Champ et potentiel électriques

Débutant

Frottez un ballon sur vos cheveux : il peut les soulever à quelques centimètres de distance. Les charges électriques se poussent et s'attirent sans se toucher, et la règle de base tient en une ligne : des charges de même signe se repoussent, des charges de signes contraires s'attirent. La force faiblit aussi très vite avec la distance : éloignez deux charges deux fois plus et elle tombe au quart.

Étape 1 : le champ. Plutôt que de suivre chaque charge, on dit que chaque charge remplit l'espace autour d'elle d'un champ électrique. En tout point, le champ indique dans quel sens, et avec quelle force, serait poussée une petite charge « d'essai » positive placée là. Autour d'une charge +, le champ pointe vers l'extérieur ; autour d'une charge −, vers l'intérieur.

Étape 2 : les lignes de champ. On dessine le champ par des lignes fléchées. Elles partent des charges + et arrivent sur les charges −. Là où elles se resserrent, la poussée est forte ; là où elles s'écartent, elle est faible.

Étape 3 : l'intensité. L'intensité du champ est la force exercée sur chaque coulomb de charge, en newtons par coulomb (N/C). Dans un champ de 100 N/C, une charge d'un demi-coulomb subit $0,5\times 100=50\mathrm{N}$.

Étape 4 : la tension. Le potentiel électrique, mesuré en volts, ressemble à l'altitude sur une colline. Une charge + « descend » des hautes tensions vers les basses et prend de la vitesse, comme une bille qui dévale une pente. Une différence d'un volt signifie que chaque coulomb gagne ou perd un joule d'énergie.

Dans l'animation, des lignes grises vont de la charge + à la charge − et se resserrent près de chacune. La petite charge dorée, lâchée près de la +, glisse le long de la ligne du milieu, de plus en plus vite.

Testez-vous : dans un champ de 400 N/C, quelle force s'exerce sur une charge de 0,005 C ? (Réponse : 2 N.)

Intermédiaire

Le champ : la force par unité de charge

Les charges se poussent et s'attirent à travers le vide, comme le décrit la leçon Loi de Coulomb. L'idée de champ coupe ce phénomène en deux étapes : les charges sources créent tout autour d'elles un champ électrique $\vec{E}$, et une charge placée en un point subit le champ qui règne à cet endroit.

Pour mesurer le champ, on place en ce point une petite charge d'essai positive $q$, on mesure la force qu'elle subit et l'on divise :
$E=\frac{F}{q}$

Si l'on double $q$, la force double aussi : le rapport est donc une propriété du point, et le champ existe même quand rien ne le sonde. Son unité est le newton par coulomb, égal au volt par mètre. En inversant la relation, $\vec{F}=q\vec{E}$ : une charge positive est poussée dans le sens du champ, une charge négative en sens inverse. La charge d'essai de l'animation, $q=+0,1\mathrm{nC}$, est dix fois plus petite que les charges sources fixes, $\pm 1\mathrm{nC}$.

Charges ponctuelles et superposition

En divisant la loi de Coulomb par la charge d'essai, on obtient le champ d'une charge ponctuelle $Q$ à la distance $r$ :
$E=\frac{kQ}{r^2}$
avec $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Il est orienté vers l'extérieur pour une charge $Q$ positive et vers la charge pour une charge négative.

Quand il y a plusieurs charges, chacune crée son propre champ comme si les autres n'existaient pas, et le champ total est leur somme vectorielle. Sur la médiatrice du segment qui joint les deux charges de l'animation, les deux champs ont la même intensité, l'un s'éloignant de la charge +, l'autre pointant vers la charge −. Leurs composantes perpendiculaires à l'axe s'annulent et celles qui sont le long de l'axe s'ajoutent : le champ total est donc parallèle à l'axe et orienté vers la charge −. Les flèches bleues de la grille montrent ces sommes ; leurs longueurs sont comprimées pour que le champ intense près des charges tienne dans l'image.

Le potentiel : l'énergie par unité de charge

Le potentiel décrit le même champ avec un nombre par point au lieu d'une flèche. Déplacer une charge contre la force électrique demande un travail, stocké sous forme d'énergie potentielle électrique $U$, comme soulever une pierre stocke de l'énergie potentielle de pesanteur. Par unité de charge, cela devient le potentiel électrique $V=U/q$, mesuré en volts : $1\mathrm{V}=1J/C$.

Quand une charge $q$ traverse une différence de potentiel $\Delta V$, son énergie potentielle varie de $\Delta U=q\Delta V$, et le champ effectue sur elle le travail $W_{\mathrm{champ}}=-\Delta U$. Une charge positive abandonnée à elle-même se dirige vers les potentiels plus bas et accélère, comme une bille qui dévale une pente ; un électron se dirige vers les potentiels plus élevés. Un électron accéléré sous 1 V gagne un électronvolt, $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$.

