Corriente eléctrica y resistencia

Principiante

Una corriente eléctrica es, sencillamente, carga eléctrica en movimiento.

Paso 1: qué se mueve. En un metal, cada átomo suelta uno o dos de sus electrones externos, que vagan libremente entre los átomos que quedan (los iones). El cable ampliado de la animación muestra esa multitud: iones amarillos marcados con + en filas ordenadas y electrones azules que corren entre ellos.

Paso 2: el empuje. Sin pila, los electrones se agitan al azar y, en promedio, no van a ninguna parte. Conecta una pila y todos reciben un suave empujón en el mismo sentido: siguen zigzagueando y chocando con los iones, pero además avanzan despacio a lo largo del cable. Sigue al electrón rodeado por un anillo: un camino enredado y, aun así, se abre paso hacia la derecha.

Paso 3: contar. La intensidad de corriente se mide en amperios. Un amperio significa que por un punto pasa cada segundo un culombio de carga, unos seis trillones de electrones. Si pasan 10 culombios en 5 segundos, la intensidad es $10÷5=2\mathrm{A}$.

Paso 4: hacia dónde. Por una vieja convención, se dice que la corriente va del extremo + al −. Los electrones son negativos, así que en realidad derivan en sentido contrario, del − al +.

Paso 5: la resistencia. Los choques frenan a los electrones y ceden energía a los iones, que vibran más: el cable se calienta, como en una tostadora. Con la misma pila, un cable el doble de largo deja pasar la mitad de corriente; uno el doble de grueso, el doble. Los metales conducen con facilidad; el vidrio y el plástico, casi nada.

Los electrones avanzan más despacio que un caracol, pero la lámpara se enciende en cuanto pulsas el interruptor: el cable ya está lleno de electrones y el empuje se propaga casi a la velocidad de la luz.

Ponte a prueba: pasan 30 culombios en 10 segundos. ¿Cuál es la intensidad? (Respuesta: 3 A.)

Intermedio

Qué fluye y en qué sentido

En un metal, cada átomo libera uno o unos pocos electrones externos, que vagan libres entre los iones positivos fijos de la red cristalina. En el agua salada y en las pilas, los portadores son iones. La intensidad de corriente es la carga que atraviesa una sección del conductor por unidad de tiempo:
$I=\frac{Q}{t}$

La unidad es el amperio, $1\mathrm{A}=1C/s$. Un electrón lleva una carga $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, así que un amperio significa que cruzan cada segundo $1/e\approx 6,2\times 10^{18}$ electrones.

La corriente convencional apunta en el sentido en que se moverían las cargas positivas: de + a − por el circuito exterior, en el sentido del campo eléctrico $\vec{E}$ dentro del cable. Los electrones son negativos, así que derivan en sentido contrario. En la animación, la flecha verde $E$ y la flecha rojo anaranjado de la corriente $I$ apuntan a la izquierda, mientras que la velocidad de deriva $v_d$, en azul, apunta a la derecha: una carga negativa que se mueve hacia la derecha transporta la misma corriente que una positiva que se mueve hacia la izquierda.

La ley de Ohm y la gráfica intensidad–tensión

El empuje que mantiene el flujo de carga es la tensión $V$ entre los extremos del componente, la energía que cede cada culombio entre ellos (véase Campo y potencial eléctricos); en un cable homogéneo de longitud $L$ crea un campo $E=V/L$. La resistencia compara el empuje con el flujo:
$R=\frac{V}{I}$

Su unidad es el ohmio, $1\Omega =1V/A$. En un metal a temperatura constante, la corriente es proporcional a la tensión, así que $R$ es una constante: es la ley de Ohm, y la gráfica de $I$ frente a $V$ es una recta que pasa por el origen con pendiente $1/R$. La línea de un filamento de lámpara se va curvando al calentarse, porque su resistencia llega a crecer más de diez veces, y un diodo conduce en un solo sentido: $V/I$ sigue definiendo la resistencia de ambos en cada punto, pero ya no es una constante.

De qué depende la resistencia de un cable

Imagina un cable como tramos puestos en fila y como carriles puestos uno junto a otro. Cada metro más es otro tramo por el que empujar la corriente, así que $R$ crece en proporción a la longitud $L$; cada milímetro cuadrado más abre otro carril, así que $R$ disminuye en proporción inversa al área $A$. El material interviene mediante su resistividad $\rho$:
$R=\frac{\rho L}{A}$

La resistividad, en ohmios metro (Ω·m), es la resistencia de un trozo de 1 m de largo y 1 m² de sección. La tabla de la animación muestra su amplitud: $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$ para el cobre, un conductor; $2,3\times 10^3\Omega \mathrm{m}$ para el silicio puro, un semiconductor; y de $10^{10}$ a $10^{14}\Omega \mathrm{m}$ para el vidrio, un aislante: más de veinte potencias de diez. La aleación calefactora nicromo tiene unos $1,1\times 10^{-6}\Omega \mathrm{m}$.

