Courant électrique et résistance

Débutant

Un courant électrique, c'est tout simplement de la charge électrique en mouvement.

Étape 1 : ce qui bouge. Dans un métal, chaque atome libère un ou deux électrons de sa couche externe, qui errent librement entre les atomes restants (les ions). Le fil grossi de l'animation montre cette foule : des ions jaunes marqués + bien alignés, et des électrons bleus qui filent entre eux.

Étape 2 : la poussée. Sans pile, les électrons s'agitent au hasard et, en moyenne, n'avancent pas. Branchez une pile et ils reçoivent tous une légère poussée dans le même sens : ils zigzaguent toujours et heurtent des ions, mais progressent aussi lentement le long du fil. Suivez l'électron entouré : un trajet enchevêtré, et pourtant il avance vers la droite.

Étape 3 : compter. L'intensité du courant se mesure en ampères. Un ampère, c'est un coulomb de charge, environ six milliards de milliards d'électrons, qui passe en un point chaque seconde. Si 10 coulombs passent en 5 secondes, l'intensité vaut $10÷5=2\mathrm{A}$.

Étape 4 : dans quel sens. Par une vieille convention, on dit que le courant va de la borne + vers la borne −. Les électrons étant négatifs, ils dérivent en réalité dans l'autre sens, du − vers le +.

Étape 5 : la résistance. Les chocs freinent les électrons et cèdent de l'énergie aux ions, qui s'agitent davantage : le fil chauffe, comme dans un grille-pain. Avec la même pile, un fil deux fois plus long laisse passer deux fois moins de courant ; un fil deux fois plus épais, deux fois plus. Les métaux conduisent facilement ; le verre et le plastique, presque pas.

Les électrons avancent plus lentement qu'un escargot, et pourtant la lampe s'allume dès qu'on appuie sur l'interrupteur : le fil est déjà plein d'électrons, et la poussée s'y propage presque à la vitesse de la lumière.

Testez-vous : 30 coulombs passent en 10 secondes. Quelle est l'intensité ? (Réponse : 3 A.)

Intermédiaire

Ce qui circule, et dans quel sens

Dans un métal, chaque atome libère un ou quelques électrons de sa couche externe, qui errent librement entre les ions positifs fixés dans le réseau cristallin. Dans l'eau salée et dans les piles, les porteurs de charge sont des ions. L'intensité du courant est la charge qui traverse une section du conducteur par unité de temps :
$I=\frac{Q}{t}$

Son unité est l'ampère, $1\mathrm{A}=1C/s$. Un électron porte la charge $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ ; un ampère correspond donc à $1/e\approx 6,2\times 10^{18}$ électrons qui traversent la section chaque seconde.

Le courant conventionnel pointe dans le sens où se déplaceraient des charges positives : du + vers le − dans le circuit extérieur, dans le sens du champ électrique $\vec{E}$ à l'intérieur du fil. Les électrons, négatifs, dérivent en sens inverse. Dans l'animation, la flèche verte $E$ et la flèche rouge-orangé du courant $I$ pointent vers la gauche, tandis que la vitesse de dérive bleue $v_d$ pointe vers la droite : des charges négatives qui vont vers la droite transportent le même courant que des charges positives qui vont vers la gauche.

La loi d'Ohm et la caractéristique courant–tension

Ce qui entretient le déplacement des charges, c'est la tension $U$ aux bornes du composant, l'énergie que chaque coulomb cède entre ses extrémités (voir Champ et potentiel électriques) ; dans un fil uniforme de longueur $L$, elle établit un champ $E=U/L$. La résistance compare la poussée au courant :
$R=\frac{U}{I}$

Son unité est l'ohm, $1\Omega =1V/A$. Pour un métal à température fixée, l'intensité est proportionnelle à la tension, donc $R$ est une constante : c'est la loi d'Ohm, et le graphique de $I$ en fonction de $U$ est une droite passant par l'origine, de pente $1/R$. La courbe d'un filament de lampe s'aplatit à mesure qu'il chauffe, sa résistance étant multipliée par plus de dix, et une diode ne conduit que dans un sens : $U/I$ définit encore leur résistance en chaque point, mais ce n'est pas une constante.

Ce qui fixe la résistance d'un fil

Imaginez un fil comme des tronçons placés bout à bout et comme des voies côte à côte. Chaque mètre de plus est un tronçon de plus à franchir pour le courant : $R$ croît donc proportionnellement à la longueur $L$. Chaque millimètre carré de plus ouvre une voie supplémentaire : $R$ diminue donc en proportion inverse de l'aire $S$ de la section. Le matériau intervient par sa résistivité $\rho$ :
$R=\frac{\rho L}{S}$

La résistivité, en ohm-mètres (Ω·m), est la résistance d'un morceau de 1 m de long et de 1 m² de section. Le tableau de l'animation en montre l'étendue : $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$ pour le cuivre, un conducteur, $2,3\times 10^3\Omega \mathrm{m}$ pour le silicium pur, un semi-conducteur, et de $10^{10}$ à $10^{14}\Omega \mathrm{m}$ pour le verre, un isolant : plus de vingt puissances de dix. L'alliage chauffant qu'est le nichrome a une résistivité d'environ $1,1\times 10^{-6}\Omega \mathrm{m}$.

