Электрический заряд и статическое электричество

Начальный

Снимите шерстяной свитер в тёмной комнате — и, возможно, увидите крошечные искры и услышите треск. Это статическое электричество: электрический заряд, накопившийся на предмете и оставшийся на нём.

Шаг 1: два вида заряда. Всё состоит из атомов. В центре каждого атома находятся протоны с положительным зарядом (+), а вокруг движутся гораздо более лёгкие электроны с отрицательным зарядом (−). В обычном предмете электронов ровно столько же, сколько протонов, поэтому он нейтрален.

Шаг 2: правило игры. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.

Шаг 3: электризация трением. Одни вещества удерживают свои электроны крепче, чем другие. Потрите резиновый шарик о шерстяной шарф — электроны перейдут с шерсти на шарик. У шарика теперь лишние электроны, и он заряжен отрицательно; шерсти столько же не хватает, и она заряжена положительно. Заряд не создаётся и не исчезает, а только перемещается, и общий заряд остаётся прежним.

Шаг 4: проводники и диэлектрики. В металлах часть электронов свободно перемещается, поэтому добавленный заряд растекается по всему предмету — это проводники. В резине, пластике, бумаге и шерсти электроны остаются на месте, и заряд остаётся там, куда попал, — это диэлектрики (изоляторы).

Шаг 5: притяжение нейтральных предметов. Заряженный шарик слегка смещает заряды в соседней бумажке, и сторона, обращённая к нему, становится чуть положительной. Она ближе, поэтому притяжение побеждает, и бумажка подпрыгивает.

Проверьте себя: пластмассовая расчёска забирает электроны у ваших волос. Как заряжена расчёска? Притягивает она волосы или отталкивает? (Отрицательно; притягивает, потому что волосы стали положительными.)

В анимации синие электроны перескакивают с шерсти на шарик, оставляя позади красные плюсы, а затем кусочки бумаги подпрыгивают к шарику.

Средний

Что такое заряд и как его считают

Электрический заряд — свойство частиц, из которых построены атомы. Заряды бывают двух видов; положительным и отрицательным их назвал Бенджамин Франклин: протоны в ядре несут положительный заряд, гораздо более лёгкие электроны вокруг него — отрицательный, а нейтроны заряда не имеют. Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. В атоме электронов столько же, сколько протонов, поэтому он нейтрален: его полный заряд равен нулю, хотя зарядов обоих видов в нём очень много.

Заряд измеряют в кулонах (Кл); статические заряды обычно составляют нанокулоны (1 нКл — это $10^{-9}\mathrm{Кл}$) или микрокулоны. Заряд всегда кратен наименьшей порции — элементарному заряду: протон несёт $+e$, электрон — $-e$, где
$e=1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{Кл}$
поэтому заряд любого тела равен
$q=\pm ne,n=0,1,2,\dots$

В твёрдых телах ядра прочно удерживаются на своих местах, и перемещаются только электроны, поэтому $n$ — это число приобретённых (знак $-$) или потерянных (знак $+$) электронов. Один кулон — это $6,24\cdot 10^{18}$ элементарных зарядов.

Трение разделяет заряды; их сумма сохраняется

Когда соприкасаются два разных материала, часть электронов с их поверхности переходит к тому, который удерживает их крепче; трение увеличивает число точек контакта. Резина, ПВХ и полиэтилен отбирают электроны у шерсти, волос и кожи, а стекло отдаёт часть электронов шёлку. Такие списки, называемые трибоэлектрическими рядами, — лишь грубый ориентир: влажность и загрязнения могут изменить порядок.

Трение не создаёт заряд, а лишь разделяет заряды, которые уже были. В замкнутой системе, в которую заряд не входит и из которой не выходит, полный заряд не меняется:
$\sum q=\mathrm{const}\text{(замкнутая система)}$
Сумма берётся с учётом знаков: отрицательно заряженный шарик и столь же положительно заряженный шарф в сумме дают нуль — как и до соприкосновения. Ни один опыт не обнаружил нарушения этого закона.

Пример: шарик из анимации

В анимации шарик натирают четырьмя движениями вверх и вниз, и счётчик доходит до $n=6,0\cdot 10^{10}$ электронов; каждый перескочивший синий минус обозначает $10^{10}$ из них. Шарик приобрёл электроны, поэтому
$q=-ne=-6,0\cdot 10^{10}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\mathrm{Кл}$
$q=-9,6\cdot 10^{-9}\mathrm{Кл}=-9,6\mathrm{нКл}$

Шерсть потеряла ровно эти электроны, поэтому её заряд равен $+9,6\mathrm{нКл}$. Именно эти значения показывают в конце синий и красный индикаторы; в любой момент натирания они равны по модулю и противоположны по знаку, ведь каждому красному плюсу, оставшемуся на шерсти, соответствует синий минус на шарике.