En un metal, $\rho$ también aumenta con la temperatura, aproximadamente como $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$, donde ${\rho }_0$ es el valor a 20 °C y $\Delta T$ el aumento por encima de esa temperatura. Para el cobre, $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, un 0,4 % por kelvin. En un semiconductor, en cambio, $\rho$ disminuye, porque el calor libera más portadores.

Ejemplo resuelto: los tres cables de la animación

Los tres cables de la animación comparten los mismos 2,0 V. Supongamos que el de arriba, el cable de referencia, es de nicromo, mide 1,0 m de largo y tiene una sección de $0,55\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=0,55\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, es decir, unos 0,84 mm de diámetro. Entonces
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,1\times 10^{-6}\cdot 1,0}{0,55\times 10^{-6}}=2,0\Omega$
$I=\frac{V}{R}=\frac{2,0}{2,0}=1,0\mathrm{A}$

Son los 2 Ω y 1,0 A que aparecen junto a él. Cada punto azul representa un culombio, así que sale un punto del cable cada segundo y, a lo largo del bucle de 12 s, su contador sube de forma constante hasta $Q=It=1,0\cdot 12=12\mathrm{C}$, unos $7,5\times 10^{19}$ electrones.

El cable del medio es el doble de largo: $R=4,0\Omega$, $I=0,50\mathrm{A}$, y su contador llega a 6 C. Los mismos 2,0 V se reparten a lo largo de 2,0 m, así que el campo se reduce a la mitad, hasta 1,0 V/m, y sus puntos avanzan a la mitad de velocidad. El cable de abajo tiene el doble de sección: $R=1,0\Omega$, $I=2,0\mathrm{A}$, 24 C tras 12 s; su campo no cambia, así que sus puntos avanzan igual de deprisa que en el cable de referencia, pero en dos carriles.

A qué velocidad derivan los electrones

Contemos ahora los portadores. Con $n$ portadores por metro cúbico, cada uno de carga $q$ y con velocidad de deriva $v_d$, todos los que están a menos de una distancia $v_{d}t$ de una sección, aguas arriba de ella, la atraviesan en un tiempo $t$: es un volumen $A{v}_{d}t$ que contiene $nA{v}_{d}t$ portadores. Su carga dividida entre $t$ es la corriente:
$I=nA{v}_{d}q$

El cobre tiene aproximadamente un electrón libre por átomo, $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$. Para 1 A en un cable de 1 mm²,
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{1,0}{8,5\times 10^{28}\cdot 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 7,3\times 10^{-5}m/s$
unos 0,07 mm/s, o 26 cm por hora.

Y, sin embargo, los electrones se agitan a unos 1,6 millones de m/s; la deriva es un minúsculo sesgo sobre ese movimiento aleatorio. El electrón rodeado de la imagen ampliada del cable muestra ambas cosas, un zigzag rápido y un avance lento hacia la derecha, aunque en el cobre real el zigzag es más de diez mil millones de veces más rápido que la deriva, y no solo unas siete. Aun así, una lámpara se enciende al instante, porque el cable ya está lleno de electrones y el campo que los pone en marcha se propaga a una fracción grande de la velocidad de la luz.

Ejemplo resuelto: un alargador

Un alargador de 10 m tiene dos conductores de cobre de 1,5 mm²; la corriente va por uno y vuelve por el otro, es decir, recorre 20 m de cobre. Un hervidor eléctrico enchufado a él consume 10 A. Con $A=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$,
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 20}{1,5\times 10^{-6}}\approx 0,23\Omega$
$V=IR=10\cdot 0,23\approx 2,3\mathrm{V}$
Es solo un 1 % de los 230 V de la red, pero a 10 A se convierte en unos 23 W de calor en el cable (la potencia es la tensión por la intensidad). Repartido a lo largo de 20 m es inofensivo, pero en un cable que se deja enrollado en su carrete resulta peligroso.

La velocidad de deriva es
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{10}{8,5\times 10^{28}\cdot 1,5\times 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 4,9\times 10^{-4}m/s$
medio milímetro por segundo: una corriente continua tardaría unas 11 horas en llevar un electrón a lo largo de esos 20 m. La corriente de la red invierte su sentido 100 veces por segundo (50 Hz), así que cada electrón solo oscila un par de micrómetros a un lado y a otro, mientras que la energía llega al hervidor al instante.