Dans un métal, $\rho$ augmente aussi avec la température, à peu près selon $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$, où ${\rho }_0$ est la valeur à 20 °C et $\Delta T$ l'élévation de température au-dessus de 20 °C. Pour le cuivre, $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, soit environ 0,4 % par kelvin. Dans un semi-conducteur, $\rho$ diminue au contraire, car la chaleur libère davantage de porteurs.

Exemple résolu : les trois fils de l'animation

Les trois fils de l'animation sont soumis à la même tension de 2,0 V. Supposons que le fil du haut, le fil de référence, soit en nichrome, long de 1,0 m, avec une section de $0,55\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=0,55\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, soit environ 0,84 mm de diamètre. Alors
$R=\frac{\rho L}{S}=\frac{1,1\times 10^{-6}\cdot 1,0}{0,55\times 10^{-6}}=2,0\Omega$
$I=\frac{U}{R}=\frac{2,0}{2,0}=1,0\mathrm{A}$

Ce sont les 2 Ω et les 1,0 A affichés à côté de lui. Chaque point bleu représente un coulomb : un point quitte donc le fil chaque seconde, et, au cours de la boucle de 12 s, son compteur monte régulièrement jusqu'à $Q=It=1,0\cdot 12=12\mathrm{C}$, soit environ $7,5\times 10^{19}$ électrons.

Le fil du milieu est deux fois plus long : $R=4,0\Omega$, $I=0,50\mathrm{A}$, et son compteur atteint 6 C. Les mêmes 2,0 V se répartissent sur 2,0 m : le champ est donc divisé par deux, 1,0 V/m, et ses points avancent deux fois moins vite. Le fil du bas a une section double : $R=1,0\Omega$, $I=2,0\mathrm{A}$, 24 C au bout de 12 s ; son champ est inchangé, ses points avancent donc aussi vite que dans le fil de référence, mais sur deux voies.

La vitesse de dérive des électrons

Comptons maintenant les porteurs. Avec $n$ porteurs par mètre cube, chacun de charge $q$ et dérivant à la vitesse $v_d$, tout porteur situé à moins de $v_{d}t$ en amont d'une section la traverse en un temps $t$ : un volume $S{v}_{d}t$ contenant $nS{v}_{d}t$ porteurs. Leur charge divisée par $t$ est l'intensité :
$I=nS{v}_{d}q$

Le cuivre compte environ un électron libre par atome, $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$. Pour 1 A dans un fil de 1 mm²,
$v_d=\frac{I}{nSe}=\frac{1,0}{8,5\times 10^{28}\cdot 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 7,3\times 10^{-5}m/s$
soit environ 0,07 mm/s, ou 26 cm par heure.

Les électrons, eux, s'agitent à quelque 1,6 million de m/s : la dérive n'est qu'un infime biais sur ce mouvement désordonné. L'électron entouré dans le fil grossi montre les deux, un zigzag rapide et une lente progression vers la droite, bien que, dans du vrai cuivre, le zigzag soit plus de dix milliards de fois plus rapide que la dérive, et non sept fois. Une lampe s'allume pourtant aussitôt, car le fil est déjà plein d'électrons et le champ qui les met en mouvement se propage à une grande fraction de la vitesse de la lumière.

Exemple résolu : une rallonge électrique

Une rallonge de 10 m contient deux âmes de cuivre de 1,5 mm² ; le courant part le long de l'une et revient par l'autre, soit 20 m de cuivre. Une bouilloire qui y est branchée appelle 10 A. Avec $S=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$,
$R=\frac{\rho L}{S}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 20}{1,5\times 10^{-6}}\approx 0,23\Omega$
$U=IR=10\cdot 0,23\approx 2,3\mathrm{V}$
Cette tension ne représente que 1 % des 230 V du secteur, mais, à 10 A, elle se traduit par environ 23 W de chaleur dans le câble (la puissance est le produit de la tension par l'intensité), inoffensive quand elle se répartit sur 20 m, mais dangereuse dans un câble resté enroulé sur son tambour.

