\Phi }_E/dt$ током смещения, где ${\Phi }_E$ — поток электрического поля через зазор. Между пластинами он в точности равен току $I$ в проводах, так как ${\epsilon }_{0}SdE/dt=dq/dt$. Поэтому внутри зазора магнитное поле $\vec{B}$ циркулирует вокруг оси в том же направлении, в каком оно циркулирует вокруг проводов: по часовой стрелке, если смотреть сверху, по правилу правой руки для тока, текущего вниз.

Теперь посмотрите на край зазора. Там $\vec{E}$ направлено вниз, а $\vec{B}$ идёт вдоль окружности. Поток энергии, или вектор Пойнтинга, $\vec{\Pi }=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$ (на рисунке подписан $\vec{S}$), перпендикулярен им обоим, и по правилу правой руки он направлен радиально внутрь в каждой точке края. Энергия поля поступает из окружающего пространства через открытые стороны зазора, а не по проводам. Сложив $\vec{\Pi }$ по всему краю, получаем в точности скорость, с которой внутри растёт энергия $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ в кубическом метре.

Силы из энергии

Энергия даёт и силу между пластинами, не требуя знать, как заряд распределён по ним. В этом методе, который называют методом виртуальных перемещений, мысленно сдвигают пластину на крошечное расстояние и смотрят, как при этом меняется энергия.

Изолируйте заряженный конденсатор, чтобы $q$ не мог измениться, и отодвиньте одну пластину на малое расстояние $dz$. Ваша работа $Fdz$ должна равняться приросту запасённой энергии $q^2/(2C)$. Для зазора $z$ имеем $1/C=z/({\epsilon }_{0}S)$, поэтому запасённая энергия равна $q^{2}z/(2{\epsilon }_{0}S)$ и растёт пропорционально $z$. Скорость её изменения по $z$ и есть сила:
$F=\frac{q^2}{2{\epsilon }_{0}S}=\frac{1}{2}qE$
Почему ½, а не просто $qE$? Каждая пластина создаёт половину поля в зазоре, а на пластину действует только половина, созданная другой пластиной. Метод годится для любой формы, как только известна $C$ как функция положения.

Одно число показывает, как слаба эта сила. Если сделать конденсатор из анимации на 100 мкФ воздушным с зазором 1 мм, понадобились бы пластины площадью $S=Cd/{\epsilon }_0\approx 1,1\times 10^4{\mathrm{м}}^2$ — это около полутора футбольных полей. При 12 В пластины притягивались бы с силой $F=W/d=7,2\mathrm{Н}$, то есть давление составило бы всего $6,4\times 10^{-4}\mathrm{Па}$. Это давление равно плотности энергии $w$ поля: сила на квадратный метр и энергия на кубический метр имеют одну и ту же единицу, а здесь и одно и то же значение.

Диэлектрики

Изолятор в зазоре увеличивает ёмкость в $\epsilon$ раз, где $\epsilon$ — его относительная диэлектрическая проницаемость. Причина — поляризация. В поле молекулы изолятора растягиваются или поворачиваются, так что их положительные и отрицательные заряды немного расходятся. Внутри материала эти смещения компенсируют друг друга, но на двух его гранях остаются связанные заряды: отрицательные у положительной пластины и положительные у отрицательной. Связанные заряды создают поле, направленное против поля свободных зарядов на пластинах, и ослабляют его.

При постоянном заряде $q$ поле в зазоре, а вместе с ним и напряжение, уменьшается в $\epsilon$ раз, поэтому $C=q/U$ растёт в $\epsilon$ раз. При постоянном напряжении на пластины притекает в $\epsilon$ раз больше заряда. В обоих случаях $C={\epsilon }_0\epsilon S/d$.

Задача: зарядка в два этапа

Потеря половины энергии — плата за зарядку от источника с фиксированным напряжением, а не закон природы. Возьмём конденсатор и резистор из анимации, $C=100\mathrm{мкФ}$ и $R=10\mathrm{кОм}$, так что $\tau =1\mathrm{с}$, и зарядим его до 12 В в два этапа: сначала от источника 6 В до полной зарядки, затем от батареи 12 В. Сколько всего тепла выделится?

Первый этап — это анимация при половинном напряжении. Источник переносит $C\cdot 6\mathrm{В}=0,6\mathrm{мКл}$ через 6 В и поэтому отдаёт 3,6 мДж. Из них $\frac{1}{2}\cdot 10^{-4}\cdot 6^2=1,8\mathrm{мДж}$ запасается, а остальные 1,8 мДж превращаются в тепло: половина, как и раньше.