Много ли это? В шарике массой 3 г около $10^{24}$ электронов, так что лишний из них — лишь один из 17 триллионов. Электрические силы так велики, что даже этого дисбаланса хватает, чтобы поднять бумагу.

Проводники и диэлектрики

В металле один-два электрона от каждого атома свободно перемещаются по всему куску, поэтому добавленный заряд мгновенно растекается и располагается на внешней поверхности. Такие материалы называют проводниками: это металлы, а также солёная вода и тело человека, где заряд переносят ионы.

В диэлектриках — резине, пластике, стекле, сухой бумаге — электроны остаются связанными со своими атомами, и заряд остаётся там, куда его поместили. Именно поэтому в анимации шарик поворачивают к бумаге натёртой стороной. Металлическую ложку, которую вы держите голой рукой, трением не зарядить: заряд уходит через вас в землю.

Соединение проводника с землёй, которая может отдать или принять любой заряд, называют заземлением. В сырую погоду заряд тоже стекает, хотя и медленнее, — по тонкой плёнке воды на поверхностях, поэтому опыты со статическим электричеством лучше всего удаются в сухую погоду.

Пример: деление заряда между шарами

Когда два проводника соприкасаются, электроны перетекают, пока ничто не гонит их дальше. Одинаковые проводники по симметрии должны получить равные заряды, а сумму зарядов задаёт закон сохранения:
$q^{\prime }=\frac{q_1+q_2}{2}\text{(одинаковые проводники при контакте)}$

Три одинаковых металлических шара стоят на изолирующих подставках: A несёт $-12\mathrm{нКл}$, B нейтрален, а C несёт $+4\mathrm{нКл}$. Шар A касается B, затем B касается C. Какой заряд окажется у каждого шара в конце?

Первое касание: полный заряд равен $-12\mathrm{нКл}$, поэтому у A и B окажется по $-6\mathrm{нКл}$ (с A на B для этого перейдёт $6\mathrm{нКл}/e=3,7\cdot 10^{10}$ электронов). Второе касание: полный заряд равен $-6+4=-2\mathrm{нКл}$, поэтому у B и C окажется по $-1\mathrm{нКл}$. Проверка: $-6-1-1=-8\mathrm{нКл}$ — это начальная сумма $-12+0+4$. При втором касании с B на C перейдёт $5\mathrm{нКл}/e=3,1\cdot 10^{10}$ электронов: они нейтрализуют его $+4\mathrm{нКл}$ и оставят его слегка отрицательным; положительный заряд при этом никуда не перемещается.

Притяжение без контакта: поляризация и индукция

Заряженное тело может притягивать нейтральное, не касаясь его. Поднесите отрицательно заряженную палочку к металлическому шару: свободные электроны шара отталкиваются на дальнюю сторону, и ближняя сторона становится положительной. Это явление называют электростатической индукцией (электризацией через влияние). В целом шар остаётся нейтральным, но его положительная сторона ближе к палочке, а электрические силы с расстоянием ослабевают, поэтому притяжение побеждает.

В бумаге, которая является диэлектриком, электроны не могут перемещаться; вместо этого каждая молекула слегка растягивается в крошечный диполь — пару равных по модулю и противоположных по знаку зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга. Бумага поляризуется: она положительна на грани, обращённой к шарику, и отрицательна на дальней грани — на увеличенном виде это видно по расходящимся знакам + и −.

Стрелки на среднем кусочке показывают состязание двух сил. Стрелка $mg$ — сила тяжести, действующая на кусочек, — не меняется, а зелёная стрелка $F$ — электрическая сила притяжения — по мере опускания шарика растёт всё быстрее. Когда $F$ становится такой же длины, как $mg$, кусочек взлетает; первым это делает средний кусочек, находящийся прямо под шариком. На индукции основан и электроскоп: заряженная палочка, поднесённая к его верхней части, гонит заряд своего знака в два тонких листочка, и они, отталкиваясь, расходятся.

