विद्युत धारा और प्रतिरोध

विद्युत धारा $I$ वास्तव में क्या है, इलेक्ट्रॉन अपवाह वेग $v_{d}$ से धीरे-धीरे क्यों चलते हैं जबकि संकेत तेज़ी से दौड़ता है, और तार की सामग्री, लंबाई तथा मोटाई उसका प्रतिरोध $R = ρ L / A$ कैसे तय करते हैं।

धातु के तार के भीतर इलेक्ट्रॉन आयनों के बीच टेढ़े-मेढ़े मार्ग पर चलते हुए तार के अनुदिश धीरे-धीरे खिसकते हैं; नीचे, वही वोल्टेज दोगुनी लंबाई वाले तार में आधी धारा और दोगुने अनुप्रस्थ काट वाले तार में दोगुनी धारा प्रवाहित करता है।

इस विषय से पहले: विद्युत क्षेत्र और विभव

शुरुआती

मुख्य विचार

विद्युत धारा आवेश का प्रवाह है; धातु के तार में गतिशील आवेश मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं।
धारा का मात्रक एम्पियर है: 1 A का अर्थ है प्रति सेकंड 1 कूलॉम, इसलिए 5 s में 10 C गुज़रें तो धारा 2 A होती है।
इलेक्ट्रॉन टेढ़े मार्ग पर चलते हुए आयनों से टकराते हैं और केवल धीरे बहते हैं; ये टक्कर ही प्रतिरोध है, जो ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देती है।
एक ही बैटरी से लंबा तार कम धारा और मोटा तार अधिक धारा ले जाता है।
परंपरा के अनुसार धारा + से − की ओर बहती है, जबकि इलेक्ट्रॉन स्वयं − से + की ओर अपवाहित होते हैं।

विद्युत धारा केवल चलते हुए विद्युत आवेश को कहते हैं।

चरण 1: क्या चलता है। धातु में हर परमाणु एक या दो बाहरी इलेक्ट्रॉन छोड़ता है, जो पीछे छूटे परमाणुओं (आयनों) के बीच स्वतंत्र रूप से घूमते हैं। एनिमेशन में बड़ा किया गया तार यह भीड़ दिखाता है: + चिह्नित पीले आयन सुव्यवस्थित पंक्तियों में, और नीले इलेक्ट्रॉन उनके बीच दौड़ते हुए।

चरण 2: धक्का। बिना बैटरी के इलेक्ट्रॉन यादृच्छिक रूप से इधर-उधर दौड़ते हैं और औसतन कहीं नहीं पहुँचते। बैटरी जोड़ें तो सभी को एक ही दिशा में हल्का धक्का मिलता है: वे अब भी टेढ़े-मेढ़े चलते हैं और आयनों से टकराते हैं, पर साथ ही तार के अनुदिश धीरे-धीरे खिसकते भी हैं। घेरे वाले इलेक्ट्रॉन को देखें: उसका मार्ग उलझा है, फिर भी वह दाईं ओर बढ़ता है।

चरण 3: गिनती। धारा एम्पियर में मापी जाती है। 1 एम्पियर का अर्थ है हर सेकंड किसी बिंदु से गुज़रने वाला 1 कूलॉम आवेश, यानी लगभग छह अरब अरब इलेक्ट्रॉन। यदि 5 सेकंड में 10 कूलॉम गुज़रें, तो धारा $10 \div 5 = 2 A$ है।

चरण 4: दिशा। एक पुरानी परंपरा के अनुसार धारा + सिरे से − सिरे की ओर बहती कही जाती है। इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक होते हैं, इसलिए वास्तव में वे विपरीत दिशा में, यानी − से + की ओर, अपवाहित होते हैं।

चरण 5: प्रतिरोध। टक्करें इलेक्ट्रॉनों को रोकती हैं और आयनों को ऊर्जा देती हैं, जो और ज़ोर से कंपन करने लगते हैं: तार गरम हो जाता है। एक ही बैटरी के साथ, दोगुनी लंबाई का तार आधी धारा पास होने देता है; दोगुना मोटा तार दोगुनी धारा। धातुएँ आसानी से विद्युत चालन करती हैं; काँच और प्लास्टिक लगभग नहीं।

इलेक्ट्रॉन घोंघे से भी धीमे रेंगते हैं, फिर भी स्विच दबाते ही लैंप उसी क्षण जल उठता है: तार पहले से ही इलेक्ट्रॉनों से भरा है, और धक्का लगभग प्रकाश की चाल से तार पर आगे बढ़ता है।

स्व-परीक्षण: 10 सेकंड में 30 कूलॉम आवेश गुज़रता है। धारा कितनी है? (उत्तर: 3 A.)

मध्यम

मुख्य विचार

धारा प्रति इकाई समय आवेश है: $I = Q / t$ , और $1 A = 1 C/s \approx 6.2 \times 1 0^{18}$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड।
परंपरागत धारा + से − की ओर, $E$ की दिशा में बहती है; इलेक्ट्रॉन विपरीत दिशा में अपवाहित होते हैं।
$R = V / I$ ओम में; एकसमान तार के लिए $R = ρ L / A$ : $L$ दोगुना करने पर $R$ दोगुना, $A$ दोगुना करने पर प्रतिरोध आधा।
प्रतिरोधकता 20 से अधिक घातों में फैली है: तांबे के लिए $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ , सिलिकॉन के लिए लगभग $1 0^{3}$ , काँच के लिए $1 0^{10}$ या अधिक।
तार में धारा कहीं खर्च नहीं होती, और अपवाह धीमा है: तांबे के 1 mm² में 1 A के लिए लगभग 0.07 mm/s।

क्या बहता है, और किस दिशा में

धातु में हर परमाणु एक या कुछ बाहरी इलेक्ट्रॉन मुक्त करता है, जो क्रिस्टल जालक में स्थिर धन आयनों के बीच स्वतंत्र रूप से घूमते हैं। नमक के पानी और बैटरियों में आवेश वाहक आयन होते हैं। धारा वह आवेश है जो प्रति इकाई समय में चालक के किसी अनुप्रस्थ काट से गुज़रता है:
$I = \frac{Q}{t}$

मात्रक एम्पियर है, $1 A = 1 C/s$ । एक इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ है, इसलिए 1 एम्पियर का अर्थ है हर सेकंड $1/ e \approx 6.2 \times 1 0^{18}$ इलेक्ट्रॉनों का गुज़रना।

परंपरागत धारा उस दिशा में इंगित करती है जिस दिशा में धनात्मक आवेश गति करेगा: बाहरी परिपथ में + से − की ओर, और तार के भीतर विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा में। इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक हैं, इसलिए वे विपरीत दिशा में अपवाहित होते हैं। एनिमेशन में हरा $E$ तीर और लाल-नारंगी धारा तीर $I$ बाईं ओर इंगित करते हैं, जबकि नीला अपवाह वेग $v_{d}$ दाईं ओर: दाईं ओर गतिमान ऋणात्मक आवेश वही धारा ले जाता है जो बाईं ओर गतिमान धनात्मक आवेश ले जाता।

ओम का नियम और धारा-वोल्टेज ग्राफ़

आवेश को बहते रखने वाला धक्का उस अवयव के सिरों के बीच का वोल्टेज $V$ है, यानी हर कूलॉम आवेश द्वारा उसके सिरों के बीच छोड़ी गई ऊर्जा (देखें विद्युत क्षेत्र और विभव); लंबाई $L$ के एकसमान तार में यह विद्युत क्षेत्र $E = V / L$ स्थापित करता है। प्रतिरोध धक्के की तुलना प्रवाह से करता है:
$R = \frac{V}{I}$

इसका मात्रक ओम है, $1 Ω = 1 V/A$ । स्थिर ताप पर किसी धातु के लिए धारा वोल्टेज के समानुपाती होती है, इसलिए $R$ एक स्थिरांक है: यही ओम का नियम है, और $I$ बनाम $V$ का ग्राफ़ मूल बिंदु से गुज़रती, ढाल $1/ R$ वाली सीधी रेखा है। गरम होने पर बल्ब के तंतु की रेखा मुड़ जाती है, और उसका प्रतिरोध दस गुने से भी अधिक बढ़ जाता है; डायोड केवल एक दिशा में चालन करता है। $V / I$ फिर भी हर बिंदु पर उनका प्रतिरोध परिभाषित करता है, पर वह स्थिर नहीं है।

तार का प्रतिरोध किससे तय होता है

तार को एक पंक्ति में जुड़े खंडों और साथ-साथ रखी पट्टियों के रूप में सोचें। हर अतिरिक्त मीटर एक और खंड है जिसमें से धारा को धकेलना होता है, इसलिए $R$ लंबाई $L$ के अनुपात में बढ़ता है; हर अतिरिक्त वर्ग मिलीमीटर एक और पट्टी खोलता है, इसलिए $R$ क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती घटता है। पदार्थ का प्रभाव उसकी प्रतिरोधकता $ρ$ के रूप में आता है:
$R = \frac{ρ L}{A}$

ओम मीटर (Ω·m) में प्रतिरोधकता 1 m लंबे और 1 m² अनुप्रस्थ काट वाले टुकड़े का प्रतिरोध है। एनिमेशन की तालिका इसकी सीमा दिखाती है: तांबा, एक चालक, के लिए $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ ; शुद्ध सिलिकॉन, एक अर्धचालक, के लिए $2.3 \times 1 0^{3} Ω m$ ; और काँच, एक कुचालक, के लिए $1 0^{10}$ से $1 0^{14} Ω m$ : दस की बीस से अधिक घातों का विस्तार। तापन मिश्रधातु नाइक्रोम की प्रतिरोधकता लगभग $1.1 \times 1 0^{- 6} Ω m$ है।