Errores frecuentes

• La corriente no se gasta: la misma intensidad entra en una lámpara y sale de ella, 1,0 A en los dos extremos del cable de referencia; lo que la lámpara toma es energía.
• Los electrones no corren hasta la lámpara: derivan a unos 0,07 mm/s para 1 A en 1 mm² de cobre. Solo viaja deprisa el campo que los pone en movimiento.
• Un cable más grueso tiene menos resistencia, no más: duplicar la sección reduce $R$ a la mitad, de 2 Ω a 1 Ω en la animación.
• Escribir $R=V/I$ no hace que la resistencia dependa de la tensión: en un cable óhmico, duplicar $V$ duplica $I$, y el cable de referencia sigue en 2 Ω.
• Convierte las áreas con $1\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ y no con $10^{-3}$: con el factor equivocado, los 2,0 Ω del cable de nicromo se convierten en 0,0020 Ω.

Dónde aparece

El cableado doméstico es de cobre, mientras que las líneas eléctricas aéreas son de aluminio, cuya resistividad es unas 1,6 veces mayor pero que es mucho más ligero. Las tostadoras y los calefactores usan nicromo, de resistividad alta y casi independiente de la temperatura. Los termómetros de resistencia miden la temperatura a través de $\rho (T)$. A continuación, Circuitos de corriente continua y ley de Ohm combina resistencias en serie y en paralelo, Potencia y energía eléctricas en casa sigue el calor que producen, y Campos magnéticos de imanes y corrientes muestra el campo magnético que rodea a toda corriente.

Avanzado

Densidad de corriente y conservación de la carga

Una corriente $I$ dice cuánta carga atraviesa una sección entera cada segundo, pero no cómo se reparte el flujo por ella. La densidad de corriente $\vec{J}$ sí lo dice. Su módulo es la corriente por unidad de área perpendicular al flujo, en A/m², y apunta en el sentido en que fluye la carga positiva. Para relacionarla con los propios portadores, contamos cuántos de ellos cruzan un pequeño trozo de superficie en un tiempo breve.

Leyenda

$dA$	Área del pequeño trozo de superficie, dibujado de canto.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	El trozo como vector: de longitud $dA$, perpendicular al trozo.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{J}$	Densidad de corriente, $nq{\vec{v}}_d$: corriente por unidad de área, en el sentido del flujo de la carga positiva.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Ángulo entre $\vec{J}$ (y ${\vec{v}}_d$) y $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{d}dt$	Cuánto derivan los portadores en el tiempo $dt$: la arista oblicua del prisma.	$\mathrm{m}$
$v_{d}dt\cos \theta$	La misma deriva medida perpendicularmente al trozo: la altura del prisma.	$\mathrm{m}$
$dV$	Volumen del prisma situado bajo el trozo: los portadores que contiene cruzan el trozo dentro de $dt$.	${\mathrm{m}}^3$

La figura 1 muestra ese trozo visto de canto: el segmento rotulado $dA$ es su área. Para indicar hacia dónde mira el trozo, le asignamos un vector $d\vec{A}$, de longitud $dA$ y perpendicular al trozo. Los portadores, $n$ por unidad de volumen y cada uno con carga $q$, son los puntos. En promedio se mueven con la velocidad de deriva ${\vec{v}}_d$, que forma el ángulo $\theta$ con $d\vec{A}$. Sus rápidos movimientos aleatorios hacen que crucen el trozo tantos portadores en un sentido como en el otro, así que solo cuenta la deriva.

En un tiempo breve $dt$, cada portador se desplaza ${\vec{v}}_{d}dt$. Los portadores que cruzan el trozo en ese tiempo son, por tanto, exactamente los que parten del prisma oblicuo situado debajo de él: cualquier portador más atrás no llega a tiempo. Fíjate en los dos lados del prisma. Su arista oblicua, a lo largo de la deriva, mide $v_{d}dt$, pero su altura, perpendicular al trozo, es solo $v_{d}dt\cos \theta$. Un prisma oblicuo tiene el mismo volumen que uno recto con la misma base y la misma altura, así que
$dV=dA{v}_{d}dt\cos \theta$
El prisma contiene la carga $nqdV$, y toda ella cruza el trozo dentro de $dt$. Al dividir entre $dt$ resulta la corriente que atraviesa el trozo:
$dI=nq{v}_d\cos \theta dA=\vec{J}\cdot d\vec{A},\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$
El factor $\cos \theta$ es justo lo que aporta un producto escalar. Sumando los trozos de una superficie entera se obtiene la corriente que la atraviesa:
$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$
Para un flujo uniforme que atraviesa de frente una sección $A$, $\theta =0$ en todas partes, la integral es simplemente $JA$, y
$I=nA{v}_{d}q$

