Закон Кулона

Начальный

Два заряженных тела отталкиваются или притягиваются, не касаясь друг друга. Закон Кулона говорит, в какую сторону и насколько сильно.

Шаг 1: в какую сторону. Одноимённые заряды (+ и + или − и −) отталкиваются, разноимённые (+ и −) притягиваются.

Шаг 2: сколько заряда. Чем больше заряд, тем сильнее взаимодействие. Удвойте заряд одного тела — сила удвоится; удвойте заряды обоих — она станет в четыре раза больше.

Шаг 3: на каком расстоянии. Расстояние важнее. Разнесите заряды вдвое дальше — сила уменьшится в четыре раза; втрое дальше — в девять раз. Сблизьте их вдвое — сила вырастет в четыре раза. Тяготение подчиняется точно такому же закону «обратных квадратов».

Шаг 4: единица. Заряд измеряют в кулонах. Один кулон — огромный заряд, около шести миллиардов миллиардов электронов, поэтому на натёртом шарике меньше одной миллионной доли кулона (меньше микрокулона).

Шаг 5: поровну. Оба тела испытывают силы одинаковой величины, направленные в противоположные стороны, даже если заряд одного намного больше.

Проверьте себя: два маленьких заряженных шарика на расстоянии 10 см отталкиваются с силой 8 единиц. Какой будет сила на расстоянии 20 см? (2 единицы: вдвое дальше — вчетверо слабее.)

В анимации две заряженные шайбы сближаются, а затем расходятся вдоль направляющей. В первой половине обе положительны, и зелёные стрелки расталкивают их; во второй одна становится отрицательной, и стрелки тянут шайбы друг к другу. Заметьте: стрелки едва видны, пока шайбы далеко, и резко вытягиваются, когда те сближаются.

Средний

Что мы измеряем: заряд и расстояние

Закон Кулона связывает два заряда и расстояние между ними. Заряд измеряют в кулонах (Кл), и у него есть знак. Он всегда кратен элементарному заряду $e=1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{Кл}$ — заряду протона; электрон несёт заряд $-e$. Кулон — очень большая единица, поэтому заряды, которые возникают при обычной электризации, выражают в микрокулонах ($1\mathrm{мкКл}=10^{-6}\mathrm{Кл}$) и нанокулонах ($1\mathrm{нКл}=10^{-9}\mathrm{Кл}$). Заряд каждой шайбы в анимации по модулю равен 2 мкКл, то есть это около $1,25\cdot 10^{13}$ элементарных зарядов.

Расстояние $r$ отсчитывают между центрами двух тел. Закон точен для точечных зарядов — тел, размеры которых много меньше расстояния между ними, — и для равномерно заряженных шаров и сфер, которые снаружи действуют так, будто весь их заряд сосредоточен в центре. Сначала переведите всё в СИ: $2\mathrm{мкКл}=2\cdot 10^{-6}\mathrm{Кл}$ и $15\mathrm{см}=0,15\mathrm{м}$.

Закон Кулона

Два точечных заряда $q_1$ и $q_2$, находящиеся на расстоянии $r$ друг от друга, отталкиваются или притягиваются с силой, модуль которой равен
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
где $k$ — постоянная Кулона:
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8,99\cdot 10^9\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{К}{\mathrm{л}}^2$

Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Её модуль пропорционален каждому из зарядов: удвойте один заряд — сила удвоится, удвойте оба — она вырастет в четыре раза. Кроме того, сила обратно пропорциональна квадрату расстояния: на вдвое большем расстоянии она составляет четверть, на втрое большем — девятую часть, а на вдвое меньшем — вчетверо больше. Тяготение подчиняется тому же закону обратных квадратов.

Здесь ${\epsilon }_0\approx 8,85\cdot 10^{-12}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$ — электрическая постоянная. Величина $k$ показывает, насколько сильно электрическое взаимодействие: два заряда по 1 Кл на расстоянии 1 м отталкивались бы с силой $9\cdot 10^9\mathrm{Н}$ — это примерно вес 900 000 тонн.

Равные и противоположные силы

Каждый заряд действует на другой, и две силы образуют пару по третьему закону Ньютона. Пусть ${\vec{F}}_{12}$ — сила, с которой $q_1$ действует на $q_2$, а ${\vec{F}}_{21}$ — сила, с которой $q_2$ действует на $q_1$. Тогда
${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$
Силы равны по модулю, даже если заряды различны, потому что в обе входит одно и то же произведение $q_1{q}_2$: на заряды 1 мкКл и 4 мкКл, находящиеся на расстоянии 30 см друг от друга, действуют силы по $8,99\cdot 10^9\cdot 4\cdot 10^{-12}/0,30^2\approx 0,40\mathrm{Н}$.

Равные силы не означают равных движений: по второму закону Ньютона каждое тело получает ускорение $a=F/m$, поэтому лёгкая заряженная бусинка отлетает от тяжёлого заряженного шара, который почти не сдвигается. Знак произведения определяет направление: при $q_1{q}_2>0$ заряды отталкиваются, при $q_1{q}_2<0$ — притягиваются. Поэтому в формуле для модуля силы стоит $|q_1{q}_2|$.

