库仑定律

入门

两个带电物体不接触也能相互推拉。库仑定律告诉我们推拉的方向，以及力有多大。

第 1 步：方向。同种电荷（+ 与 +，或 − 与 −）相互推开；异种电荷（+ 与 −）相互吸引。

第 2 步：电荷量。电荷越多，力越强。一个物体的电荷加倍，力加倍；两个物体的电荷都加倍，力变为原来的四倍。

第 3 步：距离。距离的影响更大。两个电荷相距加倍，力降为四分之一；相距三倍，力降为九分之一。距离减半，力则变为四倍。引力遵循完全相同的“平方反比”规律。

第 4 步：单位。电荷的单位是库仑。一库仑非常大，约等于六百亿亿个电子的电荷量，因此摩擦过的气球所带的电荷还不到百万分之一库仑（不足一微库仑）。

第 5 步：公平分配。两个物体受到的力大小相同、方向相反，即使其中一个的电荷远多于另一个。

自检：两个小带电球相距 10 cm 时，相互推力为 8 个单位。相距 20 cm 时，推力是多少？（2 个单位：距离加倍，力降为四分之一。）

动画中，两个带电滑块沿轨道靠近，然后再分开。前半段两者都带正电，绿色箭头把它们推开；后半段其中一个变为负电，箭头则把它们拉到一起。注意：滑块相距较远时箭头很小，靠近时箭头猛然变长。

中级

测量什么：电荷与距离

库仑定律联系两个电荷以及它们之间的距离。电荷的单位是库仑（C），并且有正负之分。电荷总是元电荷 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$（质子的电荷）的整数倍；电子带电 $-e$。一库仑非常大，因此日常静电荷常用微库仑（$1\mu \mathrm{C}=10^{-6}\mathrm{C}$）和纳库仑（$1\mathrm{nC}=10^{-9}\mathrm{C}$）来表示。动画中每个滑块的电荷量为 2 µC，相当于约 $1.25\times 10^{13}$ 个元电荷。

距离 $r$ 是两个物体中心之间的距离。该定律对点电荷严格成立，也适用于尺寸远小于间距的物体，以及均匀带电球体（球外的作用与全部电荷集中于球心时相同）。计算前先把所有量换算为 SI 单位：$2\mu \mathrm{C}=2\times 10^{-6}\mathrm{C}$，$15\mathrm{cm}=0.15\mathrm{m}$。

库仑定律

相距为 $r$ 的两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 彼此推拉，其力的大小为
$F=\frac{k|q_1{q}_2|}{r^2}$
其中 $k$ 是库仑常量：
$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\approx 8.99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$

力沿两电荷的连线作用：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。力的大小与每个电荷成正比：一个电荷加倍，力加倍；两个电荷都加倍，力变为四倍。力还与距离的平方成反比：距离加倍，力为原来的四分之一；距离为三倍，力为九分之一；距离减半，力变为四倍。引力遵循同样的平方反比规律。

这里 ${\epsilon }_0\approx 8.85\times 10^{-12}F/m$ 是真空介电常数。$k$ 的数值说明电力有多强：相距 1 m 的两个 1 C 电荷会以 $9\times 10^9\mathrm{N}$ 的力相互排斥，约相当于 90 万吨的重量。

大小相等、方向相反的力

每个电荷都会作用于另一个电荷，这两个力构成牛顿第三定律的一对作用力与反作用力。设 ${\vec{F}}_{12}$ 为 $q_1$ 施于 $q_2$ 的力，${\vec{F}}_{21}$ 为 $q_2$ 施于 $q_1$ 的力，则
${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$
即使两个电荷的电荷量不同，两力的大小也相等，因为二者都包含相同的乘积 $q_1{q}_2$：相距 30 cm 的 1 µC 与 4 µC 电荷，各自受到 $8.99\times 10^9\cdot 4\times 10^{-12}/0.30^2\approx 0.40\mathrm{N}$ 的力。

相等的力并不意味着运动相等：根据牛顿第二定律，每个物体的加速度为 $a=F/m$，因此一个轻的带电小珠会被猛烈推离一个几乎不动的重带电球。乘积的符号决定方向：$q_1{q}_2>0$ 时电荷相互推开，$q_1{q}_2<0$ 时它们相互拉近。这就是大小公式使用 $|q_1{q}_2|$ 的原因。

