Lei de Coulomb

Iniciante

Dois objetos carregados se empurram ou se puxam sem se tocar. A lei de Coulomb diz em que sentido e com que intensidade.

Passo 1: o sentido. Cargas de mesmo sinal (+ e +, ou − e −) se repelem; cargas de sinais opostos (+ e −) se atraem.

Passo 2: a quantidade de carga. Quanto maior a carga, mais forte a força. Dobre a carga de um objeto e a força dobra; dobre a carga dos dois e ela fica quatro vezes mais forte.

Passo 3: a distância. Ela importa ainda mais. Afaste duas cargas para o dobro da distância e a força cai para um quarto; para o triplo e ela cai para um nono. Aproxime-as até a metade da distância e a força fica quatro vezes maior. A gravidade segue exatamente o mesmo padrão do "inverso do quadrado".

Passo 4: a unidade. A carga é medida em coulombs. Um coulomb é enorme: é a carga de cerca de seis quintilhões de elétrons. Por isso a carga de um balão esfregado é menor que um milionésimo de coulomb (menos de um microcoulomb).

Passo 5: divisão justa. Os dois objetos sentem uma força de mesmo módulo, em sentidos opostos, mesmo que um deles tenha muito mais carga que o outro.

Teste você mesmo: duas bolinhas carregadas, a 10 cm uma da outra, se empurram com uma força de 8 unidades. Qual é a intensidade do empurrão quando elas estão a 20 cm? (2 unidades: o dobro da distância, um quarto da força.)

Na animação, dois discos carregados deslizam num trilho, aproximando-se e afastando-se. Na primeira metade os dois são positivos e as setas verdes os empurram para longe um do outro; na segunda metade um deles fica negativo e as setas os puxam um para o outro. Observe como as setas ficam minúsculas quando os discos estão longe e disparam quando eles chegam perto.

Intermediário

O que medimos: carga e distância

A lei de Coulomb relaciona duas cargas e a distância entre elas. A carga é medida em coulombs (C) e tem sinal. Ela vem sempre em múltiplos inteiros da carga elementar $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, a carga de um próton; o elétron tem carga $-e$. Um coulomb é enorme, por isso as cargas estáticas do dia a dia são dadas em microcoulombs ($1\mu \mathrm{C}=10^{-6}\mathrm{C}$) e nanocoulombs ($1\mathrm{nC}=10^{-9}\mathrm{C}$). Cada disco da animação tem carga de módulo 2 µC, cerca de $1,25\times 10^{13}$ cargas elementares.

A distância $r$ é medida entre os centros dos dois corpos. A lei é exata para cargas puntiformes, corpos muito menores que a distância entre eles e esferas uniformemente carregadas, que, vistas de fora, agem como se toda a carga estivesse no centro. Converta tudo para unidades do SI primeiro: $2\mu \mathrm{C}=2\times 10^{-6}\mathrm{C}$ e $15\mathrm{cm}=0,15\mathrm{m}$.

A lei de Coulomb

Duas cargas puntiformes $q_1$ e $q_2$, separadas por uma distância $r$, se empurram ou se puxam com uma força de módulo
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
onde $k$ é a constante de Coulomb:
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$

A força age ao longo da reta que une as cargas: cargas de mesmo sinal se repelem, cargas de sinais opostos se atraem. Seu módulo é proporcional a cada carga: dobrar uma dobra a força, dobrar as duas a quadruplica. Ele também varia com o inverso do quadrado da distância: o dobro da distância dá um quarto da força, o triplo dá um nono, a metade dá quatro vezes mais. A gravidade segue o mesmo padrão do inverso do quadrado.

Aqui ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ é a permissividade do vácuo. O valor de $k$ mostra como a força elétrica é intensa: duas cargas de 1 C, a 1 m de distância, se repeliriam com $9\times 10^9\mathrm{N}$, aproximadamente o peso de 900 000 toneladas.

Forças iguais e opostas

Cada carga age sobre a outra, e as duas forças formam um par de ação e reação da terceira lei de Newton. Sendo ${\vec{F}}_{12}$ a força que $q_1$ exerce sobre $q_2$ e ${\vec{F}}_{21}$ a força que $q_2$ exerce sobre $q_1$,
${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$
As forças têm o mesmo módulo mesmo quando as cargas são diferentes, porque ambas contêm o mesmo produto $q_1{q}_2$: cargas de 1 µC e 4 µC, a 30 cm uma da outra, sentem cada uma $8,99\times 10^9\cdot 4\times 10^{-12}/0,30^2\approx 0,40\mathrm{N}$.

