电流与电阻

入门

电流就是移动的电荷。

第 1 步：什么在移动。在金属中，每个原子会释放一两个外层电子，这些电子在剩下的原子（即离子）之间自由游荡。动画中放大的导线展示了这一群体：标有 + 的黄色离子整齐排列，蓝色电子在其间快速穿梭。

第 2 步：推动。没有电池时，电子向各个方向随机乱跑，平均来看并不会前进。接上电池后，所有电子都受到同一方向的轻柔推动：它们仍然曲折穿行并不断撞上离子，但同时也会沿导线缓慢爬行。请追踪那个带圈的电子：它的路径纠结，却仍在向右前进。

第 3 步：计数。电流用安培来度量。1 安培表示每秒通过某一点的电荷为 1 库仑，约相当于六百亿亿个电子。如果 5 秒内通过 10 库仑的电荷，电流为 $10÷5=2\mathrm{A}$。

第 4 步：方向。按照一个沿用已久的约定，电流从 + 端流向 − 端。电子带负电，所以它们实际上是向相反方向漂移，即从 − 端到 + 端。

第 5 步：电阻。碰撞阻碍电子的运动，并把能量交给离子，离子因此振动得更剧烈：导线变热。使用同一电池时，长度为两倍的导线通过的电流减半；粗细（横截面积）为两倍的导线通过的电流加倍。金属容易导电；玻璃和塑料几乎不导电。

电子爬行的速度比蜗牛还慢，但开关一拨，灯就立即亮起：导线中本来就充满了电子，而推动作用几乎以光速沿导线传播。

自我检验：10 秒内通过 30 库仑的电荷，电流是多少？（答案：3 A。）

中级

流动的是什么，朝哪个方向

在金属中，每个原子会释放一个或几个外层电子，这些电子在晶格中固定的正离子之间自由游动。在盐水和电池中，载流子是离子。电流是单位时间内穿过导体某一截面的电荷：
$I=\frac{Q}{t}$

单位是安培，$1\mathrm{A}=1C/s$。一个电子带电 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$，因此 1 安培意味着每秒有 $1/e\approx 6.2\times 10^{18}$ 个电子穿过截面。

习惯上的电流方向是正电荷会运动的方向：在外电路中从 + 流向 −，在导线内部则沿电场 $\vec{E}$ 的方向。电子带负电，因此它们向相反方向漂移。动画中，绿色的 $E$ 箭头和红橙色的电流箭头 $I$ 指向左方，而蓝色的漂移速度 $v_d$ 指向右方：向右运动的负电荷与向左运动的正电荷产生相同的电流。

欧姆定律与电流-电压图像

使电荷持续流动的推动力是元件两端的电压 $V$，即每库仑电荷在其两端之间失去的能量（参见电场与电势）；在长为 $L$ 的均匀导线中，它建立起电场 $E=V/L$。电阻就是推动力与电流的比值：
$R=\frac{V}{I}$

其单位是欧姆，$1\Omega =1V/A$。对于温度固定的金属，电流与电压成正比，因此 $R$ 为常数：这就是欧姆定律。以 $I$ 对 $V$ 作图，得到过原点、斜率为 $1/R$ 的直线。灯丝受热后，其图线会弯曲，电阻增大超过十倍；而二极管只允许单向导电。$V/I$ 在每一点仍可定义它们的电阻，但它并不是常数。

决定导线电阻的因素

可以把导线想象成一排串联的段，同时也是并排的若干通道。每多一米，就多一段需要让电流通过，因此 $R$ 与长度 $L$ 成正比；每多一平方毫米，就多开一条通道，因此 $R$ 与面积 $A$ 成反比。材料则通过其电阻率 $\rho$ 发挥作用：
$R=\frac{\rho L}{A}$

电阻率以欧姆·米（Ω·m）为单位，是长 1 m、横截面积为 1 m² 的一段材料的电阻。动画中的表格显示了它的范围：铜是导体，为 $1.7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$；纯硅是半导体，为 $2.3\times 10^3\Omega \mathrm{m}$；玻璃是绝缘体，为 $10^{10}$ 至 $10^{14}\Omega \mathrm{m}$：跨越二十多个数量级。发热合金镍铬的电阻率约为 $1.1\times 10^{-6}\Omega \mathrm{m}$。

