Elektrisches Feld und Potential

Einsteiger

Reibe einen Luftballon an deinen Haaren, und er kann die Haare aus einigen Zentimetern Entfernung anheben. Elektrische Ladungen drücken und ziehen, ohne sich zu berühren, und die Grundregel ist kurz: Gleiche Ladungen stoßen sich ab, entgegengesetzte ziehen sich an. Die Kraft nimmt außerdem schnell mit dem Abstand ab: Verdoppelt man den Abstand zweier Ladungen, sinkt sie auf ein Viertel.

Schritt 1: das Feld. Statt jede Ladung einzeln zu verfolgen, sagen wir, dass jede Ladung den Raum um sich mit einem elektrischen Feld erfüllt. An jedem Punkt verrät das Feld, in welche Richtung und wie stark eine kleine positive „Probe“-Ladung, die dort hingelegt wird, geschoben würde. Um eine + Ladung zeigt das Feld nach außen; um eine − Ladung zeigt es nach innen.

Schritt 2: Feldlinien. Wir zeichnen das Feld als Linien mit Pfeilen. Sie gehen von + Ladungen aus und enden bei − Ladungen. Wo die Linien dicht beieinander liegen, ist der Schub stark; wo sie auseinanderlaufen, ist er schwach.

Schritt 3: wie stark. Die Feldstärke ist die Kraft auf jedes Coulomb Ladung, in Newton pro Coulomb (N/C). In einem Feld von 100 N/C spürt eine Ladung von einem halben Coulomb $0,5\times 100=50\mathrm{N}$.

Schritt 4: Spannung. Das elektrische Potential, gemessen in Volt, funktioniert wie die Höhe an einem Hügel. Eine + Ladung „fällt“ von hoher zu niedriger Spannung und wird schneller, so wie eine Kugel bergab rollt. Ein Spannungsunterschied von einem Volt bedeutet, dass jedes Coulomb ein Joule Energie gewinnt oder verliert.

In der Animation laufen graue Linien von der + Ladung zur − Ladung und bündeln sich nahe bei jeder. Die kleine goldene Ladung, nahe der + Ladung losgelassen, gleitet entlang der Mittellinie, immer schneller.

Teste dich selbst: Welche Kraft wirkt in einem Feld von 400 N/C auf eine Ladung von 0,005 C? (Antwort: 2 N.)

Mittelstufe

Das Feld: Kraft pro Ladungseinheit

Ladungen stoßen einander ab und ziehen einander an, über den leeren Raum hinweg, wie es das coulombsche Gesetz beschreibt. Das Feldbild teilt dies in zwei Schritte: Die Quellladungen erzeugen überall um sich ein elektrisches Feld $\vec{E}$, und eine an einem Punkt platzierte Ladung spürt das Feld genau dort.

Um das Feld zu messen, setzt man an den Punkt eine kleine positive Probeladung $q$, misst die Kraft auf sie und dividiert:
$E=\frac{F}{q}$

Verdoppelt man $q$, verdoppelt sich die Kraft; das Verhältnis gehört also zum Punkt, und das Feld ist dort auch dann vorhanden, wenn niemand es prüft. Seine Einheit ist das Newton pro Coulomb, was dem Volt pro Meter entspricht. Umgekehrt gilt $\vec{F}=q\vec{E}$: Eine positive Ladung wird entlang des Feldes geschoben, eine negative gegen es. Die Probeladung der Animation, $q=+0,1\mathrm{nC}$, ist zehnmal kleiner als die festen Quellen $\pm 1\mathrm{nC}$.

Punktladungen und Superposition

Teilt man das coulombsche Gesetz durch die Probeladung, erhält man das Feld einer Punktladung $Q$ im Abstand $r$:
$E=\frac{kQ}{r^2}$
mit $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$. Es zeigt von einer positiven $Q$ weg und zu einer negativen hin.

Bei mehreren Ladungen erzeugt jede ihr eigenes Feld, als wären die anderen nicht da, und das Gesamtfeld ist deren vektorielle Summe. Auf der Mittelsenkrechten des Animationspaars sind die beiden Felder gleich stark: Eines zeigt von der + Ladung weg, das andere zur − Ladung hin. Ihre Komponenten quer zur Achse heben sich auf, die entlang der Achse addieren sich, sodass das Gesamtfeld parallel zur Achse verläuft, zur Seite der − Ladung. Die blauen Gitterpfeile zeigen diese Summen, deren Längen verkürzt sind, damit sie zum starken Feld nahe den Ladungen passen.

Potential: Energie pro Ladungseinheit

Das Potential beschreibt dasselbe Feld mit einer Zahl pro Punkt statt eines Pfeils. Eine Ladung gegen die elektrische Kraft zu bewegen, erfordert Arbeit, die als elektrische potentielle Energie $U$ gespeichert wird, so wie das Anheben eines Steins potentielle Energie im Schwerefeld speichert. Pro Ladungseinheit wird daraus das elektrische Potential $V=U/q$, gemessen in Volt: $1\mathrm{V}=1J/C$.

Wenn eine Ladung $q$ eine Potentialdifferenz $\Delta V$ durchläuft, ändert sich ihre potentielle Energie um $\Delta U=q\Delta V$, und das Feld verrichtet die Arbeit $W_{\mathrm{field}}=-\Delta U$ an ihr. Eine sich selbst überlassene positive Ladung bewegt sich zu niedrigerem Potential und wird schneller, wie eine Kugel, die bergab rollt; ein Elektron bewegt sich zu höherem Potential. Ein Elektron, das durch 1 V beschleunigt wird, gewinnt ein Elektronenvolt, $1\mathrm{eV}=1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$.

