Elektrischer Strom und Widerstand

Einsteiger

Ein elektrischer Strom ist einfach bewegte elektrische Ladung.

Schritt 1: Was bewegt sich? In einem Metall gibt jedes Atom ein oder zwei äußere Elektronen ab, die frei zwischen den zurückbleibenden Atomrümpfen (den Ionen) umherwandern. Der vergrößerte Draht in der Animation zeigt diese Menge: gelbe Ionen mit + in ordentlichen Reihen, blaue Elektronen, die zwischen ihnen umherhuschen.

Schritt 2: der Schub. Ohne Batterie sausen die Elektronen zufällig umher und kommen im Mittel nirgendwohin. Schließt man eine Batterie an, bekommen alle einen sanften Schub in dieselbe Richtung: Sie zickzacken weiterhin und stoßen gegen Ionen, kriechen aber außerdem langsam entlang des Drahtes. Verfolge das eingekreiste Elektron: ein wirrer Weg, und doch arbeitet es sich nach rechts vor.

Schritt 3: zählen. Strom misst man in Ampere. Ein Ampere bedeutet, dass pro Sekunde ein Coulomb Ladung, also etwa sechs Trillionen Elektronen, einen Punkt passiert. Fließen in 5 Sekunden 10 Coulomb, ist die Stromstärke $10÷5=2\mathrm{A}$.

Schritt 4: die Richtung. Nach einer alten Konvention fließt der Strom vom Pluspol zum Minuspol. Elektronen sind negativ, sie driften also tatsächlich in die andere Richtung, von − nach +.

Schritt 5: der Widerstand. Die Stöße halten die Elektronen zurück und geben Energie an die Ionen ab, die stärker schwingen: Der Draht erwärmt sich. Bei gleicher Batterie lässt ein doppelt so langer Draht nur halb so viel Strom durch; ein doppelt so dicker lässt doppelt so viel durch. Metalle leiten gut, Glas und Kunststoff kaum.

Elektronen kriechen langsamer als eine Schnecke, und doch leuchtet eine Lampe im selben Augenblick, in dem du den Schalter umlegst: Der Draht ist schon voller Elektronen, und der Schub breitet sich fast mit Lichtgeschwindigkeit entlang des Drahtes aus.

Test dich selbst: 30 Coulomb fließen in 10 Sekunden. Wie groß ist die Stromstärke? (Antwort: 3 A.)

Mittelstufe

Was fließt, und in welche Richtung

In einem Metall gibt jedes Atom ein oder einige äußere Elektronen ab, die frei zwischen den positiven, im Kristallgitter festen Ionen umherwandern. In Salzwasser und Batterien sind die Ladungsträger Ionen. Der Strom ist die Ladung, die pro Zeiteinheit eine Querschnittsfläche des Leiters durchquert:
$I=\frac{Q}{t}$

Die Einheit ist das Ampere, $1\mathrm{A}=1C/s$. Ein Elektron trägt $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, also durchqueren bei einem Ampere $1/e\approx 6,2\times 10^{18}$ Elektronen jede Sekunde den Querschnitt.

Die technische Stromrichtung zeigt in die Richtung, in die sich positive Ladung bewegen würde: im äußeren Stromkreis von + nach −, im Inneren des Drahtes entlang des elektrischen Feldes $\vec{E}$. Elektronen sind negativ und driften daher in die Gegenrichtung. In der Animation zeigen der grüne Pfeil $E$ und der rotorange Pfeil des Stroms $I$ nach links, während die blaue Driftgeschwindigkeit $v_d$ nach rechts zeigt: Negative Ladung, die nach rechts wandert, transportiert denselben Strom wie positive Ladung, die nach links wandert.

Ohmsches Gesetz und das Strom-Spannungs-Diagramm

Der Antrieb, der die Ladung in Bewegung hält, ist die Spannung $V$ über dem Bauteil, also die Energie, die jedes Coulomb zwischen seinen Enden abgibt (siehe Elektrisches Feld und Potential). In einem gleichmäßigen Draht der Länge $L$ erzeugt sie ein Feld $E=V/L$. Der Widerstand vergleicht den Antrieb mit dem Fluss:
$R=\frac{V}{I}$

Seine Einheit ist das Ohm, $1\Omega =1V/A$. Bei einem Metall mit fester Temperatur ist der Strom proportional zur Spannung, also ist $R$ konstant: Das ist das ohmsche Gesetz, und ein Diagramm von $I$ gegen $V$ ist eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung $1/R$. Die Kennlinie eines Glühfadens biegt sich ab, wenn er heiß wird: Sein Widerstand steigt auf mehr als das Zehnfache. Eine Diode leitet nur in eine Richtung. Ihr Widerstand ist an jedem Punkt durch $V/I$ definiert, aber er ist keine Konstante.

Was den Widerstand eines Drahtes bestimmt

Stell dir den Draht als Stücke hintereinander und als Bahnen nebeneinander vor. Jeder zusätzliche Meter ist ein weiteres Stück, durch das der Strom gedrückt werden muss, also wächst $R$ proportional zur Länge $L$. Jeder zusätzliche Quadratmillimeter öffnet eine weitere Bahn, also sinkt $R$ umgekehrt proportional zur Fläche $A$. Das Material geht über seinen spezifischen Widerstand $\rho$ ein:
$R=\frac{\rho L}{A}$

Der spezifische Widerstand, in Ohmmetern (Ω·m), ist der Widerstand eines Stücks von 1 m Länge mit 1 m² Querschnitt. Die Tabelle in der Animation zeigt seinen Bereich: $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$ für Kupfer, einen Leiter, $2,3\times 10^3\Omega \mathrm{m}$ für reines Silizium, einen Halbleiter, und $10^{10}$ bis $10^{14}\Omega \mathrm{m}$ für Glas, einen Isolator: mehr als zwanzig Zehnerpotenzen. Die Heizlegierung Nichrom hat etwa $1,1\times 10^{-6}\Omega \mathrm{m}$.

