Corrente elétrica e resistência

Iniciante

Corrente elétrica é simplesmente carga elétrica em movimento.

Passo 1: o que se move. Em um metal, cada átomo libera um ou dois elétrons externos, que vagam livremente entre os átomos que sobraram (os íons). O fio ampliado na animação mostra essa multidão: íons amarelos marcados com + em fileiras organizadas, elétrons azuis disparando entre eles.

Passo 2: o empurrão. Sem bateria, os elétrons se agitam ao acaso e, em média, não saem do lugar. Ligue uma bateria e todos recebem um empurrão suave no mesmo sentido: eles continuam fazendo zigue-zagues e colidindo com os íons, mas também se arrastam lentamente ao longo do fio. Acompanhe o elétron circulado: um caminho emaranhado, mas que avança para a direita.

Passo 3: contar. A corrente é medida em ampères. Um ampère significa um coulomb de carga, cerca de seis bilhões de bilhões de elétrons, passando por um ponto a cada segundo. Se 10 coulombs passam em 5 segundos, a corrente é $10÷5=2\mathrm{A}$.

Passo 4: o sentido. Por uma antiga convenção, diz-se que a corrente vai do polo + para o polo −. Como os elétrons são negativos, eles derivam, na verdade, no sentido contrário, de − para +.

Passo 5: a resistência. As colisões retêm os elétrons e passam energia aos íons, que vibram mais intensamente: o fio esquenta. Com a mesma bateria, um fio duas vezes mais longo deixa passar metade da corrente; um fio duas vezes mais grosso deixa passar o dobro. Metais conduzem bem; vidro e plástico quase não conduzem.

Os elétrons se arrastam mais devagar que um caracol, mas uma lâmpada acende no instante em que você liga o interruptor: o fio já está cheio de elétrons, e o empurrão percorre o fio quase na velocidade da luz.

Teste-se: 30 coulombs passam em 10 segundos. Qual é a corrente? (Resposta: 3 A.)

Intermediário

O que flui, e em que sentido

Em um metal, cada átomo libera um ou alguns elétrons externos, que vagam livremente entre os íons positivos fixos na rede cristalina. Em água salgada e em baterias, os portadores são íons. A corrente é a carga que atravessa uma seção transversal do condutor por unidade de tempo:
$I=\frac{Q}{t}$

A unidade é o ampère, $1\mathrm{A}=1C/s$. Um elétron carrega $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, portanto um ampère corresponde a $1/e\approx 6,2\times 10^{18}$ elétrons atravessando a seção a cada segundo.

A corrente convencional aponta no sentido em que a carga positiva se moveria: de + para − pelo circuito externo, no sentido do campo elétrico $\vec{E}$ dentro do fio. Como os elétrons são negativos, eles derivam no sentido contrário. Na animação, a seta verde $E$ e a seta vermelho-alaranjada da corrente $I$ apontam para a esquerda, enquanto a velocidade de deriva $v_d$, em azul, aponta para a direita: carga negativa se movendo para a direita transporta a mesma corrente que carga positiva se movendo para a esquerda.

Lei de Ohm e o gráfico corrente-tensão

O empurrão que mantém a carga em movimento é a tensão $V$ sobre o componente, a energia que cada coulomb perde entre suas extremidades (veja Campo elétrico e potencial). Em um fio uniforme de comprimento $L$, ela estabelece um campo $E=V/L$. A resistência compara o empurrão com o fluxo:
$R=\frac{V}{I}$

Sua unidade é o ohm, $1\Omega =1V/A$. Para um metal a temperatura fixa, a corrente é proporcional à tensão, logo $R$ é constante: esta é a lei de Ohm, e um gráfico de $I$ em função de $V$ é uma reta passando pela origem com inclinação $1/R$. A curva de um filamento de lâmpada se encurva conforme ele aquece, com sua resistência crescendo mais de dez vezes. Um diodo conduz em um só sentido. $V/I$ ainda define a resistência em cada ponto, mas ela não é constante.

O que determina a resistência de um fio

Imagine o fio como segmentos em fila e como faixas lado a lado. Cada metro extra é mais um trecho para fazer a corrente atravessar, então $R$ cresce proporcionalmente ao comprimento $L$; cada milímetro quadrado extra abre mais uma faixa, então $R$ diminui na razão inversa da área $A$. O material entra por meio de sua resistividade $\rho$:
$R=\frac{\rho L}{A}$

A resistividade, em ohm metro (Ω·m), é a resistência de um pedaço com 1 m de comprimento e 1 m² de seção transversal. A tabela da animação mostra sua faixa: $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$ para o cobre, um condutor; $2,3\times 10^3\Omega \mathrm{m}$ para o silício puro, um semicondutor; e $10^{10}$ a $10^{14}\Omega \mathrm{m}$ para o vidro, um isolante: mais de vinte potências de dez. A liga de aquecimento nicromo tem cerca de $1,1\times 10^{-6}\Omega \mathrm{m}$.

