Loi de Coulomb

Débutant

Deux objets chargés se poussent ou s'attirent sans se toucher. La loi de Coulomb nous dit dans quel sens, et avec quelle force.

Étape 1 : dans quel sens. Des charges de même signe (+ et +, ou − et −) se repoussent ; des charges de signes opposés (+ et −) s'attirent.

Étape 2 : combien de charge. Plus il y a de charge, plus la force est grande. Doublez la charge d'un des objets : la force double ; doublez celle des deux : elle devient quatre fois plus grande.

Étape 3 : à quelle distance. La distance compte encore plus. Éloignez deux charges deux fois plus : la force tombe au quart ; trois fois plus : au neuvième. Rapprochez-les deux fois plus : elle devient quatre fois plus grande. La gravitation suit exactement la même loi « en inverse du carré ».

Étape 4 : l'unité. La charge se mesure en coulombs. Un coulomb est énorme, la charge d'environ six milliards de milliards d'électrons : un ballon frotté porte moins d'un millionième de coulomb (moins d'un microcoulomb).

Étape 5 : à parts égales. Les deux objets subissent une force de même intensité, en sens opposés, même si l'un porte bien plus de charge que l'autre.

Testez-vous : deux petites boules chargées à 10 cm l'une de l'autre se repoussent avec une force de 8 unités. Que vaut la force quand elles sont à 20 cm ? (2 unités : deux fois plus loin, quatre fois moins de force.)

Dans l'animation, deux palets chargés se rapprochent puis s'éloignent le long d'un rail. Dans la première moitié, ils sont tous deux positifs et les flèches vertes les écartent ; dans la seconde, l'un devient négatif et les flèches les rapprochent. Observez : les flèches restent minuscules quand les palets sont loin, puis s'allongent d'un coup quand ils se rapprochent.

Intermédiaire

Ce que l'on mesure : charge et distance

La loi de Coulomb relie deux charges et la distance qui les sépare. La charge se mesure en coulombs (C) et possède un signe. Elle est toujours un multiple entier de la charge élémentaire $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, celle du proton ; l'électron porte $-e$. Le coulomb est une unité énorme : les charges statiques de la vie courante s'expriment donc en microcoulombs ($1\mu \mathrm{C}=10^{-6}\mathrm{C}$) ou en nanocoulombs ($1\mathrm{nC}=10^{-9}\mathrm{C}$). Chaque palet de l'animation porte une charge de 2 µC en valeur absolue, soit environ $1,25\times 10^{13}$ charges élémentaires.

La distance $r$ se mesure entre les centres des deux corps. La loi est exacte pour des charges ponctuelles, c'est-à-dire des corps bien plus petits que leur distance, et pour des sphères uniformément chargées, qui agissent de l'extérieur comme si toute leur charge était placée en leur centre. Convertissez d'abord tout en unités SI : $2\mu \mathrm{C}=2\times 10^{-6}\mathrm{C}$ et $15\mathrm{cm}=0,15\mathrm{m}$.

La loi de Coulomb

Deux charges ponctuelles $q_1$ et $q_2$ distantes de $r$ se repoussent ou s'attirent avec une force d'intensité
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
où $k$ est la constante de Coulomb :
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$

La force est dirigée selon la droite qui joint les charges : des charges de même signe se repoussent, des charges de signes opposés s'attirent. Son intensité est proportionnelle à chaque charge : doubler l'une double la force, doubler les deux la multiplie par quatre. Elle varie aussi en sens inverse du carré de la distance : deux fois plus loin, on obtient le quart de la force ; trois fois plus loin, le neuvième ; deux fois plus près, quatre fois plus. La gravitation obéit au même schéma en inverse du carré.

Ici, ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ est la permittivité du vide. La valeur de $k$ montre la puissance de la force électrique : deux charges de 1 C placées à 1 m l'une de l'autre se repousseraient avec $9\times 10^9\mathrm{N}$, à peu près le poids d'une masse de 900 000 tonnes.

Des forces égales et opposées

Chaque charge agit sur l'autre, et les deux forces forment une paire action-réaction, selon la troisième loi de Newton. Si ${\vec{F}}_{12}$ est la force exercée par $q_1$ sur $q_2$ et ${\vec{F}}_{21}$ celle exercée par $q_2$ sur $q_1$,
${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$
Les forces ont la même intensité même quand les charges diffèrent, car toutes deux contiennent le même produit $q_1{q}_2$ : des charges de 1 µC et 4 µC, distantes de 30 cm, subissent chacune $8,99\times 10^9\cdot 4\times 10^{-12}/0,30^2\approx 0,40\mathrm{N}$.

Des forces égales ne signifient pas des mouvements égaux : d'après la deuxième loi de Newton, chaque corps accélère selon $a=F/m$, et une petite bille chargée est projetée loin d'une lourde sphère chargée qui bouge à peine. Le signe du produit donne le sens : $q_1{q}_2>0$ écarte les charges, $q_1{q}_2<0$ les rapproche. C'est pourquoi la formule de l'intensité utilise $|q_1{q}_2|$.

