कूलॉम का नियम

एक-दूसरे से दूरी $r$ पर स्थित दो बिंदु-आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ एक-दूसरे पर बराबर और विपरीत दिशा में बल लगाते हैं, जिसका परिमाण $F = k ∣ q_{1} q_{2} ∣/ r^{2}$ होता है: समान आवेश प्रतिकर्षण करते हैं और विपरीत आवेश आकर्षण करते हैं।

दो आवेशित गुटके एक पटरी पर पहले पास लाए जाते हैं और फिर दूर ले जाए जाते हैं: पहले दोनों धनात्मक, फिर एक ऋणात्मक। बल के तीर सदा बराबर और विपरीत होते हैं, और दूरी घटने पर तेज़ी से बढ़ते हैं।

इस विषय से पहले: विद्युत आवेश और स्थिर विद्युत, न्यूटन के गति के नियम

शुरुआती

मुख्य विचार

दो आवेशों के बीच धक्का या खिंचाव आवेश की मात्रा के साथ बढ़ता है: एक आवेश दोगुना करें तो बल दोगुना हो जाता है।
समान आवेश एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं; विपरीत आवेश एक-दूसरे को खींचते हैं।
दो आवेशों के बीच की दूरी आधी करें तो धक्का या खिंचाव चार गुना प्रबल हो जाता है।
दोनों वस्तुओं पर बराबर परिमाण का बल लगता है, पर दिशाएँ विपरीत होती हैं।

दो आवेशित वस्तुएँ एक-दूसरे को छुए बिना धकेलती या खींचती हैं। कूलॉम का नियम बताता है कि यह किस दिशा में है और कितना प्रबल है।

चरण 1: दिशा। समान आवेश (+ और +, या − और −) एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं; विपरीत आवेश (+ और −) एक-दूसरे को खींचते हैं।

चरण 2: आवेश कितना है। आवेश जितना अधिक, बल उतना प्रबल। एक वस्तु का आवेश दोगुना करें तो बल दोगुना होता है; दोनों वस्तुओं का आवेश दोगुना करें तो बल चार गुना प्रबल हो जाता है।

चरण 3: वे कितनी दूर हैं। दूरी का असर और भी अधिक होता है। दो आवेशों की दूरी दोगुनी करें तो बल एक-चौथाई रह जाता है; तीन गुनी करें तो एक-नवमांश। दूरी आधी करें तो बल चार गुना हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण भी ठीक इसी “व्युत्क्रम-वर्ग” प्रतिरूप का पालन करता है।

चरण 4: इकाई। आवेश की इकाई कूलॉम है। एक कूलॉम बहुत बड़ा है, लगभग छह अरब अरब इलेक्ट्रॉनों का आवेश, इसलिए रगड़े गए गुब्बारे पर का आवेश एक कूलॉम के दस-लाखवें भाग से भी कम (एक माइक्रोकूलॉम से कम) होता है।

चरण 5: बराबर का बल। दोनों वस्तुओं पर बराबर परिमाण का बल लगता है, पर दिशाएँ विपरीत होती हैं, भले ही उनमें से एक का आवेश दूसरे से कहीं अधिक हो।

स्व-परीक्षा: दो छोटी आवेशित गेंदें 10 cm दूर हैं और एक-दूसरे को 8 इकाई के बल से धकेलती हैं। 20 cm दूर होने पर यह धक्का कितना प्रबल होगा? (2 इकाई: दूरी दोगुनी, बल एक-चौथाई।)

एनिमेशन में दो आवेशित गुटके एक पटरी पर एक-दूसरे की ओर सरकते हैं और फिर दूर हो जाते हैं। पहले आधे भाग में दोनों धनात्मक हैं और हरे तीर उन्हें दूर धकेलते हैं; दूसरे आधे भाग में एक ऋणात्मक हो जाता है और तीर उन्हें खींचकर पास लाते हैं। ध्यान दें कि गुटके दूर होने पर तीर बहुत छोटे रहते हैं, पर पास आने पर अचानक लंबे हो जाते हैं।

मध्यम

मुख्य विचार

कूलॉम का नियम: $F = k ∣ q_{1} q_{2} ∣/ r^{2}$ , जहाँ $k \approx 8.99 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ ।
µC को C में और cm को m में बदलें, और $r$ को केंद्रों के बीच मापें, सतहों के बीच नहीं।
$F_{12} = - F_{21}$ : दोनों आवेश बराबर और विपरीत बल अनुभव करते हैं, भले ही आवेश अलग-अलग हों।
आवेश क्वांटित होता है: $q = n e$ , जहाँ $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ ।

हम क्या मापते हैं: आवेश और दूरी

कूलॉम का नियम दो आवेशों और उनके बीच की दूरी को जोड़ता है। आवेश को कूलॉम (C) में मापा जाता है और उसका चिह्न होता है। यह प्राथमिक आवेश (elementary charge) $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ के पूर्ण गुणकों में आता है, जो प्रोटॉन का आवेश है; इलेक्ट्रॉन पर $- e$ होता है। एक कूलॉम बहुत बड़ा है, इसलिए रोज़मर्रा के स्थिर-विद्युत आवेश माइक्रोकूलॉम ( $1 μ C = 1 0^{- 6} C$ ) और नैनोकूलॉम ( $1 nC = 1 0^{- 9} C$ ) में व्यक्त किए जाते हैं। एनिमेशन में हर गुटके पर लगभग 2 µC का आवेश है, जो लगभग $1.25 \times 1 0^{13}$ प्राथमिक आवेशों के बराबर है।

दूरी $r$ दोनों पिंडों के केंद्रों के बीच मापी जाती है। यह नियम बिंदु-आवेशों के लिए सटीक है, उन पिंडों के लिए जो उनकी दूरी की तुलना में बहुत छोटे हों, और समान रूप से आवेशित गोलों के लिए भी, जो बाहर से देखने पर ऐसे व्यवहार करते हैं मानो उनका सारा आवेश केंद्र पर हो। पहले सभी राशियों को SI इकाइयों में बदल लें: $2 μ C = 2 \times 1 0^{- 6} C$ और $15 cm = 0.15 m$ ।

कूलॉम का नियम

एक-दूसरे से दूरी $r$ पर स्थित दो बिंदु-आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ एक-दूसरे को इतने परिमाण के बल से धकेलते या खींचते हैं:
$F = \frac{k ∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}}$
जहाँ $k$ कूलॉम स्थिरांक है:
$k = \frac{1}{4 π ε _{0}} \approx 8.99 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$

बल आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश लगता है: समान आवेश प्रतिकर्षण करते हैं, विपरीत आवेश आकर्षण। इसका परिमाण हर आवेश के समानुपाती है: एक को दोगुना करने से बल दोगुना होता है, दोनों को दोगुना करने से चार गुना। यह दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती भी है: दूरी दोगुनी हो तो बल एक-चौथाई, तीन गुनी हो तो एक-नवमांश, और आधी हो तो चार गुना। गुरुत्वाकर्षण भी इसी व्युत्क्रम-वर्ग प्रतिरूप का पालन करता है।

यहाँ $ε_{0} \approx 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है। $k$ का मान बताता है कि विद्युत बल कितना प्रबल है: 1 m दूर रखे दो 1 C आवेश $9 \times 1 0^{9} N$ के बल से एक-दूसरे को धकेलेंगे, जो लगभग 9 लाख टन भार के बराबर है।

बराबर और विपरीत बल

हर आवेश दूसरे पर बल लगाता है, और ये दोनों बल न्यूटन के तीसरे नियम का युग्म बनाते हैं। मान लें $F_{12}$ वह बल है जो $q_{1}$ , $q_{2}$ पर लगाता है और $F_{21}$ वह बल जो $q_{2}$ , $q_{1}$ पर लगाता है, तो
$F_{12} = - F_{21}$
आवेश भिन्न होने पर भी बलों के परिमाण बराबर रहते हैं, क्योंकि दोनों में एक ही गुणनफल $q_{1} q_{2}$ होता है: 30 cm दूर रखे 1 µC और 4 µC के आवेश पर प्रत्येक पर $8.99 \times 1 0^{9} \cdot 4 \times 1 0^{- 12} /0.3 0^{2} \approx 0.40 N$ का बल लगता है।

बराबर बल का अर्थ बराबर गति नहीं होता: न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार हर पिंड का त्वरण $a = F / m$ होता है, इसलिए एक हल्का आवेशित मनका एक भारी आवेशित गोले से दूर फेंक दिया जाता है, जो मुश्किल से हिलता है। गुणनफल का चिह्न दिशा बताता है: $q_{1} q_{2} > 0$ आवेशों को दूर धकेलता है, $q_{1} q_{2} < 0$ उन्हें पास खींचता है। इसीलिए परिमाण के सूत्र में $∣ q_{1} q_{2} ∣$ लिखा जाता है।

उदाहरण: एनिमेशन के गुटके

हर गुटके पर 2 µC का आवेश है, और उनके बीच की दूरी 40 cm और 15 cm के बीच घटती-बढ़ती है। पहले वह गुणनफल निकालें जो कभी नहीं बदलता:
$k ∣ q_{1} q_{2} ∣ = 8.99 \times 1 0^{9} \cdot (2 \times 1 0^{- 6})^{2} = 0.03596 N \cdot m^{2}$
सबसे निकट की स्थिति पर, $r = 0.15 m$ , इसलिए
$F = \frac{0.03596}{0.1 5 ^{2}} = \frac{0.03596}{0.0225} \approx 1.60 N$

सबसे अधिक दूरी पर, $r = 0.40 m$ , बल $0.03596/0.16 \approx 0.22 N$ है। ये $r$ और $F$ के मापकों पर चरम मान हैं। दूरी $40/15 \approx 2.67$ गुना बदलती है और बल $2.6 7^{2} \approx 7.1$ गुना, इसलिए सबसे निकट की स्थिति पर हरे तीर लगभग सात गुना लंबे होते हैं। 30 cm पर मापक 0.40 N दिखाता है, जो 15 cm पर के मान का एक-चौथाई है।

6 s के बाद दायाँ गुटका ऋणात्मक हो जाता है। चूँकि परिमाण केवल $∣ q_{1} q_{2} ∣$ और $r$ पर निर्भर करता है, मापक ठीक वही मान दोहराते हैं, पर दोनों तीर मुड़कर एक-दूसरे की ओर इंगित करते हैं। $F_{12}$ और $F_{21}$ के रूप में चिह्नित ये तीर सदा समान लंबाई के होते हैं।

उदाहरण: धागों पर लटकती दो आवेशित गेंदें

दो एक-जैसी छोटी गेंदें, प्रत्येक का द्रव्यमान 2.0 g, कुचालक धागों से एक ही बिंदु से लटकी हैं; निलंबन-बिंदु से हर गेंद के केंद्र तक की दूरी 40 cm है। दोनों पर बराबर आवेश है, वे एक-दूसरे को धकेलती हैं और अंततः उनके केंद्र 12 cm दूर होकर स्थिर हो जाते हैं। प्रत्येक गेंद पर कितना आवेश है?

