Das coulombsche Gesetz

Einsteiger

Zwei geladene Körper stoßen sich ab oder ziehen sich an, ohne sich zu berühren. Das coulombsche Gesetz sagt uns, in welche Richtung und wie stark.

Schritt 1: die Richtung. Gleichnamige Ladungen (+ und + oder − und −) stoßen sich ab; ungleichnamige Ladungen (+ und −) ziehen sich an.

Schritt 2: wie viel Ladung. Je mehr Ladung, desto stärker die Kraft. Verdoppelst du die Ladung auf einem Körper, verdoppelt sich die Kraft; verdoppelst du die Ladung auf beiden, wird sie viermal so stark.

Schritt 3: wie weit auseinander. Der Abstand zählt noch mehr. Rückst du zwei Ladungen doppelt so weit auseinander, sinkt die Kraft auf ein Viertel; bei dreifachem Abstand auf ein Neuntel. Bringst du sie auf den halben Abstand, wird die Kraft viermal so stark. Die Schwerkraft folgt genau demselben „umgekehrt quadratischen“ Muster.

Schritt 4: die Einheit. Ladung misst man in Coulomb. Ein Coulomb ist riesig, die Ladung von etwa sechs Milliarden Milliarden Elektronen, deshalb beträgt die Ladung eines geriebenen Luftballons weniger als ein Millionstel Coulomb (weniger als ein Mikrocoulomb).

Schritt 5: fair geteilt. Beide Körper spüren eine gleich große Kraft in entgegengesetzter Richtung, auch wenn der eine viel mehr Ladung trägt als der andere.

Teste dich: Zwei kleine geladene Kugeln im Abstand von 10 cm stoßen sich mit einer Kraft von 8 Einheiten ab. Wie stark ist die Abstoßung bei 20 cm Abstand? (2 Einheiten: doppelter Abstand, ein Viertel der Kraft.)

In der Animation gleiten zwei geladene Pucks auf einer Schiene erst aufeinander zu und dann wieder auseinander. In der ersten Hälfte sind beide positiv, und die grünen Pfeile drücken sie auseinander; in der zweiten Hälfte wird einer negativ, und die Pfeile ziehen sie zusammen. Achte darauf, wie die Pfeile winzig bleiben, solange die Pucks weit auseinander sind, und plötzlich lang werden, wenn sie sich nähern.

Mittelstufe

Was wir messen: Ladung und Abstand

Das coulombsche Gesetz verbindet zwei Ladungen und den Abstand zwischen ihnen. Ladung wird in Coulomb (C) gemessen und hat ein Vorzeichen. Sie tritt nur in ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ auf, der Ladung eines Protons; ein Elektron trägt $-e$. Ein Coulomb ist riesig, deshalb gibt man alltägliche statische Ladungen in Mikrocoulomb ($1\mu \mathrm{C}=10^{-6}\mathrm{C}$) und Nanocoulomb ($1\mathrm{nC}=10^{-9}\mathrm{C}$) an. Jeder Puck in der Animation trägt eine Ladung vom Betrag 2 µC, das sind etwa $1,25\times 10^{13}$ Elementarladungen.

Der Abstand $r$ wird zwischen den Mittelpunkten der beiden Körper gemessen. Das Gesetz gilt exakt für Punktladungen, also Körper, die viel kleiner sind als ihr Abstand, und für gleichmäßig geladene Kugeln, die von außen so wirken, als säße ihre ganze Ladung im Mittelpunkt. Rechne zuerst alles in SI-Einheiten um: $2\mu \mathrm{C}=2\times 10^{-6}\mathrm{C}$ und $15\mathrm{cm}=0,15\mathrm{m}$.

Das coulombsche Gesetz

Zwei Punktladungen $q_1$ und $q_2$ im Abstand $r$ stoßen sich ab oder ziehen sich an, mit einer Kraft vom Betrag
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
wobei $k$ die coulombsche Konstante ist:
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$

Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie der Ladungen: Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Ihr Betrag ist proportional zu jeder Ladung: Verdoppelst du eine, verdoppelt sich die Kraft, verdoppelst du beide, vervierfacht sie sich. Außerdem ist sie umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands: Bei doppeltem Abstand ist es ein Viertel der Kraft, bei dreifachem ein Neuntel, bei halbem Abstand das Vierfache. Die Schwerkraft folgt demselben Gesetz mit dem Kehrwert des Abstandsquadrats.

Hier ist ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ die elektrische Feldkonstante. Die Größe von $k$ zeigt, wie stark die elektrische Kraft ist: Zwei Ladungen von je 1 C im Abstand von 1 m würden sich mit $9\times 10^9\mathrm{N}$ abstoßen, etwa der Gewichtskraft von 900 000 Tonnen.

Gleich große, entgegengesetzte Kräfte

Jede Ladung wirkt auf die andere, und die beiden Kräfte bilden ein Paar nach dem dritten newtonschen Gesetz. Ist ${\vec{F}}_{12}$ die Kraft, die $q_1$ auf $q_2$ ausübt, und ${\vec{F}}_{21}$ die Kraft, die $q_2$ auf $q_1$ ausübt, dann gilt
${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$
Die Kräfte sind auch bei verschiedenen Ladungen gleich groß, weil beide dasselbe Produkt $q_1{q}_2$ enthalten: Ladungen von 1 µC und 4 µC im Abstand von 30 cm spüren jeweils $8,99\times 10^9\cdot 4\times 10^{-12}/0,30^2\approx 0,40\mathrm{N}$.