Exemple résolu : les palets de l'animation

Chaque palet porte une charge de 2 µC en valeur absolue, et leur distance oscille entre 40 cm et 15 cm. Calculons d'abord le produit qui ne change jamais :
$k|q_1{q}_2|=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2=0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$
Au plus près, $r=0,15\mathrm{m}$, donc
$F=\frac{0,03596}{0,15^2}=\frac{0,03596}{0,0225}\approx 1,60\mathrm{N}$

À la distance maximale, $r=0,40\mathrm{m}$, la force vaut $0,03596/0,16\approx 0,22\mathrm{N}$. Ce sont les valeurs extrêmes affichées pour $r$ et $F$. La distance varie d'un facteur $40/15\approx 2,67$ et la force d'un facteur $2,67^2\approx 7,1$ : les flèches vertes sont donc environ sept fois plus longues au plus près. À 30 cm, l'affichage passe par 0,40 N, le quart de la valeur à 15 cm.

Au bout de 6 s, le palet de droite devient négatif. Les valeurs affichées se répètent à l'identique, puisque l'intensité ne dépend que de $|q_1{q}_2|$ et de $r$, mais les deux flèches se retournent et pointent l'une vers l'autre. Nommées $F_{12}$ et $F_{21}$, elles ont toujours la même longueur.

Exemple résolu : deux boules chargées sur des fils

Deux petites boules identiques de masse 2,0 g sont suspendues à un même point par des fils isolants, longs de 40 cm entre le point d'attache et le centre de chaque boule. Portant des charges égales, elles se repoussent et se stabilisent avec leurs centres distants de 12 cm. Quelle est la charge de chaque boule ?

Chaque boule est en équilibre sous l'action de son poids $mg$, de la tension du fil et de la poussée de Coulomb, horizontale. Le fil fait avec la verticale un angle $\theta$ tel que $\sin \theta =0,06/0,40=0,15$, donc $\theta \approx 8,6^{\circ }$ et $\tan \theta \approx 0,152$. La composante verticale de la tension équilibre le poids et sa composante horizontale la force électrique, d'où
$F=mg\tan \theta =0,0020\cdot 9,81\cdot 0,152\approx 2,98\times 10^{-3}\mathrm{N}$

En résolvant la loi de Coulomb pour la charge, avec $q_1=q_2=q$, on obtient
$q=r\sqrt{\frac{F}{k}}=0,12\cdot \sqrt{\frac{2,98\times 10^{-3}}{8,99\times 10^9}}\approx 6,9\times 10^{-8}\mathrm{C}$
Chaque boule porte environ 69 nC, soit $4,3\times 10^{11}$ charges élémentaires. La poussée électrique ne représente que 15 % du poids, et pourtant elle écarte visiblement les boules. Si la moitié de chaque charge s'échappait, la force à 12 cm tomberait au quart et les boules retomberaient l'une vers l'autre.

Plusieurs charges : les forces s'ajoutent

Avec plus de deux charges, calculez séparément la force due à chacune, comme si les autres étaient absentes, puis additionnez les résultats comme des vecteurs. C'est le principe de superposition :
${\vec{F}}_{\mathrm{r}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}}=\sum {\vec{F}}_i\text{(superposition)}$

Placez une petite charge de $-0,5\mu \mathrm{C}$ au milieu des palets quand ils sont distants de 30 cm. Chaque palet exerce sur elle une force de $8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}/0,15^2\approx 0,40\mathrm{N}$. Si les deux palets sont positifs, ils l'attirent en sens opposés et la force résultante est nulle. Si le palet de droite est négatif, l'un attire et l'autre repousse, tous deux vers la gauche : 0,80 N au total, en direction du palet positif. La vue experte place la petite charge hors de la droite du rail : la somme doit alors se tracer comme un vecteur.

Erreurs fréquentes

• Oublier de convertir les unités : écrire 2 pour chacune des charges de 2 µC rend la force $10^{12}$ fois trop grande, et écrire 15 pour 15 cm la rend 10 000 fois trop petite.
• Ne pas élever la distance au carré : diviser par $r$ au lieu de $r^2$ transforme les 1,60 N à 15 cm en 0,24, qui n'est même pas une force (son unité est le N·m).
• Croire que la plus grande charge subit la plus grande force : des charges de 1 µC et 4 µC, distantes de 30 cm, subissent toutes deux 0,40 N.
• Mesurer $r$ entre les surfaces : deux sphères de rayon 2 cm dont les surfaces sont distantes de 11 cm ont leurs centres distants de 15 cm, et utiliser 11 cm surestime la force d'un facteur $(15/11{)}^2\approx 1,9$.
• Confondre le signe et l'intensité : $+2$ et $-2\mu \mathrm{C}$ à 15 cm donnent $k{q}_1{q}_2/r^2=-1,60\mathrm{N}$, mais le signe moins signifie seulement l'attraction ; l'intensité vaut 1,60 N.