Mit $V=0$ in großer Entfernung hat eine Punktladung $V=kQ/r$: kein Quadrat, und $Q$ behält sein Vorzeichen, sodass sich die Potentiale mehrerer Ladungen als vorzeichenbehaftete Zahlen addieren. Das Feld zeigt zu niedrigerem Potential, und seine Stärke gibt an, wie schnell $V$ pro Meter abnimmt. Zwischen parallelen Platten im Abstand $d$ ist das Feld homogen, $E=\Delta V/d$. Dies sind die wichtigsten Gleichungen dieser Stufe:

• $E=\frac{F}{q}$
• $E=\frac{kQ}{r^2}$
• $V=\frac{kQ}{r}$
• $\Delta U=q\Delta V=-W_{\mathrm{field}}$
• $E=\frac{\Delta V}{d}\text{(uniform field)}$

Beispiel: der Dipol der Animation

Die Quellladungen $Q=\pm 1\mathrm{nC}$ sind 180 mm voneinander entfernt, und die Probeladung $q=+0,1\mathrm{nC}$ startet ruhend 20 mm von der + Ladung. In der Mitte ist jede Quelle 0,090 m entfernt und trägt bei:
$\frac{kQ}{r^2}=\frac{8,99\times 10^9\cdot 10^{-9}}{0,090^2}\approx 1,11\times 10^{3}V/m$

Beide Beiträge zeigen zur − Ladung, also $E\approx 2,22kV/m$ und $F=qE\approx 0,22\mu \mathrm{N}$. Am Start ergibt die + Ladung in 0,020 m Abstand 22,5 kV/m, und die − Ladung in 0,160 m Abstand addiert 0,35 kV/m, also $E\approx 22,8kV/m$ und $F\approx 2,28\mu \mathrm{N}$, zehnmal mehr. Dies sind die Anzeigen von $E$ und $F$ am Start und in der Mitte; der grüne Kraftpfeil ist an beiden Enden der Strecke lang und in der Mitte kurz.

Am Start beträgt das Potential $V=kQ/0,020-kQ/0,160=449,5-56,2\approx 393\mathrm{V}$; aus Symmetriegründen ist es am Ende $-393\mathrm{V}$ und in der Mitte null. Über diesen Abfall von 786,6 V verrichtet das Feld die Arbeit $W=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$, also die 78,7 nJ kinetischer Energie aus der $K$-Anzeige der Expertenstufe. Die Hälfte davon gewinnt die Ladung bis zur Mitte, sodass die Geschwindigkeit dort $1/\sqrt{2}$ beträgt, etwa 71 % der Endgeschwindigkeit. Aus der Ruhe braucht die Ladung von ihrer 4,0 s langen Fahrt 2,45 s bis dorthin.

Beispiel: ein Elektron zwischen zwei Platten

In einer Elektronenkanone werden Elektronen von einer negativen Platte zu einer positiven gezogen. Nimm Platten im Abstand von 1,0 cm bei 500 V, mit einem Elektron, das ruhend startet; das Feld zwischen ihnen ist homogen:
$E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{500}{0,010}=5,0\times 10^{4}V/m$

Die Kraft $F=eE=1,602\times 10^{-19}\cdot 5,0\times 10^4\approx 8,0\times 10^{-15}\mathrm{N}$ zeigt gegen das Feld, zur positiven Platte; das Gewicht des Elektrons ist etwa $10^{15}$-mal kleiner. Beim Überqueren des Spalts gewinnt es 500 eV, also $8,0\times 10^{-17}\mathrm{J}$. Mit seiner Masse $m=9,11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$ ergibt $\frac{1}{2}m{v}^2=e\Delta V$
$v=\sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8,0\times 10^{-17}}{9,11\times 10^{-31}}}\approx 1,33\times 10^{7}m/s$

Das sind etwa 4,4 % der Lichtgeschwindigkeit. Die Beschleunigung ist konstant, also ist die mittlere Geschwindigkeit $v/2$, und die Überquerung dauert $t=2d/v\approx 1,5\mathrm{ns}$. Fernsehröhren nutzten etwa 25 kV, genug für knapp ein Drittel der Lichtgeschwindigkeit.

Das Feldbild lesen

Eine Feldlinie verläuft an jedem Punkt entlang $\vec{E}$, und ihr Pfeil zeigt, wohin eine positive Ladung geschoben würde. Linien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen, und in der Animation erreichen so viele Linien die − Ladung, wie von der + Ladung ausgehen. Sie kreuzen sich nie, denn das Feld hat an jedem Punkt nur eine Richtung; und wo sie nahe den Ladungen dicht zusammenlaufen, ist das Feld stark.

Die gestrichelten Äquipotentiale der Expertenstufe schneiden jede Feldlinie rechtwinklig, denn eine Ladung entlang einer solchen Fläche zu bewegen, kostet keine Arbeit; die gerade in der Mitte ist $V=0$.