Пример: шайбы из анимации

Заряд каждой шайбы по модулю равен 2 мкКл, а расстояние между ними колеблется от 40 см до 15 см. Сначала вычислим произведение, которое не меняется:
$k|q_1{q}_2|=8,99\cdot 10^9\cdot (2\cdot 10^{-6}{)}^2=0,03596\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2$
В момент наибольшего сближения $r=0,15\mathrm{м}$, поэтому
$F=\frac{0,03596}{0,15^2}=\frac{0,03596}{0,0225}\approx 1,60\mathrm{Н}$

При наибольшем расстоянии $r=0,40\mathrm{м}$ сила равна $0,03596/0,16\approx 0,22\mathrm{Н}$. Это крайние значения на числовых индикаторах $r$ и $F$. Расстояние меняется в $40/15\approx 2,67$ раза, а сила — в $2,67^2\approx 7,1$ раза, поэтому зелёные стрелки при наибольшем сближении примерно в семь раз длиннее. При 30 см индикатор показывает 0,40 Н — четверть значения при 15 см.

Через 6 с правая шайба становится отрицательной. Показания индикаторов повторяются точно, потому что модуль силы зависит только от $|q_1{q}_2|$ и $r$, но обе стрелки разворачиваются и направляются навстречу друг другу. Стрелки $F_{12}$ и $F_{21}$ всегда одинаковой длины.

Пример: два заряженных шарика на нитях

Два одинаковых маленьких шарика массой 2,0 г подвешены в одной точке на изолирующих нитях; расстояние от точки подвеса до центра каждого шарика равно 40 см. Получив одинаковые заряды, шарики отталкиваются и устанавливаются так, что расстояние между их центрами равно 12 см. Чему равен заряд каждого шарика?

Каждый шарик находится в равновесии под действием силы тяжести $mg$, силы натяжения нити и горизонтальной кулоновской силы отталкивания. Нить образует с вертикалью угол $\theta$, причём $\sin \theta =0,06/0,40=0,15$, откуда $\theta \approx 8,6^{\circ }$ и $\mathrm{tg}\theta \approx 0,152$. Вертикальная составляющая силы натяжения уравновешивает силу тяжести, а горизонтальная — электрическую силу, поэтому
$F=mg\mathrm{tg}\theta =0,0020\cdot 9,81\cdot 0,152\approx 2,98\cdot 10^{-3}\mathrm{Н}$

Выразим из закона Кулона заряд при $q_1=q_2=q$:
$q=r\sqrt{\frac{F}{k}}=0,12\cdot \sqrt{\frac{2,98\cdot 10^{-3}}{8,99\cdot 10^9}}\approx 6,9\cdot 10^{-8}\mathrm{Кл}$
Каждый шарик несёт заряд около 69 нКл, то есть $4,3\cdot 10^{11}$ элементарных зарядов. Электрическое отталкивание составляет всего 15 % от силы тяжести, но заметно разводит шарики. Если бы половина заряда каждого шарика стекла, сила при 12 см уменьшилась бы вчетверо, и шарики опустились бы ближе друг к другу.

Несколько зарядов: силы складываются

Если зарядов больше двух, найдите силу от каждого из них по отдельности, как будто остальных нет, и сложите результаты как векторы. Это принцип суперпозиции:
$\vec{F}=\sum {\vec{F}}_i\text{(суперпозиция)}$

Поместите маленький заряд $-0,5\mathrm{мкКл}$ посередине между шайбами, когда они находятся на расстоянии 30 см друг от друга. Каждая шайба действует на него с силой $8,99\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-6}\cdot 0,5\cdot 10^{-6}/0,15^2\approx 0,40\mathrm{Н}$. Если обе шайбы положительны, они тянут его в противоположные стороны, и результирующая сила равна нулю. Если правая шайба отрицательна, то одна притягивает заряд, а другая отталкивает, и обе силы направлены влево: всего 0,80 Н в сторону положительной шайбы. В экспертном слое анимации маленький заряд сдвигается с прямой, и сумму приходится строить как вектор.

Частые ошибки

• Забыть перевести единицы: если подставить 2 вместо каждого заряда 2 мкКл, сила окажется в $10^{12}$ раз больше, а если подставить 15 вместо 15 см — в 10 000 раз меньше.
• Забыть возвести расстояние в квадрат: если разделить на $r$ вместо $r^2$, то 1,60 Н при 15 см превратится в 0,24 — а это даже не сила (единица измерения — Н·м).
• Думать, что на больший заряд действует большая сила: заряды 1 мкКл и 4 мкКл на расстоянии 30 см оба испытывают силу 0,40 Н.
• Измерять $r$ между поверхностями: у двух сфер радиусом 2 см, расстояние между поверхностями которых 11 см, центры находятся на расстоянии 15 см, и если взять 11 см, сила окажется завышенной в $(15/11{)}^2\approx 1,9$ раза.
• Путать знак с модулем силы: заряды $+2$ и $-2\mathrm{мкКл}$ на расстоянии 15 см дают $k{q}_1{q}_2/r^2=-1,60\mathrm{Н}$, но минус означает лишь притяжение; модуль силы равен 1,60 Н.

