Ley de Coulomb

Principiante

Dos objetos cargados se empujan o se atraen sin tocarse. La ley de Coulomb nos dice en qué sentido y con cuánta fuerza.

Paso 1: en qué sentido. Las cargas del mismo signo (+ y +, o − y −) se repelen; las de signo contrario (+ y −) se atraen.

Paso 2: cuánta carga. Cuanta más carga, más fuerza. Duplica la carga de uno de los objetos y la fuerza se duplica; duplica la de los dos y se hace cuatro veces mayor.

Paso 3: a qué distancia. La distancia importa todavía más. Separa dos cargas al doble de distancia y la fuerza baja a la cuarta parte; al triple, a la novena parte. Acércalas a la mitad y se hace cuatro veces mayor. La gravedad sigue exactamente la misma ley «del inverso del cuadrado».

Paso 4: la unidad. La carga se mide en culombios. Un culombio es enorme, la carga de unos seis trillones de electrones, así que un globo frotado tiene menos de una millonésima de culombio (menos de un microculombio).

Paso 5: a partes iguales. Los dos objetos sienten una fuerza del mismo tamaño, en sentidos opuestos, aunque uno tenga mucha más carga que el otro.

Ponte a prueba: dos bolitas cargadas a 10 cm se repelen con una fuerza de 8 unidades. ¿Cuánto vale la fuerza a 20 cm? (2 unidades: el doble de lejos, la cuarta parte de fuerza.)

En la animación, dos discos cargados se acercan y luego se alejan a lo largo de un riel. En la primera mitad los dos son positivos y las flechas verdes los separan; en la segunda, uno se vuelve negativo y las flechas los juntan. Fíjate en que las flechas son diminutas cuando los discos están lejos y se alargan de golpe cuando se acercan.

Intermedio

Qué medimos: carga y distancia

La ley de Coulomb relaciona dos cargas con la distancia que las separa. La carga se mide en culombios (C) y tiene signo. Siempre es un múltiplo entero de la carga elemental $e=1,602\times 10^{-19}\mathrm{C}$, que es la de un protón; un electrón tiene $-e$. Un culombio es una cantidad enorme, así que las cargas estáticas de la vida diaria se expresan en microculombios ($1\mu \mathrm{C}=10^{-6}\mathrm{C}$) y en nanoculombios ($1\mathrm{nC}=10^{-9}\mathrm{C}$). Cada disco de la animación lleva una carga de 2 µC en valor absoluto, unas $1,25\times 10^{13}$ cargas elementales.

La distancia $r$ se mide entre los centros de los dos cuerpos. La ley es exacta para las cargas puntuales, es decir, los cuerpos mucho más pequeños que la distancia que los separa, y para las esferas cargadas de manera uniforme, que desde fuera actúan como si toda su carga estuviera en el centro. Pasa antes todo a unidades del SI: $2\mu \mathrm{C}=2\times 10^{-6}\mathrm{C}$ y $15\mathrm{cm}=0,15\mathrm{m}$.

La ley de Coulomb

Dos cargas puntuales $q_1$ y $q_2$, separadas una distancia $r$, se empujan o se atraen con una fuerza de módulo
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
donde $k$ es la constante de Coulomb:
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$

La fuerza actúa a lo largo de la recta que une las cargas: las cargas del mismo signo se repelen y las de signo opuesto se atraen. Su módulo es proporcional a cada carga: si duplicas una, la fuerza se duplica; si duplicas las dos, se cuadruplica. También es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: al doble de distancia, una cuarta parte de la fuerza; al triple, una novena parte; a la mitad, cuatro veces más. La gravedad sigue la misma pauta del inverso del cuadrado.

Aquí ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ es la permitividad del vacío. El valor de $k$ muestra lo intensa que es la fuerza eléctrica: dos cargas de 1 C, separadas 1 m, se repelerían con $9\times 10^9\mathrm{N}$, aproximadamente el peso de 900 000 toneladas.

Fuerzas iguales y opuestas

Cada carga actúa sobre la otra, y las dos fuerzas forman una pareja de acción y reacción de la tercera ley de Newton. Si ${\vec{F}}_{12}$ es la fuerza que $q_1$ ejerce sobre $q_2$ y ${\vec{F}}_{21}$ la que $q_2$ ejerce sobre $q_1$,
${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$
Las fuerzas tienen el mismo módulo aunque las cargas sean distintas, porque las dos contienen el mismo producto $q_1{q}_2$: dos cargas de 1 µC y 4 µC, a 30 cm una de otra, sienten cada una $8,99\times 10^9\cdot 4\times 10^{-12}/0,30^2\approx 0,40\mathrm{N}$.