Forças iguais não significam movimentos iguais: pela segunda lei de Newton, cada corpo acelera com $a=F/m$, de modo que uma pequena conta leve e carregada é lançada para longe de uma esfera pesada e carregada, que mal se move. O sinal do produto dá o sentido: $q_1{q}_2>0$ afasta as cargas, $q_1{q}_2<0$ as aproxima. É por isso que a fórmula do módulo usa $|q_1{q}_2|$.

Exemplo resolvido: os discos da animação

Cada disco tem carga de módulo 2 µC, e a distância entre eles oscila entre 40 cm e 15 cm. Primeiro calcule o produto que nunca muda:
$k|q_1{q}_2|=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2=0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$
Na maior aproximação, $r=0,15\mathrm{m}$, portanto
$F=\frac{0,03596}{0,15^2}=\frac{0,03596}{0,0225}\approx 1,60\mathrm{N}$

Na maior separação, $r=0,40\mathrm{m}$, a força é $0,03596/0,16\approx 0,22\mathrm{N}$. Esses são os valores extremos nos indicadores de $r$ e $F$. A distância muda por um fator de $40/15\approx 2,67$ e a força por $2,67^2\approx 7,1$, de modo que as setas verdes ficam cerca de sete vezes mais longas na maior aproximação. A 30 cm o indicador passa por 0,40 N, um quarto do valor a 15 cm.

Após 6 s o disco da direita fica negativo. Os indicadores se repetem exatamente, pois o módulo depende só de $|q_1{q}_2|$ e de $r$, mas as duas setas se invertem e passam a apontar uma para a outra. Rotuladas $F_{12}$ e $F_{21}$, elas têm sempre o mesmo comprimento.

Exemplo resolvido: duas bolinhas carregadas em fios

Duas bolinhas idênticas de massa 2,0 g pendem de um mesmo ponto por fios isolantes, com 40 cm do ponto de suspensão até cada centro. Com cargas iguais, elas se repelem e se acomodam com os centros a 12 cm um do outro. Qual é a carga de cada bolinha?

Cada bolinha está em equilíbrio sob a ação do seu peso $mg$, da tração do fio e do empurrão horizontal de Coulomb. O fio forma com a vertical um ângulo $\theta$ tal que $\sin \theta =0,06/0,40=0,15$, logo $\theta \approx 8,6^{\circ }$ e $\tan \theta \approx 0,152$. A componente vertical da tração equilibra o peso e a horizontal equilibra a força elétrica, de modo que
$F=mg\tan \theta =0,0020\cdot 9,81\cdot 0,152\approx 2,98\times 10^{-3}\mathrm{N}$

Resolvendo a lei de Coulomb para a carga, com $q_1=q_2=q$, obtemos
$q=r\sqrt{\frac{F}{k}}=0,12\cdot \sqrt{\frac{2,98\times 10^{-3}}{8,99\times 10^9}}\approx 6,9\times 10^{-8}\mathrm{C}$
Cada bolinha tem cerca de 69 nC, ou $4,3\times 10^{11}$ cargas elementares. O empurrão elétrico é só 15 % do peso, e mesmo assim mantém as bolinhas visivelmente afastadas. Se metade de cada carga escapasse, a força a 12 cm cairia para um quarto e as bolinhas se aproximariam.

Várias cargas: as forças se somam

Com mais de duas cargas, calcule a força de cada uma separadamente, como se as outras não existissem, e some os resultados como vetores. Este é o princípio da superposição:
${\vec{F}}_{\mathrm{net}}=\sum {\vec{F}}_i\text{(superposition)}$

Coloque uma pequena carga de $-0,5\mu \mathrm{C}$ no ponto médio entre os discos quando eles estão a 30 cm um do outro. Cada disco age sobre ela com $8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}/0,15^2\approx 0,40\mathrm{N}$. Se os dois discos forem positivos, eles a puxam em sentidos opostos e a força resultante é nula. Se o disco da direita for negativo, um puxa e o outro empurra, ambos para a esquerda: 0,80 N no total, em direção ao disco positivo. O nível avançado tira a pequena carga da reta, e então a soma precisa ser feita como vetor.

Erros comuns

• Esquecer de converter as unidades: usar 2 para cada carga de 2 µC torna a força $10^{12}$ vezes maior, e usar 15 para 15 cm a torna 10 000 vezes menor.
• Não elevar a distância ao quadrado: dividir por $r$ em vez de $r^2$ transforma os 1,60 N a 15 cm em 0,24, que nem sequer é uma força (sua unidade é N·m).
• Achar que a carga maior sente a força maior: cargas de 1 µC e 4 µC, a 30 cm uma da outra, sentem ambas 0,40 N.
• Medir $r$ entre as superfícies: duas esferas de raio 2 cm com as superfícies a 11 cm uma da outra têm os centros a 15 cm, e usar 11 cm superestima a força em $(15/11{)}^2\approx 1,9$ vez.
• Ler o sinal como se fosse módulo: $+2$ e $-2\mu \mathrm{C}$ a 15 cm dão $k{q}_1{q}_2/r^2=-1,60\mathrm{N}$, mas o sinal de menos só indica atração; o módulo é 1,60 N.