Gleich große Kräfte bedeuten nicht gleiche Bewegungen: Nach dem zweiten newtonschen Gesetz beschleunigt jeder Körper mit $a=F/m$, sodass ein leichtes geladenes Kügelchen von einer schweren geladenen Kugel weggeschleudert wird, die sich kaum bewegt. Das Vorzeichen des Produkts gibt die Richtung an: $q_1{q}_2>0$ stößt die Ladungen auseinander, $q_1{q}_2<0$ zieht sie zusammen. Deshalb steht in der Betragsformel $|q_1{q}_2|$.

Rechenbeispiel: die Pucks der Animation

Jeder Puck trägt eine Ladung vom Betrag 2 µC, und ihr Abstand schwankt zwischen 40 cm und 15 cm. Berechne zuerst das Produkt, das sich nie ändert:
$k|q_1{q}_2|=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2=0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$
Bei größter Annäherung ist $r=0,15\mathrm{m}$, also
$F=\frac{0,03596}{0,15^2}=\frac{0,03596}{0,0225}\approx 1,60\mathrm{N}$

Beim größten Abstand $r=0,40\mathrm{m}$ beträgt die Kraft $0,03596/0,16\approx 0,22\mathrm{N}$. Das sind die Extremwerte in den Anzeigen für $r$ und $F$. Der Abstand ändert sich um den Faktor $40/15\approx 2,67$, die Kraft um $2,67^2\approx 7,1$, also sind die grünen Pfeile bei größter Annäherung etwa siebenmal so lang. Bei 30 cm zeigt die Anzeige 0,40 N, ein Viertel des Werts bei 15 cm.

Nach 6 s wird der rechte Puck negativ. Die Anzeigen wiederholen sich genau, denn der Betrag hängt nur von $|q_1{q}_2|$ und $r$ ab, aber beide Pfeile drehen sich um und zeigen nun aufeinander zu. Sie heißen $F_{12}$ und $F_{21}$ und sind immer gleich lang.

Rechenbeispiel: zwei geladene Kugeln an Fäden

Zwei gleiche kleine Kugeln mit je 2,0 g Masse hängen an isolierenden Fäden vom selben Aufhängepunkt, 40 cm vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt jeder Kugel. Sind sie gleich geladen, stoßen sie sich ab und stellen sich mit 12 cm Abstand der Mittelpunkte ein. Wie groß ist die Ladung jeder Kugel?

Jede Kugel ist im Gleichgewicht unter ihrer Gewichtskraft $mg$, der Fadenspannung und der waagerechten Coulomb-Abstoßung. Der Faden bildet mit der Senkrechten den Winkel $\theta$, mit $\sin \theta =0,06/0,40=0,15$, also $\theta \approx 8,6^{\circ }$ und $\tan \theta \approx 0,152$. Der senkrechte Teil der Spannung hält der Gewichtskraft das Gleichgewicht, der waagerechte Teil der elektrischen Kraft, also
$F=mg\tan \theta =0,0020\cdot 9,81\cdot 0,152\approx 2,98\times 10^{-3}\mathrm{N}$

Löst du das coulombsche Gesetz nach der Ladung auf, mit $q_1=q_2=q$, erhältst du
$q=r\sqrt{\frac{F}{k}}=0,12\cdot \sqrt{\frac{2,98\times 10^{-3}}{8,99\times 10^9}}\approx 6,9\times 10^{-8}\mathrm{C}$
Jede Kugel trägt etwa 69 nC, das sind $4,3\times 10^{11}$ Elementarladungen. Die elektrische Abstoßung beträgt nur 15 % der Gewichtskraft und hält die Kugeln trotzdem sichtbar auseinander. Würde die Hälfte jeder Ladung entweichen, sänke die Kraft bei 12 cm auf ein Viertel, und die Kugeln würden näher zusammenrücken.

Mehrere Ladungen: Kräfte addieren sich

Bei mehr als zwei Ladungen berechnest du die Kraft von jeder einzeln, als wären die anderen nicht da, und addierst die Ergebnisse als Vektoren. Das ist das Superpositionsprinzip:
${\vec{F}}_{\mathrm{net}}=\sum {\vec{F}}_i\text{(superposition)}$

Setze eine kleine Ladung von $-0,5\mu \mathrm{C}$ in die Mitte zwischen die Pucks, wenn sie 30 cm auseinander sind. Jeder Puck wirkt auf sie mit $8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}/0,15^2\approx 0,40\mathrm{N}$. Sind beide Pucks positiv, ziehen sie in entgegengesetzte Richtungen, und die Gesamtkraft ist null. Ist der rechte Puck negativ, zieht der eine, der andere stößt, beide nach links: insgesamt 0,80 N in Richtung des positiven Pucks. Die Stufe „Fortgeschritten“ setzt die kleine Ladung neben die Linie, wo die Summe als Vektor gezeichnet werden muss.

Typische Fehler

• Einheiten nicht umrechnen: Setzt du für jede 2-µC-Ladung 2 ein, wird die Kraft $10^{12}$-mal zu groß, und setzt du 15 für 15 cm ein, wird sie 10 000-mal zu klein.
• Den Abstand nicht quadrieren: Teilst du durch $r$ statt durch $r^2$, wird aus den 1,60 N bei 15 cm der Wert 0,24, der nicht einmal eine Kraft ist (seine Einheit ist N·m).
• Glauben, die größere Ladung spüre die größere Kraft: Ladungen von 1 µC und 4 µC im Abstand von 30 cm spüren beide 0,40 N.
• $r$ zwischen den Oberflächen messen: Zwei Kugeln mit Radius 2 cm und 11 cm Abstand der Oberflächen haben 15 cm Abstand der Mittelpunkte, und mit 11 cm überschätzt du die Kraft um das $(15/11{)}^2\approx 1,9$-Fache.
• Das Vorzeichen als Betrag lesen: $+2$ und $-2\mu \mathrm{C}$ bei 15 cm ergeben $k{q}_1{q}_2/r^2=-1,60\mathrm{N}$, aber das Minuszeichen bedeutet nur Anziehung; der Betrag ist 1,60 N.