प्रत्येक गेंद अपने भार $m g$ , धागे के तनाव और क्षैतिज कूलॉम धक्के के अधीन साम्यावस्था में है। धागा ऊर्ध्वाधर से कोण $θ$ बनाता है, जहाँ $sin θ = 0.06/0.40 = 0.15$ , अतः $θ \approx 8. 6^{\circ}$ और $tan θ \approx 0.152$ । तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है और क्षैतिज घटक विद्युत बल को, इसलिए
$F = m g tan θ = 0.0020 \cdot 9.81 \cdot 0.152 \approx 2.98 \times 1 0^{- 3} N$

कूलॉम के नियम को आवेश के लिए हल करने पर, $q_{1} = q_{2} = q$ लेकर,
$q = r \frac{F}{k} = 0.12 \cdot \frac{2.98 \times 1 0 ^{- 3}}{8.99 \times 1 0 ^{9}} \approx 6.9 \times 1 0^{- 8} C$
प्रत्येक गेंद पर लगभग 69 nC है, अर्थात $4.3 \times 1 0^{11}$ प्राथमिक आवेश। विद्युत धक्का भार का केवल 15 % है, फिर भी वह गेंदों को स्पष्ट रूप से दूर रखता है। यदि प्रत्येक आवेश का आधा भाग रिस जाए, तो 12 cm पर बल एक-चौथाई रह जाएगा और गेंदें झुककर और पास आ जाएँगी।

कई आवेश: बल जुड़ते हैं

दो से अधिक आवेश हों तो प्रत्येक से आने वाला बल अलग-अलग निकालें, मानो बाकी आवेश हों ही नहीं, और परिणामों को सदिश रूप में जोड़ें। यह अध्यारोपण का सिद्धांत है:
$F_{net} = \sum F_{i} (superposition)$

जब गुटके 30 cm दूर हों, तब उनके ठीक बीच में $- 0.5 μ C$ का एक छोटा आवेश रखें। हर गुटका उस पर $8.99 \times 1 0^{9} \cdot 2 \times 1 0^{- 6} \cdot 0.5 \times 1 0^{- 6} /0.1 5^{2} \approx 0.40 N$ का बल लगाता है। यदि दोनों गुटके धनात्मक हों, तो वे उसे विपरीत दिशाओं में खींचते हैं और परिणामी बल शून्य होता है। यदि दायाँ गुटका ऋणात्मक हो, तो एक खींचता है और दूसरा धकेलता है, दोनों बाईं ओर: कुल 0.80 N, धनात्मक गुटके की ओर। विशेषज्ञ परत छोटे आवेश को रेखा से हटा देती है, जहाँ योग को सदिश के रूप में बनाना पड़ता है।

सामान्य गलतियाँ

इकाइयाँ बदलना भूल जाना: हर 2 µC आवेश के लिए 2 लिखने से बल $1 0^{12}$ गुना अधिक हो जाता है, और 15 cm के लिए 15 लिखने से वह 10 000 गुना कम हो जाता है।
दूरी का वर्ग न लेना: $r^{2}$ के बजाय $r$ से भाग देने पर 15 cm पर का 1.60 N बदलकर 0.24 हो जाता है, जो बल भी नहीं है (उसकी इकाई N·m है)।
यह सोचना कि बड़े आवेश पर बड़ा बल लगता है: 30 cm दूर रखे 1 µC और 4 µC के आवेशों पर दोनों पर 0.40 N लगता है।
$r$ को सतहों के बीच मापना: त्रिज्या 2 cm के दो गोले जिनकी सतहें 11 cm दूर हैं, उनके केंद्र 15 cm दूर होते हैं, और 11 cm लेने से बल $(15/11)^{2} \approx 1.9$ गुना अधिक आँका जाता है।
चिह्न को परिमाण समझना: 15 cm पर $+ 2$ और $- 2 μ C$ का $k q_{1} q_{2} / r^{2} = - 1.60 N$ देता है, पर ऋण चिह्न केवल आकर्षण बताता है; परिमाण 1.60 N है।

कहाँ दिखता है

जहाँ कहीं आवेश जानबूझकर चलाया जाता है, वहाँ कूलॉम का नियम काम करता है। लेज़र प्रिंटर और फ़ोटोकॉपियर एक ड्रम पर आवेश का प्रतिरूप बनाते हैं जो टोनर को चिपका लेता है; विद्युत-अवक्षेपक चिमनियों में धुएँ के कणों को आवेशित करते हैं और उन्हें विपरीत चिह्न की प्लेटों पर इकट्ठा करते हैं; कार कारखानों में पेंट की बूँदों को आवेशित किया जाता है ताकि वे कार की बॉडी को चारों ओर से लपेट लें।

कहीं अधिक महत्वपूर्ण वह है जो आपको दिखता नहीं: विद्युत बल परमाणुओं और अणुओं को एक साथ बाँधे रखता है। हाइड्रोजन परमाणु में प्रोटॉन, लगभग $5.3 \times 1 0^{- 11} m$ दूर स्थित इलेक्ट्रॉन को $8.2 \times 1 0^{- 8} N$ के बल से खींचता है, जो उनके गुरुत्वीय आकर्षण से $1 0^{39}$ गुना से भी अधिक है। रसायन विज्ञान और ठोसों की कठोरता इसी बल से आती है, जिसे पदार्थ में धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के लगभग पूर्ण संतुलन ने साधा हुआ है। विद्युत क्षेत्र और विभव में वही बल हर आवेश द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के माध्यम से वर्णित है, और संधारित्र दिखाता है कि पृथक किए गए आवेश ऊर्जा कैसे संचित करते हैं।

उन्नत

मुख्य विचार

सदिश रूप $F_{12} = k q_{1} q_{2} \overset{r}{^}_{12} / r^{2}$ : $q_{1} q_{2}$ का चिह्न आकर्षण या प्रतिकर्षण तय करता है, और $F_{21} = - F_{12}$ इसी में निहित है।
अध्यारोपण: परिणामी बल युग्मानुसार कूलॉम बलों का सदिश योग है; कूलॉम के नियम के साथ, स्थिरवैद्युतिकी बस इतनी ही है।
$1/ r^{2}$ नियम गॉस का नियम है: किसी आवेश के चारों ओर किसी भी गोले से गुजरने वाला फ्लक्स $E \cdot 4 π r^{2} = q / ε_{0}$ सदा समान रहता है।
किसी बंद आवेशित चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य है: ऐसे शून्य-परीक्षण घात को 2 पर स्थिर करते हैं, जिसकी यथार्थता $1 0^{16}$ में कुछ भागों तक है।
स्थिर आवेशों के लिए मान्य; परावैद्युत माध्यम में बल $ε_{r}$ से भाजित होता है, और गतिमान आवेश चुंबकीय बल भी जोड़ते हैं।

सदिश रूप में नियम

मध्यवर्ती स्तर बल का परिमाण $F = k ∣ q_{1} q_{2} ∣/ r^{2}$ देता है, और उसकी दिशा के लिए अलग नियम: समान आवेश प्रतिकर्षण करते हैं, विपरीत आवेश आकर्षण। जैसे ही कई आवेश एक साथ कार्य करते हैं, बलों को सदिश के रूप में जोड़ना पड़ता है, इसलिए परिमाण और दिशा को एक ही सूत्र में रखना उपयोगी है। इसके लिए केवल स्थितियों को नामांकित करने का एक तरीका चाहिए।

चित्र 1 में आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ स्थितियों $r_{1}$ और $r_{2}$ पर हैं, जिनके तीर एक मूलबिंदु $O$ से खींचे गए हैं। तीन नारंगी तीरों से बने त्रिभुज को देखें। $O$ से $q_{1}$ तक और फिर $q_{2}$ तक जाने पर हम वहीं पहुँचते हैं जहाँ सीधा तीर $r_{2}$ समाप्त होता है, इसलिए $r_{1} + (r_{2} - r_{1}) = r_{2}$ और तीसरी भुजा, $r_{2} - r_{1}$ , $q_{1}$ से $q_{2}$ की ओर का तीर है। यह $O$ की स्थिति पर निर्भर नहीं करता, केवल आवेशों की स्थिति पर करता है, जैसा कि उनके बीच के बल से अपेक्षित है।