Где это встречается

Закон Кулона работает везде, где заряд перемещают намеренно. Лазерные принтеры и копировальные аппараты создают на барабане рисунок из зарядов, который притягивает тонер; электростатические фильтры заряжают частицы дыма в трубах и осаждают их на пластинах противоположного знака; на автозаводах заряжают капли краски, и они обволакивают кузов.

Гораздо важнее то, чего вы не видите: электрическое взаимодействие удерживает вместе атомы и молекулы. В атоме водорода протон притягивает электрон, находящийся на расстоянии около $5,3\cdot 10^{-11}\mathrm{м}$, с силой $8,2\cdot 10^{-8}\mathrm{Н}$, что более чем в $10^{39}$ раз превышает их гравитационное притяжение. Химия и жёсткость твёрдых тел — следствие этой силы, смягчённой почти идеальным балансом положительных и отрицательных зарядов в веществе. Урок «Электрическое поле и потенциал» описывает то же взаимодействие через поле, которое создаёт каждый заряд, а урок «Конденсаторы» показывает, как разделённые заряды накапливают энергию.

Продвинутый

Закон в векторной форме

Средний уровень даёт модуль силы, $F=k|q_1{q}_2|/r^2$, и отдельное правило для её направления: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Как только действуют сразу несколько зарядов, силы приходится складывать как векторы, поэтому удобно записать модуль и направление одной формулой. Для этого нужно лишь уметь указывать положения зарядов.

Обозначения

$q_1$	Первый заряд.	$\mathrm{Кл}$
$q_2$	Второй заряд.	$\mathrm{Кл}$
$O$	Начало отсчёта: любая неподвижная точка, от которой отсчитывают положения.
${\vec{r}}_1$	Положение $q_1$ — стрелка из $O$.	$\mathrm{м}$
${\vec{r}}_2$	Положение $q_2$ — стрелка из $O$.	$\mathrm{м}$
${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$	Стрелка от $q_1$ к $q_2$; её длина — расстояние $r$ между зарядами.	$\mathrm{м}$
${\hat{r}}_{12}$	Единичный вектор от $q_1$ к $q_2$: стрелка ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$, делённая на свою длину $r$.
${\vec{F}}_{12}$	Сила, с которой $q_1$ действует на $q_2$.	$\mathrm{Н}$
${\vec{F}}_{21}$	Сила, с которой $q_2$ действует на $q_1$: того же модуля, что и ${\vec{F}}_{12}$, но противоположного направления.	$\mathrm{Н}$

На рисунке 1 заряды $q_1$ и $q_2$ находятся в точках с радиус-векторами ${\vec{r}}_1$ и ${\vec{r}}_2$ — это стрелки, проведённые из начала отсчёта $O$. Посмотрите на треугольник из трёх оранжевых стрелок. Путь из $O$ к $q_1$, а затем дальше к $q_2$ приводит в ту же точку, что и прямая стрелка ${\vec{r}}_2$, поэтому ${\vec{r}}_1+({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)={\vec{r}}_2$, а третья сторона, ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$, — это стрелка от $q_1$ к $q_2$. Она не зависит от того, где находится $O$, а только от положения зарядов, как и должно быть для силы между ними.

Длина этой стрелки — расстояние между зарядами, $r=|{\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1|$. Если разделить стрелку на её собственную длину, направление сохранится, а длина станет равной 1. Получится единичный вектор («крышка» над буквой обозначает вектор длиной 1)
${\hat{r}}_{12}=({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)/r$
изображённый короткой синей стрелкой, направленной от $q_1$ к $q_2$. С его помощью сила, с которой $q_1$ действует на $q_2$, записывается так:
${\vec{F}}_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$
где $k\approx 8,99\cdot 10^9\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{К}{\mathrm{л}}^2$ — постоянная Кулона. Теперь заряды входят со своими знаками, а не как модули.

Дальше направление определяют знаки. Оба заряда на рисунке 1 положительны, поэтому $q_1{q}_2>0$: число перед ${\hat{r}}_{12}$ положительно, и сила ${\vec{F}}_{12}$ — зелёная стрелка на $q_2$ — направлена вдоль ${\hat{r}}_{12}$, то есть от $q_1$. Это отталкивание. Если бы один из зарядов был отрицательным, то $q_1{q}_2<0$, и та же формула развернула бы силу к $q_1$: получилось бы притяжение. Отдельного правила не нужно.

