Elastizität: hookesches Gesetz, Spannung und Dehnung

Einsteiger

Drück einen Schwamm zusammen, dehne ein Gummiband oder biege ein Plastiklineal und lass dann los: Jedes davon federt zurück.

Schritt 1. Elastisch oder nicht? Ein Material ist elastisch, wenn es nach dem Entfernen der Kraft wieder seine ursprüngliche Form annimmt. Nach diesem Test ist Stahl elastischer als Gummi: Er lässt sich viel schwerer verformen, federt aber fast perfekt zurück. Modelliermasse und Teig sind das Gegenteil: Sie behalten die Form, die man ihnen gibt.

Schritt 2. Hookes Regel. Hänge ein Gewicht an eine Feder, und sie dehnt sich ein wenig. Hänge ein zweites, gleiches Gewicht daran, und sie dehnt sich noch einmal um denselben Betrag: doppeltes Gewicht, doppelte Dehnung. Robert Hooke schrieb es 1678 als $F=kx$: Die Zugkraft $F$ ist gleich einer Zahl $k$ mal der Dehnung $x$.

Schritt 3. Steifigkeit. Die Zahl $k$ sagt, wie steif die Feder ist. Eine Spielzeugspiralfeder ist sehr weich (kleines $k$); die Fahrwerksfeder eines Autos ist sehr steif (großes $k$), deshalb dehnt dieselbe Last sie viel weniger.

Schritt 4. Energie und Grenzen. Eine gedehnte Feder speichert Energie und gibt sie beim Loslassen zurück: So funktionieren eine Schleuder oder ein Trampolin. Zieht man aber zu stark, überschreitet die Feder ihre Elastizitätsgrenze: Sie bleibt dauerhaft länger und kehrt nie zu ihrer ursprünglichen Länge zurück.

Kontrollfrage: Eine Feder dehnt sich unter einem Gewicht von 5 N um 2 cm. Wie weit dehnt sie sich unter 15 N, unterhalb ihrer Elastizitätsgrenze? (6 cm: dreifache Kraft, dreifache Dehnung.)

In der Animation werden gleiche Gewichte nacheinander angehängt. Jedes verschiebt den roten Zeiger um denselben Schritt auf dem Maßstab (die grünen Markierungen), und die grünen Balken wachsen in gleichen Schritten. Wenn die Gewichte abgehoben werden, kehrt die Feder genau zur gestrichelten Linie zurück, bei der sie begonnen hat.

Mittelstufe

Last, Verlängerung und Federkonstante

Hängt man eine Last an eine Feder, wird sie länger. Entscheidend ist die Längenänderung, die Verlängerung $x=L-L_0$, wobei $L_0$ die natürliche Länge und $L$ die Länge unter Last ist; in der Animation wird sie von der gestrichelten Linie aus gemessen. Eine zusammengedrückte Feder hat ein negatives $x$.

Robert Hooke veröffentlichte 1678, dass die Verlängerung innerhalb einer Grenze proportional zu der Kraft ist, die sie verursacht: Bei doppelter Last verdoppelt sich die Verlängerung.
$F=kx$

Die Konstante $k$ ist die Federkonstante oder Steifigkeit, in Newton pro Meter (N/m): die Kraft pro Meter Verlängerung, berechnet, indem man eine Last durch die Verlängerung teilt, die sie erzeugt:
$k=\frac{F}{x}$
Eine Spielzeugspiralfeder hat etwa 1 N/m, die Feder der Animation 25 N/m und eine Fahrwerksfeder im Auto rund 30 000 N/m.

Die Feder zieht mit einer gleich großen Rückstellkraft zurück, entgegen der Verlängerung: $F=-kx$, wenn das Vorzeichen eine Rolle spielt. Eine ruhende hängende Masse ist im Gleichgewicht, also $kx=mg$; so funktioniert eine Federwaage. In der Animation haben der blaue Pfeil $kx$ und der rote Pfeil $F$ immer dieselbe Länge; während ein Gewicht gesenkt wird, trägt der graue Tellerpfeil den Rest der Gewichtskraft.

Energie und das Kraft-Verlängerungs-Diagramm

Gegen die Verlängerung aufgetragen, ergibt die Last eine Gerade durch den Ursprung, deren Steigung $k$ ist: steil für eine steife Feder, flach für eine weiche. Die Punkte liegen nur bis zur Elastizitätsgrenze auf der Geraden. Darunter kehrt die Feder beim Entlasten genau zu ihrer natürlichen Länge zurück; darüber biegt sich die Linie ab, und die Feder bleibt dauerhaft länger, eine plastische Verformung.

Die Fläche unter der Geraden ist die Arbeit beim Dehnen, gespeichert als elastische potentielle Energie. Die Kraft wächst gleichmäßig von 0 auf $kx$, ihr Mittelwert ist also die Hälfte des Endwerts, und die Fläche ist ein Dreieck:
$U=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}Fx$
Die doppelte Verlängerung speichert die vierfache Energie; ein Bogen oder eine Schleuder gibt sie beim Loslassen wieder ab.