La vitesse de dérive est
$v_d=\frac{I}{nSe}=\frac{10}{8,5\times 10^{28}\cdot 1,5\times 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 4,9\times 10^{-4}m/s$
soit un demi-millimètre par seconde : un courant continu mettrait environ 11 heures à entraîner un électron sur ces 20 m. Le courant du secteur change de sens 100 fois par seconde (50 Hz) : chaque électron ne fait donc qu'un va-et-vient de l'ordre de deux micromètres, alors que l'énergie atteint la bouilloire aussitôt.

Erreurs fréquentes

• Le courant ne s'use pas : la même intensité entre dans une lampe et en ressort, 1,0 A aux deux extrémités du fil de référence ; ce que la lampe prélève, c'est de l'énergie.
• Les électrons ne se précipitent pas vers la lampe : ils dérivent à environ 0,07 mm/s pour 1 A dans 1 mm² de cuivre. Seul le champ qui les met en mouvement se propage vite.
• Un fil plus épais a moins de résistance, et non plus : doubler la section divise $R$ par deux, de 2 Ω à 1 Ω dans l'animation.
• Écrire $R=U/I$ ne fait pas dépendre la résistance de la tension : pour un fil ohmique, doubler $U$ double $I$, et le fil de référence reste à 2 Ω.
• Convertissez les aires avec $1\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, et non $10^{-3}$ : avec le mauvais facteur, les 2,0 Ω du fil de nichrome deviennent 0,0020 Ω.

Où on le rencontre

Les installations domestiques utilisent du cuivre, tandis que les lignes électriques aériennes utilisent de l'aluminium, dont la résistivité est environ 1,6 fois plus élevée mais qui est bien plus léger. Les grille-pain et les radiateurs utilisent du nichrome, dont la résistivité est élevée et varie peu avec la température. Les thermomètres à résistance mesurent la température grâce à $\rho (T)$. Ensuite, Circuits en courant continu et loi d'Ohm associe des résistances en série et en parallèle, Puissance et énergie électriques à la maison suit la chaleur qu'elles produisent, et Champs magnétiques des aimants et des courants montre le champ magnétique qui entoure tout courant.

Avancé

Densité de courant et conservation de la charge

Un courant $I$ dit quelle charge traverse une section entière chaque seconde, mais pas comment l'écoulement s'y répartit. La densité de courant $\vec{J}$ le dit. Sa valeur est l'intensité par unité d'aire perpendiculaire à l'écoulement, en A/m², et elle est dirigée dans le sens où s'écoulent les charges positives. Pour la relier aux porteurs eux-mêmes, nous comptons combien d'entre eux traversent un petit élément de surface en un temps court.

Légende

$dA$	Aire du petit élément de surface, dessiné par la tranche.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	L'élément sous forme de vecteur : de longueur $dA$, perpendiculaire à l'élément.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{J}$	Densité de courant, $nq{\vec{v}}_d$ : courant par unité d'aire, dans le sens de l'écoulement des charges positives.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Angle entre $\vec{J}$ (et ${\vec{v}}_d$) et $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{d}dt$	Distance dont les porteurs dérivent pendant $dt$ : l'arête oblique du prisme.	$\mathrm{m}$
$v_{d}dt\cos \theta$	La même dérive mesurée perpendiculairement à l'élément : la hauteur du prisme.	$\mathrm{m}$
$dV$	Volume du prisme situé sous l'élément : les porteurs qu'il contient traversent l'élément pendant $dt$.	${\mathrm{m}}^3$

La figure 1 montre un tel élément vu par la tranche : le segment noté $dA$, son aire. Pour dire de quel côté il est tourné, nous lui associons un vecteur $d\vec{A}$, de longueur $dA$ et perpendiculaire à l'élément. Les porteurs, au nombre de $n$ par unité de volume et de charge $q$ chacun, sont les points. En moyenne, ils se déplacent à la vitesse de dérive ${\vec{v}}_d$, qui fait l'angle $\theta$ avec $d\vec{A}$. Leurs mouvements aléatoires rapides font traverser l'élément par autant de porteurs dans un sens que dans l'autre : seule la dérive compte.

Pendant un temps court $dt$, chaque porteur se déplace de ${\vec{v}}_{d}dt$. Les porteurs qui traversent l'élément pendant ce temps sont donc exactement ceux qui partent du prisme oblique situé en dessous : un porteur plus en arrière ne peut pas l'atteindre à temps. Regardez les deux côtés du prisme. Son arête oblique, le long de la dérive, mesure $v_{d}dt$, mais sa hauteur, perpendiculairement à l'élément, n'est que $v_{d}dt\cos \theta$. Un prisme oblique a le même volume qu'un prisme droit de même base et de même hauteur, donc
$dV=dA{v}_{d}dt\cos \theta$
Le prisme contient la charge $nqdV$, et toute cette charge traverse l'élément en $dt$. En divisant par $dt$, on obtient le courant qui traverse l'élément :
$dI=nq{v}_d\cos \theta dA=\vec{J}\cdot d\vec{A},\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$
Le facteur $\cos \theta$ est exactement ce qu'apporte un produit scalaire. En additionnant les éléments d'une surface entière, on obtient le courant qui la traverse :
$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$
Pour un écoulement uniforme qui traverse perpendiculairement une section $A$ (notée $S$ dans les « Formules clés »), on a $\theta =0$ partout, l'intégrale vaut simplement $JA$, et
$I=nA{v}_{d}q$