Третий закон Ньютона тоже заложен в формулу. Сила, действующая на $q_1$, записывается той же формулой с переставленными номерами. Перестановка превращает ${\hat{r}}_{12}$ в ${\hat{r}}_{21}=-{\hat{r}}_{12}$, но оставляет прежними произведение $q_1{q}_2$ и расстояние $r$, поэтому ${\vec{F}}_{21}=-{\vec{F}}_{12}$. На рисунке 1 зелёная стрелка ${\vec{F}}_{21}$ на $q_1$ той же длины, что и ${\vec{F}}_{12}$, и направлена в противоположную сторону.

Сила к тому же центральная: она действует вдоль прямой, соединяющей заряды, а её модуль зависит только от расстояния между ними. Такая сила консервативна, потому что её работа между двумя расстояниями не зависит от пути, а значит, у неё есть потенциальная энергия; мы найдём её в разделе об энергии ниже.

В СИ постоянную Кулона записывают как $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$, где ${\epsilon }_0\approx 8,85\cdot 10^{-12}\mathrm{Ф}/\mathrm{м}$ — электрическая постоянная. Множитель $4\pi$ — площадь сферы радиуса 1. Включать его в $k$ здесь кажется неуклюжим, зато он исчезает из теоремы Гаусса и из формул для конденсаторов, которыми пользуются гораздо чаще.

Шарль Огюстен де Кулон установил закон в 1785 году, измеряя закручивание нити крутильных весов. До 2019 года в СИ постоянная $k$ была зафиксирована точно: $10^{-7}{c}^2\approx 8,98755\cdot 10^9\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{К}{\mathrm{л}}^2$, где $c$ — скорость света. С тех пор точное значение имеет элементарный заряд $e$, а ${\epsilon }_0$ измеряют; результат измерения совпадает со старым точным значением с точностью лучше одной миллиардной доли.

Суперпозиция и электрическое поле

Для двух зарядов векторная форма лишь по-новому записывает то, что мы уже знали. Её польза становится видна, когда к ним присоединяется третий заряд. Опыт показывает, что электрические силы просто складываются: сила, действующая на заряд, равна векторной сумме сил, с которыми на него действовал бы каждый из остальных зарядов в одиночку, и присутствие остальных этого не меняет. Этот принцип суперпозиции — второй опытный факт, такой же основополагающий для электростатики, как и сам закон обратных квадратов.

Обозначения

$q_1$	Заряд левой шайбы, на обеих панелях положительный.	$\mathrm{Кл}$
$q_2$	Заряд правой шайбы: на левой панели положительный, на правой — отрицательный.	$\mathrm{Кл}$
$q_3$	Неподвижный отрицательный заряд под шайбами.	$\mathrm{Кл}$
${\vec{F}}_{13}$	Сила, с которой левая шайба действует на $q_3$.	$\mathrm{Н}$
${\vec{F}}_{23}$	Сила, с которой правая шайба действует на $q_3$.	$\mathrm{Н}$
${\vec{F}}_3$	Результирующая сила, действующая на $q_3$: векторная сумма ${\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$.	$\mathrm{Н}$
$r$	Расстояние от каждой шайбы до $q_3$, одинаковое для обеих.	$\mathrm{м}$
$h$	Глубина, на которой $q_3$ находится под линией шайб.	$\mathrm{м}$
$a$	Расстояние от каждой шайбы до середины между ними: половина расстояния между шайбами.	$\mathrm{м}$

На рисунке 2 показана установка из экспертного слоя анимации. Две шайбы, у каждой из которых заряд по модулю равен $q=2\mathrm{мкКл}$, скользят по прямой направляющей. Неподвижный заряд $q_3=-0,5\mathrm{мкКл}$ находится на глубине $h=14\mathrm{см}$ под направляющей, под серединой отрезка между шайбами. Рисунок отвечает моменту наибольшего сближения, когда шайбы находятся на расстоянии 15 см друг от друга и каждая удалена от середины на $a=7,5\mathrm{см}$.

Начнём с силы, с которой одна шайба действует на $q_3$. Шайба, середина и $q_3$ образуют прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $h$, поэтому каждая шайба находится на одном и том же расстоянии от $q_3$:
$r=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{0,075^2+0,14^2}\approx 0,159\mathrm{м}$
Закон Кулона даёт модуль каждой силы, направленной вдоль пунктирной линии, соединяющей шайбу с $q_3$:
$F=\frac{8,99\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-6}\cdot 0,5\cdot 10^{-6}}{0,159^2}\approx 0,356\mathrm{Н}$
Это золотистые стрелки ${\vec{F}}_{13}$ и ${\vec{F}}_{23}$. Они одинаковой длины, потому что расстояния равны; различаются только их направления.

Чтобы сложить силы, разложите каждую на составляющую вдоль направляющей и составляющую, перпендикулярную ей. Сила направлена вдоль наклонной стороны $r$ треугольника, поэтому её составляющая вдоль направляющей равна $Fa/r$, а составляющая, перпендикулярная направляющей, — $Fh/r$.