In einem Metall steigt $\rho$ außerdem mit der Temperatur, grob wie $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$, wobei ${\rho }_0$ der Wert bei 20 °C und $\Delta T$ der Anstieg darüber ist. Für Kupfer gilt $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, etwa 0,4 % pro Kelvin. In einem Halbleiter dagegen sinkt $\rho$, weil Wärme mehr Ladungsträger freisetzt.

Rechenbeispiel: die drei Drähte der Animation

Die drei Drähte der Animation liegen alle an derselben Spannung von 2,0 V. Angenommen, der oberste, der Referenzdraht, ist Nichrom mit 1,0 m Länge und einem Querschnitt von $0,55\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=0,55\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$, also etwa 0,84 mm Durchmesser. Dann
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,1\times 10^{-6}\cdot 1,0}{0,55\times 10^{-6}}=2,0\Omega$
$I=\frac{V}{R}=\frac{2,0}{2,0}=1,0\mathrm{A}$

Das sind die 2 Ω und 1,0 A, die daneben stehen. Jeder blaue Punkt steht für ein Coulomb, also verlässt pro Sekunde ein Punkt den Draht, und über den 12-s-Zyklus steigt sein Zähler gleichmäßig auf $Q=It=1,0\cdot 12=12\mathrm{C}$, etwa $7,5\times 10^{19}$ Elektronen.

Der mittlere Draht ist doppelt so lang: $R=4,0\Omega$, $I=0,50\mathrm{A}$, und sein Zähler erreicht 6 C. Dieselben 2,0 V verteilen sich auf 2,0 m, also halbiert sich das Feld auf 1,0 V/m, und seine Punkte bewegen sich halb so schnell. Der untere Draht hat den doppelten Querschnitt: $R=1,0\Omega$, $I=2,0\mathrm{A}$, nach 12 s 24 C. Sein Feld ist unverändert, also bewegen sich seine Punkte so schnell wie im Referenzdraht, nur auf zwei Bahnen.

Wie schnell die Elektronen driften

Jetzt zählen wir die Ladungsträger. Bei $n$ Ladungsträgern pro Kubikmeter, jeder mit der Ladung $q$ und einer Driftgeschwindigkeit $v_d$, gelangt jeder Träger, der sich in einer Entfernung $v_{d}t$ vor einem Querschnitt befindet, in der Zeit $t$ hindurch: ein Volumen $A{v}_{d}t$ mit $nA{v}_{d}t$ Ladungsträgern. Ihre Ladung geteilt durch $t$ ist der Strom:
$I=nA{v}_{d}q$

Kupfer hat etwa ein freies Elektron pro Atom, $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$. Für 1 A in einem Draht von 1 mm²
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{1,0}{8,5\times 10^{28}\cdot 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 7,3\times 10^{-5}m/s$
sind das etwa 0,07 mm/s, oder 26 cm pro Stunde.

Dennoch schwirren die Elektronen mit rund 1,6 Millionen m/s umher; die Drift ist eine winzige Verschiebung dieser zufälligen Bewegung. Das eingekreiste Elektron im vergrößerten Draht zeigt beides, ein schnelles Zickzack und ein langsames Vorankommen nach rechts. Im echten Kupfer ist das Zickzack allerdings mehr als zehn Milliarden Mal schneller als die Drift, nicht nur das Siebenfache wie in der Animation. Eine Lampe leuchtet trotzdem sofort, weil der Draht bereits voller Elektronen ist und das Feld, das sie in Bewegung setzt, sich mit einem großen Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.

Rechenbeispiel: ein Verlängerungskabel

Ein 10 m langes Verlängerungskabel hat zwei Kupferadern mit je 1,5 mm²; der Strom fließt auf der einen hin und auf der anderen zurück, also durch 20 m Kupfer. Ein daran angeschlossener Wasserkocher zieht 10 A. Mit $A=1,5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$
$R=\frac{\rho L}{A}=\frac{1,7\times 10^{-8}\cdot 20}{1,5\times 10^{-6}}\approx 0,23\Omega$
$V=IR=10\cdot 0,23\approx 2,3\mathrm{V}$
Das sind nur 1 % der 230-V-Netzspannung. Bei 10 A werden daraus aber etwa 23 W Wärme im Kabel (Leistung ist Spannung mal Strom). Das ist harmlos, wenn es sich über 20 m verteilt, aber gefährlich bei einem Kabel, das auf der Trommel aufgewickelt liegt.

Die Driftgeschwindigkeit ist
$v_d=\frac{I}{nAe}=\frac{10}{8,5\times 10^{28}\cdot 1,5\times 10^{-6}\cdot 1,602\times 10^{-19}}\approx 4,9\times 10^{-4}m/s$
ein halber Millimeter pro Sekunde: Ein gleichmäßiger Strom bräuchte etwa 11 Stunden, um ein Elektron über diese 20 m zu tragen. Netzstrom wechselt 100-mal pro Sekunde die Richtung (50 Hz), also pendelt jedes Elektron nur um ein paar Mikrometer hin und her, während die Energie den Wasserkocher sofort erreicht.