Wo dir das begegnet

Das coulombsche Gesetz wirkt überall, wo Ladung gezielt bewegt wird. Laserdrucker und Fotokopierer legen ein Ladungsmuster auf eine Trommel, die Toner aufnimmt; elektrostatische Abscheider laden Rauchpartikel im Schornstein auf und sammeln sie an Platten mit entgegengesetztem Vorzeichen; in Autofabriken werden Lacktröpfchen aufgeladen, damit sie sich um die Karosserie legen.

Viel wichtiger ist, was du nicht siehst: Die elektrische Kraft hält Atome und Moleküle zusammen. In einem Wasserstoffatom zieht das Proton das etwa $5,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$ entfernte Elektron mit $8,2\times 10^{-8}\mathrm{N}$ an, mehr als $10^{39}$-mal stärker als die Gravitation zwischen beiden. Chemie und die Steifigkeit fester Körper beruhen auf dieser Kraft, gezähmt durch das fast perfekte Gleichgewicht von positiver und negativer Ladung in der Materie. Elektrisches Feld und Potential beschreibt dieselbe Kraft über das Feld, das jede Ladung erzeugt, und Kondensatoren zeigt, wie getrennte Ladungen Energie speichern.

Fortgeschritten

Das Gesetz in Vektorform

Die Mittelstufe gibt den Betrag der Kraft an, $F=k|q_1{q}_2|/r^2$, und eine getrennte Regel für ihre Richtung: Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Sobald mehrere Ladungen gleichzeitig wirken, müssen Kräfte als Vektoren addiert werden; deshalb lohnt es sich, Betrag und Richtung in einer Formel zu vereinen. Dazu braucht man nur eine Möglichkeit, Orte zu benennen.

Legende

$q_1$	Erste Ladung.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Zweite Ladung.	$\mathrm{C}$
$O$	Ursprung: ein beliebiger fester Punkt, von dem aus die Orte gemessen werden.
${\vec{r}}_1$	Ort von $q_1$, ein Pfeil von $O$ aus.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Ort von $q_2$, ein Pfeil von $O$ aus.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$	Pfeil von $q_1$ nach $q_2$; seine Länge ist der Abstand $r$ zwischen den Ladungen.	$\mathrm{m}$
${\hat{r}}_{12}$	Einheitsvektor von $q_1$ nach $q_2$: der Pfeil ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$ geteilt durch seine Länge $r$.
${\vec{F}}_{12}$	Kraft, die $q_1$ auf $q_2$ ausübt.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{21}$	Kraft, die $q_2$ auf $q_1$ ausübt: gleicher Betrag wie ${\vec{F}}_{12}$, entgegengesetzte Richtung.	$\mathrm{N}$

In Abbildung 1 liegen die Ladungen $q_1$ und $q_2$ an den Orten ${\vec{r}}_1$ und ${\vec{r}}_2$, als Pfeile von einem Ursprung $O$ aus gezeichnet. Betrachte das Dreieck aus den drei orangen Pfeilen. Wer von $O$ zu $q_1$ und dann weiter zu $q_2$ geht, endet dort, wo der direkte Pfeil ${\vec{r}}_2$ endet, also ${\vec{r}}_1+({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)={\vec{r}}_2$, und die dritte Seite, ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$, ist ein Pfeil von $q_1$ nach $q_2$. Er hängt nicht davon ab, wo $O$ liegt, sondern nur davon, wo die Ladungen sind, wie es sich für eine Kraft zwischen ihnen gehört.

Die Länge dieses Pfeils ist der Abstand der Ladungen, $r=|{\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1|$. Teilt man den Pfeil durch seine eigene Länge, bleibt seine Richtung erhalten und seine Länge wird 1. Das Ergebnis ist der Einheitsvektor (ein Dach kennzeichnet einen Vektor der Länge 1)
${\hat{r}}_{12}=({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)/r$
als kurzer blauer Pfeil gezeichnet, der von $q_1$ auf $q_2$ zeigt. Damit lautet die Kraft, die $q_1$ auf $q_2$ ausübt,
${\vec{F}}_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$
wobei $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ die coulombsche Konstante ist. Die Ladungen gehen jetzt mit ihren Vorzeichen ein, nicht als Beträge.

Die Vorzeichen regeln dann die Richtung. Beide Ladungen in Abbildung 1 sind positiv, also $q_1{q}_2>0$: Die Zahl vor ${\hat{r}}_{12}$ ist positiv, und ${\vec{F}}_{12}$, der grüne Pfeil auf $q_2$, zeigt entlang ${\hat{r}}_{12}$, weg von $q_1$. Das ist Abstoßung. Wäre eine Ladung negativ, wäre $q_1{q}_2<0$, und dieselbe Formel würde die Kraft umdrehen, hin zu $q_1$: Anziehung. Eine eigene Regel ist nicht nötig.

Auch das dritte newtonsche Gesetz ist schon eingebaut. Die Kraft auf $q_1$ ist dieselbe Formel mit vertauschten Indizes. Das Vertauschen macht aus ${\hat{r}}_{12}$ den Vektor ${\hat{r}}_{21}=-{\hat{r}}_{12}$, lässt aber das Produkt $q_1{q}_2$ und den Abstand $r$ unverändert, also ${\vec{F}}_{21}=-{\vec{F}}_{12}$. In Abbildung 1 ist der grüne Pfeil ${\vec{F}}_{21}$ auf $q_1$ so lang wie ${\vec{F}}_{12}$ und zeigt in die andere Richtung.