На левой панели обе шайбы положительны, поэтому каждая притягивает отрицательный заряд $q_3$ к себе — вверх и в сторону. Боковые составляющие, по $Fa/r$ каждая, направлены противоположно и взаимно уничтожаются. Составляющие, направленные вверх, по $Fh/r$ каждая, складываются. Сумма ${\vec{F}}_3={\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$ — фиолетовая диагональ пунктирного параллелограмма — поэтому направлена строго вверх, а её модуль равен
$F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,14/0,159\approx 0,63\mathrm{Н}$

На правой панели правая шайба отрицательна и отталкивает $q_3$, так что ${\vec{F}}_{23}$ теперь направлена вниз и влево. На этот раз взаимно уничтожаются вертикальные составляющие, а боковые складываются. Сумма, $F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,075/0,159\approx 0,34\mathrm{Н}$, направлена вдоль направляющей, к положительной шайбе.

Те же суммы меняются, пока шайбы движутся. Для одноимённой пары сила, направленная вверх, неуклонно растёт по мере сближения шайб: от 0,17 Н при расстоянии 40 см до 0,63 Н при 15 см. Для разноимённой пары боковая сила $2Fa/r=2kq|q_3|a/(a^2+h^2{)}^{3/2}$ максимальна не при наибольшем сближении, а при $a=h/\sqrt{2}$, где её производная по $a$ равна нулю. Это расстояние между шайбами $\sqrt{2}\cdot 0,14\approx 0,20\mathrm{м}$, и сила там равна 0,35 Н. Чем ближе шайбы, тем сильнее каждая из сил, но тем ближе к вертикали она направлена, а в вертикальном направлении силы разноимённой пары уничтожаются.

Суперпозиция позволяет также описать, что заряды делают с точкой пространства ещё до того, как в неё что-либо помещено. Поместим в точку маленький пробный заряд $q_0$ и разделим полную силу, действующую на него, на $q_0$. Результат, $\vec{E}=\vec{F}/q_0$, уже не зависит от пробного заряда: это напряжённость электрического поля, измеряемая в ньютонах на кулон. Для зарядов $q_j$ в точках ${\vec{r}}_j$ напряжённость в точке $\vec{r}$ равна
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_j\frac{k{q}_j(\vec{r}-{\vec{r}}_j)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_j{|}^3}$
Каждое слагаемое — закон Кулона в векторной форме: вектор $\vec{r}-{\vec{r}}_j$, делённый на куб своей длины, равен единичному вектору от $q_j$ к точке, делённому на квадрат расстояния. Для заряда, распределённого с плотностью $\rho$ (заряд в единице объёма), сумма превращается в объёмный интеграл. Если заряды и их положения известны, эта формула определяет любую электростатическую силу; теорема Гаусса, потенциалы и силовые линии — короткие пути к тем же ответам.

Издалека, с расстояния $d$, много большего расстояния между шайбами, одноимённая пара действует как один заряд 4 мкКл, поле которого убывает как $1/d^2$. У разноимённой пары суммарного заряда нет: два её поля почти уничтожают друг друга, а остаток убывает быстрее, как $1/d^3$. Такая пара равных по модулю и противоположных по знаку зарядов называется электрическим диполем.

Почему показатель степени ровно 2

Ничто в векторной форме не требует, чтобы степень $r$ равнялась 2; закон с $1/r^{2,01}$ выглядел бы почти так же. Точная двойка важна потому, что из неё получается теорема Гаусса — одно из основных уравнений электромагнетизма, — и потому, что её можно проверить с необычайной точностью. Ключевая величина здесь — поток. Для маленькой плоской площадки площадью $dA$, перпендикулярной полю, поток равен $EdA$ — напряжённости поля, умноженной на площадь. Если силовые линии рисовать с густотой, пропорциональной $E$, то поток равен числу линий, пересекающих площадку.

Обозначения

$q$	Точечный заряд в вершине конуса.	$\mathrm{Кл}$
$d\Omega$	Телесный угол конуса: площадь, которую он вырезает на сфере радиуса 1.	$\mathrm{ср}$
$r$	Расстояние от $q$ до ближней площадки.	$\mathrm{м}$
$dA$	Площадь ближней площадки, обращённой к заряду.	${\mathrm{м}}^2$
$E$	Поле заряда $q$ у ближней площадки.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
$E/4$	Поле на вдвое большем расстоянии: четверть $E$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$

На рисунке 3 видно, как показатель степени связан с геометрией пространства. Из точечного заряда $q$ выходит узкий конус. Его раствор измеряется телесным углом $d\Omega$: это площадь, которую конус вырезает на сфере радиуса 1 с центром в его вершине, в стерадианах (вся сфера — $4\pi$). На расстоянии $r$ конус вырезает маленькую площадку, обращённую к заряду, площадью $dA=r^{2}d\Omega$. На расстоянии $2r$ конус вдвое шире в обоих направлениях, поэтому площадь площадки там вчетверо больше, $4dA$.