在金属中，$\rho$ 也随温度升高而增大，大致满足 $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$，其中 ${\rho }_0$ 是 20 °C 时的值，$\Delta T$ 是高出的温度。对于铜，$\alpha =3.9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$，即每开尔文约 0.4%。在半导体中，$\rho$ 则相反会下降，因为受热会释放出更多载流子。

例题：动画中的三根导线

动画中的三根导线共用同一个 2.0 V 电压。设顶部的参考导线为镍铬合金，长 1.0 m，横截面积为 $0.55\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=0.55\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$，直径约 0.84 mm。则
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1.1\times 10^{-6}\cdot 1.0}{0.55\times 10^{-6}}=2.0\Omega$
$I=\frac{V}{R}=\frac{2.0}{2.0}=1.0\mathrm{A}$

这就是旁边标出的 2 Ω 和 1.0 A。每个蓝点代表一库仑电荷，因此每秒有一个蓝点离开导线；在 12 s 的循环中，其计数器稳定上升到 $Q=It=1.0\cdot 12=12\mathrm{C}$，约相当于 $7.5\times 10^{19}$ 个电子。

中间的导线长度加倍：$R=4.0\Omega$，$I=0.50\mathrm{A}$，其计数器达到 6 C。同样的 2.0 V 分布在 2.0 m 上，因此电场减半为 1.0 V/m，其上的圆点移动速度也减半。底部的导线横截面积加倍：$R=1.0\Omega$，$I=2.0\mathrm{A}$，12 s 后为 24 C；其电场不变，因此圆点的移动速度与参考导线相同，但分布在两条通道中。

电子漂移有多快

现在来计算载流子的数目。设每立方米有 $n$ 个载流子，每个带电 $q$，以速度 $v_d$ 漂移，则在截面上游距离 $v_{d}t$ 之内的每个载流子都会在时间 $t$ 内穿过该截面：体积 $A{v}_{d}t$ 内含有 $nA{v}_{d}t$ 个载流子。它们的电荷除以 $t$ 即为电流：
$I=nA{v}_{d}q$

铜中每个原子约有一个自由电子，$n=8.5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$。对于截面为 1 mm² 的导线中 1 A 的电流，
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{1.0}{8.5\times 10^{28}\cdot 10^{-6}\cdot 1.602\times 10^{-19}}\approx 7.3\times 10^{-5}m/s$
约 0.07 mm/s，即每小时 26 cm。

然而，电子以约 160 万 m/s 的速度四处乱窜；漂移只是叠加在这种随机运动上的一个微小偏置。放大导线中带圈的电子同时展示了两者：快速的曲折运动和缓慢的向右推进。不过在真实的铜中，曲折运动比漂移快超过一百亿倍，而不是动画中的七倍。灯之所以立即亮起，是因为导线中本来就充满电子，而使它们开始运动的电场以光速的相当大一部分传播。

例题：延长线

一根 10 m 的延长线有两根截面为 1.5 mm² 的铜芯；电流沿一根流出，再沿另一根流回，共经过 20 m 铜导线。接在其上的水壶消耗 10 A 的电流。取 $A=1.5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$，则
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1.7\times 10^{-8}\cdot 20}{1.5\times 10^{-6}}\approx 0.23\Omega$
$V=IR=10\cdot 0.23\approx 2.3\mathrm{V}$
这仅占 230 V 市电的 1%，但在 10 A 的电流下，电缆中会产生约 23 W 的热量（功率等于电压乘以电流）。若热量分散在 20 m 长的导线上，它并无大碍；但若电缆绕在线盘上，则会有危险。