Onde você a encontra

A lei de Coulomb age sempre que se move carga de propósito. Impressoras a laser e copiadoras criam um padrão de carga num cilindro que atrai o toner; precipitadores eletrostáticos carregam as partículas de fumaça nas chaminés e as recolhem em placas de sinal oposto; fábricas de automóveis carregam as gotas de tinta para que elas envolvam a carroceria.

Muito mais importante é o que você não vê: a força elétrica mantém átomos e moléculas unidos. Num átomo de hidrogênio, o próton puxa o elétron, a cerca de $5,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$ de distância, com $8,2\times 10^{-8}\mathrm{N}$, mais de $10^{39}$ vezes a atração gravitacional entre eles. A química e a rigidez dos sólidos vêm dessa força, domada pelo equilíbrio quase perfeito entre cargas positivas e negativas na matéria. Campo elétrico e potencial descreve a mesma força por meio do campo que cada carga cria, e Capacitores mostra como cargas separadas armazenam energia.

Avançado

A lei na forma vetorial

O nível intermediário dá o módulo da força, $F=k|q_1{q}_2|/r^2$, e uma regra separada para o sentido: cargas de mesmo sinal se repelem, cargas de sinais opostos se atraem. Assim que várias cargas agem ao mesmo tempo, as forças precisam ser somadas como vetores, então vale a pena reunir módulo e sentido numa só fórmula. Para isso, basta uma maneira de nomear as posições.

Legenda

$q_1$	Primeira carga.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Segunda carga.	$\mathrm{C}$
$O$	Origem: qualquer ponto fixo a partir do qual as posições são medidas.
${\vec{r}}_1$	Posição de $q_1$, uma seta partindo de $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Posição de $q_2$, uma seta partindo de $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$	Seta de $q_1$ para $q_2$; seu comprimento é a distância $r$ entre as cargas.	$\mathrm{m}$
${\hat{r}}_{12}$	Vetor unitário de $q_1$ para $q_2$: a seta ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$ dividida pelo seu comprimento $r$.
${\vec{F}}_{12}$	Força que $q_1$ exerce sobre $q_2$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{21}$	Força que $q_2$ exerce sobre $q_1$: o mesmo módulo de ${\vec{F}}_{12}$, sentido oposto.	$\mathrm{N}$

Na Figura 1 as cargas $q_1$ e $q_2$ estão nas posições ${\vec{r}}_1$ e ${\vec{r}}_2$, setas traçadas a partir de uma origem $O$. Observe o triângulo formado pelas três setas laranja. Ir de $O$ até $q_1$ e depois seguir até $q_2$ termina onde termina a seta direta ${\vec{r}}_2$, então ${\vec{r}}_1+({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)={\vec{r}}_2$ e o terceiro lado, ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$, é uma seta de $q_1$ para $q_2$. Ela não depende de onde está $O$, só de onde estão as cargas, como convém a uma força entre elas.

O comprimento dessa seta é a distância entre as cargas, $r=|{\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1|$. Dividir a seta pelo seu próprio comprimento mantém a direção e torna o comprimento igual a 1. O resultado é o vetor unitário (o acento circunflexo marca um vetor de comprimento 1)
${\hat{r}}_{12}=({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)/r$
desenhado como a seta azul curta, apontando de $q_1$ para $q_2$. Com ele, a força que $q_1$ exerce sobre $q_2$ é
${\vec{F}}_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$
onde $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ é a constante de Coulomb. Agora as cargas entram com seus sinais, não com seus módulos.

Os sinais cuidam então do sentido. As duas cargas da Figura 1 são positivas, logo $q_1{q}_2>0$: o número que multiplica ${\hat{r}}_{12}$ é positivo, e ${\vec{F}}_{12}$, a seta verde sobre $q_2$, aponta no sentido de ${\hat{r}}_{12}$, afastando-se de $q_1$. Isso é repulsão. Se uma das cargas fosse negativa, teríamos $q_1{q}_2<0$ e a mesma fórmula inverteria a força, apontando para $q_1$: atração. Não é preciso nenhuma regra separada.

