Elasticidade: lei de Hooke, tensão e deformação

Iniciante

Aperte uma esponja, estique um elástico ou dobre uma régua de plástico e depois solte: cada um volta à forma original.

Passo 1. Elástico ou não? Um material é elástico se volta à forma original depois que a força é retirada. Por esse teste, o aço é mais elástico que a borracha: é muito mais difícil de deformar, mas volta quase perfeitamente à forma. Argila de modelar e massa são o oposto: mantêm a forma que você lhes der.

Passo 2. A regra de Hooke. Pendure um peso em uma mola e ela se estica um pouco. Pendure um segundo peso idêntico e ela se estica mais o mesmo tanto: o dobro do peso, o dobro do alongamento. Robert Hooke (1678) escreveu isso como $F=kx$: a força $F$ é igual a um número $k$ vezes o alongamento $x$.

Passo 3. Rigidez. O número $k$ indica o quão rígida é a mola. Uma mola espiral de brinquedo é muito mole ($k$ pequeno); a suspensão de um carro é muito rígida ($k$ grande), então a mesma carga a estica muito menos.

Passo 4. Energia e limites. Uma mola esticada armazena energia e a devolve ao ser solta: é assim que funcionam um estilingue ou um trampolim. Mas, se você puxar demais, a mola ultrapassa o limite elástico: ela fica mais comprida para sempre e nunca volta ao comprimento original.

Teste você mesmo: uma mola se estica 2 cm sob um peso de 5 N. Quanto ela se estica sob 15 N, abaixo do limite elástico? (6 cm: três vezes a força, três vezes o alongamento.)

Na animação, pesos iguais são pendurados um de cada vez. Cada um move o ponteiro vermelho para baixo na régua em um mesmo passo (as marcas verdes), e as barras verdes crescem em passos iguais. Quando os pesos são retirados, a mola volta exatamente à linha tracejada onde começou.

Intermediário

Carga, alongamento e constante da mola

Pendure uma carga em uma mola e ela fica mais comprida. O que importa é a variação do comprimento, o alongamento $x=L-L_0$, em que $L_0$ é o comprimento natural e $L$ o comprimento sob carga; na animação, ele é medido a partir da linha tracejada. Uma mola comprimida tem $x$ negativo.

Robert Hooke publicou em 1678 que, até um limite, o alongamento é proporcional à força que o causa: dobrando a carga, o alongamento dobra.
$F=kx$

A constante $k$ é a constante da mola, ou rigidez, em newtons por metro (N/m): a força por metro de alongamento, obtida dividindo uma carga pelo alongamento que ela produz:
$k=\frac{F}{x}$
Uma mola espiral de brinquedo tem cerca de 1 N/m, a mola da animação 25 N/m e a suspensão de um carro cerca de 30 000 N/m.

A mola puxa de volta com uma força restauradora de mesmo módulo, dirigida contra o alongamento: $F=-kx$ quando o sinal importa. Uma massa pendurada em repouso está em equilíbrio, então $kx=mg$, e é assim que uma balança de mola pesa objetos. Na animação, a seta azul $kx$ e a seta vermelha $F$ têm sempre o mesmo comprimento; enquanto um peso é baixado, a seta cinza da bandeja carrega o resto do seu peso.

Energia e o gráfico força–alongamento

Em função do alongamento, a carga gera uma reta que passa pela origem, com inclinação $k$: íngreme para uma mola rígida, suave para uma mola mole. Os pontos ficam sobre a reta só até o limite elástico. Abaixo dele, a mola volta exatamente ao comprimento natural quando descarregada; acima dele, a reta se curva e a mola fica mais comprida para sempre, uma deformação plástica.

A área sob a reta é o trabalho realizado ao esticar, armazenado como energia potencial elástica. A força cresce de forma constante de 0 até $kx$, então sua média é metade do valor final e a área é um triângulo:
$U=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}Fx$
O dobro do alongamento armazena quatro vezes a energia, e um arco ou um estilingue a devolve quando solto.