Em um metal, $\rho$ também aumenta com a temperatura, aproximadamente como $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$, com ${\rho }_0$ o valor a 20 °C e $\Delta T$ o aumento acima dele. Para o cobre, $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, cerca de 0,4 % por kelvin. Já em um semicondutor, $\rho$ diminui, porque o calor libera mais portadores.

Exemplo resolvido: os três fios da animação

Os três fios da animação recebem a mesma tensão de 2,0 V. Suponha que o de cima, o fio de referência, seja de nicromo, com 1,0 m de comprimento e seção transversal de $0,55\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=0,55\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, cerca de 0,84 mm de diâmetro. Então
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,1\times 10^{-6}\cdot 1,0}{0,55\times 10^{-6}}=2,0\Omega$
$I=\frac{V}{R}=\frac{2,0}{2,0}=1,0\mathrm{A}$

Estes são os 2 Ω e 1,0 A impressos ao lado. Cada ponto azul representa um coulomb, então um ponto deixa o fio a cada segundo, e, ao longo do ciclo de 12 s, seu contador sobe de forma constante até $Q=It=1,0\cdot 12=12\mathrm{C}$, cerca de $7,5\times 10^{19}$ elétrons.

O fio do meio é duas vezes mais longo: $R=4,0\Omega$, $I=0,50\mathrm{A}$, e seu contador chega a 6 C. Os mesmos 2,0 V se distribuem em 2,0 m, então o campo cai pela metade para 1,0 V/m e seus pontos se movem com metade da velocidade. O fio de baixo tem o dobro da seção transversal: $R=1,0\Omega$, $I=2,0\mathrm{A}$, 24 C após 12 s. Seu campo não muda, então seus pontos se movem tão rápido quanto no fio de referência, só que em duas faixas.

Quão rápido os elétrons derivam

Agora contemos os portadores. Com $n$ portadores por metro cúbico, cada um com carga $q$ e derivando com velocidade $v_d$, todo portador a uma distância $v_{d}t$ a montante de uma seção transversal atravessa essa seção em um tempo $t$: um volume $A{v}_{d}t$ contendo $nA{v}_{d}t$ portadores. A carga deles dividida por $t$ é a corrente:
$I=nA{v}_{d}q$

O cobre tem cerca de um elétron livre por átomo, $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$. Para 1 A em um fio de 1 mm²,
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{1,0}{8,5\times 10^{28}\cdot 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 7,3\times 10^{-5}m/s$
isso dá cerca de 0,07 mm/s, ou 26 cm por hora.

No entanto, os elétrons disparam a cerca de 1,6 milhão de m/s; a deriva é um pequeno viés sobre esse movimento aleatório. O elétron circulado no fio ampliado mostra os dois, um zigue-zague rápido e um avanço lento para a direita. No cobre real, porém, o zigue-zague é mais de dez bilhões de vezes mais rápido que a deriva, e não apenas sete vezes. Uma lâmpada ainda acende de imediato, porque o fio já está cheio de elétrons e o campo que os põe em movimento se propaga a uma grande fração da velocidade da luz.

Exemplo resolvido: um cabo de extensão

Um cabo de extensão de 10 m tem dois condutores de cobre de 1,5 mm²; a corrente vai por um e volta pelo outro, percorrendo 20 m de cobre. Uma chaleira ligada nele consome 10 A. Com $A=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$,
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 20}{1,5\times 10^{-6}}\approx 0,23\Omega$
$V=IR=10\cdot 0,23\approx 2,3\mathrm{V}$
Isso é apenas 1 % da rede de 230 V. Com 10 A, porém, se transforma em cerca de 23 W de calor no cabo (a potência é a tensão vezes a corrente). Isso é inofensivo quando distribuído ao longo de 20 m, mas perigoso em um cabo deixado enrolado no carretel.