Häufige Fehler

• Der Strom wird nicht verbraucht: In eine Lampe fließt derselbe Strom hinein wie heraus, 1,0 A an beiden Enden des Referenzdrahtes. Was die Lampe aufnimmt, ist Energie.
• Elektronen rasen nicht zur Lampe: Sie driften mit etwa 0,07 mm/s bei 1 A in 1 mm² Kupfer. Nur das Feld, das sie in Bewegung setzt, breitet sich schnell aus.
• Ein dickerer Draht hat weniger Widerstand, nicht mehr: Die Verdopplung des Querschnitts halbiert $R$, von 2 Ω auf 1 Ω in der Animation.
• Das Hinschreiben von $R=V/I$ macht den Widerstand nicht spannungsabhängig: Bei einem ohmschen Draht verdoppelt sich $I$, wenn sich $V$ verdoppelt, und der Referenzdraht bleibt bei 2 Ω.
• Flächen rechnet man mit $1\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ um, nicht mit $10^{-3}$: Der falsche Faktor macht aus den 2,0 Ω des Nichromdrahtes 0,0020 Ω.

Wo einem das begegnet

Hausinstallationen nutzen Kupfer, Freileitungen Aluminium, dessen spezifischer Widerstand etwa 1,6-mal höher ist, das aber viel leichter ist. Toaster und Heizgeräte verwenden Nichrom, dessen spezifischer Widerstand hoch ist und sich mit der Temperatur kaum ändert. Widerstandsthermometer messen die Temperatur über $\rho (T)$. Als Nächstes kombiniert die Lektion „Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz“ Widerstände in Reihe und parallel, „Elektrische Leistung und Energie im Haushalt“ verfolgt die Wärme, die sie erzeugen, und „Magnetfelder von Magneten und Strömen“ zeigt das Magnetfeld um jeden Strom.

Fortgeschritten

Stromdichte und Ladungserhaltung

Die Stromstärke $I$ sagt, wie viel Ladung pro Sekunde einen ganzen Querschnitt durchquert, aber nicht, wie der Fluss über diesen Querschnitt verteilt ist. Das leistet die Stromdichte $\vec{J}$. Ihr Betrag ist der Strom pro Flächeneinheit senkrecht zur Strömung, in A/m², und sie zeigt in die Richtung, in die positive Ladung fließt. Um sie mit den Ladungsträgern selbst zu verbinden, zählen wir, wie viele von ihnen in einer kurzen Zeit ein kleines Flächenstück einer Oberfläche durchqueren.

Legende

$dA$	Fläche des kleinen Flächenstücks, von der Kante gezeichnet.	${\mathrm{m}}^2$
$d\vec{A}$	Das Flächenstück als Vektor: Länge $dA$, senkrecht zum Flächenstück.	${\mathrm{m}}^2$
$\vec{J}$	Stromdichte, $nq{\vec{v}}_d$: Strom pro Flächeneinheit, in Richtung des Flusses positiver Ladung.	$A/{\mathrm{m}}^2$
$\theta$	Winkel zwischen $\vec{J}$ (und ${\vec{v}}_d$) und $d\vec{A}$.	$\mathrm{rad}$
${\vec{v}}_{d}dt$	Wie weit die Ladungsträger in der Zeit $dt$ driften: die schräge Kante des Prismas.	$\mathrm{m}$
$v_{d}dt\cos \theta$	Dieselbe Drift, senkrecht zum Flächenstück gemessen: die Höhe des Prismas.	$\mathrm{m}$
$dV$	Volumen des Prismas unter dem Flächenstück: Die Ladungsträger darin durchqueren das Flächenstück innerhalb von $dt$.	${\mathrm{m}}^3$

Abbildung 1 zeigt ein solches Flächenstück von der Kante aus: die Strecke mit der Bezeichnung $dA$, seine Fläche. Um festzulegen, in welche Richtung das Flächenstück zeigt, geben wir ihm einen Vektor $d\vec{A}$, der die Länge $dA$ hat und senkrecht auf dem Flächenstück steht. Die Ladungsträger, $n$ pro Volumeneinheit und jeder mit der Ladung $q$, sind die Punkte. Im Mittel bewegen sie sich mit der Driftgeschwindigkeit ${\vec{v}}_d$, die mit $d\vec{A}$ den Winkel $\theta$ bildet. Ihre schnellen zufälligen Bewegungen bringen ebenso viele Ladungsträger in der einen wie in der anderen Richtung über das Flächenstück, sodass nur die Drift zählt.

In einer kurzen Zeit $dt$ bewegt sich jeder Ladungsträger um ${\vec{v}}_{d}dt$. Die Ladungsträger, die das Flächenstück in dieser Zeit durchqueren, sind also genau diejenigen, die in dem schiefen Prisma darunter starten: Jeder weiter entfernte Träger kann das Flächenstück in der Zeit nicht erreichen. Betrachte die beiden Seiten des Prismas. Seine schräge Kante entlang der Drift ist $v_{d}dt$ lang, seine Höhe senkrecht zum Flächenstück aber nur $v_{d}dt\cos \theta$. Ein schiefes Prisma hat dasselbe Volumen wie ein gerades mit derselben Grundfläche und Höhe, also
$dV=dA{v}_{d}dt\cos \theta$
Das Prisma enthält die Ladung $nqdV$, und die gesamte Ladung durchquert das Flächenstück innerhalb von $dt$. Division durch $dt$ ergibt den Strom durch das Flächenstück:
$dI=nq{v}_d\cos \theta dA=\vec{J}\cdot d\vec{A},\vec{J}=nq{\vec{v}}_d$
Der Faktor $\cos \theta$ ist genau das, was ein Skalarprodukt liefert. Die Summe über alle Flächenstücke einer ganzen Oberfläche ergibt den Strom durch sie:
$I=\int \vec{J}\cdot d\vec{A}$
Für eine gleichmäßige Strömung, die senkrecht durch einen Querschnitt $A$ geht, ist $\theta =0$ überall, das Integral ist einfach $JA$, und
$I=nA{v}_{d}q$

Abbildung 1 ist für positive Ladungsträger gezeichnet, $q>0$, bei denen $\vec{J}$ und ${\vec{v}}_d$ in dieselbe Richtung zeigen. Für Elektronen gilt $q=-e$, also zeigt $\vec{J}$ gegen ${\vec{v}}_d$: Der technische Strom fließt in die eine Richtung, während die Elektronen in die andere driften.