Où on la rencontre

La loi de Coulomb intervient partout où l'on déplace des charges à dessein. Les imprimantes laser et les photocopieurs déposent un motif de charges sur un tambour qui retient la poudre d'encre (toner) ; les filtres électrostatiques chargent les particules de fumée dans les cheminées et les captent sur des plaques de signe opposé ; dans les usines automobiles, on charge les gouttelettes de peinture pour qu'elles viennent envelopper la carrosserie.

Bien plus importante est la part que l'on ne voit pas : la force électrique assure la cohésion des atomes et des molécules. Dans un atome d'hydrogène, le proton attire l'électron, situé à environ $5,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$, avec une force de $8,2\times 10^{-8}\mathrm{N}$, plus de $10^{39}$ fois leur attraction gravitationnelle. La chimie et la rigidité des solides naissent de cette force, tempérée par l'équilibre presque parfait des charges positives et négatives dans la matière. Champ et potentiel électriques décrit la même force à travers le champ que crée chaque charge, et Condensateurs montre comment des charges séparées emmagasinent de l'énergie.

Avancé

La loi sous forme vectorielle

Le niveau Intermédiaire donne l'intensité de la force, $F=k|q_1{q}_2|/r^2$, et une règle distincte pour sa direction : des charges de même signe se repoussent, des charges de signes opposés s'attirent. Dès que plusieurs charges agissent à la fois, les forces doivent être additionnées comme des vecteurs ; autant donc réunir l'intensité et la direction dans une seule formule. Il suffit pour cela d'un moyen de repérer les positions.

Légende

$q_1$	Première charge.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Seconde charge.	$\mathrm{C}$
$O$	Origine : un point fixe quelconque à partir duquel on repère les positions.
${\vec{r}}_1$	Position de $q_1$, flèche issue de $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Position de $q_2$, flèche issue de $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$	Flèche de $q_1$ vers $q_2$ ; sa longueur est la distance $r$ entre les charges.	$\mathrm{m}$
${\hat{r}}_{12}$	Vecteur unitaire de $q_1$ vers $q_2$ : la flèche ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$ divisée par sa longueur $r$.
${\vec{F}}_{12}$	Force exercée par $q_1$ sur $q_2$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{21}$	Force exercée par $q_2$ sur $q_1$ : de même intensité que ${\vec{F}}_{12}$, de sens opposé.	$\mathrm{N}$

Dans la figure 1, les charges $q_1$ et $q_2$ se trouvent aux positions ${\vec{r}}_1$ et ${\vec{r}}_2$, flèches tracées à partir d'une origine $O$. Regardez le triangle formé par les trois flèches orange. Aller de $O$ à $q_1$, puis de là jusqu'à $q_2$, mène au même point que la flèche directe ${\vec{r}}_2$ ; donc ${\vec{r}}_1+({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)={\vec{r}}_2$, et le troisième côté, ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$, est une flèche de $q_1$ vers $q_2$. Elle ne dépend pas de la position de $O$, seulement de celle des charges, comme il se doit pour une force entre elles.

La longueur de cette flèche est la distance entre les charges, $r=|{\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1|$. Diviser la flèche par sa propre longueur conserve sa direction et ramène sa longueur à 1. On obtient le vecteur unitaire (un chapeau signale un vecteur de longueur 1)
${\hat{r}}_{12}=({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)/r$
dessiné en petite flèche bleue, dirigée de $q_1$ vers $q_2$. Avec lui, la force exercée par $q_1$ sur $q_2$ s'écrit
${\vec{F}}_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$
où $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ est la constante de Coulomb. Les charges y figurent désormais avec leur signe, et non plus comme des intensités.

Les signes règlent ensuite la direction. Les deux charges de la figure 1 sont positives, donc $q_1{q}_2>0$ : le nombre devant ${\hat{r}}_{12}$ est positif, et ${\vec{F}}_{12}$, la flèche verte sur $q_2$, est dirigée selon ${\hat{r}}_{12}$, donc s'éloigne de $q_1$. C'est la répulsion. Si l'une des charges était négative, on aurait $q_1{q}_2<0$ et la même formule retournerait la force, vers $q_1$ : c'est l'attraction. Aucune règle séparée n'est nécessaire.

La troisième loi de Newton est elle aussi incluse. La force sur $q_1$ s'obtient par la même formule, en échangeant les indices. L'échange transforme ${\hat{r}}_{12}$ en ${\hat{r}}_{21}=-{\hat{r}}_{12}$ mais laisse inchangés le produit $q_1{q}_2$ et la distance $r$, donc ${\vec{F}}_{21}=-{\vec{F}}_{12}$. Dans la figure 1, la flèche verte ${\vec{F}}_{21}$ sur $q_1$ a la même longueur que ${\vec{F}}_{12}$ et le sens opposé.

