Élasticité : loi de Hooke, contrainte et déformation

Débutant

Pressez une éponge, étirez un élastique ou pliez une règle en plastique, puis lâchez : chacun reprend sa forme. Examinons ce comportement pas à pas.

Étape 1. Élastique ou non ? Un matériau est élastique s'il reprend sa forme initiale une fois la force retirée. Selon ce critère, l'acier est plus élastique que le caoutchouc : il se déforme bien plus difficilement, mais il revient presque parfaitement. La pâte à modeler et la pâte à pain sont tout le contraire : elles gardent la forme qu'on leur donne.

Étape 2. La règle de Hooke. Accrochez une masse à un ressort : il s'allonge un peu. Accrochez une deuxième masse identique : il s'allonge encore d'autant. Deux fois plus de poids, deux fois plus d'allongement. Robert Hooke l'a décrit en 1678, et on l'écrit $F=kx$ : la force $F$ est égale à un nombre $k$ multiplié par l'allongement $x$.

Étape 3. La raideur. Le nombre $k$ indique la raideur du ressort. Un ressort jouet en spirale est très souple ($k$ petit) ; un ressort de suspension de voiture est très raide ($k$ grand) : la même charge l'allonge beaucoup moins.

Étape 4. Énergie et limites. Un ressort étiré stocke de l'énergie et la restitue quand on le lâche : c'est ainsi que fonctionnent un lance-pierre ou un trampoline. Mais tirez trop fort et le ressort dépasse sa limite d'élasticité : il reste allongé pour de bon et ne retrouve jamais sa longueur d'origine.

Testez-vous : un ressort s'allonge de 2 cm sous un poids de 5 N. De combien s'allonge-t-il sous 15 N, sans dépasser sa limite d'élasticité ? (6 cm : trois fois la force, trois fois l'allongement.)

Dans l'animation, des masses identiques sont accrochées une à une. Chacune fait descendre l'index rouge d'un même pas le long de la règle (les repères verts), et les barres vertes grandissent par marches égales. Quand on retire les masses, le ressort revient exactement à la ligne pointillée de départ.

Intermédiaire

Charge, allongement et raideur du ressort

Accrochez une charge à un ressort : il s'allonge. Ce qui compte, c'est la variation de longueur, l'allongement $x=L-L_0$, où $L_0$ est la longueur à vide et $L$ la longueur sous charge ; dans l'animation, il se mesure à partir de la ligne pointillée. Un ressort comprimé a un $x$ négatif.

Robert Hooke a publié en 1678 que, jusqu'à une certaine limite, l'allongement est proportionnel à la force qui le provoque : doublez la charge, et l'allongement double.
$F=kx$

La constante $k$ est la raideur du ressort, exprimée en newtons par mètre (N/m) : la force nécessaire par mètre d'allongement, que l'on obtient en divisant une charge par l'allongement qu'elle produit :
$k=\frac{F}{x}$
Un ressort spiral de jouet a environ 1 N/m, le ressort de l'animation 25 N/m et un ressort de suspension de voiture quelque 30 000 N/m.

Le ressort tire en retour avec une force de rappel de même valeur, dirigée à l'opposé de l'allongement : $F=-kx$ quand le signe compte. Une masse suspendue au repos est en équilibre, donc $kx=mg$ : c'est ainsi qu'un peson à ressort pèse les objets. Dans l'animation, la flèche bleue $kx$ et la flèche rouge $F$ ont toujours la même longueur ; pendant qu'on abaisse une masse, la flèche grise du plateau porte le reste de son poids.

Énergie et graphique force–allongement

Tracée en fonction de l'allongement, la charge donne une droite passant par l'origine, dont la pente est $k$ : forte pour un ressort raide, faible pour un ressort souple. Les points ne restent sur la droite que jusqu'à la limite d'élasticité. En deçà, le ressort retrouve exactement sa longueur à vide une fois déchargé ; au-delà, la courbe s'infléchit et le ressort reste plus long pour de bon : on parle de déformation plastique.