Häufige Fehler

• Feldlinien sind keine Bahnen: Eine seitlich der Achse losgelassene Ladung schneidet quer durch die gekrümmten Linien, da ihre Trägheit sie nicht mitdreht; die goldene Ladung folgt der Mittellinie nur, weil diese gerade ist.
• Das Feld ist nicht die Kraft: In der Mitte ist $E=2,2kV/m$ für jede Probeladung, aber die Kraft beträgt 0,22 µN auf 0,1 nC und 2,2 µN auf 1 nC.
• Das Potential fällt wie $1/r$, das Feld wie $1/r^2$: In 10 cm Abstand von 4 nC ergibt das Vergessen des Quadrats 360 V/m statt 3600 V/m.
• Potential null heißt nicht Feld null: In der Mitte zwischen den Ladungen heben sich die Potentiale $+99,9$ und $-99,9\mathrm{V}$ auf, während sich die Felder zu 2,22 kV/m addieren.
• Eine negative Ladung wird gegen das Feld geschoben und gewinnt Geschwindigkeit, wenn sie zu höherem Potential wandert: Das Elektron zwischen den Platten gewinnt 500 eV beim Übergang von 0 V zu +500 V.

Wo du dem Feld begegnest

Elektrische Felder lenken Elektronen in Elektronenmikroskopen und Ionen in Massenspektrometern, scheiden Rauch aus Schornsteingasen ab und bringen Toner in Laserdruckern auf. Trockene Luft schlägt bei etwa 3 MV/m durch, sodass ein Funke bei etwa 3 kV über einen 1 mm breiten Spalt springt. Nervenzellen halten rund 70 mV über einer 7 nm dicken Membran, also etwa 10 MV/m.

Als Nächstes zeigt die Lektion „Kondensatoren“, wie das Feld zwischen zwei Platten Energie speichert, „Elektrischer Strom und Widerstand“, wie ein Feld Ladung durch einen Draht treibt, und „Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz“, wie eine Spannung Ladung im Stromkreis in Bewegung hält. Dieselbe Mathematik, für Massen, die sich nur anziehen, bestimmt „Gravitation und Umlaufbahnen“.

Fortgeschritten

Superposition löst die Elektrostatik

Dieser Abschnitt nennt die eine Regel, die jedes statische Feld bestimmt. Alles Spätere in dieser Lektion ist entweder eine Abkürzung dazu oder eine Art, ihr Ergebnis zu veranschaulichen. Wenn die Quellladungen ruhen, genügen zwei Tatsachen: Das coulombsche Gesetz gibt das Feld einer einzelnen Ladung; es zeigt entlang der Verbindungslinie zur Ladung, und seine Größe fällt mit dem Quadrat des Abstands. Das Superpositionsprinzip besagt, dass sich die Felder mehrerer Ladungen einfach als Vektoren addieren, wobei jede Ladung so wirkt, als wären die anderen nicht da.

Legende

$Q_1$	Positive Quellladung.	$\mathrm{C}$
$Q_2$	Negative Quellladung, hier $-Q_1$.	$\mathrm{C}$
$P$	Punkt, an dem das Feld gesucht wird.
$r_1$	Abstand von $Q_1$ zu $P$; hier gleich $r_2$.	$\mathrm{m}$
$r_2$	Abstand von $Q_2$ zu $P$; hier gleich $r_1$.	$\mathrm{m}$
${\vec{E}}_1$	Feld von $Q_1$ allein an $P$, von $Q_1$ weg zeigend.	$N/C$
${\vec{E}}_2$	Feld von $Q_2$ allein an $P$, zu $Q_2$ hin zeigend.	$N/C$
$\vec{E}$	Gesamtfeld an $P$: die vektorielle Summe ${\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2$.	$N/C$

Abbildung 1 addiert zwei Felder an einem Punkt $P$. Die positive Ladung $Q_1$ würde eine positive Probeladung wegstoßen, daher zeigt ihr Feld ${\vec{E}}_1$ von $Q_1$ durch $P$ hinaus. Die negative Ladung $Q_2$ würde die Probeladung anziehen, daher zeigt ihr Feld ${\vec{E}}_2$ von $P$ zu $Q_2$. Jeder Pfeil hat die Größe $k|Q_i|/r_i^2$, wobei $r_i$ der Abstand von der Ladung $Q_i$ zu $P$ ist und $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ die coulombsche Konstante.

Nun sieh dir an, wo $P$ liegt: auf der Mittelsenkrechten des Paares. Also ist $r_1=r_2$, und die beiden Pfeile sind gleich lang. Ihre Anteile senkrecht zur Verbindungslinie der Ladungen sind gleich groß und entgegengesetzt, sodass sie sich aufheben. Übrig bleibt die Summe $\vec{E}$, die Diagonale des gestrichelten Parallelogramms, und sie verläuft parallel zur Linie von der positiven zur negativen Ladung.

Um dieselbe Summe für beliebig viele Ladungen aufzuschreiben, setze Ladung $Q_i$ an die Position ${\vec{r}}_i$ und frage nach dem Feld am Ort $\vec{r}$. Der Vektor von der Ladung zum Aufpunkt ist $\vec{r}-{\vec{r}}_i$, mit der Länge $r_i$. Teilt man ihn durch $r_i^3$, bleibt ein Einheitsvektor geteilt durch $r_i^2$: die Größe mit dem Quadratgesetz, bereits in der richtigen Richtung. Summiert man über alle Ladungen:
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_i\frac{k{Q}_i(\vec{r}-{\vec{r}}_i)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}$

Ist die Ladung mit der Dichte $\rho$, in Coulomb pro Kubikmeter, verteilt, zerlegt man sie in kleine Ladungsstücke $\rho d^{3}s$ an den Punkten $\vec{s}$, und aus der Summe wird ein Integral:
$\vec{E}(\vec{r})=k\int \frac{\rho (\vec{s})(\vec{r}-\vec{s})}{|\vec{r}-\vec{s}{|}^3}{d}^{3}s$

Im Prinzip ist damit nichts weiter nötig. Die Animation zeichnet ihre Feldlinien genau aus dieser Zwei-Term-Summe. Das Potential, die Feldlinien und das gaußsche Gesetz unten führen mit weniger Aufwand zum selben Ergebnis oder zeigen seine Form auf einen Blick.