Die Kraft ist außerdem eine Zentralkraft: Sie wirkt entlang der Verbindungslinie der Ladungen, und ihr Betrag hängt nur vom Abstand ab. Eine solche Kraft ist konservativ, denn die Arbeit, die sie zwischen zwei Abständen verrichtet, hängt nicht vom Weg ab; sie hat also eine potentielle Energie, die wir im Abschnitt über Energie weiter unten finden.

In SI-Einheiten schreibt man die coulombsche Konstante als $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$, wobei ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ die elektrische Feldkonstante ist. Der Faktor $4\pi$ ist die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1. Ihn in $k$ unterzubringen wirkt hier umständlich, sorgt aber dafür, dass das $4\pi$ aus dem gaußschen Gesetz und aus den Formeln für Kondensatoren verschwindet, die viel häufiger gebraucht werden.

Charles-Augustin de Coulomb stellte das Gesetz 1785 auf, indem er die Verdrillung einer Torsionswaage maß. Bis 2019 legte das SI $k$ exakt auf $10^{-7}{c}^2\approx 8,98755\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ fest, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Seitdem hat die Elementarladung $e$ einen exakten Wert und ${\epsilon }_0$ wird gemessen; die Messung stimmt mit dem alten exakten Wert auf besser als ein Milliardstel überein.

Superposition und das elektrische Feld

Bei nur zwei Ladungen verpackt die Vektorform lediglich, was wir schon wussten. Ihren Wert zeigt sie, wenn eine dritte Ladung dazukommt. Das Experiment zeigt, dass sich elektrische Kräfte einfach addieren: Die Kraft auf eine Ladung ist die Vektorsumme der Kräfte, die jede der anderen allein auf sie ausüben würde, unverändert durch die Anwesenheit der übrigen. Dieses Superpositionsprinzip ist eine zweite experimentelle Tatsache, für die Elektrostatik ebenso grundlegend wie das quadratische Abstandsgesetz selbst.

Legende

$q_1$	Ladung des linken Pucks, in beiden Bildern positiv.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Ladung des rechten Pucks: im linken Bild positiv, im rechten negativ.	$\mathrm{C}$
$q_3$	Feste negative Ladung unterhalb der Pucks.	$\mathrm{C}$
${\vec{F}}_{13}$	Kraft des linken Pucks auf $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{23}$	Kraft des rechten Pucks auf $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_3$	Resultierende Kraft auf $q_3$: die Vektorsumme ${\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$.	$\mathrm{N}$
$r$	Abstand jedes Pucks von $q_3$, für beide gleich.	$\mathrm{m}$
$h$	Tiefe von $q_3$ unterhalb der Linie der Pucks.	$\mathrm{m}$
$a$	Abstand jedes Pucks vom Mittelpunkt zwischen ihnen: ihr halber Abstand.	$\mathrm{m}$

Abbildung 2 nutzt den Aufbau der Stufe „Fortgeschritten“ der Animation. Zwei Pucks mit je einer Ladung vom Betrag $q=2\mu \mathrm{C}$ gleiten auf einer geraden Schiene. Eine feste Ladung $q_3=-0,5\mu \mathrm{C}$ sitzt in der Tiefe $h=14\mathrm{cm}$ unter der Schiene, unter dem Mittelpunkt zwischen den Pucks. Die Abbildung zeigt den Moment größter Annäherung, wenn die Pucks 15 cm auseinander sind und jeder $a=7,5\mathrm{cm}$ vom Mittelpunkt entfernt ist.

Beginne mit der Kraft eines Pucks auf $q_3$. Puck, Mittelpunkt und $q_3$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $a$ und $h$, also hat jeder Puck denselben Abstand von $q_3$:
$r=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{0,075^2+0,14^2}\approx 0,159\mathrm{m}$
Das coulombsche Gesetz liefert den Betrag jeder Kraft, die entlang der gestrichelten Linie vom Puck zu $q_3$ wirkt:
$F=\frac{8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}}{0,159^2}\approx 0,356\mathrm{N}$
Das sind die goldenen Pfeile ${\vec{F}}_{13}$ und ${\vec{F}}_{23}$. Sie sind gleich lang, weil die Abstände gleich sind; nur ihre Richtungen unterscheiden sich.

Zum Addieren zerlegst du jede Kraft in einen Teil entlang der Schiene und einen Teil senkrecht dazu. Die Kraft liegt entlang der schrägen Dreiecksseite $r$, ihr Teil entlang der Schiene ist also $Fa/r$ und ihr Teil senkrecht zur Schiene $Fh/r$.

Im linken Bild sind beide Pucks positiv, also zieht jeder die negative Ladung $q_3$ zu sich, nach oben und zur Seite. Die seitlichen Teile, je $Fa/r$, zeigen in entgegengesetzte Richtungen und heben sich auf. Die Teile nach oben, je $Fh/r$, addieren sich. Die Summe ${\vec{F}}_3={\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$, die violette Diagonale des gestrichelten Parallelogramms, zeigt also senkrecht nach oben, mit dem Betrag
$F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,14/0,159\approx 0,63\mathrm{N}$

Im rechten Bild ist der rechte Puck negativ und stößt $q_3$ ab, also zeigt ${\vec{F}}_{23}$ jetzt nach unten und links. Diesmal heben sich die senkrechten Teile auf, und die seitlichen addieren sich. Die Summe, $F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,075/0,159\approx 0,34\mathrm{N}$, zeigt entlang der Schiene, auf den positiven Puck zu.