例题：动画中的滑块

每个滑块的电荷量为 2 µC，它们之间的距离在 40 cm 与 15 cm 之间往复变化。先算出不随时间变化的乘积：
$k|q_1{q}_2|=8.99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2=0.03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$
在最近处，$r=0.15\mathrm{m}$，因此
$F=\frac{0.03596}{0.15^2}=\frac{0.03596}{0.0225}\approx 1.60\mathrm{N}$

在最远处，$r=0.40\mathrm{m}$，力为 $0.03596/0.16\approx 0.22\mathrm{N}$。这两个数值是 $r$ 和 $F$ 读数的极值。距离变化的倍数为 $40/15\approx 2.67$，力变化的倍数为 $2.67^2\approx 7.1$，因此在最近处绿色箭头约为最远处的七倍长。在 30 cm 处，读数经过 0.40 N，即 15 cm 处数值的四分之一。

6 s 后，右侧滑块变为负电。由于力的大小只取决于 $|q_1{q}_2|$ 和 $r$，读数会完全重复，但两个箭头会调转方向，指向彼此。标记为 $F_{12}$ 和 $F_{21}$ 的两个箭头，长度始终相同。

例题：两个挂在细线上的带电小球

两个完全相同的小球质量均为 2.0 g，用绝缘细线悬挂于同一点，悬点到每个球心的距离为 40 cm。两球带等量电荷，它们相互推开并最终静止，球心之间相距 12 cm。求每个球所带的电荷量。

每个小球在其重力 $mg$、细线拉力以及水平方向的库仑推力作用下保持平衡。细线与竖直方向的夹角为 $\theta$，$\sin \theta =0.06/0.40=0.15$，因此 $\theta \approx 8.6^{\circ }$，$\tan \theta \approx 0.152$。细线拉力的竖直分量与重力平衡，其水平分量与电场力平衡，于是
$F=mg\tan \theta =0.0020\cdot 9.81\cdot 0.152\approx 2.98\times 10^{-3}\mathrm{N}$

由库仑定律解出电荷，取 $q_1=q_2=q$，得
$q=r\sqrt{\frac{F}{k}}=0.12\cdot \sqrt{\frac{2.98\times 10^{-3}}{8.99\times 10^9}}\approx 6.9\times 10^{-8}\mathrm{C}$
每个小球约带 69 nC，相当于 $4.3\times 10^{11}$ 个元电荷。电场力只有重力的 15 %，却能明显地把两球分开。若每个小球的电荷泄漏一半，12 cm 处的力将降为四分之一，两球便会下垂并靠得更近。

多个电荷：力的叠加

当电荷多于两个时，应分别计算每个电荷单独作用时的力（即假设其他电荷不存在），再把结果作矢量相加。这就是叠加原理：
${\vec{F}}_{\mathrm{net}}=\sum {\vec{F}}_i\text{(superposition)}$

当两个滑块相距 30 cm 时，在它们正中间放一个电荷量为 $-0.5\mu \mathrm{C}$ 的小电荷。每个滑块对它的作用力为 $8.99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0.5\times 10^{-6}/0.15^2\approx 0.40\mathrm{N}$。若两个滑块都带正电，它们对该电荷的拉力方向相反，合力为零。若右侧滑块带负电，则一个拉、一个推，两力都指向左侧，合力共 0.80 N，指向带正电的滑块。专家层把小电荷移离连线，此时必须用矢量作图求和。

常见错误

• 忘记换算单位：把每个 2 µC 电荷写成 2，会使力放大 $10^{12}$ 倍；把 15 cm 写成 15，会使力缩小 10 000 倍。
• 没有把距离平方：除以 $r$ 而不是 $r^2$，会把 15 cm 处的 1.60 N 变成 0.24，而这甚至不是力（其单位为 N·m）。
• 以为电荷大的物体受到的力也大：相距 30 cm 的 1 µC 与 4 µC 电荷，两者受到的力都是 0.40 N。
• 在表面之间测量 $r$：两个半径为 2 cm 的球，表面相距 11 cm，则球心相距 15 cm；若用 11 cm，会把力高估 $(15/11{)}^2\approx 1.9$ 倍。
• 把正负号当作大小：相距 15 cm 的 $+2$ 与 $-2\mu \mathrm{C}$ 电荷给出 $k{q}_1{q}_2/r^2=-1.60\mathrm{N}$，但负号只表示吸引；大小为 1.60 N。