Avec $V=0$ très loin, une charge ponctuelle crée $V=kQ/r$ : pas de carré, et $Q$ garde son signe, de sorte que les potentiels de plusieurs charges s'additionnent comme des nombres munis d'un signe. Le champ est dirigé vers les potentiels décroissants, et son intensité est la rapidité avec laquelle $V$ diminue par mètre. Entre deux plaques parallèles distantes de $d$, le champ est uniforme, $E=\Delta V/d$. Voici les équations utiles à ce niveau :

• $E=\frac{F}{q}$
• $E=\frac{kQ}{r^2}$
• $V=\frac{kQ}{r}$
• $\Delta U=q\Delta V=-W_{\mathrm{champ}}$
• $E=\frac{\Delta V}{d}\text{(champ uniforme)}$

Exemple résolu : le dipôle de l'animation

Les charges sources $Q=\pm 1\mathrm{nC}$ sont distantes de 180 mm, et la charge d'essai $q=+0,1\mathrm{nC}$ part du repos à 20 mm de la charge +. Au milieu, chaque source se trouve à 0,090 m et apporte
$\frac{kQ}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot 10^{-9}}{0,090^2}\approx 1,11\times 10^{3}V/m$

Les deux contributions sont dirigées vers la charge −, donc $E\approx 2,22kV/m$ et $F=qE\approx 0,22\mu \mathrm{N}$. Au départ, la charge +, à 0,020 m, donne 22,5 kV/m et la charge −, à 0,160 m, ajoute 0,35 kV/m ; ainsi $E\approx 22,8kV/m$ et $F\approx 2,28\mu \mathrm{N}$, soit dix fois plus. Ce sont les valeurs de $E$ et de $F$ affichées au départ et à mi-parcours, et la flèche verte de la force est longue aux deux extrémités du trajet et courte au milieu.

Au départ, le potentiel vaut $V=kQ/0,020-kQ/0,160=449,5-56,2\approx 393\mathrm{V}$ ; par symétrie, il vaut $-393\mathrm{V}$ à l'arrivée et zéro au milieu. Sur cette chute de 786,6 V, le champ fournit le travail $W=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$, c'est-à-dire les 78,7 nJ d'énergie cinétique de la valeur $K$ affichée au niveau expert. La moitié en est acquise au milieu : la vitesse y vaut donc $1/\sqrt{2}$ de la vitesse finale, soit environ 71 % ; en partant du repos, la charge met 2,45 s sur les 4,0 s de son trajet pour y arriver.

Exemple résolu : un électron entre deux plaques

Dans un canon à électrons, des électrons sont tirés d'une plaque négative vers une plaque positive. Prenons deux plaques distantes de 1,0 cm entre lesquelles règne une tension de 500 V, avec un électron qui part du repos ; le champ qui les sépare est uniforme :
$E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{500}{0,010}=5,0\times 10^{4}V/m$

La force, $F=eE=1,602\times 10^{-19}\cdot 5,0\times 10^4\approx 8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$, est dirigée contre le champ, vers la plaque positive ; le poids de l'électron est environ $10^{15}$ fois plus petit. En traversant l'intervalle, il gagne 500 eV, soit $8,0\times 10^{-17}\mathrm{J}$, et avec sa masse $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$, la relation $\frac{1}{2}m{v}^2=e\Delta V$ donne
$v=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8,0\times 10^{-17}}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 1,33\times 10^{7}m/s$

C'est environ 4,4 % de la vitesse de la lumière. L'accélération est constante, donc la vitesse moyenne vaut $v/2$ et la traversée dure $t=2d/v\approx 1,5\mathrm{ns}$. Les tubes cathodiques des téléviseurs fonctionnaient sous environ 25 kV, de quoi atteindre près du tiers de la vitesse de la lumière.

Lire la carte du champ

Une ligne de champ suit $\vec{E}$ en chaque point, et sa flèche indique où serait poussée une charge positive. Les lignes partent des charges positives et finissent sur les charges négatives ; dans l'animation, autant de lignes arrivent sur la charge − qu'il en part de la charge +. Elles ne se croisent jamais, puisque le champ n'a qu'une direction en chaque point, et là où elles se resserrent, près des charges, le champ est intense.

Les équipotentielles en pointillés du niveau expert coupent chaque ligne de champ à angle droit, puisque déplacer une charge le long de l'une d'elles ne demande aucun travail ; la droite située à mi-chemin correspond à $V=0$.