A terceira lei de Newton também já está embutida. A força sobre $q_1$ é a mesma fórmula com os índices trocados. A troca transforma ${\hat{r}}_{12}$ em ${\hat{r}}_{21}=-{\hat{r}}_{12}$, mas deixa o produto $q_1{q}_2$ e a distância $r$ inalterados, de modo que ${\vec{F}}_{21}=-{\vec{F}}_{12}$. Na Figura 1, a seta verde ${\vec{F}}_{21}$ sobre $q_1$ tem o mesmo comprimento de ${\vec{F}}_{12}$ e aponta no sentido contrário.

A força também é central: age ao longo da reta que une as cargas, e seu módulo depende apenas da distância entre elas. Uma força assim é conservativa, porque o trabalho que ela realiza entre duas separações não depende do caminho percorrido, e por isso tem uma energia potencial, que aparece na seção sobre energia mais adiante.

No SI, a constante de Coulomb é escrita como $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$, onde ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ é a permissividade do vácuo. O fator $4\pi$ é a área de uma esfera de raio 1. Colocá-lo em $k$ parece estranho aqui, mas faz o $4\pi$ desaparecer da lei de Gauss e das fórmulas dos capacitores, que são usadas com muito mais frequência.

Charles-Augustin de Coulomb estabeleceu a lei em 1785 medindo a torção de uma balança de torção. Até 2019 o SI fixava $k$ exatamente em $10^{-7}{c}^2\approx 8,98755\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$, onde $c$ é a velocidade da luz. Desde então a carga elementar $e$ tem valor exato e é ${\epsilon }_0$ que se mede; a medida concorda com o antigo valor exato com precisão melhor que uma parte em um bilhão.

Superposição e o campo elétrico

Com apenas duas cargas, a forma vetorial só reescreve o que já sabíamos. Seu valor aparece quando uma terceira carga se junta a elas. O experimento mostra que as forças elétricas simplesmente se somam: a força sobre uma carga é a soma vetorial das forças que cada uma das outras exerceria sozinha, sem alteração pela presença das demais. Esse princípio da superposição é um segundo fato experimental, tão básico para a eletrostática quanto a própria lei do inverso do quadrado.

Legenda

$q_1$	Carga do disco da esquerda, positiva nos dois painéis.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Carga do disco da direita: positiva no painel da esquerda, negativa no da direita.	$\mathrm{C}$
$q_3$	Carga negativa fixa abaixo dos discos.	$\mathrm{C}$
${\vec{F}}_{13}$	Força do disco da esquerda sobre $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{23}$	Força do disco da direita sobre $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_3$	Força resultante sobre $q_3$: a soma vetorial ${\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$.	$\mathrm{N}$
$r$	Distância de cada disco até $q_3$, a mesma para os dois.	$\mathrm{m}$
$h$	Profundidade de $q_3$ abaixo da linha dos discos.	$\mathrm{m}$
$a$	Distância de cada disco ao ponto médio entre eles: metade da separação.	$\mathrm{m}$

A Figura 2 usa a montagem do nível avançado da animação. Dois discos, cada um com carga de módulo $q=2\mu \mathrm{C}$, deslizam ao longo de um trilho reto. Uma carga fixa $q_3=-0,5\mu \mathrm{C}$ fica a uma profundidade $h=14\mathrm{cm}$ abaixo do trilho, sob o ponto médio entre os discos. A figura mostra o instante de maior aproximação, quando os discos estão a 15 cm um do outro e cada um está a $a=7,5\mathrm{cm}$ do ponto médio.

Comece pela força de um disco sobre $q_3$. O disco, o ponto médio e $q_3$ formam um triângulo retângulo de catetos $a$ e $h$, de modo que cada disco está à mesma distância de $q_3$:
$r=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{0,075^2+0,14^2}\approx 0,159\mathrm{m}$
A lei de Coulomb dá o módulo de cada força, que age ao longo da reta tracejada que une o disco a $q_3$:
$F=\frac{8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}}{0,159^2}\approx 0,356\mathrm{N}$
Essas são as setas douradas ${\vec{F}}_{13}$ e ${\vec{F}}_{23}$. Elas têm o mesmo comprimento porque as distâncias são iguais; só as direções diferem.

Para somá-las, decomponha cada força numa parte ao longo do trilho e numa parte perpendicular a ele. A força age ao longo do lado inclinado $r$ do triângulo, então sua parte ao longo do trilho é $Fa/r$ e sua parte perpendicular ao trilho é $Fh/r$.

No painel da esquerda os dois discos são positivos, e cada um puxa a carga negativa $q_3$ para si, para cima e para um lado. As partes laterais, $Fa/r$ cada uma, apontam em sentidos opostos e se cancelam. As partes verticais, $Fh/r$ cada uma, se somam. A soma ${\vec{F}}_3={\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$, a diagonal roxa do paralelogramo tracejado, aponta portanto diretamente para cima, com módulo
$F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,14/0,159\approx 0,63\mathrm{N}$

No painel da direita o disco da direita é negativo e empurra $q_3$ para longe, então ${\vec{F}}_{23}$ agora aponta para baixo e para a esquerda. Desta vez as partes verticais se cancelam e as laterais se somam. A soma, $F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,075/0,159\approx 0,34\mathrm{N}$, aponta ao longo do trilho, em direção ao disco positivo.