Federn in Reihe und parallel

Hängt man zwei Federn untereinander, also in Reihe, trägt jede die ganze Last, und die Verlängerungen addieren sich: $x=F/k_1+F/k_2$. Division durch $F$ ergibt
$\text{series}:\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

Hängt man die Last an zwei Federn nebeneinander, parallel, verbunden durch einen Balken, der ihre Verlängerungen gleich hält, teilen sie sich die Last, und ihre Kräfte addieren sich:
$\text{parallel}:k=k_1+k_2$

Zwei Federn wie die der Animation ergeben in Reihe 12,5 N/m und parallel 50 N/m: Ein Reihenpaar ist weicher als jede der beiden Federn, ein Parallelpaar steifer. Eine Feder besteht auch aus zwei Hälften in Reihe, jede Hälfte der Feder der Animation hätte also 50 N/m.

Rechenbeispiel: die Feder der Animation

Jedes Gewicht in der Animation wiegt 1,0 N (eine Masse von $1,0/9,81\approx 0,102\mathrm{kg}$) und bewegt den Zeiger 4,0 cm nach unten auf dem Maßstab. Aus der ersten Zeile der Tabelle folgt
$k=\frac{F}{x}=\frac{1,0\mathrm{N}}{0,040\mathrm{m}}=25N/m$

Die übrigen Zeilen, von 2,0 N bei 0,08 m bis 4,0 N bei 0,16 m, ergeben in der letzten Spalte dasselbe Verhältnis: Dieses konstante Verhältnis ist das hookesche Gesetz. Mit allen vier Gewichten gilt $x=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$. Das sind die Anzeigen für $F$ und $x$, sobald alle vier Gewichte hängen: 4,0 N und 16 cm; der grüne $x$-Pfeil überspannt 16 cm des Maßstabs.

Die gespeicherte Energie beträgt dann $U=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,16^2=0,32\mathrm{J}$, auch $\frac{1}{2}\cdot 4,0\cdot 0,16$. Nach einem, zwei und drei Gewichten waren es 0,02, 0,08 und 0,18 J: Jedes Gewicht fügt dieselben 4 cm hinzu, aber das vierte fügt 0,14 J hinzu, siebenmal so viel wie das erste, weil die Feder dann schon mit 3,0 N zieht. Wenn die Gewichte abgehoben werden, geht $x$ auf null zurück und die Energie kehrt zurück, denn 4,0 N liegen unter der Elastizitätsgrenze von 5,5 N (22 cm). Ein fünftes Gewicht wäre noch sicher; ein sechstes nicht.

Spannung, Dehnung und Elastizitätsmodul

Die Federkonstante gehört zu einem bestimmten Körper, nicht zu seinem Metall. Ein doppelt so langer Draht dehnt sich unter derselben Last doppelt so weit, und ein Draht mit doppelter Querschnittsfläche braucht für dieselbe Verlängerung die doppelte Kraft. Um das Material zu beschreiben, teilt man die Kraft durch die Fläche und die Verlängerung durch die ursprüngliche Länge:
$\sigma =\frac{F}{A},\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$

Die Spannung $\sigma$ wird in Pascal gemessen ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$, und $1\mathrm{MPa}=1N/m{\mathrm{m}}^2$); die Dehnung $\epsilon$ ist eine reine Zahl, oft in Prozent angegeben. Im linearen Bereich sind beide proportional, und ihr Verhältnis ist der Elastizitätsmodul:
$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$

Er beträgt etwa 200 GPa für Stahl, 70 GPa für Aluminium und Glas, 10 GPa für Holz in Faserrichtung und nur 0,01–0,1 GPa für Gummi. Zusammen ergeben die drei Beziehungen die Verlängerung jedes Drahtes oder Stabes:
$\Delta L=\frac{F{L}_0}{AE}$
Ein gleichmäßiger Draht ist also eine Feder mit $k=AE/L_0$: länger heißt weicher, dicker heißt steifer.

Rechenbeispiel: ein Stahldraht unter Last

Ein Stahldraht von 2,0 m Länge und 1,0 mm Durchmesser trägt eine Masse von 10 kg. Wie weit dehnt er sich? Die Last ist die Gewichtskraft, $F=mg=10\cdot 9,81=98,1\mathrm{N}$, und der Querschnitt ist ein Kreis:
$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (1,0\times 10^{-3}{)}^2}{4}=7,85\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$

Die Spannung ist $\sigma =98,1/(7,85\times 10^{-7})=1,25\times 10^8\mathrm{Pa}$, also 125 MPa. Division durch $E=200\mathrm{GPa}$ ergibt die Dehnung, $\epsilon =1,25\times 10^8/(2,0\times 10^{11})=6,25\times 10^{-4}$, etwa 0,06 %. Die Verlängerung ist
$\Delta L=\epsilon L_0=6,25\times 10^{-4}\cdot 2,0=1,25\times 10^{-3}\mathrm{m}$
oder 1,25 mm.