Molas em série e em paralelo

Engatando duas molas uma abaixo da outra, em série, cada uma carrega a carga inteira, então os alongamentos se somam: $x=F/k_1+F/k_2$. Dividindo por $F$, obtém-se
$\text{series}:\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

Pendurando a carga em duas molas lado a lado, em paralelo, unidas por uma barra que mantém seus alongamentos iguais, elas dividem a carga e suas forças se somam:
$\text{parallel}:k=k_1+k_2$

Duas molas como a da animação dão 12,5 N/m em série e 50 N/m em paralelo: um par em série é mais mole do que qualquer uma das molas, um par em paralelo é mais rígido. Uma mola também equivale a duas metades em série, então cada metade da mola da animação teria 50 N/m.

Exemplo resolvido: a mola da animação

Cada peso da animação pesa 1,0 N (uma massa de $1,0/9,81\approx 0,102\mathrm{kg}$) e move o ponteiro 4,0 cm para baixo na régua. Da primeira linha da tabela,
$k=\frac{F}{x}=\frac{1,0\mathrm{N}}{0,040\mathrm{m}}=25N/m$

As demais linhas, de 2,0 N para 0,08 m até 4,0 N para 0,16 m, dão a mesma razão na última coluna: essa razão constante é a lei de Hooke. Com os quatro pesos, $x=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$. Esses são os valores de $F$ e $x$ mostrados quando os quatro pesos estão pendurados, 4,0 N e 16 cm, e a seta verde $x$ abrange 16 cm da régua.

A energia armazenada é então $U=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,16^2=0,32\mathrm{J}$, também $\frac{1}{2}\cdot 4,0\cdot 0,16$. Após um, dois e três pesos, ela era 0,02, 0,08 e 0,18 J: cada peso acrescenta os mesmos 4 cm, mas o quarto acrescenta 0,14 J, sete vezes o primeiro, porque a mola já puxa com 3,0 N. Quando os pesos são retirados, $x$ volta a zero e a energia retorna, pois 4,0 N está abaixo do limite elástico de 5,5 N (22 cm). Um quinto peso ainda seria seguro; um sexto, não.

Tensão, deformação e módulo de Young

A constante da mola pertence a um objeto, não ao metal dele. Um fio duas vezes mais comprido se estica duas vezes mais sob a mesma carga, e um fio com o dobro da área de seção transversal precisa do dobro da força para o mesmo alongamento. Para descrever o material, divida a força pela área e o alongamento pelo comprimento original:
$\sigma =\frac{F}{A},\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$

A tensão $\sigma$ é dada em pascal ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$, e $1\mathrm{MPa}=1N/m{\mathrm{m}}^2$); a deformação $\epsilon$ é um número puro, muitas vezes dado em porcentagem. Na região linear elas são proporcionais, e a razão entre elas é o módulo de Young:
$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$

Ele vale cerca de 200 GPa para o aço, 70 GPa para o alumínio e o vidro, 10 GPa para a madeira na direção das fibras e apenas 0,01–0,1 GPa para a borracha. Juntas, as três relações dão o alongamento de qualquer fio ou haste:
$\Delta L=\frac{F{L}_0}{AE}$
Um fio uniforme é, portanto, uma mola com $k=AE/L_0$: mais comprido é mais mole, mais grosso é mais rígido.

Exemplo resolvido: um fio de aço sob carga

Um fio de aço com 2,0 m de comprimento e 1,0 mm de diâmetro sustenta uma massa de 10 kg. Quanto ele se estica? A carga é o peso, $F=mg=10\cdot 9,81=98,1\mathrm{N}$, e a seção transversal é um círculo:
$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (1,0\times 10^{-3}{)}^2}{4}=7,85\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$

A tensão é $\sigma =98,1/(7,85\times 10^{-7})=1,25\times 10^8\mathrm{Pa}$, ou seja, 125 MPa. Dividindo por $E=200\mathrm{GPa}$ obtém-se a deformação, $\epsilon =1,25\times 10^8/(2,0\times 10^{11})=6,25\times 10^{-4}$, cerca de 0,06 %. O alongamento é
$\Delta L=\epsilon L_0=6,25\times 10^{-4}\cdot 2,0=1,25\times 10^{-3}\mathrm{m}$
ou 1,25 mm.