Das Potential: Arbeit, die den Weg ignoriert

Vektoren an jedem Punkt zu addieren, ist mühsam. Eine einzige Zahl an jedem Punkt, das Potential, ließe sich viel leichter addieren. Eine solche Zahl existiert nur, wenn die Arbeit, die das Feld zwischen zwei Punkten verrichtet, auf jedem Weg gleich ist. Dieser Abschnitt zeigt, dass dies so ist.

Legende

$Q$	Punktladung, die das Feld erzeugt.	$\mathrm{C}$
$a$	Start beider Wege.
$b$	Ende beider Wege.
$r_a$	Abstand von $Q$ zu $a$.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Abstand von $Q$ zu $b$.	$\mathrm{m}$
$d\vec{l}$	Ein kleiner Schritt entlang Weg 1: Länge und Richtung.	$\mathrm{m}$
$dr$	Änderung des Abstands zu $Q$ über diesen Schritt: der Abstand zwischen den gestrichelten Bögen.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Feld am Anfang des Schritts, gerade von $Q$ weg zeigend.	$N/C$

Abbildung 2 zeigt eine Punktladung $Q$ und zwei Wege von Punkt $a$ zu Punkt $b$. Bewege eine Probeladung in kleinen Schritten $d\vec{l}$ entlang eines Wegs. Bei jedem Schritt verrichtet das Feld an einer Ladung $q$ die Arbeit $q\vec{E}\cdot d\vec{l}$. Die Arbeit pro Ladungseinheit von $a$ nach $b$ ist also das Linienintegral ${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$: die Summe von $\vec{E}\cdot d\vec{l}$ über alle Schritte.

Betrachte den Schritt auf Weg 1. Das Feld $\vec{E}$ zeigt an seinem Anfang gerade von $Q$ weg, also behält das Skalarprodukt nur den Anteil des Schritts entlang des Radius. Dieser Anteil ist $dr$, der Abstand zwischen den beiden gestrichelten Kreisbögen um $Q$: um wie viel der Schritt den Abstand zu $Q$ ändert. Seitwärts, entlang eines Bogens, kostet es keine Arbeit. Daher
$\vec{E}\cdot d\vec{l}=Edr=\frac{kQ}{r^2}dr$
Summiert man die Schritte vom Abstand $r_a$ bis zum Abstand $r_b$:
${\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{kQ}{r^2}dr=kQ\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
Das Ergebnis hängt nur von den Endabständen $r_a$ und $r_b$ ab und von nichts sonst. Weg 2 ist länger und schwingt weit über Weg 1 hinaus, aber zwischen $r_a$ und $r_b$ kreuzt er dieselbe Menge von Kreisen um $Q$, also sammelt er genau dieselbe Gesamtarbeit.

Jede statische Anordnung ist eine Summe von Punktladungen. Jeder Summand ist wegunabhängig, also ist es auch das gesamte Feld. Hin auf einem Weg und zurück auf einem anderen ergibt daher null Arbeit bei einem geschlossenen Umlauf:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$
Wäre dies nicht so, würde eine Ladung, die in der günstigen Richtung umläuft, auf jeder Runde Energie von Ladungen gewinnen, die sich nie ändern: ein Perpetuum mobile.

Da der Weg keine Rolle spielt, lässt sich jedem Punkt eine Zahl zuordnen: das elektrische Potential $V$, in Volt (Joule pro Coulomb). Seine Änderung von $a$ nach $b$ ist definiert als
$\Delta V=V_b-V_a=-{\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$
Das Minuszeichen sorgt dafür, dass $V$ in Feldrichtung abnimmt. Eine positive Ladung, die vom Feld entlang geschoben wird, verliert dann potentielle Energie $qV$ und gewinnt im gleichen Betrag kinetische Energie. Setzt man $V=0$ unendlich weit weg und schreibt $s$ für den Abstand von $Q$ im Integral, ergibt eine Punktladung
$V(r)=-{\int }_{\infty }^r\frac{kQ}{s^2}ds=\frac{kQ}{r}$

Umgekehrt gelesen ist das Feld das Negative des Gradienten des Potentials. Es zeigt in die Richtung, in der $V$ am schnellsten fällt, und seine Größe ist, wie viele Volt $V$ pro Meter in dieser Richtung fällt. Die Energieerhaltung für eine Ladung $q$ mit kinetischer Energie $K$ passt dann in eine Zeile:
$\vec{E}=-\nabla V,K+qV=\mathrm{const}$

Ein Beispiel aus der Animation: Ihre Quellladungen sind +1 nC und −1 nC, 180 mm voneinander entfernt. Die goldene Probeladung, $q=10^{-10}\mathrm{C}$, startet ruhend 20 mm von der + Ladung, wo $V=kQ(1/0,02-1/0,16)\approx +393\mathrm{V}$ ist, mit Abständen in Metern. Sie endet am gespiegelten Punkt, 20 mm von der − Ladung, wo $V\approx -393\mathrm{V}$ ist. Sie kommt also mit
$K=q(V_a-V_b)=10^{-10}\cdot 786,6\approx 7,87\times 10^{-8}\mathrm{J}$
an, das sind die 78,7 nJ der $K$-Anzeige. Entlang eines anderen Weges zwischen denselben beiden Punkten, etwa auf einer reibungsfreien Bahn, käme sie mit derselben Energie an.