Fuerzas iguales no significan movimientos iguales: según la segunda ley de Newton, cada cuerpo se acelera con $a=F/m$, de modo que una bolita ligera cargada sale despedida de una esfera pesada también cargada, que apenas se mueve. El signo del producto indica el sentido: $q_1{q}_2>0$ separa las cargas y $q_1{q}_2<0$ las junta. Por eso la fórmula del módulo lleva $|q_1{q}_2|$.

Ejemplo resuelto: los discos de la animación

Cada disco lleva una carga de 2 µC en valor absoluto, y la distancia entre ellos oscila entre 40 cm y 15 cm. Calculamos primero el producto que no cambia nunca:
$k|q_1{q}_2|=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2=0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$
En el punto de máximo acercamiento, $r=0,15\mathrm{m}$, así que
$F=\frac{0,03596}{0,15^2}=\frac{0,03596}{0,0225}\approx 1,60\mathrm{N}$

Con la máxima separación, $r=0,40\mathrm{m}$, la fuerza es $0,03596/0,16\approx 0,22\mathrm{N}$. Son los valores extremos de las lecturas de $r$ y $F$. La distancia cambia en un factor $40/15\approx 2,67$ y la fuerza en $2,67^2\approx 7,1$, así que las flechas verdes son unas siete veces más largas en el punto más cercano. A 30 cm la lectura pasa por 0,40 N, la cuarta parte del valor a 15 cm.

A los 6 s el disco de la derecha se vuelve negativo. Las lecturas se repiten exactamente, porque el módulo solo depende de $|q_1{q}_2|$ y de $r$, pero las dos flechas se dan la vuelta y apuntan una hacia la otra. Rotuladas $F_{12}$ y $F_{21}$, tienen siempre la misma longitud.

Ejemplo resuelto: dos bolas cargadas colgadas de hilos

Dos bolitas idénticas de 2,0 g de masa cuelgan de un mismo punto mediante hilos aislantes, de 40 cm desde el punto de suspensión hasta cada centro. Al recibir cargas iguales, se repelen y se quedan en equilibrio con los centros separados 12 cm. ¿Qué carga tiene cada bola?

Cada bola está en equilibrio bajo la acción de su peso $mg$, la tensión del hilo y el empuje horizontal de Coulomb. El hilo forma un ángulo $\theta$ con la vertical, con $\sin \theta =0,06/0,40=0,15$, así que $\theta \approx 8,6^{\circ }$ y $\tan \theta \approx 0,152$. La componente vertical de la tensión equilibra el peso y la horizontal, la fuerza eléctrica, de modo que
$F=mg\tan \theta =0,0020\cdot 9,81\cdot 0,152\approx 2,98\times 10^{-3}\mathrm{N}$

Despejando la carga en la ley de Coulomb, con $q_1=q_2=q$, resulta
$q=r\sqrt{\frac{F}{k}}=0,12\cdot \sqrt{\frac{2,98\times 10^{-3}}{8,99\times 10^9}}\approx 6,9\times 10^{-8}\mathrm{C}$
Cada bola lleva unos 69 nC, es decir, $4,3\times 10^{11}$ cargas elementales. El empuje eléctrico es solo el 15 % del peso y, aun así, separa las bolas de forma visible. Si cada una perdiera la mitad de su carga, la fuerza a 12 cm bajaría a la cuarta parte y las bolas colgarían más juntas.

Varias cargas: las fuerzas se suman

Con más de dos cargas, calcula por separado la fuerza de cada una, como si las demás no estuvieran, y suma los resultados como vectores. Es el principio de superposición:
${\vec{F}}_{\mathrm{neta}}=\sum {\vec{F}}_i\text{(superposicioˊn)}$

Coloca una carga pequeña de $-0,5\mu \mathrm{C}$ a medio camino entre los discos cuando están a 30 cm. Cada disco actúa sobre ella con $8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}/0,15^2\approx 0,40\mathrm{N}$. Si los dos discos son positivos, tiran de ella en sentidos opuestos y la fuerza neta es cero. Si el disco de la derecha es negativo, uno tira y el otro empuja, los dos hacia la izquierda: 0,80 N en total, hacia el disco positivo. El nivel experto saca la carga pequeña de la recta, y entonces la suma hay que dibujarla como un vector.

Errores frecuentes

• Olvidar convertir las unidades: escribir 2 en lugar de 2 µC en cada carga hace la fuerza $10^{12}$ veces mayor, y escribir 15 en lugar de 15 cm la hace 10 000 veces menor.
• No elevar la distancia al cuadrado: dividir entre $r$ en lugar de entre $r^2$ convierte los 1,60 N a 15 cm en 0,24, que ni siquiera es una fuerza (su unidad es N·m).
• Creer que la carga mayor siente la fuerza mayor: dos cargas de 1 µC y 4 µC, a 30 cm, sienten las dos 0,40 N.
• Medir $r$ entre las superficies: dos esferas de 2 cm de radio con las superficies a 11 cm tienen los centros a 15 cm, y usar 11 cm sobrestima la fuerza $(15/11{)}^2\approx 1,9$ veces.
• Confundir el signo con el módulo: $+2$ y $-2\mu \mathrm{C}$ a 15 cm dan $k{q}_1{q}_2/r^2=-1,60\mathrm{N}$, pero el signo menos solo indica atracción; el módulo es 1,60 N.