Als Feder hat der Draht $k=AE/L_0\approx 7,9\times 10^{4}N/m$, etwa 3000-mal steifer als die Feder der Animation. Seine Spannung von 125 MPa liegt etwa bei der Hälfte der Streckgrenze selbst von gewöhnlichem Baustahl, rund 250 MPa; er federt daher beim Entlasten vollständig zurück. Ein doppelt so dicker Draht mit der vierfachen Fläche würde sich nur etwa 0,31 mm dehnen.

Typische Fehler

• Die Länge statt der Verlängerung verwenden: Eine 20 cm lange Feder, die auf 24 cm gedehnt wird, hat $x=4\mathrm{cm}$, nicht 24 cm.
• cm und m verwechseln: 1,0 N über 4,0 cm ergibt $1,0/0,040=25N/m$, nicht $1,0/4,0=0,25$.
• Die Masse als Kraft verwenden: Eine Masse von 0,20 kg zieht mit ihrer Gewichtskraft, $0,20\cdot 9,81=1,96\mathrm{N}$, nicht mit 0,20 N.
• Den Faktor ½ vergessen: Bei 16 cm speichert die Feder der Animation $\frac{1}{2}Fx=0,32\mathrm{J}$, nicht $Fx=0,64\mathrm{J}$, weil die Kraft am Anfang der Dehnung kleiner war.
• Glauben, Federn in Reihe seien steifer: Zwei Federn mit je 25 N/m untereinander ergeben 12,5 N/m, weil jede die ganze Last trägt.

Wo es vorkommt

Federwaagen, Autofederungen, Matratzen, Unruhspiralen in Uhren und die Feder in einem Kugelschreiber beruhen alle auf $F=kx$. Elektronische Waagen verwenden Dehnungsmessstreifen, dünne Metallfolien, deren Widerstand sich beim Dehnen ändert und die auf Dehnungen von wenigen Millionstel reagieren. Brücken, Kräne und Flugzeuge werden so ausgelegt, dass alle Spannungen weit im linearen Bereich bleiben.

Eine Masse, die an einer Feder nach unten gezogen und losgelassen wird, schwingt; das ist das Thema der Harmonischen Schwingung und danach der Dämpfung und Resonanz. Die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper wird durch seinen Elastizitätsmodul bestimmt (Grundlagen der Wellen), und eine Schiene, die sich beim Erwärmen nicht ausdehnen kann, steht unter Spannung (Wärmeausdehnung).

Fortgeschritten

Warum kleine Verformungen linear sind

Legende

$U$	Potentielle Energie des Atompaars: die durchgezogene Kurve, von einem beliebigen Nullpunkt gemessen.	$\mathrm{J}$
$x$	Abstand zwischen den beiden Atomen.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Gleichgewichtsabstand, am Boden der Mulde.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Energie einer idealen Feder mit gleichem Boden und gleicher Krümmung: die gestrichelte Parabel.	$\mathrm{J}$
$k$	Steifigkeit dieser Feder, gleich der Krümmung $U^{\prime \prime }(x_0)$ der Mulde an ihrem Boden.	$N/m$

Das hookesche Gesetz besagt, dass die Kraft, die zur Verformung eines Körpers nötig ist, proportional zur Verformung ist. Es ist kein Grundprinzip wie die Energieerhaltung. So verhält sich fast jede glatte Kraft bei kleiner Auslenkung, und Abbildung 1 zeigt, warum.

Die durchgezogene Kurve $U$ ist die potentielle Energie zweier benachbarter Atome in einem Festkörper, aufgetragen gegen ihren Abstand $x$. Die Atome ziehen sich auf große Entfernung an und stoßen sich auf kurze Entfernung stark ab; beide Effekte sind elektrisch. Zusammen bilden sie eine Mulde, deren tiefster Punkt der Gleichgewichtsabstand $x_0$ ist. Links, wo die Atome zusammengedrückt werden, steigt die Kurve steil an. Rechts, wo sie auseinandergezogen werden, flacht sie ab, und weit genug draußen löst sich die Bindung.

Die gestrichelte Parabel $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ ist die Energie einer idealen Feder mit demselben Tiefpunkt und derselben Krümmung. Schau zuerst nahe $x_0$: Dort lassen sich die beiden Kurven kaum unterscheiden. Dann betrachte die beiden gestrichelten Senkrechten in gleichem Abstand links und rechts von $x_0$. Die Punkte auf ihnen zeigen, wo sich die Kurven trennen: Auf der zusammengedrückten Seite (links) liegt die echte Kurve über der Parabel, auf der gedehnten Seite (rechts) darunter.