La force est aussi centrale : elle s'exerce le long de la droite qui joint les charges, et son intensité ne dépend que de leur distance. Une telle force est conservative, car le travail qu'elle fournit entre deux distances ne dépend pas du chemin suivi ; elle possède donc une énergie potentielle, établie dans la section sur l'énergie plus bas.

En unités SI, la constante de Coulomb s'écrit $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$, où ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ est la permittivité du vide. Le facteur $4\pi$ est l'aire d'une sphère de rayon 1. Le placer dans $k$ paraît maladroit ici, mais il fait disparaître le $4\pi$ du théorème de Gauss et des formules des condensateurs, bien plus souvent utilisées.

Charles-Augustin de Coulomb a établi la loi en 1785 en mesurant la torsion du fil d'une balance de torsion. Jusqu'en 2019, le SI fixait $k$ à exactement $10^{-7}{c}^2\approx 8,98755\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$, où $c$ est la vitesse de la lumière. Depuis, la charge élémentaire $e$ a une valeur exacte et c'est ${\epsilon }_0$ qui est mesurée ; la mesure s'accorde avec l'ancienne valeur exacte à mieux qu'un milliardième près.

Superposition et champ électrique

Avec seulement deux charges, la forme vectorielle ne fait que remettre en forme ce que nous savions déjà. Son intérêt apparaît quand une troisième charge se joint aux deux premières. L'expérience montre que les forces électriques s'additionnent simplement : la force sur une charge est la somme vectorielle des forces que chacune des autres exercerait seule sur elle, sans que la présence des autres y change quoi que ce soit. Ce principe de superposition est un second fait expérimental, aussi fondamental pour l'électrostatique que la loi en inverse du carré elle-même.

Légende

$q_1$	Charge du palet de gauche, positive sur les deux panneaux.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Charge du palet de droite : positive sur le panneau de gauche, négative sur celui de droite.	$\mathrm{C}$
$q_3$	Charge négative fixe, sous les palets.	$\mathrm{C}$
${\vec{F}}_{13}$	Force du palet de gauche sur $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{23}$	Force du palet de droite sur $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_3$	Force résultante sur $q_3$ : la somme vectorielle ${\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$.	$\mathrm{N}$
$r$	Distance de chaque palet à $q_3$, la même pour les deux.	$\mathrm{m}$
$h$	Profondeur de $q_3$ sous la ligne des palets.	$\mathrm{m}$
$a$	Distance de chaque palet au milieu qui les sépare : la moitié de leur écart.	$\mathrm{m}$

La figure 2 reprend le montage de la vue experte de l'animation. Deux palets, portant chacun une charge de valeur absolue $q=2\mu \mathrm{C}$, glissent le long d'un rail rectiligne. Une charge fixe $q_3=-0,5\mu \mathrm{C}$ se trouve à une profondeur $h=14\mathrm{cm}$ sous le rail, à la verticale du milieu des deux palets. La figure montre l'instant du plus grand rapprochement, quand les palets sont distants de 15 cm et que chacun est à $a=7,5\mathrm{cm}$ du milieu.

Commençons par la force d'un palet sur $q_3$. Le palet, le milieu et $q_3$ forment un triangle rectangle de côtés $a$ et $h$ ; chaque palet est donc à la même distance de $q_3$ :
$r=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{0,075^2+0,14^2}\approx 0,159\mathrm{m}$
La loi de Coulomb donne l'intensité de chaque force, dirigée selon la droite pointillée qui joint le palet à $q_3$ :
$F=\frac{8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}}{0,159^2}\approx 0,356\mathrm{N}$
Ce sont les flèches dorées ${\vec{F}}_{13}$ et ${\vec{F}}_{23}$. Elles ont la même longueur parce que les distances sont égales ; seules leurs directions diffèrent.

Pour les additionner, décomposez chaque force en une composante le long du rail et une composante perpendiculaire au rail. La force est dirigée selon le côté oblique $r$ du triangle ; sa composante le long du rail vaut donc $Fa/r$ et sa composante perpendiculaire au rail $Fh/r$.

Dans le panneau de gauche, les deux palets sont positifs : chacun attire donc la charge négative $q_3$ vers lui, vers le haut et d'un côté. Les composantes latérales, $Fa/r$ chacune, sont de sens opposés et s'annulent. Les composantes vers le haut, $Fh/r$ chacune, s'ajoutent. La somme ${\vec{F}}_3={\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$, la diagonale violette du parallélogramme pointillé, est donc dirigée droit vers le haut, avec l'intensité
$F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,14/0,159\approx 0,63\mathrm{N}$

Dans le panneau de droite, le palet de droite est négatif et repousse $q_3$ : ${\vec{F}}_{23}$ est maintenant dirigée vers le bas et vers la gauche. Cette fois, ce sont les composantes verticales qui s'annulent et les composantes latérales qui s'ajoutent. La somme, $F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,075/0,159\approx 0,34\mathrm{N}$, est dirigée le long du rail, vers le palet positif.