Частые ошибки

• Трение не создаёт заряд: $-9,6\mathrm{нКл}$ шарика и $+9,6\mathrm{нКл}$ шерсти уже присутствовали в нейтральном веществе, и в сумме они по-прежнему дают нуль.
• Положительно заряженное тело потеряло электроны, а не приобрело протоны: $+9,6\mathrm{нКл}$ шерсти означают нехватку $6,0\cdot 10^{10}$ электронов.
• Нейтральное тело — не тело без зарядов: в электронах нейтрального шарика массой 3 г содержится около 160 000 Кл отрицательного заряда, который точно уравновешен положительным зарядом ядер.
• Притяжение не доказывает, что тело заряжено: нейтральный кусочек бумаги притягивается зарядом любого знака. Лишь отталкивание показывает, что два тела несут заряды одного знака.
• Умножайте на $e$, а не делите: $6,0\cdot 10^{10}$ электронов несут $9,6\cdot 10^{-9}\mathrm{Кл}$, а деление дало бы нелепые $3,7\cdot 10^{29}\mathrm{Кл}$.

Где это встречается

Статическое электричество работает в лазерных принтерах и копирах, где заряженный барабан собирает тонер по рисунку страницы, в окраске распылением и в электрофильтрах, которые удаляют из дыма электростанций более 99 % золы. Оно бывает и опасным: после прогулки по ковру в сухой день на вас может накопиться заряд около микрокулона — достаточно для искры у дверной ручки, а автоцистерны с топливом перед разгрузкой заземляют. Удар молнии переносит примерно от 5 до 30 Кл.

Следующий урок, «Закон Кулона», измеряет силу между двумя зарядами. Уроки «Электрическое поле и потенциал», «Конденсаторы» и «Электрический ток и сопротивление» прослеживают заряд дальше: в пространстве вокруг него, при накоплении и при движении.

Продвинутый

Сила, которая почти сама себя гасит

В этом разделе объясняется, почему электрические силы управляют повседневным миром, хотя большинство тел выглядят незаряженными. Два малых заряда $q_1$ и $q_2$ на расстоянии $r$ друг от друга притягиваются или отталкиваются с силой
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
(закон Кулона), где $k=8,99\cdot 10^9\mathrm{Н}\cdot {\mathrm{м}}^2/\mathrm{К}{\mathrm{л}}^2$. Как и тяготение, эта сила убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. В отличие от тяготения, она несравнимо сильнее. Сравним две силы между двумя протонами, у каждого из которых заряд $e$ и масса $m_p$; $G$ — гравитационная постоянная. В обеих силах стоит одно и то же $1/r^2$, поэтому $r$ сокращается, и отношение одинаково на любом расстоянии:
$\frac{F_e}{F_g}=\frac{k{e}^2}{G{m}_p^2}\approx 1,2\cdot 10^{36}$

Почему же мы так редко это замечаем? Потому что заряды бывают двух знаков, и вещество уравновешивает их почти идеально: заряд атома или молекулы равен нулю с точностью до $10^{-21}e$. Грубая оценка показывает, почему баланс должен быть таким тонким. В капле воды массой 1 г содержится $3,3\cdot 10^{23}$ электронов, то есть заряд около $5,4\cdot 10^4\mathrm{Кл}$, который компенсируется таким же положительным зарядом ядер. Уберите из каждой из двух таких капель по одному электрону из миллиона и расположите капли на расстоянии 1 м друг от друга. Каждая капля останется с зарядом $q=+0,054\mathrm{Кл}$, и они будут отталкиваться с силой
$F=\frac{k{q}^2}{r^2}\approx 2,6\cdot 10^7\mathrm{Н}$
равной весу груза массой около 2600 тонн.

Мы ощущаем то, что остаётся. Соседние атомы нейтральны, но на атомных расстояниях их положительные и отрицательные заряды не лежат точно друг на друге. Это небольшое несовпадение и есть сила реакции опоры, натяжение верёвки и химические связи.

Квантование, инвариантность и сохранение

Три опытных факта определяют, что такое заряд. Любая теория вещества должна согласовываться со всеми тремя.

Во-первых, заряд квантуется: он бывает только целым кратным элементарного заряда $e$. В 1909–1913 годах Роберт Милликен показал это, уравновешивая силу тяжести, действующую на мельчайшие заряженные капельки масла, электрическим полем; каждый измеренный им заряд был целым числом, умноженным на $e$. С 2019 года в СИ значение $e=1,602176634\cdot 10^{-19}\mathrm{Кл}$ принято точным, и этим значением определяется кулон. Кварки несут дробные заряды, $+\frac{2}{3}e$ или $-\frac{1}{3}e$, но поодиночке не встречаются: они всегда связаны в частицы с целым зарядом. У протона (uud) заряд $+e$, у нейтрона (udd) — нуль.