Um das genau zu fassen, entwickle $U$ als Taylorreihe um das Minimum:
$U(x)=U(x_0)+U^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\frac{1}{6}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^3+\cdots$

Jeder Term trägt eine höhere Potenz der Auslenkung $x-x_0$, sodass für kleine Auslenkungen jeder deutlich kleiner ist als der vorige. Der erste Term ist eine Konstante und übt keine Kraft aus. Der zweite ist null, weil die Steigung von $U$ in einem Minimum verschwindet: $U^{\prime }(x_0)=0$. Differenziert man den Rest, erhält man die Kraft $F=-dU/dx$:
$F=-k(x-x_0)-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2,k=U^{\prime \prime }(x_0)$

Der erste Term ist das hookesche Gesetz. Für genügend kleine Auslenkungen ist er größer als der zweite, unabhängig von der Form der Mulde; deshalb gilt ein Gesetz für eine molekulare Bindung, ein Stahlseil und eine Brücke. Die Steifigkeit $k$ ist die Krümmung der Mulde an ihrem Boden, und $k>0$ ist genau die Bedingung für ein stabiles Gleichgewicht: Werden die Atome in eine der beiden Richtungen ausgelenkt, so werden sie zurückgedrückt.

Der zweite Term misst, wie schief die Mulde ist: Er ist der Abstand zwischen den beiden Kurven in Abbildung 1. Eine echte Bindung lässt sich schwerer zusammendrücken als dehnen, also gilt $U^{\prime \prime \prime }(x_0)<0$, und die Zusatzkraft $-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$ ist auf beiden Seiten positiv. Wird die Bindung gedehnt ($x>x_0$), wirkt sie gegen die rücktreibende Kraft, die Bindung wird weicher; wird sie gestaucht ($x<x_0$), verstärkt sie den rücktreibenden Druck, die Bindung wird steifer. Die Korrektur ist klein: Stahl bleibt nur bis zu Dehnungen (relative Längenänderungen) von etwa 0,1 % elastisch, und dort beträgt sie einen Bruchteil eines Prozents. Dieselbe Asymmetrie bewirkt jedoch, dass sich Festkörper beim Erwärmen ausdehnen.

Von einer Feder zu einem Material

Die Konstante $k$ gehört zu einer bestimmten Feder oder einem bestimmten Stab. Um ein Material zu beschreiben, brauchen wir eine Konstante, die nicht von der Größe der Probe abhängt, und zwei Gedankenexperimente zeigen, wodurch man teilen muss.

Lege zwei identische Blöcke Ende an Ende und ziehe. Jeder Block trägt dieselbe Kraft $F$, also dehnt sich jeder um denselben Betrag, und das Paar dehnt sich doppelt so weit wie ein Block: Das ist die Reihenregel. Die Verlängerung wächst proportional zur Länge, daher ist das längenunabhängige Maß der Verformung die Dehnung, die Verlängerung pro Einheit der ursprünglichen Länge, $\epsilon =\Delta L/L_0$.

Lege nun die beiden Blöcke nebeneinander. Um beide gleich weit zu dehnen, braucht man die doppelte Kraft: Das ist die Parallelregel. Die Kraft wächst proportional zur Querschnittsfläche $A$, daher ist das flächenunabhängige Maß der Belastung die Spannung, die Kraft pro Flächeneinheit, $\sigma =F/A$.

Bei einem gleichmäßigen Stab ist die Spannung proportional zur Dehnung, und die Proportionalitätskonstante $E$, der Elastizitätsmodul, gehört allein zum Material. Umgestellt liefert dasselbe Gesetz die Steifigkeit des Stabes:
$\frac{F}{A}=E\frac{\Delta L}{L_0},k=\frac{AE}{L_0}$

Ein kurzer, dicker Stab ist steif und ein langer, dünner weich, und doch beschreibt ein Wert von $E$ beide, wenn sie aus demselben Stahl sind.

Von atomaren Bindungen zum Elastizitätsmodul

Legende

$a$	Abstand benachbarter Atome.	$\mathrm{m}$
$k_b$	Steifigkeit einer Bindung, als Feder gezeichnet.	$N/m$
$L_0$	Länge des Stabes.	$\mathrm{m}$
$A$	Fläche der Endfläche, auf die die Last wirkt (die Platte, von der Kante gesehen): der Querschnitt des Stabes.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Last, die an der Endfläche des Stabes zieht.	$\mathrm{N}$

Der Elastizitätsmodul lässt sich aus den Atomen selbst abschätzen, indem man dieselben Reihen- und Parallelregeln anwendet. Abbildung 2 modelliert einen Kristall als kubische Anordnung von Atomen im Abstand $a$, wobei jede Bindung eine Feder mit der Steifigkeit $k_b$ ist. Der Stab der Länge $L_0$ ist links an der Wand befestigt und rechts durch die Kraft $F$ gezogen. Die dunkle Platte ist seine Endfläche mit der Fläche $A$, von der Kante gesehen.

Zähle zuerst quer über den Stab. Jedes Atom belegt ein Quadrat der Seitenlänge $a$ der Endfläche, also verlaufen $A/a^2$ Ketten von Atomen nebeneinander entlang des Stabes (in der Skizze drei). Zähle dann eine Kette ab: Sie besteht aus einer Reihe von $L_0/a$ Bindungen (in der Skizze fünf).