Como mola, o fio tem $k=AE/L_0\approx 7,9\times 10^{4}N/m$, cerca de 3000 vezes mais rígido que a mola da animação. Sua tensão de 125 MPa é cerca da metade do limite de escoamento até do aço estrutural comum, por volta de 250 MPa, então ele volta totalmente ao descarregar. Um fio duas vezes mais grosso, com quatro vezes a área, se esticaria apenas cerca de 0,31 mm.

Erros comuns

• Usar o comprimento em vez do alongamento: uma mola de 20 cm esticada até 24 cm tem $x=4\mathrm{cm}$, não 24 cm.
• Misturar centímetros e metros: 1,0 N sobre 4,0 cm dá $1,0/0,040=25N/m$, não $1,0/4,0=0,25$.
• Usar a massa como força: uma massa de 0,20 kg puxa com seu peso, $0,20\cdot 9,81=1,96\mathrm{N}$, e não com 0,20 N.
• Esquecer o meio: em 16 cm, a mola da animação armazena $\frac{1}{2}Fx=0,32\mathrm{J}$, não $Fx=0,64\mathrm{J}$, porque a força era menor no início do alongamento.
• Achar que molas em série são mais rígidas: duas molas de 25 N/m uma abaixo da outra dão 12,5 N/m, porque cada uma carrega a carga inteira.

Onde isso aparece

Balanças de mola, suspensões de carros, colchões, espirais de relógio e a mola de uma caneta esferográfica dependem todas de $F=kx$. Balanças eletrônicas usam extensômetros, folhas metálicas cuja resistência muda quando são esticadas, sensíveis a deformações de alguns milionésimos. Pontes, guindastes e aviões são projetados para manter todas as tensões bem dentro da região linear.

Uma massa puxada para baixo em uma mola e solta oscila, tema do Movimento harmônico simples e depois de Amortecimento e ressonância. A velocidade do som em um sólido é determinada pelo seu módulo de Young (Fundamentos das ondas), e um trilho que não pode se expandir ao aquecer fica sob tensão (Dilatação térmica).

Avançado

Por que pequenas deformações são lineares

Legenda

$U$	Energia potencial do par de átomos: a curva sólida, medida a partir de um zero arbitrário.	$\mathrm{J}$
$x$	Distância entre os dois átomos.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Distância de equilíbrio, no fundo do poço.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Energia de uma mola ideal com o mesmo fundo e a mesma curvatura: a parábola tracejada.	$\mathrm{J}$
$k$	Rigidez dessa mola, igual à curvatura $U^{\prime \prime }(x_0)$ do poço em seu fundo.	$N/m$

A lei de Hooke diz que a força necessária para deformar um corpo é proporcional à deformação. Ela não é um princípio fundamental como a conservação da energia. É o aspecto que quase qualquer força suave assume quando o deslocamento é pequeno, e a Figura 1 mostra por quê.

A curva sólida $U$ é a energia potencial de dois átomos vizinhos em um sólido, em função de sua distância $x$. Os átomos se atraem a longa distância e se repelem fortemente a curta distância; ambos os efeitos são elétricos. Juntos, formam um poço cujo ponto mais baixo é a distância de equilíbrio $x_0$. À esquerda, onde os átomos são empurrados um contra o outro, a curva sobe íngreme. À direita, onde são afastados, ela se achata, e longe o bastante a ligação se rompe.

A parábola tracejada $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ é a energia de uma mola ideal com o mesmo fundo e a mesma curvatura. Olhe primeiro perto de $x_0$: ali as duas curvas são difíceis de distinguir. Depois observe as duas verticais tracejadas, a distâncias iguais de cada lado de $x_0$. Os pontos sobre elas mostram onde as curvas se separam: do lado comprimido (esquerda), a curva real fica acima da parábola; do lado esticado (direita), fica abaixo dela.