As mesmas somas mudam conforme os discos se movem. Para o par de mesmo sinal, a atração para cima cresce de forma contínua à medida que os discos se aproximam, de 0,17 N quando estão a 40 cm para 0,63 N a 15 cm. Para o par de sinais opostos, a atração lateral, $2Fa/r=2kq|q_3|a/(a^2+h^2{)}^{3/2}$, é máxima não na maior aproximação, mas em $a=h/\sqrt{2}$, onde sua derivada em relação a $a$ se anula. Isso corresponde a uma separação de $\sqrt{2}\cdot 0,14\approx 0,20\mathrm{m}$, e a atração ali é de 0,35 N. Discos mais próximos atraem com mais força, mas suas forças também giram em direção à vertical, onde as forças do par de sinais opostos se cancelam.

A superposição também nos permite descrever o que as cargas fazem a um ponto antes de qualquer coisa ser colocada nele. Coloque uma pequena carga de prova $q_0$ no ponto e divida a força total sobre ela por $q_0$. O resultado, $\vec{E}=\vec{F}/q_0$, não depende mais da carga de prova: é o campo elétrico, medido em newtons por coulomb. Para cargas $q_j$ nas posições ${\vec{r}}_j$, o campo no ponto $\vec{r}$ é
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_j\frac{k{q}_j(\vec{r}-{\vec{r}}_j)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_j{|}^3}$
Cada termo é a lei de Coulomb na forma vetorial: o vetor $\vec{r}-{\vec{r}}_j$ dividido pelo cubo do seu comprimento é igual ao vetor unitário de $q_j$ ao ponto dividido pelo quadrado da distância. Para carga distribuída com densidade $\rho$ (carga por unidade de volume), a soma vira uma integral de volume. Conhecidas as cargas e suas posições, essa fórmula resolve toda força eletrostática; a lei de Gauss, os potenciais e as linhas de campo são atalhos para as mesmas respostas.

Visto de uma distância $d$ muito maior que a separação entre elas, o par de mesmo sinal age como uma única carga de 4 µC, cujo campo cai com $1/d^2$. O par de sinais opostos não tem carga total: seus dois campos quase se cancelam, e o que sobra cai mais depressa, com $1/d^3$. Um par de cargas iguais e opostas como esse é chamado de dipolo elétrico.

Por que o expoente é exatamente 2

Nada na forma vetorial obriga a potência de $r$ a ser 2; uma lei com $1/r^{2,01}$ pareceria quase igual. O 2 exato importa porque ele se transforma na lei de Gauss, uma das equações básicas do eletromagnetismo, e porque pode ser testado com precisão extraordinária. A grandeza-chave é o fluxo. Para um pequeno elemento plano de área $dA$ voltado de frente para o campo, o fluxo é $EdA$, a intensidade do campo vezes a área. Se as linhas de campo são desenhadas com densidade proporcional a $E$, o fluxo conta as linhas que atravessam o elemento.

Legenda

$q$	Carga puntiforme no vértice do cone.	$\mathrm{C}$
$d\Omega$	Ângulo sólido do cone: a área que ele recorta numa esfera de raio 1.	$\mathrm{sr}$
$r$	Distância de $q$ ao elemento mais próximo.	$\mathrm{m}$
$dA$	Área do elemento mais próximo, voltado de frente para a carga.	${\mathrm{m}}^2$
$E$	Campo de $q$ no elemento mais próximo.	$N/C$
$E/4$	Campo ao dobro da distância: um quarto de $E$.	$N/C$

A Figura 3 mostra como o expoente e a geometria do espaço se encaixam. Um cone estreito parte da carga puntiforme $q$. Sua abertura é medida pelo ângulo sólido $d\Omega$: a área que o cone recorta numa esfera de raio 1 centrada no seu vértice, em esferorradianos (uma esfera inteira vale $4\pi$). À distância $r$ o cone recorta um pequeno elemento voltado para a carga, de área $dA=r^{2}d\Omega$. A $2r$ o cone é duas vezes mais largo nas duas direções, então o elemento ali tem área quatro vezes maior, $4dA$.