Kombiniere nun beide Zählungen. In Reihe teilen $L_0/a$ gleiche Federn die Verlängerung, daher ist eine Kette um diesen Faktor weicher als eine Bindung: Ihre Steifigkeit ist $k_b/(L_0/a)=k_{b}a/L_0$. Parallel teilen sich die Ketten die Last, daher addieren sich ihre Steifigkeiten:
$k=\frac{A}{a^2}\cdot \frac{k_{b}a}{L_0}=\frac{A}{L_0}\cdot \frac{k_b}{a}$

Der Vergleich mit $k=AE/L_0$ ergibt $E=k_b/a$: Der Modul ist die Steifigkeit einer Bindung, geteilt durch den Atomabstand.

Für Stahl ergeben $E=200\mathrm{GPa}$ und $a\approx 0,25\mathrm{nm}$ die Werte $k_b=Ea\approx 50N/m$, genau das Doppelte der 25 N/m der Feder der Animation. Eine einzelne Bindung ist nicht besonders steif. Der Modul ist nur deshalb so groß, weil so viele Ketten gemeinsam ziehen: $1/a^2$ davon, etwa $1,6\times 10^{19}$, kommen auf jeden Quadratmeter.

Gespeicherte Energie als Fläche unter der Geraden

Zurück zu einer einzelnen Feder, wobei $x$ nun für ihre Verlängerung aus der natürlichen Länge steht. Um sie von 0 auf $x$ gegen ihre eigene Kraft $k{x}^{\prime }$ zu dehnen, ist die Arbeit
$U={\int }_0^{x}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$ nötig.

Im $F$–$x$-Diagramm der Animation ist das das schraffierte Dreieck unter der Geraden mit der Grundlinie $x$ und der Höhe $kx$. Während der rote Punkt steigt, zeigt die Anzeige $U$ bei 1, 2, 3 und 4 N die Werte 0,02, 0,08, 0,18 und 0,32 J.

Betrachte eher die Zuwächse als die Summen: 0,02, 0,06, 0,10 und 0,14 J, im Verhältnis 1 : 3 : 5 : 7. Jedes Newton Last fügt 4 cm Verlängerung hinzu, und jeder 4-cm-Streifen des Dreiecks ist ein Trapez, dessen mittlere Höhe 0,5, 1,5, 2,5 und 3,5 N beträgt. Spätere Streifen kosten mehr, weil die Feder schon zieht, wenn sie beginnen. Aus demselben Grund kostet das Dehnen von $x_1$ auf $x_2$ $\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$, nicht $\frac{1}{2}k(x_2-x_1{)}^2$.

Für einen Stab ergibt dasselbe Dreieck $U=\frac{1}{2}F\Delta L=\frac{1}{2}(\sigma A)(\epsilon L_0)$. Teilt man durch das Volumen $A{L}_0$ und setzt $\epsilon =\sigma /E$ ein, erhält man die Energie pro Volumeneinheit, die Fläche unter der Spannungs-Dehnungs-Linie:
$u=\frac{1}{2}\sigma \epsilon =\frac{{\sigma }^2}{2E}$

Stahl an seiner Streckgrenze von etwa 250 MPa, der höchsten Spannung, die er elastisch aufnimmt, speichert $u=(2,5\times 10^8{)}^2/(2\cdot 2,0\times 10^{11})\approx 1,6\times 10^{5}J/{\mathrm{m}}^3$. Bei einer Dichte von etwa 7800 kg/m³ sind das rund 20 J pro Kilogramm, genug, um dieses Kilogramm nur 2 m hochzuheben. Federn speichern Energie bequem, aber nicht in hoher Dichte.

Seitliche Verengung, Scherung und Schraubenfedern

Ein gedehnter Stab wird auch dünner. Seine Breite schrumpft um den Anteil $\nu \epsilon$, wobei $\nu$, die Poissonzahl, bei Metallen etwa 0,3 und bei Gummi nahe 0,5 beträgt.

Weil die Gesetze linear sind, addieren sich die Wirkungen getrennter Lasten einfach. Drückt man einen Würfel mit dem Druck $p$ auf allen sechs Flächen zusammen, entstehen drei Stauchungen gleichzeitig, eine entlang jeder Achse. Jede verkürzt den Würfel entlang ihrer eigenen Achse um die Dehnung $p/E$ und verlängert ihn über die Poissonzahl entlang der beiden anderen Achsen um $\nu p/E$. Entlang jeder Achse ist die resultierende Dehnung daher $-(p/E)(1-2\nu )$. Die relative Volumenänderung ist die Summe der drei Dehnungen, $-3(p/E)(1-2\nu )$, und der Kompressionsmodul, der Druck geteilt durch den relativen Volumenverlust, ist
$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$

Ein positives $K$ verlangt $\nu <1/2$. Bei $\nu =1/2$ lässt eine Dehnung das Volumen unverändert, was erklärt, warum Gummi so schwer zu komprimieren ist.