इस तीर की लंबाई आवेशों के बीच की दूरी है, $r = ∣ r_{2} - r_{1} ∣$ । इस तीर को उसकी अपनी लंबाई से भाग देने पर उसकी दिशा वही रहती है और लंबाई 1 हो जाती है। परिणाम एकांक सदिश है (टोपी का चिह्न लंबाई 1 वाले सदिश को दर्शाता है)
$\overset{r}{^}_{12} = (r_{2} - r_{1}) / r$
जो चित्र में छोटे नीले तीर के रूप में है, जो $q_{1}$ से $q_{2}$ की ओर इंगित करता है। इसकी सहायता से $q_{1}$ द्वारा $q_{2}$ पर लगाया गया बल है
$F_{12} = \frac{k q _{1} q _{2}}{r ^{2}} \overset{r}{^}_{12}$
जहाँ $k \approx 8.99 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ कूलॉम स्थिरांक है। अब आवेश अपने चिह्नों के साथ प्रवेश करते हैं, परिमाण के रूप में नहीं।

दिशा का निर्धारण चिह्न करते हैं। चित्र 1 में दोनों आवेश धनात्मक हैं, अतः $q_{1} q_{2} > 0$ : $\overset{r}{^}_{12}$ के सामने की संख्या धनात्मक है, और $F_{12}$ , जो $q_{2}$ पर हरा तीर है, $\overset{r}{^}_{12}$ की दिशा में, यानी $q_{1}$ से दूर इंगित करता है। यह प्रतिकर्षण है। यदि एक आवेश ऋणात्मक होता, तो $q_{1} q_{2} < 0$ होता और वही सूत्र बल को पलटकर $q_{1}$ की ओर कर देता: आकर्षण। कोई अलग नियम नहीं चाहिए।

न्यूटन का तीसरा नियम भी इसमें अंतर्निहित है। $q_{1}$ पर लगने वाला बल उसी सूत्र का है जिसमें लेबल बदल दिए गए हों। लेबल बदलने से $\overset{r}{^}_{12}$ , $\overset{r}{^}_{21} = - \overset{r}{^}_{12}$ बन जाता है, पर गुणनफल $q_{1} q_{2}$ और दूरी $r$ अपरिवर्तित रहते हैं, इसलिए $F_{21} = - F_{12}$ । चित्र 1 में $q_{1}$ पर हरा तीर $F_{21}$ , $F_{12}$ के बराबर लंबा है और विपरीत दिशा में है।

बल केंद्रीय भी है: यह आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है, और इसका परिमाण केवल उनकी दूरी पर निर्भर करता है। ऐसा बल संरक्षी होता है, क्योंकि दो दूरियों के बीच यह जितना कार्य करता है वह पथ पर निर्भर नहीं करता, इसलिए इसकी स्थितिज ऊर्जा होती है, जो नीचे ऊर्जा वाले भाग में मिलती है।

SI इकाइयों में कूलॉम स्थिरांक को $k = 1/ (4 π ε_{0})$ लिखा जाता है, जहाँ $ε_{0} \approx 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ निर्वात की विद्युतशीलता है। गुणक $4 π$ इकाई त्रिज्या वाले गोले का क्षेत्रफल है। इसे $k$ में रखना यहाँ भद्दा लगता है, पर इससे गॉस के नियम और संधारित्र के सूत्रों से $4 π$ लुप्त हो जाता है, और उन सूत्रों का उपयोग कहीं अधिक होता है।

चार्ल्स-ऑगस्टिन दे कूलॉम ने 1785 में मरोड़ तुला (torsion balance) के मरोड़ को मापकर यह नियम स्थापित किया। 2019 तक SI ने $k$ को ठीक $1 0^{- 7} c^{2} \approx 8.98755 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ पर स्थिर किया था, जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है। तब से प्राथमिक आवेश $e$ का मान यथार्थ है और $ε_{0}$ इसके बजाय मापा जाता है; यह माप पुराने यथार्थ मान से एक अरबवें भाग से भी कम अंतर पर मेल खाता है।

अध्यारोपण और विद्युत क्षेत्र

केवल दो आवेशों के साथ सदिश रूप वही दोहराता है जो हम पहले से जानते थे। इसका मूल्य तब दिखता है जब तीसरा आवेश जुड़ता है। प्रयोग बताते हैं कि विद्युत बल सीधे-सीधे जुड़ते हैं: किसी आवेश पर बल, बाकी प्रत्येक आवेश द्वारा उस पर अकेले लगाए गए बलों का सदिश योग है, जो बाकी की उपस्थिति से अप्रभावित रहता है। अध्यारोपण का यह सिद्धांत एक और प्रायोगिक तथ्य है, जो स्थिरवैद्युतिकी के लिए व्युत्क्रम-वर्ग नियम जितना ही मूलभूत है।

चित्र 2 में एनिमेशन के विशेषज्ञ स्तर का विन्यास है। दो गुटके, प्रत्येक पर $q = 2 μ C$ परिमाण का आवेश है, एक सीधी पटरी पर सरकते हैं। एक स्थिर आवेश $q_{3} = - 0.5 μ C$ पटरी के नीचे, गुटकों के मध्य-बिंदु के ठीक नीचे, $h = 14 cm$ की गहराई पर है। चित्र निकटतम दृष्टिकोण का क्षण दिखाता है, जब गुटके 15 cm दूर हैं और प्रत्येक मध्य-बिंदु से $a = 7.5 cm$ दूर है।

पहले एक गुटके का $q_{3}$ पर बल लें। गुटका, मध्य-बिंदु और $q_{3}$ भुजाओं $a$ और $h$ वाला समकोण त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए हर गुटका $q_{3}$ से समान दूरी पर है:
$r = a^{2} + h^{2} = 0.07 5^{2} + 0.1 4^{2} \approx 0.159 m$
कूलॉम का नियम हर बल का परिमाण देता है, जो गुटके और $q_{3}$ को जोड़ने वाली बिंदुकित रेखा के अनुदिश कार्य करता है:
$F = \frac{8.99 \times 1 0 ^{9} \cdot 2 \times 1 0 ^{- 6} \cdot 0.5 \times 1 0 ^{- 6}}{0.15 9 ^{2}} \approx 0.356 N$
ये सुनहरे तीर $F_{13}$ और $F_{23}$ हैं। ये समान लंबाई के हैं क्योंकि दूरियाँ बराबर हैं; केवल उनकी दिशाएँ भिन्न हैं।

इन्हें जोड़ने के लिए हर बल को पटरी के अनुदिश और पटरी के लंबवत घटकों में बाँटें। बल त्रिभुज की तिरछी भुजा $r$ के अनुदिश है, इसलिए उसका पटरी के अनुदिश घटक $F a / r$ है और पटरी के लंबवत घटक $F h / r$ ।

बाएँ पैनल में दोनों गुटके धनात्मक हैं, अतः प्रत्येक ऋणात्मक $q_{3}$ को अपनी ओर, ऊपर और एक ओर खींचता है। पार्श्व घटक $F a / r$ विपरीत दिशाओं में हैं और एक-दूसरे को निरस्त करते हैं। ऊर्ध्वाधर घटक $F h / r$ जुड़ते हैं। योग $F_{3} = F_{13} + F_{23}$ , अर्थात बिंदुकित समांतर चतुर्भुज का बैंगनी विकर्ण, इसलिए सीधा ऊपर की ओर है, और उसका परिमाण
$F_{3} = 2 \cdot 0.356 \cdot 0.14/0.159 \approx 0.63 N$

दाएँ पैनल में दायाँ गुटका ऋणात्मक है और $q_{3}$ को दूर धकेलता है, इसलिए $F_{23}$ अब नीचे और बाईं ओर इंगित करता है। इस बार ऊर्ध्वाधर घटक निरस्त होते हैं और पार्श्व घटक जुड़ते हैं। योग, $F_{3} = 2 \cdot 0.356 \cdot 0.075/0.159 \approx 0.34 N$ , पटरी के अनुदिश है, धनात्मक गुटके की ओर।

गुटकों के चलने पर ये योग भी बदलते हैं। समान आवेशों के युग्म के लिए, गुटके पास आने पर ऊपर का खिंचाव लगातार बढ़ता है: 40 cm दूर होने पर 0.17 N से लेकर 15 cm पर 0.63 N तक। विपरीत आवेशों के युग्म के लिए पार्श्व खिंचाव $2 F a / r = 2 k q ∣ q_{3} ∣ a / (a^{2} + h^{2})^{3/2}$ निकटतम दृष्टिकोण पर नहीं, बल्कि $a = h / 2$ पर सबसे बड़ा है, जहाँ $a$ के सापेक्ष उसका अवकलज शून्य है। यह दूरी $2 \cdot 0.14 \approx 0.20 m$ है, और वहाँ खिंचाव 0.35 N है। पास के गुटके अधिक खींचते हैं, पर उनके बल ऊर्ध्वाधर की ओर मुड़ने लगते हैं, जहाँ विपरीत आवेशों के युग्म के बल निरस्त होते हैं।