Agora compare os campos nos dois elementos, as duas setas azuis. A lei de Coulomb dá $E=kq/r^2$ no elemento mais próximo e um quarto disso, $E/4$, no mais distante. O fluxo pelo elemento próximo é $EdA=(kq/r^2)(r^{2}d\Omega )=kqd\Omega$, e o fluxo pelo elemento distante, $(E/4)(4dA)$, é o mesmo. O $r^2$ no denominador da lei cancela o $r^2$ da área. Assim, o fluxo por qualquer elemento recortado pelo cone depende só do ângulo sólido $d\Omega$, não da distância do elemento.

Em seguida, envolva $q$ com uma esfera de raio $r$ centrada nela. Nessa esfera o campo tem o mesmo módulo em todo lugar e atravessa a superfície em ângulo reto, então o fluxo total é o campo vezes a área inteira:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$
O círculo no sinal de integral indica que a superfície é fechada. O vetor $d\vec{A}$ é um elemento da superfície, de comprimento $dA$ e apontando para fora, e o produto escalar guarda apenas a parte do campo que atravessa o elemento. O raio desapareceu, então toda esfera recebe o mesmo fluxo, e o $4\pi$ colocado em $k$ cancela o $4\pi$ da área da esfera.

A forma da superfície também não importa. Divida qualquer superfície fechada em torno de $q$ em elementos, cada um visto de $q$ sob algum ângulo sólido $d\Omega$. Um elemento inclinado é maior, mas o campo o atravessa obliquamente, e os dois efeitos se cancelam, de modo que cada elemento ainda recebe o fluxo $kqd\Omega$. Os ângulos sólidos somam $4\pi$, o que dá novamente $q/{\epsilon }_0$. Para uma carga fora da superfície, cada cone fino entra na superfície tantas vezes quanto sai, com fluxo de entrada igual ao de saída: a carga não contribui com nada. Essa é a lei de Gauss: o fluxo que sai de qualquer superfície fechada é igual à carga no interior dividida por ${\epsilon }_0$.

O argumento funciona apenas para o expoente 2. Para uma força $F\propto 1/r^{2+\delta }$, o fluxo por uma esfera variaria como $r^{-\delta }$. Ele seria diferente entre duas esferas sem nenhuma carga entre elas, como se linhas de campo surgissem ou sumissem no espaço vazio.

Duas consequências tornam o expoente mensurável. Primeiro, uma casca esférica fina uniformemente carregada age do lado de fora como se toda a sua carga estivesse no centro, e não exerce nenhuma força sobre uma carga no interior. Para ver o caso interno com a ideia da Figura 3, trace um cone duplo fino passando por um ponto dentro da casca. Ele recorta a casca em dois elementos, às distâncias $r_1$ e $r_2$. Uma reta que atravessa uma esfera a encontra com o mesmo ângulo nas duas extremidades, então os dois elementos têm a mesma inclinação, e suas áreas, e portanto suas cargas, estão na razão $r_1^2:r_2^2$. Cada elemento atrai com uma força proporcional à sua carga dividida pelo quadrado da sua distância, de modo que o pequeno elemento próximo atrai exatamente tão forte quanto o grande elemento distante, em sentido oposto. Segundo, o campo dentro de um condutor fechado e vazio, de qualquer forma, é nulo, qualquer que seja a carga colocada no condutor.

Procurar esses zeros é um teste nulo. Em vez de medir a força a muitas distâncias, o que é difícil de fazer com precisão, carrega-se um condutor fechado e procura-se qualquer campo ou carga em seu interior. Se o expoente diferisse de 2, algo apareceria, então não encontrar nada é muito mais sensível. Henry Cavendish fez isso em 1773 e descobriu que o expoente difere de 2 por menos de 0,02; um experimento com casca de 1971 reduziu $\delta$ a algumas partes em $10^{16}$. A distâncias atômicas, em torno de $10^{-10}\mathrm{m}$, os níveis de energia do hidrogênio, calculados com o potencial $1/r$ mais pequenas correções quânticas, concordam com a medida com precisão extraordinária. Em termos modernos, uma lei exata do inverso do quadrado significa que o fóton, a partícula que transmite a força elétrica, não tem massa.

Energia e o gráfico força–distância

Como a força muda com a distância, a segunda lei de Newton dá a aceleração a cada instante, mas não, sem muito trabalho, a velocidade depois de um longo empurrão. Trabalho e energia dão a velocidade num único passo, e um gráfico da força em função da distância mostra de onde vem a energia.