La figure 1 est dessinée pour des porteurs positifs, $q>0$, pour lesquels $\vec{J}$ et ${\vec{v}}_d$ ont le même sens. Pour des électrons, $q=-e$ : $\vec{J}$ est donc opposé à ${\vec{v}}_d$, et le courant conventionnel circule dans un sens tandis que les électrons dérivent dans l'autre.

Prenons maintenant une surface fermée, par exemple une boîte autour d'un nœud, avec chaque $d\vec{A}$ dirigé vers l'extérieur. La charge se conserve : elle ne peut ni apparaître ni disparaître. Le courant qui sort de la surface doit donc provenir de la charge $Q$ qu'elle contient, qui diminue au même rythme :
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=-\frac{dQ}{dt}$
En régime permanent, rien ne s'accumule nulle part, donc $dQ/dt=0$ : autant de courant entre dans toute surface fermée qu'il en sort. Appliqué à un morceau de fil compris entre deux sections, cela dit que le même courant traverse chaque section, quelle que soit la forme du fil : le courant ne s'use jamais. Appliqué à un nœud de fils, c'est la loi des nœuds des circuits.

La dérive issue de collisions aléatoires

Un champ permanent pousse chaque porteur avec une force permanente, et pourtant le courant est lui aussi permanent : les porteurs n'accélèrent pas indéfiniment. Ce sont les collisions qui les arrêtent. Un porteur de masse $m$ subit de la part du champ la force $\vec{F}=q\vec{E}$, plus de brèves poussées aléatoires dues aux collisions. Le modèle de Drude, de 1900, décrit cela par trois hypothèses, où $\tau$ désigne le temps moyen entre deux collisions.

• Entre deux collisions, le porteur se déplace librement, avec l'accélération $\vec{F}/m$.
• Chaque collision l'envoie dans une direction aléatoire, sans mémoire de son mouvement antérieur.
• Les collisions surviennent au hasard, avec la même probabilité $dt/\tau$ pendant tout intervalle court $dt$, quoi qu'il se soit passé auparavant.

Regardons maintenant tous les porteurs à un même instant. La vitesse de chacun a deux parties. La première est celle avec laquelle il est reparti de sa dernière collision : aléatoire, donc de moyenne nulle sur de nombreux porteurs. La seconde est ce que la force a ajouté depuis, soit $\vec{F}/m$ multiplié par le temps écoulé depuis cette collision. La vitesse moyenne, la dérive, vaut donc $\vec{F}/m$ multiplié par le temps moyen écoulé depuis la dernière collision.

Combien vaut cette moyenne ? Les collisions n'ayant pas de mémoire, la probabilité d'en avoir une dans un intervalle court quelconque est $dt/\tau$, que l'on parcoure le temps dans un sens ou dans l'autre. En regardant en arrière à partir d'un instant quelconque, le temps écoulé depuis la dernière collision a donc les mêmes statistiques que l'attente de la prochaine, et sa moyenne est donc, elle aussi, $\tau$. Par conséquent
$v_d=\frac{F\tau }{m}$
et, pour un électron dans un champ $E$, avec $F=eE$,
$v_d=\frac{eE\tau }{m}$

Pourquoi les longs vols dominent

Ce résultat laisse un doute. Pendant un vol, la vitesse ajoutée croît de zéro à $Ft/m$ ; la dérive ne devrait-elle donc pas valoir la moitié de $F\tau /m$ ? Ce serait le cas si tous les vols duraient exactement $\tau$. Ce n'est pas le cas : comme les collisions surviennent au hasard, la durée $t$ d'un vol est dispersée, avec la densité de probabilité $p(t)=e^{-t/\tau }/\tau$. Une fraction $p(t)dt$ de tous les vols dure entre $t$ et $t+dt$.

Légende

$t$	Durée d'un vol libre, entre deux collisions.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Temps moyen entre collisions : la durée moyenne d'un vol.	$\mathrm{s}$
$p(t)$	Densité de la durée d'un vol, $e^{-t/\tau }/\tau$ : une fraction $p(t)dt$ des vols dure entre $t$ et $t+dt$.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$t^{2}p(t)$	Distance vers l'avant apportée par les vols de durée $t$ : $t^2$ fois leur fréquence, au facteur $F/2m$ près.	$\mathrm{s}$

Le graphe du haut de la figure 2 est cette densité. Elle est maximale pour les vols les plus courts et décroît régulièrement, et sa moyenne est $\tau$. Pourtant, la plupart des vols sont plus courts que la moyenne : ceux qui durent plus que $\tau$, la partie ombrée, ne représentent que $1/e$, soit environ 37 %, de tous les vols.