Les mêmes sommes évoluent quand les palets se déplacent. Pour la paire de même signe, la force vers le haut augmente régulièrement quand les palets se rapprochent, de 0,17 N lorsqu'ils sont distants de 40 cm à 0,63 N à 15 cm. Pour la paire de signes opposés, la force latérale, $2Fa/r=2kq|q_3|a/(a^2+h^2{)}^{3/2}$, est maximale non pas au plus près mais pour $a=h/\sqrt{2}$, où sa dérivée par rapport à $a$ s'annule. Cela correspond à une distance de $\sqrt{2}\cdot 0,14\approx 0,20\mathrm{m}$ entre les palets, et la force y vaut 0,35 N. Des palets plus proches exercent des forces plus fortes, mais ces forces se rapprochent aussi de la verticale, direction dans laquelle les forces de la paire de signes opposés s'annulent.

La superposition permet aussi de décrire ce que les charges font à un point avant même qu'on y place quoi que ce soit. Placez en ce point une petite charge d'essai $q_0$ et divisez par $q_0$ la force totale qu'elle subit. Le résultat, $\vec{E}=\vec{F}/q_0$, ne dépend plus de la charge d'essai : c'est le champ électrique, mesuré en newtons par coulomb. Pour des charges $q_j$ placées aux positions ${\vec{r}}_j$, le champ au point $\vec{r}$ est
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_j\frac{k{q}_j(\vec{r}-{\vec{r}}_j)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_j{|}^3}$
Chaque terme est la loi de Coulomb sous forme vectorielle : le vecteur $\vec{r}-{\vec{r}}_j$ divisé par le cube de sa longueur est égal au vecteur unitaire de $q_j$ vers le point divisé par le carré de la distance. Pour une charge répartie avec une densité $\rho$ (charge par unité de volume), la somme devient une intégrale de volume. Dès que les charges et leurs positions sont connues, cette formule règle toute question de force électrostatique ; le théorème de Gauss, les potentiels et les lignes de champ sont des raccourcis vers les mêmes réponses.

Vue d'une distance $d$ très supérieure à leur écart, la paire de même signe agit comme une charge unique de 4 µC, dont le champ décroît en $1/d^2$. La paire de signes opposés n'a pas de charge totale : ses deux champs s'annulent presque, et ce qui reste décroît plus vite, en $1/d^3$. Une paire de charges égales et opposées comme celle-ci s'appelle un dipôle électrique.

Pourquoi l'exposant vaut exactement 2

Rien dans la forme vectorielle n'impose que la puissance de $r$ soit 2 ; une loi en $1/r^{2,01}$ aurait presque la même allure. Le 2 exact compte parce qu'il conduit au théorème de Gauss, l'une des équations fondamentales de l'électromagnétisme, et parce qu'on peut le tester avec une précision extraordinaire. La grandeur clé est le flux. Pour un petit élément plan d'aire $dA$ perpendiculaire au champ, le flux vaut $EdA$, l'intensité du champ multipliée par l'aire. Si l'on dessine les lignes de champ avec une densité proportionnelle à $E$, le flux compte les lignes qui traversent l'élément.

Légende

$q$	Charge ponctuelle au sommet du cône.	$\mathrm{C}$
$d\Omega$	Angle solide du cône : l'aire qu'il découpe sur une sphère de rayon 1.	$\mathrm{sr}$
$r$	Distance de $q$ à l'élément le plus proche.	$\mathrm{m}$
$dA$	Aire de l'élément proche, qui fait face à la charge.	${\mathrm{m}}^2$
$E$	Champ de $q$ au niveau de l'élément proche.	$N/C$
$E/4$	Champ à une distance double : le quart de $E$.	$N/C$

La figure 3 montre comment l'exposant et la géométrie de l'espace s'accordent. Un cône étroit part de la charge ponctuelle $q$. Son ouverture se mesure par l'angle solide $d\Omega$ : l'aire que le cône découpe sur une sphère de rayon 1 centrée sur son sommet, en stéradians (une sphère entière vaut $4\pi$). À la distance $r$, le cône découpe un petit élément qui fait face à la charge, d'aire $dA=r^{2}d\Omega$. À $2r$, le cône est deux fois plus large dans les deux directions : l'élément y a donc une aire quatre fois plus grande, $4dA$.

Comparons maintenant les champs aux deux éléments, les deux flèches bleues. La loi de Coulomb donne $E=kq/r^2$ au niveau de l'élément proche, et le quart de cette valeur, $E/4$, au niveau de l'élément lointain. Le flux à travers l'élément proche vaut $EdA=(kq/r^2)(r^{2}d\Omega )=kqd\Omega$, et le flux à travers l'élément lointain, $(E/4)(4dA)$, est le même. Le $r^2$ du dénominateur de la loi compense le $r^2$ de l'aire. Le flux à travers n'importe quel élément découpé par le cône ne dépend donc que de l'angle solide $d\Omega$, et non de l'éloignement de l'élément.