漂移速度为
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{10}{8.5\times 10^{28}\cdot 1.5\times 10^{-6}\cdot 1.602\times 10^{-19}}\approx 4.9\times 10^{-4}m/s$
即每秒半毫米：若是稳定电流，电子要花约 11 小时才能沿这 20 m 导线运动到另一端。市电每秒换向 100 次（50 Hz），因此每个电子只是前后往复运动几微米，而能量则立即到达水壶。

常见错误

• 电流不会被消耗：流入灯的电流与流出灯的电流相同，参考导线两端都是 1.0 A；灯所消耗的是能量。
• 电子并不会飞奔到灯处：对于铜中截面为 1 mm² 的 1 A 电流，它们的漂移速度约为 0.07 mm/s。只有使它们运动的电场传播得很快。
• 更粗的导线电阻更小，而不是更大：截面积加倍会使 $R$ 减半，在动画中从 2 Ω 降到 1 Ω。
• 写出 $R=V/I$ 并不意味着电阻取决于电压：对于遵从欧姆定律的导线，$V$ 加倍则 $I$ 加倍，参考导线仍为 2 Ω。
• 换算面积时用 $1\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=10^{-6}{\mathrm{m}}^2$，而不是 $10^{-3}$：错误的换算因子会把镍铬导线的 2.0 Ω 变成 0.0020 Ω。

你在哪里会遇到它

家用布线使用铜，而架空输电线使用铝，铝的电阻率约为铜的 1.6 倍，但重量轻得多。烤面包机和加热器使用镍铬合金，其电阻率很高，且随温度变化很小。电阻温度计通过 $\rho (T)$ 读出温度。接下来，《直流电路与欧姆定律》讨论电阻的串联与并联，《家庭中的电功率与电能》研究它们产生的热量，而《磁体与电流的磁场》则展示每个电流周围的磁场。

高级

电流密度与电荷守恒

电流 $I$ 只说明每秒有多少电荷穿过整个截面，并不说明这股流动在截面上如何分布。电流密度 $\vec{J}$ 则能说明。它的大小是垂直于流动方向的单位面积上的电流，单位为 A/m²，方向与正电荷的流动方向相同。要把它与载流子本身联系起来，我们计算在一小段时间内有多少载流子穿过表面上的一小块面元。

图例

$dA$	小面元的面积，侧视画出。	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	作为矢量的面元：长度为 $dA$，垂直于面元。	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{J}$	电流密度 $nq{\vec{v}}_d$：单位面积上的电流，沿正电荷的流动方向。	$A/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	$\vec{J}$（及 ${\vec{v}}_d$）与 $d\vec{A}$ 之间的夹角。	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{d}dt$	时间 $dt$ 内载流子漂移的距离：薄片的斜边。	$\mathrm{m}$
$v_{d}dt\cos \theta$	同一漂移在垂直于面元方向上的投影：薄片的高度。	$\mathrm{m}$
$dV$	面元下方薄片的体积：其中的载流子在 $dt$ 内穿过面元。	${\mathrm{m}}^3$

图 1 以侧视方式画出这样一个面元：标记为 $dA$ 的线段即其面积。为了说明面元朝向哪一边，我们给它一个矢量 $d\vec{A}$，其长度为 $dA$，且垂直于面元。载流子（每单位体积 $n$ 个，每个带电 $q$）以圆点表示。它们平均以漂移速度 ${\vec{v}}_d$ 运动，该速度与 $d\vec{A}$ 成夹角 $\theta$。它们快速的随机运动使得穿过面元的载流子在两个方向上数目相等，因此只有漂移才有贡献。

在短时间 $dt$ 内，每个载流子移动 ${\vec{v}}_{d}dt$。因此，在该时间内穿过面元的载流子恰好是那些起始于下方斜置薄片内的载流子：更远处的任何载流子都无法及时到达面元。看这个薄片的两侧。它的斜边（沿漂移方向）长 $v_{d}dt$，但其垂直于面元方向的高度只有 $v_{d}dt\cos \theta$。斜置薄片与底面和高度相同的直立柱体体积相等，因此
$dV=dA{v}_{d}dt\cos \theta$
该薄片含有电荷 $nqdV$，而它全部会在 $dt$ 内穿过面元。除以 $dt$，即得穿过面元的电流：
$dI=nq{v}_d\cos \theta dA=\vec{J}\cdot d\vec{A},\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$
因子 $\cos \theta$ 恰好由点积给出。对整个表面的所有面元求和，便得到穿过它的电流：
$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$
对于垂直穿过截面 $A$ 的均匀流动，处处有 $\theta =0$，积分即为 $JA$，于是
$I=nA{v}_{d}q$