Pondérons maintenant chaque vol par la distance dont il fait avancer le porteur. En partant sans vitesse ajoutée, un vol de durée $t$ le fait avancer de $\frac{1}{2}(F/m)t^2=(F/2m)t^2$ : un vol deux fois plus long fait gagner quatre fois plus de distance. Le graphe du bas montre $t^{2}p(t)$ : la fréquence des vols de durée $t$, multipliée par ce que chacun apporte. Il culmine en $2\tau$, bien au-delà de la moyenne, et l'essentiel de son aire se trouve dans la partie ombrée : les vols plus longs que $\tau$ fournissent environ 92 % de la distance parcourue vers l'avant. Les rares vols longs font presque tout le travail, parce qu'ils prennent de la vitesse plus longtemps. Prendre la moitié de $F\tau /m$ revient à traiter tous les vols comme s'ils duraient autant, et manque précisément cela.

La dérive est la distance moyenne parcourue vers l'avant par vol, divisée par la durée moyenne d'un vol :
$v_d=\frac{F}{2m}\frac{\overline{t^2}}{\overline{t}}=\frac{F}{2m}\frac{2{\tau }^2}{\tau }=\frac{F\tau }{m}$
Ici $\overline{t}=\tau$ est la moyenne de $p(t)$, et $\overline{t^2}=2{\tau }^2$ est l'aire sous la courbe du bas : pour des collisions aléatoires, la moyenne de $t^2$ vaut le double du carré de la moyenne. Les vitesses aléatoires avec lesquelles les vols commencent n'ajoutent rien en moyenne ; c'est donc toute la dérive, et elle s'accorde avec le résultat précédent.

Le fil agrandi de l'animation obéit à la même règle. Chaque vol libre est une courte parabole qui s'incurve vers la droite ; avec un temps moyen entre collisions de 12/45 ≈ 0,27 s et une accélération de 22,5 unités/s², la dérive vaut $a\tau =22,5\cdot 12/45=6$ unités par seconde.

Loi d'Ohm, résistivité et résistance

Une fois la dérive connue, la densité de courant s'en déduit. Pour des porteurs de charge $q$, la force est $F=qE$, donc $v_d=qE\tau /m$ et
$J=nq{v}_d=\frac{n{q}^2\tau }{m}E$
La densité de courant est proportionnelle au champ. C'est la loi d'Ohm sous sa forme locale, vraie en chaque point du métal. La constante de proportionnalité est la conductivité $\sigma$, et son inverse est la résistivité $\rho$ ; pour des électrons, avec $q^2=e^2$,
$J=\sigma E$
$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{m}{n{e}^2\tau }$
La charge intervenant au carré, des porteurs positifs et négatifs donnent la même conductivité : la mesure de $\sigma$ ne peut pas révéler le signe des porteurs.

Vérifions avec le cuivre. Avec $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ et $\tau =2,5\times 10^{-14}\mathrm{s}$, la formule donne la résistivité mesurée du cuivre, $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$. L'accord est moins impressionnant qu'il n'y paraît : $\tau$ ne peut pas être mesuré directement et a été déduit de cette résistivité même. Le modèle explique la forme de la loi, un courant proportionnel au champ, mais pas la valeur de $\rho$.

Passons maintenant d'un point à un fil entier. Dans un fil homogène de longueur $L$ et de section $A$, le champ est le même partout : la tension aux bornes du fil est donc $U=EL$ et le courant $I=JA$. En reportant $E=U/L$ et $J=I/A$ dans $J=\sigma E$, on obtient $I/A=U/(\rho L)$, c'est-à-dire $U=(\rho L/A)I$. Ainsi
$R=\frac{\rho L}{A}$
est démontré, et non deviné.

Les deux graphes du niveau expert de l'animation en montrent les deux faces, avec le fil de référence du niveau intermédiaire : du nichrome, long de 1,0 m et de section 0,55 mm², soit 2 Ω, parcouru par 1,0 A sous 2,0 V. En fonction de la longueur, $R$ est une droite passant par l'origine, de pente $\rho /A$ : le fil de référence se trouve en $L_0$ et 2 Ω, le fil deux fois plus long en $2L_0$ et 4 Ω. En fonction de l'aire, $R$ est une hyperbole, car $RA=\rho L$ reste constant : le fil de référence se trouve en $A_0$ et 2 Ω, le fil épais en $2A_0$ et 1 Ω. L'hyperbole montre des rendements décroissants. Doubler l'aire fait gagner 1 Ω, mais aller jusqu'à $3A_0$ n'en fait gagner que 0,33 de plus, alors que réduire la section vers zéro envoie $R$ vers l'infini.