Entourons ensuite $q$ d'une sphère de rayon $r$ centrée sur elle. Sur cette sphère, le champ a partout la même intensité et traverse la surface à angle droit ; le flux total est donc le champ multiplié par l'aire entière :
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$
Le cercle sur le signe intégral indique que la surface est fermée. Le vecteur $d\vec{A}$ est un élément de la surface, de longueur $dA$ et dirigé vers l'extérieur, et le produit scalaire ne garde que la partie du champ qui traverse l'élément. Le rayon a disparu : toutes les sphères reçoivent le même flux, et le $4\pi$ placé dans $k$ compense le $4\pi$ de l'aire de la sphère.

La forme de la surface n'importe pas non plus. Découpons une surface fermée quelconque autour de $q$ en éléments, chacun vu depuis $q$ sous un certain angle solide $d\Omega$. Un élément incliné est plus grand, mais le champ le traverse de biais, et les deux effets se compensent : chaque élément reçoit donc encore le flux $kqd\Omega$. Les angles solides s'additionnent pour donner $4\pi$, d'où de nouveau $q/{\epsilon }_0$. Pour une charge extérieure à la surface, chaque cône étroit entre dans la surface autant de fois qu'il en sort, le flux entrant étant égal au flux sortant : la charge ne contribue en rien. Voilà le théorème de Gauss : le flux sortant d'une surface fermée quelconque est égal à la charge qu'elle contient divisée par ${\epsilon }_0$.

Le raisonnement ne fonctionne que pour l'exposant 2. Pour une force $F\propto 1/r^{2+\delta }$, le flux à travers une sphère varierait comme $r^{-\delta }$. Il différerait entre deux sphères sans aucune charge entre elles, comme si des lignes de champ apparaissaient ou disparaissaient dans le vide.

Deux conséquences rendent l'exposant mesurable. D'abord, une fine coquille sphérique uniformément chargée agit à l'extérieur comme si toute sa charge était en son centre, et n'exerce aucune force sur une charge placée à l'intérieur. Pour voir le cas intérieur avec l'idée de la figure 3, tracez un fin double cône passant par un point intérieur à la coquille. Il découpe dans la coquille deux éléments, aux distances $r_1$ et $r_2$. Une droite qui traverse une sphère la rencontre sous le même angle à ses deux extrémités : les deux éléments sont donc inclinés de la même façon, et leurs aires, donc leurs charges, sont dans le rapport $r_1^2:r_2^2$. Chaque élément agit avec une force proportionnelle à sa charge divisée par le carré de sa distance : le petit élément proche exerce donc exactement la même force que le grand élément lointain, en sens opposé. Ensuite, le champ à l'intérieur d'un conducteur creux fermé et vide, de forme quelconque, est nul, quelle que soit la charge portée par le conducteur.

Rechercher ces zéros est une méthode de zéro. Au lieu de mesurer la force à de nombreuses distances, ce qui est difficile à faire avec précision, on charge un conducteur fermé et on cherche un champ ou une charge à l'intérieur. Si l'exposant différait de 2, quelque chose apparaîtrait ; ne rien trouver est donc bien plus sensible. Henry Cavendish l'a fait en 1773 et a trouvé que l'exposant diffère de 2 de moins de 0,02 ; une expérience de 1971 sur des coquilles a ramené $\delta$ sous quelques parties sur $10^{16}$. À l'échelle atomique, autour de $10^{-10}\mathrm{m}$, les niveaux d'énergie de l'hydrogène, calculés avec le potentiel en $1/r$ et de petites corrections quantiques, s'accordent avec la mesure à une précision extraordinaire. En termes modernes, une loi exactement en inverse du carré signifie que le photon, la particule qui transmet la force électrique, n'a pas de masse.

Énergie et graphe force–distance

Comme la force change avec la distance, la deuxième loi de Newton donne l'accélération à chaque instant mais non, sans beaucoup de calculs, la valeur de la vitesse après une longue poussée. Le travail et l'énergie la donnent en une seule étape, et un graphe de la force en fonction de la distance montre d'où vient l'énergie.