图 1 针对的是正载流子，$q>0$，此时 $\vec{J}$ 与 ${\vec{v}}_d$ 同向。对于电子，$q=-e$，$\vec{J}$ 与 ${\vec{v}}_d$ 反向：按惯例规定的电流朝一个方向流动，而电子朝相反方向漂移。

现在取一个闭合面，例如包围某个节点的盒子，并使每个 $d\vec{A}$ 都指向外侧。电荷守恒：它既不能凭空产生，也不能消失。因此从该面流出的电流必定来自其内部的电荷 $Q$，而该电荷以相同速率减少：
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=-\frac{dQ}{dt}$
在稳恒状态下，任何地方都不会有电荷堆积，所以 $dQ/dt=0$：流入任一闭合面的电流与流出的电流相等。将其应用于两个截面之间的一段导线，这说明无论导线形状如何，同一电流都穿过每个截面，因此电流永远不会被消耗。将其应用于导线的节点，它就是电路的节点定律。

随机碰撞导致的漂移

稳定的电场对每个载流子施加稳定的力，但电流也是稳定的：载流子不会无限加速。碰撞阻止了它们的加速。质量为 $m$ 的载流子受到电场施加的力 $\vec{F}=q\vec{E}$，并叠加碰撞带来的短暂随机冲量。德鲁德于 1900 年的模型用三条假设描述这一过程，其中 $\tau$ 是平均自由时间，即两次碰撞之间的平均时间。

• 两次碰撞之间，载流子自由运动，以 $\vec{F}/m$ 的加速度加速。
• 每次碰撞都使它向随机方向飞出，与碰撞前的运动状态无关。
• 碰撞随机发生：在每个短时间 $dt$ 内发生碰撞的概率都是 $dt/\tau$，与之前发生过什么无关。

现在考察某一瞬间的所有载流子。每个载流子的速度有两部分。第一部分是它刚离开上一次碰撞时的速度：这是随机的，对大量载流子取平均后为零。第二部分是自上一次碰撞以来，电场所增加的速度，即 $\vec{F}/m$ 乘以自那次碰撞以来经过的时间。因此平均速度，即漂移速度，等于 $\vec{F}/m$ 乘以自上一次碰撞以来的平均时间。

这个平均时间是多少？由于碰撞没有记忆，无论时间向前还是向后推，任一短时间间隔内发生碰撞的概率都是 $dt/\tau$。因此，从任一时刻向回看，自上一次碰撞以来的时间与直到下一次碰撞的等待时间具有相同的统计规律，其平均值也是 $\tau$。于是
$v_d=\frac{F\tau }{m}$
对于电场 $E$ 中的电子，$F=eE$，
$v_d=\frac{eE\tau }{m}$

为什么长的飞行占主导

这个结果引起一个疑问：在一次飞行中，附加速度从零增长到 $Ft/m$，那么漂移速度不应该是 $F\tau /m$ 的一半吗？如果每次飞行都恰好持续 $\tau$，确实如此。但实际并非如此：由于碰撞随机发生，飞行时间 $t$ 是分散的，其概率密度为 $p(t)=e^{-t/\tau }/\tau$。所有飞行中，持续时间在 $t$ 与 $t+dt$ 之间的比例为 $p(t)dt$。