Теперь сравним поля у двух площадок — две синие стрелки. По закону Кулона у ближней площадки $E=kq/r^2$, а у дальней — четверть этой величины, $E/4$. Поток через ближнюю площадку равен $EdA=(kq/r^2)(r^{2}d\Omega )=kqd\Omega$, а поток через дальнюю, $(E/4)(4dA)$, такой же. Множитель $r^2$ в знаменателе закона сокращается с $r^2$ в площади. Поэтому поток через любую площадку, которую вырезает конус, зависит только от телесного угла $d\Omega$, а не от того, как далеко она расположена.

Теперь окружим $q$ сферой радиуса $r$ с центром в заряде. На этой сфере поле везде одинаково по модулю и пронизывает поверхность под прямым углом, поэтому полный поток равен полю, умноженному на всю площадь:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$
Кружок на знаке интеграла означает, что поверхность замкнута. Вектор $d\vec{A}$ — это участок поверхности: его длина равна $dA$, и он направлен наружу, а скалярное произведение оставляет лишь ту часть поля, которая пронизывает участок. Радиус выпал из результата, поэтому через любую сферу проходит один и тот же поток, а $4\pi$, помещённое в $k$, сокращается с $4\pi$ в площади сферы.

Форма поверхности тоже не важна. Разрежем любую замкнутую поверхность вокруг $q$ на участки, каждый из которых виден из $q$ под некоторым телесным углом $d\Omega$. Наклонный участок больше, но поле пронизывает его под углом, и два эффекта компенсируют друг друга, так что каждый участок по-прежнему получает поток $kqd\Omega$. Телесные углы в сумме дают $4\pi$, и снова получается $q/{\epsilon }_0$. Если заряд находится вне поверхности, каждый тонкий конус входит в поверхность столько же раз, сколько выходит из неё, и входящий поток равен выходящему: заряд ничего не вносит. Это и есть теорема Гаусса: поток через любую замкнутую поверхность равен заряду внутри, делённому на ${\epsilon }_0$.

Рассуждение работает только для показателя 2. Для силы $F\propto 1/r^{2+\delta }$ поток через сферу менялся бы как $r^{-\delta }$. Он был бы разным для двух сфер, между которыми нет заряда, словно силовые линии возникали или исчезали в пустом пространстве.

Из этого следуют два вывода, которые делают показатель измеримым. Первый: равномерно заряженная тонкая сферическая оболочка снаружи действует так, будто весь её заряд находится в центре, а на заряд внутри не действует вовсе. Чтобы увидеть случай внутри с помощью идеи рисунка 3, проведите тонкий двойной конус через точку внутри оболочки. Он вырезает на оболочке две площадки на расстояниях $r_1$ и $r_2$. Прямая, пересекающая сферу, встречает её на обоих концах под одним и тем же углом, поэтому обе площадки наклонены одинаково, а их площади, и значит, заряды, относятся как $r_1^2:r_2^2$. Каждая площадка действует с силой, пропорциональной её заряду, делённому на квадрат расстояния, поэтому маленькая ближняя площадка действует ровно так же сильно, как большая дальняя, но в противоположную сторону. Второй: поле внутри пустого замкнутого проводника любой формы равно нулю, какой бы заряд на проводник ни поместили.

Поиск этих нулей — нулевой опыт. Вместо измерения силы на многих расстояниях, что трудно сделать точно, заряжают замкнутый проводник и ищут внутри него любое поле или заряд. Если бы показатель отличался от 2, что-нибудь обнаружилось бы, поэтому отсутствие результата намного чувствительнее. Генри Кавендиш проделал это в 1773 году и обнаружил, что показатель отличается от 2 меньше чем на 0,02; опыт 1971 года с оболочками снизил границу для $\delta$ до нескольких частей на $10^{16}$. На атомных расстояниях, около $10^{-10}\mathrm{м}$, уровни энергии водорода, вычисленные с потенциалом $1/r$ и небольшими квантовыми поправками, совпадают с измерениями с поразительной точностью. На современном языке точный закон обратных квадратов означает, что фотон — частица, переносящая электрическое взаимодействие, — не имеет массы.

Энергия и график силы от расстояния

Поскольку сила меняется с расстоянием, второй закон Ньютона даёт ускорение в каждый момент, но не даёт без больших усилий скорость после долгого толчка. Работа и энергия дают её за один шаг, а график зависимости силы от расстояния показывает, откуда берётся энергия.