La figura 1 está dibujada para portadores positivos, $q>0$, con los que $\vec{J}$ y ${\vec{v}}_d$ apuntan en el mismo sentido. Para los electrones $q=-e$, así que $\vec{J}$ apunta en sentido contrario a ${\vec{v}}_d$: la corriente convencional fluye en un sentido mientras los electrones derivan en el otro.

Tomemos ahora una superficie cerrada, por ejemplo una caja alrededor de un nudo, con cada $d\vec{A}$ apuntando hacia fuera. La carga se conserva: no puede aparecer ni desaparecer. Por tanto, la corriente que sale de la superficie tiene que proceder de la carga $Q$ que hay dentro, que disminuye al mismo ritmo:
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=-\frac{dQ}{dt}$
En régimen estacionario no se acumula nada en ningún sitio, así que $dQ/dt=0$: entra en cualquier superficie cerrada tanta corriente como sale. Aplicado a un trozo de cable entre dos secciones, esto dice que la misma corriente cruza cada sección, sea cual sea la forma del cable: la corriente nunca se gasta. Aplicado a un nudo de cables, es la regla de los nudos de los circuitos.

Deriva a partir de choques aleatorios

Un campo constante empuja a cada portador con una fuerza constante y, sin embargo, la corriente también es constante: los portadores no aceleran indefinidamente. Lo que los frena son los choques. Un portador de masa $m$ siente del campo la fuerza $\vec{F}=q\vec{E}$, más breves empujones aleatorios debidos a los choques. El modelo de Drude, de 1900, lo describe con tres supuestos, donde $\tau$, el tiempo libre medio, es el tiempo medio entre choques.

• Entre choques, el portador se mueve libremente, acelerando a razón de $\vec{F}/m$.
• Cada choque lo lanza en una dirección aleatoria, sin memoria de cómo se movía antes.
• Los choques ocurren al azar, con la misma probabilidad $dt/\tau$ en cada intervalo corto $dt$, sea lo que sea lo que haya pasado antes.

Miremos ahora a todos los portadores en un mismo instante. La velocidad de cada uno tiene dos partes. La primera es la velocidad con la que salió de su último choque: aleatoria, así que su promedio sobre muchos portadores es cero. La segunda es lo que la fuerza ha añadido desde entonces, $\vec{F}/m$ por el tiempo transcurrido desde ese choque. Así pues, la velocidad media, la deriva, es $\vec{F}/m$ por el tiempo medio transcurrido desde el último choque.

¿Cuánto vale ese promedio? Como los choques no tienen memoria, la probabilidad de que haya uno en cualquier intervalo corto es $dt/\tau$, tanto si recorremos el tiempo hacia delante como hacia atrás. Mirando hacia atrás desde cualquier instante, el tiempo transcurrido desde el último choque tiene, por tanto, la misma estadística que la espera hasta el siguiente, y también vale $\tau$ en promedio. Por tanto
$v_d=\frac{F\tau }{m}$
y, para un electrón en un campo $E$, con $F=eE$,
$v_d=\frac{eE\tau }{m}$

Por qué dominan los vuelos largos

Este resultado invita a dudar. Durante un vuelo, la velocidad añadida crece de cero a $Ft/m$; ¿no debería ser entonces la deriva la mitad de $F\tau /m$? Lo sería si todos los vuelos durasen exactamente $\tau$. Pero no es así: como los choques ocurren al azar, la duración $t$ de un vuelo está repartida, con la densidad de probabilidad $p(t)=e^{-t/\tau }/\tau$. Una fracción $p(t)dt$ de todos los vuelos dura entre $t$ y $t+dt$.

Leyenda

$t$	Duración de un vuelo libre, entre dos choques.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Tiempo libre medio: la duración media de un vuelo.	$\mathrm{s}$
$p(t)$	Densidad de la duración del vuelo, $e^{-t/\tau }/\tau$: una fracción $p(t)dt$ de los vuelos dura entre $t$ y $t+dt$.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$t^{2}p(t)$	Distancia hacia delante que aportan los vuelos de duración $t$: $t^2$ por lo frecuentes que son, salvo el factor $F/2m$.	$\mathrm{s}$

La gráfica superior de la figura 2 es esta densidad. Es máxima para los vuelos más cortos y cae de forma continua, y su media es $\tau$. Sin embargo, la mayoría de los vuelos son más cortos que la media: los que duran más que $\tau$, la parte sombreada, son solo $1/e$, alrededor del 37 %, de todos los vuelos.