Nun betrachte eine geschlossene Oberfläche, etwa einen Kasten um einen Knotenpunkt, bei dem alle $d\vec{A}$ nach außen zeigen. Ladung bleibt erhalten: Sie kann weder entstehen noch verschwinden. Der Strom, der aus der Oberfläche herausfließt, muss also von der darin enthaltenen Ladung $Q$ stammen, die im selben Maß abnimmt:
$\oint \vec{J}\cdot d\vec{A}=-\frac{dQ}{dt}$
Im stationären Zustand staut sich nirgendwo etwas auf, also gilt $dQ/dt=0$: Genauso viel Strom fließt in jede geschlossene Oberfläche hinein, wie heraus. Auf ein Drahtstück zwischen zwei Querschnitten angewendet, sagt dies, dass derselbe Strom jeden Querschnitt durchquert, unabhängig von der Form des Drahtes; deshalb wird der Strom nie verbraucht. Auf einen Knotenpunkt von Drähten angewendet, ist es die Knotenregel für Schaltkreise.

Drift durch zufällige Stöße

Ein konstantes Feld drückt jeden Ladungsträger mit einer konstanten Kraft, und doch ist auch der Strom konstant: Die Ladungsträger werden nicht unbegrenzt schneller. Stöße sind es, die sie bremsen. Ein Ladungsträger der Masse $m$ spürt die Kraft $\vec{F}=q\vec{E}$ aus dem Feld, dazu kommen kurze zufällige Anstöße bei jedem Zusammenstoß. Drudes Modell von 1900 beschreibt dies mit drei Annahmen, wobei $\tau$, die mittlere freie Zeit, die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen ist.

• Zwischen den Stößen bewegt sich der Ladungsträger frei und wird mit $\vec{F}/m$ beschleunigt.
• Jeder Stoß schickt ihn in eine zufällige Richtung, ohne Gedächtnis dafür, wie er sich vorher bewegt hat.
• Stöße treffen zufällig ein, mit derselben Wahrscheinlichkeit $dt/\tau$ in jedem kurzen Zeitintervall $dt$, unabhängig davon, was vorher geschehen ist.

Betrachte nun alle Ladungsträger zu einem Zeitpunkt. Die Geschwindigkeit jedes Ladungsträgers hat zwei Anteile. Der erste ist die Geschwindigkeit, mit der er aus seinem letzten Stoß kam: zufällig, sodass sie über viele Ladungsträger im Mittel null ergibt. Der zweite ist das, was die Kraft seit diesem Stoß hinzugefügt hat, nämlich $\vec{F}/m$ mal die Zeit seit diesem Stoß. Die mittlere Geschwindigkeit, die Drift, ist also $\vec{F}/m$ mal die mittlere Zeit seit dem letzten Stoß.

Wie groß ist dieser Mittelwert? Da Stöße kein Gedächtnis haben, beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Stoß in jedem kurzen Intervall $dt/\tau$, egal ob wir die Zeit vorwärts oder rückwärts laufen lassen. Rückblickend von einem beliebigen Zeitpunkt aus hat die Zeit seit dem letzten Stoß daher dieselbe Statistik wie die Wartezeit bis zum nächsten, und auch sie ergibt im Mittel $\tau$. Daher
$v_d=\frac{F\tau }{m}$
und für ein Elektron im Feld $E$ mit $F=eE$
$v_d=\frac{eE\tau }{m}$

Warum die langen Flüge dominieren

Dieses Ergebnis weckt Zweifel. Während eines Fluges wächst die hinzugewonnene Geschwindigkeit von null auf $Ft/m$, also müsste die Drift doch die Hälfte von $F\tau /m$ sein? Das wäre so, wenn jeder Flug genau $\tau$ dauerte. Das ist aber nicht der Fall: Weil Stöße zufällig eintreffen, ist die Dauer $t$ eines Fluges breit gestreut, mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $p(t)=e^{-t/\tau }/\tau$. Ein Anteil $p(t)dt$ aller Flüge dauert zwischen $t$ und $t+dt$.

Legende

$t$	Dauer eines freien Fluges zwischen zwei Stößen.	$\mathrm{s}$
$\tau$	Mittlere freie Zeit: die mittlere Dauer eines Fluges.	$\mathrm{s}$
$p(t)$	Dichte der Flugdauer, $e^{-t/\tau }/\tau$: Ein Anteil $p(t)dt$ der Flüge dauert zwischen $t$ und $t+dt$.	${\mathrm{s}}^{-1}$
$t^{2}p(t)$	Vorwärtsstrecke, die Flüge der Dauer $t$ beitragen: $t^2$ mal ihre Häufigkeit, bis auf den Faktor $F/2m$.	$\mathrm{s}$

Der obere Graph von Abbildung 2 zeigt diese Dichte. Sie ist für die kürzesten Flüge am höchsten und fällt stetig ab, und ihr Mittelwert ist $\tau$. Dennoch sind die meisten Flüge kürzer als der Mittelwert: Diejenigen, die länger als $\tau$ sind, der schraffierte Teil, machen nur $1/e$, etwa 37 %, aller Flüge aus.