Во-вторых, заряд инвариантен: он не зависит от того, как быстро движется заряженная частица. В ядре гелия протоны движутся со скоростью, составляющей заметную долю скорости света, а в молекуле водорода почти покоятся. Если бы заряд протона менялся со скоростью, один из двух газов нёс бы суммарный заряд, но оба нейтральны с точностью около одной части из $10^{20}$. Энергия, импульс, длины и промежутки времени зависят от наблюдателя; заряд — нет.

В-третьих, заряд сохраняется: в каждом когда-либо наблюдавшемся процессе полный заряд после равен полному заряду до. Гамма-квант, пролетающий вблизи ядра, может превратиться в электрон и позитрон, $0\to (-e)+(+e)$. Свободный нейтрон распадается на протон, электрон и антинейтрино, $0\to (+e)+(-e)+0$. Частицы возникают и исчезают, но суммарный заряд не меняется.

Локальное сохранение: уравнение непрерывности

Обозначения

$S$	Замкнутая поверхность, ограничивающая объём $V$.
$V$	Объём внутри $S$, считающийся неподвижным.	${\mathrm{м}}^3$
$\rho$	Заряд в единице объёма внутри $V$ (красные точки).	$\mathrm{Кл}/{\mathrm{м}}^3$
$\vec{J}$	Плотность тока: ток через единицу площади; направлена туда, куда течёт положительный заряд.	$\mathrm{А}/{\mathrm{м}}^2$
$d\vec{A}$	Малая площадка $S$ как вектор: его длина равна площади площадки $dA$, он направлен из $V$ наружу.	${\mathrm{м}}^2$
$\theta$	Угол между $\vec{J}$ и $d\vec{A}$; больше $90^{\circ }$ там, где заряд входит.	$\mathrm{рад}$

Сохранение говорит больше, чем «полный заряд остаётся прежним». Заряд не может исчезнуть в одном месте и появиться в другом: он должен туда переместиться. В этом разделе эта мысль превращается в уравнение, а рисунок 1 показывает, как вести учёт заряда.

На рисунке 1 показан неподвижный объём $V$, ограниченный замкнутой поверхностью $S$. Заряд внутри описывается плотностью $\rho$ — зарядом в единице объёма (красные точки). Движущийся заряд описывается плотностью тока $\vec{J}$ — током через единицу площади; она направлена туда, куда течёт положительный заряд. Стрелки $\vec{J}$ пересекают $S$ в обоих направлениях: большинство выходит из $V$, но две слева входят в него.

Чтобы сосчитать, что пересекает $S$, разобьём её на малые площадки. Увеличенная площадка справа имеет площадь $dA$; сделаем из неё вектор $d\vec{A}$ длиной $dA$, направленный из $V$ наружу. Заряд через площадку переносит только та часть $\vec{J}$, что направлена вдоль $d\vec{A}$; часть, параллельная площадке, скользит мимо. Поэтому ток наружу через площадку равен
$\vec{J}\cdot d\vec{A}=JdA\cos \theta$
где $\theta$ — угол между двумя стрелками увеличенной площадки. Там, где заряд выходит, $\theta$ меньше $90^{\circ }$ и это слагаемое положительно; там, где заряд входит, $\theta$ больше $90^{\circ }$ и оно отрицательно. Сумма по всем площадкам, ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$, — это полный ток, выходящий из $V$.

Теперь физика. Поскольку $V$ неподвижен, заряд внутри него может измениться только за счёт пересечения $S$. Значит, заряд внутри убывает ровно с той скоростью, с какой наружу течёт полный ток:
$\frac{d}{dt}{\int }_V\rho dV=-{\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}$
Это интегральная форма локального сохранения. Чтобы получить утверждение о каждой отдельной точке, воспользуемся теоремой о дивергенции, которая переписывает поток через замкнутую поверхность как объёмный интеграл от дивергенции: ${\oint }_S\vec{J}\cdot d\vec{A}={\int }_V\nabla \cdot \vec{J}dV$. Так как $V$ не движется, производную по времени можно внести под знак интеграла слева, и обе части становятся интегралами по одному и тому же объёму:
${\int }_V\left(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}\right)dV=0$
Это верно для любого неподвижного объёма, сколь угодно малого. Интеграл, обращающийся в нуль по любой малой области, возможен лишь тогда, когда подынтегральное выражение равно нулю в каждой точке, поэтому
$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}=0$
Это уравнение непрерывности. Словами: везде, где плотность заряда убывает, из этой точки растекается ток.