Обозначения

$r$	Расстояние между зарядами.	$\mathrm{м}$
$F$	Модуль силы отталкивания, $k{q}^2/r^2$.	$\mathrm{Н}$
$U$	Потенциальная энергия пары, $k{q}^2/r$, равная нулю при бесконечном удалении.	$\mathrm{Дж}$
$r_a$	Начальное расстояние.	$\mathrm{м}$
$r_b$	Конечное расстояние.	$\mathrm{м}$
$F_a$	Сила при расстоянии $r_a$.	$\mathrm{Н}$
$F_b$	Сила при расстоянии $r_b$.	$\mathrm{Н}$
$U_a$	Потенциальная энергия при расстоянии $r_a$.	$\mathrm{Дж}$
$U_b$	Потенциальная энергия при расстоянии $r_b$.	$\mathrm{Дж}$
$W$	Работа силы отталкивания от $r_a$ до $r_b$: закрашенная площадь, равная спаду $U_a-U_b$.	$\mathrm{Дж}$

На рисунке 4 два графика для двух одинаковых зарядов шайб $q=2\mathrm{мкКл}$, оба в зависимости от расстояния между зарядами $r$. На верхнем графике — модуль силы, $F=k{q}^2/r^2$. На нижнем — потенциальная энергия пары, $U=k{q}^2/r$, которую выведут следующие абзацы. Здесь $k{q}^2=8,99\cdot 10^9\cdot (2\cdot 10^{-6}{)}^2\approx 0,03596\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2$. Шайбы движутся между $r_a=15\mathrm{см}$ и $r_b=40\mathrm{см}$. На верхнем графике точки отмечают $F_a\approx 1,60\mathrm{Н}$ и $F_b\approx 0,22\mathrm{Н}$; на нижнем — $U_a\approx 0,240\mathrm{Дж}$ и $U_b\approx 0,090\mathrm{Дж}$.

Кривая силы круче всего при малых $r$. Дифференцирование $k{q}^2{r}^{-2}$ даёт наклон $dF/dr=-2F/r$: около $-1,1\mathrm{Н}/\mathrm{м}$ при 40 см и $-21\mathrm{Н}/\mathrm{м}$ при 15 см, то есть различие в $(40/15{)}^3\approx 19$ раз. Экспертный график анимации строит ту же кривую в обычных осях. Пока шайбы колеблются между 40 и 15 см, его зелёная точка скользит по ней между 0,22 Н и 1,60 Н и стремительно взлетает у левого края. В логарифмических осях та же кривая была бы прямой с наклоном $-2$ — показателем закона.

Теперь о работе. Когда шайбы расходятся на малый шаг $dr$, отталкивание совершает работу $Fdr$ — это тонкая полоска площади под верхней кривой. Сложив полоски от $r_a$ до $r_b$, получаем закрашенную площадь $W$ на рисунке 4:
$W={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}dr=k{q}_1{q}_2\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
Ответ — одна и та же функция от $r$, взятая в начале, минус она же в конце. Назовём эту функцию потенциальной энергией, $U(r)=k{q}_1{q}_2/r$; тогда работа равна $W=U(r_a)-U(r_b)$: сила совершает работу, расходуя потенциальную энергию. К $U$ можно прибавить константу, не изменив ни одной разности; приведённый вид делает $U$ нулевой при бесконечном удалении, где сила исчезает. В обратную сторону: сила равна минус наклону энергии, $F=-dU/dr$ вдоль прямой, соединяющей заряды.

От 15 до 40 см закрашенная площадь равна $W=0,03596\cdot (1/0,15-1/0,40)\approx 0,150\mathrm{Дж}$. На нижнем графике те же 0,150 Дж видны как спад от $U_a$ до $U_b$, отмеченный скобкой $W$: $0,240-0,090=0,150\mathrm{Дж}$.

Анимация показывает оба знака. В фазе отталкивания рука, которая сдвигает одноимённо заряженные шайбы с 40 до 15 см, совершает против отталкивания работу 0,150 Дж, и пара запасает её. В фазе притяжения $q_1{q}_2<0$, поэтому $U$ отрицательна: она убывает от $-0,090$ до $-0,240\mathrm{Дж}$, пока шайбы сближаются с 40 до 15 см, и теперь работу в 0,150 Дж совершает поле.

Задача: отпускаем шайбы

Пусть масса каждой шайбы равна 20 г, а пару одноимённо заряженных шайб отпускают без начальной скорости на расстоянии 15 см друг от друга на направляющей без трения. Найдите начальное ускорение каждой шайбы и её скорость, когда шайбы находятся на расстоянии 40 см друг от друга и когда они очень далеко.

В начале на каждую шайбу действует сила $F_a\approx 1,60\mathrm{Н}$, поэтому по второму закону Ньютона её ускорение равно $1,60/0,020\approx 80\mathrm{м}/{\mathrm{с}}^2$ — около восьми $g$. Когда шайбы расходятся, сила слабеет, поэтому ускорение непостоянно, и формулы для постоянного ускорения не годятся. Здесь выручает энергия.

Нужны два факта. Силы, действующие на две шайбы, равны и противоположны, поэтому полный импульс остаётся нулевым; при равных массах шайбы движутся с одинаковыми по модулю скоростями в противоположные стороны относительно неподвижной середины. И энергия сохраняется: кинетическая энергия обеих шайб вместе равна спаду нижней кривой на рисунке 4 от $r_0=0,15\mathrm{м}$ до текущего расстояния $r$:
$2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2=m{v}^2=U(r_0)-U(r)$

При 40 см спад равен найденным выше 0,150 Дж, поэтому $m{v}^2=0,150\mathrm{Дж}$ и $v=\sqrt{0,150/0,020}\approx 2,74\mathrm{м}/\mathrm{с}$. Очень далеко $U\to 0$, поэтому все 0,240 Дж становятся кинетической энергией: $m{v}^2=0,240\mathrm{Дж}$ и $v=\sqrt{0,240/0,020}\approx 3,46\mathrm{м}/\mathrm{с}$.