Legenda

$r$	Separação das cargas.	$\mathrm{m}$
$F$	Módulo da força repulsiva, $k{q}^2/r^2$.	$\mathrm{N}$
$U$	Energia potencial do par, $k{q}^2/r$, nula na separação infinita.	$\mathrm{J}$
$r_a$	Separação inicial.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Separação final.	$\mathrm{m}$
$F_a$	Força em $r_a$.	$\mathrm{N}$
$F_b$	Força em $r_b$.	$\mathrm{N}$
$U_a$	Energia potencial em $r_a$.	$\mathrm{J}$
$U_b$	Energia potencial em $r_b$.	$\mathrm{J}$
$W$	Trabalho realizado pela repulsão de $r_a$ a $r_b$: a área sombreada, igual à queda $U_a-U_b$.	$\mathrm{J}$

A Figura 4 tem dois gráficos para as duas cargas iguais $q=2\mu \mathrm{C}$ dos discos, ambos em função da separação $r$. O gráfico de cima mostra o módulo da força, $F=k{q}^2/r^2$. O gráfico de baixo mostra a energia potencial do par, $U=k{q}^2/r$, que os próximos parágrafos deduzem. Aqui $k{q}^2=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2\approx 0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Os discos se movem entre $r_a=15\mathrm{cm}$ e $r_b=40\mathrm{cm}$. No gráfico de cima, os pontos marcam $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$ e $F_b\approx 0,22\mathrm{N}$; no de baixo, marcam $U_a\approx 0,240\mathrm{J}$ e $U_b\approx 0,090\mathrm{J}$.

A curva da força é mais íngreme para $r$ pequeno. Derivar $k{q}^2{r}^{-2}$ dá a inclinação $dF/dr=-2F/r$: cerca de $-1,1N/m$ a 40 cm e $-21N/m$ a 15 cm, um fator de $(40/15{)}^3\approx 19$. O gráfico do nível avançado da animação traça a mesma curva em eixos comuns. Enquanto os discos oscilam entre 40 e 15 cm, seu ponto verde desliza sobre ela entre 0,22 N e 1,60 N e dispara para cima na extremidade esquerda. Em eixos logarítmicos, a mesma curva seria uma reta de inclinação $-2$, o expoente da lei.

Agora o trabalho. Quando os discos se afastam por um pequeno passo $dr$, a repulsão realiza o trabalho $Fdr$: uma faixa fina de área sob a curva de cima. Somar as faixas de $r_a$ a $r_b$ dá a área sombreada $W$ da Figura 4:
$W={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}dr=k{q}_1{q}_2\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
A resposta é uma função de $r$ tomada no início menos a mesma função no fim. Chamando essa função de energia potencial, $U(r)=k{q}_1{q}_2/r$, o trabalho é $W=U(r_a)-U(r_b)$: a força realiza trabalho consumindo energia potencial. Poderíamos somar uma constante a $U$ sem mudar nenhuma diferença; a forma acima faz $U$ valer zero na separação infinita, onde a força desaparece. Lendo ao contrário, a força é menos a inclinação da energia, $F=-dU/dr$ ao longo da reta que une as cargas.

Entre 15 e 40 cm a área sombreada é $W=0,03596\cdot (1/0,15-1/0,40)\approx 0,150\mathrm{J}$. No gráfico de baixo, os mesmos 0,150 J aparecem como a queda de $U_a$ para $U_b$, marcada pelo colchete $W$: $0,240-0,090=0,150\mathrm{J}$.

A animação mostra os dois sinais. Na fase de repulsão, a mão que empurra os discos de mesmo sinal, de 40 até 15 cm, realiza 0,150 J de trabalho contra a repulsão, e o par o armazena. Na fase de atração, $q_1{q}_2<0$, então $U$ é negativa: ela cai de $-0,090$ para $-0,240\mathrm{J}$ quando os discos se aproximam de 40 para 15 cm, e agora é o campo que realiza os 0,150 J de trabalho.

Problema resolvido: soltando os discos

Suponha que cada disco tenha massa de 20 g e que o par de cargas de mesmo sinal seja solto do repouso, a 15 cm de distância, no trilho sem atrito. Encontre a aceleração inicial de cada disco e sua velocidade quando eles estão a 40 cm um do outro e quando estão muito afastados.

No início cada disco sente a força $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$, então, pela segunda lei de Newton, sua aceleração é $1,60/0,020\approx 80m/{\mathrm{s}}^2$, cerca de oito vezes $g$. A força enfraquece à medida que os discos se separam, então a aceleração não é constante e as fórmulas de aceleração constante não valem. A energia resolve o problema.

São necessários dois fatos. As forças sobre os dois discos são iguais e opostas, então a quantidade de movimento total permanece nula; com massas iguais, os discos se movem com velocidades de mesmo módulo em sentidos opostos em torno de um ponto médio fixo. E a energia se conserva: a energia cinética dos dois discos juntos é igual à queda da curva de baixo da Figura 4 de $r_0=0,15\mathrm{m}$ até a separação atual $r$:
$2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2=m{v}^2=U(r_0)-U(r)$

A 40 cm a queda é de 0,150 J, encontrados acima, então $m{v}^2=0,150\mathrm{J}$ e $v=\sqrt{0,150/0,020}\approx 2,74m/s$. Muito longe, $U\to 0$, e os 0,240 J inteiros se tornam energia cinética: $m{v}^2=0,240\mathrm{J}$ e $v=\sqrt{0,240/0,020}\approx 3,46m/s$.