Dieselben Summen ändern sich, wenn sich die Pucks bewegen. Beim gleichnamigen Paar wächst der Zug nach oben stetig, wenn sich die Pucks nähern, von 0,17 N bei 40 cm Abstand auf 0,63 N bei 15 cm. Beim ungleichnamigen Paar ist der seitliche Zug, $2Fa/r=2kq|q_3|a/(a^2+h^2{)}^{3/2}$, nicht bei größter Annäherung am größten, sondern bei $a=h/\sqrt{2}$, wo seine Ableitung nach $a$ null ist. Das entspricht einem Abstand von $\sqrt{2}\cdot 0,14\approx 0,20\mathrm{m}$, und der Zug beträgt dort 0,35 N. Näher beieinander ziehen die Pucks stärker, aber ihre Kräfte drehen sich auch zur Senkrechten hin, wo sie sich beim ungleichnamigen Paar aufheben.

Die Superposition erlaubt es auch zu beschreiben, was die Ladungen mit einem Punkt machen, bevor dort etwas platziert wird. Setze eine kleine Probeladung $q_0$ an den Punkt und teile die Gesamtkraft auf sie durch $q_0$. Das Ergebnis, $\vec{E}=\vec{F}/q_0$, hängt nicht mehr von der Probeladung ab: Es ist das elektrische Feld, gemessen in Newton pro Coulomb. Für Ladungen $q_j$ an den Orten ${\vec{r}}_j$ lautet das Feld am Ort $\vec{r}$
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_j\frac{k{q}_j(\vec{r}-{\vec{r}}_j)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_j{|}^3}$
Jeder Summand ist das coulombsche Gesetz in Vektorform: Der Vektor $\vec{r}-{\vec{r}}_j$ geteilt durch die dritte Potenz seiner Länge ergibt den Einheitsvektor von $q_j$ zum Punkt, geteilt durch das Quadrat des Abstands. Ist die Ladung mit der Dichte $\rho$ (Ladung pro Volumen) verteilt, wird die Summe zu einem Volumenintegral. Kennt man die Ladungen und ihre Orte, legt diese Formel jede elektrostatische Kraft fest; das gaußsche Gesetz, Potentiale und Feldlinien sind Abkürzungen zu denselben Ergebnissen.

Aus einer Entfernung $d$, die viel größer ist als ihr gegenseitiger Abstand, wirkt das gleichnamige Paar wie eine einzige Ladung von 4 µC, deren Feld mit $1/d^2$ abfällt. Das ungleichnamige Paar hat keine Nettoladung: Seine beiden Felder heben sich fast auf, und was übrig bleibt, fällt schneller ab, mit $1/d^3$. Ein solches Paar gleicher und entgegengesetzter Ladungen heißt elektrischer Dipol.

Warum der Exponent genau 2 ist

Nichts in der Vektorform erzwingt, dass die Potenz von $r$ gleich 2 ist; ein Gesetz mit $1/r^{2,01}$ sähe fast genauso aus. Die genaue 2 ist wichtig, weil daraus das gaußsche Gesetz wird, eine der Grundgleichungen des Elektromagnetismus, und weil sie sich mit außergewöhnlicher Genauigkeit prüfen lässt. Die Schlüsselgröße ist der Fluss. Für ein kleines ebenes Flächenstück $dA$, das dem Feld direkt zugewandt ist, ist der Fluss $EdA$, die Feldstärke mal die Fläche. Zeichnet man Feldlinien mit einer Dichte proportional zu $E$, zählt der Fluss die Linien, die das Flächenstück durchqueren.

Legende

$q$	Punktladung an der Spitze des Kegels.	$\mathrm{C}$
$d\Omega$	Raumwinkel des Kegels: die Fläche, die er aus einer Kugel mit Radius 1 ausschneidet.	$\mathrm{sr}$
$r$	Abstand von $q$ zum näheren Flächenstück.	$\mathrm{m}$
$dA$	Fläche des näheren Stücks, das der Ladung direkt zugewandt ist.	${\mathrm{m}}^2$
$E$	Feld von $q$ am näheren Flächenstück.	$N/C$
$E/4$	Feld im doppelten Abstand: ein Viertel von $E$.	$N/C$

Abbildung 3 zeigt, wie der Exponent und die Geometrie des Raums zusammenpassen. Ein schmaler Kegel geht von der Punktladung $q$ aus. Seine Öffnung misst der Raumwinkel $d\Omega$: die Fläche, die der Kegel aus einer Kugel mit Radius 1 um seine Spitze ausschneidet, in Steradiant (eine ganze Kugel sind $4\pi$). Im Abstand $r$ schneidet der Kegel ein kleines Flächenstück aus, das der Ladung zugewandt ist, mit der Fläche $dA=r^{2}d\Omega$. Bei $2r$ ist der Kegel in beiden Richtungen doppelt so breit, das Flächenstück dort hat also die vierfache Fläche, $4dA$.

Vergleiche nun die Felder an den beiden Flächenstücken, den beiden blauen Pfeilen. Das coulombsche Gesetz liefert $E=kq/r^2$ am nahen Flächenstück und ein Viertel davon, $E/4$, am fernen. Der Fluss durch das nahe Flächenstück ist $EdA=(kq/r^2)(r^{2}d\Omega )=kqd\Omega$, und der Fluss durch das ferne, $(E/4)(4dA)$, ist derselbe. Das $r^2$ im Nenner des Gesetzes kürzt sich gegen das $r^2$ in der Fläche. Der Fluss durch jedes Flächenstück, das der Kegel ausschneidet, hängt also nur vom Raumwinkel $d\Omega$ ab, nicht davon, wie weit das Stück entfernt ist.