अध्यारोपण हमें यह भी बताता है कि आवेश किसी बिंदु को, वहाँ कुछ रखे जाने से पहले ही, कैसे प्रभावित करते हैं। उस बिंदु पर एक छोटा परीक्षण आवेश $q_{0}$ रखें और उस पर कुल बल को $q_{0}$ से भाग दें। परिणाम $E = F / q_{0}$ परीक्षण आवेश पर निर्भर नहीं करता: यही विद्युत क्षेत्र है, जिसे न्यूटन प्रति कूलॉम में मापा जाता है। स्थितियों $r_{j}$ पर आवेश $q_{j}$ हों, तो बिंदु $r$ पर क्षेत्र है
$E (r) = \sum_{j} \frac{k q _{j} ( r - r _{j} )}{∣ r - r _{j} ∣ ^{3}}$
हर पद सदिश रूप में कूलॉम का नियम है: सदिश $r - r_{j}$ को उसकी लंबाई के घन से भाग देने पर वह $q_{j}$ से बिंदु की ओर के एकांक सदिश को दूरी के वर्ग से भाग देने के बराबर होता है। घनत्व $ρ$ (प्रति इकाई आयतन आवेश) वाले फैले आवेशों के लिए योग आयतन समाकल बन जाता है। आवेश और उनकी स्थितियाँ ज्ञात होने पर यह सूत्र हर स्थिर-विद्युत बल तय कर देता है; गॉस का नियम, विभव और विद्युत क्षेत्र रेखाएँ उन्हीं उत्तरों तक पहुँचने के लघुमार्ग हैं।

यदि दूरी $d$ उनके बीच की दूरी से कहीं अधिक हो, तो समान आवेशों का युग्म एक 4 µC के आवेश जैसा व्यवहार करता है, जिसका क्षेत्र $1/ d^{2}$ के साथ घटता है। विपरीत आवेशों के युग्म का शुद्ध आवेश शून्य है: उनके दो क्षेत्र लगभग निरस्त हो जाते हैं, और जो शेष रहता है वह $1/ d^{3}$ के अनुसार तेज़ी से घटता है। ऐसे समान परिमाण और विपरीत चिह्न वाले आवेश युग्म को विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) कहते हैं।

घात ठीक 2 क्यों है

सदिश रूप में कुछ भी यह बाध्य नहीं करता कि $r$ की घात 2 हो; $1/ r^{2.01}$ वाला नियम भी लगभग वैसा ही दिखता। घात का ठीक 2 होना इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गॉस के नियम में बदल जाता है, जो विद्युतचुंबकत्व के मूल समीकरणों में से एक है, और क्योंकि इसे अत्यंत उच्च यथार्थता से परखा जा सकता है। मुख्य राशि फ्लक्स है। क्षेत्रफल $d A$ के एक छोटे समतल टुकड़े के लिए, जो क्षेत्र के सीधे सामने हो, फ्लक्स $E d A$ है, यानी क्षेत्र-प्रबलता और क्षेत्रफल का गुणनफल। यदि क्षेत्र रेखाएँ $E$ के समानुपाती घनत्व से खींची जाएँ, तो फ्लक्स उन रेखाओं की गिनती है जो उस टुकड़े को पार करती हैं।

चित्र 3 दिखाता है कि घात और स्थान की ज्यामिति एक-दूसरे में कैसे फिट होती हैं। एक संकरा शंकु बिंदु-आवेश $q$ से निकलता है। उसका विस्तार ठोस कोण $d Ω$ से मापा जाता है: वह क्षेत्रफल जो शंकु उसके शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिज्या 1 के गोले से काटता है, स्टेरेडियन में (पूरा गोला $4 π$ है)। दूरी $r$ पर शंकु आवेश के सामने वाले एक छोटे टुकड़े को काटता है, जिसका क्षेत्रफल $d A = r^{2} d Ω$ है। $2 r$ पर शंकु दोनों दिशाओं में दोगुना चौड़ा है, इसलिए वहाँ टुकड़े का क्षेत्रफल चार गुना, $4 d A$ , है।

अब दोनों टुकड़ों, यानी दोनों नीले तीरों पर क्षेत्रों की तुलना करें। कूलॉम का नियम निकट टुकड़े पर $E = k q / r^{2}$ और दूर वाले पर उसका एक-चौथाई, $E /4$ , देता है। निकट टुकड़े से गुजरने वाला फ्लक्स $E d A = (k q / r^{2}) (r^{2} d Ω) = k q d Ω$ है, और दूर वाले टुकड़े से गुजरने वाला फ्लक्स, $(E /4) (4 d A)$ , वही है। नियम के हर में $r^{2}$ और क्षेत्रफल में $r^{2}$ एक-दूसरे को काट देते हैं। अतः शंकु द्वारा काटे गए किसी भी टुकड़े से गुजरने वाला फ्लक्स केवल ठोस कोण $d Ω$ पर निर्भर करता है, न कि टुकड़ा कितनी दूर है उस पर।

अगला कदम: $q$ को केंद्र बनाकर त्रिज्या $r$ के गोले से उसे घेरें। इस गोले पर क्षेत्र का परिमाण हर जगह समान है और वह सतह को समकोण पर काटता है, इसलिए कुल फ्लक्स क्षेत्र को पूरे क्षेत्रफल से गुणा करने के बराबर है:
$\oint E \cdot d A = \frac{k q}{r ^{2}} \cdot 4 π r^{2} = \frac{q}{ε _{0}}$
समाकल चिह्न पर वृत्त का अर्थ है कि सतह बंद है। सदिश $d A$ सतह का एक टुकड़ा है, जिसकी लंबाई $d A$ है और दिशा बाहर की ओर है; अदिश गुणनफल केवल उस भाग का क्षेत्र रखता है जो उस टुकड़े को पार करता है। त्रिज्या लुप्त हो गई है, इसलिए हर गोले का फ्लक्स समान है, और $k$ में रखा $4 π$ गोले के क्षेत्रफल के $4 π$ को निरस्त कर देता है।

सतह का आकार भी मायने नहीं रखता। $q$ के चारों ओर किसी भी बंद सतह को टुकड़ों में बाँटें, जिनमें से हर एक $q$ से किसी ठोस कोण $d Ω$ में दिखता है। झुका हुआ टुकड़ा बड़ा होता है, पर क्षेत्र उसे तिरछे से पार करता है, और दोनों प्रभाव एक-दूसरे को निरस्त करते हैं, इसलिए हर टुकड़े को अब भी $k q d Ω$ फ्लक्स मिलता है। ठोस कोणों का योग $4 π$ है, जिससे फिर से $q / ε_{0}$ मिलता है। सतह के बाहर स्थित आवेश के लिए, हर पतला शंकु सतह में जितनी बार प्रवेश करता है उतनी ही बार बाहर निकलता है, अतः प्रवेश और निर्गम का फ्लक्स बराबर होता है: आवेश का योगदान शून्य है। यही गॉस का नियम है: किसी भी बंद सतह से निर्गत फ्लक्स, उसके भीतर के आवेश को $ε_{0}$ से भाग देने के बराबर है।

यह तर्क केवल घात 2 के लिए काम करता है। $F \propto 1/ r^{2 + δ}$ बल के लिए गोले से गुजरने वाला फ्लक्स $r^{- δ}$ के अनुसार बदलेगा। उन दो गोलों के लिए, जिनके बीच कोई आवेश न हो, फ्लक्स भिन्न होंगे, मानो खाली आकाश में क्षेत्र रेखाएँ अचानक उत्पन्न हो रही हों या लुप्त हो रही हों।

इस घात को मापने योग्य बनाने वाले दो परिणाम हैं। पहला, एकसमान आवेशित पतला गोलीय कोश बाहर से ऐसा व्यवहार करता है मानो उसका सारा आवेश उसके केंद्र पर हो, और उसके भीतर के आवेश पर कोई बल नहीं लगाता। कोश के भीतर की स्थिति को चित्र 3 के विचार से देखने के लिए, कोश के भीतर किसी बिंदु से होकर एक पतला दोहरा शंकु खींचें। वह कोश को दो टुकड़ों में काटता है, जो दूरियों $r_{1}$ और $r_{2}$ पर हैं। गोले के आर-पार खींची गई सीधी रेखा दोनों सिरों पर गोले से एक ही कोण पर मिलती है, इसलिए दोनों टुकड़े एक जैसे झुके होते हैं, और उनके क्षेत्रफल, अतः उनके आवेश, $r_{1}^{2} : r_{2}^{2}$ अनुपात में होते हैं। हर टुकड़ा अपने आवेश को उसकी दूरी के वर्ग से भाग देने के अनुपात में बल लगाता है, इसलिए निकट का छोटा टुकड़ा और दूर का बड़ा टुकड़ा ठीक उतना ही बल लगाते हैं, विपरीत दिशाओं में। दूसरा, किसी भी आकार के खोखले बंद चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है, चाहे चालक पर कितना भी आवेश दिया जाए।

ऐसे शून्यों की खोज एक शून्य-परीक्षण (null test) है। अनेक दूरियों पर बल को सटीक मापने के बजाय, जो कठिन है, एक बंद चालक को आवेशित किया जाता है और उसके भीतर किसी भी क्षेत्र या आवेश को खोजा जाता है। यदि घात 2 से भिन्न होती, तो कुछ न कुछ दिखता; अतः कुछ न मिलना कहीं अधिक संवेदनशील परीक्षा है। हेनरी कैवेंडिश ने 1773 में यह प्रयोग किया और पाया कि घात 2 से 0.02 से कम अंतर रखती है; 1971 के एक कोश-प्रयोग ने $δ$ को $1 0^{16}$ में कुछ भागों से भी नीचे धकेल दिया। परमाणु दूरियों पर, लगभग $1 0^{- 10} m$ , हाइड्रोजन के ऊर्जा स्तर, जिनकी गणना $1/ r$ विभव और छोटे क्वांटम संशोधनों से की जाती है, मापन से अत्यंत उच्च यथार्थता से मेल खाते हैं। आधुनिक शब्दों में, सटीक व्युत्क्रम-वर्ग नियम का अर्थ है कि फ़ोटॉन, जो विद्युत बल वहन करने वाला कण है, का कोई द्रव्यमान नहीं है।