Dónde aparece

La ley de Coulomb interviene siempre que se mueve carga a propósito. Las impresoras láser y las fotocopiadoras forman un dibujo de carga sobre un tambor que atrae el tóner; los precipitadores electrostáticos cargan las partículas de humo de las chimeneas y las recogen en placas de signo opuesto; las fábricas de coches cargan las gotitas de pintura para que envuelvan la carrocería.

Mucho más importante es lo que no se ve: la fuerza eléctrica mantiene unidos los átomos y las moléculas. En un átomo de hidrógeno, el protón atrae al electrón, situado a unos $5,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$, con una fuerza de $8,2\times 10^{-8}\mathrm{N}$, más de $10^{39}$ veces su atracción gravitatoria. La química y la rigidez de los sólidos proceden de esta fuerza, domada por el equilibrio casi perfecto entre las cargas positivas y las negativas de la materia. Campo y potencial eléctricos describe la misma fuerza a través del campo que crea cada carga, y Condensadores muestra cómo almacenan energía las cargas separadas.

Avanzado

La ley en forma vectorial

El nivel Intermedio da el módulo de la fuerza, $F=k|q_1{q}_2|/r^2$, y una regla aparte para su sentido: las cargas del mismo signo se repelen y las de signo opuesto se atraen. En cuanto actúan varias cargas a la vez, hay que sumar las fuerzas como vectores, así que conviene reunir módulo y sentido en una sola fórmula. Para ello solo hace falta una manera de nombrar las posiciones.

Leyenda

$q_1$	Primera carga.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Segunda carga.	$\mathrm{C}$
$O$	Origen: cualquier punto fijo desde el que se miden las posiciones.
${\vec{r}}_1$	Posición de $q_1$, una flecha desde $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	Posición de $q_2$, una flecha desde $O$.	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$	Flecha de $q_1$ a $q_2$; su longitud es la distancia $r$ entre las cargas.	$\mathrm{m}$
${\hat{r}}_{12}$	Vector unitario de $q_1$ hacia $q_2$: la flecha ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$ dividida entre su longitud $r$.
${\vec{F}}_{12}$	Fuerza que $q_1$ ejerce sobre $q_2$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{21}$	Fuerza que $q_2$ ejerce sobre $q_1$: del mismo módulo que ${\vec{F}}_{12}$ y de sentido contrario.	$\mathrm{N}$

En la figura 1, las cargas $q_1$ y $q_2$ están en las posiciones ${\vec{r}}_1$ y ${\vec{r}}_2$, flechas dibujadas desde un origen $O$. Fíjate en el triángulo que forman las tres flechas naranjas. Ir de $O$ a $q_1$ y de allí a $q_2$ lleva al mismo punto que la flecha directa ${\vec{r}}_2$, así que ${\vec{r}}_1+({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)={\vec{r}}_2$ y el tercer lado, ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$, es una flecha de $q_1$ a $q_2$. No depende de dónde esté $O$, solo de dónde están las cargas, como corresponde a una fuerza entre ellas.

La longitud de esta flecha es la distancia entre las cargas, $r=|{\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1|$. Al dividir la flecha entre su propia longitud se conserva su dirección y su longitud pasa a ser 1. El resultado es el vector unitario (un sombrerito indica un vector de longitud 1)
${\hat{r}}_{12}=({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)/r$
dibujado como la flecha azul corta, que apunta de $q_1$ hacia $q_2$. Con él, la fuerza que $q_1$ ejerce sobre $q_2$ es
${\vec{F}}_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$
donde $k\approx 8,99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ es la constante de Coulomb. Ahora las cargas entran con su signo, no como módulos.

Los signos se encargan entonces del sentido. Las dos cargas de la figura 1 son positivas, así que $q_1{q}_2>0$: el número que multiplica a ${\hat{r}}_{12}$ es positivo, y ${\vec{F}}_{12}$, la flecha verde sobre $q_2$, apunta en el sentido de ${\hat{r}}_{12}$, alejándose de $q_1$. Eso es repulsión. Si una de las cargas fuera negativa, $q_1{q}_2<0$ y la misma fórmula daría la vuelta a la fuerza, hacia $q_1$: atracción. No hace falta ninguna regla aparte.

La tercera ley de Newton también viene incluida. La fuerza sobre $q_1$ es la misma fórmula con las etiquetas intercambiadas. El intercambio convierte ${\hat{r}}_{12}$ en ${\hat{r}}_{21}=-{\hat{r}}_{12}$, pero deja igual el producto $q_1{q}_2$ y la distancia $r$, así que ${\vec{F}}_{21}=-{\vec{F}}_{12}$. En la figura 1, la flecha verde ${\vec{F}}_{21}$ sobre $q_1$ mide lo mismo que ${\vec{F}}_{12}$ y apunta en sentido contrario.