Второй этап начинается с $U_C=6\mathrm{В}$, поэтому ток через резистор создаёт только разность, 6 В. Подставим $x_0=6$ и $x_{\infty }=12$ в закон релаксации, в вольтах и миллиамперах:
$U_C=12-6e^{-t/\tau },I=0,6e^{-t/\tau }$
Ток начинается всего с 0,6 мА, а тепло равно
${\int }_0^{\infty }{I}^{2}Rdt=\frac{(6\mathrm{В}{)}^2}{R}\cdot \frac{\tau }{2}=\frac{36}{10^4}\cdot 0,5\mathrm{Дж}=1,8\mathrm{мДж}$

Энергетический баланс сходится. На этом этапе батарея переносит ещё 0,6 мКл через 12 В и отдаёт 7,2 мДж, а запасённая энергия растёт с 1,8 до 7,2 мДж, то есть на 5,4 мДж. Разница снова равна 1,8 мДж тепла.

Всего теряется 3,6 мДж вместо 7,2 мДж. Общее правило: каждая ступень размером $\Delta U$ превращает в тепло $\frac{1}{2}C(\Delta U{)}^2$ независимо от начального напряжения, поэтому $N$ равных ступеней теряют $\frac{1}{2}C{U}_0^2/N$: всего 0,6 мДж при двенадцати ступенях по 1 В. Источник, напряжение которого нарастает медленно по сравнению с $\tau$, почти ничего не теряет — на этой идее основана адиабатическая зарядка в маломощной электронике. Платой служит время: каждой ступени нужно около $5\tau$, чтобы завершиться.

Границы простой модели

Формула $C={\epsilon }_0\epsilon S/d$ предполагает однородное поле, которое резко обрывается на краях пластин. На самом деле поле выпячивается наружу у краёв, и это краевое поле добавляет ёмкость: около 4 % для дисков диаметром 10 см с зазором 1 мм и 0,6 % при зазоре 0,1 мм.

Реальные изоляторы к тому же немного пропускают ток, а любой из них пробивается, внезапно становясь проводящим и давая искру, при поле выше так называемой электрической прочности. Для сухого воздуха она около 3 МВ/м, что ограничивает плотность энергии воздушного зазора значением $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2\approx 40\mathrm{Дж}/{\mathrm{м}}^3$. Полимерные плёнки выдерживают сотни мегавольт на метр и запасают несколько МДж/м³, но это всё равно в сотни раз меньше, чем у литий-ионного аккумулятора. Конденсаторы выигрывают в скорости, а не в запасе энергии.

Схемная модель предполагает также квазистатическое изменение: настолько медленное, что поле везде успевает за зарядом. Два эффекта нарушают это на высокой частоте. Во-первых, у реальных деталей есть индуктивность: у небольшого керамического конденсатора в выводах и обкладках около одного наногенри, поэтому деталь на 100 нФ резонирует вблизи 16 МГц, а выше ведёт себя как катушка. Во-вторых, модель отказывает даже для идеальных пластин, потому что меняющееся магнитное поле на рисунке 4 индуцирует собственное электрическое поле, которое изменяет $\vec{E}$ поперёк зазора. При 1 ГГц поле у края пластин радиусом 1 см примерно на 1 % слабее, чем в центре, а около 11 ГГц такие пластины становятся объёмным резонатором.

Наконец, заряд не бесконечно делим. Один лишний электрон повышает напряжение конденсатора ёмкостью 1 фФ всего на 0,16 мВ. Но энергия, нужная для добавления одного электрона, растёт по мере уменьшения ёмкости, и при ёмкости меньше нескольких аттофарад она превышает тепловую энергию при комнатной температуре, около 0,026 эВ. Тогда электроны могут входить только по одному — этот эффект называют кулоновской блокадой, и его используют одноэлектронные транзисторы.

Что дальше

Резистор, который задаёт $\tau$, объясняется в уроке «Электрический ток и сопротивление», а правило контура, лежащее в основе закона зарядки, — в уроке «Цепи постоянного тока и закон Ома». В уроке «Электрическая мощность и энергия в быту» конденсаторы на переменном напряжении в каждом периоде запасают и возвращают энергию. Урок «Электромагнитная индукция» добавляет катушку: вместе с конденсатором она подчиняется уравнению $L\ddot{q}+q/C=0$ — уравнению из урока «Гармонические колебания» с $\omega =1/\sqrt{LC}$, — а сопротивление делает его примером из урока «Затухание и резонанс». Ток смещения в зазоре — это то слагаемое, которое замыкает уравнения поля и предсказывает «Электромагнитные волны», а экспонента с постоянной времени возвращается в уроке «Радиоактивность и период полураспада».