Fluss durch eine Fläche und das gaußsche Gesetz

Das gaußsche Gesetz verknüpft das Feld auf einer geschlossenen Fläche mit der darin enthaltenen Ladung. Bei Symmetrie liefert es ein Feld in einer Zeile, ganz ohne Summe. Seine Idee beginnt bei den Feldlinien. Eine feste Anzahl von Linien geht von einer Punktladung aus, und jede davon durchquert jede Kugel um sie herum. Die Kugelfläche wächst als $4\pi r^2$, also sinkt die Anzahl der Linien pro Quadratmeter mit $1/r^2$, genau wie das Feld: Die Liniendichte ist ein treues Bild der Feldstärke. Um „die Anzahl der Linien durch eine Fläche“ in eine Größe zu verwandeln, die für eine Fläche beliebiger Form funktioniert, zerlegt man die Fläche in kleine Flächenstücke.

Legende

$S$	Geschlossene Fläche um die Ladung; ihre Form kann beliebig sein.
$Q$	Ladung innerhalb von $S$: das $Q_{\mathrm{enc}}$ des gaußschen Gesetzes.	$\mathrm{C}$
$dA$	Fläche eines kleinen Flächenstücks von $S$.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	Das Flächenstück als Vektor: Länge $dA$, aus $S$ heraus, senkrecht zum Flächenstück.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{E}$	Feld von $Q$ am Flächenstück.	$N/C$
$\theta$	Winkel zwischen $\vec{E}$ und $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$

Abbildung 3 zeigt eine geschlossene Fläche $S$ um die Ladung $Q$, mit einem vergrößerten kleinen Flächenstück. Das Flächenstück hat die Fläche $dA$. Um festzuhalten, wohin es zeigt, macht man es zu einem Vektor $d\vec{A}$: mit der Länge $dA$, aus $S$ heraus, senkrecht zum Flächenstück. Der Fluss durch das Flächenstück, also die Menge des Feldes, die es durchsetzt, ist
$d\Phi =\vec{E}\cdot d\vec{A}=EdA\cos \theta$
wobei $\theta$ der Winkel zwischen dem Feld $\vec{E}$ und $d\vec{A}$ ist. Nur der Teil des Feldes, der durch das Flächenstück geht, zählt. Ein Flächenstück, das der Ladung frontal zugewandt ist ($\theta =0$), fängt die meisten Linien ein; um $\theta$ geneigt fängt es weniger, um den Faktor $\cos \theta$; ein Flächenstück, das das Feld nur streift ($\theta =90^{\circ }$), fängt keine ein. Summiert man den Fluss aller Flächenstücke von $S$, ergibt sich das gaußsche Gesetz:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{{\epsilon }_0}$
Hier ist $Q_{\mathrm{enc}}$ die gesamte von $S$ umschlossene Ladung und ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ die Permittivität des Vakuums, verbunden mit der coulombschen Konstanten über $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$.

Warum die Form von $S$ keine Rolle spielt: Ein Raumwinkel verhält sich zur Kugel wie ein Winkel zum Kreis, und die ganze Kugel um einen Punkt beträgt $4\pi$. Von $Q$ aus gesehen überdeckt das Flächenstück im Abstand $r$ den kleinen Raumwinkel $d\Omega =dA\cos \theta /r^2$: seine Fläche, von $Q$ aus senkrecht gesehen, geteilt durch $r^2$. Sein Fluss ist daher
$EdA\cos \theta =\frac{kQ}{r^2}dA\cos \theta =kQd\Omega$
Das $r^2$ in der scheinbaren Größe des Flächenstücks hebt das $1/r^2$ des Feldes auf, sodass ein kleines nahes Flächenstück und ein großes fernes, die denselben Raumwinkel überdecken, gleich viel Fluss führen. Die Raumwinkel einer geschlossenen Fläche um $Q$ addieren sich zu $4\pi$, also ist der Gesamtfluss $4\pi kQ=Q/{\epsilon }_0$, wie unregelmäßig $S$ auch ist. Eine Ladung außerhalb von $S$ schickt jede ihrer Linien durch ein Flächenstück hinein und durch ein anderes hinaus, sodass sich positiver und negativer Fluss genau aufheben. Deshalb zählt nur die eingeschlossene Ladung.

Für die +1-nC-Ladung der Animation ist der Fluss durch jede geschlossene Fläche um sie herum $10^{-9}/(8,85\times 10^{-12})\approx 113\mathrm{V}\mathrm{m}$. Eine Fläche um beide Ladungen hat einen Nettofluss von null: Jede Linie, die dort austritt, kehrt wieder ein.

Zwei Folgerungen ergeben sich. Verkleinert man die Fläche um einen einzelnen Punkt, wird das gaußsche Gesetz zu einer Aussage über genau diesen Punkt, $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$: Feldlinien beginnen und enden nur dort, wo Ladung ist. Und mit Symmetrie liefert das gaußsche Gesetz Felder nahezu kostenlos. Eine gleichmäßig geladene Kugel wirkt außerhalb von sich wie eine Punktladung in ihrem Mittelpunkt. Eine große ebene Platte mit $\sigma$ Coulomb pro Quadratmeter schickt ihr Feld auf beiden Seiten gerade hinaus; eine flache Dose mit Deckfläche $A$, die die Platte umschließt, hat dann den Fluss $2EA$ und enthält $\sigma A$, also $E=\sigma /(2{\epsilon }_0)$ auf jeder Seite.