La fuerza es además central: actúa a lo largo de la recta que une las cargas y su módulo solo depende de la distancia entre ellas. Una fuerza así es conservativa, porque el trabajo que realiza entre dos separaciones no depende del camino seguido, y por tanto tiene una energía potencial, que se obtiene en la sección sobre la energía más abajo.

En el SI, la constante de Coulomb se escribe $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$, donde ${\epsilon }_0\approx 8,85\times 10^{-12}F/m$ es la permitividad del vacío. El factor $4\pi$ es el área de una esfera de radio 1. Meterlo en $k$ parece torpe aquí, pero hace que el $4\pi$ desaparezca de la ley de Gauss y de las fórmulas de los condensadores, que se usan con mucha más frecuencia.

Charles-Augustin de Coulomb estableció la ley en 1785 midiendo el giro del hilo de una balanza de torsión. Hasta 2019, el SI fijaba $k$ exactamente en $10^{-7}{c}^2\approx 8,98755\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Desde entonces la carga elemental $e$ tiene un valor exacto y lo que se mide es ${\epsilon }_0$; la medida coincide con el antiguo valor exacto con una precisión mejor que una parte en mil millones.

Superposición y campo eléctrico

Con solo dos cargas, la forma vectorial se limita a reordenar lo que ya sabíamos. Su valor se ve cuando se une una tercera carga. El experimento muestra que las fuerzas eléctricas simplemente se suman: la fuerza sobre una carga es la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las demás ejercería sobre ella por separado, sin que la presencia del resto la modifique. Este principio de superposición es un segundo hecho experimental, tan básico para la electrostática como la propia ley del inverso del cuadrado.

Leyenda

$q_1$	Carga del disco izquierdo, positiva en los dos paneles.	$\mathrm{C}$
$q_2$	Carga del disco derecho: positiva en el panel izquierdo, negativa en el derecho.	$\mathrm{C}$
$q_3$	Carga negativa fija, debajo de los discos.	$\mathrm{C}$
${\vec{F}}_{13}$	Fuerza del disco izquierdo sobre $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{23}$	Fuerza del disco derecho sobre $q_3$.	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_3$	Fuerza neta sobre $q_3$: la suma vectorial ${\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$.	$\mathrm{N}$
$r$	Distancia de cada disco a $q_3$, la misma para los dos.	$\mathrm{m}$
$h$	Profundidad de $q_3$ bajo la línea de los discos.	$\mathrm{m}$
$a$	Distancia de cada disco al punto medio entre ellos: la mitad de su separación.	$\mathrm{m}$

La figura 2 usa el montaje del nivel experto de la animación. Dos discos, cada uno con una carga de módulo $q=2\mu \mathrm{C}$, se deslizan por un riel recto. Una carga fija $q_3=-0,5\mu \mathrm{C}$ está a una profundidad $h=14\mathrm{cm}$ bajo el riel, debajo del punto medio entre los discos. La figura muestra el instante de máximo acercamiento, cuando los discos están a 15 cm uno de otro y cada uno está a $a=7,5\mathrm{cm}$ del punto medio.

Empieza por la fuerza de un disco sobre $q_3$. El disco, el punto medio y $q_3$ forman un triángulo rectángulo de catetos $a$ y $h$, así que cada disco está a la misma distancia de $q_3$:
$r=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{0,075^2+0,14^2}\approx 0,159\mathrm{m}$
La ley de Coulomb da el módulo de cada fuerza, que actúa a lo largo de la línea discontinua que une el disco con $q_3$:
$F=\frac{8,99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0,5\times 10^{-6}}{0,159^2}\approx 0,356\mathrm{N}$
Son las flechas doradas ${\vec{F}}_{13}$ y ${\vec{F}}_{23}$. Tienen la misma longitud porque las distancias son iguales; solo difieren sus direcciones.

Para sumarlas, descompón cada fuerza en una parte a lo largo del riel y otra perpendicular a él. La fuerza va a lo largo del lado oblicuo $r$ del triángulo, así que su parte a lo largo del riel es $Fa/r$ y su parte perpendicular al riel es $Fh/r$.

En el panel izquierdo los dos discos son positivos, así que cada uno atrae a la carga negativa $q_3$ hacia sí, hacia arriba y hacia un lado. Las partes laterales, $Fa/r$ cada una, tienen sentidos opuestos y se anulan. Las partes hacia arriba, $Fh/r$ cada una, se suman. La suma ${\vec{F}}_3={\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$, la diagonal morada del paralelogramo discontinuo, apunta por tanto justo hacia arriba, con módulo
$F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,14/0,159\approx 0,63\mathrm{N}$

En el panel derecho el disco de la derecha es negativo y empuja a $q_3$ alejándola, así que ${\vec{F}}_{23}$ apunta ahora hacia abajo y hacia la izquierda. Esta vez se anulan las partes verticales y se suman las laterales. La suma, $F_3=2\cdot 0,356\cdot 0,075/0,159\approx 0,34\mathrm{N}$, apunta a lo largo del riel, hacia el disco positivo.