L'aire sous la droite est le travail fourni pour étirer le ressort, stocké sous forme d'énergie potentielle élastique. La force croît régulièrement de 0 à $kx$ : sa moyenne vaut donc la moitié de la valeur finale, et l'aire est un triangle :
$U=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}Fx$
Un allongement deux fois plus grand stocke quatre fois plus d'énergie, et un arc ou un lance-pierre la restitue au moment où on le lâche.

Ressorts en série et en parallèle

Accrochez deux ressorts l'un sous l'autre, en série : chacun supporte toute la charge, donc les allongements s'ajoutent, $x=F/k_1+F/k_2$. En divisant par $F$, on obtient
$\text{en seˊrie}:\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

Suspendez maintenant la charge à deux ressorts côte à côte, en parallèle, reliés par une barre qui impose des allongements égaux : ils se partagent la charge, donc leurs forces s'ajoutent :
$\text{en paralleˋle}:k=k_1+k_2$

Deux ressorts comme celui de l'animation donnent 12,5 N/m en série et 50 N/m en parallèle : une paire en série est plus souple que chacun des ressorts, une paire en parallèle plus raide. Un ressort est aussi formé de deux moitiés en série ; chaque moitié du ressort de l'animation aurait donc 50 N/m.

Exemple résolu : le ressort de l'animation

Chaque masse de l'animation pèse 1,0 N (une masse de $1,0/9,81\approx 0,102\mathrm{kg}$) et fait descendre l'index de 4,0 cm le long de la règle. D'après la première ligne du tableau,
$k=\frac{F}{x}=\frac{1,0\mathrm{N}}{0,040\mathrm{m}}=25N/m$

Les autres lignes, de 2,0 N pour 0,08 m à 4,0 N pour 0,16 m, donnent le même rapport dans la dernière colonne : ce rapport constant, c'est la loi de Hooke. Avec les quatre masses, $x=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$. Ce sont les valeurs affichées pour $F$ et $x$ quand les quatre masses sont suspendues, 4,0 N et 16 cm, et la flèche verte $x$ couvre alors 16 cm de la règle.

L'énergie stockée vaut alors $U=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,16^2=0,32\mathrm{J}$, ou encore $\frac{1}{2}\cdot 4,0\cdot 0,16$. Après une, deux et trois masses, elle valait 0,02, 0,08 et 0,18 J : chaque masse ajoute le même allongement de 4 cm, mais la quatrième ajoute 0,14 J, sept fois plus que la première, parce que le ressort tire déjà avec 3,0 N. Quand on retire les masses, $x$ revient à zéro et l'énergie est restituée, puisque 4,0 N est inférieur à la limite d'élasticité de 5,5 N (22 cm). Une cinquième masse resterait sans danger ; une sixième, non.

Contrainte, déformation et module de Young

La raideur appartient à un objet, pas à son métal. Un fil deux fois plus long s'allonge deux fois plus sous la même charge, et un fil de section deux fois plus grande demande deux fois plus de force pour le même allongement. Pour décrire le matériau, on divise la force par la section et l'allongement par la longueur initiale :
$\sigma =\frac{F}{A},\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$

La contrainte $\sigma$ s'exprime en pascals ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$, et $1\mathrm{MPa}=1N/m{\mathrm{m}}^2$) ; la déformation $\epsilon$ est un nombre sans unité, souvent donné en pourcentage. Dans le domaine linéaire, elles sont proportionnelles, et leur rapport est le module de Young :
$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$

Il vaut environ 200 GPa pour l'acier, 70 GPa pour l'aluminium et le verre, 10 GPa pour le bois dans le sens des fibres et seulement 0,01 à 0,1 GPa pour le caoutchouc. Ensemble, ces trois relations donnent l'allongement de n'importe quel fil ou de n'importe quelle tige :
$\Delta L=\frac{F{L}_0}{AE}$
Un fil homogène est donc un ressort de raideur $k=AE/L_0$ : plus long, il est plus souple ; plus épais, il est plus raide.