Erreurs fréquentes

• Les lignes de champ ne sont pas des trajectoires : une charge lâchée hors de l'axe coupe les lignes courbes, car son inertie l'empêche de tourner avec elles ; la charge dorée ne suit la ligne centrale que parce que celle-ci est droite.
• Le champ n'est pas la force : au milieu, $E=2,2kV/m$ quelle que soit la charge d'essai, mais la force vaut 0,22 µN sur 0,1 nC et 2,2 µN sur 1 nC.
• Le potentiel décroît en $1/r$, le champ en $1/r^2$ : à 10 cm d'une charge de 4 nC, oublier le carré donne 360 V/m au lieu de 3600 V/m.
• Un potentiel nul n'est pas un champ nul : à mi-chemin entre les charges, les potentiels $+99,9$ et $-99,9\mathrm{V}$ s'annulent, alors que les champs s'additionnent pour donner 2,22 kV/m.
• Une charge négative est poussée contre le champ et gagne de la vitesse en allant vers les potentiels plus élevés : l'électron entre les plaques gagne 500 eV en passant de 0 V à +500 V.

Où on le rencontre

Les champs électriques guident les électrons dans les microscopes électroniques et les ions dans les spectromètres de masse, retirent les poussières des fumées de cheminée et déposent le toner dans les imprimantes laser. L'air sec devient conducteur vers 3 MV/m : une étincelle franchit donc un intervalle de 1 mm sous environ 3 kV. Les cellules nerveuses maintiennent environ 70 mV aux bornes d'une membrane épaisse de 7 nm, soit quelque 10 MV/m.

Ensuite, Condensateurs montre comment le champ entre deux plaques stocke de l'énergie, Courant électrique et résistance comment un champ entraîne des charges dans un fil, et Circuits en courant continu et loi d'Ohm comment une tension maintient les charges en mouvement dans un circuit. Les mêmes mathématiques, pour des masses qui ne font que s'attirer, gouvernent Gravitation et orbites.

Avancé

La superposition résout l'électrostatique

Cette section donne la règle unique qui fixe tout champ statique. Le reste de la leçon est soit un raccourci vers cette règle, soit une façon d'en visualiser le résultat. Quand les charges sources restent immobiles, deux faits suffisent. La loi de Coulomb donne le champ d'une seule charge : il est dirigé selon la droite qui passe par la charge, et son intensité décroît comme l'inverse du carré de la distance. Le principe de superposition dit que les champs de plusieurs charges s'ajoutent simplement comme des vecteurs, chaque charge agissant comme si les autres n'existaient pas.

Légende

$Q_1$	Charge source positive.	$\mathrm{C}$
$Q_2$	Charge source négative, ici $-Q_1$.	$\mathrm{C}$
$P$	Point où l'on cherche le champ.
$r_1$	Distance de $Q_1$ à $P$ ; ici égale à $r_2$.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Distance de $Q_2$ à $P$ ; ici égale à $r_1$.	$\mathrm{m}$
${\vec{E}}_1$	Champ de $Q_1$ seule en $P$, dirigé en s'éloignant de $Q_1$.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Champ de $Q_2$ seule en $P$, dirigé vers $Q_2$.	$N/C$
$\vec{E}$	Champ total en $P$ : la somme vectorielle ${\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2$.	$N/C$

La figure 1 additionne deux champs en un point $P$. La charge positive $Q_1$ repousserait une charge d'essai positive : son champ ${\vec{E}}_1$ est donc dirigé de $Q_1$ vers $P$ et au-delà. La charge négative $Q_2$ attirerait la charge d'essai : son champ ${\vec{E}}_2$ va de $P$ vers $Q_2$. Chaque flèche a pour longueur $k|Q_i|/r_i^2$, où $r_i$ est la distance de la charge $Q_i$ à $P$ et $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ est la constante de Coulomb.

Regardez maintenant où se trouve $P$ : sur la médiatrice du segment qui joint les deux charges. Donc $r_1=r_2$, et les deux flèches ont la même longueur. Leurs composantes perpendiculaires à la droite des charges sont égales et opposées : elles s'annulent. Ce qui reste est la somme $\vec{E}$, la diagonale du parallélogramme en pointillés, et elle est parallèle à la direction qui va de la charge positive à la charge négative.

Pour écrire la même somme avec un nombre quelconque de charges, plaçons la charge $Q_i$ à la position ${\vec{r}}_i$ et cherchons le champ à la position $\vec{r}$. Le vecteur qui va de la charge au point considéré est $\vec{r}-{\vec{r}}_i$, de longueur $r_i$. En le divisant par $r_i^3$, on obtient un vecteur unitaire divisé par $r_i^2$ : l'intensité en inverse du carré, déjà orientée dans le bon sens. En additionnant sur toutes les charges :
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_i\frac{k{Q}_i(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}$

Une charge répartie avec la densité $\rho$, en coulombs par mètre cube, est découpée en petits morceaux de charge $\rho d^{3}s$ aux points $\vec{s}$, et la somme devient une intégrale :
$\vec{E}(\vec{r})=k\int \frac{\rho (\vec{s})(\vec{r}-\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}{|}^3}{d}^{3}s$

En principe, rien de plus n'est nécessaire. L'animation trace ses lignes de champ exactement à partir de cette somme à deux termes. Le potentiel, les lignes de champ et le théorème de Gauss, plus loin, donnent la même réponse avec moins de travail, ou en montrent la forme d'un coup d'œil.