Nun gewichten wir jeden Flug damit, wie weit er den Ladungsträger nach vorn bringt. Ausgehend von null hinzugewonnener Geschwindigkeit verschiebt ein Flug der Dauer $t$ ihn um $\frac{1}{2}(F/m)t^2=(F/2m)t^2$, ein doppelt so langer Flug also um das Vierfache der Strecke. Der untere Graph zeigt $t^{2}p(t)$: wie häufig Flüge der Dauer $t$ sind, multipliziert mit dem Beitrag jedes einzelnen. Er hat sein Maximum bei $2\tau$, weit jenseits des Mittelwerts, und der größte Teil seiner Fläche liegt im schraffierten Bereich: Die Flüge, die länger als $\tau$ sind, liefern etwa 92 % der Vorwärtsstrecke. Die wenigen langen Flüge leisten fast die ganze Arbeit, weil sie länger Geschwindigkeit aufnehmen. Die Hälfte von $F\tau /m$ zu nehmen behandelt jeden Flug als gleich lang und übersieht genau das.

Die Drift ist die mittlere Vorwärtsstrecke pro Flug, geteilt durch die mittlere Dauer eines Fluges:
$v_d=\frac{F}{2m}\frac{\overline{t^2}}{\overline{t}}=\frac{F}{2m}\frac{2{\tau }^2}{\tau }=\frac{F\tau }{m}$
Hier ist $\overline{t}=\tau$ der Mittelwert von $p(t)$, und $\overline{t^2}=2{\tau }^2$ ist die Fläche unter der unteren Kurve: Bei zufälligen Stößen ist der Mittelwert von $t^2$ doppelt so groß wie das Quadrat des Mittelwerts. Die zufälligen Geschwindigkeiten, mit denen Flüge beginnen, tragen im Mittel nichts bei. Also ist dies die gesamte Drift, und sie stimmt mit dem obigen Ergebnis überein.

Der vergrößerte Draht in der Animation folgt derselben Regel. Jeder freie Flug ist eine kurze Parabel, die nach rechts gekrümmt ist. Mit einer mittleren freien Zeit von 12/45 ≈ 0,27 s und einer Beschleunigung von 22,5 Einheiten/s² beträgt die Drift $a\tau =22,5\cdot 12/45=6$ Einheiten pro Sekunde.

Ohmsches Gesetz, spezifischer Widerstand und Widerstand

Mit der bekannten Drift folgt die Stromdichte. Für Ladungsträger der Ladung $q$ ist die Kraft $F=qE$, also $v_d=qE\tau /m$ und
$J=nq{v}_d=\frac{n{q}^2\tau }{m}E$
Die Stromdichte ist proportional zum Feld. Dies ist das ohmsche Gesetz in seiner lokalen Form, gültig an jedem Punkt des Metalls. Die Proportionalitätskonstante ist die Leitfähigkeit $\sigma$, und ihr Kehrwert ist der spezifische Widerstand $\rho$. Für Elektronen, mit $q^2=e^2$, gilt
$J=\sigma E$
$\rho =\frac{1}{\sigma }=\frac{m}{n{e}^2\tau }$
Da die Ladung quadratisch eingeht, leiten positive und negative Ladungsträger gleich gut: Die Messung von $\sigma$ kann das Vorzeichen der Ladungsträger nicht verraten.

Prüfen wir das am Kupfer. Mit $n=8,5\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ und $\tau =2,5\times 10^{-14}\mathrm{s}$ liefert die Formel den gemessenen Wert von Kupfer, $1,7\times 10^{-8}\Omega \mathrm{m}$. Die Übereinstimmung ist weniger beeindruckend, als sie scheint: $\tau$ lässt sich nicht direkt messen und wurde gerade aus diesem spezifischen Widerstand erschlossen. Das Modell erklärt die Form des Gesetzes, eine Stromstärke proportional zum Feld, aber nicht die Größe von $\rho$.

Gehen wir nun von einem Punkt zu einem ganzen Draht über. In einem gleichmäßigen Draht der Länge $L$ und dem Querschnitt $A$ ist das Feld überall gleich, also ist die Spannung über dem Draht $V=EL$ und der Strom $I=JA$. Setzt man $E=V/L$ und $J=I/A$ in $J=\sigma E$ ein, folgt $I/A=V/(\rho L)$, also $V=(\rho L/A)I$. Somit
$R=\frac{\rho L}{A}$
ist hergeleitet, nicht geraten.

Die beiden Graphen der Fortgeschrittenen-Ebene der Animation zeigen ihre zwei Seiten, am Referenzdraht der Mittelstufe: Nichrom, 1,0 m lang und 0,55 mm² im Querschnitt, also 2 Ω, das bei 2,0 V einen Strom von 1,0 A führt. Gegen die Länge aufgetragen ist $R$ eine Gerade durch den Ursprung mit der Steigung $\rho /A$: Der Referenzdraht liegt bei $L_0$ und 2 Ω, der doppelt so lange Draht bei $2L_0$ und 4 Ω. Gegen die Fläche aufgetragen ist $R$ eine Hyperbel, weil $RA=\rho L$ konstant bleibt: Der Referenzdraht liegt bei $A_0$ und 2 Ω, der dicke Draht bei $2A_0$ und 1 Ω. Die Hyperbel zeigt abnehmenden Nutzen. Eine Verdopplung der Fläche spart 1 Ω, aber der Schritt zu $3A_0$ spart nur noch 0,33 Ω mehr, während ein Verkleinern des Querschnitts gegen null $R$ gegen unendlich treibt.