Äquipotentiale und der Graph V(x)

Eine Äquipotentialfläche ist eine Fläche, auf der $V$ überall denselben Wert hat. Eine Ladung entlang einer Äquipotentialfläche zu bewegen, kostet keine Arbeit, und der Abstand benachbarter Flächen misst das Feld. Eine Karte der Äquipotentiale trägt also dieselbe Information wie die Feldlinien, oft in einer leichter lesbaren Form.

In der Expertenstufe der Animation sind die gestrichelten violetten Kurven Äquipotentiale bei ±400, ±150 und ±50 V, und die gestrichelte gerade Linie in der Mitte zwischen den Ladungen ist $V=0$. Sie schneiden jede Feldlinie rechtwinklig. Der Grund: $-\nabla V$ zeigt in die Richtung, in der $V$ am schnellsten fällt, und das verläuft genau quer zu einer Fläche, auf der sich $V$ gar nicht ändert. Die goldene Ladung startet bei 393 V, knapp außerhalb der 400-V-Kurve, die die Achse 19,7 mm von der + Ladung schneidet.

Enger Abstand bedeutet ein starkes Feld, denn $V$ ändert sich um denselben Betrag über eine kürzere Strecke. Die +50-V-Kurve schneidet die Achse 21,3 mm von der Mittellinie, wo $V=0$ ist, also beträgt das mittlere Feld über diese Strecke $50/0,0213\approx 2,35kV/m$. Das liegt etwas über den 2,22 kV/m im Mittelpunkt selbst, weil das Feld zur Ladung hin wächst.

Der Graph $V(x)$ zeigt dasselbe entlang der Achse durch die Ladungen. Seine Steigung ist $-E_x$, minus der Komponente des Feldes entlang der Achse: etwa $-2,2$ V pro Millimeter im Mittelpunkt, und zehnmal steiler dort, wo die Fahrt beginnt. Außerhalb des Paares steigt $V(x)$ auf beiden Seiten mit $x$, dort gilt also $E_x<0$: links der + Ladung zeigt das Feld von ihr weg, rechts der − Ladung zeigt es zu ihr hin, und beide Richtungen weisen nach links. Der goldene Punkt gleitet die Kurve hinab, während seine potentielle Energie $U=qV$ in kinetische Energie $K$ übergeht.

Laplace-Gleichung: keine Ruhelage

Kombiniert man die beiden obigen Ergebnisse, erhält man eine einzige Gleichung für $V$ allein. Eine Eigenschaft dieser Gleichung verbietet jede stabile Falle aus festen Ladungen.

Setzt man $\vec{E}=-\nabla V$ in $\nabla \cdot \vec{E}=\rho /{\epsilon }_0$ ein, ergibt sich Poissons Gleichung, ${\nabla }^{2}V=-\rho /{\epsilon }_0$, und im leeren Raum, wo $\rho =0$ ist, die Laplace-Gleichung, ${\nabla }^{2}V=0$. Der Laplace-Operator ${\nabla }^{2}V$ misst, um wie viel der Mittelwert von $V$ über eine kleine Kugel um einen Punkt seinen Wert im Mittelpunkt übersteigt. Im leeren Raum ist er null, also ist $V$ an jedem Punkt gleich seinem Mittelwert über jede kleine Kugel um ihn.

Ein Wert, der dem Mittelwert seiner Umgebung entspricht, kann weder über allen Nachbarn noch unter allen Nachbarn liegen. Im leeren Raum hat $V$ also kein Maximum und kein Minimum, nur Sattelpunkte. Eine positive Ladung bräuchte ein Minimum von $V$, um in stabilem Gleichgewicht zu ruhen; daher kann keine Anordnung fester Ladungen eine Ladung stabil halten (Earnshaws Satz). Zum Beispiel ist in der Mitte zwischen zwei gleichen positiven Ladungen $E=0$, aber eine dort befindliche positive Probeladung wird nur entlang der Achse zurückgestoßen; seitwärts wird sie hinausgedrückt. Die Stabilität der Atome verdanken wir etwas anderem: der Quantenmechanik.

Leiter und das Feld des Kondensators

In einem Leiter sind einige Ladungen frei beweglich. Diese einzige Tatsache legt das Feld im Inneren und direkt außerhalb jedes Leiters fest und erklärt das homogene Feld eines Kondensators.

Freie Ladungen bewegen sich, solange irgendein Feld auf sie wirkt, und sie halten nur an, wenn das Feld im Inneren des Metalls null ist. Ein ruhender Leiter ist also eine einzige Äquipotentialfläche. Jede geschlossene Fläche im Inneren des Metalls hat den Fluss null, also umschließt sie nach dem gaußschen Gesetz keine Ladung: Überschüssige Ladung sitzt auf der Oberfläche. Direkt außerhalb steht das Feld senkrecht auf der Oberfläche, denn eine Komponente entlang der Oberfläche würde die Oberflächenladungen in Bewegung setzen. Eine kleine flache Dose, die die Oberfläche durchdringt, hat Fluss nur durch ihre äußere Fläche, was die Größe des Feldes ergibt, $E=\sigma /{\epsilon }_0$, mit $\sigma$ der Oberflächenladung pro Quadratmeter.

Zwei parallele Platten mit $+\sigma$ und $-\sigma$ erzeugen jede das Plattenfeld $\sigma /(2{\epsilon }_0)$. Zwischen den Platten zeigen die beiden Felder in dieselbe Richtung und addieren sich; außerhalb zeigen sie entgegengesetzt und heben sich auf. Das Ergebnis ist das homogene Feld eines Kondensators, $E=\sigma /{\epsilon }_0=\Delta V/d$ für Platten im Abstand $d$.