धातु में $ρ$ तापमान के साथ भी बढ़ता है, लगभग $ρ (T) \approx ρ_{0} (1 + α Δ T)$ के अनुसार, जहाँ $ρ_{0}$ 20 °C पर मान है और $Δ T$ उससे ऊपर की वृद्धि। तांबे के लिए $α = 3.9 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ है, यानी प्रति केल्विन लगभग 0.4 %। अर्धचालक में इसके विपरीत $ρ$ घटता है, क्योंकि ऊष्मा और अधिक आवेश वाहक मुक्त कर देती है।

उदाहरण: एनिमेशन के तीन तार

एनिमेशन के तीनों तारों पर एक ही 2.0 V लगा है। मान लें कि ऊपर वाला, संदर्भ तार, 1.0 m लंबा नाइक्रोम है जिसका अनुप्रस्थ काट $0.55 m m^{2} = 0.55 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ है, यानी व्यास लगभग 0.84 mm। तब
$R = \frac{ρ L}{A} = \frac{1.1 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 1.0}{0.55 \times 1 0 ^{- 6}} = 2.0 Ω$
$I = \frac{V}{R} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 A$

यही वे 2 Ω और 1.0 A हैं जो उसके बगल में लिखे हैं। हर नीला बिंदु एक कूलॉम का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए हर सेकंड एक बिंदु तार से निकलता है, और 12 s के चक्र में उसका काउंटर लगातार बढ़कर $Q = I t = 1.0 \cdot 12 = 12 C$ तक पहुँचता है, यानी लगभग $7.5 \times 1 0^{19}$ इलेक्ट्रॉन।

बीच वाला तार दोगुना लंबा है: $R = 4.0 Ω$ , $I = 0.50 A$ , और उसका काउंटर 6 C तक पहुँचता है। वही 2.0 V 2.0 m पर फैला है, इसलिए विद्युत क्षेत्र आधा होकर 1.0 V/m रह जाता है और उसके बिंदु आधी चाल से चलते हैं। नीचे वाले तार का अनुप्रस्थ काट दोगुना है: $R = 1.0 Ω$ , $I = 2.0 A$ , 12 s बाद 24 C; उसका विद्युत क्षेत्र अपरिवर्तित है, इसलिए उसके बिंदु संदर्भ तार जितनी ही चाल से चलते हैं, पर दो पट्टियों में।

इलेक्ट्रॉन कितनी तेज़ी से अपवाहित होते हैं

अब आवेश वाहकों की गिनती करें। प्रति घन मीटर $n$ वाहक हों, हर एक पर आवेश $q$ हो और वह चाल $v_{d}$ से बहता हो, तो अनुप्रस्थ काट से वाहकों की गति की विपरीत दिशा में दूरी $v_{d} t$ के भीतर का हर वाहक समय $t$ में उसे पार कर जाता है: आयतन $A v_{d} t$ में $n A v_{d} t$ वाहक होते हैं। उनके आवेश को $t$ से भाग देने पर धारा मिलती है:
$I = n A v_{d} q$

तांबे में प्रति परमाणु लगभग एक मुक्त इलेक्ट्रॉन है, $n = 8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ । 1 mm² के तार में 1 A के लिए,
$v_{d} = \frac{I}{n A e} = \frac{1.0}{8.5 \times 1 0 ^{28} \cdot 1 0 ^{- 6} \cdot 1.602 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 7.3 \times 1 0^{- 5} m/s$
लगभग 0.07 mm/s, यानी प्रति घंटे 26 cm।

फिर भी इलेक्ट्रॉन लगभग 16 लाख m/s की चाल से इधर-उधर दौड़ते हैं; अपवाह उस यादृच्छिक गति पर एक छोटा-सा झुकाव है। बड़े किए गए तार का घेरे वाला इलेक्ट्रॉन दोनों दिखाता है: तेज़ टेढ़ी-मेढ़ी गति और दाईं ओर धीमी प्रगति। पर असली तांबे में टेढ़ी-मेढ़ी गति अपवाह से दस अरब गुना से भी अधिक तेज़ है, न कि एनिमेशन की तरह सात गुना। फिर भी लैंप तुरंत जल जाता है, क्योंकि तार पहले से इलेक्ट्रॉनों से भरा है, और उन्हें गति देने वाला विद्युत क्षेत्र प्रकाश की चाल के बड़े अंश से फैलता है।

उदाहरण: एक्सटेंशन केबल

10 m के एक्सटेंशन केबल में 1.5 mm² के दो तांबे के तार हैं; धारा एक से बाहर जाती है और दूसरे से लौटती है, यानी 20 m तांबे से होकर। उससे जुड़ी केतली 10 A खींचती है। $A = 1.5 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ लेकर,
$R = \frac{ρ L}{A} = \frac{1.7 \times 1 0 ^{- 8} \cdot 20}{1.5 \times 1 0 ^{- 6}} \approx 0.23 Ω$
$V = I R = 10 \cdot 0.23 \approx 2.3 V$
यह 230 V मेन्स का केवल 1% है, पर 10 A पर केबल में लगभग 23 W ऊष्मा बनती है (शक्ति = वोल्टेज × धारा)। 20 m में फैली होने पर यह हानिरहित है, पर ड्रम पर लिपटी केबल में खतरनाक।

अपवाह चाल है
$v_{d} = \frac{I}{n A e} = \frac{10}{8.5 \times 1 0 ^{28} \cdot 1.5 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 1.602 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 4.9 \times 1 0^{- 4} m/s$
अर्थात प्रति सेकंड आधा मिलीमीटर: स्थिर धारा को उन 20 m में एक इलेक्ट्रॉन को ले जाने में लगभग 11 घंटे लगेंगे। मेन्स धारा हर सेकंड 100 बार (50 Hz) दिशा बदलती है, इसलिए हर इलेक्ट्रॉन बस दो-एक माइक्रोमीटर आगे-पीछे खिसकता है, जबकि ऊर्जा केतली तक तुरंत पहुँच जाती है।

सामान्य गलतियाँ

धारा खर्च नहीं होती: लैंप में जाने वाली और उससे निकलने वाली धारा एक ही है; संदर्भ तार के दोनों सिरों पर 1.0 A है। लैंप जो लेता है, वह ऊर्जा है।
इलेक्ट्रॉन लैंप तक दौड़कर नहीं पहुँचते: 1 mm² तांबे में 1 A के लिए वे लगभग 0.07 mm/s से अपवाहित होते हैं। केवल उन्हें गति देने वाला विद्युत क्षेत्र तेज़ी से फैलता है।
मोटा तार कम प्रतिरोध वाला होता है, अधिक वाला नहीं: अनुप्रस्थ काट दोगुना करने से $R$ आधा होता है, एनिमेशन में 2 Ω से 1 Ω।
$R = V / I$ लिखने से प्रतिरोध वोल्टेज पर निर्भर नहीं हो जाता: ओमीय तार में $V$ दोगुना करने पर $I$ भी दोगुना होता है, और संदर्भ तार 2 Ω पर ही रहता है।
क्षेत्रफल बदलते समय $1 m m^{2} = 1 0^{- 6} m^{2}$ का प्रयोग करें, $1 0^{- 3}$ का नहीं: गलत गुणक नाइक्रोम तार के 2.0 Ω को 0.0020 Ω बना देगा।

यह कहाँ दिखता है

घरेलू वायरिंग में तांबा प्रयोग होता है, जबकि ऊपरी बिजली लाइनों में एल्युमिनियम, जिसकी प्रतिरोधकता लगभग 1.6 गुना अधिक है पर जो कहीं हल्का है। टोस्टर और हीटर नाइक्रोम प्रयोग करते हैं, जिसकी प्रतिरोधकता अधिक है और जो तापमान के साथ बहुत कम बदलती है। प्रतिरोध तापमापी $ρ (T)$ के माध्यम से तापमान पढ़ते हैं। आगे, दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकों को जोड़ता है, घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा उनसे उत्पन्न ऊष्मा का हिसाब रखती है, और चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र हर धारा के चारों ओर का चुंबकीय क्षेत्र दिखाते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

यादृच्छिक टक्करों के बीच आवेश प्रति सेकंड $F / m$ वेग जोड़ता है; पिछली टक्कर से औसत समय $τ$ है, अतः $v_{d} = F τ / m$ , न कि उसका आधा।
वाहकों की गिनती से $I = n A v_{d} q$ ; $F = qE$ से $J = σ E$ , $σ = n q^{2} τ / m$ और $ρ = 1/ σ$ ।
$V = E L$ और $I = J A$ से $R = ρ L / A$ : $L$ में सीधी रेखा, $A$ में अतिपरवलय।
पूर्णतः क्रमित क्रिस्टल पूर्ण चालक होगा: जालक कंपन और दोष प्रतिरोध पैदा करते हैं, इसलिए धातु का $ρ$ $T$ के साथ बढ़ता है।
$R = ρ L / A$ औसत मुक्त पथ (तांबे में लगभग 40 nm) से छोटे आकार पर और उच्च आवृत्ति पर विफल होता है, जहाँ त्वचा प्रभाव धारा को बाहरी सतह की ओर धकेलता है।

धारा घनत्व और आवेश संरक्षण

धारा $I$ बताती है कि हर सेकंड कितना आवेश पूरी काट से गुज़रता है, पर यह नहीं बताती कि यह प्रवाह उस पर कैसे फैला है। धारा घनत्व $J$ यह बताता है। उसका परिमाण प्रवाह के लंबवत इकाई क्षेत्रफल पर धारा है, A/m² में, और उसकी दिशा वही है जिस ओर धनात्मक आवेश बहता है। इसे आवेश वाहकों से जोड़ने के लिए हम गिनते हैं कि एक छोटे समय में सतह के एक छोटे पटल से कितने वाहक गुज़रते हैं।

चित्र 1 ऐसे एक पटल को किनारे से दिखाता है: $d A$ लिखी रेखा, उसका क्षेत्रफल। यह बताने के लिए कि पटल किस ओर मुँह करता है, हम उसे एक सदिश $d A$ देते हैं, जिसकी लंबाई $d A$ है और जो पटल के लंबवत है। वाहक, प्रति इकाई आयतन $n$ और हर एक पर आवेश $q$ , बिंदुओं से दर्शाए गए हैं। औसतन वे अपवाह वेग $v_{d}$ से चलते हैं, जो $d A$ से कोण $θ$ बनाता है। उनकी तेज़ यादृच्छिक गति पटल के आर-पार हर दिशा में समान संख्या में वाहक ले जाती है, इसलिए केवल अपवाह ही गिना जाता है।