A velocidade de deriva é
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{10}{8,5\times 10^{28}\cdot 1,5\times 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 4,9\times 10^{-4}m/s$
meio milímetro por segundo: uma corrente constante levaria cerca de 11 horas para levar um elétron ao longo desses 20 m. A corrente da rede inverte o sentido 100 vezes por segundo (50 Hz), então cada elétron apenas oscila para a frente e para trás por alguns micrômetros, enquanto a energia chega à chaleira de imediato.

Erros comuns

• A corrente não é consumida: a mesma corrente entra e sai de uma lâmpada, 1,0 A nas duas extremidades do fio de referência; o que a lâmpada consome é energia.
• Os elétrons não correm até a lâmpada: derivam a cerca de 0,07 mm/s para 1 A em 1 mm² de cobre. Só o campo que os põe em movimento se propaga rapidamente.
• Um fio mais grosso tem menos resistência, não mais: dobrar a seção transversal reduz $R$ à metade, de 2 Ω para 1 Ω na animação.
• Escrever $R=V/I$ não faz a resistência depender da tensão: para um fio ôhmico, dobrar $V$ dobra $I$, e o fio de referência continua em 2 Ω.
• Converta áreas com $1\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, não $10^{-3}$: o fator errado transforma os 2,0 Ω do fio de nicromo em 0,0020 Ω.

Onde isso aparece

A fiação residencial usa cobre, enquanto as linhas de transmissão aéreas usam alumínio, cuja resistividade é cerca de 1,6 vez maior, mas que é bem mais leve. Torradeiras e aquecedores usam nicromo, cuja resistividade é alta e muda pouco com a temperatura. Termômetros de resistência leem a temperatura por meio de $\rho (T)$. A seguir, Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm combina resistores em série e em paralelo. Potência e energia elétrica em casa acompanha o calor que eles produzem, e Campos magnéticos de ímãs e correntes mostra o campo magnético em torno de toda corrente.

Avançado

Densidade de corrente e conservação da carga

Uma corrente $I$ diz quanta carga atravessa uma seção inteira a cada segundo, mas não como o fluxo se distribui por ela. A densidade de corrente $\vec{J}$ diz isso. Seu módulo é a corrente por unidade de área perpendicular ao fluxo, em A/m², e ela aponta no sentido em que a carga positiva flui. Para conectá-la aos próprios portadores, contamos quantos deles atravessam um pequeno pedaço de uma superfície em um intervalo curto de tempo.

Legenda

$dA$	Área do pequeno pedaço, vista de perfil.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	O pedaço como vetor: módulo $dA$, perpendicular ao pedaço.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{J}$	Densidade de corrente, $nq{\vec{v}}_d$: corrente por unidade de área, no sentido do fluxo de carga positiva.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Ângulo entre $\vec{J}$ (e ${\vec{v}}_d$) e $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{d}dt$	Quanto os portadores derivam no tempo $dt$: a aresta inclinada do paralelepípedo.	$\mathrm{m}$
$v_{d}dt\cos \theta$	A mesma deriva medida perpendicularmente ao pedaço: a altura do paralelepípedo.	$\mathrm{m}$
$dV$	Volume do paralelepípedo abaixo do pedaço: os portadores nele atravessam o pedaço dentro de $dt$.	${\mathrm{m}}^3$

A figura 1 mostra esse pedaço de perfil: a linha rotulada $dA$, sua área. Para dizer para que lado o pedaço está voltado, damos a ele um vetor $d\vec{A}$, de módulo $dA$ e perpendicular ao pedaço. Os portadores, $n$ por unidade de volume e cada um com carga $q$, são os pontos. Em média, eles se movem com a velocidade de deriva ${\vec{v}}_d$, que forma com $d\vec{A}$ o ângulo $\theta$. Seus movimentos aleatórios rápidos levam tantos portadores para um lado quanto para o outro através do pedaço, então só a deriva conta.

Em um intervalo curto $dt$, cada portador se desloca ${\vec{v}}_{d}dt$. Os portadores que atravessam o pedaço nesse tempo são, portanto, exatamente aqueles que começam no paralelepípedo inclinado abaixo dele: qualquer portador mais distante não consegue alcançar o pedaço a tempo. Observe os dois lados do paralelepípedo. Sua aresta inclinada, na direção da deriva, tem comprimento $v_{d}dt$, mas sua altura perpendicular ao pedaço é apenas $v_{d}dt\cos \theta$. Um paralelepípedo inclinado tem o mesmo volume de um reto com a mesma base e a mesma altura, então
$dV=dA{v}_{d}dt\cos \theta$
O paralelepípedo contém a carga $nqdV$, e toda ela atravessa o pedaço dentro de $dt$. Dividindo por $dt$, obtemos a corrente através do pedaço:
$dI=nq{v}_d\cos \theta dA=\vec{J}\cdot d\vec{A},\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$
O fator $\cos \theta$ é exatamente o que fornece um produto escalar. Somando os pedaços de uma superfície inteira, obtemos a corrente que a atravessa:
$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$
Para um fluxo uniforme que atravessa diretamente uma seção transversal $A$, $\theta =0$ em todos os pontos, a integral é simplesmente $JA$, e
$I=nA{v}_{d}q$