Le potentiel : un travail qui ignore le chemin

Additionner des vecteurs en chaque point est laborieux. Un seul nombre en chaque point, le potentiel, serait bien plus facile à additionner. Un tel nombre n'existe que si le travail du champ entre deux points est le même le long de tout chemin. Cette section montre qu'il en est ainsi.

Légende

$Q$	Charge ponctuelle qui crée le champ.	$\mathrm{C}$
$a$	Départ des deux chemins.
$b$	Arrivée des deux chemins.
$r_a$	Distance de $Q$ à $a$.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Distance de $Q$ à $b$.	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	Un petit pas le long du chemin 1 : sa longueur et sa direction.	$\mathrm{m}$
$dr$	Variation de la distance à $Q$ pendant ce pas : l'écart entre les arcs en pointillés.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Champ au début du pas, dirigé droit à l'opposé de $Q$.	$N/C$

La figure 2 montre une charge ponctuelle $Q$ et deux chemins du point $a$ au point $b$. Déplaçons une charge d'essai le long d'un chemin par petits pas $d\vec{l}$. À chaque pas, le champ fournit à une charge $q$ le travail $q\vec{E}\cdot d\vec{l}$ ; le travail par unité de charge de $a$ à $b$ est donc l'intégrale curviligne ${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$ : la somme de $\vec{E}\cdot d\vec{l}$ sur tous les pas.

Regardez le pas dessiné sur le chemin 1. Le champ $\vec{E}$ à son début est dirigé droit à l'opposé de $Q$, donc le produit scalaire ne garde que la partie du pas selon le rayon. Cette partie est $dr$, l'écart entre les deux arcs en pointillés centrés sur $Q$ : de combien le pas modifie la distance à $Q$. Se déplacer latéralement, le long d'un arc, ne coûte aucun travail. Ainsi
$\vec{E}\cdot d\vec{l}=Edr=\frac{kQ}{r^2}dr$
En additionnant les pas de la distance $r_a$ à la distance $r_b$ :
${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{kQ}{r^2}dr=kQ\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
Le résultat dépend des distances extrêmes $r_a$ et $r_b$ et de rien d'autre. Le chemin 2 est plus long et s'écarte nettement au-dessus du chemin 1, mais entre $r_a$ et $r_b$ il coupe le même ensemble de cercles centrés sur $Q$ : il recueille donc exactement le même total.

Toute distribution statique est une somme de charges ponctuelles. Chaque terme de cette somme est indépendant du chemin, donc le champ entier l'est aussi. Aller par un chemin et revenir par un autre donne donc un travail nul sur la boucle fermée :
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$
S'il en allait autrement, une charge envoyée sur la boucle dans le sens favorable gagnerait de l'énergie à chaque tour, fournie par des charges qui ne changent jamais : ce serait une machine à mouvement perpétuel.

Comme le chemin n'importe pas, on peut attacher un nombre à chaque point : le potentiel électrique $V$, en volts (joules par coulomb). Sa variation de $a$ à $b$ est définie par
$\Delta V=V_b-V_a=-{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
Le signe moins fait décroître $V$ dans le sens où le champ est dirigé. Une charge positive poussée par le champ perd alors de l'énergie potentielle $qV$ et gagne la même quantité d'énergie cinétique. En choisissant $V=0$ à l'infini, et en notant $s$ la distance à $Q$ dans l'intégrale, une charge ponctuelle donne
$V(r)=-{\int }_{\infty }^r\frac{kQ}{s^2}ds=\frac{kQ}{r}$

Lue à l'envers, cette relation dit que le champ est l'opposé du gradient du potentiel. Il est dirigé dans le sens où $V$ décroît le plus vite, et son intensité est le nombre de volts dont $V$ décroît par mètre dans ce sens. La conservation de l'énergie pour une charge $q$ d'énergie cinétique $K$ tient alors en une ligne :
$\vec{E}=-\nabla V,K+qV=\mathrm{cte}$

Un exemple tiré de l'animation. Ses charges sources valent +1 nC et −1 nC, à 180 mm l'une de l'autre. La charge d'essai dorée, $q=10^{-10}\mathrm{C}$, part du repos à 20 mm de la charge +, où $V=kQ(1/0,02-1/0,16)\approx +393\mathrm{V}$, les distances étant en mètres. Elle arrive au point symétrique, à 20 mm de la charge −, où $V\approx -393\mathrm{V}$. Elle y arrive donc avec
$K=q(V_a-V_b)=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$
soit les 78,7 nJ de la valeur $K$ affichée. Guidée par n'importe quel autre chemin entre les deux mêmes points, par exemple un rail sans frottement, elle arriverait avec la même énergie.