Ahora pondera cada vuelo por lo que hace avanzar al portador. Partiendo sin velocidad añadida, un vuelo de duración $t$ lo hace avanzar $\frac{1}{2}(F/m)t^2=(F/2m)t^2$, así que un vuelo el doble de largo recorre cuatro veces más distancia. La gráfica inferior muestra $t^{2}p(t)$: lo frecuentes que son los vuelos de duración $t$, multiplicado por lo que aporta cada uno. Alcanza su máximo en $2\tau$, mucho más allá de la media, y la mayor parte de su área está en la parte sombreada: los vuelos más largos que $\tau$ aportan alrededor del 92 % de la distancia recorrida hacia delante. Los pocos vuelos largos hacen casi todo el trabajo, porque acumulan velocidad durante más tiempo. Tomar la mitad de $F\tau /m$ trata todos los vuelos como si durasen lo mismo y pasa por alto justo esto.

La deriva es la distancia media recorrida hacia delante por vuelo, dividida entre la duración media de un vuelo:
$v_d=\frac{F}{2m}\frac{\overline{t^2}}{\overline{t}}=\frac{F}{2m}\frac{2{\tau }^2}{\tau }=\frac{F\tau }{m}$
Aquí $\overline{t}=\tau$ es la media de $p(t)$, y $\overline{t^2}=2{\tau }^2$ es el área bajo la curva inferior: para choques aleatorios, la media de $t^2$ es el doble del cuadrado de la media. Las velocidades aleatorias con las que empiezan los vuelos no aportan nada en promedio, así que esta es toda la deriva, y coincide con el resultado anterior.

El cable ampliado de la animación obedece la misma regla. Cada vuelo libre es una parábola corta que se curva hacia la derecha; con un tiempo libre medio de 12/45 ≈ 0,27 s y una aceleración de 22,5 unidades/s², la deriva es $a\tau =22,5\cdot 12/45=6$ unidades por segundo.

Ley de Ohm, resistividad y resistencia

Con la deriva conocida, la densidad de corriente se deduce. Para portadores de carga $q$, la fuerza es $F=qE$, así que $v_d=qE\tau /m$ y
$J=nq{v}_d=\frac{n{q}^2\tau }{m}E$
La densidad de corriente es proporcional al campo. Es la ley de Ohm en su forma local, cierta en cada punto del metal. La constante de proporcionalidad es la conductividad $\sigma$, y su inversa es la resistividad $\rho$; para electrones, con $q^2=e^2$,
$J=\sigma E$
$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{m}{n{e}^2\tau }$
Como la carga entra al cuadrado, los portadores positivos y negativos dan la misma conductividad: medir $\sigma$ no puede revelar el signo de los portadores.

Comprobémoslo con el cobre. Con $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ y $\tau =2,5\times 10^{-14}\mathrm{s}$, la fórmula da la resistividad medida del cobre, $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$. El acuerdo impresiona menos de lo que parece: $\tau$ no puede medirse directamente y se dedujo de esa misma resistividad. El modelo explica la forma de la ley, una corriente proporcional al campo, pero no el valor de $\rho$.

Pasemos ahora de un punto a un cable entero. En un cable homogéneo de longitud $L$ y sección $A$, el campo es el mismo en todas partes, así que la tensión entre sus extremos es $V=EL$ y la corriente es $I=JA$. Al sustituir $E=V/L$ y $J=I/A$ en $J=\sigma E$ resulta $I/A=V/(\rho L)$, es decir, $V=(\rho L/A)I$. Por tanto
$R=\frac{\rho L}{A}$
se deduce, no se adivina.

Las dos gráficas de la capa experta de la animación muestran sus dos caras, con el cable de referencia del nivel intermedio: nicromo, de 1,0 m de longitud y 0,55 mm² de sección, es decir, 2 Ω, con 1,0 A a 2,0 V. Frente a la longitud, $R$ es una recta que pasa por el origen con pendiente $\rho /A$: el cable de referencia está en $L_0$ y 2 Ω, y el de doble longitud en $2L_0$ y 4 Ω. Frente al área, $R$ es una hipérbola, porque $RA=\rho L$ se mantiene constante: el cable de referencia está en $A_0$ y 2 Ω, y el grueso en $2A_0$ y 1 Ω. La hipérbola muestra rendimientos decrecientes. Duplicar el área ahorra 1 Ω, pero seguir hasta $3A_0$ ahorra solo 0,33 Ω más, mientras que reducir la sección hacia cero lleva $R$ al infinito.