A figura 1 foi desenhada para portadores positivos, $q>0$, nos quais $\vec{J}$ e ${\vec{v}}_d$ apontam para o mesmo lado. Para elétrons, $q=-e$, então $\vec{J}$ aponta contra ${\vec{v}}_d$: a corrente convencional flui em um sentido, enquanto os elétrons derivam no outro.

Agora considere uma superfície fechada, por exemplo uma caixa em torno de uma junção, com todos os $d\vec{A}$ apontando para fora. A carga se conserva: ela não pode surgir nem desaparecer. Assim, a corrente que sai da superfície precisa vir da carga $Q$ no interior dela, que diminui na mesma taxa:
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=-\frac{dQ}{dt}$
Em regime estacionário, nada se acumula em lugar algum, logo $dQ/dt=0$: tanta corrente entra em qualquer superfície fechada quanto sai dela. Aplicado a um trecho de fio entre duas seções transversais, isso diz que a mesma corrente atravessa todas as seções, qualquer que seja o formato do fio; por isso a corrente nunca se consome. Aplicado a uma junção de fios, é a regra dos nós para circuitos.

Deriva a partir de colisões aleatórias

Um campo estacionário empurra cada portador com uma força constante, e ainda assim a corrente é constante: os portadores não aceleram para sempre. São as colisões que os freiam. Um portador de massa $m$ sente a força $\vec{F}=q\vec{E}$ do campo, além de pequenos impulsos aleatórios das colisões. O modelo de Drude, de 1900, descreve isso com três hipóteses, em que $\tau$, o tempo livre médio, é o tempo médio entre colisões.

• Entre as colisões, o portador se move livremente, acelerando com $\vec{F}/m$.
• Cada colisão o envia em uma direção aleatória, sem memória de como ele se movia antes.
• As colisões ocorrem ao acaso, com a mesma chance $dt/\tau$ em cada intervalo curto $dt$, independentemente do que aconteceu antes.

Agora observe todos os portadores em um instante. A velocidade de cada portador tem duas partes. A primeira é a velocidade com que ele saiu de sua última colisão: aleatória, então se anula em média sobre muitos portadores. A segunda é o que a força acrescentou desde então, $\vec{F}/m$ vezes o tempo desde aquela colisão. Assim, a velocidade média, a deriva, é $\vec{F}/m$ vezes o tempo médio desde a última colisão.

Qual é esse valor médio? Como as colisões não têm memória, a chance de uma colisão em qualquer intervalo curto é $dt/\tau$, quer percorramos o tempo para frente ou para trás. Olhando para trás a partir de qualquer instante, o tempo desde a última colisão tem, portanto, a mesma estatística que a espera até a próxima, e também tem média $\tau$. Logo
$v_d=\frac{F\tau }{m}$
e, para um elétron em um campo $E$, com $F=eE$,
$v_d=\frac{eE\tau }{m}$

Por que os voos longos dominam

Este resultado suscita uma dúvida. Durante um voo, a velocidade adquirida cresce de zero até $Ft/m$; então a deriva não deveria ser metade de $F\tau /m$? Seria, se todo voo durasse exatamente $\tau$. Mas não dura: como as colisões ocorrem ao acaso, a duração $t$ de um voo se espalha, com densidade de probabilidade $p(t)=e^{-t/\tau }/\tau$. Uma fração $p(t)dt$ de todos os voos dura entre $t$ e $t+dt$.

Legenda

$t$	Duração de um voo livre entre duas colisões.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Tempo livre médio: a duração média de um voo.	$\mathrm{s}$
$p(t)$	Densidade da duração do voo, $e^{-t/\tau }/\tau$: uma fração $p(t)dt$ dos voos dura entre $t$ e $t+dt$.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$t^{2}p(t)$	Distância para frente contribuída por voos de duração $t$: $t^2$ vezes a frequência deles, a menos do fator $F/2m$.	$\mathrm{s}$

O gráfico de cima da figura 2 é essa densidade. Ela é mais alta para os voos mais curtos e cai de modo constante, e sua média é $\tau$. Ainda assim, a maioria dos voos é mais curta que a média: os que duram mais que $\tau$, a parte sombreada, são apenas $1/e$, cerca de 37 %, de todos os voos.