Las mismas sumas cambian al moverse los discos. Para el par de signos iguales, la fuerza hacia arriba crece de forma continua a medida que los discos se acercan, de 0,17 N cuando están a 40 cm a 0,63 N a 15 cm. Para el par de signos opuestos, la fuerza lateral, $2Fa/r=2kq|q_3|a/(a^2+h^2{)}^{3/2}$, no es máxima en el máximo acercamiento, sino en $a=h/\sqrt{2}$, donde su derivada respecto de $a$ vale cero. Eso corresponde a una separación de $\sqrt{2}\cdot 0,14\approx 0,20\mathrm{m}$, y la fuerza allí es de 0,35 N. Con los discos más cerca, las fuerzas son mayores, pero además se inclinan hacia la vertical, donde las fuerzas del par de signos opuestos se anulan.

La superposición también permite describir lo que las cargas hacen a un punto antes de colocar nada en él. Pon en el punto una pequeña carga de prueba $q_0$ y divide entre $q_0$ la fuerza total que actúa sobre ella. El resultado, $\vec{E}=\vec{F}/q_0$, ya no depende de la carga de prueba: es el campo eléctrico, que se mide en newtons por culombio. Para cargas $q_j$ en las posiciones ${\vec{r}}_j$, el campo en el punto $\vec{r}$ es
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_j\frac{k{q}_j(\vec{r}-{\vec{r}}_j)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_j{|}^3}$
Cada término es la ley de Coulomb en forma vectorial: el vector $\vec{r}-{\vec{r}}_j$ dividido entre el cubo de su longitud es igual al vector unitario de $q_j$ al punto dividido entre el cuadrado de la distancia. Para una carga repartida con una densidad $\rho$ (carga por unidad de volumen), la suma se convierte en una integral de volumen. Una vez conocidas las cargas y sus posiciones, esta fórmula resuelve cualquier fuerza electrostática; la ley de Gauss, los potenciales y las líneas de campo son atajos hacia las mismas respuestas.

Vistos desde una distancia $d$ mucho mayor que su separación, el par de signos iguales actúa como una sola carga de 4 µC, cuyo campo decae como $1/d^2$. El par de signos opuestos no tiene carga neta: sus dos campos casi se cancelan, y lo que queda decae más deprisa, como $1/d^3$. Un par de cargas iguales y opuestas como este se llama dipolo eléctrico.

Por qué el exponente es exactamente 2

Nada en la forma vectorial obliga a que la potencia de $r$ sea 2; una ley con $1/r^{2,01}$ se vería casi igual. El 2 exacto importa porque desemboca en la ley de Gauss, una de las ecuaciones básicas del electromagnetismo, y porque puede comprobarse con una precisión extraordinaria. La magnitud clave es el flujo. Para un pequeño trozo plano de área $dA$ perpendicular al campo, el flujo es $EdA$, la intensidad del campo por el área. Si las líneas de campo se dibujan con una densidad proporcional a $E$, el flujo cuenta las líneas que atraviesan el trozo.

Leyenda

$q$	Carga puntual en el vértice del cono.	$\mathrm{C}$
$d\Omega$	Ángulo sólido del cono: el área que recorta en una esfera de radio 1.	$\mathrm{sr}$
$r$	Distancia de $q$ al trocito más cercano.	$\mathrm{m}$
$dA$	Área del trocito cercano, que mira de frente a la carga.	${\mathrm{m}}^2$
$E$	Campo de $q$ en el trocito cercano.	$N/C$
$E/4$	Campo al doble de distancia: una cuarta parte de $E$.	$N/C$

La figura 3 muestra cómo encajan el exponente y la geometría del espacio. Un cono estrecho sale de la carga puntual $q$. Su abertura se mide con el ángulo sólido $d\Omega$: el área que el cono recorta en una esfera de radio 1 centrada en su vértice, en estereorradianes (una esfera entera son $4\pi$). A la distancia $r$ el cono recorta un trocito que mira hacia la carga, de área $dA=r^{2}d\Omega$. A $2r$ el cono es el doble de ancho en las dos direcciones, así que el trocito de allí tiene cuatro veces el área, $4dA$.