ऊर्जा और बल-दूरी ग्राफ़

चूँकि बल दूरी के साथ बदलता है, न्यूटन का दूसरा नियम हर क्षण का त्वरण देता है, पर लंबे धक्के के बाद की चाल बिना काफ़ी गणना के नहीं मिलती। कार्य और ऊर्जा उसे एक ही चरण में देते हैं, और बल बनाम दूरी का ग्राफ़ दिखाता है कि ऊर्जा कहाँ से आती है।

चित्र 4 में दो ग्राफ़ हैं, दोनों गुटकों के दो बराबर आवेशों $q = 2 μ C$ के लिए, और दोनों उनकी दूरी $r$ के विरुद्ध। ऊपरी ग्राफ़ बल का परिमाण $F = k q^{2} / r^{2}$ दिखाता है। निचला ग्राफ़ युग्म की स्थितिज ऊर्जा $U = k q^{2} / r$ दिखाता है, जिसे अगले अनुच्छेद व्युत्पन्न करते हैं। यहाँ $k q^{2} = 8.99 \times 1 0^{9} \cdot (2 \times 1 0^{- 6})^{2} \approx 0.03596 N \cdot m^{2}$ है। गुटके $r_{a} = 15 cm$ और $r_{b} = 40 cm$ के बीच चलते हैं। ऊपरी ग्राफ़ पर बिंदु $F_{a} \approx 1.60 N$ और $F_{b} \approx 0.22 N$ दर्शाते हैं; निचले ग्राफ़ पर वे $U_{a} \approx 0.240 J$ और $U_{b} \approx 0.090 J$ दर्शाते हैं।

बल वक्र कम $r$ पर सबसे तीव्र ढाल वाला है। $k q^{2} r^{- 2}$ का अवकलन ढाल $d F / d r = - 2 F / r$ देता है: 40 cm पर लगभग $- 1.1 N/m$ और 15 cm पर लगभग $- 21 N/m$ , यानी $(40/15)^{3} \approx 19$ गुना का अंतर। एनिमेशन का विशेषज्ञ ग्राफ़ वही वक्र सामान्य अक्षों पर दिखाता है। जब गुटके 40 और 15 cm के बीच झूलते हैं, तो उसका हरा बिंदु इसी वक्र पर 0.22 N और 1.60 N के बीच सरकता है और बाएँ सिरे पर तेज़ी से ऊपर उठता है। लघुगणकीय अक्षों पर वही वक्र ढाल $- 2$ की सीधी रेखा होगा, और वह ढाल नियम की घात है।

अब कार्य। जब गुटके $d r$ के एक छोटे चरण से दूर होते हैं, तो प्रतिकर्षण $F d r$ कार्य करता है: यह ऊपरी वक्र के नीचे की एक पतली पट्टी का क्षेत्रफल है। $r_{a}$ से $r_{b}$ तक की पट्टियों को जोड़ने पर चित्र 4 का छायांकित क्षेत्रफल $W$ मिलता है:
$W = \int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{k q _{1} q _{2}}{r ^{2}} d r = k q_{1} q_{2} (\frac{1}{r _{a}} - \frac{1}{r _{b}})$
उत्तर $r$ का एक फलन है: उसका आरंभ पर मान, उसके अंत पर मान से घटाया गया। इस फलन को स्थितिज ऊर्जा कहें, $U (r) = k q_{1} q_{2} / r$ , तो कार्य $W = U (r_{a}) - U (r_{b})$ है: बल स्थितिज ऊर्जा का उपयोग करके कार्य करता है। $U$ में कोई स्थिरांक जोड़ने से कोई अंतर नहीं बदलता; ऊपर का रूप $U$ को अनंत दूरी पर शून्य बनाता है, जहाँ बल शून्य है। उलटी दिशा से देखें तो बल ऊर्जा की ढाल का ऋणात्मक मान है, जो आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश है: $F = - d U / d r$ ।

15 से 40 cm के बीच छायांकित क्षेत्रफल $W = 0.03596 \cdot (1/0.15 - 1/0.40) \approx 0.150 J$ है। निचले ग्राफ़ पर वही 0.150 J $U_{a}$ से $U_{b}$ तक की गिरावट के रूप में दिखता है, जो कोष्ठक $W$ से चिह्नित है: $0.240 - 0.090 = 0.150 J$ ।

एनिमेशन दोनों चिह्न दिखाता है। प्रतिकर्षण वाले चरण में, समान आवेश वाले गुटकों को 40 से 15 cm तक एक साथ धकेलने वाला हाथ प्रतिकर्षण के विरुद्ध 0.150 J का कार्य करता है, और युग्म उसे संचित करता है। आकर्षण वाले चरण में $q_{1} q_{2} < 0$ है, इसलिए $U$ ऋणात्मक है: गुटकों के 40 से 15 cm तक पास आने पर वह $- 0.090$ से $- 0.240 J$ तक गिरता है, और अब बल 0.150 J का कार्य करता है।

उदाहरण: गुटकों को छोड़ना

मान लें हर गुटके का द्रव्यमान 20 g है और समान आवेशों का युग्म घर्षण-रहित पटरी पर विराम से 15 cm की दूरी पर छोड़ा जाता है। हर गुटके का प्रारंभिक त्वरण, और उनके 40 cm दूर होने पर तथा बहुत दूर होने पर उनकी चाल ज्ञात करें।

आरंभ में हर गुटके पर बल $F_{a} \approx 1.60 N$ है, इसलिए न्यूटन के दूसरे नियम से उसका त्वरण $1.60/0.020 \approx 80 m/ s^{2}$ है, यानी $g$ का लगभग आठ गुना। गुटकों के अलग होने पर बल घटता है, इसलिए त्वरण स्थिर नहीं रहता और स्थिर-त्वरण के सूत्र लागू नहीं होते। यहाँ ऊर्जा से काम चलता है।

दो तथ्य चाहिए। दोनों गुटकों पर बल बराबर और विपरीत हैं, इसलिए कुल संवेग शून्य रहता है; समान द्रव्यमान होने पर गुटके एक स्थिर मध्य-बिंदु के चारों ओर बराबर चालों से विपरीत दिशाओं में चलते हैं। और ऊर्जा संरक्षित है: दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा का योग, $r_{0} = 0.15 m$ से वर्तमान दूरी $r$ तक चित्र 4 के निचले वक्र की गिरावट के बराबर है:
$2 \cdot \frac{1}{2} m v^{2} = m v^{2} = U (r_{0}) - U (r)$

40 cm पर गिरावट ऊपर ज्ञात 0.150 J है, अतः $m v^{2} = 0.150 J$ और $v = 0.150/0.020 \approx 2.74 m/s$ । बहुत दूर $U \to 0$ है, इसलिए पूरे 0.240 J गतिज ऊर्जा बन जाते हैं: $m v^{2} = 0.240 J$ और $v = 0.240/0.020 \approx 3.46 m/s$ ।

जब अंतर 15 से 40 cm तक बढ़ता है, तब युग्म अपनी संचित ऊर्जा का $1 - U_{b} / U_{a} = 1 - 15/40 = 0.625$ भाग मुक्त कर चुका होता है। चाल गतिज ऊर्जा के वर्गमूल के अनुपात में बढ़ती है, इसलिए गुटके अपनी अंतिम चाल का $0.625 \approx 0.79$ भाग पहले ही प्राप्त कर चुके होते हैं: व्युत्क्रम-वर्ग धक्का तेज़ और अल्पकालिक होता है। विपरीत आवेशों का युग्म यही फ़िल्म उल्टी चलाता है: 40 cm की दूरी से विराम से छोड़े जाने पर गुटके 15 cm के चिह्न से 2.74 m/s की चाल से, एक-दूसरे की ओर बढ़ते हुए, गुज़रते हैं।

वैधता की सीमाएँ

कूलॉम का नियम विराम में स्थित आवेशों, निर्वात में, साधारण दूरियों पर लागू होने वाला नियम है। इनमें से हर शर्त एक सीमा चिह्नित करती है।

गतिमान आवेश चुंबकीय बल भी उत्पन्न करते हैं। चाल $v$ से साथ-साथ चलते दो आवेशों के लिए चुंबकीय बल, विद्युत बल का लगभग $v^{2} / c^{2}$ कोटि का भाग होता है। इसके अलावा, जब एक आवेश चलता है, तो उसका परिवर्तन दूसरे तक केवल यात्रा-समय $r / c$ के बाद पहुँचता है, जो 15 cm के लिए 0.5 ns है। एनिमेशन के गुटकों के लिए, जो 0.07 m/s से धीमे हैं, $v^{2} / c^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 20}$ है; कार्य-उदाहरण के 3.46 m/s पर भी यह केवल लगभग $1 0^{- 16}$ है। इसके विपरीत, एक त्वरक किरण में इलेक्ट्रॉन $c$ के इतने निकट गति करते हैं कि उनका चुंबकीय आकर्षण उनके विद्युत प्रतिकर्षण को लगभग निरस्त कर देता है। पर आवेश स्वयं किसी भी चाल पर एक-सा रहता है।

कुचालक माध्यम में अणु ध्रुवित होते हैं: उनके आवेश थोड़े खिसकते हैं, और खिसके हुए आवेश दोनों आवेशों को एक-दूसरे से आंशिक रूप से परिरक्षित (screen) कर देते हैं। बल माध्यम की सापेक्ष विद्युतशीलता $ε_{r}$ से भाजित होता है, पानी के लिए लगभग 80। इसी कारण नमक घुलता है। 0.28 nm दूर स्थित, एक-दूसरे को छूते हुए, सोडियम आयन और क्लोराइड आयन को निर्वात में अलग करने में लगभग 5 eV लगते हैं, पर पानी में मोटे अनुमान से $5/80 \approx 0.06 eV$ , जो कमरे के तापमान की तापीय ऊर्जा (0.026 eV) से केवल कुछ गुना है।