Agora pondere cada voo pela distância que ele leva o portador para frente. Partindo sem velocidade adquirida, um voo de duração $t$ avança o portador em $\frac{1}{2}(F/m)t^2=(F/2m)t^2$, de modo que um voo duas vezes mais longo ganha quatro vezes a distância. O gráfico de baixo mostra $t^{2}p(t)$: quão comuns são os voos de duração $t$, multiplicado pelo quanto cada um contribui. Ele tem pico em $2\tau$, bem além da média, e a maior parte de sua área está na parte sombreada: os voos mais longos que $\tau$ fornecem cerca de 92 % da distância para frente. Os poucos voos longos fazem quase todo o trabalho, porque ganham velocidade por mais tempo. Tomar metade de $F\tau /m$ trata cada voo como igualmente longo e deixa passar exatamente isso.

A deriva é a distância média para frente por voo dividida pela duração média de um voo:
$v_d=\frac{F}{2m}\frac{\overline{t^2}}{\overline{t}}=\frac{F}{2m}\frac{2{\tau }^2}{\tau }=\frac{F\tau }{m}$
Aqui $\overline{t}=\tau$ é a média de $p(t)$, e $\overline{t^2}=2{\tau }^2$ é a área sob a curva de baixo: para colisões aleatórias, a média de $t^2$ é o dobro do quadrado da média. As velocidades aleatórias com que os voos começam não acrescentam nada em média, então esta é toda a deriva, e ela concorda com o resultado acima.

O fio ampliado na animação obedece à mesma regra. Cada voo livre é uma parábola curta que se curva para a direita; com um tempo livre médio de 12/45 ≈ 0,27 s e uma aceleração de 22,5 unidades/s², a deriva é $a\tau =22,5\cdot 12/45=6$ unidades por segundo.

Lei de Ohm, resistividade e resistência

Conhecida a deriva, a densidade de corrente segue. Para portadores de carga $q$, a força é $F=qE$, então $v_d=qE\tau /m$ e
$J=nq{v}_d=\frac{n{q}^2\tau }{m}E$
A densidade de corrente é proporcional ao campo. Esta é a lei de Ohm em sua forma local, válida em cada ponto do metal. A constante de proporcionalidade é a condutividade $\sigma$, e seu inverso é a resistividade $\rho$; para elétrons, com $q^2=e^2$,
$J=\sigma E$
$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{m}{n{e}^2\tau }$
Como a carga entra elevada ao quadrado, portadores positivos e negativos dão a mesma condutividade: medir $\sigma$ não revela o sinal dos portadores.

Verifique isso com o cobre. Com $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ e $\tau =2,5\times 10^{-14}\mathrm{s}$, a fórmula fornece a resistividade medida do cobre, $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$. A concordância é menos impressionante do que parece: $\tau$ não pode ser medido diretamente e foi inferido justamente a partir dessa resistividade. O modelo explica a forma da lei, uma corrente proporcional ao campo, mas não o valor de $\rho$.

Agora passe de um ponto para um fio inteiro. Em um fio uniforme de comprimento $L$ e seção transversal $A$, o campo é o mesmo em toda parte, então a tensão sobre o fio é $V=EL$ e a corrente é $I=JA$. Substituindo $E=V/L$ e $J=I/A$ em $J=\sigma E$, obtemos $I/A=V/(\rho L)$, ou seja, $V=(\rho L/A)I$. Assim, a fórmula
$R=\frac{\rho L}{A}$
foi deduzida, e não adivinhada.

Os dois gráficos da nível avançado da animação mostram as duas faces da fórmula, usando o fio de referência do nível intermediário: nicromo, com 1,0 m de comprimento e 0,55 mm² de seção, portanto 2 Ω, conduzindo 1,0 A com 2,0 V. Em função do comprimento, $R$ é uma reta passando pela origem com inclinação $\rho /A$: o fio de referência fica em $L_0$ e 2 Ω, o fio duas vezes mais longo em $2L_0$ e 4 Ω. Em função da área, $R$ é uma hipérbole, porque $RA=\rho L$ permanece constante: o fio de referência fica em $A_0$ e 2 Ω, o fio grosso em $2A_0$ e 1 Ω. A hipérbole mostra retornos decrescentes. Dobrar a área economiza 1 Ω, mas passar para $3A_0$ economiza apenas 0,33 Ω a mais, enquanto reduzir a seção até zero faz $R$ tender ao infinito.