छोटे समय $d t$ में हर वाहक $v_{d} d t$ चलता है। अतः उस समय में पटल को पार करने वाले वाहक ठीक वे हैं जो नीचे की तिरछी पट्टी में शुरू होते हैं: इससे दूर का कोई वाहक समय पर नहीं पहुँच सकता। पट्टी के दोनों पक्ष देखें। इसका तिरछा किनारा, जो अपवाह के अनुदिश है, $v_{d} d t$ लंबा है, पर पटल के लंबवत इसकी ऊँचाई केवल $v_{d} d t cos θ$ है। एक तिरछी पट्टी का आयतन उसी आधार और ऊँचाई वाली सीधी पट्टी के बराबर होता है, इसलिए
$d V = d A v_{d} d t cos θ$
पट्टी में आवेश $n q d V$ है, और वह सारा $d t$ के भीतर पटल को पार करता है। $d t$ से भाग देने पर पटल से गुज़रती धारा मिलती है:
$d I = n q v_{d} cos θ d A = J \cdot d A, J = n q v_{d}$
कारक $cos θ$ ठीक वही है जो एक डॉट गुणनफल देता है। पूरी सतह के सभी पटलों को जोड़ने पर उससे गुज़रती धारा मिलती है:
$I = \int J \cdot d A$
किसी काट $A$ के आर-पार एकसमान प्रवाह के लिए हर जगह $θ = 0$ है, समाकलन केवल $J A$ है, और
$I = n A v_{d} q$

चित्र 1 धनात्मक वाहकों, $q > 0$ , के लिए बना है, जहाँ $J$ और $v_{d}$ एक ही दिशा में हैं। इलेक्ट्रॉनों के लिए $q = - e$ है, इसलिए $J$ , $v_{d}$ के विपरीत है: परंपरागत धारा एक दिशा में बहती है, जबकि इलेक्ट्रॉन दूसरी दिशा में अपवाहित होते हैं।

अब एक बंद सतह लें, जैसे किसी संधि के चारों ओर का बक्सा, जिसके हर $d A$ बाहर की ओर हों। आवेश संरक्षित रहता है: वह न तो प्रकट हो सकता है, न लुप्त। अतः सतह से बाहर बहने वाली धारा उसके भीतर के आवेश $Q$ से आनी चाहिए, जो उसी दर से घटता है:
$\oint J \cdot d A = - \frac{d Q}{d t}$
स्थायी अवस्था में कहीं भी कुछ जमा नहीं होता, इसलिए $d Q / d t = 0$ : किसी भी बंद सतह में जितनी धारा प्रवेश करती है, उतनी ही बाहर निकलती है। तार के दो काटों के बीच के टुकड़े पर लागू करने पर यह कहता है कि तार का आकार चाहे जैसा हो, हर काट से वही धारा गुज़रती है, इसलिए धारा कभी खर्च नहीं होती। तारों के संधि-बिंदु पर लागू करने पर यह परिपथों का संधि नियम बन जाता है।

यादृच्छिक टक्करों से अपवाह

स्थिर विद्युत क्षेत्र हर वाहक पर स्थिर बल लगाता है, फिर भी धारा स्थिर है: वाहक सदा के लिए तेज़ नहीं होते। टक्करें उन्हें रोकती हैं। द्रव्यमान $m$ का वाहक क्षेत्र से बल $F = q E$ और टक्करों से होने वाले संक्षिप्त यादृच्छिक झटके महसूस करता है। 1900 में ड्रूड के मॉडल में इसे तीन मान्यताओं से वर्णित किया गया है, जहाँ $τ$ , माध्य मुक्त काल, दो टक्करों के बीच का औसत समय है।

दो टक्करों के बीच वाहक मुक्त रूप से चलता है, $F / m$ से त्वरित होकर।
हर टक्कर उसे एक यादृच्छिक दिशा में भेजती है, और उसे पहले की गति याद नहीं रहती।
टक्करें यादृच्छिक रूप से होती हैं, हर छोटे समय $d t$ में $d t / τ$ की समान संभावना के साथ, पहले क्या हुआ उससे स्वतंत्र।

अब एक क्षण में सभी वाहकों को देखें। हर वाहक के वेग के दो भाग हैं। पहला वह वेग है जिससे वह अपनी अंतिम टक्कर से निकला: यादृच्छिक, इसलिए अनेक वाहकों पर औसत शून्य। दूसरा वह है जो उस टक्कर के बाद से बल ने जोड़ा है: $F / m$ गुना बीता समय। अतः औसत वेग, यानी अपवाह, अंतिम टक्कर से बीते औसत समय का $F / m$ गुना है।

यह औसत क्या है? चूँकि टक्करों को स्मृति नहीं होती, किसी भी छोटे अंतराल में टक्कर की संभावना $d t / τ$ होती है, चाहे हम समय को आगे चलाएँ या पीछे। इसलिए किसी भी क्षण से पीछे देखें तो अंतिम टक्कर से बीते समय के सांख्यिकीय गुण उस प्रतीक्षा के समान हैं जो अगली टक्कर तक होगी, और उसका औसत भी $τ$ है। अतः
$v_{d} = \frac{F τ}{m}$
और विद्युत क्षेत्र $E$ में इलेक्ट्रॉन के लिए, $F = e E$ के साथ,
$v_{d} = \frac{e E τ}{m}$

लंबी उड़ानों का प्रभुत्व क्यों

यह परिणाम एक संदेह जगाता है: एक उड़ान के दौरान अतिरिक्त वेग शून्य से $Ft / m$ तक बढ़ता है, तो क्या अपवाह $F τ / m$ का आधा नहीं होना चाहिए? होता, यदि हर उड़ान ठीक $τ$ तक चलती। पर ऐसा नहीं होता: टक्करें यादृच्छिक होने से उड़ान की अवधि $t$ फैली हुई होती है, जिसका प्रायिकता घनत्व $p (t) = e^{- t / τ} / τ$ है। सभी उड़ानों में से $p (t) d t$ भाग की अवधि $t$ और $t + d t$ के बीच होती है।

चित्र 2 का ऊपरी ग्राफ़ यही घनत्व है। यह सबसे छोटी उड़ानों पर सबसे ऊँचा है और लगातार घटता है, और इसका माध्य $τ$ है। फिर भी अधिकांश उड़ानें माध्य से छोटी हैं: $τ$ से लंबी उड़ानें, यानी छायांकित भाग, सभी उड़ानों का केवल $1/ e$ , लगभग 37%, हैं।

अब हर उड़ान को उससे मिली आगे की दूरी से भारित करें। शून्य अतिरिक्त वेग से शुरू होकर, अवधि $t$ की उड़ान वाहक को $\frac{1}{2} (F / m) t^{2} = (F /2 m) t^{2}$ आगे ले जाती है, इसलिए दोगुनी लंबी उड़ान चार गुनी दूरी जोड़ती है। नीचे का ग्राफ़ $t^{2} p (t)$ दिखाता है: अवधि $t$ की उड़ानें कितनी आम हैं, गुणा हर एक का योगदान। यह $2 τ$ पर शिखर पर है, जो माध्य से काफ़ी आगे है, और इसका अधिकांश क्षेत्रफल छायांकित भाग में है: $τ$ से लंबी उड़ानें आगे की दूरी का लगभग 92% देती हैं। कुछ लंबी उड़ानें लगभग सारा काम करती हैं, क्योंकि वे अधिक समय तक गति जुटाती हैं। $F τ / m$ का आधा लेना मानता है कि हर उड़ान समान लंबी थी, और इसी बात को अनदेखा कर देता है।

अपवाह प्रति उड़ान आगे की औसत दूरी को उड़ान की औसत अवधि से भाग देने पर मिलता है:
$v_{d} = \frac{F}{2 m} \frac{t ^{2}}{t} = \frac{F}{2 m} \frac{2 τ ^{2}}{τ} = \frac{F τ}{m}$
यहाँ $\overline{t} = τ$ $p (t)$ का माध्य है, और $\overline{t^{2}} = 2 τ^{2}$ नीचे वाले वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है: यादृच्छिक टक्करों के लिए $t^{2}$ का माध्य, माध्य के वर्ग का दोगुना होता है। उड़ानों के आरंभिक यादृच्छिक वेग औसत में कुछ नहीं जोड़ते, इसलिए यही पूरा अपवाह है, और यह ऊपर के परिणाम से मेल खाता है।

एनिमेशन में बड़ा किया गया तार भी यही नियम मानता है। हर मुक्त उड़ान दाईं ओर मुड़ती एक छोटी परवलय है; माध्य मुक्त काल 12/45 ≈ 0.27 s और त्वरण 22.5 इकाई/s² के साथ अपवाह $a τ = 22.5 \cdot 12/45 = 6$ इकाई प्रति सेकंड है।

ओम का नियम, प्रतिरोधकता और प्रतिरोध

अपवाह ज्ञात होने पर धारा घनत्व उसी से निकलता है। आवेश $q$ वाले वाहकों के लिए बल $F = qE$ है, इसलिए $v_{d} = qE τ / m$ और
$J = n q v_{d} = \frac{n q ^{2} τ}{m} E$
धारा घनत्व विद्युत क्षेत्र के समानुपाती है। यही ओम के नियम का स्थानीय रूप है, जो धातु में हर बिंदु पर सत्य है। समानुपात का स्थिरांक चालकता $σ$ है, और उसका व्युत्क्रम प्रतिरोधकता $ρ$ ; इलेक्ट्रॉनों के लिए, $q^{2} = e^{2}$ के साथ,
$J = σ E$
$ρ = \frac{1}{σ} = \frac{m}{n e ^{2} τ}$
चूँकि आवेश वर्ग रूप में आता है, धनात्मक और ऋणात्मक वाहक एक ही चालकता देते हैं: $σ$ के माप से वाहकों का चिह्न पता नहीं चल सकता।