Umgib nun $q$ mit einer konzentrischen Kugel vom Radius $r$. Auf dieser Kugel hat das Feld überall denselben Betrag und durchquert die Oberfläche senkrecht, der Gesamtfluss ist also das Feld mal die gesamte Fläche:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$
Der Kreis am Integralzeichen bedeutet, dass die Fläche geschlossen ist. Der Vektor $d\vec{A}$ ist ein Stück der Oberfläche mit der Länge $dA$ und zeigt nach außen, und das Skalarprodukt behält nur den Teil des Feldes, der das Stück durchquert. Der Radius ist herausgefallen, also bekommt jede Kugel denselben Fluss, und das in $k$ untergebrachte $4\pi$ kürzt sich gegen das $4\pi$ der Kugelfläche.

Auch die Form der Fläche spielt keine Rolle. Zerlege eine beliebige geschlossene Fläche um $q$ in Stücke, die von $q$ aus jeweils unter einem Raumwinkel $d\Omega$ erscheinen. Ein geneigtes Stück ist größer, aber das Feld durchquert es schräg, und beide Effekte heben sich auf, sodass jedes Stück weiterhin den Fluss $kqd\Omega$ erhält. Die Raumwinkel summieren sich zu $4\pi$, was wieder $q/{\epsilon }_0$ ergibt. Bei einer Ladung außerhalb der Fläche tritt jeder dünne Kegel genauso oft in die Fläche ein, wie er sie verlässt, mit gleichem Fluss hinein und heraus: Die Ladung trägt nichts bei. Das ist das gaußsche Gesetz: Der Fluss aus jeder geschlossenen Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung geteilt durch ${\epsilon }_0$.

Das Argument funktioniert nur für den Exponenten 2. Bei einer Kraft $F\propto 1/r^{2+\delta }$ würde der Fluss durch eine Kugel wie $r^{-\delta }$ variieren. Er wäre bei zwei Kugeln ohne Ladung dazwischen verschieden, als entstünden oder verschwänden Feldlinien im leeren Raum.

Zwei Folgerungen machen den Exponenten messbar. Erstens wirkt eine gleichmäßig geladene dünne Kugelschale außen so, als säße ihre ganze Ladung im Mittelpunkt, und übt auf eine Ladung im Innern überhaupt keine Kraft aus. Den Fall innen siehst du mit der Idee aus Abbildung 3: Zeichne einen dünnen Doppelkegel durch einen Punkt im Innern der Schale. Er schneidet die Schale in zwei Flächenstücken, in den Abständen $r_1$ und $r_2$. Eine Gerade durch eine Kugel trifft sie an beiden Enden unter demselben Winkel, also sind die beiden Stücke gleich geneigt, und ihre Flächen, damit auch ihre Ladungen, verhalten sich wie $r_1^2:r_2^2$. Jedes Stück zieht mit einer Kraft proportional zu seiner Ladung geteilt durch das Quadrat seines Abstands, also zieht das kleine nahe Stück genauso stark wie das große ferne, in entgegengesetzter Richtung. Zweitens ist das Feld im Innern eines leeren geschlossenen Leiters beliebiger Form null, egal welche Ladung auf den Leiter gebracht wird.

Die Suche nach diesen Nullen ist ein Nulltest. Statt die Kraft bei vielen Abständen zu messen, was sich nur schwer genau messen lässt, lädt man einen geschlossenen Leiter auf und sucht nach irgendeinem Feld oder einer Ladung im Innern. Wäre der Exponent nicht 2, würde etwas auftauchen, und nichts zu finden ist daher weit empfindlicher. Henry Cavendish tat das 1773 und fand, dass der Exponent um weniger als 0,02 von 2 abweicht; ein Schalenexperiment von 1971 drückte $\delta$ unter wenige Teile in $10^{16}$. Bei atomaren Abständen, um $10^{-10}\mathrm{m}$, stimmen die Energieniveaus des Wasserstoffs, berechnet mit dem $1/r$-Potential plus kleinen Quantenkorrekturen, außerordentlich genau mit der Messung überein. In moderner Sprache bedeutet ein exaktes quadratisches Abstandsgesetz, dass das Photon, das Teilchen, das die elektrische Kraft überträgt, keine Masse hat.

Energie und das Kraft-Abstand-Diagramm

Weil sich die Kraft mit dem Abstand ändert, liefert das zweite newtonsche Gesetz die Beschleunigung in jedem Moment, aber nicht ohne viel Aufwand die Geschwindigkeit nach einem langen Anschub. Arbeit und Energie liefern sie in einem Schritt, und ein Diagramm der Kraft über dem Abstand zeigt, woher die Energie kommt.