Зачем настаивать на локальном законе, если глобальный так же хорошо сохраняет полный заряд? Представьте, что заряд исчезает на Земле и в тот же момент появляется на Луне. Полный заряд при этом не менялся бы никогда. Но в теории относительности два удалённых события, одновременные для одного наблюдателя, неодновременны для другого, движущегося мимо. Второй наблюдатель увидел бы, что заряд некоторое время отсутствует или, наоборот, существует сразу в двух местах. Для всех наблюдателей сохраняется только тот заряд, который непрерывно перетекает через границы.

График $q(t)$ в анимации показывает интегральную форму в действии. Проведите $S$ вокруг шарика. Заряд пересекает её только там, где шарик и шерсть соприкасаются, поэтому наклон синей кривой шарика — это ток, текущий в шарик. У красной кривой шерсти наклон в каждый момент противоположен: что один получает, то другая теряет. Заряд меняется на 9,6 нКл за 3,2 с, то есть средний ток равен 3,0 нА. Перенос следует за пройденным при натирании путём, поэтому ток достигает максимума около 4,7 нА в середине хода и падает до нуля в конце каждого хода, где шарик останавливается и меняет направление.

Почему притягивается нейтральное тело

Обозначения

$Q$	Положительный заряд-источник.	$\mathrm{Кл}$
$d$	Расстояние от $Q$ до центра тела.	$\mathrm{м}$
$q$	Модуль каждого из двух зарядов, которые поле разделяет в теле.	$\mathrm{Кл}$
$\vec{s}$	Смещение зарядов, от $-q$ к $+q$; дипольный момент равен $\vec{p}=q\vec{s}$.	$\mathrm{м}$
$\vec{E}(\vec{r})$	Поле $Q$ на конце $-q$, ближнем, в точке $\vec{r}$ относительно $Q$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
$\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$	Поле $Q$ на конце $+q$: более слабое, потому что этот конец дальше от $Q$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
${\vec{F}}_{-}$	Сила, действующая на $-q$, направлена к $Q$.	$\mathrm{Н}$
${\vec{F}}_{+}$	Сила, действующая на $+q$, направлена от $Q$ и меньше по модулю.	$\mathrm{Н}$
$\vec{F}$	Результирующая сила, действующая на тело, ${\vec{F}}_{-}+{\vec{F}}_{+}$: направлена к $Q$.	$\mathrm{Н}$

Заряженный шарик подбирает кусочки бумаги, не имеющие суммарного заряда. В этом разделе объясняется, как это происходит, и выясняется, как быстро растёт сила притяжения при приближении шарика.

На рисунке 2 показано нейтральное тело на расстоянии $d$ от положительного заряда $Q$. Заряды тела не закреплены жёстко: они могут немного смещаться. Поле $Q$ направлено от $Q$, поэтому оно отталкивает положительный заряд и притягивает отрицательный. Заряд $-q$ собирается на ближней стороне, а $+q$ — на дальней; они разнесены на малый вектор $\vec{s}$, проведённый от $-q$ к $+q$. Тело стало индуцированным диполем с дипольным моментом $\vec{p}=q\vec{s}$. Каким станет $\vec{p}$, зависит от того, насколько легко смещаются заряды. В поле, слабом по сравнению с полями внутри атомов, он пропорционален полю,
$\vec{p}=\alpha \vec{E}$
где постоянная $\alpha$, поляризуемость, измеряет эту лёгкость.

Теперь о силах. Каждый конец диполя чувствует поле в том месте, где находится. Пусть $\vec{r}$ — положение ближнего конца, отсчитываемое от $Q$. Конец $-q$ в точке $\vec{r}$ находится в поле $\vec{E}(\vec{r})$ и притягивается к $Q$ силой ${\vec{F}}_{-}$. Конец $+q$ в точке $\vec{r}+\vec{s}$ расположен дальше, в более слабом поле $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})$, и отталкивается меньшей силой ${\vec{F}}_{+}$. Заряды равны и противоположны, но поля, в которых они находятся, не равны, поэтому силы не компенсируются. Их сумма, результирующая сила $\vec{F}$, нарисованная под телом, направлена к $Q$.

Чтобы найти её величину, сложим две силы и разложим поле на малом шаге $\vec{s}$: $\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})\approx \vec{E}(\vec{r})+(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$, где $(\vec{s}\cdot \nabla )\vec{E}$ — изменение $\vec{E}$ на этом шаге. Тогда
$\vec{F}=q[\vec{E}(\vec{r}+\vec{s})-\vec{E}(\vec{r})]\approx (\vec{p}\cdot \nabla )\vec{E}$
Итак, на диполь действует результирующая сила лишь там, где поле меняется от точки к точке.