应用实例

只要有意地移动电荷，库仑定律就在起作用。激光打印机和复印机在鼓上形成电荷图案，从而吸附碳粉；静电除尘器使烟囱中的烟尘颗粒带电，并把它们收集到带相反电荷的极板上；汽车工厂使油漆微滴带电，使其能够均匀地包覆车身。

更重要却看不见的是：电力把原子和分子束缚在一起。在氢原子中，质子以 $8.2\times 10^{-8}\mathrm{N}$ 的力吸引相距约 $5.3\times 10^{-11}\mathrm{m}$ 的电子，这一力比二者的引力大 $10^{39}$ 倍以上。化学以及固体的刚性都源于这种力，而物质中正负电荷几乎完全平衡，又使这种力得到了“驯服”。《电场与电势》通过每个电荷产生的电场描述同一种力，《电容器》则说明分离的电荷如何储存能量。

高级

矢量形式的定律

中级层给出了力的大小 $F=k|q_1{q}_2|/r^2$，以及一条单独的方向规则：同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。一旦有多个电荷同时作用，力就必须按矢量相加，因此把大小与方向写进同一个公式很有好处。这只需要一种给位置命名的方法。

图例

$q_1$	第一个电荷。	$\mathrm{C}$
$q_2$	第二个电荷。	$\mathrm{C}$
$O$	原点：测量位置时所用的任一固定点。
${\vec{r}}_1$	$q_1$ 的位置，为从 $O$ 出发的箭头。	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2$	$q_2$ 的位置，为从 $O$ 出发的箭头。	$\mathrm{m}$
${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$	从 $q_1$ 指向 $q_2$ 的箭头；其长度即为电荷之间的距离 $r$。	$\mathrm{m}$
${\hat{r}}_{12}$	由 $q_1$ 指向 $q_2$ 的单位矢量：箭头 ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$ 除以其长度 $r$。
${\vec{F}}_{12}$	$q_1$ 施于 $q_2$ 的力。	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{21}$	$q_2$ 施于 $q_1$ 的力：大小与 ${\vec{F}}_{12}$ 相同，方向相反。	$\mathrm{N}$

图 1 中，电荷 $q_1$ 与 $q_2$ 位于位置 ${\vec{r}}_1$ 与 ${\vec{r}}_2$，箭头均从原点 $O$ 出发。观察由三条橙色箭头构成的三角形。从 $O$ 出发到达 $q_1$，再继续到 $q_2$，终点与直接箭头 ${\vec{r}}_2$ 的终点相同，所以 ${\vec{r}}_1+({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)={\vec{r}}_2$，而第三边 ${\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1$ 是从 $q_1$ 指向 $q_2$ 的箭头。它不依赖于 $O$ 的位置，只取决于电荷的位置，这正是两电荷之间作用力应有的性质。

这个箭头的长度就是电荷之间的距离 $r=|{\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1|$。把该箭头除以它自身的长度，方向保持不变，长度则变为 1。得到的单位矢量（帽子符号表示长度为 1 的矢量）
${\hat{r}}_{12}=({\vec{r}}_2-{\vec{r}}_1)/r$
即图中的蓝色短箭头，由 $q_1$ 指向 $q_2$。借助它，$q_1$ 施于 $q_2$ 的力为
${\vec{F}}_{12}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$
其中 $k\approx 8.99\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ 是库仑常量。此时电荷以带符号的形式出现，而不再只是大小。

符号本身就决定了方向。图 1 中两个电荷都是正电荷，因此 $q_1{q}_2>0$：${\hat{r}}_{12}$ 前面的系数为正，而 ${\vec{F}}_{12}$（作用在 $q_2$ 上的绿色箭头）沿 ${\hat{r}}_{12}$ 方向，即背离 $q_1$。这就是排斥。若其中一个电荷为负，则 $q_1{q}_2<0$，同一公式会使力反向，指向 $q_1$：即吸引。无需额外的规则。

牛顿第三定律同样内含于其中。作用在 $q_1$ 上的力就是交换标号后的同一公式。交换标号会使 ${\hat{r}}_{12}$ 变为 ${\hat{r}}_{21}=-{\hat{r}}_{12}$，但乘积 $q_1{q}_2$ 与距离 $r$ 保持不变，因此 ${\vec{F}}_{21}=-{\vec{F}}_{12}$。图 1 中作用在 $q_1$ 上的绿色箭头 ${\vec{F}}_{21}$ 与 ${\vec{F}}_{12}$ 等长，方向相反。