Légende

$r$	Distance entre les charges.	$\mathrm{m}$
$F$	Intensité de la force répulsive, $k{q}^2/r^2$.	$\mathrm{N}$
$U$	Énergie potentielle de la paire, $k{q}^2/r$, nulle à distance infinie.	$\mathrm{J}$
$r_a$	Distance initiale.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Distance finale.	$\mathrm{m}$
$F_a$	Force à la distance $r_a$.	$\mathrm{N}$
$F_b$	Force à la distance $r_b$.	$\mathrm{N}$
$U_a$	Énergie potentielle à la distance $r_a$.	$\mathrm{J}$
$U_b$	Énergie potentielle à la distance $r_b$.	$\mathrm{J}$
$W$	Travail de la répulsion de $r_a$ à $r_b$ : l'aire ombrée, égale à la chute $U_a-U_b$.	$\mathrm{J}$

La figure 4 comporte deux graphes pour les deux charges égales $q=2\mu \mathrm{C}$ des palets, tous deux en fonction de leur distance $r$. Le graphe du haut donne l'intensité de la force, $F=k{q}^2/r^2$. Celui du bas donne l'énergie potentielle de la paire, $U=k{q}^2/r$, que les paragraphes suivants établissent. Ici, $k{q}^2=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2\approx 0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Les palets se déplacent entre $r_a=15\mathrm{cm}$ et $r_b=40\mathrm{cm}$. Sur le graphe du haut, les points marquent $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$ et $F_b\approx 0,22\mathrm{N}$ ; sur le graphe du bas, ils marquent $U_a\approx 0,240\mathrm{J}$ et $U_b\approx 0,090\mathrm{J}$.

La courbe de force est la plus raide aux petites distances. La dérivée de $k{q}^2{r}^{-2}$ donne la pente $dF/dr=-2F/r$ : environ $-1,1N/m$ à 40 cm et $-21N/m$ à 15 cm, soit un facteur $(40/15{)}^3\approx 19$. Le graphe de la vue experte de l'animation trace la même courbe sur des axes ordinaires. Quand les palets oscillent entre 40 et 15 cm, son point vert glisse sur elle entre 0,22 N et 1,60 N et s'envole à l'extrémité gauche. Sur des axes logarithmiques, la même courbe serait une droite de pente $-2$, l'exposant de la loi.

Venons-en au travail. Quand les palets s'écartent d'un petit pas $dr$, la répulsion fournit le travail $Fdr$ : une fine bande d'aire sous la courbe du haut. En additionnant les bandes de $r_a$ à $r_b$, on obtient l'aire ombrée $W$ de la figure 4 :
$W={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}dr=k{q}_1{q}_2\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
Le résultat est une fonction de $r$ prise au départ moins la même fonction prise à l'arrivée. En appelant cette fonction l'énergie potentielle, $U(r)=k{q}_1{q}_2/r$, le travail est $W=U(r_a)-U(r_b)$ : la force travaille en consommant de l'énergie potentielle. On pourrait ajouter une constante à $U$ sans changer aucune différence ; la forme ci-dessus rend $U$ nulle à distance infinie, où la force s'annule. Dans l'autre sens, la force est l'opposé de la pente de l'énergie, $F=-dU/dr$ le long de la droite qui joint les charges.

Entre 15 et 40 cm, l'aire ombrée vaut $W=0,03596\cdot (1/0,15-1/0,40)\approx 0,150\mathrm{J}$. Sur le graphe du bas, les mêmes 0,150 J apparaissent comme la chute de $U_a$ à $U_b$, marquée par l'accolade $W$ : $0,240-0,090=0,150\mathrm{J}$.

L'animation montre les deux signes. Dans la phase de répulsion, la main qui pousse les palets de même signe l'un vers l'autre, de 40 à 15 cm, fournit 0,150 J de travail contre la répulsion, et la paire les emmagasine. Dans la phase d'attraction, $q_1{q}_2<0$, donc $U$ est négative : elle passe de $-0,090$ à $-0,240\mathrm{J}$ quand les palets se rapprochent de 40 à 15 cm, et c'est maintenant le champ qui fournit les 0,150 J de travail.

Problème résolu : on lâche les palets

Supposons que chaque palet ait une masse de 20 g et que la paire de palets de même signe soit lâchée sans vitesse initiale, à 15 cm l'un de l'autre, sur le rail sans frottement. Déterminez l'accélération initiale de chaque palet, puis la valeur de sa vitesse quand les palets sont distants de 40 cm et quand ils sont très éloignés.

Au départ, chaque palet subit la force $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$ ; d'après la deuxième loi de Newton, son accélération est donc $1,60/0,020\approx 80m/{\mathrm{s}}^2$, soit environ huit fois $g$. La force s'affaiblit quand les palets s'écartent : l'accélération n'est pas constante, et les formules du mouvement uniformément accéléré ne s'appliquent pas. C'est l'énergie qui fait le travail.

Deux faits sont nécessaires. Les forces sur les deux palets sont égales et opposées, donc la quantité de mouvement totale reste nulle ; à masses égales, les palets se déplacent avec des vitesses de même valeur, en sens opposés, de part et d'autre d'un milieu fixe. Et l'énergie se conserve : l'énergie cinétique des deux palets ensemble est égale à la chute de la courbe du bas de la figure 4, de $r_0=0,15\mathrm{m}$ à la distance actuelle $r$ :
$2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2=m{v}^2=U(r_0)-U(r)$

À 40 cm, la chute est de 0,150 J, comme on l'a trouvé plus haut ; donc $m{v}^2=0,150\mathrm{J}$ et $v=\sqrt{0,150/0,020}\approx 2,74m/s$. Très loin, $U\to 0$, si bien que les 0,240 J deviennent entièrement de l'énergie cinétique : $m{v}^2=0,240\mathrm{J}$ et $v=\sqrt{0,240/0,020}\approx 3,46m/s$.