Ein dritter Modul beschreibt die Scherung, eine Formänderung bei konstantem Volumen, etwa wenn die Oberseite eines Blocks seitlich über seine Basis geschoben wird. Für ein isotropes Material, also eines mit denselben Eigenschaften in allen Richtungen, ist er nicht unabhängig: Zwei Konstanten beschreiben jede kleine Verformung. Mit $E$ und $\nu$ ist der Schubmodul
$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$
etwa 80 GPa für Stahl.

Bei einer Schraubenfeder kommt es auf die Scherung an. Zieht man an einer Schraubenfeder, wird ihr Draht kaum länger; er wird verdreht. Für den Drahtdurchmesser $d$, den Windungsdurchmesser $D$ und $n$ Windungen ergibt die Verdrehung des Drahtes
$k=\frac{G{d}^4}{8D^{3}n}$

Ein Stahldraht von 0,5 mm Dicke, zu 25 Windungen mit 10 mm Durchmesser gewickelt, ergibt $k=8,0\times 10^{10}\cdot (5\times 10^{-4}{)}^4/(8\cdot 0,01^3\cdot 25)=25N/m$: die Feder der Animation. Beachte die starke Abhängigkeit von $D$: Windungen, die 1,4-mal so breit sind, machen die Feder $1,4^3\approx 2,7$-mal weicher. $k$ beschreibt also eine Feder, während $E$, $\nu$ und $G$ den Stahl beschreiben, aus dem sie besteht.

Jenseits der Elastizitätsgrenze

Legende

$\sigma$	Spannung: die Kraft geteilt durch den ursprünglichen Querschnitt des Drahtes.	$\mathrm{Pa}$
$\epsilon$	Dehnung: Verlängerung pro Einheit der ursprünglichen Länge.
$E$	Elastizitätsmodul: die Steigung des geraden Anfangs und der Entlastungslinie.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_y$	Streckgrenze, wo die Gerade endet und der Draht zu fließen beginnt.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_u$	Zugfestigkeit: die höchste Spannung der Kurve.	$\mathrm{Pa}$
${\epsilon }_p$	Bleibende Dehnung nach dem Entlasten.
$u$	Bis zum Bruch pro Volumeneinheit aufgenommene Energie: die schraffierte Fläche unter der Kurve.	$J/{\mathrm{m}}^3$

Bisher wurden kleine Dehnungen vorausgesetzt. Abbildung 3 zeigt, was passiert, wenn ein Metalldraht weiter gezogen wird: seine Spannung $\sigma$ gegen seine Dehnung $\epsilon$, bis zum Bruch. Hier ist $\sigma$ die Kraft geteilt durch den ursprünglichen Querschnitt des Drahtes.

Man beginnt im Ursprung. Die Spannung steigt entlang einer Geraden mit der Steigung $E$: Das ist der Bereich des hookeschen Gesetzes. Die Gerade endet beim Punkt auf der Höhe von ${\sigma }_y$, der Streckgrenze (der lila Punkt im Drahtdiagramm der Animation). Darüber hinaus fließt der Draht. Versetzungen, linienförmige Gitterfehler im Kristall, beginnen zu gleiten, sodass Atomebenen nicht alle auf einmal, sondern Reihe für Reihe aneinander vorbeigleiten. Deshalb fließen echte Metalle so früh: Ein perfekter Kristall würde mehrere Gigapascal aushalten, während reale Stähle bei 0,25–2 GPa fließen. Der $F$-$x$-Graph der Feder in der Animation hat dieselbe Form: Seine Gerade endet an der Elastizitätsgrenze, dem lila Punkt bei 5,5 N und 22 cm, wo die gestrichelte Kurve abknickt.

Verfolgt man nun die Kurve über ${\sigma }_y$ hinaus, steigt sie weiter, aber flacher, weil sich die Versetzungen verhaken und einander blockieren; das nennt man Kaltverfestigung. Der Scheitelpunkt der Kurve ist die Zugfestigkeit ${\sigma }_u$. Danach bildet sich eine Einschnürung: Ein kurzes Stück des Drahtes wird schneller dünn als der Rest. Die Kraft und mit ihr die aufgetragene Spannung sinken, obwohl die wahre Spannung in der sich verjüngenden Einschnürung weiter steigt, und der Draht reißt am Kreuz (×).

Halte als Nächstes die Belastung auf halber Höhe der Kurve an, am Punkt auf dem steigenden Teil, und entlaste. Der Draht kehrt entlang des Pfeils zurück, einer Geraden parallel zur elastischen mit derselben Steigung $E$, weil nur der elastische Teil der Dehnung zurückgewonnen wird. Bei null Spannung behält er die bleibende Dehnung ${\epsilon }_p$. Wird er erneut belastet, steigt er auf derselben Geraden und trifft die Kurve wieder: Er ist nun bis zu einer höheren Spannung elastisch als zuvor.