К тому моменту, когда расстояние выросло с 15 до 40 см, пара отдала долю $1-U_b/U_a=1-15/40=0,625$ запасённой энергии. Скорость растёт как квадратный корень из кинетической энергии, поэтому шайбы уже набрали $\sqrt{0,625}\approx 0,79$ своей конечной скорости: толчок по закону обратных квадратов действует сильно и недолго. Притягивающаяся пара прокручивает плёнку в обратную сторону: отпущенные без начальной скорости на расстоянии 40 см, шайбы проходят отметку 15 см со скоростью 2,74 м/с каждая, двигаясь навстречу друг другу.

Границы применимости

Закон Кулона — закон для покоящихся зарядов в пустом пространстве на обычных расстояниях. Каждое из этих условий задаёт границу.

Движущиеся заряды действуют друг на друга и магнитными силами. Для двух зарядов, летящих рядом со скоростью $v$, магнитная сила составляет долю порядка $v^2/c^2$ от электрической. Кроме того, когда один заряд движется, изменение доходит до другого лишь через время $r/c$ — 0,5 нс на расстоянии 15 см. Для шайб из анимации, движущихся медленнее 0,07 м/с, $v^2/c^2\approx 5\cdot 10^{-20}$; даже при 3,46 м/с из решённой задачи это лишь около $10^{-16}$. В пучке ускорителя, напротив, электроны движутся так близко к $c$, что магнитное притяжение между ними почти компенсирует их электрическое отталкивание. Сам заряд от скорости не зависит.

В изолирующей среде молекулы поляризуются: их заряды слегка смещаются, и смещённые заряды частично экранируют два заряда друг от друга. Сила делится на относительную диэлектрическую проницаемость среды ${\epsilon }_r$, у воды она около 80. Поэтому соль растворяется. Чтобы разделить соприкасающиеся ион натрия и ион хлора, находящиеся на расстоянии 0,28 нм, в вакууме требуется около 5 эВ, а в воде, грубо говоря, $5/80\approx 0,06\mathrm{эВ}$ — всего в несколько раз больше тепловой энергии при комнатной температуре (0,026 эВ).

Воздух ограничивает заряд, который может удержать тело: он пробивается и искрит в полях около $E_{\mathrm{макс}}=3\mathrm{МВ}/\mathrm{м}$. Поле у поверхности сферы радиуса $R$ с зарядом $Q$ равно $kQ/R^2$, поэтому заряд не может превышать примерно $E_{\mathrm{макс}}{R}^2/k$: 33 нКл при $R=1\mathrm{см}$. Для зарядов порядка микрокулона, как в анимации, нужны большие сферы (для 2 мкКл — радиус около 8 см) или вакуум.

На ядерных расстояниях сила огромна: два протона на расстоянии 2 фм ($1\mathrm{фм}=10^{-15}\mathrm{м}$) отталкиваются с силой около 58 Н — это вес груза массой 6 кг, приложенный к одной частице. Ядра удерживает лишь короткодействующее сильное взаимодействие; в тяжёлых ядрах, где много протонов, электрическое отталкивание играет всё большую роль, что делает возможным деление. К тому же протон — не точка: его заряд распределён в области радиусом около 0,84 фм. Наконец, в квантовой электродинамике — квантовой теории электрического взаимодействия — недолговечные электрон-позитронные пары частично экранируют каждый заряд. Ближе чем примерно $10^{-12}\mathrm{м}$ этот экран редеет, и сила растёт чуть быстрее, чем $1/r^2$; этот эффект виден в спектре водорода.

Что дальше

Введённое выше поле — главный инструмент урока «Электрическое поле и потенциал»: там энергия $U=k{q}_1{q}_2/r$ превращается в потенциал $V=kQ/r$ — энергию на единицу заряда, — а теорема Гаусса позволяет находить поля без суммирования. В уроке «Конденсаторы» в дело идут ${\epsilon }_0$ и ${\epsilon }_r$. Тяготение имеет ту же форму обратных квадратов, поэтому всё, что урок «Тяготение и орбиты» говорит о круговых орбитах, переносится на электрон, обращающийся вокруг ядра, в уроке «Модели атома: атом Бора». Урок «Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд» добавляет силу между движущимися зарядами, которую теория относительности связывает с кулоновской, а урок «Электромагнитные волны» показывает, как изменения распространяются со скоростью $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$, где ${\mu }_0$ — магнитная постоянная. Урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» описывает электрическое взаимодействие как обмен фотонами.