तांबे पर जाँचें। $n = 8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ और $τ = 2.5 \times 1 0^{- 14} s$ लेने पर सूत्र तांबे की मापी गई $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ देता है। यह मेल जितना दिखता है उतना प्रभावशाली नहीं: $τ$ सीधे नहीं मापा जा सकता, इसे उसी प्रतिरोधकता से निकाला गया था। मॉडल नियम का रूप समझाता है, यानी विद्युत क्षेत्र के समानुपाती धारा, पर $ρ$ का परिमाण नहीं।

अब एक बिंदु से पूरे तार तक जाएँ। लंबाई $L$ और काट $A$ के एकसमान तार में क्षेत्र हर जगह समान है, इसलिए तार के सिरों पर वोल्टेज $V = E L$ है और धारा $I = J A$ । $E = V / L$ और $J = I / A$ को $J = σ E$ में रखने पर $I / A = V / (ρ L)$ आता है, यानी $V = (ρ L / A) I$ । अतः
$R = \frac{ρ L}{A}$
यह अनुमान नहीं, बल्कि व्युत्पन्न है।

एनिमेशन के विशेषज्ञ स्तर के दो ग्राफ़ इसके दो पहलू दिखाते हैं, मध्यम स्तर के संदर्भ तार का उपयोग करके: नाइक्रोम, 1.0 m लंबा और 0.55 mm² काट का, यानी 2 Ω, 2.0 V पर 1.0 A धारा के साथ। लंबाई के सापेक्ष $R$ मूल बिंदु से गुज़रती, ढाल $ρ / A$ वाली सीधी रेखा है: संदर्भ तार $L_{0}$ और 2 Ω पर है, दोगुना लंबा तार $2 L_{0}$ और 4 Ω पर। क्षेत्रफल के सापेक्ष $R$ एक अतिपरवलय है, क्योंकि $R A = ρ L$ स्थिर रहता है: संदर्भ तार $A_{0}$ और 2 Ω पर, मोटा तार $2 A_{0}$ और 1 Ω पर। यह अतिपरवलय घटते लाभ दिखाता है: काट दोगुना करने से 1 Ω बचता है, पर $3 A_{0}$ तक जाने से केवल 0.33 Ω और बचता है, जबकि काट शून्य की ओर जाने पर $R$ अनंत की ओर जाता है।

ऊर्जा कहाँ जाती है

टक्करों के बीच विद्युत क्षेत्र हर वाहक पर कार्य करता है और उसे तेज़ करता है। हर टक्कर पर वाहक यह ऊर्जा आयन जालक को सौंपता है, जो और ज़ोर से कंपन करने लगता है: तार गरम होता है। औसतन क्षेत्र हर वाहक को शक्ति $F \cdot v_{d} = q E \cdot v_{d}$ देता है, और प्रति इकाई आयतन $n$ वाहक होते हैं, इसलिए प्रति इकाई आयतन प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा है
$p = J \cdot E = σ E^{2} = ρ J^{2}$
एकसमान तार में, उसके आयतन $A L$ से गुणा करने पर $(J A) (E L) = I V$ आता है, जो परिचित विद्युत शक्ति है।

संदर्भ तार के लिए $E = 2.0 V/m$ और $J = 1.0/ (0.55 \times 1 0^{- 6}) \approx 1.8 \times 1 0^{6} A/ m^{2}$ , इसलिए $p = J E \approx 3.6 \times 1 0^{6} W/ m^{3}$ । तार में 0.55 cm³ धातु है, इसलिए वह कुल 2.0 W उत्पन्न करता है, जो $I V = 1.0 \cdot 2.0 W$ के बराबर है।

ऊर्जा भीतर कैसे आती है

यह ऊर्जा तार के हर भाग तक कैसे पहुँचती है? तार के भीतर से होकर नहीं: वाहक अपनी ऊर्जा वहीं, जहाँ वे हैं, जालक को सौंप देते हैं। यह तार की सतह से भीतर आती है, जिसे उसके चारों ओर के अंतरिक्ष में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र ले जाते हैं।

चित्र 3 में त्रिज्या $a$ और लंबाई $L$ का एक तार दिखाया गया है, जिसमें धारा $I$ दाईं ओर बह रही है। इसके चारों ओर दो क्षेत्र हैं। पहला है सतह के ठीक बाहर का विद्युत क्षेत्र $E$ , जो तार के अनुदिश है। यह इसलिए मौजूद है क्योंकि किसी क्षेत्र का वह भाग जो सतह के समांतर है, उसके दोनों ओर समान रहता है, अतः भीतर धारा चलाने वाला क्षेत्र बाहर तक जारी रहता है। (सतह आवेश एक ऐसा भाग जोड़ सकते हैं जो सतह के लंबवत है; वह भाग ऊर्जा को तार के अनुदिश ले जाता है, तार के भीतर नहीं।) दूसरा है धारा का चुंबकीय क्षेत्र $B$ , जो दाएँ-हाथ के नियम से तार के चारों ओर घूमता है और सतह पर $B = μ_{0} I / (2 πa)$ परिमाण का होता है।

जहाँ दोनों क्षेत्र मौजूद हों, वहाँ विद्युत चुंबकीय ऊर्जा बहती है। उसका फ़्लक्स, यानी प्रति इकाई क्षेत्रफल से प्रति सेकंड गुज़रती ऊर्जा, $S = E \times B / μ_{0}$ है, जो दोनों क्षेत्रों के लंबवत है। दिशाएँ चित्र से पढ़ें। तार के ऊपरी भाग पर $E$ उसके अनुदिश है और $B$ आपकी ओर, इसलिए $S$ नीचे, तार के भीतर की ओर है। नीचे $B$ आपसे दूर है, और $S$ ऊपर, फिर से तार के भीतर की ओर। चारों ओर ऊर्जा सतह से सीधी भीतर आती है। चूँकि $E$ और $B$ लंबवत हैं, और सतह का क्षेत्रफल $2 πa L$ है,
$S = \frac{EB}{μ _{0}} = \frac{E I}{2 πa}, S \cdot 2 πa L = E L I = V I$
क्योंकि $E L = V$ : अंतर्वाह ठीक भीतर उत्पन्न ऊष्मा के बराबर है। संदर्भ तार के लिए $a \approx 0.42 mm$ और $S \approx 760 W/ m^{2}$ है, और लगभग $2.6 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ सतह पर यह ठीक 2.0 W ऊष्मा है। बैटरी की ऊर्जा परिपथ के चारों ओर के अंतरिक्ष से होकर यात्रा करती है; तार उसे मार्ग देते हैं और ग्रहण करते हैं।

इलेक्ट्रॉनों को वास्तव में क्या बिखेरता है

ड्रूड ने इलेक्ट्रॉनों को हर आयन से टकराकर उछलते हुए कल्पित किया था। यह चित्र गलत है, और इसे सुधारने से समझ आता है कि प्रतिरोध तापमान और शुद्धता पर कैसे निर्भर करता है। पहले, तांबे के इलेक्ट्रॉन धीमे नहीं होते। अपवर्जन सिद्धांत हर क्वांटम अवस्था में केवल एक इलेक्ट्रॉन की अनुमति देता है, इसलिए वे परम शून्य ताप पर भी लगभग $1.6 \times 1 0^{6} m/s$ की फर्मी चाल तक की अवस्थाएँ भर देते हैं। उनका माध्य मुक्त पथ, यानी टक्करों के बीच की दूरी, तब $ℓ = v_{F} τ \approx 39 nm$ है, यानी लगभग 150 आयन-अंतराल: इलेक्ट्रॉन बिना बिखरे कई आयनों के पास से गुज़र जाता है।

कारण यह है कि इलेक्ट्रॉन एक तरंग है। पूर्णतः आवर्ती जालक में, अलग-अलग आयनों द्वारा बिखेरी गई तरंगें मिलकर इलेक्ट्रॉन को सीधा आगे ले जाती हैं। पूर्ण क्रिस्टल में कोई प्रतिरोध नहीं होता।

केवल पूर्ण आवर्तिता से विचलन इलेक्ट्रॉनों को बिखेरते हैं, और उनकी बिखराव दरें जुड़ती हैं (मैथिसन का नियम)। जालक कंपन ताप के साथ बढ़ते हैं। अशुद्धियाँ और दोष ऐसा नहीं करते, और सबसे निम्न तापमान पर भी एक अवशिष्ट प्रतिरोधकता छोड़ते हैं। कक्ष ताप के निकट कंपन वाला भाग लगभग परम तापमान $T$ के समानुपाती है, और $T$ के समानुपाती प्रतिरोधकता प्रति केल्विन $1/ T$ के भिन्न से बदलती है। इसीलिए तांबे का तापमान गुणांक $α = 3.9 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ , $1/ (293 K) = 3.4 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ के निकट है, और $ρ (T) \approx ρ_{0} (1 + α Δ T)$ 20 °C के आसपास $ρ (T)$ का केवल रैखिक पद है। ठंडा करने पर कंपन समाप्त होते हैं और $ρ$ अवशिष्ट मान पर स्थिर हो जाता है: 4 K पर बहुत शुद्ध तांबा कक्ष ताप की तुलना में सौ से हज़ार गुना बेहतर चालन करता है।

अन्य दो प्रकार के पदार्थ बिल्कुल अलग व्यवहार करते हैं। अर्धचालक में ऊष्मा इलेक्ट्रॉनों को चालन अवस्थाओं में उठाती है, इसलिए $n$ तेज़ी से बढ़ता है और गरम होने पर $ρ$ घटता है। क्रांतिक ताप (पारे के लिए लगभग 4.2 K) से नीचे अतिचालक का प्रतिरोध ठीक शून्य होता है। इसके इलेक्ट्रॉन एक सामूहिक क्वांटम अवस्था बनाते हैं, जो बिना बिखराव के धारा ले जाती है: यह पदार्थ की एक नई अवस्था है, टक्करें घटते जाने की सीमा नहीं।

उदाहरण: धीरे-धीरे मोटा होता तार

$R = ρ L / A$ एकसमान तार के लिए मान्य है। यदि अनुप्रस्थ काट लंबाई के साथ बदले तो? संदर्भ तार लें (नाइक्रोम, 1.0 m, अतः $ρ / A_{0} = 2.0 Ω/ m$ ) और उसे एक सिरे पर $A_{0}$ से दूसरे सिरे पर $2 A_{0}$ तक लगातार चौड़ा होने दें, $A (x) = A_{0} (1 + x / L)$ , जिसके आर-पार 2.0 V है। उसका प्रतिरोध मोटे तार के 1 Ω और संदर्भ तार के 2 Ω के बीच होना चाहिए, पर कहाँ?