Далее подставим $\vec{p}=\alpha \vec{E}$. Для любого поля $(\vec{E}\cdot \nabla )\vec{E}=\frac{1}{2}\nabla (E^2)-\vec{E}\times (\nabla \times \vec{E})$, а у электростатического поля ротор равен нулю, $\nabla \times \vec{E}=0$. Следовательно,
$\vec{F}=\frac{\alpha }{2}\nabla (E^2)$
Вблизи точечного заряда $E=kQ/r^2$, поэтому $E^2=k^2{Q}^2/r^4$. Его градиент направлен к $Q$, а по модулю равен $4k^2{Q}^2/r^5$. У тела $r=d$, и сила притяжения равна
$F=\frac{2\alpha k^2{Q}^2}{d^5}\text{(точечный заряд)}$

Отсюда три следствия. Во-первых, сила всегда направлена в сторону более сильного поля, каков бы ни был знак источника, потому что $E^2$ не зависит от знаков. Сделайте $Q$ на рисунке 2 отрицательным: $\vec{E}$ и $\vec{p}$ оба изменят направление, и ближним станет конец $+q$, но $\vec{F}$ по-прежнему будет направлена к $Q$. Во-вторых, в однородном поле $E^2$ везде одинаково, поэтому результирующей силы нет. Вытянутое тело всё же поворачивается, потому что легче всего поляризуется вдоль своей длины, — поэтому кусочки бумаги в полёте разворачиваются и встают на один конец. В-третьих, сила растёт очень круто: уменьшение $d$ вдвое увеличивает её в $2^5=32$ раза.

График $F/mg$ в анимации для среднего кусочка показывает эту крутизну. Когда шарик начинает опускаться (5,6 с), сила притяжения составляет 6 % силы тяжести кусочка. К 7,0 с она достигает четверти, к 7,4 с — больше половины, а около 7,6 с пересекает штриховую линию на уровне 1: в этот момент кусочек взлетает. За это время расстояние от центра шарика до кусочка уменьшается с 80 до 52 условных единиц. Для заряда в центре закон $1/d^5$ увеличил бы силу в $(80/52{)}^5\approx 8,6$ раза, а на деле она выросла в 17 раз. Причина в том, что заряд находится на нижней поверхности шарика, ближайшая часть которой подходит почти вдвое ближе. После того как кусочек оторвался, зазор сокращается ещё сильнее, и сила нарастает лавинообразно.

Проводники в равновесии

В проводнике часть зарядов может свободно двигаться: в металле это электроны. Они движутся, пока на них действует хоть какое-то поле, поэтому, когда всё успокоилось, поле внутри материала равно нулю, $\vec{E}=0$. Тогда по теореме Гаусса, с которой вы познакомитесь в уроке «Электрическое поле и потенциал», внутри нигде нет суммарного заряда: весь избыточный или наведённый заряд находится на поверхности. Поле у самой поверхности снаружи перпендикулярно ей, поскольку составляющая вдоль поверхности ещё двигала бы поверхностные заряды. Его модуль равен $E=\sigma /{\epsilon }_0$, где $\sigma$ — заряд на единицу площади поверхности, а ${\epsilon }_0=1/(4\pi k)$ — электрическая постоянная.

Та же подвижность объясняет электризацию через влияние. Поднесите к проводнику заряженную палочку: на обращённой к ней стороне соберётся заряд противоположного знака. Соедините проводник с землёй: заряд потечёт по соединению, пока проводник не получит суммарный заряд, противоположный заряду палочки; его удерживает притяжение палочки. Сначала разорвите соединение с землёй, а потом уберите палочку — проводник сохранит этот заряд.

Заряд скапливается там, где поверхность изогнута

Обозначения

$V$	Потенциал проволоки и обеих сфер: одинаков во всех точках проводника.	$\mathrm{В}$
$R_1$	Радиус большей сферы.	$\mathrm{м}$
$R_2$	Радиус меньшей сферы.	$\mathrm{м}$
$q_1$	Заряд большей сферы.	$\mathrm{Кл}$
$q_2$	Заряд меньшей сферы.	$\mathrm{Кл}$
${\vec{E}}_1$	Поле сразу снаружи большей сферы, перпендикулярное её поверхности.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$
${\vec{E}}_2$	Поле сразу снаружи меньшей сферы: сильнее, так как $E=V/R$.	$\mathrm{Н}/\mathrm{Кл}$

На заряженном проводнике заряд распределён неравномерно: он скапливается там, где поверхность изгибается сильнее всего. Рисунок 3 показывает простейший случай, в котором это можно выразить точно.