Para tornar isso preciso, expanda $U$ em série de Taylor em torno do mínimo:
$U(x)=U(x_0)+U^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\frac{1}{6}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^3+\cdots$

Cada termo traz uma potência maior do deslocamento $x-x_0$, então, para deslocamentos pequenos, cada um é bem menor que o anterior. O primeiro termo é uma constante e não exerce força. O segundo é zero, porque a inclinação de $U$ se anula em um mínimo: $U^{\prime }(x_0)=0$. Derivando o restante obtém-se a força $F=-dU/dx$:
$F=-k(x-x_0)-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2,k=U^{\prime \prime }(x_0)$

O primeiro termo é a lei de Hooke. Para deslocamentos suficientemente pequenos, ele supera o segundo, qualquer que seja a forma do poço; por isso uma única lei abrange uma ligação molecular, um cabo de aço e uma ponte. A rigidez $k$ é a curvatura do poço em seu fundo, e $k>0$ é exatamente a condição para um equilíbrio estável: deslocados para qualquer lado, os átomos são empurrados de volta.

O segundo termo mede o quanto o poço é assimétrico: é a diferença entre as duas curvas da Figura 1. Uma ligação real é mais difícil de comprimir do que de esticar, então $U^{\prime \prime \prime }(x_0)<0$, e a força extra $-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$ é positiva dos dois lados. Quando a ligação é esticada ($x>x_0$), ela age contra a força restauradora, então a ligação amolece; quando é comprimida ($x<x_0$), ela se soma ao empurrão restaurador, então a ligação enrijece. A correção é pequena: o aço permanece elástico apenas até deformações (variações fracionárias de comprimento) de cerca de 0,1 %, e ali ela representa uma fração de por cento. No entanto, essa mesma assimetria é o que faz os sólidos se expandirem quando aquecidos.

De uma mola a um material

A constante $k$ pertence a uma mola ou barra em particular. Para descrever um material, precisamos de uma constante que não dependa do tamanho da amostra, e dois experimentos mentais mostram pelo que dividir.

Coloque dois blocos idênticos ponta a ponta e puxe. Cada bloco carrega a mesma força $F$, então cada um se alonga o mesmo tanto, e o par se alonga duas vezes mais do que um bloco: esta é a regra da associação em série. O alongamento cresce na proporção do comprimento, então a medida de deformação que não depende do comprimento é a deformação, o alongamento por unidade de comprimento original, $\epsilon =\Delta L/L_0$.

Agora coloque os dois blocos lado a lado. Para dar a eles o mesmo alongamento, é preciso o dobro da força: esta é a regra da associação em paralelo. A força cresce na proporção da área de seção transversal $A$, então a medida de carga que não depende da área é a tensão, a força por unidade de área, $\sigma =F/A$.

Para uma barra uniforme, a tensão é proporcional à deformação, e a constante de proporcionalidade $E$, o módulo de Young, pertence apenas ao material. Reescrita, a mesma lei dá a rigidez da barra:
$\frac{F}{A}=E\frac{\Delta L}{L_0},k=\frac{AE}{L_0}$

Uma barra curta e grossa é rígida, e uma longa e fina é mole; ainda assim, um valor de $E$ descreve ambas se forem feitas do mesmo aço.

Da ligação atômica ao módulo de Young

Legenda

$a$	Distância entre átomos vizinhos.	$\mathrm{m}$
$k_b$	Rigidez de uma ligação, desenhada como mola.	$N/m$
$L_0$	Comprimento da barra.	$\mathrm{m}$
$A$	Área da face da extremidade sobre a qual a carga atua (a placa, vista de lado): a seção transversal da barra.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Carga que puxa a face da extremidade da barra.	$\mathrm{N}$

O módulo de Young pode ser estimado a partir dos próprios átomos, aplicando a mesma contagem de séries e paralelos. A Figura 2 modela um cristal como uma pilha cúbica de átomos separados por uma distância $a$, cada ligação sendo uma mola de rigidez $k_b$. A barra, de comprimento $L_0$, é presa pela parede à esquerda e puxada pela força $F$ à direita. A placa escura é sua face da extremidade, de área $A$, vista de lado.

Primeiro conte através da barra. Cada átomo ocupa um quadrado de lado $a$ da face da extremidade, então $A/a^2$ cadeias de átomos correm lado a lado ao longo da barra (três no esquema). Depois conte ao longo de uma cadeia: ela é uma série de $L_0/a$ ligações (cinco no esquema).