चित्र 4 तार को पतले टुकड़ों में काटता है (तार और टुकड़े वास्तविकता से कहीं मोटे बनाए गए हैं)। पतले सिरे से दूरी $x$ पर टुकड़े की मोटाई $d x$ और अनुप्रस्थ काट $A (x)$ है। इतना पतला टुकड़ा एक छोटा एकसमान तार है, जिसका प्रतिरोध $d R = ρ d x / A (x)$ है। वही धारा $I$ एक के बाद एक टुकड़े से गुज़रती है, इसलिए टुकड़े श्रेणी में हैं और उनके प्रतिरोध जुड़ते हैं।

तार के नीचे का ग्राफ़ इस योग को एक क्षेत्रफल में बदल देता है। उसका वक्र प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध $ρ / A (x)$ है, जो पतले सिरे पर $ρ / A_{0}$ से मोटे सिरे पर $ρ /2 A_{0}$ तक घटता है। वक्र के नीचे की गहरी पट्टी की ऊँचाई $ρ / A (x)$ और चौड़ाई $d x$ है, इसलिए उसका क्षेत्रफल उस टुकड़े का $d R$ है। सारी पट्टियाँ जोड़ने पर वक्र के नीचे का पूरा क्षेत्रफल मिलता है, जो तार का प्रतिरोध $R$ है। $u = 1 + x / L$ लेने पर, ताकि $d x = L d u$ ,
$R = \int_{0}^{L} \frac{ρ d x}{A _{0} ( 1 + x / L )} = \frac{ρ L}{A _{0}} \int_{1}^{2} \frac{d u}{u} = \frac{ρ L}{A _{0}} ln 2$
$R = 2.0 \cdot 0.693 \approx 1.39 Ω$

इसलिए धारा $I = 2.0/1.386 \approx 1.44 A$ है। दो लुभावने शॉर्टकट दोनों विफल होते हैं। दोनों प्रतिरोधों का औसत 1.5 Ω देता है, जो बहुत अधिक है, क्योंकि वक्र अपने सिरों को जोड़ने वाली सीधी रेखा के नीचे झुकता है। औसत क्षेत्रफल $1.5 A_{0}$ लेने पर 1.33 Ω मिलता है, जो बहुत कम है, क्योंकि टुकड़े $1/ A$ के रूप में जुड़ते हैं, और $1/ A$ का माध्य, $A$ के माध्य के व्युत्क्रम के बराबर नहीं होता। यहाँ टुकड़ों का चित्र स्वयं सुरक्षित है, क्योंकि तार धीरे-धीरे चौड़ा होता है: पूरे एक मीटर में उसका व्यास केवल 0.84 mm से 1.18 mm तक बढ़ता है, इसलिए हर टुकड़े की धारा लगभग तार के अनुदिश सीधी बहती है।

हर टुकड़े में धारा समान है, इसलिए विद्युत क्षेत्र को क्षेत्रफल का अनुसरण करना होगा: $E (x) = ρ I / A (x)$ पतले सिरे पर 2.9 V/m और मोटे सिरे पर 1.4 V/m है, और 2.0 V में से 1.17 V, यानी 58 %, पतले आधे भाग पर गिरता है। पतले सिरे पर अपवाह मोटे सिरे की तुलना में दोगुना तेज़ है, और वहाँ प्रति इकाई लंबाई ऊष्मा दोगुनी और प्रति इकाई आयतन चौगुनी है। विद्युत क्षेत्र को इस प्रकार आकार देने वाली चीज़ सतह आवेश की एक पतली परत है, जो स्विच ऑन होते ही नैनोसेकंड के भीतर बन जाती है। संकरे भाग पर ऊष्मा के इसी संकेंद्रण के कारण फ़्यूज़ के तत्वों में जानबूझकर संकरी गर्दन बनाई जाती है: वहीं वे पिघलते हैं।

वैधता की सीमाएँ

$R = ρ L / A$ धातु को एक सतत माध्यम मानता है, जिसमें हर बिंदु पर एक निश्चित $ρ$ है, इसलिए चालक का हर आयाम औसत मुक्त पथ (तांबे में लगभग 40 nm) से कहीं बड़ा होना चाहिए। कुछ दसियों नैनोमीटर चौड़ी पतली फ़िल्मों और चिप के इंटरकनेक्ट में इलेक्ट्रॉन सतहों और कणों की सीमाओं पर भी बिखरते हैं, और प्रतिरोधकता अपने स्थूल मान से दो-तीन गुना बढ़ जाती है। औसत मुक्त पथ से छोटे चालक बिना किसी टक्कर के पार हो जाते हैं, और प्रतिरोध एक क्वांटम स्वरूप ले लेता है: कुछ परमाणु चौड़ा संकुचन $2 e^{2} / h \approx 7.75 \times 1 0^{- 5} S$ के चरणों में चालन करता है, प्रति चैनल 12.9 kΩ, धातु चाहे जो हो।

ये परिणाम स्थिर धारा भी मानते हैं। प्रत्यावर्ती धारा में तार के भीतर बदलता चुंबकीय क्षेत्र एक विद्युत क्षेत्र प्रेरित करता है, जो अक्ष के निकट धारा का विरोध करता है और सतह के निकट उसमें जुड़ता है। धारा एक सतही परत में सिमट जाती है, जिसकी मोटाई, त्वचा गहराई, है
$δ = \frac{2 ρ}{ω μ _{0}}$
जहाँ $ω$ कोणीय आवृत्ति है। तांबे के लिए यह 50 Hz पर 9.3 mm, 1 MHz पर 66 µm और 1 GHz पर 2.1 µm है, इसलिए उच्च आवृत्ति पर तार की केवल पतली त्वचा धारा ले जाती है। $1/ (2 π τ) \approx 6 THz$ के आसपास क्षेत्र लगभग एक मुक्त काल में उलट जाता है, और तब इलेक्ट्रॉनों की जड़ता, न कि उनकी टक्करें, उनकी प्रतिक्रिया तय करने लगती है; प्रकाश के प्रति यही प्रतिक्रिया धातुओं को चमकदार बनाती है।

ओम का नियम यह भी मानता है कि टक्करों के बीच वाहक को मिलने वाली ऊर्जा बहुत छोटी हो। 1 A प्रति mm² वहन करने वाले तांबे में विद्युत क्षेत्र केवल 0.017 V/m है, और एक इलेक्ट्रॉन एक मुक्त पथ में लगभग $7 \times 1 0^{- 10} eV$ ऊर्जा पाता है, जबकि कक्ष ताप पर ऊष्मीय ऊर्जा का पैमाना $k T \approx 0.026 eV$ है। प्रबल क्षेत्रों में यह विफल हो जाता है: अर्धचालक के इलेक्ट्रॉन गरम हो जाते हैं, और सिलिकॉन में उनका अपवाह वेग क्षेत्र के साथ बढ़ने के बजाय $1 0^{5} m/s$ के आसपास संतृप्त हो जाता है।

इससे आगे

दिष्ट धारा परिपथ और ओम का नियम इसी पर आधारित है: श्रेणी में जुड़े प्रतिरोधक तार की लंबाइयों की तरह जुड़ते हैं, और समांतर में वे अतिरिक्त पट्टियों की तरह काम करते हैं, इसलिए उनकी चालकताएँ जुड़ती हैं। घर में विद्युत शक्ति और ऊर्जा $V I = I^{2} R$ की ऊष्मा को केबलों, फ़्यूज़ और केतलियों तक ले जाती है। धारा एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है (चुंबकों और धाराओं के चुंबकीय क्षेत्र), और चुंबकीय क्षेत्र अपवाहित वाहकों को मोड़ता है (गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल), जिससे एक हॉल वोल्टेज बनता है जो $n$ और $q$ के चिह्न को प्रकट करता है। अर्धचालक, डायोड और एलईडी $n$ को नियंत्रित करके उपकरण बनाते हैं, और विद्युत चुंबकीय तरंगें वहाँ वही त्वचा गहराई देखती हैं जब रेडियो तरंग समुद्र के पानी में प्रवेश करती है। चूँकि मुक्त इलेक्ट्रॉन ऊष्मा भी ले जाते हैं, अच्छे विद्युत चालक ऊष्मा के भी अच्छे चालक होते हैं (चालन, संवहन और विकिरण)।

मुख्य सूत्र

प्रति इकाई समय आवेश के रूप में धारा

I = \frac{Q}{t}

धारा बताती है कि हर सेकंड चालक की किसी काट से कितना आवेश गुज़रता है। स्थायी धारा के लिए आवेश समय के समानुपाती बढ़ता है, इसलिए $Q$ बनाम $t$ का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है जिसकी ढाल $I$ है; बदलती धारा के लिए किसी एक क्षण पर वही विचार $I = d Q / d t$ देता है। परंपरा के अनुसार धारा उस दिशा में इंगित करती है जिस ओर धनात्मक आवेश बहेगा।

चिह्न
$I$	धारा	$A$
$Q$	समय $t$ में काट से गुज़रा आवेश	$C$
$t$	लिया गया समय	$s$

कब लागू होता है: समय $t$ में औसत धारा देता है; यह हर क्षण की धारा के बराबर तभी होता है जब धारा स्थायी हो।