Die schraffierte Fläche unter der ganzen Kurve, $u=\int \sigma d\epsilon$, ist die Energie pro Volumeneinheit, die bis zum Bruch aufgenommen wird; im geraden Teil ist sie das Dreieck $\frac{1}{2}\sigma \epsilon$, das wir zuvor kennengelernt haben. Eine große Fläche bedeutet ein zähes Material. Duktile Metalle nehmen viel Energie auf, indem sie fließen, bevor sie brechen, während Glas oder Gusseisen nahe dem Ende des geraden Teils brechen. Die Feder der Animation stoppt bei 4,0 N, 73 % ihrer Grenze von 5,5 N; beim Entlasten folgt sie daher der Linie zurück, und alle 0,32 J kommen zurück.

Rechenaufgabe: die fallende Last

Legende

$F$	Kraft; zugleich die Last selbst, die horizontale Linie: das Gewicht der vier zusammen angehängten Massen.	$\mathrm{N}$
$x$	Verlängerung der Feder aus ihrer natürlichen Länge.	$\mathrm{m}$
$kx$	Zugkraft der Feder bei der Verlängerung $x$: die geneigte Linie.	$\mathrm{N}$
$x_e$	Verlängerung, bei der die Zugkraft gleich der Last ist, $F/k$: das Gleichgewicht bei sanfter Belastung.	$\mathrm{m}$
$x_L$	Verlängerung an der Elastizitätsgrenze (der lila Punkt); darüber ist die Linie der Feder gestrichelt.	$\mathrm{m}$
$x_m$	Verlängerung am tiefsten Punkt, wo die Gewichte anhalten: $2F/k$.	$\mathrm{m}$
$K$	Kinetische Energie der Gewichte: das linke Dreieck ist die bis $x_e$ gewonnene Energie; das rechte Dreieck, $-K$, ist derselbe Betrag, der zurückgenommen wird.	$\mathrm{J}$

Der Teller in der Animation senkt jedes Gewicht sanft, sodass die Feder in jedem Augenblick im Gleichgewicht ist. Angenommen, alle vier Gewichte, insgesamt 4,0 N, würden stattdessen bei natürlicher Länge zusammen angehängt und losgelassen. Abbildung 4 verfolgt den Fall in einem Diagramm von Kraft gegen Verlängerung $x$.

Auf die Gewichte wirken zwei Kräfte. Die Last $F$, ihr Gewicht, ist bei jeder Verlängerung gleich: die horizontale Linie. Die Zugkraft $kx$ der Feder wächst mit der Verlängerung: die geneigte Linie. Die beiden Linien schneiden sich bei $x_e=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$, den 16 cm der sanften Belastung.

Links von $x_e$ ist die Last die größere Kraft, also beschleunigen die Gewichte. Die Nettokraft ist der Abstand zwischen den Linien, und die von ihr verrichtete Arbeit, die Fläche des linken Dreiecks, wird zu ihrer kinetischen Energie $K$. Sie ist bei $x_e$ am größten, wo sie $\frac{1}{2}F{x}_e$ beträgt.

Rechts von $x_e$ zieht die Feder stärker als die Last, also werden die Gewichte langsamer, und die Feder nimmt die Energie zurück: das rechte Dreieck, mit $-K$ markiert. Seine Fläche ist gleich der des linken, weil die Zugkraft von $F$ auf $2F$ über dieselbe Strecke $x_e$ steigt, die sie zum Anstieg von 0 auf $F$ brauchte. Die kinetische Energie ist also bei $x_m=2x_e$ wieder null, wo die Gewichte kurz stillstehen.

Die Energiebetrachtung liefert dasselbe direkt. Wenn man die Masse der Feder und den Luftwiderstand vernachlässigt, sind die Gewichte am tiefsten Punkt augenblicklich in Ruhe, also wird die gesamte Energie, die die Schwerkraft freigesetzt hat, $F{x}_m$, in der Feder gespeichert:
$F{x}_m=\frac{1}{2}k{x}_m^2,x_m=\frac{2F}{k}=\frac{2\cdot 4,0}{25}=0,32\mathrm{m}$

Das ist das Doppelte der 16 cm sanfter Belastung und weit über der Elastizitätsgrenze $x_L$ von 22 cm, dem lila Punkt in Abbildung 4: Die Feder wäre dauerhaft gedehnt. Eine plötzliche Last verdoppelt die größte Verformung, daher ist die größte Last, die diese Feder übersteht, wenn sie aus natürlicher Länge fallen gelassen wird, die Hälfte ihrer statischen Grenze, $25\cdot 0,22/2=2,75\mathrm{N}$.