Agora combine as duas contagens. Em série, $L_0/a$ molas iguais dividem o alongamento, então uma cadeia é mais mole que uma ligação por esse fator: sua rigidez é $k_b/(L_0/a)=k_{b}a/L_0$. Em paralelo, as cadeias dividem a carga, então suas rigidezes se somam:
$k=\frac{A}{a^2}\cdot \frac{k_{b}a}{L_0}=\frac{A}{L_0}\cdot \frac{k_b}{a}$

Comparando com $k=AE/L_0$ obtém-se $E=k_b/a$: o módulo é a rigidez de uma ligação dividida pelo espaçamento entre os átomos.

Para o aço, $E=200\mathrm{GPa}$ e $a\approx 0,25\mathrm{nm}$ dão $k_b=Ea\approx 50N/m$, exatamente o dobro dos 25 N/m da mola da animação. Uma ligação isolada não é especialmente rígida. O módulo só é enorme porque muitas cadeias puxam juntas: $1/a^2$ delas, cerca de $1,6\times 10^{19}$, atravessam cada metro quadrado.

Energia armazenada como área sob a reta

Voltando a uma única mola, com $x$ agora representando seu alongamento a partir do comprimento natural. Para esticá-la de 0 a $x$ contra a sua própria força $k{x}^{\prime }$, o trabalho é
$U={\int }_0^{x}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$

No gráfico $F$–$x$ da animação, isso é o triângulo hachurado sob a reta, com base $x$ e altura $kx$. Conforme o ponto vermelho sobe, o marcador $U$ passa por 0,02, 0,08, 0,18 e 0,32 J em 1, 2, 3 e 4 N.

Olhe os incrementos, não os totais: 0,02, 0,06, 0,10 e 0,14 J, na razão 1 : 3 : 5 : 7. Cada newton de carga acrescenta 4 cm de alongamento, e cada faixa de 4 cm do triângulo é um trapézio cuja altura média é 0,5, 1,5, 2,5 e 3,5 N. As faixas posteriores custam mais porque a mola já está puxando quando elas começam. Pelo mesmo motivo, esticar de $x_1$ a $x_2$ custa $\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$, e não $\frac{1}{2}k(x_2-x_1{)}^2$.

Para uma barra, o mesmo triângulo dá $U=\frac{1}{2}F\Delta L=\frac{1}{2}(\sigma A)(\epsilon L_0)$. Dividindo pelo volume $A{L}_0$ e usando $\epsilon =\sigma /E$, obtém-se a energia por unidade de volume, que é a área sob a reta tensão–deformação:
$u=\frac{1}{2}\sigma \epsilon =\frac{{\sigma }^2}{2E}$

O aço, na sua tensão de escoamento de cerca de 250 MPa, a maior que ele suporta elasticamente, armazena $u=(2,5\times 10^8{)}^2/(2\cdot 2,0\times 10^{11})\approx 1,6\times 10^{5}J/{\mathrm{m}}^3$. Com densidade de cerca de 7800 kg/m³, isso dá cerca de 20 J por quilograma, o suficiente para erguer esse quilograma em apenas 2 m. Molas armazenam energia de modo conveniente, não compacto.

Encolhimento lateral, cisalhamento e molas helicoidais

Uma barra esticada também fica mais fina. Sua largura diminui na fração $\nu \epsilon$, em que $\nu$, o coeficiente de Poisson, é cerca de 0,3 para metais e próximo de 0,5 para borracha.

Como as leis são lineares, os efeitos de cargas separadas simplesmente se somam. Comprima um cubo com uma pressão $p$ em todas as seis faces: são três compressões ao mesmo tempo, uma ao longo de cada eixo. Cada uma encurta o cubo ao longo do seu próprio eixo pela deformação $p/E$ e, por meio do coeficiente de Poisson, o alonga ao longo dos outros dois eixos em $\nu p/E$. Ao longo de qualquer eixo, a deformação resultante é, portanto, $-(p/E)(1-2\nu )$. A variação fracionária de volume é a soma das três deformações, $-3(p/E)(1-2\nu )$, e o módulo volumétrico, a pressão dividida pela perda fracionária de volume, é
$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$

Um $K$ positivo exige $\nu <1/2$. Em $\nu =1/2$, um alongamento deixa o volume inalterado, e é por isso que a borracha é tão difícil de comprimir.