图例

$t$	一次自由飞行的持续时间，即两次碰撞之间的时间。	$\mathrm{s}$
$\tau$	平均自由时间：飞行的平均持续时间。	$\mathrm{s}$
$p(t)$	飞行时间的密度 $e^{-t/\tau }/\tau$：占比为 $p(t)dt$ 的飞行，其持续时间在 $t$ 与 $t+dt$ 之间。	${\mathrm{s}}^{-1}$
$t^{2}p(t)$	持续时间为 $t$ 的飞行所贡献的前进距离：$t^2$ 乘以这类飞行出现的概率，再差一个因子 $F/2m$。	$\mathrm{s}$

图 2 的上图就是这个密度。它在最短的飞行处最高，并稳定下降，其均值为 $\tau$。然而，大多数飞行比平均值短：超过 $\tau$ 的飞行，即阴影部分，只占全部飞行的 $1/e$，约 37%。

现在按每次飞行使载流子向前推进的距离加权。从零附加速度开始，持续时间为 $t$ 的飞行使其前进 $\frac{1}{2}(F/m)t^2=(F/2m)t^2$，因此飞行时间为两倍的，前进距离为四倍。下图显示的是 $t^{2}p(t)$：持续时间为 $t$ 的飞行有多常见，乘以每次飞行的贡献。它在 $2\tau$ 处达到峰值，远超均值，而且其面积的大部分位于阴影区域：超过 $\tau$ 的飞行提供了约 92% 的前进距离。少数长飞行完成了几乎全部的工作，因为它们获得速度的时间更长。若取 $F\tau /m$ 的一半，就等于假设每次飞行长度相同，从而忽略了这一点。

漂移速度等于每次飞行的平均前进距离除以飞行的平均持续时间：
$v_d=\frac{F}{2m}\frac{\overline{t^2}}{\overline{t}}=\frac{F}{2m}\frac{2{\tau }^2}{\tau }=\frac{F\tau }{m}$
这里 $\overline{t}=\tau$ 是 $p(t)$ 的均值，而 $\overline{t^2}=2{\tau }^2$ 是下图曲线下的面积：对于随机碰撞，$t^2$ 的平均值是平均值平方的两倍。飞行开始时的随机速度平均而言不贡献任何量，因此这就是全部的漂移，并与上面的结果一致。

动画中放大的导线遵循同样的规律。每次自由飞行都是一段向右弯曲的短抛物线；平均自由时间为 12/45 ≈ 0.27 s，加速度为 22.5 单位/s²，因此漂移为 $a\tau =22.5\cdot 12/45=6$ 单位/s。

欧姆定律、电阻率与电阻

知道了漂移速度，电流密度便随之确定。对于电荷为 $q$ 的载流子，受力 $F=qE$，因此 $v_d=qE\tau /m$，且
$J=nq{v}_d=\frac{n{q}^2\tau }{m}E$
电流密度与电场成正比。这就是欧姆定律的局域形式，在金属中每一点都成立。比例常数是电导率 $\sigma$，其倒数为电阻率 $\rho$；对于电子，$q^2=e^2$，于是
$J=\sigma E$
$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{m}{n{e}^2\tau }$
由于电荷以平方形式出现，正负载流子给出相同的电导率：测量 $\sigma$ 无法判断载流子带正电还是带负电。

用铜来检验。取 $n=8.5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ 与 $\tau =2.5\times 10^{-14}\mathrm{s}$，该公式给出铜的实测值 $1.7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$。这种吻合不如看上去那么令人印象深刻：$\tau$ 无法直接测量，而是由这个电阻率反推出来的。该模型解释了定律的形式，即电流与电场成正比，但没有解释 $\rho$ 的大小。

现在从一点推广到整段导线。在长为 $L$、截面为 $A$ 的均匀导线中，电场处处相同，因此导线两端的电压为 $V=EL$，电流为 $I=JA$。将 $E=V/L$ 与 $J=I/A$ 代入 $J=\sigma E$，得 $I/A=V/(\rho L)$，即 $V=(\rho L/A)I$。于是
$R=\frac{\rho L}{A}$
这是推导出来的，而非猜测得到的。