На рисунке 3 изображены две проводящие сферы радиусами $R_1$ и $R_2$ (первая больше), расположенные далеко друг от друга и соединённые тонкой проволокой. Вместе они образуют один проводник, поэтому заряд течёт по проволоке, пока всё — проволока и обе сферы — не окажется при одном потенциале $V$. Так как сферы далеко друг от друга, потенциал каждой определяется только её собственным зарядом, а у сферы радиусом $R$ с зарядом $q$ он равен $V=kq/R$. Приравнивая потенциалы, $k{q}_1/R_1=k{q}_2/R_2$, получаем
$\frac{q_1}{q_2}=\frac{R_1}{R_2}$
Большая сфера несёт больший заряд. Теперь посмотрим на стрелки поля. Поле у поверхности сферы равно
$E=\frac{kq}{R^2}=\frac{V}{R}$
а так как $V$ общий, $E$ изменяется как $1/R$. Поэтому ${\vec{E}}_2$ у малой сферы длиннее ${\vec{E}}_1$ в отношении $R_1:R_2$; стрелки нарисованы так для $R_1=2R_2$. Чем меньше сфера, тем сильнее поле у её поверхности и, поскольку $E=\sigma /{\epsilon }_0$, тем больше заряда приходится на единицу площади.

То же верно для одного проводника любой формы: острие ведёт себя как малая сфера, а плоский участок — как большая. У острия радиусом 0,1 мм на теле радиусом 10 см поле у поверхности примерно в тысячу раз больше, чем у самого тела. Поэтому искры и слабое свечение коронного разряда начинаются на остриях и рёбрах.

Задача: когда подпрыгнет бусинка?

Эта задача применяет силу, действующую на индуцированный диполь, к реальному предмету. Поместите заряд шарика, $Q=9,6\mathrm{нКл}$, на металлическую сферу радиусом 1 см на изолирующей подставке. Снаружи сферы её поле в точности такое же, как у точечного заряда $Q$ в центре. Внизу лежит лёгкая проводящая бусинка из пенополистирола, покрытого графитом, диаметром 2 мм, с плотностью ${\rho }_m=20\mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^3$. На какое расстояние должна приблизиться сфера, чтобы бусинка подпрыгнула?

Шаг 1, сила притяжения. Малый проводящий шарик радиусом $a$ имеет поляризуемость $\alpha =4\pi {\epsilon }_0{a}^3=a^3/k$. Подставив её в $F=2\alpha k^2{Q}^2/d^5$, получим
$F=\frac{2k{Q}^2{a}^3}{d^5}$
где $d$ — расстояние между центрами сферы и бусинки.

Шаг 2, сила тяжести. Масса бусинки равна объёму, умноженному на плотность, поэтому $mg=\frac{4}{3}\pi a^3{\rho }_{m}g$.

Шаг 3, условие. Бусинка поднимается, когда $F>mg$. В обеих частях есть $a^3$, и он сокращается:
$\frac{2k{Q}^2}{d^5}>\frac{4}{3}\pi {\rho }_{m}g$
Решая относительно $d^5$:
$d^5<\frac{3k{Q}^2}{2\pi {\rho }_{m}g}$

Шаг 4, числа. В единицах СИ $3k{Q}^2=2,5\cdot 10^{-6}$ и $2\pi {\rho }_{m}g=1,23\cdot 10^3$, поэтому $d^5<2,0\cdot 10^{-9}{\mathrm{м}}^5$ и $d<1,8\mathrm{см}$. Бусинка подпрыгивает, когда её центр приближается к центру сферы ближе чем на 1,8 см. Если вычесть радиус сферы 1 см и радиус бусинки 1 мм, между поверхностями останется зазор около 7 мм.

Как меняется расстояние отрыва

Обозначения

$d$	Расстояние от центра заряженной сферы до центра бусинки.	$\mathrm{м}$
$F$	Сила притяжения, направленная вверх, действующая на бусинку, $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$, где $a$ — радиус бусинки.	$\mathrm{Н}$
$mg$	Сила тяжести бусинки (штриховая линия).	$\mathrm{Н}$
$Q$	Заряд сферы; левая кривая построена для $Q$, правая — для $2Q$.	$\mathrm{Кл}$
$d_Q$	Расстояние, на котором сила притяжения равна силе тяжести при заряде $Q$: 1,8 см.	$\mathrm{м}$
$d_{2Q}$	Расстояние, на котором сила притяжения равна силе тяжести при заряде $2Q$: 2,4 см.	$\mathrm{м}$

Задача дала одно число. Рисунок 4 показывает, как оно меняется при другом заряде или другой бусинке и почему размер бусинки не влияет.