Um terceiro módulo descreve o cisalhamento, uma mudança de forma a volume constante, como quando o topo de um bloco é empurrado lateralmente sobre sua base. Para um material isotrópico, isto é, com as mesmas propriedades em todas as direções, ele não é independente: duas constantes descrevem toda pequena deformação. Dados $E$ e $\nu$, o módulo de cisalhamento é
$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$
cerca de 80 GPa para o aço.

O cisalhamento é o que importa em uma mola helicoidal. Puxar uma mola helicoidal quase não alonga seu fio; ele é torcido. Para diâmetro do fio $d$, diâmetro da hélice $D$ e $n$ espiras, a torção do fio dá
$k=\frac{G{d}^4}{8D^{3}n}$

Um fio de aço de 0,5 mm de espessura, enrolado em 25 espiras de 10 mm de diâmetro, dá $k=8,0\times 10^{10}\cdot (5\times 10^{-4}{)}^4/(8\cdot 0,01^3\cdot 25)=25N/m$: a mola da animação. Note a forte dependência de $D$: espiras 1,4 vez mais largas tornariam a mola $1,4^3\approx 2,7$ vezes mais mole. Assim, $k$ descreve uma mola, enquanto $E$, $\nu$ e $G$ descrevem o aço de que ela é feita.

Além do limite elástico

Legenda

$\sigma$	Tensão: a força dividida pela seção transversal original do fio.	$\mathrm{Pa}$
$\epsilon$	Deformação: alongamento por unidade de comprimento original.
$E$	Módulo de Young: a inclinação do início reto e da reta de descarregamento.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_y$	Limite de escoamento, onde a reta termina e o fio começa a escoar.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_u$	Limite de resistência à tração: a maior tensão da curva.	$\mathrm{Pa}$
${\epsilon }_p$	Deformação permanente que resta após o descarregamento.
$u$	Energia absorvida por unidade de volume até a ruptura: a área sombreada sob a curva.	$J/{\mathrm{m}}^3$

Tudo até aqui supôs pequenas deformações. A Figura 3 mostra o que acontece quando um fio metálico é puxado além disso: sua tensão $\sigma$ contra sua deformação $\epsilon$, até a ruptura. Aqui $\sigma$ é a força dividida pela seção transversal original do fio.

Comece na origem. A tensão sobe ao longo de uma reta de inclinação $E$: esta é a região da lei de Hooke. A reta termina no ponto na altura de ${\sigma }_y$, o limite de escoamento (o ponto roxo do gráfico do fio da animação). Além dele, o fio escoa. Discordâncias, defeitos lineares no cristal, começam a deslizar, de modo que planos de átomos escorregam uns sobre os outros uma fileira por vez, em vez de todos de uma vez. É por isso que metais reais escoam tão cedo: um cristal perfeito suportaria vários gigapascais, enquanto aços reais escoam entre 0,25 e 2 GPa. O gráfico $F$–$x$ da mola da animação tem a mesma forma: sua reta termina no limite elástico, o ponto roxo em 5,5 N e 22 cm, onde a curva tracejada se curva.

Agora siga a curva além de ${\sigma }_y$. Ela continua subindo, mas mais suavemente, porque as discordâncias se emaranham e bloqueiam umas às outras; isso se chama encruamento. O topo da curva é o limite de resistência à tração ${\sigma }_u$. Depois dele forma-se uma estricção: um pequeno trecho do fio afina mais rápido que o resto. A força, e com ela a tensão representada no gráfico, cai, embora a tensão real na estricção que encolhe ainda suba, e o fio se rompe na cruz (×).