动画专家图层中的两幅图呈现了它的两个侧面，使用的是中级的参考导线：镍铬合金，长 1.0 m，截面 0.55 mm²，因此电阻为 2 Ω，在 2.0 V 下通过 1.0 A。相对于长度，$R$ 是斜率为 $\rho /A$ 的过原点直线：参考导线位于 $L_0$、2 Ω，长度为两倍的导线位于 $2L_0$、4 Ω。相对于面积，$R$ 是双曲线，因为 $RA=\rho L$ 保持不变：参考导线位于 $A_0$、2 Ω，粗导线位于 $2A_0$、1 Ω。这条双曲线显示收益递减：截面加倍节省 1 Ω，但再增加到 $3A_0$ 只再节省 0.33 Ω，而截面趋于零时 $R$ 趋于无穷大。

能量去向

在两次碰撞之间，电场对载流子做功并使其加速。每次碰撞时，载流子把这份能量交给离子晶格，晶格振动加剧：导线变热。平均而言，电场向每个载流子提供功率 $\vec{F}\cdot {\vec{v}}_d=q\vec{E}\cdot {\vec{v}}_d$，而每单位体积有 $n$ 个载流子，因此每单位体积每秒产生的热量为
$p=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2=\rho J^2$
对于均匀导线，乘以其体积 $AL$，得 $(JA)(EL)=IV$，即熟悉的电功率。

对于参考导线，$E=2.0V/m$，$J=1.0/(0.55\times 10^{-6})\approx 1.8\times 10^{6}A/{\mathrm{m}}^2$，因此 $p=JE\approx 3.6\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^3$。导线含有 0.55 cm³ 金属，因此总共产生 2.0 W，与 $IV=1.0\cdot 2.0\mathrm{W}$ 相同。

能量如何进入导线

这些能量如何到达导线的每一部分？并不是沿导线内部传递：载流子就在其所在之处把能量交给晶格。能量是从导线表面流入的，由导线周围空间中的电场和磁场携带。

图例

$I$	导线中的电流。	$\mathrm{A}$
$a$	导线的半径。	$\mathrm{m}$
$L$	导线的长度。	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	紧贴表面外侧的电场：其沿导线方向的分量，与内部相同。	$V/m$
$\vec{B}$	电流的磁场，依右手定则环绕导线：在顶部指向观察者，在底部背离观察者。	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	能量通量 $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$：单位面积上每秒通过的能量，此处指向导线内部。	$W/{\mathrm{m}}^2$

图 3 显示半径为 $a$、长度为 $L$ 的导线，其中电流 $I$ 向右流动。它周围有两种场。第一种是紧贴表面外侧的电场 $\vec{E}$，沿导线方向。它之所以存在，是因为与表面平行的电场分量在表面两侧相同，因此驱动内部电流的电场会延续到外侧。（表面电荷可能附加一个垂直于表面的分量；该分量沿导线方向输送能量，而不是输入导线。）第二种是电流的磁场 $\vec{B}$，依右手定则环绕导线，在表面处的大小为 $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$。

两种场同时存在的地方，就有电磁能量流动。其通量，即单位面积上每秒通过的能量，为 $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$，与两种场都垂直。从图中读取方向：在导线顶部，$\vec{E}$ 沿导线方向，$\vec{B}$ 指向观察者，因此 $\vec{S}$ 向下，指向导线内部。在底部，$\vec{B}$ 背离观察者，$\vec{S}$ 向上，同样指向导线内部。四周的能量都是通过表面直接流入的。由于 $\vec{E}$ 与 $\vec{B}$ 互相垂直，且表面积为 $2\pi aL$，
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{EI}{2\pi a},S\cdot 2\pi aL=ELI=VI$
因为 $EL=V$，流入量恰好等于内部产生的热量。对于参考导线，$a\approx 0.42\mathrm{mm}$，$S\approx 760W/{\mathrm{m}}^2$，在其约 $2.6\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ 的表面上，恰好是 2.0 W 的热量。电池的能量沿电路周围的空间传播；导线引导它并将其吸收。