该力也是有心力：它沿两电荷的连线作用，其大小只取决于二者的距离。这种力是保守力，因为它在两个间距之间所做的功与路径无关，因此存在势能，将在下文的能量部分给出。

在国际单位制中，库仑常量写作 $k=1/(4\pi {\epsilon }_0)$，其中 ${\epsilon }_0\approx 8.85\times 10^{-12}F/m$ 是真空介电常数。因子 $4\pi$ 是半径为 1 的球面面积。把它放进 $k$ 中，在这里看起来有些笨拙，但它使高斯定律和电容器公式中的 $4\pi$ 消失，而这些公式的使用频率要高得多。

夏尔-奥古斯丹·库仑于 1785 年通过测量扭秤的扭转建立了这一定律。直到 2019 年，国际单位制都将 $k$ 固定为精确值 $10^{-7}{c}^2\approx 8.98755\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$，其中 $c$ 为光速。此后，元电荷 $e$ 具有精确值，而 ${\epsilon }_0$ 改为通过测量得到；测量结果与旧的精确值相符，精度优于十亿分之一。

叠加与电场

仅有两个电荷时，矢量形式只是重新表述了我们已经知道的东西。它的价值在第三个电荷加入时才显现出来。实验表明，电力简单地相加：电荷所受的力等于其他每个电荷单独作用时所施力的矢量和，并且不因其余电荷的存在而改变。这一叠加原理是另一条实验事实，与平方反比律本身一样，是静电学的基础。

图例

$q_1$	左侧滑块的电荷，左右两图中都为正。	$\mathrm{C}$
$q_2$	右侧滑块的电荷：左图为正，右图为负。	$\mathrm{C}$
$q_3$	滑块下方的固定负电荷。	$\mathrm{C}$
${\vec{F}}_{13}$	左侧滑块施于 $q_3$ 的力。	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_{23}$	右侧滑块施于 $q_3$ 的力。	$\mathrm{N}$
${\vec{F}}_3$	作用在 $q_3$ 上的净力：矢量和 ${\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$。	$\mathrm{N}$
$r$	每个滑块到 $q_3$ 的距离，两者相同。	$\mathrm{m}$
$h$	$q_3$ 位于滑块连线下方的深度。	$\mathrm{m}$
$a$	每个滑块到两者中点的距离：即它们间距的一半。	$\mathrm{m}$

图 2 采用动画中专家层的装置。两个滑块各带电荷量 $q=2\mu \mathrm{C}$，沿直轨道滑动。一个固定电荷 $q_3=-0.5\mu \mathrm{C}$ 位于轨道下方深 $h=14\mathrm{cm}$ 处，正好在两滑块的中点之下。图中显示的是最近时刻，此时两滑块相距 15 cm，各自距离中点 $a=7.5\mathrm{cm}$。

先考虑一个滑块对 $q_3$ 的作用力。滑块、中点与 $q_3$ 构成一个直角三角形，直角边为 $a$ 和 $h$，因此每个滑块与 $q_3$ 的距离相同：
$r=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{0.075^2+0.14^2}\approx 0.159\mathrm{m}$
库仑定律给出每个力的大小，其方向沿连接滑块与 $q_3$ 的虚线：
$F=\frac{8.99\times 10^9\cdot 2\times 10^{-6}\cdot 0.5\times 10^{-6}}{0.159^2}\approx 0.356\mathrm{N}$
这些就是金色箭头 ${\vec{F}}_{13}$ 与 ${\vec{F}}_{23}$。由于距离相等，它们的长度也相同，只是方向不同。

要把它们相加，就把每个力分解为沿轨道的分量和垂直于轨道的分量。该力沿三角形的斜边 $r$ 方向，因此其沿轨道的分量为 $Fa/r$，垂直于轨道的分量为 $Fh/r$。

在左图中，两个滑块都带正电，因此各自把负电荷 $q_3$ 向自己的方向拉，即向上并偏向一侧。两者的侧向分量 $Fa/r$ 方向相反，相互抵消；两者的竖直分量 $Fh/r$ 则相加。二者之和 ${\vec{F}}_3={\vec{F}}_{13}+{\vec{F}}_{23}$，即虚线平行四边形的紫色对角线，因而竖直向上，其大小为
$F_3=2\cdot 0.356\cdot 0.14/0.159\approx 0.63\mathrm{N}$