हवा यह सीमित करती है कि कोई पिंड कितना आवेश रख सकता है: लगभग $E_{max} = 3 MV/m$ से ऊपर के क्षेत्रों में वह टूटती है और चिंगारी देती है। आवेश $Q$ ले जाने वाले त्रिज्या $R$ के गोले की सतह पर क्षेत्र $k Q / R^{2}$ है, इसलिए आवेश लगभग $E_{max} R^{2} / k$ से अधिक नहीं हो सकता: $R = 1 cm$ के लिए यह 33 nC है। एनिमेशन जैसे माइक्रोकूलॉम आवेशों के लिए बड़े गोले चाहिए (2 µC के लिए लगभग 8 cm त्रिज्या) या निर्वात।

नाभिकीय दूरियों पर बल अत्यंत प्रबल होता है: 2 fm ( $1 fm = 1 0^{- 15} m$ ) दूर स्थित दो प्रोटॉन लगभग 58 N के बल से एक-दूसरे को धकेलते हैं, जो एक कण पर लगने वाला 6 kg द्रव्यमान का भार है। नाभिकों को केवल लघु-परास प्रबल बल बाँधे रखता है; भारी नाभिकों में, जिनमें बहुत से प्रोटॉन होते हैं, विद्युत प्रतिकर्षण बढ़त बनाता है, जो विखंडन को संभव करता है। प्रोटॉन भी बिंदु नहीं है: उसका आवेश लगभग 0.84 fm त्रिज्या में फैला है। अंत में, क्वांटम विद्युतगतिकी में, जो विद्युत बल का क्वांटम सिद्धांत है, अल्पायु इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन युग्म हर आवेश को आंशिक रूप से परिरक्षित करते हैं। लगभग $1 0^{- 12} m$ से नीचे यह परिरक्षण कम होता है और बल $1/ r^{2}$ से कुछ तेज़ बढ़ता है, जो हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में देखा जाता है।

यह कहाँ ले जाता है

ऊपर प्रस्तुत विद्युत क्षेत्र विद्युत क्षेत्र और विभव का मुख्य उपकरण है, जहाँ ऊर्जा $U = k q_{1} q_{2} / r$ विभव $V = k Q / r$ बन जाती है, यानी प्रति इकाई आवेश ऊर्जा, और गॉस का नियम बिना योग किए क्षेत्र देता है। संधारित्र $ε_{0}$ और $ε_{r}$ का उपयोग करता है। गुरुत्वाकर्षण का रूप भी व्युत्क्रम-वर्ग है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण और कक्षाएँ वृत्तीय कक्षाओं के बारे में जो बताती है, वह परमाणु मॉडल: बोर परमाणु में नाभिक के चारों ओर घूमते इलेक्ट्रॉन पर भी लागू होता है। गतिमान आवेशों पर चुंबकीय बल, गतिमान आवेशों के बीच के बल को जोड़ता है, जिसे सापेक्षता इसी बल से जोड़ती है; विद्युत चुंबकीय तरंगें दिखाती हैं कि परिवर्तन $c = 1/ ε_{0} μ_{0}$ की चाल से कैसे फैलते हैं, जहाँ $μ_{0}$ चुंबकीय स्थिरांक है। कण और बल: मानक मॉडल विद्युत बल को फ़ोटॉनों के आदान-प्रदान के रूप में वर्णित करता है।

मुख्य सूत्र

कूलॉम का नियम: बल का परिमाण

F = \frac{k ∣ q _{1} q _{2} ∣}{r ^{2}}

दो बिंदु-आवेश एक-दूसरे को ऐसे बल से धकेलते या खींचते हैं जो हर आवेश के समानुपाती और $1/ r^{2}$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। निरपेक्ष मान सूत्र को केवल परिमाण देता है; बल आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है, समान आवेश हों तो उन्हें दूर धकेलता है और विपरीत हों तो पास खींचता है। इकाइयाँ सही बैठती हैं: $N \cdot m^{2} / C^{2}$ को $C^{2} / m^{2}$ से गुणा करने पर $N$ मिलता है।

चिह्न
$F$	हर आवेश पर बल का परिमाण	$N$
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N \cdot m^{2} / C^{2}$
$q_{1}$	पहला आवेश	$C$
$q_{2}$	दूसरा आवेश	$C$
$r$	आवेशों के केंद्रों के बीच की दूरी	$m$

कब लागू होता है: निर्वात में स्थिर बिंदु-आवेशों के लिए सटीक, और गोलीय सममित आवेशों के लिए जहाँ $r$ उनके केंद्रों के बीच मापा जाए। माध्यम में $ε_{r}$ से भाग दें; गतिमान आवेशों के लिए चुंबकीय बल भी जोड़ने होंगे।

उदाहरण: एनिमेशन के गुटके, हर एक 2 µC, 15 cm दूर: $F = 0.03596/0.1 5^{2} \approx 1.60 N$ ; 40 cm पर 0.22 N।

कूलॉम स्थिरांक

k = \frac{1}{4 π ε _{0}} \approx 8.99 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}

स्थिरांक $k$ कूलॉम में आवेशों और मीटर में दूरियों को न्यूटन में बल में बदल देता है। इसे $1/ (4 π ε_{0})$ लिखने से कूलॉम के नियम में $4 π$ (इकाई गोले का क्षेत्रफल) आ जाता है, जिससे गॉस के नियम और संधारित्र के सूत्रों में उसकी ज़रूरत नहीं पड़ती। इसका विशाल मान बताता है कि विद्युत बल कितना प्रबल है: 1 C और 1 C, 1 m दूर, के बीच लगभग $9 \times 1 0^{9} N$ बल होगा।

चिह्न
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N \cdot m^{2} / C^{2}$
$ε_{0}$	निर्वात की विद्युतशीलता	$F/m$

कब लागू होता है: निर्वात में आवेशों के लिए प्रकृति का एक स्थिरांक। सापेक्ष विद्युतशीलता $ε_{r}$ वाले माध्यम में स्थित आवेशों के बीच प्रभावी स्थिरांक $k / ε_{r}$ है।

उदाहरण: $ε_{0} = 1/ (4 πk) = 1/ (4 π \cdot 8.99 \times 1 0^{9}) \approx 8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ ।

प्राथमिक आवेश और आवेश का क्वांटीकरण

e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C, q = n e

हर मुक्त आवेश प्राथमिक आवेश का पूर्ण गुणक होता है: प्रोटॉन पर $+ e$ और इलेक्ट्रॉन पर $- e$ । किसी वस्तु को आवेशित करना इलेक्ट्रॉन जोड़ना या हटाना है, और $n$ उन्हें गिनता है। चूँकि $e$ बहुत छोटा है, 1 µC भी लगभग छह लाख करोड़ प्राथमिक आवेशों के बराबर है, और रोज़मर्रा में आवेश सतत लगता है। 2019 से $e$ का मान परिभाषा से यथार्थ है: $1.602176634 \times 1 0^{- 19} C$ ।

चिह्न
$e$	प्राथमिक आवेश, यानी प्रोटॉन का आवेश	$C$
$q$	वस्तु का आवेश	$C$
$n$	प्राथमिक आवेशों की पूर्ण संख्या (इलेक्ट्रॉनों की अधिकता होने पर ऋणात्मक)

कब लागू होता है: हर उस मुक्त कण के लिए लागू जो कभी देखा गया है। क्वार्कों पर $\pm e /3$ या $\pm 2 e /3$ आवेश होते हैं, पर वे सदा ऐसे संयोजनों में बँधे होते हैं जिनका कुल आवेश $e$ का पूर्ण गुणक हो।

उदाहरण: +1.6 nC के आवेश का अर्थ है कि $n = (1.6 \times 1 0^{- 9}) / (1.6 \times 1 0^{- 19}) = 1 0^{10}$ इलेक्ट्रॉन हटाए गए।

समान और विपरीत बल (न्यूटन का तीसरा नियम)

F_{12} = - F_{21}

$F_{12}$ वह बल है जो $q_{1}$ , $q_{2}$ पर लगाता है, और $F_{21}$ वह बल जो $q_{2}$ , $q_{1}$ पर लगाता है। उनका परिमाण समान है, क्योंकि दोनों में एक ही गुणनफल $q_{1} q_{2}$ और एक ही दूरी है, और वे आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश विपरीत दिशाओं में हैं। द्रव्यमान भिन्न हों तो समान बल असमान त्वरण देते हैं।

चिह्न
$F_{12}$	$q_{1}$ द्वारा $q_{2}$ पर लगाया गया बल	$N$
$F_{21}$	$q_{2}$ द्वारा $q_{1}$ पर लगाया गया बल	$N$

कब लागू होता है: स्थिर आवेशों के लिए सटीक। गतिमान आवेशों के लिए चुंबकीय बल समान और विपरीत नहीं होते; तब संवेग तभी संरक्षित रहता है जब क्षेत्र द्वारा वहन किया गया संवेग भी गिना जाए।

उदाहरण: 1 µC और 4 µC के आवेश, 30 cm दूर, प्रत्येक पर 0.40 N, विपरीत दिशाओं में।

सदिश रूप में कूलॉम का नियम

F_{12} = \frac{k q _{1} q _{2}}{r ^{2}} \overset{r}{^}_{12}

एकांक सदिश $\overset{r}{^}_{12}$ $q_{1}$ से $q_{2}$ की ओर इंगित करता है, इसलिए सूत्र परिमाण के साथ दिशा भी देता है। $q_{1} q_{2} > 0$ के लिए $q_{2}$ पर बल $q_{1}$ से दूर (प्रतिकर्षण); $q_{1} q_{2} < 0$ के लिए उसकी ओर (आकर्षण)। लेबल बदलने से $\overset{r}{^}_{12}$ उलट जाता है पर गुणनफल नहीं, इसलिए $F_{21} = - F_{12}$ इसी में निहित है।