真正使电子散射的是什么

德鲁德设想电子会被每个离子弹开。这一图景是错误的，修正它就能解释电阻如何依赖温度与纯度。首先，铜中的电子并不慢。泡利不相容原理只允许每个量子态容纳一个电子，因此即使在绝对零度，它们也会填充到费米速度，约为 $1.6\times 10^{6}m/s$。其平均自由程，即两次碰撞之间的距离，为 $\ell =v_F\tau \approx 39\mathrm{nm}$，约相当于 150 个离子间距：电子可以越过许多离子而不被散射。

原因在于电子是一种波。在完美周期性的晶格中，各个离子散射的波相互叠加，使电子笔直前进。理想晶体完全没有电阻。

只有偏离完美周期性的部分才会散射电子，各种散射速率相加（马西森定则）。晶格振动随温度增强；杂质和缺陷则不然，即使在最低温度下也会留下剩余电阻率。在室温附近，振动部分大致与绝对温度 $T$ 成正比，而与 $T$ 成正比的电阻率每开尔文变化的比例为 $1/T$。这就是为什么铜的温度系数 $\alpha =3.9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ 接近 $1/(293\mathrm{K})=3.4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$，而 $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$ 只是 $\rho (T)$ 在 20 °C 附近的线性项。冷却时，振动逐渐消失，$\rho$ 趋于剩余值：极纯的铜在 4 K 时的导电能力比室温时高一百到一千倍。

另外两类材料的行为则截然不同。在半导体中，热能把电子提升到导电态，因此 $n$ 急剧上升，$\rho$ 随温度升高而下降。超导体在其临界温度（汞约为 4.2 K）以下，电阻恰好为零。它的电子组成一个集体量子态，无散射地携带电流：这是一种新的物质状态，而不是碰撞越来越少的极限。

例题：逐渐变粗的导线

$R=\rho L/A$ 适用于均匀导线。如果横截面积沿长度变化呢？取参考导线（镍铬合金，1.0 m，因此 $\rho /A_0=2.0\Omega /\mathrm{m}$），让它从一端的 $A_0$ 均匀变宽到另一端的 $2A_0$，即 $A(x)=A_0(1+x/L)$，两端电压为 2.0 V。它的电阻应介于粗导线的 1 Ω 与参考导线的 2 Ω 之间，但具体在哪里？

图例

$I$	电流：每个薄片中都相同。	$\mathrm{A}$
$A_0$	细端的横截面积；粗端为 $2A_0$。	${\mathrm{m}}^2$
$A(x)$	距细端距离为 $x$ 处的横截面积，$A_0(1+x/L)$。	${\mathrm{m}}^2$
$L$	导线的长度。	$\mathrm{m}$
$x$	距细端的距离。	$\mathrm{m}$
$dx$	一个薄片的厚度。	$\mathrm{m}$
$\rho /A(x)$	$x$ 处导线单位长度的电阻。	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /A_0$	细端单位长度的电阻。	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /2A_0$	粗端单位长度的电阻：是细端的一半。	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$dR$	$x$ 处薄片的电阻，$\rho dx/A(x)$：即深色条的面积。	$\Omega$
$R$	整根导线的电阻：即曲线下的面积。	$\Omega$

图 4 把导线切成许多薄片（导线与薄片都比实际画得粗得多）。距细端为 $x$ 的薄片厚度为 $dx$，横截面积为 $A(x)$。薄片越薄，就越像一段短的均匀导线，其电阻为 $dR=\rho dx/A(x)$。同一电流 $I$ 依次穿过每个薄片，因此这些薄片串联，其电阻相加。

导线下方的图把这个求和变成了面积。其曲线是单位长度的电阻 $\rho /A(x)$，从细端的 $\rho /A_0$ 下降到粗端的 $\rho /2A_0$。曲线下方的深色条高为 $\rho /A(x)$、宽为 $dx$，因此其面积即为该薄片的 $dR$。把所有条带相加，便得到曲线下的全部面积，即导线的电阻 $R$。令 $u=1+x/L$，从而 $dx=Ldu$，
$R={\int }_0^L\frac{\rho dx}{A_0(1+x/L)}=\frac{\rho L}{A_0}{\int }_1^2\frac{du}{u}=\frac{\rho L}{A_0}\ln 2$
$R=2.0\cdot 0.693\approx 1.39\Omega$