उदाहरण: एनिमेशन का संदर्भ तार 1.0 A धारा ले जाता है, इसलिए 12 s के चक्र में $Q = 1.0 \cdot 12 = 12 C$ गुज़रते हैं, यानी लगभग $7.5 \times 1 0^{19}$ इलेक्ट्रॉन।

प्रतिरोध की परिभाषा

R = \frac{V}{I}

प्रतिरोध वह वोल्टेज है जो प्रति एम्पियर धारा को किसी अवयव से प्रवाहित करने के लिए चाहिए: बड़े $R$ का अर्थ है दिए गए धक्के पर छोटी धारा। यह सूत्र एक परिभाषा है और किसी भी अवयव पर लागू होता है। ओम का नियम एक अलग, प्रायोगिक तथ्य है: स्थिर ताप पर एक धातु के लिए यह अनुपात $V$ पर निर्भर नहीं करता।

चिह्न
$R$	प्रतिरोध	$Ω$
$V$	अवयव के सिरों पर वोल्टेज	$V$
$I$	उससे गुज़रती धारा	$A$

कब लागू होता है: किसी भी अवयव के लिए किसी भी कार्यकारी बिंदु पर $R$ को परिभाषित करता है, पर $R$ केवल स्थिर ताप पर ओमीय चालकों के लिए ही स्थिरांक है: बल्ब के तंतु का अनुपात गरम होने पर दस गुने से अधिक बढ़ जाता है, और डायोड का अनुपात धारा की दिशा पर निर्भर करता है।

उदाहरण: एनिमेशन का मध्य तार: 2.0 V 0.50 A चलाता है, इसलिए $R = 2.0/0.50 = 4.0 Ω$ ।

एकसमान तार का प्रतिरोध

R = \frac{ρ L}{A}

तार श्रेणी में जुड़े कई छोटे टुकड़ों की तरह व्यवहार करता है, जिनके प्रतिरोध जुड़ते हैं, और साथ-साथ रखी कई पट्टियों की तरह भी, जो धारा बाँटती हैं। इसलिए उसका प्रतिरोध लंबाई के अनुपात में बढ़ता है और अनुप्रस्थ काट के व्युत्क्रमानुपात में घटता है, जबकि पदार्थ का प्रभाव उसकी प्रतिरोधकता $ρ$ के रूप में आता है। यह सूत्र स्थानीय नियम $J = σ E$ से, $V = E L$ और $I = J A$ के साथ, निकलता है।

चिह्न
$R$	तार का प्रतिरोध	$Ω$
$ρ$	पदार्थ की प्रतिरोधकता	$Ω m$
$L$	तार की लंबाई	$m$
$A$	अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल	$m^{2}$

कब लागू होता है: एकसमान तार के लिए, जिसमें स्थायी धारा उसकी काट पर समान रूप से फैली हो। फ़िल्मों और औसत मुक्त पथ (तांबे में लगभग 40 nm) से पतले तारों के लिए, तथा उच्च आवृत्ति पर, जहाँ त्वचा प्रभाव धारा को बाहर की ओर धकेलता है, यह विफल होता है; $ρ$ भी तापमान के साथ बदलता है।

उदाहरण: नाइक्रोम, $ρ = 1.1 \times 1 0^{- 6} Ω m$ , 1.0 m लंबा, 0.55 mm² काट: $R = 1.1 \times 1 0^{- 6} \cdot 1.0/ (0.55 \times 1 0^{- 6}) = 2.0 Ω$ ।

वाहकों के अपवाह से धारा

I = n A v_{d} q

समय $Δ t$ में काट से वाहकों की गति की विपरीत दिशा में दूरी $v_{d} Δ t$ के भीतर का हर वाहक उससे गुज़र जाता है। उस पट्टी का आयतन $A v_{d} Δ t$ है और उसमें $n A v_{d} Δ t$ वाहक हैं, इसलिए उनके आवेश को $Δ t$ से भाग देने पर धारा मिलती है। बड़ी धारा के लिए बहुत से वाहक चाहिए, तेज़ वाहक नहीं: धातु में $n$ बहुत बड़ा और $v_{d}$ बहुत छोटा होता है।

चिह्न
$I$	धारा	$A$
$n$	प्रति इकाई आयतन मुक्त वाहकों की संख्या	$m^{- 3}$
$A$	अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल	$m^{2}$
$v_{d}$	वाहकों का अपवाह वेग	$m/s$
$q$	एक वाहक का आवेश	$C$

कब लागू होता है: किसी भी चालक पर लागू होता है जिसमें एक ही प्रकार के वाहक हों, जहाँ $v_{d}$ उसके अनुदिश उनका औसत वेग है; जब कई प्रकार के वाहक हों (इलेक्ट्रॉन और होल, धनात्मक और ऋणात्मक आयन), तो उनके योगदान जुड़ते हैं।

उदाहरण: तांबा, $n = 8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ , 1 mm² में 1 A: $v_{d} = 1/ (8.5 \times 1 0^{28} \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1.602 \times 1 0^{- 19}) \approx 7.3 \times 1 0^{- 5} m/s$ ।

ओम के नियम का स्थानीय रूप

J = σ E

चालक के भीतर हर बिंदु पर धारा घनत्व वहाँ के विद्युत क्षेत्र के समानुपाती होता है। चालकता $σ$ केवल पदार्थ का गुण है, इसलिए यह रूप तार के आकार के बारे में कुछ नहीं कहता; एकसमान तार पर लागू करने पर यह $V = R I$ देता है। ओमीय पदार्थ में $J$ , $E$ की दिशा में होता है।

चिह्न
$J$	धारा घनत्व	$A/ m^{2}$
$σ$	पदार्थ की चालकता	$S/m$
$E$	चालक में विद्युत क्षेत्र	$V/m$

कब लागू होता है: ओमीय पदार्थों के लिए मध्यम क्षेत्रों पर, और $1/ (2 π τ)$ से काफ़ी कम आवृत्तियों पर (तांबे में लगभग 6 THz)। उच्च क्षेत्रों वाले अर्धचालकों में, जहाँ अपवाह संतृप्त हो जाता है, और अतिचालकों में यह विफल होता है।

उदाहरण: तांबे में $σ = 5.9 \times 1 0^{7} S/m$ ; 1 A प्रति mm² के धारा घनत्व, यानी $J = 1 0^{6} A/ m^{2}$ , के लिए केवल $E = J / σ \approx 0.017 V/m$ क्षेत्र चाहिए।

टक्कर मॉडल से अपवाह वेग

v_{d} = \frac{e E τ}{m}

टक्करों के बीच विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉन को $e E / m$ से त्वरित करता है, और हर टक्कर उसका वेग यादृच्छिक कर देती है। किसी भी क्षण इलेक्ट्रॉन की अंतिम टक्कर से बीता समय औसतन $τ$ होता है, इसलिए उसका अतिरिक्त वेग औसतन $e E τ / m$ होता है, न कि उसका आधा: लंबी मुक्त उड़ानों का भार अधिक होता है। आवेश ऋणात्मक होने से इलेक्ट्रॉन $E$ के विरुद्ध अपवाहित होते हैं; सूत्र चाल देता है।

चिह्न
$v_{d}$	अपवाह वेग	$m/s$
$e$	मूल आवेश	$C$
$E$	विद्युत क्षेत्र	$V/m$
$τ$	टक्करों के बीच माध्य मुक्त काल	$s$
$m$	इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान	$kg$

कब लागू होता है: मानता है कि टक्करें यादृच्छिक रूप से होती हैं और प्राप्त वेग को मिटा देती हैं। धातुओं के क्वांटम सिद्धांत में $m$ एक प्रभावी द्रव्यमान बन जाता है और $τ$ फर्मी चाल पर इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन काल।

उदाहरण: तांबा, $τ = 2.5 \times 1 0^{- 14} s$ , 0.017 V/m के क्षेत्र में: $v_{d} = 1.602 \times 1 0^{- 19} \cdot 0.017 \cdot 2.5 \times 1 0^{- 14} / (9.11 \times 1 0^{- 31}) \approx 7.5 \times 1 0^{- 5} m/s$ । यह $τ$ के पूर्णांकन की सीमा में, $I = n A v_{d} q$ से मिले $7.3 \times 1 0^{- 5} m/s$ से मेल खाता है।

ड्रूड प्रतिरोधकता

ρ = \frac{1}{σ} = \frac{m}{n e ^{2} τ}

अपवाह वेग को $J = n e v_{d}$ में रखने पर $J = (n e^{2} τ / m) E$ मिलता है, इसलिए चालकता $n e^{2} τ / m$ है और प्रतिरोधकता उसका व्युत्क्रम। प्रतिरोधकता कम होती है जब वाहक अधिक, हल्के और टक्करों के बीच देर तक टिके रहने वाले हों। आवेश वर्ग रूप में आता है, इसलिए यह सूत्र ऋणात्मक और धनात्मक वाहकों में भेद नहीं कर सकता।

चिह्न
$ρ$	प्रतिरोधकता	$Ω m$
$σ$	चालकता	$S/m$
$m$	इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान	$kg$
$n$	प्रति इकाई आयतन मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या	$m^{- 3}$
$e$	मूल आवेश	$C$
$τ$	माध्य मुक्त काल	$s$

कब लागू होता है: एक शास्त्रीय मॉडल जो रूप सही देता है, जिसमें $τ$ मापी गई प्रतिरोधकता से लिया गया है। क्वांटम यांत्रिकी समझाती है कि $τ$ इतना लंबा क्यों है: केवल पूर्ण जालक से विचलन ही इलेक्ट्रॉनों को बिखेरते हैं।

उदाहरण: तांबा: $ρ = 9.11 \times 1 0^{- 31} / (8.5 \times 1 0^{28} \cdot (1.602 \times 1 0^{- 19})^{2} \cdot 2.5 \times 1 0^{- 14}) \approx 1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ ।