Der Dipol aus der Ferne betrachtet

Ein Dipol ist ein Paar gleich großer, entgegengesetzter Ladungen, eine in der Natur häufige Quelle: Viele Moleküle sind Dipole. Aus der Ferne heben sich die beiden Potentiale nahezu auf, und was übrig bleibt, gehorcht einem eigenen einfachen Gesetz.

Legende

$Q$	Größe jeder der beiden Ladungen, $+Q$ und $-Q$.	$\mathrm{C}$
$d$	Abstand zwischen den beiden Ladungen.	$\mathrm{m}$
$\vec{p}$	Dipolmoment: Betrag $p=Qd$, von $-Q$ nach $+Q$ zeigend.	$\mathrm{C}\cdot \mathrm{m}$
$P$	Punkt, an dem das Potential gesucht wird.
$r$	Abstand vom Mittelpunkt des Dipols zu $P$.	$\mathrm{m}$
$\theta$	Winkel zwischen $\vec{p}$ und der Linie vom Mittelpunkt zu $P$.	$\mathrm{rad}$
$r_{+}$	Abstand von $+Q$ zu $P$.	$\mathrm{m}$
$r_{-}$	Abstand von $-Q$ zu $P$.	$\mathrm{m}$
$d\cos \theta$	Um wie viel $P$ von $-Q$ weiter entfernt ist als von $+Q$, wenn $P$ weit weg ist: der Teil von $d$, der auf $P$ zeigt.	$\mathrm{m}$

Abbildung 4 zeigt die Geometrie. Die Ladungen $+Q$ und $-Q$ sind im Abstand $d$ voneinander. Das Dipolmoment $\vec{p}$ hat die Größe $p=Qd$ und zeigt von $-Q$ nach $+Q$. Der Punkt $P$ liegt im Abstand $r$ vom Mittelpunkt des Paares, in einer Richtung unter dem Winkel $\theta$ zu $\vec{p}$, und in den Abständen $r_{+}$ und $r_{-}$ von den beiden Ladungen. Addiert man die beiden Potentiale der Punktladungen:
$V=kQ\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right)=kQ\frac{r_{-}-r_{+}}{r_{+}{r}_{-}}$

Alles hängt nun an der kleinen Differenz $r_{-}-r_{+}$. Ist $P$ weit entfernt im Vergleich zu $d$, sind die Verbindungslinien von den beiden Ladungen zu $P$ nahezu parallel. Die gestrichelte Senkrechte von $+Q$ trifft die Linie von $-Q$ nach $P$; ab diesem Fußpunkt ist die verbleibende Strecke bis $P$ fast genau $r_{+}$. Somit ist $r_{-}$ um die dicke Strecke von $-Q$ bis zum Fußpunkt länger als $r_{+}$, beschriftet mit $d\cos \theta$: dem Teil der Trennung $d$, der auf $P$ zeigt. Im Nenner unterscheiden sich die beiden Abstände kaum, also $r_{+}{r}_{-}\approx r^2$. Daher
$V\approx \frac{kQd\cos \theta }{r^2}=\frac{kp\cos \theta }{r^2}$

Da sich die beiden Beiträge nahezu aufheben, fällt das Potential wie $1/r^2$ statt $1/r$, und das Feld, sein Gradient, fällt wie $1/r^3$. Bei gegebenem Abstand ist $V$ entlang $\vec{p}$ am größten ($\theta =0$), null auf der Ebene durch die Mitte senkrecht zu $\vec{p}$ ($\theta =90^{\circ }$) und negativ auf der Seite der negativen Ladung.

Eine Prüfung mit dem Paar der Animation: $p=10^{-9}\cdot 0,18=1,8\times 10^{-10}\mathrm{C}\mathrm{m}$. Bei 1 m entlang der Achse ergibt die Formel 1,62 V, gegenüber dem exakten $kQ(1/0,91-1/1,09)\approx 1,63\mathrm{V}$. Der relative Fehler beträgt etwa $d^2/(4r^2)$, hier 0,8 %. Die Näherung ist also schon bei einem Abstand von knapp dem Fünffachen der Trennung gut.

Übungsaufgabe: ein Proton und ein Elektron

Der Energieerhaltungssatz mit den oben gefundenen Potentialen liefert Geschwindigkeiten, ohne irgendeine Bewegungsgleichung zu lösen. Der Vergleich zweier Teilchen zeigt dann, was von der Masse abhängt und was nicht.

Ersetze die goldene Ladung durch ein Proton mit der Ladung $e$ und der Masse $m_p$, das ruhend am selben Punkt, 20 mm von der + Ladung, losgelassen wird. Wie schnell ist es in der Mitte und am Ende der Fahrt, 20 mm von der − Ladung? Das Potential fällt auf dem Weg zur Mitte, wo $V=0$ ist, um 393,3 V, und auf dem Weg zum Ende um 786,6 V. Ein Elektronenvolt (eV), $1,602\times 10^{-19}\mathrm{J}$, ist die Energie, die eine Ladung $e$ beim Fall durch ein Volt gewinnt, also
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_1^2=e\cdot 393,3\mathrm{V}=393\mathrm{eV},v_1\approx 2,74\times 10^{5}m/s$
$\frac{1}{2}{m}_p{v}_2^2=e\cdot 786,6\mathrm{V}=787\mathrm{eV},v_2\approx 3,88\times 10^{5}m/s$
Die doppelte Energie ergibt die $\sqrt{2}$-fache Geschwindigkeit.