Quand l'écart est passé de 15 à 40 cm, la paire a libéré la fraction $1-U_b/U_a=1-15/40=0,625$ de son énergie emmagasinée. La valeur de la vitesse croît comme la racine carrée de l'énergie cinétique : les palets ont donc déjà $\sqrt{0,625}\approx 0,79$ de leur vitesse finale ; une poussée en inverse du carré agit fort et brièvement. La paire de signes opposés repasse le film à l'envers : lâchés sans vitesse initiale à 40 cm l'un de l'autre, les palets passent la marque des 15 cm à 2,74 m/s chacun, en se rapprochant l'un de l'autre.

Limites de validité

La loi de Coulomb est une loi de charges au repos, dans le vide, à des distances ordinaires. Chacune de ces conditions marque une limite.

Des charges en mouvement exercent aussi des forces magnétiques. Pour deux charges qui se déplacent côte à côte à la vitesse $v$, la force magnétique est une fraction de l'ordre de $v^2/c^2$ de la force électrique. De plus, quand une charge bouge, la variation n'atteint l'autre qu'au bout du temps de propagation $r/c$, soit 0,5 ns sur 15 cm. Pour les palets de l'animation, plus lents que 0,07 m/s, $v^2/c^2\approx 5\times 10^{-20}$ ; même à 3,46 m/s, dans le problème résolu, ce rapport n'est que d'environ $10^{-16}$. Dans un faisceau d'accélérateur, en revanche, les électrons vont si près de $c$ que l'attraction magnétique entre eux compense presque leur répulsion électrique. La charge elle-même est la même à toute vitesse.

Dans un milieu isolant, les molécules se polarisent : leurs charges se déplacent légèrement, et les charges déplacées font en partie écran entre les deux charges. La force est divisée par la permittivité relative ${\epsilon }_r$ du milieu, environ 80 pour l'eau. C'est pourquoi le sel se dissout. Séparer un ion sodium et un ion chlorure au contact, distants de 0,28 nm, demande environ 5 eV dans le vide mais, en première approximation, $5/80\approx 0,06\mathrm{eV}$ dans l'eau, soit seulement quelques fois l'énergie d'agitation thermique à température ambiante (0,026 eV).

L'air limite la charge qu'un corps peut porter : il claque et produit des étincelles dans des champs voisins de $E_{\max }=3MV/m$. Le champ à la surface d'une sphère de rayon $R$ portant la charge $Q$ vaut $kQ/R^2$ ; la charge ne peut donc pas dépasser environ $E_{\max }{R}^2/k$ : 33 nC pour $R=1\mathrm{cm}$. Des charges de l'ordre du microcoulomb, comme celles de l'animation, exigent de grandes sphères (2 µC demandent un rayon d'environ 8 cm) ou le vide.

À l'échelle nucléaire, la force est énorme : deux protons distants de 2 fm ($1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$) se repoussent avec environ 58 N, le poids d'une masse de 6 kg, s'exerçant sur une seule particule. Seule l'interaction forte, de courte portée, assure la cohésion des noyaux ; dans les noyaux lourds, qui contiennent beaucoup de protons, la répulsion électrique gagne du terrain, ce qui rend la fission possible. Le proton n'est pas non plus ponctuel : sa charge est répartie sur un rayon d'environ 0,84 fm. Enfin, en électrodynamique quantique, la théorie quantique de la force électrique, des paires électron–positron éphémères font en partie écran à chaque charge. En dessous d'environ $10^{-12}\mathrm{m}$, cet écran s'amincit et la force croît un peu plus vite que $1/r^2$, un effet observé dans le spectre de l'hydrogène.

Ce qui vient ensuite

Le champ introduit plus haut est l'outil principal de Champ et potentiel électriques, où l'énergie $U=k{q}_1{q}_2/r$ devient le potentiel $V=kQ/r$, énergie par unité de charge, et où le théorème de Gauss donne les champs sans sommation. Condensateurs met ${\epsilon }_0$ et ${\epsilon }_r$ au travail. La gravitation a la même forme en inverse du carré : ce que Gravitation et orbites montre des orbites circulaires se transpose donc à un électron qui tourne autour d'un noyau dans Modèles atomiques : l'atome de Bohr. Force magnétique sur une charge en mouvement ajoute la force entre charges en mouvement, que la relativité relie à celle-ci, et Ondes électromagnétiques montre comment les variations se propagent à la vitesse $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$, où ${\mu }_0$ est la constante magnétique. Particules et forces : le modèle standard décrit la force électrique comme un échange de photons.