Para onde vai a energia

Entre as colisões, o campo realiza trabalho sobre cada portador e o acelera. A cada colisão, o portador entrega essa energia à rede de íons, que vibra com mais intensidade: o fio esquenta. Em média, o campo entrega a potência $\vec{F}\cdot {\vec{v}}_d=q\vec{E}\cdot {\vec{v}}_d$ a cada portador, e há $n$ portadores por unidade de volume, de modo que o calor produzido por unidade de volume e por segundo é
$p=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2=\rho J^2$
Em um fio uniforme, multiplicando pelo seu volume $AL$, obtemos $(JA)(EL)=IV$, a conhecida potência elétrica.

Para o fio de referência, $E=2,0V/m$ e $J=1,0/(0,55\times 10^{-6})\approx 1,8\times 10^{6}A/{\mathrm{m}}^2$, então $p=JE\approx 3,6\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^3$. O fio contém 0,55 cm³ de metal, portanto produz 2,0 W no total, o mesmo que $IV=1,0\cdot 2,0\mathrm{W}$.

Como a energia entra

Como essa energia chega a cada parte do fio? Não viajando pelo interior dele: os portadores passam sua energia para a rede exatamente onde estão. Ela entra pela superfície do fio, transportada pelos campos elétrico e magnético no espaço ao seu redor.

Legenda

$I$	Corrente no fio.	$\mathrm{A}$
$a$	Raio do fio.	$\mathrm{m}$
$L$	Comprimento do fio.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Campo elétrico logo fora da superfície: sua parte ao longo do fio, igual à do interior.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético da corrente, circulando o fio pela regra da mão direita: para você no topo, para longe de você embaixo.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Fluxo de energia $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: energia por segundo por unidade de área, aqui para dentro do fio.	$W/{\mathrm{m}}^2$

A figura 3 mostra um fio de raio $a$ e comprimento $L$ conduzindo a corrente $I$ para a direita. Dois campos o cercam. O primeiro é o campo elétrico $\vec{E}$ logo fora da superfície, apontando ao longo do fio. Ele está ali porque a parte de um campo paralela a uma superfície é a mesma dos dois lados dela, de modo que o campo que impulsiona a corrente no interior continua logo fora. (Cargas superficiais podem acrescentar uma parte perpendicular à superfície; essa parte move energia ao longo do fio, não para dentro dele.) O segundo é o campo magnético $\vec{B}$ da corrente, que circula o fio pela regra da mão direita e tem módulo $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$ na superfície.

Onde os dois campos estão presentes, flui energia eletromagnética. Seu fluxo, a energia por segundo através da unidade de área, é $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$, perpendicular aos dois campos. Leia as direções na figura. No topo do fio, $\vec{E}$ aponta ao longo dele e $\vec{B}$ aponta na sua direção, então $\vec{S}$ aponta para baixo, para dentro do fio. Na base, $\vec{B}$ aponta para longe de você, e $\vec{S}$ aponta para cima, novamente para dentro do fio. Em toda a volta, a energia entra diretamente pela superfície. Como $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares, e a superfície tem área $2\pi aL$,
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{EI}{2\pi a},S\cdot 2\pi aL=ELI=VI$
pois $EL=V$: a entrada é exatamente o calor produzido no interior. Para o fio de referência, $a\approx 0,42\mathrm{mm}$ e $S\approx 760W/{\mathrm{m}}^2$, valor que, sobre sua superfície de cerca de $2,6\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$, corresponde exatamente aos 2,0 W de calor. A energia da bateria percorre o espaço em torno do circuito; os fios a guiam e a recebem.

O que realmente espalha os elétrons

Drude imaginava elétrons quicando em cada íon. Essa imagem está errada, e corrigi-la explica como a resistência depende da temperatura e da pureza. Primeiro, os elétrons do cobre não são lentos. O princípio de exclusão permite apenas um elétron em cada estado quântico, então eles preenchem estados até a velocidade de Fermi, cerca de $1,6\times 10^{6}m/s$, mesmo no zero absoluto. Seu caminho livre médio, a distância entre colisões, é então $\ell =v_F\tau \approx 39\mathrm{nm}$, cerca de 150 espaçamentos iônicos: um elétron passa por muitos íons sem ser espalhado.