Wohin die Energie geht

Zwischen den Stößen leistet das Feld an jedem Ladungsträger Arbeit und beschleunigt ihn. Bei jedem Stoß gibt der Ladungsträger diese Energie an das Gitter der Ionen weiter, das stärker schwingt: Der Draht erwärmt sich. Im Mittel liefert das Feld jedem Ladungsträger die Leistung $\vec{F}\cdot {\vec{v}}_d=q\vec{E}\cdot {\vec{v}}_d$, und es gibt $n$ Ladungsträger pro Volumeneinheit. Die erzeugte Wärme pro Volumeneinheit und Sekunde ist daher
$p=\vec{J}\cdot \vec{E}=\sigma E^2=\rho J^2$
Für einen gleichmäßigen Draht ergibt die Multiplikation mit seinem Volumen $AL$ den Wert $(JA)(EL)=IV$, die vertraute elektrische Leistung.

Für den Referenzdraht gilt $E=2,0V/m$ und $J=1,0/(0,55\times 10^{-6})\approx 1,8\times 10^{6}A/{\mathrm{m}}^2$, also $p=JE\approx 3,6\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^3$. Der Draht enthält 0,55 cm³ Metall und erzeugt daher insgesamt 2,0 W, genau wie $IV=1,0\cdot 2,0\mathrm{W}$.

Wie die Energie hineingelangt

Wie gelangt diese Energie zu jedem Teil des Drahtes? Nicht, indem sie durch sein Inneres wandert: Die Ladungsträger geben ihre Energie direkt dort an das Gitter ab, wo sie sich gerade befinden. Sie strömt durch die Oberfläche des Drahtes hinein, getragen von den elektrischen und magnetischen Feldern im Raum um ihn herum.

Legende

$I$	Strom im Draht.	$\mathrm{A}$
$a$	Radius des Drahtes.	$\mathrm{m}$
$L$	Länge des Drahtes.	$\mathrm{m}$
$\vec{E}$	Elektrisches Feld direkt außerhalb der Oberfläche: sein Anteil entlang des Drahtes, derselbe wie im Inneren.	$V/m$
$\vec{B}$	Magnetfeld des Stroms, das den Draht nach der Rechte-Hand-Regel umkreist: oben auf dich zu, unten von dir weg.	$\mathrm{T}$
$\vec{S}$	Energiefluss $\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$: Energie pro Sekunde durch die Flächeneinheit, hier in den Draht hinein.	$W/{\mathrm{m}}^2$

Abbildung 3 zeigt einen Draht mit dem Radius $a$ und der Länge $L$, der den Strom $I$ nach rechts führt. Zwei Felder umgeben ihn. Das erste ist das elektrische Feld $\vec{E}$ direkt außerhalb der Oberfläche, das entlang des Drahtes zeigt. Es ist dort vorhanden, weil der Teil eines Feldes, der parallel zu einer Oberfläche verläuft, auf beiden Seiten derselben Oberfläche gleich ist; das Feld, das den Strom im Inneren antreibt, setzt sich also direkt außerhalb fort. (Oberflächenladungen können einen Anteil senkrecht zur Oberfläche hinzufügen; dieser Anteil transportiert Energie entlang des Drahtes, nicht in ihn hinein.) Das zweite ist das Magnetfeld $\vec{B}$ des Stroms, das den Draht nach der Rechte-Hand-Regel umkreist und an der Oberfläche die Größe $B={\mu }_{0}I/(2\pi a)$ hat.

Wo beide Felder vorhanden sind, fließt elektromagnetische Energie. Ihr Fluss, also die Energie pro Sekunde durch die Flächeneinheit, ist $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{B}/{\mu }_0$, senkrecht zu beiden Feldern. Lies die Richtungen aus der Abbildung ab. Oben am Draht zeigt $\vec{E}$ entlang des Drahtes und $\vec{B}$ auf dich zu, also zeigt $\vec{S}$ nach unten, in den Draht hinein. Unten zeigt $\vec{B}$ von dir weg, und $\vec{S}$ zeigt nach oben, wiederum in den Draht hinein. Ringsum fließt die Energie geradewegs durch die Oberfläche in den Draht. Da $\vec{E}$ und $\vec{B}$ senkrecht aufeinander stehen und die Oberfläche die Fläche $2\pi aL$ hat,
$S=\frac{EB}{{\mu }_0}=\frac{EI}{2\pi a},S\cdot 2\pi aL=ELI=VI$
da $EL=V$: Der Zufluss ist genau die im Inneren erzeugte Wärme. Für den Referenzdraht gilt $a\approx 0,42\mathrm{mm}$ und $S\approx 760W/{\mathrm{m}}^2$, was über seine Oberfläche von etwa $2,6\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ genau den 2,0 W Wärme entspricht. Die Energie der Batterie läuft durch den Raum um den Stromkreis; die Drähte leiten sie und nehmen sie auf.

Was die Elektronen wirklich streut

Drude stellte sich vor, dass Elektronen an jedem Ion abprallen. Dieses Bild ist falsch, und seine Korrektur erklärt, wie der Widerstand von Temperatur und Reinheit abhängt. Erstens sind die Elektronen im Kupfer nicht langsam. Das Pauli-Prinzip erlaubt nur ein Elektron in jedem Quantenzustand, sodass sie Zustände bis zur Fermi-Geschwindigkeit füllen, etwa $1,6\times 10^{6}m/s$, selbst am absoluten Nullpunkt. Ihre mittlere freie Weglänge, der Abstand zwischen Stößen, beträgt dann $\ell =v_F\tau \approx 39\mathrm{nm}$, etwa 150 Ionenabstände: Ein Elektron passiert viele Ionen, ohne gestreut zu werden.