Flux à travers une surface et théorème de Gauss

Le théorème de Gauss relie le champ sur une surface fermée à la charge qu'elle renferme. Quand il y a de la symétrie, il donne le champ en une ligne, sans aucune somme. Son idée part des lignes de champ. Un nombre fixe de lignes quitte une charge ponctuelle, et chacune traverse toutes les sphères qui l'entourent. L'aire de la sphère croît comme $4\pi r^2$, donc le nombre de lignes par mètre carré décroît en $1/r^2$, exactement comme le champ : la densité de lignes est une image fidèle de l'intensité du champ. Pour transformer « le nombre de lignes à travers une surface » en une grandeur valable pour une surface de forme quelconque, découpons la surface en petites facettes.

Légende

$S$	Surface fermée autour de la charge ; sa forme peut être quelconque.
$Q$	Charge à l'intérieur de $S$ : le $Q_{\mathrm{int}}$ du théorème de Gauss.	$\mathrm{C}$
$dA$	Aire d'une petite facette de $S$.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	La facette en tant que vecteur : de longueur $dA$, dirigé vers l'extérieur de $S$, perpendiculairement à la facette.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{E}$	Champ de $Q$ au niveau de la facette.	$N/C$
$\theta$	Angle entre $\vec{E}$ et $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$

La figure 3 montre une surface fermée $S$ autour de la charge $Q$, avec une petite facette dessinée agrandie. La facette a pour aire $dA$. Pour noter de quel côté elle est tournée, faisons-en un vecteur $d\vec{A}$ : de longueur $dA$, dirigé vers l'extérieur de $S$, perpendiculairement à la facette. Le flux à travers la facette, la quantité de champ qui la traverse, est
$d\Phi =\vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA\cos \theta$
où $\theta$ est l'angle entre le champ $\vec{E}$ et $d\vec{A}$. Seule compte la partie du champ qui traverse la facette. Une facette qui fait face à la charge ($\theta =0$) capte le plus de lignes ; inclinée de $\theta$, elle en capte moins, d'un facteur $\cos \theta$ ; une facette que le champ ne fait qu'effleurer ($\theta =90^{\circ }$) n'en capte aucune. En additionnant le flux de toutes les facettes de $S$, on obtient le théorème de Gauss :
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\mathrm{int}}}{{\epsilon }_0}$
Ici $Q_{\mathrm{int}}$ est la charge totale renfermée par $S$, et ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ est la permittivité du vide, liée à la constante de Coulomb par $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$.

Pourquoi la forme de $S$ n'importe pas. Un angle solide est à une sphère ce qu'un angle est à un cercle, et la sphère entière autour d'un point vaut $4\pi$. Vue de $Q$, la facette située à la distance $r$ sous-tend le petit angle solide $d\Omega =dA\cos \theta /r^2$ : son aire vue de face depuis $Q$, divisée par $r^2$. Son flux est donc
$EdA\cos \theta =\frac{kQ}{r^2}dA\cos \theta =kQd\Omega$
Le $r^2$ de la taille apparente de la facette compense le $1/r^2$ du champ : une petite facette proche et une grande facette lointaine qui sous-tendent le même angle solide transportent le même flux. Les angles solides d'une surface fermée autour de $Q$ s'additionnent en $4\pi$, donc le flux total est $4\pi kQ=Q/{\epsilon }_0$, aussi bosselée que soit $S$. Une charge extérieure à $S$ envoie chacune de ses lignes entrer par une facette et ressortir par une autre, ce qui donne autant de flux négatif que de flux positif. Voilà pourquoi seule la charge intérieure compte.

Pour la charge de +1 nC de l'animation, le flux à travers toute surface fermée qui l'entoure vaut $10^{-9}/(8,85\times 10^{-12})\approx 113\mathrm{V}\mathrm{m}$. Une surface qui entoure les deux charges a un flux net nul : chaque ligne qui en sort y rentre.

Deux conséquences en découlent. En réduisant la surface autour d'un seul point, le théorème de Gauss devient un énoncé sur ce point, $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$ : les lignes de champ ne commencent et ne finissent que là où il y a de la charge. Et avec de la symétrie, le théorème de Gauss donne les champs presque gratuitement. Une sphère uniformément chargée agit, à l'extérieur, comme une charge ponctuelle placée en son centre. Un grand plan portant $\sigma$ coulombs par mètre carré envoie son champ droit vers l'extérieur de part et d'autre ; une boîte plate d'aire de face $A$, à cheval sur le plan, a alors un flux $2EA$ et renferme $\sigma A$, d'où $E=\sigma /(2{\epsilon }_0)$ de chaque côté.