Compara ahora los campos en los dos trocitos, las dos flechas azules. La ley de Coulomb da $E=kq/r^2$ en el trocito cercano y una cuarta parte de eso, $E/4$, en el lejano. El flujo a través del trocito cercano es $EdA=(kq/r^2)(r^{2}d\Omega )=kqd\Omega$, y el flujo a través del lejano, $(E/4)(4dA)$, es el mismo. El $r^2$ del denominador de la ley cancela el $r^2$ del área. Así, el flujo a través de cualquier trocito que recorta el cono depende solo del ángulo sólido $d\Omega$, no de lo lejos que esté.

A continuación, rodea $q$ con una esfera de radio $r$ centrada en ella. En esta esfera el campo tiene el mismo módulo en todas partes y cruza la superficie en ángulo recto, de modo que el flujo total es el campo por el área entera:
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$
El círculo del signo integral indica que la superficie es cerrada. El vector $d\vec{A}$ es un trocito de la superficie, de longitud $dA$ y dirigido hacia fuera, y el producto escalar se queda solo con la parte del campo que atraviesa el trocito. El radio ha desaparecido, así que todas las esferas reciben el mismo flujo, y el $4\pi$ colocado en $k$ cancela el $4\pi$ del área de la esfera.

La forma de la superficie tampoco importa. Corta cualquier superficie cerrada alrededor de $q$ en trocitos, cada uno visto desde $q$ bajo cierto ángulo sólido $d\Omega$. Un trocito inclinado es mayor, pero el campo lo cruza oblicuamente, y los dos efectos se cancelan, de modo que cada trocito sigue recibiendo el flujo $kqd\Omega$. Los ángulos sólidos suman $4\pi$, lo que da de nuevo $q/{\epsilon }_0$. Para una carga exterior a la superficie, cada cono delgado entra en la superficie tantas veces como sale, con el flujo que entra igual al que sale: la carga no aporta nada. Esa es la ley de Gauss: el flujo que sale de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada dividida entre ${\epsilon }_0$.

El argumento solo funciona con el exponente 2. Para una fuerza $F\propto 1/r^{2+\delta }$, el flujo a través de una esfera variaría como $r^{-\delta }$. Sería distinto entre dos esferas sin ninguna carga entre ellas, como si en el espacio vacío aparecieran o desaparecieran líneas de campo.

Dos consecuencias hacen medible el exponente. Primero, una corteza esférica delgada con carga uniforme actúa en el exterior como si toda su carga estuviera en su centro y no ejerce ninguna fuerza sobre una carga situada en su interior. Para ver el caso interior con la idea de la figura 3, traza un doble cono delgado por un punto del interior de la corteza. Corta la corteza en dos trocitos, a las distancias $r_1$ y $r_2$. Una recta que atraviesa una esfera la corta con el mismo ángulo en los dos extremos, así que los dos trocitos están igual de inclinados y sus áreas, y por tanto sus cargas, están en la razón $r_1^2:r_2^2$. Cada trocito actúa con una fuerza proporcional a su carga dividida entre el cuadrado de su distancia, de modo que el trocito cercano, pequeño, actúa exactamente con tanta fuerza como el lejano, grande, en sentido contrario. Segundo, el campo en el interior de un conductor hueco cerrado y vacío, de cualquier forma, es cero, sea cual sea la carga que se ponga en el conductor.

Buscar estos ceros es una prueba de resultado nulo. En lugar de medir la fuerza a muchas distancias, lo que es difícil de hacer con precisión, se carga un conductor cerrado y se busca cualquier campo o carga en su interior. Si el exponente difiriera de 2, algo aparecería, de modo que no encontrar nada es mucho más sensible. Henry Cavendish lo hizo en 1773 y halló que el exponente difiere de 2 en menos de 0,02; un experimento con cortezas de 1971 llevó $\delta$ por debajo de unas pocas partes en $10^{16}$. A distancias atómicas, de unos $10^{-10}\mathrm{m}$, los niveles de energía del hidrógeno, calculados con el potencial $1/r$ más pequeñas correcciones cuánticas, coinciden con las mediciones con una precisión extraordinaria. En términos modernos, una ley exacta del inverso del cuadrado significa que el fotón, la partícula que transmite la fuerza eléctrica, no tiene masa.

Energía y la gráfica fuerza–distancia

Como la fuerza cambia con la distancia, la segunda ley de Newton da la aceleración en cada instante pero no, sin mucho trabajo, la rapidez tras un empuje largo. El trabajo y la energía la dan de un solo paso, y una gráfica de la fuerza frente a la distancia muestra de dónde sale la energía.