Adónde va la energía

Entre choques, el campo realiza trabajo sobre cada portador y lo acelera. En cada choque, el portador cede esa energía a la red de iones, que vibra con más fuerza: el cable se calienta. En promedio, el campo entrega a cada portador la potencia $\vec{F}\cdot {\vec{v}}_d=q\vec{E}\cdot {\vec{v}}_d$, y hay $n$ portadores por unidad de volumen, así que el calor producido por unidad de volumen y por segundo es
$p=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2=\rho J^2$
En un cable homogéneo, multiplicar por su volumen $AL$ da $(JA)(EL)=IV$, la conocida potencia eléctrica.

Para el cable de referencia, $E=2,0V/m$ y $J=1,0/(0,55\times 10^{-6})\approx 1,8\times 10^{6}A/{\mathrm{m}}^2$, así que $p=JE\approx 3,6\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^3$. El cable contiene 0,55 cm³ de metal, así que produce 2,0 W en total, lo mismo que $IV=1,0\cdot 2,0\mathrm{W}$.

Cómo entra la energía

¿Cómo llega esta energía a cada parte del cable? No viajando por su interior: los portadores ceden su energía a la red justo donde están. Entra por la superficie del cable, transportada por los campos eléctrico y magnético del espacio que lo rodea.

Leyenda

$I$	Corriente en el cable.	$\mathrm{A}$
$a$	Radio del cable.	$\mathrm{m}$
$L$	Longitud del cable.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Campo eléctrico justo fuera de la superficie: su componente a lo largo del cable, igual que dentro.	$V/m$
$\vec{B}$	Campo magnético de la corriente, que rodea el cable según la regla de la mano derecha: hacia ti arriba, alejándose de ti abajo.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Flujo de energía $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: energía por segundo y por unidad de área, aquí hacia el interior del cable.	$W/{\mathrm{m}}^2$

La figura 3 muestra un cable de radio $a$ y longitud $L$ por el que circula la corriente $I$ hacia la derecha. Lo rodean dos campos. El primero es el campo eléctrico $\vec{E}$ justo fuera de la superficie, dirigido a lo largo del cable. Está ahí porque la componente de un campo paralela a una superficie es la misma a ambos lados de ella, de modo que el campo que impulsa la corriente dentro continúa justo fuera. (Las cargas superficiales pueden añadir una componente perpendicular a la superficie; esa componente mueve energía a lo largo del cable, no hacia dentro.) El segundo es el campo magnético $\vec{B}$ de la corriente, que rodea el cable según la regla de la mano derecha y vale $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$ en la superficie.

Donde están presentes ambos campos, fluye energía electromagnética. Su flujo, la energía por segundo y por unidad de área, es $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$, perpendicular a ambos campos. Lee las direcciones en la figura. En la parte superior del cable, $\vec{E}$ apunta a lo largo de él y $\vec{B}$ hacia ti, así que $\vec{S}$ apunta hacia abajo, hacia el interior del cable. En la parte inferior, $\vec{B}$ se aleja de ti y $\vec{S}$ apunta hacia arriba, de nuevo hacia el interior. Por todos lados, la energía entra directamente por la superficie. Como $\vec{E}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares y la superficie tiene área $2\pi aL$,
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{EI}{2\pi a},S\cdot 2\pi aL=ELI=VI$
porque $EL=V$: la energía que entra es exactamente el calor producido dentro. Para el cable de referencia, $a\approx 0,42\mathrm{mm}$ y $S\approx 760W/{\mathrm{m}}^2$, que sobre su superficie de unos $2,6\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ son exactamente los 2,0 W de calor. La energía de la pila viaja por el espacio que rodea al circuito; los cables la guían y la reciben.

Qué dispersa realmente a los electrones

Drude imaginaba electrones que rebotan contra cada ion. Esa imagen es errónea, y corregirla explica cómo depende la resistencia de la temperatura y de la pureza. En primer lugar, los electrones del cobre no son lentos. El principio de exclusión permite un solo electrón en cada estado cuántico, así que ocupan estados hasta la velocidad de Fermi, unos $1,6\times 10^{6}m/s$, incluso en el cero absoluto. Su recorrido libre medio, la distancia entre choques, es entonces $\ell =v_F\tau \approx 39\mathrm{nm}$, unas 150 distancias entre iones: un electrón pasa junto a muchos iones sin ser dispersado.