Équipotentielles et graphe de V(x)

Une équipotentielle est une surface sur laquelle $V$ a la même valeur partout. Y déplacer une charge ne demande aucun travail, et l'écart entre équipotentielles voisines mesure le champ. Une carte des équipotentielles porte donc la même information que les lignes de champ, souvent sous une forme plus facile à lire.

Dans le niveau expert de l'animation, les courbes violettes en pointillés sont les équipotentielles à $\pm 400$, $\pm 150$ et $\pm 50\mathrm{V}$, et la droite en pointillés à mi-chemin entre les charges est $V=0$. Elles coupent chaque ligne de champ à angle droit. La raison : $-\nabla V$ est dirigé dans le sens où $V$ décroît le plus vite, c'est-à-dire droit à travers une surface sur laquelle $V$ ne change pas du tout. La charge dorée part de 393 V, juste à l'extérieur de la courbe de 400 V, qui coupe l'axe à 19,7 mm de la charge +.

Un espacement serré signifie un champ fort, car $V$ varie de la même quantité sur une distance plus courte. La courbe de +50 V coupe l'axe à 21,3 mm de la médiatrice, où $V=0$ ; le champ moyen sur cet intervalle vaut donc $50/0,0213\approx 2,35kV/m$. C'est un peu plus que les 2,22 kV/m du milieu lui-même, parce que le champ augmente vers la charge.

Le graphe de $V(x)$ montre la même chose le long de l'axe qui passe par les charges. Sa pente est $-E_x$, l'opposé de la composante du champ selon l'axe : environ $-2,2$ V par millimètre au milieu, et dix fois plus raide au départ du trajet. En dehors de la paire, $V(x)$ croît avec $x$ de part et d'autre, donc on y a $E_x<0$ : à gauche de la charge +, le champ s'en éloigne ; à droite de la charge −, il se dirige vers elle ; les deux sens vont vers la gauche. Le point doré descend la courbe à mesure que son énergie potentielle $U=qV$ se transforme en énergie cinétique $K$.

Équation de Laplace : aucun équilibre stable

En combinant les deux résultats précédents, on obtient une équation pour $V$ seul. Une propriété de cette équation interdit tout piège stable fait de charges fixes.

Portons $\vec{E}=-\nabla V$ dans $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$. On obtient l'équation de Poisson, ${\nabla }^{2}V=-\rho /{\epsilon }_0$, et, dans le vide, où $\rho =0$, l'équation de Laplace, ${\nabla }^{2}V=0$. Le laplacien ${\nabla }^{2}V$ mesure de combien la moyenne de $V$ sur une petite sphère autour d'un point dépasse sa valeur au centre. Dans le vide, il est nul : en chaque point, $V$ est égal à sa moyenne sur toute petite sphère centrée en ce point.

Une valeur égale à la moyenne de son entourage ne peut être ni au-dessus de toutes les autres, ni au-dessous de toutes. Dans le vide, $V$ n'a donc ni maximum ni minimum, seulement des points selles. Une charge positive aurait besoin d'un minimum de $V$ pour reposer en équilibre stable ; aucune distribution de charges fixes ne peut donc maintenir une charge en équilibre stable (théorème d'Earnshaw). Par exemple, à mi-chemin entre deux charges positives égales, $E=0$, mais une charge d'essai positive n'y est ramenée que le long de la droite qui joint les charges ; sur les côtés, elle est chassée. La stabilité des atomes vient d'autre chose : la mécanique quantique.

Conducteurs et champ d'un condensateur

Dans un conducteur, certaines charges sont libres de se déplacer. Ce seul fait fixe le champ à l'intérieur et juste à l'extérieur de tout conducteur, et il explique le champ uniforme d'un condensateur.

Les charges libres se déplacent tant qu'un champ agit sur elles ; elles ne s'arrêtent donc que lorsque le champ à l'intérieur du métal est nul. Un conducteur à l'équilibre est donc une seule équipotentielle. Toute surface fermée tracée dans le métal a un flux nul, donc, d'après le théorème de Gauss, elle ne renferme aucune charge : toute charge en excès se trouve en surface. Juste à l'extérieur, le champ est perpendiculaire à la surface, car une composante le long de la surface mettrait les charges superficielles en mouvement. Une petite boîte plate à cheval sur la surface n'a de flux que par sa face extérieure, ce qui donne l'intensité du champ, $E=\sigma /{\epsilon }_0$, où $\sigma$ est la charge superficielle par mètre carré.

Deux armatures parallèles portant $+\sigma$ et $-\sigma$ créent chacune le champ de plan $\sigma /(2{\epsilon }_0)$. Entre les armatures, les deux champs ont le même sens et s'additionnent ; à l'extérieur, ils sont de sens opposés et s'annulent. On obtient le champ uniforme d'un condensateur, $E=\sigma /{\epsilon }_0=\Delta V/d$ pour des armatures distantes de $d$.