Legende

$r$	Abstand der Ladungen.	$\mathrm{m}$
$F$	Betrag der abstoßenden Kraft, $k{q}^2/r^2$.	$\mathrm{N}$
$U$	Potentielle Energie des Paares, $k{q}^2/r$, null bei unendlichem Abstand.	$\mathrm{J}$
$r_a$	Anfangsabstand.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Endabstand.	$\mathrm{m}$
$F_a$	Kraft bei $r_a$.	$\mathrm{N}$
$F_b$	Kraft bei $r_b$.	$\mathrm{N}$
$U_a$	Potentielle Energie bei $r_a$.	$\mathrm{J}$
$U_b$	Potentielle Energie bei $r_b$.	$\mathrm{J}$
$W$	Von der Abstoßung von $r_a$ bis $r_b$ verrichtete Arbeit: die schraffierte Fläche, gleich dem Abfall $U_a-U_b$.	$\mathrm{J}$

Abbildung 4 hat zwei Diagramme für die beiden gleichen Ladungen $q=2\mu \mathrm{C}$ der Pucks, beide über ihrem Abstand $r$. Das obere Diagramm zeigt den Betrag der Kraft, $F=k{q}^2/r^2$. Das untere zeigt die potentielle Energie des Paares, $U=k{q}^2/r$, die die nächsten Absätze herleiten. Hier ist $k{q}^2=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2\approx 0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Die Pucks bewegen sich zwischen $r_a=15\mathrm{cm}$ und $r_b=40\mathrm{cm}$. Im oberen Diagramm markieren die Punkte $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$ und $F_b\approx 0,22\mathrm{N}$; im unteren markieren sie $U_a\approx 0,240\mathrm{J}$ und $U_b\approx 0,090\mathrm{J}$.

Die Kraftkurve ist bei kleinem $r$ am steilsten. Das Ableiten von $k{q}^2{r}^{-2}$ gibt die Steigung $dF/dr=-2F/r$: etwa $-1,1N/m$ bei 40 cm und $-21N/m$ bei 15 cm, ein Faktor von $(40/15{)}^3\approx 19$. Das Diagramm der Stufe „Fortgeschritten“ in der Animation zeichnet dieselbe Kurve auf gewöhnlichen Achsen. Während die Pucks zwischen 40 und 15 cm pendeln, gleitet ihr grüner Punkt zwischen 0,22 N und 1,60 N auf ihr entlang und schnellt am linken Ende hoch. Auf logarithmischen Achsen wäre dieselbe Kurve eine Gerade mit der Steigung $-2$, dem Exponenten des Gesetzes.

Nun die Arbeit. Wenn sich die Pucks um einen kleinen Schritt $dr$ voneinander entfernen, verrichtet die Abstoßung die Arbeit $Fdr$: ein dünner Streifen Fläche unter der oberen Kurve. Addiert man die Streifen von $r_a$ bis $r_b$, ergibt sich die schraffierte Fläche $W$ aus Abbildung 4:
$W={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}dr=k{q}_1{q}_2\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
Das Ergebnis ist eine Funktion von $r$ am Anfang minus dieselbe Funktion am Ende. Nennt man diese Funktion die potentielle Energie, $U(r)=k{q}_1{q}_2/r$, so ist die Arbeit $W=U(r_a)-U(r_b)$: Die Kraft verrichtet Arbeit, indem sie potentielle Energie verbraucht. Man könnte zu $U$ eine Konstante addieren, ohne eine Differenz zu ändern; die obige Form macht $U$ bei unendlichem Abstand null, wo die Kraft verschwindet. Andersherum gelesen ist die Kraft die negative Steigung der Energie, $F=-dU/dr$ entlang der Verbindungslinie der Ladungen.

Zwischen 15 und 40 cm beträgt die schraffierte Fläche $W=0,03596\cdot (1/0,15-1/0,40)\approx 0,150\mathrm{J}$. Im unteren Diagramm erscheinen dieselben 0,150 J als Abfall von $U_a$ auf $U_b$, markiert durch die Klammer $W$: $0,240-0,090=0,150\mathrm{J}$.

Die Animation zeigt beide Vorzeichen. In der abstoßenden Phase verrichtet die Hand, die die gleichnamigen Pucks von 40 auf 15 cm zusammenschiebt, 0,150 J Arbeit gegen die Abstoßung, und das Paar speichert sie. In der anziehenden Phase ist $q_1{q}_2<0$, also ist $U$ negativ: Es sinkt von $-0,090$ auf $-0,240\mathrm{J}$, wenn sich die Pucks von 40 auf 15 cm nähern, und nun verrichtet das Feld die 0,150 J Arbeit.

Aufgabe: die Pucks loslassen

Jeder Puck habe eine Masse von 20 g, und das gleichnamig geladene Paar werde aus der Ruhe bei 15 cm Abstand auf der reibungsfreien Schiene losgelassen. Bestimme die Anfangsbeschleunigung jedes Pucks und seine Geschwindigkeit bei 40 cm Abstand und im sehr großen Abstand.

Am Anfang spürt jeder Puck die Kraft $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$, nach dem zweiten newtonschen Gesetz beträgt seine Beschleunigung also $1,60/0,020\approx 80m/{\mathrm{s}}^2$, etwa das Achtfache von $g$. Die Kraft wird schwächer, wenn sich die Pucks entfernen, die Beschleunigung ist also nicht konstant, und die Formeln für konstante Beschleunigung gelten nicht. Die Energie erledigt die Aufgabe stattdessen.

Dazu braucht man zwei Tatsachen. Die Kräfte auf die beiden Pucks sind gleich groß und entgegengesetzt, der Gesamtimpuls bleibt also null; bei gleichen Massen bewegen sich die Pucks mit gleichem Tempo in entgegengesetzte Richtungen um einen festen Mittelpunkt. Und die Energie bleibt erhalten: Die kinetische Energie beider Pucks zusammen ist gleich dem Abfall der unteren Kurve in Abbildung 4 von $r_0=0,15\mathrm{m}$ bis zum aktuellen Abstand $r$:
$2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2=m{v}^2=U(r_0)-U(r)$

Bei 40 cm beträgt der Abfall die oben gefundenen 0,150 J, also $m{v}^2=0,150\mathrm{J}$ und $v=\sqrt{0,150/0,020}\approx 2,74m/s$. Sehr weit entfernt gilt $U\to 0$, also wird die gesamte Energie von 0,240 J zu kinetischer Energie: $m{v}^2=0,240\mathrm{J}$ und $v=\sqrt{0,240/0,020}\approx 3,46m/s$.