在右图中，右侧滑块带负电，会把 $q_3$ 推开，因此 ${\vec{F}}_{23}$ 现在指向左下方。这一次竖直分量相互抵消，侧向分量相加。其和 $F_3=2\cdot 0.356\cdot 0.075/0.159\approx 0.34\mathrm{N}$ 沿轨道方向，指向带正电的滑块。

随着滑块移动，这些和也随之变化。对于同号一对，滑块靠近时向上的拉力稳定增大：间距为 40 cm 时为 0.17 N，间距为 15 cm 时为 0.63 N。对于异号一对，侧向拉力 $2Fa/r=2kq|q_3|a/(a^2+h^2{)}^{3/2}$ 并非在最近处最大，而是在 $a=h/\sqrt{2}$ 处取得最大值，此处其对 $a$ 的导数为零。这对应于间距 $\sqrt{2}\cdot 0.14\approx 0.20\mathrm{m}$，此处的拉力为 0.35 N。滑块越近，拉力越大，但它们的力也越来越趋向竖直方向，而异号一对的竖直分量恰好相互抵消。

叠加原理还让我们能够描述电荷对某点的作用，即使该点上尚未放置任何电荷。在该点放一个小试探电荷 $q_0$，再把它所受的总力除以 $q_0$。所得结果 $\vec{E}=\vec{F}/q_0$ 不再依赖于试探电荷，它就是电场，单位为牛顿每库仑。对于位于 ${\vec{r}}_j$ 处的电荷 $q_j$，在位置 $\vec{r}$ 处的电场为
$\vec{E}(\vec{r})={\sum }_j\frac{k{q}_j(\vec{r}-{\vec{r}}_j)}{|\vec{r}-{\vec{r}}_j{|}^3}$
其中每一项都是矢量形式的库仑定律：矢量 $\vec{r}-{\vec{r}}_j$ 除以其长度的立方，等于从 $q_j$ 指向该点的单位矢量除以距离的平方。对于以密度 $\rho$（单位体积的电荷量）分布的电荷，求和变为体积积分。一旦已知电荷及其位置，该公式便可确定所有静电力；高斯定律、电势与电场线都是得到相同答案的捷径。

若距离 $d$ 远大于两电荷的间距，则同号一对的作用如同一个 4 µC 的电荷，其场按 $1/d^2$ 衰减。异号一对的净电荷为零：两者的场几乎相互抵消，剩下的部分衰减得更快，按 $1/d^3$ 变化。这种大小相等、符号相反的一对电荷称为电偶极子。

为什么指数恰为 2

矢量形式本身并不要求 $r$ 的幂次为 2；$1/r^{2.01}$ 的定律看起来也大体相同。指数恰为 2 之所以重要，是因为它导出高斯定律，即电磁学的基本方程之一，并且可以用极高的精度检验。关键量是通量。对于面积为 $dA$、正对电场的小平面，通量为 $EdA$，即场强与面积之积。若电场线的疏密与 $E$ 成正比，则通量就是穿过该小面的电场线条数。

图例

$q$	锥体顶点处的点电荷。	$\mathrm{C}$
$d\Omega$	锥体的立体角：即它从半径为 1 的球面上切出的面积。	$\mathrm{sr}$
$r$	从 $q$ 到较近面的距离。	$\mathrm{m}$
$dA$	较近面的面积，该面正对电荷。	${\mathrm{m}}^2$
$E$	$q$ 在较近面处的场。	$N/C$
$E/4$	两倍距离处的场：为 $E$ 的四分之一。	$N/C$

图 3 展示了指数与空间几何如何相互配合。一个细锥体从点电荷 $q$ 发出。其张角由立体角 $d\Omega$ 度量：即以锥顶为中心、半径为 1 的球面上被锥体切割出的面积，单位为球面度（整个球面为 $4\pi$）。在距离 $r$ 处，锥体切出一小块正对电荷的面，面积为 $dA=r^{2}d\Omega$。在 $2r$ 处，锥体在两个方向上都宽了一倍，因此该处的面积为原来的四倍，即 $4dA$。