प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता

ρ (T) \approx ρ_{0} (1 + α Δ T)

धातु में गरम आयन अधिक कंपन करते हैं और इलेक्ट्रॉनों को अधिक बार बिखेरते हैं, इसलिए $τ$ घटता है और $ρ$ बढ़ता है, कक्ष ताप के निकट लगभग परम ताप के अनुपात में। एक मध्यम परिसर पर इसे संदर्भ ताप (आमतौर पर 20 °C) पर मान $ρ_{0}$ से गुज़रती सीधी रेखा से अच्छी तरह वर्णित किया जा सकता है, जिसकी ढाल $α ρ_{0}$ है। अर्धचालकों के लिए $α$ ऋणात्मक है, क्योंकि ऊष्मा अधिक वाहक मुक्त करती है।

चिह्न
$ρ$	ताप $T$ पर प्रतिरोधकता	$Ω m$
$T$	ताप	$K$
$ρ_{0}$	संदर्भ ताप पर प्रतिरोधकता	$Ω m$
$α$	प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक	$K^{- 1}$
$Δ T$	संदर्भ ताप से ऊपर वृद्धि	$K$

कब लागू होता है: प्रथम-कोटि सन्निकटन, जो धातुओं के लिए कुछ सौ केल्विन के परिसर में अच्छा है। परम शून्य के निकट यह विफल होता है, जहाँ प्रतिरोधकता एक अवशिष्ट मान पर स्थिर हो जाती है, या अतिचालक में शून्य हो जाती है।

उदाहरण: धूप में 20 °C से 60 °C तक गरम होता तांबे का केबल: उसका प्रतिरोध $1 + 3.9 \times 1 0^{- 3} \cdot 40 \approx 1.16$ गुना, यानी 16 % बढ़ जाता है।

शब्दावली

विद्युत धारा: आवेश का शुद्ध प्रवाह, जो धातुओं में मुक्त इलेक्ट्रॉनों द्वारा और नमक के घोलों, बैटरियों व गैसों में आयनों द्वारा ले जाया जाता है। इसका परिमाण प्रति सेकंड किसी काट से गुज़रने वाला आवेश है, $I = Q / t$ ; स्थायी अवस्था में वही धारा तार के हर काट से गुज़रती है, इसलिए वह कभी खर्च नहीं होती।
परंपरागत धारा: धारा को दी गई दिशा: वह दिशा जिसमें धनात्मक आवेश चलेगा, यानी बाहरी परिपथ में + से − की ओर और चालक के भीतर क्षेत्र के अनुदिश। इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक होने से विपरीत दिशा में अपवाहित होते हैं।
अपवाह वेग: वाहकों का चालक के अनुदिश धीमा औसत वेग $v_{d}$ , जो उनकी तेज़ यादृच्छिक गति पर अध्यारोपित होता है। 1 A प्रति mm² धारा वाले तांबे में यह लगभग 0.07 mm/s है, जबकि यादृच्छिक चालें लगभग $1.6 \times 1 0^{6} m/s$ हैं।
धारा घनत्व: प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर धारा, $J = I / A$ , A/m² में, धनात्मक आवेश के प्रवाह की दिशा में। यह पूरे तार के आर-पार नहीं, बल्कि हर बिंदु पर प्रवाह का वर्णन करता है, और घनत्व $n$ तथा आवेश $q$ के वाहकों के लिए $n q v_{d}$ के बराबर है।
विभवांतर (वोल्टेज): दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ , वोल्ट में: एक बिंदु से दूसरे तक जाते हुए हर कूलॉम आवेश द्वारा छोड़ी गई ऊर्जा, $1 V = 1 J/C$ । यही वह धक्का है जो प्रतिरोध के आर-पार धारा चलाता है।
प्रतिरोध: कोई अवयव धारा का कितना विरोध करता है: प्रति एम्पियर आवश्यक वोल्टेज, $R = V / I$ , ओम में। यह पदार्थ के साथ-साथ अवयव के आकार पर भी निर्भर करता है, जबकि प्रतिरोधकता केवल पदार्थ का गुण है।
प्रतिरोधकता: पदार्थ का गुण, किसी एक तार का नहीं: $ρ = R A / L$ , यानी 1 m लंबे और 1 m² काट वाले टुकड़े का प्रतिरोध। यह तांबे के $1.7 \times 1 0^{- 8} Ω m$ से लेकर काँच के $1 0^{10} Ω m$ से भी अधिक तक होती है।
ओम का नियम: एक प्रायोगिक तथ्य: कई पदार्थों में स्थिर ताप पर धारा वोल्टेज के समानुपाती होती है, इसलिए $R$ स्थिरांक है; स्थानीय रूप में, $J = σ E$ । यह धातुओं का अच्छा वर्णन करता है, पर बल्ब के तंतुओं, डायोड या गैस विसर्जन का नहीं।
चालक, अर्धचालक और कुचालक: प्रतिरोधकता के आधार पर पदार्थों के तीन वर्ग: धातुएँ लगभग $1 0^{- 8}$ से $1 0^{- 6} Ω m$ , कुचालक लगभग $1 0^{10} Ω m$ से ऊपर, और अर्धचालक बीच में। अर्धचालक की प्रतिरोधकता गरम होने पर घटती है और उसकी शुद्धता पर प्रबल निर्भर करती है।
माध्य मुक्त काल और माध्य मुक्त पथ: वाहक की दो टक्करों के बीच का औसत समय $τ$ , और उस समय में उसके द्वारा तय की गई औसत दूरी। कक्ष ताप पर तांबे में ये क्रमशः लगभग $2.5 \times 1 0^{- 14} s$ और 40 nm हैं।
जूल तापन: धारा प्रवाहित करने वाले चालक का गरम होना: विद्युत क्षेत्र द्वारा वाहकों को दी गई ऊर्जा टक्करों में जालक को मिल जाती है। इसकी दर $V I = I^{2} R$ , या प्रति इकाई आयतन $ρ J^{2}$ है।
त्वचा प्रभाव: प्रत्यावर्ती धारा का चालक की सतह के पास एक परत में सिमट जाना, क्योंकि भीतर का बदलता चुंबकीय क्षेत्र अक्ष के निकट धारा का विरोध करने वाला विद्युत क्षेत्र प्रेरित करता है। तांबे में यह परत 50 Hz पर 9.3 mm मोटी है, पर 1 GHz पर केवल 2.1 µm।

राशियाँ
$I$	धारा	$A$	प्रति सेकंड किसी काट से गुज़रा आवेश; $1 A = 1 C/s$ , यानी लगभग $6.2 \times 1 0^{18}$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड।
$Q$	आवेश	$C$	समय $t$ में गुज़रा आवेश, $Q = I t$ ; एनिमेशन के काउंटर इसी को दिखाते हैं।
$E$	विद्युत क्षेत्र	$V/m$	चालक के भीतर प्रति इकाई आवेश पर बल, जो वाहकों को चलाता है; एकसमान तार में $E = V / L$ , और एनिमेशन के संदर्भ तार में यह 2.0 V/m है।
$R$	प्रतिरोध	$Ω$	प्रति इकाई धारा वोल्टेज, $V / I$ , जहाँ $V$ अवयव के आर-पार वोल्टेज है (वोल्ट में); $1 Ω$ का प्रतिरोध 1 A चलाने के लिए 1 V लेता है।
$ρ$	प्रतिरोधकता	$Ω m$	नमूने के आकार से स्वतंत्र, पदार्थ का धारा के प्रति विरोध: लंबाई $L$ (m में) और अनुप्रस्थ काट $A$ (m² में) वाले तार के लिए $ρ = R A / L$ ।
$σ$	चालकता	$S/m$	प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम, $σ = 1/ ρ$ : प्रति इकाई क्षेत्र धारा घनत्व $J$ (A/m² में), $J = σ E$ । तांबे के लिए लगभग $5.9 \times 1 0^{7} S/m$ ।
$n$	वाहक घनत्व	$m^{- 3}$	प्रति घन मीटर मुक्त आवेश वाहकों की संख्या; तांबे में $8.5 \times 1 0^{28} m^{- 3}$ , लगभग प्रति परमाणु एक। एक वाहक के आवेश $q$ (C में) और उनके अपवाह वेग $v_{d}$ (m/s में) के साथ यह $I = n A v_{d} q$ देता है।
$e$	मूल आवेश	$C$	एक इलेक्ट्रॉन के आवेश का परिमाण, $1.602 \times 1 0^{- 19} C$ ; इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = - e$ है। इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान $m = 9.11 \times 1 0^{- 31} kg$ के साथ यह टक्करों के बीच त्वरण $e E / m$ तय करता है।
$τ$	माध्य मुक्त काल	$s$	वाहक की दो टक्करों के बीच का औसत समय; कक्ष ताप पर तांबे में लगभग $2.5 \times 1 0^{- 14} s$ ।
$α$	प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक	$K^{- 1}$	ताप में प्रति केल्विन वृद्धि पर प्रतिरोधकता में भिन्नात्मक परिवर्तन: तांबे के लिए $3.9 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ , अर्धचालकों के लिए ऋणात्मक। यह $ρ (T) \approx ρ_{0} (1 + α Δ T)$ में आता है, जहाँ $ρ_{0}$ संदर्भ ताप पर प्रतिरोधकता है और $Δ T$ उससे ऊपर की वृद्धि केल्विन में है।