Leyenda

$r$	Separación de las cargas.	$\mathrm{m}$
$F$	Módulo de la fuerza repulsiva, $k{q}^2/r^2$.	$\mathrm{N}$
$U$	Energía potencial del par, $k{q}^2/r$, nula a separación infinita.	$\mathrm{J}$
$r_a$	Separación inicial.	$\mathrm{m}$
$r_b$	Separación final.	$\mathrm{m}$
$F_a$	Fuerza en $r_a$.	$\mathrm{N}$
$F_b$	Fuerza en $r_b$.	$\mathrm{N}$
$U_a$	Energía potencial en $r_a$.	$\mathrm{J}$
$U_b$	Energía potencial en $r_b$.	$\mathrm{J}$
$W$	Trabajo de la repulsión de $r_a$ a $r_b$: el área sombreada, igual a la caída $U_a-U_b$.	$\mathrm{J}$

La figura 4 tiene dos gráficas para las dos cargas iguales $q=2\mu \mathrm{C}$ de los discos, ambas frente a su separación $r$. La gráfica superior muestra el módulo de la fuerza, $F=k{q}^2/r^2$. La inferior muestra la energía potencial del par, $U=k{q}^2/r$, que deducen los párrafos siguientes. Aquí $k{q}^2=8,99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2\approx 0,03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$. Los discos se mueven entre $r_a=15\mathrm{cm}$ y $r_b=40\mathrm{cm}$. En la gráfica superior los puntos marcan $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$ y $F_b\approx 0,22\mathrm{N}$; en la inferior marcan $U_a\approx 0,240\mathrm{J}$ y $U_b\approx 0,090\mathrm{J}$.

La curva de la fuerza es más empinada con $r$ pequeño. Derivar $k{q}^2{r}^{-2}$ da la pendiente $dF/dr=-2F/r$: unos $-1,1N/m$ a 40 cm y $-21N/m$ a 15 cm, un factor de $(40/15{)}^3\approx 19$. La gráfica experta de la animación traza la misma curva en ejes ordinarios. Mientras los discos oscilan entre 40 y 15 cm, su punto verde se desliza por ella entre 0,22 N y 1,60 N y se dispara en el extremo izquierdo. En ejes logarítmicos, la misma curva sería una recta de pendiente $-2$, el exponente de la ley.

Veamos ahora el trabajo. Cuando los discos se separan un pequeño paso $dr$, la repulsión realiza el trabajo $Fdr$: una franja delgada de área bajo la curva superior. Al sumar las franjas de $r_a$ a $r_b$ se obtiene el área sombreada $W$ de la figura 4:
$W={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}dr=k{q}_1{q}_2\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
El resultado es una función de $r$ tomada al principio menos la misma función tomada al final. Si llamamos a esa función energía potencial, $U(r)=k{q}_1{q}_2/r$, el trabajo es $W=U(r_a)-U(r_b)$: la fuerza trabaja gastando energía potencial. Se podría sumar una constante a $U$ sin cambiar ninguna diferencia; la forma de arriba hace que $U$ valga cero a separación infinita, donde la fuerza se anula. Leído al revés, la fuerza es menos la pendiente de la energía, $F=-dU/dr$ a lo largo de la recta que une las cargas.

Entre 15 y 40 cm el área sombreada es $W=0,03596\cdot (1/0,15-1/0,40)\approx 0,150\mathrm{J}$. En la gráfica inferior esos mismos 0,150 J aparecen como la caída de $U_a$ a $U_b$, marcada por la llave $W$: $0,240-0,090=0,150\mathrm{J}$.

La animación muestra los dos signos. En la fase de repulsión, la mano que empuja uno hacia otro a los discos de signos iguales, de 40 a 15 cm, realiza 0,150 J de trabajo contra la repulsión, y el par los almacena. En la fase de atracción, $q_1{q}_2<0$, así que $U$ es negativa: baja de $-0,090$ a $-0,240\mathrm{J}$ cuando los discos se acercan de 40 a 15 cm, y ahora es el campo quien realiza los 0,150 J de trabajo.

Problema resuelto: soltar los discos

Supón que cada disco tiene una masa de 20 g y que el par de cargas del mismo signo se suelta desde el reposo, a 15 cm uno de otro, sobre el riel sin rozamiento. Calcula la aceleración inicial de cada disco y su rapidez cuando están a 40 cm uno de otro y cuando están muy lejos.

Al principio cada disco siente la fuerza $F_a\approx 1,60\mathrm{N}$, así que, por la segunda ley de Newton, su aceleración es $1,60/0,020\approx 80m/{\mathrm{s}}^2$, unas ocho veces $g$. La fuerza se debilita al separarse los discos, de modo que la aceleración no es constante y las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado no sirven. Lo resuelve la energía.

Hacen falta dos hechos. Las fuerzas sobre los dos discos son iguales y opuestas, así que la cantidad de movimiento total sigue siendo nula; con masas iguales, los discos se mueven con la misma rapidez y en sentidos opuestos respecto a un punto medio fijo. Y la energía se conserva: la energía cinética de los dos discos juntos es igual a la caída de la curva inferior de la figura 4 desde $r_0=0,15\mathrm{m}$ hasta la separación actual $r$:
$2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2=m{v}^2=U(r_0)-U(r)$

A 40 cm la caída es de los 0,150 J hallados antes, así que $m{v}^2=0,150\mathrm{J}$ y $v=\sqrt{0,150/0,020}\approx 2,74m/s$. Muy lejos $U\to 0$, de modo que los 0,240 J se convierten por entero en energía cinética: $m{v}^2=0,240\mathrm{J}$ y $v=\sqrt{0,240/0,020}\approx 3,46m/s$.