Der Grund ist, dass ein Elektron eine Welle ist. In einem perfekt periodischen Gitter setzen sich die von den einzelnen Ionen gestreuten Wellen so zusammen, dass das Elektron geradeaus weiterläuft. Ein perfekter Kristall hätte gar keinen Widerstand.

Nur Abweichungen von der perfekten Periodizität streuen Elektronen, und ihre Streuraten addieren sich (Matthiessensche Regel). Gitterschwingungen nehmen mit der Temperatur zu. Verunreinigungen und Defekte tun das nicht und hinterlassen einen Restwiderstand selbst bei tiefsten Temperaturen. Nahe Raumtemperatur ist der Schwingungsanteil grob proportional zur absoluten Temperatur $T$, und ein Widerstand proportional zu $T$ ändert sich um den Bruchteil $1/T$ pro Kelvin. Deshalb liegt der Temperaturkoeffizient des Kupfers $\alpha =3,9\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$ nahe bei $1/(293\mathrm{K})=3,4\times 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$, und $\rho (T)\approx {\rho }_0(1+\alpha \Delta T)$ ist einfach das lineare Glied von $\rho (T)$ um 20 °C herum. Beim Abkühlen klingen die Schwingungen ab, und $\rho$ flacht auf den Restwert ab: Sehr reines Kupfer leitet bei 4 K hundert- bis tausendmal besser als bei Raumtemperatur.

Zwei andere Materialklassen verhalten sich ganz anders. In einem Halbleiter hebt Wärme Elektronen in leitende Zustände, sodass $n$ stark ansteigt und $\rho$ beim Erwärmen sinkt. Ein Supraleiter hat unterhalb seiner kritischen Temperatur (für Quecksilber etwa 4,2 K) exakt null Widerstand. Seine Elektronen bilden einen gemeinsamen Quantenzustand, der einen Strom ohne Streuung trägt: ein neuer Materiezustand, nicht der Grenzfall immer seltenerer Stöße.

Rechenaufgabe: ein Draht, der dicker wird

$R=\rho L/A$ gilt für einen gleichmäßigen Draht. Was, wenn sich der Querschnitt entlang der Länge ändert? Nimm den Referenzdraht (Nichrom, 1,0 m, also $\rho /A_0=2,0\Omega /\mathrm{m}$) und lass ihn gleichmäßig von $A_0$ an einem Ende auf $2A_0$ am anderen Ende anwachsen, $A(x)=A_0(1+x/L)$, mit 2,0 V daran. Sein Widerstand muss zwischen den 1 Ω des dicken Drahtes und den 2 Ω des Referenzdrahtes liegen, aber wo?

Legende

$I$	Strom: durch jede Scheibe gleich.	$\mathrm{A}$
$A_0$	Querschnitt am dünnen Ende; das dicke Ende hat $2A_0$.	${\mathrm{m}}^2$
$A(x)$	Querschnitt im Abstand $x$ vom dünnen Ende, $A_0(1+x/L)$.	${\mathrm{m}}^2$
$L$	Länge des Drahtes.	$\mathrm{m}$
$x$	Abstand vom dünnen Ende.	$\mathrm{m}$
$dx$	Dicke einer Scheibe.	$\mathrm{m}$
$\rho /A(x)$	Widerstand pro Längeneinheit des Drahtes bei $x$.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /A_0$	Widerstand pro Längeneinheit am dünnen Ende.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$\rho /2A_0$	Widerstand pro Längeneinheit am dicken Ende: halb so groß wie am dünnen Ende.	$\Omega {\mathrm{m}}^{-1}$
$dR$	Widerstand der Scheibe bei $x$, $\rho dx/A(x)$: die Fläche des dunklen Streifens.	$\Omega$
$R$	Widerstand des ganzen Drahtes: die Fläche unter der Kurve.	$\Omega$

Abbildung 4 zerschneidet den Draht in dünne Scheiben (Draht und Scheibe sind weit dicker gezeichnet, als sie sind). Die Scheibe im Abstand $x$ vom dünnen Ende hat die Dicke $dx$ und den Querschnitt $A(x)$. Eine so dünne Scheibe ist ein kurzer gleichmäßiger Draht mit dem Widerstand $dR=\rho dx/A(x)$. Derselbe Strom $I$ fließt durch eine Scheibe nach der anderen, die Scheiben liegen also in Reihe, und ihre Widerstände addieren sich.

Der Graph unter dem Draht macht aus dieser Summe eine Fläche. Seine Kurve ist der Widerstand pro Längeneinheit, $\rho /A(x)$, der vom Wert $\rho /A_0$ am dünnen Ende auf $\rho /2A_0$ am dicken Ende fällt. Der dunkle Streifen unter der Kurve hat die Höhe $\rho /A(x)$ und die Breite $dx$, sodass seine Fläche das $dR$ der Scheibe ist. Die Summe aller Streifen ergibt die gesamte Fläche unter der Kurve, und diese ist der Widerstand $R$ des Drahtes. Mit $u=1+x/L$, sodass $dx=Ldu$,
$R={\int }_0^L\frac{\rho dx}{A_0(1+x/L)}=\frac{\rho L}{A_0}{\int }_1^2\frac{du}{u}=\frac{\rho L}{A_0}\ln 2$
$R=2,0\cdot 0,693\approx 1,39\Omega$