चिह्न
$F_{12}$	$q_{1}$ द्वारा $q_{2}$ पर लगाया गया बल	$N$
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N \cdot m^{2} / C^{2}$
$q_{1}$	पहला आवेश, उसके चिह्न सहित	$C$
$q_{2}$	दूसरा आवेश, उसके चिह्न सहित	$C$
$r$	आवेशों के बीच की दूरी	$m$
$\overset{r}{^}_{12}$	$q_{1}$ से $q_{2}$ की ओर इंगित करने वाला एकांक सदिश

कब लागू होता है: स्थिर बिंदु-आवेश, जिनके आवेश उनके चिह्नों के साथ डाले जाएँ। स्थिति-सदिशों के साथ, $\overset{r}{^}_{12} = (r_{2} - r_{1}) / r$ ।

उदाहरण: यदि $q_{1} = + 2 μ C$ और $q_{2} = - 2 μ C$ , 15 cm दूर, तो $F_{12} = - 1.60 N \overset{r}{^}_{12}$ : $q_{2}$ पर 1.60 N का बल, $q_{1}$ की ओर।

अध्यारोपण का सिद्धांत

F_{net} = \sum F_{i} (superposition)

किसी आवेश पर अन्य कई आवेशों द्वारा लगाया गया बल, हर एक द्वारा अकेले लगाए जाने वाले बलों का सदिश योग है: तीसरा आवेश पहले दो के बीच के बल को नहीं बदलता। घटक-दर-घटक जोड़ें, या तीरों को सिर-से-पूँछ रखकर जोड़ें। बल अनुभव करने वाले आवेश से भाग देने पर वही नियम विद्युत क्षेत्रों पर लागू होता है।

चिह्न
$F_{net}$	उस आवेश पर कुल (परिणामी) बल	$N$
$F_{i}$	$i$ -वें अन्य आवेश का बल, जैसे वह अकेला हो, वैसे परिकलित	$N$

कब लागू होता है: सभी सामान्य क्षेत्रों में यह एक प्रायोगिक तथ्य है। चालकों और कुचालकों के पास आवेश, अन्य आवेशों के निकट आने पर पुनर्वितरित होते हैं, इसलिए पहले उनकी स्थितियाँ ज्ञात करनी होती हैं; क्वांटम प्रभाव केवल लगभग $1 0^{18} V/m$ के क्षेत्रों के पास ही अध्यारोपण तोड़ते हैं।

उदाहरण: $+ 2$ और $- 2 μ C$ के बीच, 30 cm दूर, ठीक मध्य में रखा $- 0.5 μ C$ का आवेश दो 0.40 N बल एक ही दिशा में अनुभव करता है: धनात्मक आवेश की ओर कुल 0.80 N।

शब्दावली

विद्युत आवेश: पदार्थ का वह गुण जिसके कारण पिंड एक-दूसरे पर विद्युत बल लगाते हैं। इसके दो चिह्न होते हैं, धनात्मक (प्रोटॉन) और ऋणात्मक (इलेक्ट्रॉन); यह संरक्षित रहता है और इसकी इकाई कूलॉम है।
आवेश का क्वांटीकरण: हर मुक्त आवेश प्राथमिक आवेश का पूर्ण गुणक होता है, $q = n e$ , जहाँ $e = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ । 2 µC लगभग $1.25 \times 1 0^{13}$ प्राथमिक आवेशों के बराबर है, इसलिए रोज़मर्रा के पैमाने पर आवेश सतत लगता है।
बिंदु-आवेश: एक आवेशित पिंड जो उन दूरियों की तुलना में छोटा हो जो मायने रखती हैं, और जिसे माना जाता है कि उसका सारा आवेश एक बिंदु पर है। बाहर से देखने पर एकसमान आवेशित गोला बिल्कुल ऐसा ही व्यवहार करता है।
कूलॉम का नियम: स्थिर बिंदु-आवेशों के बीच बल का नियम: यह आवेशों के गुणनफल के समानुपाती, उनकी दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती, और उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होता है।
व्युत्क्रम-वर्ग नियम: वह नियम जिसमें कोई प्रभाव $1/ r^{2}$ से घटता है: दूरी दोगुनी हो तो एक-चौथाई, तीन गुनी हो तो एक-नवमांश। कूलॉम का नियम और न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम, दोनों इसी रूप के हैं, जो गोले के क्षेत्रफल $4 π r^{2}$ से जुड़ा है।
आकर्षण और प्रतिकर्षण: समान आवेश (दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक) एक-दूसरे को दूर धकेलते हैं; विपरीत आवेश आकर्षित करते हैं। सदिश नियम में गुणनफल $q_{1} q_{2}$ का चिह्न तय करता है कि कौन-सी स्थिति है: धनात्मक हो तो प्रतिकर्षण, ऋणात्मक हो तो आकर्षण।
क्रिया-प्रतिक्रिया बल-युग्म: दो पिंड एक-दूसरे पर जो बल लगाते हैं, वे परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होते हैं (न्यूटन का तीसरा नियम)। दो आवेशों के लिए $F_{12} = - F_{21}$ , भले ही एक आवेश दूसरे से कहीं बड़ा हो।
आवेशों के लिए अध्यारोपण का सिद्धांत: किसी आवेश पर कई अन्य आवेशों द्वारा लगाया गया बल, हर एक द्वारा अकेले लगाए जाने वाले बलों का सदिश योग है, और क्षेत्र भी इसी तरह जुड़ते हैं। यह एक प्रायोगिक तथ्य है, तार्किक अनिवार्यता नहीं।
विद्युत क्षेत्र: किसी बिंदु पर रखे छोटे परीक्षण आवेश पर प्रति इकाई आवेश लगने वाला बल, $E = F / q$ , जिसकी इकाई N/C है। बिंदु-आवेश $Q$ का क्षेत्र परिमाण में $k ∣ Q ∣/ r^{2}$ होता है।
गॉस का नियम: किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत क्षेत्र का फ्लक्स, उसके भीतर के आवेश को $ε_{0}$ से भाग देने के बराबर होता है। यह व्युत्क्रम-वर्ग नियम का ज्यामितीय रूप में पुनर्कथन है।
कोश प्रमेय (शेल प्रमेय): एकसमान आवेशित गोलीय कोश बाहर के आवेशों पर ऐसे कार्य करता है मानो उसका आवेश केंद्र पर हो, और उसके भीतर के आवेशों पर कोई बल नहीं लगाता। ये दोनों कथन तभी सत्य हैं जब कूलॉम के नियम में घात ठीक 2 हो।
परावैद्युत परिरक्षण: कुचालक में स्थित आवेशों के बीच बल का कमज़ोर होना, क्योंकि उसके अणु ध्रुवित होकर अपने क्षेत्र आंशिक रूप से निरस्त कर देते हैं। बल को सापेक्ष विद्युतशीलता $ε_{r}$ से भाग दिया जाता है, जो पानी के लिए लगभग 80 है।

राशियाँ
$F$	विद्युत बल का परिमाण	$N$	हर आवेश द्वारा दूसरे पर लगाए गए बल का परिमाण; आवेशों के चिह्न इसकी दिशा तय करते हैं। एनिमेशन के गुटके 15 cm पर 1.60 N अनुभव करते हैं।
$q$	आवेश	$C$	किसी पिंड पर आवेश की मात्रा, उसके चिह्न सहित; $q_{1}$ और $q_{2}$ कूलॉम के नियम में दो आवेश हैं।
$r$	आवेशों के बीच की दूरी	$m$	दो बिंदु-आवेशों के बीच का अंतराल, जो पिंडों के केंद्रों के बीच मापा जाता है, उनकी सतहों के बीच नहीं।
$k$	कूलॉम स्थिरांक	$N \cdot m^{2} / C^{2}$	SI इकाइयों में विद्युत बल की प्रबलता तय करता है: 1 C और 1 C, 1 m दूर, लगभग $8.99 \times 1 0^{9} N$ से एक-दूसरे को धकेलेंगे।
$ε_{0}$	निर्वात विद्युतशीलता	$F/m$	$k = 1/ (4 π ε_{0})$ में स्थिरांक, लगभग $8.85 \times 1 0^{- 12} F/m$ , जो $C^{2} / (N \cdot m^{2})$ के समान है।
$e$	प्राथमिक आवेश	$C$	प्रोटॉन का आवेश, यथार्थ रूप से $1.602176634 \times 1 0^{- 19} C$ ; इलेक्ट्रॉन पर $- e$ होता है।
$n$	प्राथमिक आवेशों की संख्या		$q = n e$ में पूर्ण संख्या: इलेक्ट्रॉन हटाए जाने पर धनात्मक, जोड़े जाने पर ऋणात्मक। +1.6 nC के लिए $n = 1 0^{10}$ ।
$F_{12}$	आवेश 1 का आवेश 2 पर बल	$N$	$q_{1}$ द्वारा $q_{2}$ पर लगाया गया सदिश बल, जो एनिमेशन में दाएँ गुटके पर दिखाया गया है; उसका साथी $F_{21}$ $q_{1}$ पर लगता है।
$\overset{r}{^}_{12}$	आवेश 1 से आवेश 2 की ओर एकांक सदिश		लंबाई 1 का सदिश जो $q_{1}$ से $q_{2}$ की ओर इंगित करता है; सदिश रूप के नियम में यही बल की दिशा देता है।
$F_{net}$	परिणामी बल	$N$	बाकी सभी आवेशों द्वारा किसी एक आवेश पर लगाए गए बलों $F_{i}$ का सदिश योग $\sum F_{i}$ , जिनमें से हर एक को अकेले परिकलित किया गया हो। एनिमेशन में $q_{3}$ के लिए यह बैंगनी तीर है: समान आवेशों वाले युग्म की निकटतम स्थिति पर सीधे ऊपर 0.63 N।
$ε_{r}$	सापेक्ष विद्युतशीलता		वह गुणक जिससे माध्यम उसमें स्थित आवेशों के बीच बल घटाता है: निर्वात के लिए 1, हवा के लिए लगभग 1.0006, पानी के लिए लगभग 80।