Quando o intervalo cresceu de 15 para 40 cm, o par liberou a fração $1-U_b/U_a=1-15/40=0,625$ de sua energia armazenada. A velocidade cresce com a raiz quadrada da energia cinética, então os discos já têm $\sqrt{0,625}\approx 0,79$ de sua velocidade final: um empurrão do tipo inverso do quadrado age com força e por pouco tempo. O par que se atrai roda o mesmo filme ao contrário: soltos do repouso a 40 cm de distância, os discos passam pela marca de 15 cm a 2,74 m/s cada um, movendo-se um em direção ao outro.

Limites de validade

A lei de Coulomb é uma lei de cargas em repouso, no vácuo, a distâncias comuns. Cada uma dessas condições marca um limite.

Cargas em movimento também exercem forças magnéticas. Para duas cargas que se movem lado a lado com velocidade $v$, a força magnética é uma fração da ordem de $v^2/c^2$ da elétrica. Além disso, quando uma carga se move, a mudança chega à outra só depois do tempo de percurso $r/c$, 0,5 ns ao longo de 15 cm. Para os discos da animação, mais lentos que 0,07 m/s, $v^2/c^2\approx 5\times 10^{-20}$; mesmo com os 3,46 m/s do problema resolvido, é de apenas cerca de $10^{-16}$. Num feixe de acelerador, em contraste, os elétrons se movem tão perto de $c$ que a atração magnética entre eles quase cancela sua repulsão elétrica. A própria carga é a mesma em qualquer velocidade.

Num meio isolante as moléculas se polarizam: suas cargas se deslocam um pouco, e as cargas deslocadas blindam parcialmente as duas cargas uma da outra. A força é dividida pela permissividade relativa ${\epsilon }_r$ do meio, cerca de 80 para a água. É por isso que o sal se dissolve. Separar um íon sódio e um íon cloreto em contato, a 0,28 nm um do outro, custa cerca de 5 eV no vácuo, mas, grosso modo, $5/80\approx 0,06\mathrm{eV}$ na água, apenas algumas vezes a energia térmica à temperatura ambiente (0,026 eV).

O ar limita a quantidade de carga que um corpo pode conter: ele se rompe e produz faíscas em campos próximos de $E_{\max }=3MV/m$. O campo na superfície de uma esfera de raio $R$ com carga $Q$ é $kQ/R^2$, então a carga não pode passar de cerca de $E_{\max }{R}^2/k$: 33 nC para $R=1\mathrm{cm}$. Cargas de microcoulombs como as da animação exigem esferas grandes (2 µC precisa de um raio de cerca de 8 cm) ou vácuo.

A distâncias nucleares a força é enorme: dois prótons a 2 fm um do outro ($1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$) se repelem com cerca de 58 N, o peso de uma massa de 6 kg, agindo sobre uma única partícula. Apenas a força forte, de curto alcance, mantém os núcleos unidos; em núcleos pesados, com muitos prótons, a repulsão elétrica ganha terreno, o que torna a fissão possível. O próton tampouco é um ponto: sua carga está espalhada num raio de cerca de 0,84 fm. Por fim, na eletrodinâmica quântica, a teoria quântica da força elétrica, pares elétron–pósitron de vida curta blindam parcialmente toda carga. Abaixo de cerca de $10^{-12}\mathrm{m}$ essa blindagem diminui e a força cresce um pouco mais depressa que $1/r^2$, um efeito observado no espectro do hidrogênio.

Para onde isso leva

O campo introduzido acima é a principal ferramenta de Campo elétrico e potencial, onde a energia $U=k{q}_1{q}_2/r$ se torna o potencial $V=kQ/r$, energia por unidade de carga, e a lei de Gauss dá os campos sem somar. Capacitores põe ${\epsilon }_0$ e ${\epsilon }_r$ para trabalhar. A gravitação tem a mesma forma do inverso do quadrado, então o que Gravitação e órbitas mostra sobre órbitas circulares vale para um elétron girando em torno de um núcleo em Modelos atômicos: o átomo de Bohr. Força magnética sobre cargas em movimento acrescenta a força entre cargas em movimento, que a relatividade liga a esta, e Ondas eletromagnéticas mostra como as mudanças se propagam a $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$, onde ${\mu }_0$ é a constante magnética. Partículas e forças: o Modelo Padrão descreve a força elétrica como a troca de fótons.