Eine ideale Feder würde zwischen 0 und 32 cm um die Mitte bei 16 cm schwingen. Die Masse ist $m=4,0/9,81=0,408\mathrm{kg}$, also $\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{25/0,408}\approx 7,83rad/s$, und die Periodendauer beträgt $2\pi /\omega \approx 0,80\mathrm{s}$. Die Geschwindigkeit in der Mitte folgt aus der Energie. Bei 16 cm hat die Schwerkraft $4,0\cdot 0,16=0,64\mathrm{J}$ freigesetzt, und die Feder hält 0,32 J, also sind die übrigen 0,32 J kinetische Energie: $v=\sqrt{2\cdot 0,32/0,408}\approx 1,25m/s$, gleich $\omega \cdot 0,16\mathrm{m}$, wie es die harmonische Schwingung verlangt.

Sanfte Belastung vermeidet all dies, weil der Teller den Überschuss aufnimmt: 0,32 J, wenn alle vier Gewichte auf einmal gesenkt würden. Belastung in vier Schritten, wie in der Animation, verschwendet weniger. Bei jedem Schritt beginnt der Druck des Tellers bei 1,0 N, dem gerade hinzugefügten Gewicht, und fällt über 4 cm auf null, sodass der Teller pro Schritt nur $\frac{1}{2}\cdot 1,0\cdot 0,04=0,02\mathrm{J}$ aufnimmt. Über die vier Schritte setzt die Schwerkraft 0,40 J frei (die Gewichte fallen 16, 12, 8 und 4 cm), die Feder behält 0,32 J, und der Teller nimmt 0,08 J auf. Mit immer kleineren Schritten verschwindet der Verlust.

Grenzen der Gültigkeit

Das hookesche Gesetz ist ein Gesetz für kleine Dehnungen. Baustahl bleibt nur bis zu einer Dehnung von $250\mathrm{MPa}/200\mathrm{GPa}=1,25\times 10^{-3}$ linear, etwa 0,13 %, und Fensterglas bricht nahe 0,1 %. Gummi lässt sich auf das Mehrfache seiner Länge dehnen, aber jenseits einiger Prozent Dehnung hat seine Spannungs-Dehnungs-Kurve eine S-Form, und seine Spannung hat einen anderen Ursprung. Gummi ist ein Gewirr aus langen Kettenmolekülen. Dehnen streckt sie, und ihre thermische Zitterbewegung zieht sie zurück zu verknäuelten Formen, von denen es weit mehr gibt. Das ist ein Entropieeffekt, und er hat eine überraschende Folge: Ein gedehntes Gummiband zieht stärker, wenn man es erwärmt.

Materialien hängen auch von der Zeit ab. Polymere, Beton und heiße Metalle kriechen: Unter einer konstanten Last verformen sie sich langsam weiter. Viele Materialien entlasten sich zudem entlang einer anderen Kurve als der, auf der sie belastet wurden. Die Schleife zwischen beiden Kurven heißt Hysterese, und ihre Fläche ist die Energie, die in jedem Zyklus in Wärme umgewandelt wird; deshalb springt ein Gummiball nie auf seine Ausgangshöhe zurück.

Das Federmodell hat eigene Grenzen. Eine reale Feder mit der Masse $m_s$ schwingt so, als wären etwa $m_s/3$ zur Last hinzugefügt. Viele Zugfedern sind mit einer Vorspannung $F_0$ gewickelt: Sie dehnen sich überhaupt nicht, bis die Last $F_0$ übersteigt, und folgen dann $F=F_0+kx$. Die Feder der Animation hat keine Vorspannung, daher geht ihre Gerade durch den Ursprung.

Wohin das führt

Eine Masse an einer Feder gehorcht $m\ddot{x}=-kx$, der Gleichung der harmonischen Schwingung: Die 0,41 kg schwere Last der Animation würde mit einer Periodendauer von 0,80 s schwingen, und Dämpfung und Resonanz fügen die inneren Verluste hinzu. In einem Stab ist jede Scheibe eine Masse zwischen Federn, und Longitudinalwellen laufen mit $\sqrt{E/\rho }$ hindurch, wobei $\rho$ die Dichte ist: etwa 5000 m/s in Stahl, fast das 15-Fache der Schallgeschwindigkeit in Luft (Grundlagen der Wellen).

Die einseitige Bindung aus Abbildung 1 führt zur Wärmeausdehnung. Eine an beiden Enden eingespannte Stahlschiene, die um 30 K erwärmt wird, kann sich nicht verlängern und steht daher unter der Spannung, die sie um ihre freie Ausdehnung zusammendrücken würde: $\sigma =E\alpha \Delta T=2,0\times 10^{11}\cdot 1,2\times 10^{-5}\cdot 30\approx 7,2\times 10^7\mathrm{Pa}$, also 72 MPa, mit $\alpha$ dem Ausdehnungskoeffizienten von Stahl. Schließlich bedeutet der Kompressionsmodul von Wasser von etwa 2,2 GPa, dass ein Zusammendrücken um 1 % 22 MPa erfordert, etwa 220 Atmosphären; deshalb kann „Druck in Flüssigkeiten und das pascalsche Prinzip“ Wasser als inkompressibel behandeln.