क्विज़

शुरुआती तांबे के तार में धारा बहने पर वास्तव में कौन-से कण उसके अनुदिश चलते हैं?
1. तांबे के आयन
2. बैटरी से धकेले गए प्रोटॉन
3. मुक्त इलेक्ट्रॉन
4. कुछ नहीं चलता: केवल ऊर्जा बहती है
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उत्तर: C. मुक्त इलेक्ट्रॉन
धातु में बाहरी इलेक्ट्रॉन स्वतंत्र रूप से चल सकते हैं, जबकि धनात्मक आयन जालक में स्थिर रहते हैं और प्रोटॉन नाभिकों में बँधे रहते हैं। बैटरी का धक्का मुक्त इलेक्ट्रॉनों को तार के अनुदिश अपवाहित करता है।
शुरुआती आप स्विच दबाते हैं और छत का लैंप तुरंत जल उठता है। ऐसा क्यों?
1. इलेक्ट्रॉन स्विच से निकलकर लगभग प्रकाश की चाल से लैंप की ओर दौड़ते हैं
2. तार में पहले से इलेक्ट्रॉन भरे हैं, और धक्का उन सभी तक लगभग एक साथ पहुँचता है
3. लैंप आवेश संचित रखता है और स्विच बंद होने पर उसे छोड़ता है
4. बिजली हवा के रास्ते स्विच से लैंप तक कूद जाती है
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उत्तर: B. तार में पहले से इलेक्ट्रॉन भरे हैं, और धक्का उन सभी तक लगभग एक साथ पहुँचता है
इलेक्ट्रॉन बहुत धीमे अपवाहित होते हैं, पर वे पूरे परिपथ में हर जगह मौजूद हैं। स्विच बंद होते ही पूरे तार के अनुदिश लगभग प्रकाश की चाल से धक्का (विद्युत क्षेत्र) स्थापित हो जाता है, इसलिए लैंप के इलेक्ट्रॉन तुरंत गति करने लगते हैं।
शुरुआती एक ही धातु और एक ही मोटाई के दो तार बारी-बारी से एक ही बैटरी से जोड़े जाते हैं। एक दूसरे से दोगुना लंबा है। लंबे तार में क्या होता है?
1. दोगुनी धारा बहती है
2. उतनी ही धारा बहती है
3. कोई धारा नहीं बहती
4. आधी धारा बहती है
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उत्तर: D. आधी धारा बहती है
दोगुनी लंबाई वाले तार में इलेक्ट्रॉन दोगुने आयनों से टकराते हैं, इसलिए प्रतिरोध दोगुना हो जाता है। एक ही बैटरी के साथ हर सेकंड आधा आवेश गुज़रता है, जैसे एनिमेशन का लंबा तार।
मध्यम एक फ़ोन चार्जर 30 मिनट तक 2.0 A धारा देता है। केबल से कितना आवेश गुज़रता है?
1. 3600 C
2. 60 C
3. 900 C
4. 15 C
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उत्तर: A. 3600 C
Q = I·t, जहाँ t सेकंड में है: 30 min = 1800 s, इसलिए Q = 2.0 × 1800 = 3600 C। मिनट को सेकंड में बदलना भूल जाने पर 60 C मिलता; गुणा के बजाय भाग करने पर 900 C या 15 C।
मध्यम एक धातु के तार में परंपरागत धारा I बाईं ओर बहती है। इलेक्ट्रॉन किस दिशा में अपवाहित होते हैं?
1. बाईं ओर, धारा के साथ
2. वे नहीं चलते; केवल क्षेत्र चलता है
3. दाईं ओर, धारा के विपरीत
4. तार के आर-पार, एक ओर से दूसरी ओर
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उत्तर: C. दाईं ओर, धारा के विपरीत
परंपरागत धारा की परिभाषा उस दिशा के रूप में है जिसमें धनात्मक आवेश चलेगा। इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक हैं, इसलिए वे I और विद्युत क्षेत्र E के विपरीत अपवाहित होते हैं, जैसा एनिमेशन का v_d तीर दिखाता है।
मध्यम एक तार का प्रतिरोध 6.0 Ω है। उसी पदार्थ के एक तार की लंबाई दोगुनी और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल भी दोगुना है। उसका प्रतिरोध क्या है?
1. 24 Ω
2. 6.0 Ω
3. 12 Ω
4. 3.0 Ω
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उत्तर: B. 6.0 Ω
R = ρ·L/A। लंबाई दोगुनी करने से R दोगुना और क्षेत्रफल दोगुना करने से R आधा होता है, इसलिए दोनों बदलाव एक-दूसरे को निष्प्रभावी करते हैं और R 6.0 Ω ही रहता है। 24 Ω दोनों प्रभावों को गुणा करने से आता है; 12 Ω और 3.0 Ω केवल एक प्रभाव लागू करने से।
उन्नत एक तांबे के तार (n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³) का अनुप्रस्थ काट 2.0 mm² है और उसमें 3.0 A धारा है। उसके इलेक्ट्रॉनों का अपवाह वेग क्या है?
1. लगभग 3 × 10⁸ m/s
2. 1.6 × 10⁶ m/s
3. 1.1 × 10⁻⁷ m/s
4. 1.1 × 10⁻⁴ m/s
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उत्तर: D. 1.1 × 10⁻⁴ m/s
v_d = I/(n·A·e) = 3.0 ÷ (8.5 × 10²⁸ × 2.0 × 10⁻⁶ × 1.602 × 10⁻¹⁹) ≈ 1.1 × 10⁻⁴ m/s, यानी लगभग 0.1 mm/s। 1.6 × 10⁶ m/s इलेक्ट्रॉनों की यादृच्छिक चाल है, संकेत लगभग प्रकाश की चाल से चलता है, और 1.1 × 10⁻⁷ m/s तब आता है जब 1 mm² को 10⁻³ m² मान लिया जाए।
उन्नत ड्रूड मॉडल के अनुसार गरम होने पर धातु की प्रतिरोधकता क्यों बढ़ती है?
1. प्रबल जालक कंपन माध्य मुक्त काल τ को घटा देते हैं
2. ऊष्मा अधिक इलेक्ट्रॉन मुक्त करती है, जिससे n बढ़ता है
3. इलेक्ट्रॉन भारी हो जाते हैं, जिससे m बढ़ता है
4. ऊष्मीय प्रसार से तार लंबा हो जाता है, इसलिए L बढ़ता है
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उत्तर: A. प्रबल जालक कंपन माध्य मुक्त काल τ को घटा देते हैं
ρ = m/(n·e²·τ)। धातु में n और m लगभग नहीं बदलते, पर गरम आयन अधिक कंपन करते हैं और इलेक्ट्रॉनों को अधिक बार बिखेरते हैं, इसलिए τ घटता है और ρ बढ़ता है; तांबे के लिए प्रति केल्विन लगभग 0.4%। ऊष्मा से अधिक वाहक मुक्त होना अर्धचालकों में होता है, जहाँ ρ घटता है। ऊष्मीय प्रसार L और A को प्रति केल्विन 0.004% से कम बदलता है, और ये R निर्धारित करते हैं, पदार्थ का गुण ρ नहीं।

$d A$	सूक्ष्म पटल का क्षेत्रफल, किनारे से खींचा गया।	$m^{2}$
$d A$	पटल एक सदिश के रूप में: लंबाई $d A$ , पटल के लंबवत।	$m^{2}$
$J$	धारा घनत्व $n q v_{d}$ : प्रति इकाई क्षेत्रफल धारा, धनात्मक आवेश के प्रवाह की दिशा में।	$A/ m^{2}$
$θ$	$J$ (और $v_{d}$ ) तथा $d A$ के बीच का कोण।	$rad$
$v_{d} d t$	समय $d t$ में वाहकों के अपवाह की दूरी: पट्टी का तिरछा किनारा।	$m$
$v_{d} d t cos θ$	उसी अपवाह को पटल के लंबवत मापा गया: पट्टी की ऊँचाई।	$m$
$d V$	पटल के नीचे पट्टी का आयतन: उसमें के वाहक $d t$ में पटल पार करते हैं।	$m^{3}$

$t$	एक मुक्त उड़ान की अवधि, यानी दो टक्करों के बीच।	$s$
$τ$	माध्य मुक्त काल: उड़ान की औसत अवधि।	$s$
$p (t)$	उड़ान अवधि का घनत्व $e^{- t / τ} / τ$ : उड़ानों का एक भाग $p (t) d t$ अवधि में $t$ और $t + d t$ के बीच रहता है।	$s^{- 1}$
$t^{2} p (t)$	अवधि $t$ की उड़ानों का योगदान: $t^{2}$ गुणा उनके आम होने का स्तर, $F /2 m$ गुणक तक।	$s$

$I$	तार में धारा।	$A$
$a$	तार की त्रिज्या।	$m$
$L$	तार की लंबाई।	$m$
$E$	सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र: तार के अनुदिश उसका भाग, भीतर वाले के समान।	$V/m$
$B$	धारा का चुंबकीय क्षेत्र, दाएँ-हाथ के नियम से तार के चारों ओर घूमता: ऊपर आपकी ओर, नीचे आपसे दूर।	$T$
$S$	ऊर्जा फ़्लक्स $E \times B / μ_{0}$ : प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति सेकंड गुज़रती ऊर्जा, यहाँ तार के भीतर की ओर।	$W/ m^{2}$

$I$	धारा: हर टुकड़े में समान।	$A$
$A_{0}$	पतले सिरे पर अनुप्रस्थ काट; मोटे सिरे पर $2 A_{0}$ ।	$m^{2}$
$A (x)$	पतले सिरे से दूरी $x$ पर अनुप्रस्थ काट, $A_{0} (1 + x / L)$ ।	$m^{2}$
$L$	तार की लंबाई।	$m$
$x$	पतले सिरे से दूरी।	$m$
$d x$	एक टुकड़े की मोटाई।	$m$
$ρ / A (x)$	$x$ पर तार का प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध।	$Ω m^{- 1}$
$ρ / A_{0}$	पतले सिरे पर प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध।	$Ω m^{- 1}$
$ρ /2 A_{0}$	मोटे सिरे पर प्रति इकाई लंबाई प्रतिरोध: पतले सिरे का आधा।	$Ω m^{- 1}$
$d R$	$x$ पर टुकड़े का प्रतिरोध, $ρ d x / A (x)$ : गहरी पट्टी का क्षेत्रफल।	$Ω$
$R$	पूरे तार का प्रतिरोध: वक्र के नीचे का क्षेत्रफल।	$Ω$