A razão é que um elétron é uma onda. Em uma rede perfeitamente periódica, as ondas espalhadas pelos íons individuais se combinam para levar o elétron em linha reta. Um cristal perfeito não teria resistência alguma.

Apenas desvios da periodicidade perfeita espalham elétrons, e suas taxas de espalhamento se somam (regra de Matthiessen). As vibrações da rede crescem com a temperatura. Impurezas e defeitos não crescem, e deixam uma resistividade residual mesmo nas temperaturas mais baixas. Perto da temperatura ambiente, a parte vibracional é aproximadamente proporcional à temperatura absoluta $T$, e uma resistividade proporcional a $T$ muda na fração $1/T$ por kelvin. É por isso que o coeficiente de temperatura do cobre, $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, é próximo de $1/(293\mathrm{K})=3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, e $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$ é simplesmente o termo linear de $\rho (T)$ em torno de 20 °C. Ao resfriar, as vibrações desaparecem e $\rho$ se estabiliza no valor residual: cobre muito puro a 4 K conduz de cem a mil vezes melhor do que à temperatura ambiente.

Dois outros tipos de material se comportam de forma bem diferente. Em um semicondutor, o calor eleva elétrons a estados condutores, de modo que $n$ sobe acentuadamente e $\rho$ cai ao aquecer. Um supercondutor, abaixo de sua temperatura crítica (cerca de 4,2 K para o mercúrio), tem resistência exatamente nula. Seus elétrons formam um único estado quântico coletivo que transporta corrente sem espalhamento: um novo estado da matéria, não o limite de colisões cada vez mais raras.

Problema resolvido: um fio que engrossa

$R=\rho L/A$ vale para um fio uniforme. E se a seção transversal mudar ao longo do comprimento? Tome o fio de referência (nicromo, 1,0 m, portanto $\rho /A_0=2,0\Omega /\mathrm{m}$) e deixe-o alargar-se gradualmente de $A_0$ em uma extremidade até $2A_0$ na outra, $A(x)=A_0(1+x/L)$, com 2,0 V sobre ele. Sua resistência deve ficar entre os 1 Ω do fio grosso e os 2 Ω do fio de referência, mas onde?

Legenda

$I$	Corrente: a mesma em todas as fatias.	$\mathrm{A}$
$A_0$	Seção na extremidade fina; a extremidade grossa tem $2A_0$.	${\mathrm{m}}^2$
$A(x)$	Seção à distância $x$ da extremidade fina, $A_0(1+x/L)$.	${\mathrm{m}}^2$
$L$	Comprimento do fio.	$\mathrm{m}$
$x$	Distância da extremidade fina.	$\mathrm{m}$
$dx$	Espessura de uma fatia.	$\mathrm{m}$
$\rho /A(x)$	Resistência por unidade de comprimento do fio em $x$.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /A_0$	Resistência por unidade de comprimento na extremidade fina.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /2A_0$	Resistência por unidade de comprimento na extremidade grossa: metade da que há na extremidade fina.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$dR$	Resistência da fatia em $x$, $\rho dx/A(x)$: a área da faixa escura.	$\Omega$
$R$	Resistência do fio inteiro: a área sob a curva.	$\Omega$

A figura 4 corta o fio em fatias finas (fio e fatia são desenhados bem mais grossos do que são). A fatia à distância $x$ da extremidade fina tem espessura $dx$ e seção transversal $A(x)$. Assim, uma fatia fina é um fio uniforme curto, com resistência $dR=\rho dx/A(x)$. A mesma corrente $I$ passa por uma fatia após a outra, então as fatias estão em série e suas resistências se somam.

O gráfico abaixo do fio transforma essa soma em uma área. Sua curva é a resistência por unidade de comprimento, $\rho /A(x)$, que cai de $\rho /A_0$ na extremidade fina para $\rho /2A_0$ na extremidade grossa. A faixa escura sob a curva tem altura $\rho /A(x)$ e largura $dx$, de modo que sua área é o $dR$ da fatia. Somando todas as faixas, obtemos a área total sob a curva, que é a resistência $R$ do fio. Com $u=1+x/L$, de modo que $dx=Ldu$,
$R={\int }_0^L\frac{\rho dx}{A_0(1+x/L)}=\frac{\rho L}{A_0}{\int }_1^2\frac{du}{u}=\frac{\rho L}{A_0}\ln 2$
$R=2,0\cdot 0,693\approx 1,39\Omega$