Exemple résolu : un fil d'acier sous charge

Un fil d'acier de 2,0 m de long et de 1,0 mm de diamètre porte une masse de 10 kg. De combien s'allonge-t-il ? La charge est le poids, $F=mg=10\cdot 9,81=98,1\mathrm{N}$, et la section est un disque :
$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (1,0\times 10^{-3}{)}^2}{4}=7,85\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$

La contrainte vaut $\sigma =98,1/(7,85\times 10^{-7})=1,25\times 10^8\mathrm{Pa}$, soit 125 MPa. En divisant par $E=200\mathrm{GPa}$, on obtient la déformation, $\epsilon =1,25\times 10^8/(2,0\times 10^{11})=6,25\times 10^{-4}$, environ 0,06 %. L'allongement est
$\Delta L=\epsilon L_0=6,25\times 10^{-4}\cdot 2,0=1,25\times 10^{-3}\mathrm{m}$
soit 1,25 mm.

Vu comme un ressort, le fil a $k=AE/L_0\approx 7,9\times 10^{4}N/m$, soit environ 3000 fois plus raide que le ressort de l'animation. Sa contrainte de 125 MPa vaut à peu près la moitié de la limite d'écoulement de l'acier de construction le plus ordinaire, environ 250 MPa : le fil reprend donc entièrement sa longueur une fois déchargé. Un fil deux fois plus épais, de section quatre fois plus grande, ne s'allongerait que d'environ 0,31 mm.

Erreurs fréquentes

• Utiliser la longueur au lieu de l'allongement : un ressort de 20 cm étiré jusqu'à 24 cm a $x=4\mathrm{cm}$, et non 24 cm.
• Mélanger centimètres et mètres : 1,0 N pour 4,0 cm donne $1,0/0,040=25N/m$, et non $1,0/4,0=0,25$.
• Prendre la masse pour la force : une masse de 0,20 kg tire avec son poids, $0,20\cdot 9,81=1,96\mathrm{N}$, et non avec 0,20 N.
• Oublier le facteur un demi : à 16 cm, le ressort de l'animation stocke $\frac{1}{2}Fx=0,32\mathrm{J}$, et non $Fx=0,64\mathrm{J}$, parce que la force était plus faible au début de l'étirement.
• Croire que des ressorts en série sont plus raides : deux ressorts de 25 N/m l'un sous l'autre donnent 12,5 N/m, car chacun supporte toute la charge.

Où on le rencontre

Les pesons à ressort, les suspensions de voiture, les matelas, les spiraux de montre et le ressort d'un stylo à bille reposent tous sur $F=kx$. Les balances électroniques utilisent des jauges de contrainte, de minces feuilles métalliques dont la résistance change quand elles s'allongent, sensibles à des déformations de quelques millionièmes. Les ponts, les grues et les avions sont conçus pour que chaque contrainte reste bien à l'intérieur du domaine linéaire.

Une masse tirée vers le bas au bout d'un ressort, puis lâchée, oscille : c'est l'objet de la leçon Oscillations harmoniques, puis de la leçon Amortissement et résonance. La vitesse du son dans un solide dépend de son module de Young (Notions de base sur les ondes), et un rail qui ne peut pas se dilater quand il chauffe subit une contrainte (Dilatation thermique).

Avancé

Pourquoi les petites déformations sont linéaires

Légende

$U$	Énergie potentielle de la paire d'atomes : la courbe en trait plein, comptée à partir d'un zéro arbitraire.	$\mathrm{J}$
$x$	Distance entre les deux atomes.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Distance d'équilibre, au fond du puits.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Énergie d'un ressort idéal de même fond et de même courbure : la parabole en pointillés.	$\mathrm{J}$
$k$	Raideur de ce ressort, égale à la courbure $U^{\prime \prime }(x_0)$ du puits en son fond.	$N/m$

La loi de Hooke affirme que la force nécessaire pour déformer un corps est proportionnelle à la déformation. Ce n'est pas un principe fondamental comme la conservation de l'énergie. C'est l'allure que prend presque n'importe quelle force régulière quand le déplacement est petit, et la figure 1 montre pourquoi.