Em seguida, pare a carga no meio da curva, no ponto da parte ascendente, e descarregue. O fio desce seguindo a seta, uma reta paralela à elástica, com a mesma inclinação $E$, porque só a parte elástica da deformação é recuperada. Com tensão zero, ele mantém a deformação permanente ${\epsilon }_p$. Carregado de novo, sobe pela mesma reta e reencontra a curva: agora é elástico até uma tensão maior do que antes.

A área sombreada sob a curva inteira, $u=\int \sigma d\epsilon$, é a energia absorvida por unidade de volume antes da ruptura; na parte reta, é o triângulo $\frac{1}{2}\sigma \epsilon$ visto antes. Uma área grande significa um material tenaz. Metais dúcteis absorvem muita energia escoando antes de se romper, enquanto vidro ou ferro fundido se rompem perto do fim da parte reta. A mola da animação para em 4,0 N, 73 % de seu limite de 5,5 N; ao descarregar, ela refaz a reta e todos os 0,32 J voltam.

Exercício resolvido: deixar a carga cair

Legenda

$F$	Força; também a própria carga, a reta horizontal: o peso das quatro massas penduradas juntas.	$\mathrm{N}$
$x$	Alongamento da mola a partir do comprimento natural.	$\mathrm{m}$
$kx$	Tração da mola no alongamento $x$: a reta inclinada.	$\mathrm{N}$
$x_e$	Alongamento em que a tração iguala a carga, $F/k$: o equilíbrio do carregamento suave.	$\mathrm{m}$
$x_L$	Alongamento no limite elástico (o ponto roxo); além dele, a reta da mola é tracejada.	$\mathrm{m}$
$x_m$	Alongamento no ponto mais baixo, onde os pesos param: $2F/k$.	$\mathrm{m}$
$K$	Energia cinética dos pesos: o triângulo da esquerda é a energia ganha até $x_e$; o da direita, $-K$, é a mesma quantidade devolvida.	$\mathrm{J}$

A bandeja da animação baixa cada peso suavemente, de modo que a mola está em equilíbrio a cada instante. Suponha que, em vez disso, todos os quatro pesos, 4,0 N no total, fossem presos juntos no comprimento natural e soltos. A Figura 4 acompanha a queda em um gráfico de força contra alongamento $x$.

Duas forças atuam sobre os pesos. A carga $F$, o peso deles, é a mesma em qualquer alongamento: a reta horizontal. A força $kx$ da mola cresce com o alongamento: a reta inclinada. As duas retas se cruzam em $x_e=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$, os 16 cm do carregamento suave.

À esquerda de $x_e$, a carga é a força maior, então os pesos aceleram. A força resultante é a diferença entre as retas, e o trabalho que ela realiza, a área do triângulo da esquerda, torna-se sua energia cinética $K$. Ela é máxima em $x_e$, onde vale $\frac{1}{2}F{x}_e$.

À direita de $x_e$, a mola puxa mais forte que a carga, então os pesos desaceleram e a mola recupera a energia: o triângulo da direita, marcado $-K$. Sua área é igual à do da esquerda, porque a força sobe de $F$ para $2F$ na mesma distância $x_e$ que levou de 0 a $F$. Assim, a energia cinética volta a zero em $x_m=2x_e$, onde os pesos param por um instante.

A energia dá o mesmo resultado diretamente. Desprezando a massa da mola e a resistência do ar, no ponto mais baixo os pesos estão momentaneamente em repouso, então toda a energia liberada pela gravidade, $F{x}_m$, fica armazenada na mola:
$F{x}_m=\frac{1}{2}k{x}_m^2,x_m=\frac{2F}{k}=\frac{2\cdot 4,0}{25}=0,32\mathrm{m}$

Isso é o dobro dos 16 cm do carregamento suave e muito além do limite elástico $x_L$ de 22 cm, o ponto roxo da Figura 4: a mola ficaria esticada para sempre. Uma carga súbita dobra a deformação máxima, então a maior carga que esta mola suporta quando solta a partir do comprimento natural é metade do seu limite estático, $25\cdot 0,22/2=2,75\mathrm{N}$.