现在比较两块面上的场，即两个蓝色箭头。库仑定律给出近处面上的 $E=kq/r^2$，远处面上则为其四分之一，即 $E/4$。穿过近处面的通量为 $EdA=(kq/r^2)(r^{2}d\Omega )=kqd\Omega$，而穿过远处面的通量 $(E/4)(4dA)$ 与之相同。定律分母中的 $r^2$ 与面积中的 $r^2$ 相互抵消。因此，锥体切出的任意面上的通量只取决于立体角 $d\Omega$，而与该面离电荷多远无关。

接着，以 $q$ 为中心作一个半径为 $r$ 的球面包围它。在该球面上，场的大小处处相同，并且与表面垂直相交，因此总通量等于场乘以整个面积：
$\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{{\epsilon }_0}$
积分号上的圆圈表示该曲面是闭合的。矢量 $d\vec{A}$ 是曲面上的一小块，其长度为 $dA$，方向朝外；点积只保留穿过该小块的那部分场。半径已经消去，因此每个球面的通量都相同，而 $k$ 中的 $4\pi$ 与球面面积中的 $4\pi$ 相互抵消。

曲面的形状同样无关紧要。将围绕 $q$ 的任意闭合曲面切分为许多小块，每一小块从 $q$ 处所见的立体角为某个 $d\Omega$。倾斜的小块虽然面积更大，但场以斜角穿过它，两种效应相互抵消，因此每一小块仍接收到 $kqd\Omega$ 的通量。所有立体角之和为 $4\pi$，于是再次得到 $q/{\epsilon }_0$。对于位于曲面外的电荷，每个细锥体进入曲面的次数与离开的次数相同，流入与流出的通量相等，因此该电荷不作贡献。这就是高斯定律：穿出任意闭合曲面的通量，等于其内部电荷除以 ${\epsilon }_0$。

这一论证仅对指数 2 成立。若力 $F\propto 1/r^{2+\delta }$，则穿过球面的通量将以 $r^{-\delta }$ 变化。对于两个之间没有电荷的球面，它们的通量会不相等，仿佛电场线在空白空间中凭空产生或消失。

由此可得两个可测的推论。第一，均匀带电的薄球壳在壳外的作用，与全部电荷集中于球心时相同；而位于壳内的电荷不受任何力。要用图 3 的思路看壳内的情况，可以过壳内一点画一个细双锥。它在壳上切出两块面，距离分别为 $r_1$ 与 $r_2$。一条直线穿过球体时，在两端与球面的夹角相同，因此两块面的倾斜程度一致，它们的面积之比，也即其电荷之比，为 $r_1^2:r_2^2$。每块面以其电荷除以距离平方的比例施加作用力，因此近处的小块与远处的大块施加的力大小相等、方向相反。第二，任意形状的空心封闭导体内部的电场为零，无论导体上带有多少电荷。

寻找这些零值就是零场检验。与其在许多距离上精确测量力（这很困难），不如给一个封闭导体充电，并寻找其内部的任何场或电荷。若指数不等于 2，就会显现出来，因此“一无所获”本身就具有极高的灵敏度。亨利·卡文迪什于 1773 年做了这一实验，发现指数与 2 的差别小于 0.02；1971 年的一次球壳实验把 $\delta$ 压到 $10^{16}$ 分之几以下。在原子尺度，约 $10^{-10}\mathrm{m}$ 处，用 $1/r$ 势加上微小的量子修正计算得到的氢原子能级，与测量结果以极高的精度相符。用现代的话说，平方反比律精确成立，意味着传递电力的粒子——光子——没有质量。

能量与力-距离图像

由于力随距离变化，牛顿第二定律只能给出每一时刻的加速度，而要得到长时间推动之后的速率，通常需要大量计算。功与能量可一步得到答案，而力-距离图像则显示了能量的来源。

图例

$r$	电荷的间距。	$\mathrm{m}$
$F$	排斥力的大小，$k{q}^2/r^2$。	$\mathrm{N}$
$U$	两电荷系统的势能，$k{q}^2/r$，在无穷远处为零。	$\mathrm{J}$
$r_a$	起始间距。	$\mathrm{m}$
$r_b$	最终间距。	$\mathrm{m}$
$F_a$	$r_a$ 处的力。	$\mathrm{N}$
$F_b$	$r_b$ 处的力。	$\mathrm{N}$
$U_a$	$r_a$ 处的势能。	$\mathrm{J}$
$U_b$	$r_b$ 处的势能。	$\mathrm{J}$
$W$	斥力从 $r_a$ 到 $r_b$ 所做的功：即阴影面积，等于降幅 $U_a-U_b$。	$\mathrm{J}$