El motivo es que un electrón es una onda. En una red perfectamente periódica, las ondas dispersadas por los iones individuales se combinan para llevar al electrón en línea recta. Un cristal perfecto no tendría ninguna resistencia.

Solo las desviaciones de la periodicidad perfecta dispersan a los electrones, y sus tasas de dispersión se suman (regla de Matthiessen). Las vibraciones de la red crecen con la temperatura. Las impurezas y los defectos, no, y dejan una resistividad residual incluso a las temperaturas más bajas. Cerca de la temperatura ambiente, la parte vibracional es aproximadamente proporcional a la temperatura absoluta $T$, y una resistividad proporcional a $T$ cambia en la fracción $1/T$ por kelvin. Por eso el coeficiente de temperatura del cobre, $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, se acerca a $1/(293\mathrm{K})=3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, y $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$ es simplemente el término lineal de $\rho (T)$ en torno a 20 °C. Al enfriar, las vibraciones se apagan y $\rho$ se estabiliza en el valor residual: el cobre muy puro a 4 K conduce de cien a mil veces mejor que a temperatura ambiente.

Otros dos tipos de materiales se comportan de forma muy distinta. En un semiconductor, el calor promueve electrones a estados de conducción, así que $n$ sube con fuerza y $\rho$ disminuye al calentarse. Un superconductor, por debajo de su temperatura crítica (unos 4,2 K para el mercurio), tiene resistencia exactamente nula. Sus electrones forman un único estado cuántico colectivo que transporta corriente sin dispersión: un estado nuevo de la materia, no el límite de cada vez menos choques.

Problema resuelto: un cable que se ensancha

$R=\rho L/A$ vale para un cable homogéneo. ¿Y si la sección cambia a lo largo del cable? Tomemos el cable de referencia (nicromo, 1,0 m, de modo que $\rho /A_0=2,0\Omega /\mathrm{m}$) y hagamos que se ensanche de forma continua de $A_0$ en un extremo a $2A_0$ en el otro, $A(x)=A_0(1+x/L)$, con 2,0 V entre sus extremos. Su resistencia tiene que estar entre el 1 Ω del cable grueso y los 2 Ω del cable de referencia, pero ¿dónde exactamente?

Leyenda

$I$	Corriente: la misma en todas las rodajas.	$\mathrm{A}$
$A_0$	Sección en el extremo delgado; el extremo grueso tiene $2A_0$.	${\mathrm{m}}^2$
$A(x)$	Sección a la distancia $x$ del extremo delgado, $A_0(1+x/L)$.	${\mathrm{m}}^2$
$L$	Longitud del cable.	$\mathrm{m}$
$x$	Distancia al extremo delgado.	$\mathrm{m}$
$dx$	Espesor de una rodaja.	$\mathrm{m}$
$\rho /A(x)$	Resistencia por unidad de longitud del cable en $x$.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /A_0$	Resistencia por unidad de longitud en el extremo delgado.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /2A_0$	Resistencia por unidad de longitud en el extremo grueso: la mitad que en el delgado.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$dR$	Resistencia de la rodaja en $x$, $\rho dx/A(x)$: el área de la franja oscura.	$\Omega$
$R$	Resistencia del cable entero: el área bajo la curva.	$\Omega$

La figura 4 corta el cable en rodajas finas (el cable y la rodaja están dibujados mucho más gruesos de lo que son). La rodaja a la distancia $x$ del extremo delgado tiene espesor $dx$ y sección $A(x)$. Una rodaja tan fina es un cable homogéneo corto, de resistencia $dR=\rho dx/A(x)$. La misma corriente $I$ atraviesa una rodaja tras otra, así que las rodajas están en serie y sus resistencias se suman.

La gráfica situada debajo del cable convierte esta suma en un área. Su curva es la resistencia por unidad de longitud, $\rho /A(x)$, que baja de $\rho /A_0$ en el extremo delgado a $\rho /2A_0$ en el grueso. La franja oscura bajo la curva tiene altura $\rho /A(x)$ y anchura $dx$, así que su área es el $dR$ de la rodaja. Sumando todas las franjas se obtiene el área total bajo la curva, que es la resistencia $R$ del cable. Con $u=1+x/L$, de modo que $dx=Ldu$,
$R={\int }_0^L\frac{\rho dx}{A_0(1+x/L)}=\frac{\rho L}{A_0}{\int }_1^2\frac{du}{u}=\frac{\rho L}{A_0}\ln 2$
$R=2,0\cdot 0,693\approx 1,39\Omega$