Wenn der Abstand von 15 auf 40 cm gewachsen ist, hat das Paar den Bruchteil $1-U_b/U_a=1-15/40=0,625$ seiner gespeicherten Energie freigesetzt. Die Geschwindigkeit wächst wie die Wurzel der kinetischen Energie, die Pucks haben also schon $\sqrt{0,625}\approx 0,79$ ihrer Endgeschwindigkeit: Ein Schub, der mit dem Abstandsquadrat abfällt, wirkt kräftig und kurz. Das anziehende Paar läuft denselben Film rückwärts: Aus der Ruhe bei 40 cm Abstand losgelassen, passieren die Pucks die 15-cm-Marke mit je 2,74 m/s und bewegen sich aufeinander zu.

Grenzen der Gültigkeit

Das coulombsche Gesetz gilt für ruhende Ladungen im leeren Raum bei gewöhnlichen Abständen. Jede dieser Bedingungen markiert eine Grenze.

Bewegte Ladungen üben auch magnetische Kräfte aus. Bei zwei Ladungen, die sich nebeneinander mit der Geschwindigkeit $v$ bewegen, beträgt die magnetische Kraft einen Bruchteil der Größenordnung $v^2/c^2$ der elektrischen. Hinzu kommt: Bewegt sich eine Ladung, erreicht die Änderung die andere erst nach der Laufzeit $r/c$, das sind 0,5 ns über 15 cm. Für die Pucks der Animation, langsamer als 0,07 m/s, ist $v^2/c^2\approx 5\times 10^{-20}$; selbst bei den 3,46 m/s der Aufgabe sind es nur etwa $10^{-16}$. In einem Teilchenstrahl eines Beschleunigers dagegen bewegen sich die Elektronen so nah an $c$, dass die magnetische Anziehung zwischen ihnen ihre elektrische Abstoßung fast aufhebt. Die Ladung selbst ist bei jeder Geschwindigkeit gleich.

In einem isolierenden Medium werden die Moleküle polarisiert: Ihre Ladungen verschieben sich leicht, und die verschobenen Ladungen schirmen die beiden Ladungen teilweise voneinander ab. Die Kraft wird durch die relative Permittivität ${\epsilon }_r$ des Mediums geteilt, bei Wasser etwa 80. Deshalb löst sich Salz auf. Ein Natrium- und ein Chlorid-Ion, die sich berühren, 0,28 nm voneinander entfernt, zu trennen kostet im Vakuum etwa 5 eV, grob in Wasser aber nur $5/80\approx 0,06\mathrm{eV}$, nur wenige Male so viel wie die thermische Energie bei Raumtemperatur (0,026 eV).

Luft begrenzt, wie viel Ladung ein Körper halten kann: Sie schlägt durch und funkt bei Feldern um $E_{\max }=3MV/m$. Das Feld an der Oberfläche einer Kugel mit Radius $R$ und Ladung $Q$ ist $kQ/R^2$, die Ladung kann also etwa $E_{\max }{R}^2/k$ nicht überschreiten: 33 nC für $R=1\mathrm{cm}$. Mikrocoulomb-Ladungen wie in der Animation brauchen große Kugeln (2 µC brauchen einen Radius von etwa 8 cm) oder Vakuum.

Bei Kernabständen ist die Kraft enorm: Zwei Protonen im Abstand von 2 fm ($1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$) stoßen sich mit etwa 58 N ab, der Gewichtskraft einer Masse von 6 kg, die auf ein einziges Teilchen wirkt. Nur die kurzreichweitige starke Kraft hält Kerne zusammen; in schweren Kernen mit vielen Protonen gewinnt die elektrische Abstoßung an Boden, was die Spaltung möglich macht. Auch ist das Proton kein Punkt: Seine Ladung ist über einen Radius von etwa 0,84 fm verteilt. Schließlich schirmen in der Quantenelektrodynamik, der Quantentheorie der elektrischen Kraft, kurzlebige Elektron-Positron-Paare jede Ladung teilweise ab. Unterhalb von etwa $10^{-12}\mathrm{m}$ lässt diese Abschirmung nach, und die Kraft wächst etwas schneller als $1/r^2$, ein Effekt, der im Wasserstoffspektrum zu sehen ist.

Wie es weitergeht

Das oben eingeführte Feld ist das Hauptwerkzeug in Elektrisches Feld und Potential, wo aus der Energie $U=k{q}_1{q}_2/r$ das Potential $V=kQ/r$ wird, Energie pro Ladungseinheit, und das gaußsche Gesetz Felder ohne Summieren liefert. Kondensatoren setzt ${\epsilon }_0$ und ${\epsilon }_r$ ein. Die Gravitation hat dieselbe quadratische Abstandsform; was Gravitation und Umlaufbahnen über Kreisbahnen zeigt, überträgt sich daher auf ein Elektron, das in Atommodelle: das bohrsche Atom einen Kern umkreist. Magnetische Kraft auf bewegte Ladungen fügt die Kraft zwischen bewegten Ladungen hinzu, die die Relativitätstheorie mit dieser verknüpft, und Elektromagnetische Wellen zeigt, wie sich Änderungen mit $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ ausbreiten, wobei ${\mu }_0$ die magnetische Feldkonstante ist. Teilchen und Kräfte: das Standardmodell beschreibt die elektrische Kraft als Austausch von Photonen.