Le dipôle vu de loin

Un dipôle est un couple de charges égales et opposées, une source courante dans la nature : beaucoup de molécules sont des dipôles. Loin de lui, les deux potentiels s'annulent presque, et ce qui reste obéit à une loi simple qui lui est propre.

Légende

$Q$	Valeur de chacune des deux charges, $+Q$ et $-Q$.	$\mathrm{C}$
$d$	Distance entre les deux charges.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Moment dipolaire : de norme $p=Qd$, dirigé de $-Q$ vers $+Q$.	$\mathrm{C}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Point où l'on cherche le potentiel.
$r$	Distance du centre du dipôle à $P$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Angle entre $\vec{p}$ et la droite qui va du centre à $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_{+}$	Distance de $+Q$ à $P$.	$\mathrm{m}$
$r_{-}$	Distance de $-Q$ à $P$.	$\mathrm{m}$
$d\cos \theta$	De combien $P$ est plus loin de $-Q$ que de $+Q$ quand $P$ est loin : la partie de $d$ dirigée vers $P$.	$\mathrm{m}$

La figure 4 pose la géométrie. Les charges $+Q$ et $-Q$ sont distantes de $d$. Le moment dipolaire $\vec{p}$ a pour norme $p=Qd$ et va de $-Q$ vers $+Q$. Le point $P$ est à la distance $r$ du centre de la paire, dans une direction faisant l'angle $\theta$ avec $\vec{p}$, et aux distances $r_{+}$ et $r_{-}$ des deux charges. En additionnant les deux potentiels de charges ponctuelles :
$V=kQ\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right)=kQ\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{+}{r}_{-}}$

Tout dépend maintenant de la petite différence $r_{-}-r_{+}$. Quand $P$ est loin comparé à $d$, les droites qui joignent les deux charges à $P$ sont presque parallèles. La perpendiculaire en pointillés issue de $+Q$ rencontre la droite de $-Q$ à $P$ ; à partir de ce pied, la distance restante jusqu'à $P$ vaut presque exactement $r_{+}$. Donc $r_{-}$ dépasse $r_{+}$ du segment épais allant de $-Q$ au pied, noté $d\cos \theta$ : la partie de la séparation $d$ qui est dirigée vers $P$. Au dénominateur, les deux distances diffèrent à peine, donc $r_{+}{r}_{-}\approx r^2$. D'où
$V\approx \frac{kQd\cos \theta }{r^2}=\frac{kp\cos \theta }{r^2}$

Comme les deux contributions s'annulent presque, le potentiel décroît en $1/r^2$ au lieu de $1/r$, et le champ, son gradient, en $1/r^3$. À une distance donnée, $V$ est maximal selon $\vec{p}$ ($\theta =0$), nul sur le plan qui passe par le centre perpendiculairement à $\vec{p}$ ($\theta =90^{\circ }$), et négatif du côté de la charge négative.

Une vérification avec la paire de l'animation : $p=10^{-9}\cdot 0,18=1,8\times 10^{-10}\mathrm{C}\mathrm{m}$. À 1 m sur l'axe, la formule donne 1,62 V contre la valeur exacte $kQ(1/0,91-1/1,09)\approx 1,63\mathrm{V}$. L'erreur relative vaut environ $d^2/(4r^2)$, ici 0,8 %, donc l'approximation est déjà bonne à une distance d'un peu plus de cinq fois la séparation.

Problème résolu : un proton et un électron

La conservation de l'énergie, avec les potentiels trouvés plus haut, donne les vitesses sans résoudre aucune équation du mouvement. Comparer deux particules montre alors ce qui dépend de la masse et ce qui n'en dépend pas.

Remplaçons la charge dorée par un proton, de charge $e$ et de masse $m_p$, lâché sans vitesse initiale au même point, à 20 mm de la charge +. Quelle est sa vitesse au milieu, puis à l'arrivée, à 20 mm de la charge − ? Le potentiel diminue de 393,3 V jusqu'au milieu, où $V=0$, et de 786,6 V jusqu'à l'arrivée. Un électronvolt (eV), $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$, est l'énergie que gagne une charge $e$ en descendant d'un volt ; donc
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_1^2=e\cdot 393,3\mathrm{V}=393\mathrm{eV},v_1\approx 2,74\times 10^{5}m/s$
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_2^2=e\cdot 786,6\mathrm{V}=787\mathrm{eV},v_2\approx 3,88\times 10^{5}m/s$
Une énergie double donne une vitesse $\sqrt{2}$ fois plus grande.