Où va l'énergie

Entre deux collisions, le champ travaille sur chaque porteur et l'accélère. À chaque collision, le porteur cède cette énergie au réseau d'ions, qui vibre plus fort : le fil s'échauffe. En moyenne, le champ fournit à chaque porteur la puissance $\vec{F}\cdot {\vec{v}}_d=q\vec{E}\cdot {\vec{v}}_d$, et il y a $n$ porteurs par unité de volume ; la chaleur produite par unité de volume et par seconde est donc
$p=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2=\rho J^2$
Sur un fil homogène, la multiplication par son volume $AL$ donne $(JA)(EL)=IU$, la puissance électrique bien connue.

Pour le fil de référence, $E=2,0V/m$ et $J=1,0/(0,55\times 10^{-6})\approx 1,8\times 10^{6}A/{\mathrm{m}}^2$, donc $p=JE\approx 3,6\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^3$. Le fil contient 0,55 cm³ de métal : il produit donc 2,0 W en tout, autant que $IU=1,0\cdot 2,0\mathrm{W}$.

Comment l'énergie entre

Comment cette énergie parvient-elle à chaque partie du fil ? Pas en voyageant à l'intérieur : les porteurs cèdent leur énergie au réseau là où ils se trouvent. Elle entre par la surface du fil, transportée par les champs électrique et magnétique de l'espace qui l'entoure.

Légende

$I$	Courant dans le fil.	$\mathrm{A}$
$a$	Rayon du fil.	$\mathrm{m}$
$L$	Longueur du fil.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Champ électrique juste à l'extérieur de la surface : sa composante le long du fil, la même qu'à l'intérieur.	$V/m$
$\vec{B}$	Champ magnétique du courant, qui entoure le fil selon la règle de la main droite : vers vous en haut, loin de vous en bas.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flux d'énergie $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$ : énergie par seconde et par unité d'aire, ici vers l'intérieur du fil.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figure 3 montre un fil de rayon $a$ et de longueur $L$ parcouru vers la droite par le courant $I$. Deux champs l'entourent. Le premier est le champ électrique $\vec{E}$ juste à l'extérieur de la surface, dirigé le long du fil. Il est là parce que la composante d'un champ parallèle à une surface est la même des deux côtés : le champ qui entraîne le courant à l'intérieur se prolonge donc juste à l'extérieur. (Des charges de surface peuvent y ajouter une composante perpendiculaire à la surface ; celle-ci déplace l'énergie le long du fil, non vers l'intérieur.) Le second est le champ magnétique $\vec{B}$ du courant, qui entoure le fil selon la règle de la main droite et vaut $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$ à la surface.

Là où les deux champs sont présents, de l'énergie électromagnétique circule. Son flux, l'énergie par seconde et par unité d'aire, est $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$, perpendiculaire aux deux champs. Lisez les directions sur la figure. En haut du fil, $\vec{E}$ est dirigé le long du fil et $\vec{B}$ vers vous, donc $\vec{S}$ pointe vers le bas, vers l'intérieur du fil. En bas, $\vec{B}$ s'éloigne de vous et $\vec{S}$ pointe vers le haut, là encore vers l'intérieur du fil. Tout autour, l'énergie entre directement par la surface. Comme $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires, et que la surface a pour aire $2\pi aL$,
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{EI}{2\pi a},S\cdot 2\pi aL=ELI=UI$
puisque $EL=U$ : l'énergie entrante est exactement la chaleur produite à l'intérieur. Pour le fil de référence, $a\approx 0,42\mathrm{mm}$ et $S\approx 760W/{\mathrm{m}}^2$, ce qui, sur sa surface d'environ $2,6\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$, fait exactement les 2,0 W de chaleur. L'énergie de la pile voyage dans l'espace autour du circuit ; les fils la guident et la reçoivent.

Ce qui diffuse vraiment les électrons

Drude se figurait des électrons rebondissant sur chaque ion. Cette image est fausse, et la corriger explique comment la résistance dépend de la température et de la pureté. D'abord, les électrons du cuivre ne sont pas lents. Le principe d'exclusion n'autorise qu'un électron par état quantique, de sorte qu'ils occupent des états jusqu'à la vitesse de Fermi, environ $1,6\times 10^{6}m/s$, même au zéro absolu. Leur libre parcours moyen, la distance entre deux collisions, vaut alors $\ell =v_F\tau \approx 39\mathrm{nm}$, soit quelque 150 distances entre ions : un électron passe devant de nombreux ions sans être diffusé.