因此电流为 $I=2.0/1.386\approx 1.44\mathrm{A}$。两种看似合理的捷径都行不通。取两端电阻的平均值得到 1.5 Ω，偏大，因为曲线位于连接两端的直线下方。取平均面积 $1.5A_0$ 得到 1.33 Ω，偏小，因为各薄片按 $1/A$ 相加，而 $1/A$ 的平均值并不等于 $A$ 的平均值的倒数。这里薄片模型本身是安全的，因为导线变化平缓：整整一米内，其直径仅从 0.84 mm 增至 1.18 mm，因此每个薄片中的电流几乎沿导线笔直流动。

每个薄片中的电流相同，因此电场必须随面积变化：$E(x)=\rho I/A(x)$ 在细端为 2.9 V/m，在粗端为 1.4 V/m，2.0 V 中的 1.17 V，即 58%，落在较细的一半上。细端的漂移速度是粗端的两倍，该处单位长度的热量是两倍，单位体积的热量则是四倍。使电场如此分布的，是一层薄薄的表面电荷，它在通电后几纳秒内建立。同样的热量集中于狭窄处，也正是保险丝的熔体被刻意做成窄颈的原因：它们正是在那里熔断。

适用范围的限制

$R=\rho L/A$ 把金属视为连续介质，每一点都有确定的 $\rho$，因此导体的每个尺寸都必须远大于平均自由程（铜中约 40 nm）。在仅几十纳米宽的薄膜和芯片互连线中，电子还会在表面和晶界处散射，电阻率会比体材料高出两到三倍。短于平均自由程的导体中，电子无需任何碰撞即可穿过，电阻呈现量子特性：宽度仅几个原子的收缩处，以 $2e^2/h\approx 7.75\times 10^{-5}\mathrm{S}$ 为台阶导电，每个通道 12.9 kΩ，与金属种类无关。

这些结果还假定电流是稳恒的。在交流电中，导线内部变化的磁场会感应出一个电场，它在轴线附近与电流反向，而在表面附近与电流同向。电流会集中到一个表面层中，其厚度即趋肤深度为
$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega {\mu }_0}}$
其中 $\omega$ 为角频率。对于铜，50 Hz 时为 9.3 mm，1 MHz 时为 66 µm，1 GHz 时为 2.1 µm，因此在高频下，只有导线表面的一薄层在导电。在 $1/(2\pi \tau )\approx 6\mathrm{THz}$ 附近，电场在约一个自由时间内反向，此时起主导作用的是电子的惯性，而不是它们的碰撞；金属之所以有光泽，正是由于它对光的这种响应。

欧姆定律还要求载流子在两次碰撞之间获得的能量很小。在每平方毫米通过 1 A 电流的铜中，电场仅为 0.017 V/m，电子在一个自由程内获得约 $7\times 10^{-10}\mathrm{eV}$ 的能量，而室温下的热能尺度为 $kT\approx 0.026\mathrm{eV}$。在强电场下这一条件不再成立：半导体中的电子会升温，在硅中，它们的漂移速度会饱和在 $10^{5}m/s$ 附近，而不是随电场继续增长。

延伸与联系

《直流电路与欧姆定律》正是在此基础上发展：串联的电阻如同加长的导线相加，并联时则像增加的通道，因此它们的电导相加。《家庭中的电功率与电能》沿着热量 $VI=I^{2}R$ 追踪电缆、保险丝和水壶中的情况。电流产生磁场（《磁体与电流的磁场》），而磁场使漂移的载流子偏转（《运动电荷受到的磁场力》），产生能揭示 $n$ 与 $q$ 符号的霍尔电压。《半导体、二极管与发光二极管》通过控制 $n$ 来制造器件，而《电磁波》在无线电波进入海水时遇到的正是同一趋肤深度。由于自由电子也传递热量，良导电体同时也是良导热体（《热传导、对流与热辐射》）。