Assim, a corrente é $I=2,0/1,386\approx 1,44\mathrm{A}$. Dois atalhos tentadores falham. Fazer a média das duas resistências dá 1,5 Ω, alto demais, porque a curva fica abaixo da reta que une suas extremidades. Usar a área média, $1,5A_0$, dá 1,33 Ω, baixo demais, porque as fatias se somam como $1/A$, e a média de $1/A$ não é o inverso da média de $A$. O próprio quadro das fatias é seguro aqui porque o fio se alarga suavemente: seu diâmetro cresce apenas de 0,84 mm para 1,18 mm ao longo de um metro inteiro, de modo que a corrente em cada fatia flui quase em linha reta ao longo do fio.

A corrente é a mesma em todas as fatias, então o campo deve seguir a área: $E(x)=\rho I/A(x)$ vale 2,9 V/m na extremidade fina e 1,4 V/m na extremidade grossa, e 1,17 V dos 2,0 V, 58 %, caem sobre a metade mais fina. A deriva é duas vezes mais rápida na extremidade fina do que na grossa, e o calor ali é duas vezes maior por unidade de comprimento e quatro vezes maior por unidade de volume. O que molda o campo dessa forma é uma camada fina de carga superficial, formada em nanossegundos após ligar o circuito. A mesma concentração de calor em uma seção estreita é a razão de os elementos dos fusíveis terem estrangulamentos propositais: é ali que eles derretem.

Limites de validade

$R=\rho L/A$ trata o metal como um contínuo, com um $\rho$ definido em cada ponto; por isso, cada dimensão do condutor deve ser bem maior que o caminho livre médio, cerca de 40 nm no cobre. Em filmes finos e em interconexões de chips com algumas dezenas de nanômetros de largura, os elétrons também se espalham nas superfícies e nos contornos de grão, e a resistividade sobe duas ou três vezes acima de seu valor no volume. Condutores mais curtos que o caminho livre médio são atravessados sem colisão alguma, e a resistência assume um caráter quântico: uma constrição de alguns átomos de largura conduz em degraus de $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, 12,9 kΩ por canal, qualquer que seja o metal.

Os resultados também supõem uma corrente constante. Em uma corrente alternada, o campo magnético variável no interior do fio induz um campo elétrico que se opõe à corrente perto do eixo e se soma a ela perto da superfície. A corrente se concentra em uma camada superficial cuja espessura, a profundidade pelicular, é
$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega {\mu }_0}}$
onde $\omega$ é a frequência angular. Para o cobre, isso dá 9,3 mm em 50 Hz, 66 µm em 1 MHz e 2,1 µm em 1 GHz; portanto, em altas frequências, apenas uma camada fina do fio conduz corrente. Perto de $1/(2\pi \tau )\approx 6\mathrm{THz}$ o campo inverte o sentido em cerca de um tempo livre, e a inércia dos elétrons, não suas colisões, começa a determinar sua resposta; essa resposta à luz é o que torna os metais brilhantes.

A lei de Ohm também exige que a energia que um portador ganha entre colisões seja minúscula. No cobre conduzindo 1 A por mm², o campo é de apenas 0,017 V/m, e um elétron ganha cerca de $7\times 10^{-10}\mathrm{eV}$ ao longo de um caminho livre, em comparação com a escala de energia térmica $kT\approx 0,026\mathrm{eV}$ à temperatura ambiente. Em campos fortes, isso falha: os elétrons de um semicondutor se aquecem, e no silício sua velocidade de deriva satura perto de $10^{5}m/s$, em vez de crescer com o campo.

Para onde isso leva

Em Circuitos de corrente contínua e lei de Ohm, resistores em série se somam como comprimentos de fio, e em paralelo atuam como faixas extras, de modo que suas condutâncias se somam. Em Potência e energia elétrica em casa, acompanha-se o calor $VI=I^{2}R$ em cabos, fusíveis e chaleiras. Uma corrente cria um campo magnético (Campos magnéticos de ímãs e correntes), e um campo magnético desvia os portadores em deriva (Força magnética sobre cargas em movimento), produzindo uma tensão Hall que revela $n$ e o sinal de $q$. Em Semicondutores, diodos e LEDs, controla-se $n$ para construir dispositivos, e em Ondas eletromagnéticas encontra-se a mesma profundidade pelicular quando uma onda de rádio entra na água do mar. Como os elétrons livres também transportam calor, bons condutores elétricos são bons condutores de calor (Condução, convecção e radiação).