Lâchons maintenant un électron, de charge $-e$ et de masse $m_e$, sans vitesse initiale au point d'arrivée. La force qu'il subit, $-e\vec{E}$, est opposée au champ : il est donc ramené vers la charge +, en remontant le potentiel. Le dispositif est symétrique, et l'énergie potentielle de l'électron, $-eV$, est l'image en miroir de celle du proton : il parcourt le même chemin en sens inverse et gagne les mêmes 787 eV, soit $1,26\times 10^{-16}\mathrm{J}$. Sa masse étant 1836 fois plus petite, sa vitesse est $\sqrt{1836}\approx 42,8$ fois plus grande : $1,66\times 10^{7}m/s$, soit 5,5 % de la vitesse de la lumière. L'importance d'une correction relativiste est donnée par l'énergie cinétique rapportée à l'énergie de masse, $K/(m_e{c}^2)=787/511000\approx 0,15\%$, et elle ne diminue cette vitesse que d'environ 0,1 %.

L'énergie donne des vitesses, pas des durées. Pour les durées, il faut l'équation du mouvement le long de l'axe, $m\ddot{x}=qE(x)$. Divisée par $m$, elle ne dépend de la particule que par $q/m$. Toute particule de charge de même signe, lâchée sans vitesse initiale du même point, suit donc la même trajectoire, et si $q/m$ est plus grand d'un certain facteur, tout le mouvement va plus vite de la racine carrée de ce facteur : toutes les durées varient comme $\sqrt{m/q}$. On a donné à la charge de l'animation une masse d'environ 49 mg pour que son trajet dure 4,0 s. Le rapport $q/m$ du proton est $4,7\times 10^{13}$ fois plus grand : il fait le trajet en $4,0\mathrm{s}/\sqrt{4,7\times 10^{13}}\approx 0,58\mu \mathrm{s}$. L'électron, encore 42,8 fois plus rapide, met 13,6 ns.

Limites de validité

Tous les résultats ci-dessus reposent sur des hypothèses. Savoir où elles tombent en défaut dit quand une théorie plus large est nécessaire.

Sources au repos. L'électrostatique suppose que les charges restent en place. L'annonce d'un changement en une charge n'atteint l'autre qu'après le temps de propagation de la lumière, 0,6 ns sur les 180 mm de l'animation ; la somme de Coulomb instantanée ne vaut donc que pour des charges qui se déplacent lentement devant la lumière. Quand les champs magnétiques varient, la loi de Faraday donne $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}\ne 0$ : le travail sur une boucle n'est plus nul, et le champ n'est plus un simple gradient. Il devient $\vec{E}=-\nabla V-\partial \vec{A}/\partial t$, où $\vec{A}$ est le potentiel vecteur magnétique.

Charges ponctuelles. La loi en inverse du carré est l'une des mieux vérifiées de la physique : l'exposant vaut 2 à environ $10^{-15}$ près. La charge ponctuelle est pourtant une idéalisation : l'énergie de son champ, $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ par mètre cube, s'additionne en une valeur infinie près d'un véritable point. À très courte distance apparaissent des effets quantiques. En dessous d'environ $4\times 10^{-13}\mathrm{m}$, la longueur d'onde de Compton réduite de l'électron, une sonde pénètre dans le nuage de fluctuations quantiques du vide qui écrante en partie toute charge. Elle voit alors davantage de charge, donc la force croît un peu plus vite que $1/r^2$, ce qui déplace de façon mesurable les niveaux d'énergie de l'hydrogène. Dans l'atome d'hydrogène, le champ vaut environ $5\times 10^{11}V/m$ ; l'électron doit y être traité par la mécanique quantique, tout en restant dans le potentiel de Coulomb.

Matière et champs intenses. Dans un matériau, le champ d'une charge libre est divisé par la permittivité relative, environ 80 pour l'eau. Les isolants ont aussi leurs limites : l'air sec devient conducteur et produit des étincelles vers 3 MV/m, et même le vide se mettrait à créer des paires électron–positron près de $1,3\times 10^{18}V/m$.

Où cela mène

Dans Condensateurs, $E=\sigma /{\epsilon }_0$ et l'énergie $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ par mètre cube décrivent le champ entre les armatures, tandis que Courant électrique et résistance, puis Circuits en courant continu et loi d'Ohm, suivent des charges entraînées à travers la matière par une différence de potentiel. Force magnétique sur une charge en mouvement ajoute $q\vec{v}\times \vec{B}$ à $q\vec{E}$, et Relativité restreinte montre que les deux champs sont les parties d'un seul : ce qu'un observateur appelle un champ purement électrique, un autre le voit en partie comme magnétique. Induction électromagnétique met en défaut $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$, et Ondes électromagnétiques montre les champs voyageant seuls à la vitesse $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$. Le même potentiel en $1/r$ décrit la gravitation dans Gravitation et orbites et retient l'électron dans Modèles atomiques : l'atome de Bohr, où l'énergie de liaison de l'hydrogène est de 13,6 eV.