Cuando la separación ha crecido de 15 a 40 cm, el par ha liberado la fracción $1-U_b/U_a=1-15/40=0,625$ de su energía almacenada. La rapidez crece como la raíz cuadrada de la energía cinética, así que los discos ya tienen $\sqrt{0,625}\approx 0,79$ de su rapidez final: un empuje del inverso del cuadrado actúa con fuerza y durante poco tiempo. El par que se atrae hace correr la película al revés: soltados desde el reposo a 40 cm, los discos pasan por la marca de 15 cm a 2,74 m/s cada uno, moviéndose el uno hacia el otro.

Límites de validez

La ley de Coulomb es una ley de cargas en reposo, en el vacío y a distancias ordinarias. Cada una de estas condiciones marca un límite.

Las cargas en movimiento ejercen además fuerzas magnéticas. Para dos cargas que se mueven una junto a otra con rapidez $v$, la fuerza magnética es una fracción del orden de $v^2/c^2$ de la eléctrica. Además, cuando una carga se mueve, el cambio llega a la otra solo tras el tiempo de viaje $r/c$, 0,5 ns a lo largo de 15 cm. Para los discos de la animación, más lentos que 0,07 m/s, $v^2/c^2\approx 5\times 10^{-20}$; incluso a los 3,46 m/s del problema resuelto es solo de unos $10^{-16}$. En un haz de un acelerador, en cambio, los electrones se mueven tan cerca de $c$ que la atracción magnética entre ellos casi cancela su repulsión eléctrica. La carga en sí es la misma a cualquier velocidad.

En un medio aislante, las moléculas se polarizan: sus cargas se desplazan un poco, y las cargas desplazadas apantallan en parte las dos cargas entre sí. La fuerza se divide entre la permitividad relativa ${\epsilon }_r$ del medio, unos 80 en el agua. Por eso la sal se disuelve. Separar un ion de sodio y un ion de cloruro en contacto, a 0,28 nm uno de otro, cuesta unos 5 eV en el vacío pero, a grandes rasgos, $5/80\approx 0,06\mathrm{eV}$ en agua, solo unas pocas veces la energía térmica a temperatura ambiente (0,026 eV).

El aire limita la carga que puede mantener un cuerpo: sufre una ruptura dieléctrica y produce chispas con campos cercanos a $E_{\max }=3MV/m$. El campo en la superficie de una esfera de radio $R$ con carga $Q$ es $kQ/R^2$, así que la carga no puede superar unos $E_{\max }{R}^2/k$: 33 nC para $R=1\mathrm{cm}$. Cargas de microculombios como las de la animación exigen esferas grandes (2 µC piden un radio de unos 8 cm) o vacío.

A distancias nucleares la fuerza es enorme: dos protones a 2 fm ($1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$) se repelen con unos 58 N, el peso de una masa de 6 kg, actuando sobre una sola partícula. Solo la interacción fuerte, de corto alcance, mantiene unidos los núcleos; en los núcleos pesados, con muchos protones, la repulsión eléctrica gana terreno, lo que hace posible la fisión. Tampoco el protón es un punto: su carga se reparte en un radio de unos 0,84 fm. Por último, en la electrodinámica cuántica, la teoría cuántica de la fuerza eléctrica, pares electrón–positrón de vida muy corta apantallan en parte toda carga. Por debajo de unos $10^{-12}\mathrm{m}$ este apantallamiento se debilita y la fuerza crece algo más deprisa que $1/r^2$, un efecto que se observa en el espectro del hidrógeno.

Lo que viene después

El campo introducido más arriba es la herramienta principal de Campo y potencial eléctricos, donde la energía $U=k{q}_1{q}_2/r$ se convierte en el potencial $V=kQ/r$, energía por unidad de carga, y donde la ley de Gauss da campos sin necesidad de sumar. Condensadores pone a trabajar ${\epsilon }_0$ y ${\epsilon }_r$. La gravitación tiene la misma forma del inverso del cuadrado, así que lo que muestra Gravitación y órbitas sobre las órbitas circulares vale también para un electrón que gira alrededor de un núcleo en Modelos atómicos: el átomo de Bohr. Fuerza magnética sobre cargas en movimiento añade la fuerza entre cargas en movimiento, que la relatividad une con esta, y Ondas electromagnéticas muestra cómo se propagan los cambios a la velocidad $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$, donde ${\mu }_0$ es la constante magnética. Partículas y fuerzas: el modelo estándar describe la fuerza eléctrica como un intercambio de fotones.