图 4 包含两幅图，均针对两个相等电荷 $q=2\mu \mathrm{C}$（即滑块的电荷），横坐标都是它们的间距 $r$。上图显示力的大小 $F=k{q}^2/r^2$。下图显示两者的势能 $U=k{q}^2/r$，后文将推导该式。这里 $k{q}^2=8.99\times 10^9\cdot (2\times 10^{-6}{)}^2\approx 0.03596\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2$。滑块在 $r_a=15\mathrm{cm}$ 与 $r_b=40\mathrm{cm}$ 之间运动。在上图中，圆点标出 $F_a\approx 1.60\mathrm{N}$ 与 $F_b\approx 0.22\mathrm{N}$；在下图中，圆点标出 $U_a\approx 0.240\mathrm{J}$ 与 $U_b\approx 0.090\mathrm{J}$。

力曲线在 $r$ 较小处最为陡峭。对 $k{q}^2{r}^{-2}$ 求导得斜率 $dF/dr=-2F/r$：在 40 cm 处约为 $-1.1N/m$，在 15 cm 处约为 $-21N/m$，两者之比为 $(40/15{)}^3\approx 19$。动画中专家层的图像以普通坐标轴绘制了同一曲线。滑块在 40 与 15 cm 之间往复运动时，其绿色圆点沿该曲线在 0.22 N 与 1.60 N 之间滑动，并在左端急剧上升。若采用对数坐标，同一曲线将是斜率为 $-2$ 的直线，斜率即为定律的指数。

现在看功。当两滑块分开一小段 $dr$ 时，斥力做的功为 $Fdr$：即上方曲线下方的一个细条面积。把从 $r_a$ 到 $r_b$ 的所有细条相加，得到图 4 中的阴影面积 $W$：
$W={\int }_{r_a}^{r_b}\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}dr=k{q}_1{q}_2\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)$
结果是某个 $r$ 的函数在起点的值减去其在终点的值。把该函数称为势能，$U(r)=k{q}_1{q}_2/r$，则功为 $W=U(r_a)-U(r_b)$：力通过消耗势能而做功。在 $U$ 上加一个常数不会改变任何差值；上式的形式使 $U$ 在无穷远处（那里力为零）为零。反过来看，力等于沿两电荷连线的势能斜率的负值，即 $F=-dU/dr$。

在 15 与 40 cm 之间，阴影面积为 $W=0.03596\cdot (1/0.15-1/0.40)\approx 0.150\mathrm{J}$。在下图中，同样的 0.150 J 表现为从 $U_a$ 降到 $U_b$ 的下降量，即括号 $W$ 所标示的部分：$0.240-0.090=0.150\mathrm{J}$。

动画展示了两种符号的情形。在排斥阶段，把同号滑块从 40 cm 推到 15 cm 的那只手，要克服斥力做 0.150 J 的功，这些能量被系统储存起来。在吸引阶段 $q_1{q}_2<0$，因此 $U$ 为负：当滑块从 40 cm 靠近到 15 cm 时，它从 $-0.090$ 降到 $-0.240\mathrm{J}$，此时由电场做 0.150 J 的功。

例题：让滑块自由运动

设每个滑块的质量为 20 g，同号的一对滑块在光滑轨道上从静止释放，相距 15 cm。求每个滑块的初始加速度，以及两滑块相距 40 cm 时与相距极远时的速率。

开始时，每个滑块受到的力为 $F_a\approx 1.60\mathrm{N}$，因此由牛顿第二定律，其加速度为 $1.60/0.020\approx 80m/{\mathrm{s}}^2$，约为 $g$ 的八倍。随着两滑块分开，力减弱，因此加速度并非恒定，匀加速运动的公式不再适用。此时改用能量方法。

需要两条事实。两滑块受到的力大小相等、方向相反，因此总动量保持为零；质量相等时，两滑块以相等速率、沿相反方向绕一个固定中点运动。能量守恒：两滑块的动能之和，等于图 4 下方曲线从 $r_0=0.15\mathrm{m}$ 下降到当前间距 $r$ 时的降幅：
$2\cdot \frac{1}{2}m{v}^2=m{v}^2=U(r_0)-U(r)$