क्विज़

शुरुआती आपके बालों पर रगड़ा गया गुब्बारा ऋणात्मक आवेशित हो जाता है। क्या हुआ है?
1. प्रोटॉन आपके बालों से गुब्बारे पर चले गए
2. इलेक्ट्रॉन आपके बालों से गुब्बारे पर चले गए
3. घर्षण से आवेश बन गया
4. गुब्बारे ने इलेक्ट्रॉन खो दिए
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उत्तर: B. इलेक्ट्रॉन आपके बालों से गुब्बारे पर चले गए
रगड़ने से इलेक्ट्रॉन स्थानांतरित होते हैं। गुब्बारे को अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन मिले, इसलिए वह ऋणात्मक है और आपके बाल धनात्मक रह गए। आवेश स्थानांतरित होता है, कभी उत्पन्न नहीं होता।
शुरुआती दो आवेशित गोलों के बीच की दूरी 20 cm से घटाकर 10 cm कर दी जाती है। उनके बीच के बल का क्या होता है?
1. वह चार गुना प्रबल हो जाता है
2. वह आधा हो जाता है
3. वह दोगुना हो जाता है
4. वह वही रहता है
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उत्तर: A. वह चार गुना प्रबल हो जाता है
बल 1/r² पर निर्भर करता है। दूरी आधी करने से बल 2² = 4 गुना हो जाता है।
शुरुआती एक धनात्मक आवेशित छड़ को धागे से लटकी ऋणात्मक आवेशित गेंद के पास लाया जाता है। गेंद क्या करती है?
1. वह छड़ से दूर झूल जाती है
2. वह नहीं हिलती
3. वह छड़ की ओर झूल जाती है
4. वह पहले दूर जाती है, फिर लौट आती है
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उत्तर: C. वह छड़ की ओर झूल जाती है
विपरीत आवेश आकर्षित करते हैं, इसलिए ऋणात्मक गेंद धनात्मक छड़ की ओर खिंचती है।
मध्यम 0.3 m दूर रखे 3 µC के दो आवेशों के बीच बल कितना है? (k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²)
1. 0.27 N
2. 2.7 N
3. 8.99 N
4. 0.90 N
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उत्तर: D. 0.90 N
F = 8.99 × 10⁹ × (3 × 10⁻⁶)² ÷ 0.3² = 8.99 × 10⁹ × 9 × 10⁻¹² ÷ 0.09 ≈ 0.90 N। यदि r का वर्ग लेना भूल जाएँ तो 0.27 N मिलेगा।
मध्यम आवेश q₁ = 1 µC और आवेश q₂ = 4 µC कुछ दूरी पर हैं। उन पर लगने वाले बलों की तुलना कैसे होती है?
1. वे परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत हैं
2. q₂ पर बल q₁ से चार गुना है
3. q₁ पर बल q₂ से चार गुना है
4. वे बराबर हैं और एक ही दिशा में इंगित करते हैं
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उत्तर: A. वे परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत हैं
न्यूटन का तीसरा नियम: F₁₂ = −F₂₁। दोनों बलों में गुणनफल q₁·q₂ आता है, इसलिए परिमाण सदा बराबर होते हैं।
मध्यम एक उदासीन वस्तु पर +1.6 nC आवेश लाने के लिए उसमें से कितने इलेक्ट्रॉन हटाने होंगे? (e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C)
1. 1.6 × 10⁹
2. 1.0 × 10¹⁹
3. 1.0 × 10¹⁰
4. 6.25 × 10¹⁸
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उत्तर: C. 1.0 × 10¹⁰
n = q / e = 1.6 × 10⁻⁹ ÷ 1.6 × 10⁻¹⁹ = 10¹⁰ इलेक्ट्रॉन। 6.25 × 10¹⁸ एक कूलॉम में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
उन्नत +q के दो आवेश (−a, 0) और (+a, 0) पर स्थित हैं। (0, a) पर रखे तीसरे आवेश −q पर परिणामी बल की दिशा क्या है?
1. +x दिशा में
2. −y दिशा में, x-अक्ष की ओर
3. +y दिशा में, x-अक्ष से दूर
4. शून्य: बल निरस्त हो जाते हैं
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उत्तर: B. −y दिशा में, x-अक्ष की ओर
हर +q, −q को उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश आकर्षित करता है। सममिति से x-घटक निरस्त होते हैं और y-घटक जुड़ते हैं, इसलिए परिणामी बल नीचे, x-अक्ष की ओर इंगित करता है।
उन्नत दो आवेश पानी (εᵣ ≈ 80) में उसी दूरी पर डूबे हैं जितनी निर्वात में थी। उनके बीच बल कैसे बदलता है?
1. वह लगभग 80 गुना बढ़ जाता है
2. वह अपरिवर्तित रहता है
3. वह अपने मान के लगभग 1/√80 तक गिर जाता है
4. वह अपने मान के लगभग 1/80 तक गिर जाता है
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उत्तर: D. वह अपने मान के लगभग 1/80 तक गिर जाता है
परावैद्युत में, F = q₁·q₂ / (4πε₀·εᵣ·r²): ध्रुवित पानी के अणु आवेशों को परिरक्षित करते हैं और बल को 1/εᵣ तक घटा देते हैं।

$q$	शंकु के शीर्ष पर बिंदु-आवेश।	$C$
$d Ω$	शंकु का ठोस कोण: वह क्षेत्रफल जो वह त्रिज्या 1 के गोले से काटता है।	$sr$
$r$	$q$ से निकटतर टुकड़े तक की दूरी।	$m$
$d A$	निकटतर टुकड़े का क्षेत्रफल, जो आवेश के सीधे सामने है।	$m^{2}$
$E$	निकटतर टुकड़े पर $q$ का क्षेत्र।	$N/C$
$E /4$	दोगुनी दूरी पर क्षेत्र: $E$ का एक-चौथाई।	$N/C$

$r$	आवेशों की दूरी।	$m$
$F$	प्रतिकर्षी बल का परिमाण, $k q^{2} / r^{2}$ ।	$N$
$U$	युग्म की स्थितिज ऊर्जा, $k q^{2} / r$ , अनंत दूरी पर शून्य।	$J$
$r_{a}$	प्रारंभिक दूरी।	$m$
$r_{b}$	अंतिम दूरी।	$m$
$F_{a}$	$r_{a}$ पर बल।	$N$
$F_{b}$	$r_{b}$ पर बल।	$N$
$U_{a}$	$r_{a}$ पर स्थितिज ऊर्जा।	$J$
$U_{b}$	$r_{b}$ पर स्थितिज ऊर्जा।	$J$
$W$	$r_{a}$ से $r_{b}$ तक प्रतिकर्षण द्वारा किया गया कार्य: छायांकित क्षेत्रफल, जो गिरावट $U_{a} - U_{b}$ के बराबर है।	$J$

$q_{1}$	पहला आवेश।	$C$
$q_{2}$	दूसरा आवेश।	$C$
$O$	मूलबिंदु: कोई भी स्थिर बिंदु जहाँ से स्थितियाँ मापी जाती हैं।
$r_{1}$	$q_{1}$ की स्थिति, $O$ से एक तीर।	$m$
$r_{2}$	$q_{2}$ की स्थिति, $O$ से एक तीर।	$m$
$r_{2} - r_{1}$	$q_{1}$ से $q_{2}$ तक का तीर; इसकी लंबाई आवेशों के बीच की दूरी $r$ है।	$m$
$\overset{r}{^}_{12}$	$q_{1}$ से $q_{2}$ की ओर एकांक सदिश: तीर $r_{2} - r_{1}$ को उसकी लंबाई $r$ से भाग देने पर।
$F_{12}$	$q_{1}$ द्वारा $q_{2}$ पर लगाया गया बल।	$N$
$F_{21}$	$q_{2}$ द्वारा $q_{1}$ पर लगाया गया बल: परिमाण $F_{12}$ के समान, दिशा विपरीत।	$N$

$q_{1}$	बाएँ गुटके का आवेश, दोनों पैनलों में धनात्मक।	$C$
$q_{2}$	दाएँ गुटके का आवेश: बाएँ पैनल में धनात्मक, दाएँ में ऋणात्मक।	$C$
$q_{3}$	गुटकों के नीचे स्थिर ऋणात्मक आवेश।	$C$
$F_{13}$	बाएँ गुटके का $q_{3}$ पर बल।	$N$
$F_{23}$	दाएँ गुटके का $q_{3}$ पर बल।	$N$
$F_{3}$	$q_{3}$ पर परिणामी बल: सदिश योग $F_{13} + F_{23}$ ।	$N$
$r$	हर गुटके से $q_{3}$ तक की दूरी, दोनों के लिए समान।	$m$
$h$	गुटकों की रेखा के नीचे $q_{3}$ की गहराई।	$m$
$a$	हर गुटके से उनके मध्य-बिंदु तक की दूरी: उनकी दूरी का आधा।	$m$