Nun lass ein Elektron, mit der Ladung $-e$ und der Masse $m_e$, vom fernen Punkt ruhend los. Die Kraft darauf, $-e\vec{E}$, zeigt gegen das Feld, also wird es zurück zur + Ladung gedrückt, das Potential hinauf. Die Anordnung ist symmetrisch, und die potentielle Energie $-eV$ des Elektrons ist das Spiegelbild der des Protons. Es läuft also denselben Weg rückwärts und gewinnt dieselben 787 eV, also $1,26\times 10^{-16}\mathrm{J}$. Seine Masse ist 1836-mal kleiner, daher ist seine Geschwindigkeit $\sqrt{1836}\approx 42,8$-mal größer: $1,66\times 10^{7}m/s$, 5,5 % der Lichtgeschwindigkeit. Die Größe einer relativistischen Korrektur bestimmt sich aus der kinetischen Energie im Vergleich zur Ruheenergie, $K/(m_e{c}^2)=787/511000\approx 0,15\%$, und sie senkt diese Geschwindigkeit nur um etwa 0,1 %.

Energie liefert Geschwindigkeiten, keine Zeiten. Für Zeiten brauchen wir die Bewegungsgleichung entlang der Achse, $m\ddot{x}=qE(x)$. Geteilt durch $m$, hängt sie vom Teilchen nur über $q/m$ ab. Jedes Teilchen mit einer Ladung gleichen Vorzeichens, das am selben Punkt ruhend losgelassen wird, folgt also demselben Weg. Ist $q/m$ um einen Faktor größer, läuft die ganze Bewegung um dessen Quadratwurzel schneller ab: Alle Zeiten skalieren mit $\sqrt{m/q}$. Die Ladung der Animation hat eine Masse von etwa 49 mg, damit die Fahrt 4,0 s dauert. Das $q/m$ des Protons ist $4,7\times 10^{13}$-mal größer, daher dauert seine Fahrt $4,0\mathrm{s}/\sqrt{4,7\times 10^{13}}\approx 0,58\mu \mathrm{s}$. Das Elektron, noch einmal 42,8-mal schneller, braucht 13,6 ns.

Grenzen der Gültigkeit

Jedes obige Ergebnis beruht auf Annahmen. Zu wissen, wo sie versagen, sagt dir, wann eine umfassendere Theorie nötig ist.

Quellen in Ruhe. Die Elektrostatik setzt voraus, dass die Ladungen an ihrem Platz bleiben. Nachrichten über eine Änderung an einer Ladung erreichen die andere erst nach der Laufzeit des Lichts, 0,6 ns über die 180 mm der Animation. Die momentane coulombsche Summe funktioniert daher nur für Ladungen, die sich langsam im Vergleich zum Licht bewegen. Ändern sich Magnetfelder, gibt das faradaysche Gesetz $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}\ne 0$: Die Arbeit auf einer Schleife ist nicht mehr null, und das Feld ist kein reiner Gradient mehr. Es wird zu $\vec{E}=-\nabla V-\partial \vec{A}/\partial t$, mit $\vec{A}$ dem magnetischen Vektorpotential.

Punktladungen. Das 1/r²-Gesetz gehört zu den am besten geprüften Gesetzen der Physik: Der Exponent ist bis auf etwa $10^{-15}$ gleich 2. Die Punktladung ist jedoch eine Idealisierung: Ihre Feldenergie, $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ pro Kubikmeter, summiert sich in der Nähe eines echten Punktes zu unendlich. Auf sehr kurze Distanz treten Quanteneffekte auf. Unterhalb von etwa $4\times 10^{-13}\mathrm{m}$, der reduzierten Compton-Wellenlänge des Elektrons, geht eine Sonde in die Wolke der Quantenvakuumfluktuationen hinein, die jede Ladung teilweise abschirmt. Sie sieht dann mehr von der Ladung, sodass die Kraft etwas schneller als $1/r^2$ wächst, und das verschiebt messbar die Energieniveaus des Wasserstoffs. Im Wasserstoffatom beträgt das Feld etwa $5\times 10^{11}V/m$; das Elektron dort muss quantenmechanisch behandelt werden, wenn auch immer noch im coulombschen Potential.

Materie und starke Felder. In einem Material ist das Feld einer freien Ladung um die relative Permittivität verringert, für Wasser etwa um den Faktor 80. Auch Isolatoren haben Grenzen: Trockene Luft schlägt durch und funkt bei etwa 3 MV/m, und selbst das leere Vakuum würde nahe $1,3\times 10^{18}V/m$ beginnen, Elektron-Positron-Paare zu erzeugen.

Wohin das führt

In Kondensatoren beschreiben $E=\sigma /{\epsilon }_0$ und die Energie $\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$ pro Kubikmeter das Feld zwischen den Platten. Elektrischer Strom und Widerstand sowie Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz verfolgen Ladungen, die durch eine Potentialdifferenz durch Materie getrieben werden. Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen addiert $q\vec{v}\times \vec{B}$ zu $q\vec{E}$, und die Spezielle Relativitätstheorie zeigt, dass die beiden Felder Teile eines einzigen sind: Was ein Beobachter als reines elektrisches Feld bezeichnet, sieht ein anderer teilweise als magnetisch. Elektromagnetische Induktion bricht $\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0$, und Elektromagnetische Wellen zeigt, wie sich die Felder allein mit $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ ausbreiten. Dasselbe $1/r$-Potential beschreibt die Schwerkraft in Gravitation und Umlaufbahnen und hält das Elektron im Atommodell des Bohr-Atoms, wo die Bindungsenergie des Wasserstoffs 13,6 eV beträgt.