Así, la corriente es $I=2,0/1,386\approx 1,44\mathrm{A}$. Fallan dos atajos tentadores. Promediar las dos resistencias da 1,5 Ω, demasiado alto, porque la curva queda por debajo de la recta que une sus extremos. Usar el área media, $1,5A_0$, da 1,33 Ω, demasiado bajo, porque las rodajas se suman como $1/A$ y la media de $1/A$ no es uno entre la media de $A$. La imagen por rodajas es aquí segura porque el cable se ensancha con suavidad: su diámetro crece solo de 0,84 mm a 1,18 mm a lo largo de un metro entero, así que la corriente de cada rodaja fluye casi en línea recta a lo largo del cable.

La corriente es la misma en todas las rodajas, así que el campo debe seguir al área: $E(x)=\rho I/A(x)$ vale 2,9 V/m en el extremo delgado y 1,4 V/m en el grueso, y 1,17 V de los 2,0 V, el 58 %, caen en la mitad más delgada. La deriva es el doble de rápida en el extremo delgado que en el grueso, y allí el calor es el doble por unidad de longitud y cuatro veces mayor por unidad de volumen. Lo que da al campo esta forma es una fina capa de carga superficial, que se establece en unos nanosegundos tras cerrar el circuito. Esa misma concentración de calor en una zona estrecha es la razón de que los elementos de los fusibles tengan estrechamientos deliberados: ahí es donde se funden.

Límites de validez

$R=\rho L/A$ trata el metal como un continuo, con una $\rho$ definida en cada punto, así que todas las dimensiones del conductor deben ser mucho mayores que el recorrido libre medio, unos 40 nm en el cobre. En las películas delgadas y en las interconexiones de los chips, de unas pocas decenas de nanómetros de ancho, los electrones se dispersan además en las superficies y en los límites de grano, y la resistividad sube hasta dos o tres veces su valor en el material macizo. Los conductores más cortos que el recorrido libre medio se atraviesan sin ningún choque, y la resistencia adquiere un carácter cuántico: una constricción de unos pocos átomos de ancho conduce en escalones de $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, es decir, 12,9 kΩ por canal, sea cual sea el metal.

Los resultados suponen además una corriente estacionaria. En corriente alterna, el campo magnético variable dentro del cable induce un campo eléctrico que se opone a la corriente cerca del eje y se suma a ella cerca de la superficie. La corriente se concentra en una capa superficial cuyo espesor, la profundidad de penetración, es
$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega {\mu }_0}}$
donde $\omega$ es la frecuencia angular. Para el cobre son 9,3 mm a 50 Hz, 66 µm a 1 MHz y 2,1 µm a 1 GHz, así que a alta frecuencia solo una fina piel del cable transporta corriente. Cerca de $1/(2\pi \tau )\approx 6\mathrm{THz}$, el campo se invierte en aproximadamente un tiempo libre medio, y la inercia de los electrones, no sus choques, empieza a fijar su respuesta; esa respuesta a la luz es lo que hace brillantes a los metales.

La ley de Ohm también exige que la energía que gana un portador entre choques sea minúscula. En el cobre con 1 A por mm², el campo es de solo 0,017 V/m, y un electrón gana unos $7\times 10^{-10}\mathrm{eV}$ en un recorrido libre, frente a la escala de energía térmica $kT\approx 0,026\mathrm{eV}$ a temperatura ambiente. En campos intensos esto falla: los electrones de un semiconductor se calientan, y en el silicio su velocidad de deriva se satura cerca de $10^{5}m/s$ en vez de crecer con el campo.

Lo que viene después

Circuitos de corriente continua y ley de Ohm parte de aquí: las resistencias en serie se suman como longitudes de cable, y en paralelo actúan como carriles adicionales, así que se suman sus conductancias. Potencia y energía eléctricas en casa sigue el calor $VI=I^{2}R$ hasta los cables, los fusibles y los hervidores. Una corriente crea un campo magnético (Campos magnéticos de imanes y corrientes), y un campo magnético desvía a los portadores en deriva (Fuerza magnética sobre cargas en movimiento), lo que produce una tensión de Hall que revela $n$ y el signo de $q$. Semiconductores, diodos y LED controla $n$ para construir dispositivos, y Ondas electromagnéticas encuentra la misma profundidad de penetración cuando una onda de radio entra en el agua de mar. Como los electrones libres también transportan calor, los buenos conductores eléctricos son buenos conductores del calor (Conducción, convección y radiación).