在 40 cm 处，降幅为上文求得的 0.150 J，因此 $m{v}^2=0.150\mathrm{J}$，$v=\sqrt{0.150/0.020}\approx 2.74m/s$。极远处 $U\to 0$，因此全部 0.240 J 都转化为动能：$m{v}^2=0.240\mathrm{J}$，$v=\sqrt{0.240/0.020}\approx 3.46m/s$。

当间距从 15 增大到 40 cm 时，系统已释放了其储存能量的 $1-U_b/U_a=1-15/40=0.625$。速率随动能的平方根增长，因此滑块此时已达到其最终速率的 $\sqrt{0.625}\approx 0.79$ 倍：平方反比的推力既强烈又短暂。吸引的一对则将这一过程倒放：从 40 cm 处静止释放后，两滑块经过 15 cm 处时各以 2.74 m/s 的速率相向运动。

适用范围的限制

库仑定律是关于静止电荷、真空中、普通距离上的定律。以下每一条都标明了一个限制。

运动的电荷也会产生磁力。对于两个并排以速率 $v$ 运动的电荷，磁力约为电力的 $v^2/c^2$ 量级的一小部分。此外，当一个电荷运动时，其变化要经过时间 $r/c$ 才能传到另一个电荷，在 15 cm 距离上为 0.5 ns。对于动画中的滑块（速率慢于 0.07 m/s），$v^2/c^2\approx 5\times 10^{-20}$；即使是例题中的 3.46 m/s，也只有约 $10^{-16}$。相比之下，在加速器束流中，电子的速度非常接近 $c$，它们之间的磁吸引力几乎抵消了电排斥力。而电荷本身与速度无关。

在绝缘介质中，分子会发生极化：其电荷发生微小位移，位移后的电荷会部分屏蔽两个电荷之间的相互作用。此时力要除以介质的相对介电常数 ${\epsilon }_r$，水的该值约为 80。这正是食盐能够溶解的原因。相互接触、相距 0.28 nm 的钠离子与氯离子，在真空中将其分开需要约 5 eV，而在水中粗略地估计为 $5/80\approx 0.06\mathrm{eV}$，仅为室温下热能（0.026 eV）的几倍。

空气限制了物体能够容纳的电荷量：在约 $E_{\max }=3MV/m$ 的场强下，空气会被击穿并产生火花。半径为 $R$、带电荷 $Q$ 的球体表面场强为 $kQ/R^2$，因此电荷不能超过约 $E_{\max }{R}^2/k$：对于 $R=1\mathrm{cm}$，该值为 33 nC。动画中那样的微库仑级电荷需要较大的球体（2 µC 需要半径约 8 cm），或者需要真空。

在原子核尺度，电力非常强大：相距 2 fm（$1\mathrm{fm}=10^{-15}\mathrm{m}$）的两个质子之间的斥力约为 58 N，相当于 6 kg 物体的重量，而它只作用在单个粒子上。只有短程强相互作用才能将原子核束缚在一起；在质子数较多的重核中，电斥力逐渐占据上风，这使裂变成为可能。质子也不是点电荷：其电荷分布在约 0.84 fm 的半径范围内。最后，在量子电动力学（电力的量子理论）中，短寿命的电子-正电子对会部分屏蔽每一个电荷。在约 $10^{-12}\mathrm{m}$ 以下，这种屏蔽减弱，力会略快于 $1/r^2$ 增长，这一效应在氢原子光谱中可以观测到。

后续内容

上文引入的电场是《电场与电势》的主要工具，在那里，能量 $U=k{q}_1{q}_2/r$ 化为电势 $V=kQ/r$（单位电荷的能量），而高斯定律无需求和即可给出电场。《电容器》会用到 ${\epsilon }_0$ 与 ${\epsilon }_r$。引力具有相同的平方反比形式，因此《万有引力与轨道》中关于圆轨道的结论，同样适用于《原子模型：玻尔原子》中绕原子核运动的电子。《运动电荷受到的磁场力》补充了运动电荷之间的作用力，相对论正是把它与这里的电力联系起来；《电磁波》则说明变化如何以 $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ 的速度传播，其中 ${\mu }_0$ 为真空磁导率。《粒子与相互作用：标准模型》把电力描述为光子的交换。