Also ist der Strom $I=2,0/1,386\approx 1,44\mathrm{A}$. Zwei naheliegende Abkürzungen scheitern beide. Den Mittelwert der beiden Widerstände zu bilden ergibt 1,5 Ω, zu hoch, weil die Kurve unter die Gerade zwischen ihren Enden durchhängt. Die mittlere Fläche $1,5A_0$ zu verwenden ergibt 1,33 Ω, zu niedrig, weil sich die Scheiben als $1/A$ addieren und der Mittelwert von $1/A$ nicht der Kehrwert des Mittelwerts von $A$ ist. Das Scheibenbild selbst ist hier zulässig, weil der Draht sanft breiter wird: Sein Durchmesser wächst über den ganzen Meter nur von 0,84 mm auf 1,18 mm, sodass der Strom in jeder Scheibe fast genau geradlinig entlang des Drahtes fließt.

Der Strom ist durch jede Scheibe gleich, also muss das Feld der Fläche folgen: $E(x)=\rho I/A(x)$ beträgt 2,9 V/m am dünnen Ende und 1,4 V/m am dicken Ende, und 1,17 V der 2,0 V, also 58 %, fallen über der dünneren Hälfte ab. Die Drift ist am dünnen Ende doppelt so schnell wie am dicken, und die Wärme dort ist pro Längeneinheit doppelt so groß und pro Volumeneinheit viermal so groß. Was das Feld so formt, ist eine dünne Schicht Oberflächenladung, die sich innerhalb von Nanosekunden nach dem Einschalten aufbaut. Dieselbe Wärmekonzentration an einer engen Stelle ist der Grund, warum Schmelzsicherungen absichtlich verengte Stellen haben: Dort schmelzen sie.

Gültigkeitsgrenzen

$R=\rho L/A$ behandelt das Metall als Kontinuum mit einem bestimmten $\rho$ an jedem Punkt; daher muss jede Abmessung des Leiters viel größer sein als die mittlere freie Weglänge, etwa 40 nm in Kupfer. In dünnen Schichten und in Leiterbahnen auf Chips, die einige zehn Nanometer breit sind, streuen Elektronen zusätzlich an den Oberflächen und an Korngrenzen, und der spezifische Widerstand steigt auf das Zwei- bis Dreifache seines Volumenwerts. Leiter, die kürzer sind als die mittlere freie Weglänge, werden ohne jeden Stoß durchquert, und der Widerstand bekommt einen Quantencharakter: Eine Engstelle von wenigen Atomen Breite leitet in Stufen von $2e^2/h\approx 7,75\times 10^{-5}\mathrm{S}$, also 12,9 kΩ pro Kanal, unabhängig vom Metall.

Die Ergebnisse setzen außerdem einen stationären Strom voraus. Bei Wechselstrom induziert das sich ändernde Magnetfeld im Draht ein elektrisches Feld, das in der Nähe der Achse dem Strom entgegenwirkt und nahe der Oberfläche verstärkt. Der Strom drängt sich in einer Oberflächenschicht zusammen, deren Dicke, die Eindringtiefe, beträgt
$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega {\mu }_0}}$
wobei $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Für Kupfer sind das 9,3 mm bei 50 Hz, 66 µm bei 1 MHz und 2,1 µm bei 1 GHz, sodass bei hohen Frequenzen nur eine dünne Haut des Drahtes Strom führt. Nahe $1/(2\pi \tau )\approx 6\mathrm{THz}$ kehrt das Feld innerhalb etwa einer freien Zeit seine Richtung um, und die Trägheit der Elektronen, nicht ihre Stöße, beginnt ihre Antwort zu bestimmen; diese Antwort auf Licht ist es, die Metalle glänzend macht.

Das ohmsche Gesetz setzt außerdem voraus, dass die Energie, die ein Ladungsträger zwischen den Stößen gewinnt, winzig ist. In Kupfer, das 1 A pro mm² führt, beträgt das Feld nur 0,017 V/m, und ein Elektron gewinnt über eine freie Weglänge etwa $7\times 10^{-10}\mathrm{eV}$, verglichen mit der thermischen Energieskala $kT\approx 0,026\mathrm{eV}$ bei Raumtemperatur. In starken Feldern versagt dies: Die Elektronen eines Halbleiters erwärmen sich, und in Silizium sättigt ihre Driftgeschwindigkeit nahe $10^{5}m/s$, statt mit dem Feld weiter zu wachsen.

Wohin das führt

Darauf baut „Gleichstromkreise und ohmsches Gesetz“ auf: Widerstände in Reihe addieren sich wie Drahtlängen, parallel wirken sie wie zusätzliche Bahnen, sodass sich ihre Leitwerte addieren. „Elektrische Leistung und Energie im Haushalt“ verfolgt die Wärme $VI=I^{2}R$ in Kabeln, Sicherungen und Wasserkochern. Ein Strom erzeugt ein Magnetfeld („Magnetfelder von Magneten und Strömen“), und ein Magnetfeld lenkt die driftenden Ladungsträger ab („Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen“), wodurch eine Hall-Spannung entsteht, die $n$ und das Vorzeichen von $q$ offenbart. „Halbleiter, Dioden und LEDs“ steuert $n$, um Bauelemente zu bauen, und „Elektromagnetische Wellen“ trifft auf dieselbe Eindringtiefe, wenn eine Radiowelle in Meerwasser eindringt. Da die freien Elektronen auch Wärme transportieren, sind gute elektrische Leiter auch gute Wärmeleiter („Wärmeleitung, Konvektion und Wärmestrahlung“).