La raison en est qu'un électron est une onde. Dans un réseau parfaitement périodique, les ondes diffusées par les différents ions se combinent pour porter l'électron tout droit. Un cristal parfait n'aurait aucune résistance.

Seuls les écarts à la périodicité parfaite diffusent les électrons, et leurs taux de diffusion s'additionnent (règle de Matthiessen). Les vibrations du réseau augmentent avec la température. Les impuretés et les défauts, non, et laissent une résistivité résiduelle même aux températures les plus basses. Près de la température ambiante, la part due aux vibrations est à peu près proportionnelle à la température absolue $T$, et une résistivité proportionnelle à $T$ varie de la fraction $1/T$ par kelvin. C'est pourquoi le coefficient de température du cuivre, $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, est proche de $1/(293\mathrm{K})=3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, et $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$ n'est que le terme linéaire de $\rho (T)$ autour de 20 °C. Au refroidissement, les vibrations s'éteignent et $\rho$ se stabilise à la valeur résiduelle : du cuivre très pur à 4 K conduit cent à mille fois mieux qu'à température ambiante.

Deux autres sortes de matériaux se comportent de façon très différente. Dans un semi-conducteur, la chaleur élève des électrons dans des états conducteurs : $n$ croît donc fortement et $\rho$ diminue quand il chauffe. Un supraconducteur, en dessous de sa température critique (environ 4,2 K pour le mercure), a une résistance exactement nulle. Ses électrons forment un unique état quantique collectif qui transporte un courant sans diffusion : un nouvel état de la matière, et non la limite de collisions de plus en plus rares.

Problème résolu : un fil qui s'épaissit

$R=\rho L/A$ vaut pour un fil homogène. Que se passe-t-il si la section change le long du fil ? Prenons le fil de référence (nichrome, 1,0 m, donc $\rho /A_0=2,0\Omega /\mathrm{m}$) et faisons-le s'élargir régulièrement de $A_0$ à une extrémité à $2A_0$ à l'autre, $A(x)=A_0(1+x/L)$, avec 2,0 V à ses bornes. Sa résistance doit se situer entre le 1 Ω du fil épais et les 2 Ω du fil de référence, mais où exactement ?

Légende

$I$	Courant : le même dans chaque tranche.	$\mathrm{A}$
$A_0$	Section à l'extrémité mince ; l'extrémité épaisse a $2A_0$.	${\mathrm{m}}^2$
$A(x)$	Section à la distance $x$ de l'extrémité mince, $A_0(1+x/L)$.	${\mathrm{m}}^2$
$L$	Longueur du fil.	$\mathrm{m}$
$x$	Distance à l'extrémité mince.	$\mathrm{m}$
$dx$	Épaisseur d'une tranche.	$\mathrm{m}$
$\rho /A(x)$	Résistance par unité de longueur du fil en $x$.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /A_0$	Résistance par unité de longueur à l'extrémité mince.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /2A_0$	Résistance par unité de longueur à l'extrémité épaisse : la moitié de celle de l'extrémité mince.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$dR$	Résistance de la tranche en $x$, $\rho dx/A(x)$ : l'aire de la bande sombre.	$\Omega$
$R$	Résistance du fil entier : l'aire sous la courbe.	$\Omega$

La figure 4 découpe le fil en tranches minces (le fil et la tranche sont dessinés bien plus épais qu'ils ne le sont). La tranche située à la distance $x$ de l'extrémité mince a l'épaisseur $dx$ et la section $A(x)$. Une tranche aussi mince est un court fil homogène, de résistance $dR=\rho dx/A(x)$. Le même courant $I$ traverse les tranches l'une après l'autre : elles sont donc en série et leurs résistances s'additionnent.

Le graphe sous le fil transforme cette somme en une aire. Sa courbe est la résistance par unité de longueur, $\rho /A(x)$, qui décroît de $\rho /A_0$ à l'extrémité mince à $\rho /2A_0$ à l'extrémité épaisse. La bande sombre sous la courbe a pour hauteur $\rho /A(x)$ et pour largeur $dx$ : son aire est donc le $dR$ de la tranche. En additionnant toutes les bandes, on obtient l'aire entière sous la courbe, qui est la résistance $R$ du fil. Avec $u=1+x/L$, de sorte que $dx=Ldu$,
$R={\int }_0^L\frac{\rho dx}{A_0(1+x/L)}=\frac{\rho L}{A_0}{\int }_1^2\frac{du}{u}=\frac{\rho L}{A_0}\ln 2$
$R=2,0\cdot 0,693\approx 1,39\Omega$

Le courant vaut donc $I=2,0/1,386\approx 1,44\mathrm{A}$. Deux raccourcis tentants échouent. La moyenne des deux résistances donne 1,5 Ω, trop haut, car la courbe s'affaisse sous la droite qui joint ses extrémités. L'aire moyenne, $1,5A_0$, donne 1,33 Ω, trop bas, car les tranches s'additionnent comme $1/A$, et la moyenne de $1/A$ n'est pas l'inverse de la moyenne de $A$. La représentation par tranches est ici légitime, parce que le fil s'élargit doucement : son diamètre ne passe que de 0,84 mm à 1,18 mm sur un mètre entier, de sorte que le courant de chaque tranche circule presque parfaitement le long du fil.