Uma mola ideal oscilaria entre 0 e 32 cm em torno de 16 cm. A massa é $m=4,0/9,81=0,408\mathrm{kg}$, então $\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{25/0,408}\approx 7,83rad/s$ e o período é $2\pi /\omega \approx 0,80\mathrm{s}$. A velocidade no centro segue da energia. Em 16 cm, a gravidade liberou $4,0\cdot 0,16=0,64\mathrm{J}$ e a mola guarda 0,32 J, então os outros 0,32 J são energia cinética: $v=\sqrt{2\cdot 0,32/0,408}\approx 1,25m/s$, igual a $\omega \cdot 0,16\mathrm{m}$, como exige o movimento harmônico simples.

O carregamento suave evita tudo isso, porque a bandeja absorve o excesso: 0,32 J se os quatro pesos fossem baixados de uma vez. Carregar em quatro etapas, como faz a animação, desperdiça menos. Em cada etapa, a força da bandeja começa em 1,0 N, o peso recém-acrescentado, e cai a zero ao longo de 4 cm, então a bandeja absorve apenas $\frac{1}{2}\cdot 1,0\cdot 0,04=0,02\mathrm{J}$ por etapa. Nas quatro etapas, a gravidade libera 0,40 J (os pesos caem 16, 12, 8 e 4 cm), a mola guarda 0,32 J e a bandeja fica com 0,08 J. Com etapas cada vez menores, a perda desaparece.

Limites de validade

A lei de Hooke é uma lei de pequenas deformações. O aço comum permanece linear apenas até uma deformação de $250\mathrm{MPa}/200\mathrm{GPa}=1,25\times 10^{-3}$, cerca de 0,13 %, e o vidro de janela quebra perto de 0,1 %. A borracha estica até várias vezes seu comprimento, mas, além de alguns por cento de deformação, sua curva tensão–deformação tem forma de S, e sua tração tem outra origem. A borracha é um emaranhado de longas moléculas em cadeia. Esticá-la endireita as cadeias, e a agitação térmica delas as puxa de volta para formas emaranhadas, das quais existem muito mais. Trata-se de um efeito de entropia, com uma consequência surpreendente: um elástico esticado puxa com mais força quando aquecido.

Os materiais também dependem do tempo. Polímeros, concreto e metais quentes sofrem fluência: sob uma carga constante, continuam se deformando lentamente. Muitos materiais também descarregam por uma curva diferente daquela pela qual foram carregados. O laço entre as duas curvas chama-se histerese, e sua área é a energia convertida em calor a cada ciclo, por isso uma bola de borracha nunca volta à altura inicial.

O modelo de mola tem limites próprios. Uma mola real de massa $m_s$ oscila como se cerca de $m_s/3$ fosse acrescentado à carga. Muitas molas de tração são enroladas com uma tração inicial $F_0$: elas não se alongam de forma alguma até que a carga exceda $F_0$, e então seguem $F=F_0+kx$. A mola da animação não tem tração inicial, então sua reta passa pela origem.

Para onde isso leva

Uma massa presa a uma mola obedece a $m\ddot{x}=-kx$, a equação do Movimento harmônico simples: a carga de 0,41 kg da animação oscilaria com período de 0,80 s, e Amortecimento e ressonância acrescenta as perdas internas. Em uma haste, cada fatia é uma massa entre molas, e ondas longitudinais percorrem-na com velocidade $\sqrt{E/\rho }$, com $\rho$ a densidade: cerca de 5000 m/s no aço, quase 15 vezes a velocidade do som no ar (Fundamentos das ondas).

A ligação assimétrica da Figura 1 leva à Dilatação térmica. Um trilho de aço preso nas duas extremidades e aquecido em 30 K não pode se alongar, então fica sob a tensão que o comprimiria de volta por sua expansão livre: $\sigma =E\alpha \Delta T=2,0\times 10^{11}\cdot 1,2\times 10^{-5}\cdot 30\approx 7,2\times 10^7\mathrm{Pa}$, ou 72 MPa, com $\alpha$ o coeficiente de dilatação do aço. Por fim, o módulo volumétrico da água, de cerca de 2,2 GPa, significa que comprimi-la em 1 % exige 22 MPa, cerca de 220 atmosferas, e é por isso que Pressão nos fluidos e princípio de Pascal pode tratá-la como incompressível.