На рисунке 4 построена сила притяжения $F=2k{Q}^2{a}^3/d^5$, действующая на бусинку, в зависимости от расстояния $d$ до центра сферы. При уменьшении $d$ сила круто растёт. Сила тяжести $mg$ от $d$ не зависит, поэтому она изображена штриховой горизонтальной линией. Бусинка поднимается везде, где кривая проходит выше этой линии, то есть на любом расстоянии меньше точки пересечения. Для заряда $Q$ (левая кривая) пересечение находится при $d_Q$ — это найденные выше 1,8 см.

Теперь удвойте заряд. Сила пропорциональна $Q^2$, поэтому на любом расстоянии она в 4 раза больше, и правая кривая, для $2Q$, пересекает линию дальше. В новой точке пересечения сила должна по-прежнему равняться $mg$, поэтому $4/d_{2Q}^5=1/d_Q^5$ и
$d_{2Q}=4^{1/5}{d}_Q=2^{2/5}{d}_Q\approx 1,32d_Q$
то есть 2,4 см. Из-за пятой степени удвоение заряда прибавляет лишь около трети расстояния.

Размер бусинки не важен, важна только её плотность, пока бусинка мала по сравнению с $d$, потому что $a^3$ сократился. Бусинка в 32 раза плотнее подняла бы штриховую линию в 32 раза и приблизила бы точку пересечения в $32^{1/5}=2$ раза, до 0,9 см. Это внутри сферы, радиус которой 1 см, так что такая бусинка не смогла бы подпрыгнуть, не коснувшись сферы.

Что происходит при касании? Проводящая бусинка забирает часть заряда сферы того же знака, поэтому теперь отталкивается и отлетает. Бумага проводит так плохо, что заряжается лишь медленно, и потому кусочек бумаги прилипает к шарику, а не отлетает.

Границы применимости

Каждая модель в этом уроке работает только в определённом диапазоне.

Воздух изолирует лишь примерно до 3 МВ/м. Выше случайные свободные электроны между столкновениями с молекулами набирают энергию, достаточную, чтобы выбить новые электроны, и нарастающая лавина — это искра. Шарик далёк от этого. Его заряд, распределённый по натёртому пятну площадью около 100 см², создаёт поле примерно $\sigma /(2{\epsilon }_0)\approx 5\cdot 10^4\mathrm{В}/\mathrm{м}$, что приблизительно в 55 раз слабее пробивного; множитель 2 появляется потому, что поле заряженной изолирующей пластины направлено наружу с обеих сторон. Сфера из задачи подходит гораздо ближе: поле у её поверхности, $kQ/R^2=8,6\cdot 10^5\mathrm{В}/\mathrm{м}$ при $R=1\mathrm{см}$, меньше пробивного менее чем в четыре раза. На другом полюсе удар молнии переносит от 5 до 30 Кл, до $2\cdot 10^{20}$ электронов, при напряжении в сотни мегавольт.

Квантование на масштабе шарика незаметно: один электрон меняет заряд на одну часть из $6\cdot 10^{10}$. Поэтому заряд можно считать непрерывной жидкостью с плотностью $\rho$, как в уравнении непрерывности. Закон $\vec{p}=\alpha \vec{E}$ требует полей, много меньших внутриатомных, около $5\cdot 10^{11}\mathrm{В}/\mathrm{м}$, а закон $1/d^5$ — тела, малого по сравнению с $d$. Трибоэлектрический ряд эмпирический: до сих пор обсуждается, что переносит заряд между натираемыми поверхностями — электроны, ионы или мельчайшие частицы материала. Наконец, классическая электростатика не может сказать, почему электрон не падает на протон. Для этого нужна квантовая механика, знакомство с которой начинается в уроке «Модели атома: атом Бора».

Что дальше

Урок «Закон Кулона» подробно рассматривает силу между точечными зарядами. Урок «Электрическое поле и потенциал» превращает поля, теорему Гаусса и эквипотенциальные проводники в рабочие инструменты, урок «Конденсаторы» показывает, как накапливается разделённый заряд, а урок «Электрический ток и сопротивление» изучает саму плотность тока $\vec{J}$. Движущиеся заряды испытывают и магнитные силы («Сила Лоренца: действие магнитного поля на движущийся заряд»), а уравнение непрерывности встроено в уравнения Максвелла («Электромагнитные волны»). Урок «Полупроводники, диоды и светодиоды» рассматривает недостающий электрон как положительный носитель, а урок «Частицы и взаимодействия: Стандартная модель» выводит сохранение заряда из симметрии природы.