Le courant est le même dans chaque tranche, donc le champ doit suivre l'aire : $E(x)=\rho I/A(x)$ vaut 2,9 V/m à l'extrémité mince et 1,4 V/m à l'extrémité épaisse, et 1,17 V sur les 2,0 V, soit 58 %, tombent sur la moitié la plus mince. La dérive est deux fois plus rapide à l'extrémité mince qu'à l'extrémité épaisse, et la chaleur y est deux fois plus grande par unité de longueur et quatre fois plus grande par unité de volume. Ce qui façonne ainsi le champ est une mince couche de charges de surface, établie en quelques nanosecondes après la mise sous tension. Cette concentration de chaleur à un endroit étroit est aussi la raison pour laquelle les éléments de fusible ont des étranglements voulus : c'est là qu'ils fondent.

Limites de validité

$R=\rho L/A$ traite le métal comme un milieu continu, avec une résistivité $\rho$ bien définie en chaque point : toutes les dimensions du conducteur doivent donc être très supérieures au libre parcours moyen, environ 40 nm dans le cuivre. Dans les couches minces et dans les interconnexions de puces larges de quelques dizaines de nanomètres, les électrons sont aussi diffusés sur les surfaces et aux joints de grains, et la résistivité atteint deux à trois fois sa valeur dans le matériau massif. Les conducteurs plus courts que le libre parcours moyen sont traversés sans aucune collision, et la résistance prend un caractère quantique : une constriction large de quelques atomes conduit par paliers de $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, soit 12,9 kΩ par canal, quel que soit le métal.

Les résultats supposent aussi un courant permanent. Dans un courant alternatif, le champ magnétique variable à l'intérieur du fil induit un champ électrique qui s'oppose au courant près de l'axe et s'y ajoute près de la surface. Le courant se concentre dans une couche superficielle dont l'épaisseur, l'épaisseur de peau, est
$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega {\mu }_0}}$
où $\omega$ est la pulsation. Pour le cuivre, elle vaut 9,3 mm à 50 Hz, 66 µm à 1 MHz et 2,1 µm à 1 GHz : à haute fréquence, seule une mince peau du fil transporte le courant. Près de $1/(2\pi \tau )\approx 6\mathrm{THz}$, le champ s'inverse en à peu près un temps moyen entre collisions, et c'est l'inertie des électrons, non leurs collisions, qui commence à déterminer leur réponse ; cette réponse à la lumière est ce qui rend les métaux brillants.

La loi d'Ohm exige enfin que l'énergie gagnée par un porteur entre deux collisions soit minuscule. Dans du cuivre parcouru par 1 A par mm², le champ n'est que de 0,017 V/m, et un électron gagne environ $7\times 10^{-10}\mathrm{eV}$ sur un libre parcours, contre l'échelle d'énergie thermique $kT\approx 0,026\mathrm{eV}$ à température ambiante. Dans les champs intenses, cela cesse d'être vrai : les électrons d'un semi-conducteur s'échauffent, et dans le silicium leur vitesse de dérive sature près de $10^{5}m/s$ au lieu de croître avec le champ.

Où cela mène

Circuits en courant continu et loi d'Ohm s'appuie là-dessus : des résistances en série s'additionnent comme des longueurs de fil, et en parallèle elles se comportent comme des voies supplémentaires, de sorte que leurs conductances s'additionnent. Puissance et énergie électriques à la maison suit la chaleur $UI=I^{2}R$ dans les câbles, les fusibles et les bouilloires. Un courant crée un champ magnétique (Champs magnétiques des aimants et des courants), et un champ magnétique dévie les porteurs en dérive (Force magnétique sur une charge en mouvement), ce qui produit une tension de Hall qui révèle $n$ et le signe de $q$. La leçon Semi-conducteurs, diodes et LED apprend à maîtriser $n$ pour réaliser des composants, et Ondes électromagnétiques retrouve la même épaisseur de peau quand une onde radio pénètre dans l'eau de mer. Comme les électrons libres transportent aussi la chaleur, les bons conducteurs électriques sont de bons conducteurs thermiques (Conduction, convection et rayonnement).