La courbe en trait plein $U$ est l'énergie potentielle de deux atomes voisins d'un solide, tracée en fonction de leur distance $x$. Les atomes s'attirent à longue portée et se repoussent fortement à courte portée ; ces deux effets sont électriques. Ensemble, ils créent un puits dont le point le plus bas est la distance d'équilibre $x_0$. À gauche, là où les atomes sont rapprochés, la courbe monte en pente raide. À droite, là où on les écarte, elle s'aplatit, et assez loin la liaison cède.

La parabole en pointillés $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ est l'énergie d'un ressort idéal qui a le même fond et la même courbure. Regardez d'abord près de $x_0$ : les deux courbes s'y distinguent à peine. Regardez ensuite les deux verticales en pointillés, placées à égale distance de part et d'autre de $x_0$. Les points marqués dessus montrent où les courbes se séparent : du côté comprimé (à gauche), la courbe réelle passe au-dessus de la parabole ; du côté étiré (à droite), en dessous.

Pour le dire précisément, développez $U$ en série de Taylor autour du minimum :
$U(x)=U(x_0)+U^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\frac{1}{6}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^3+\cdots$

Chaque terme porte une puissance plus élevée du déplacement $x-x_0$ ; pour de petits déplacements, chacun est donc bien plus petit que le précédent. Le premier terme est une constante et n'exerce aucune force. Le deuxième est nul, car la pente de $U$ s'annule en un minimum : $U^{\prime }(x_0)=0$. En dérivant ce qui reste, on obtient la force $F=-dU/dx$ :
$F=-k(x-x_0)-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2,k=U^{\prime \prime }(x_0)$

Le premier terme est la loi de Hooke. Pour des déplacements assez petits, il l'emporte sur le second, quelle que soit la forme du puits ; c'est pourquoi une seule loi couvre une liaison moléculaire, un câble d'acier et un pont. La raideur $k$ est la courbure du puits en son fond, et $k>0$ est exactement la condition d'un équilibre stable : écartés dans un sens comme dans l'autre, les atomes sont ramenés.

Le second terme mesure la dissymétrie du puits : c'est l'écart entre les deux courbes de la figure 1. Une liaison réelle est plus difficile à comprimer qu'à étirer, donc $U^{\prime \prime \prime }(x_0)<0$, et la force supplémentaire $-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$ est positive des deux côtés. Quand la liaison est étirée ($x>x_0$), cette force s'oppose à la traction de rappel, et la liaison devient plus souple ; quand la liaison est comprimée ($x<x_0$), elle s'ajoute à la poussée de rappel, et la liaison devient plus raide. La correction est petite : l'acier ne reste élastique que jusqu'à des déformations (variations relatives de longueur) d'environ 0,1 %, et elle n'y représente qu'une fraction de pour cent. Pourtant, c'est cette même dissymétrie qui fait que les solides se dilatent quand on les chauffe.

D'un ressort à un matériau

La constante $k$ appartient à un ressort ou à une barre en particulier. Pour décrire un matériau, il faut une constante qui ne dépende pas de la taille de l'échantillon, et deux expériences de pensée montrent par quoi diviser.

Mettez deux blocs identiques bout à bout et tirez. Chaque bloc supporte la même force $F$, donc chacun s'allonge d'autant, et la paire s'allonge deux fois plus qu'un seul bloc : c'est la règle de l'association en série. L'allongement croît proportionnellement à la longueur ; la mesure de la déformation qui ne dépend pas de la longueur est donc la déformation relative, c'est-à-dire l'allongement par unité de longueur initiale, $\epsilon =\Delta L/L_0$.

Placez maintenant les deux blocs côte à côte. Pour leur donner le même allongement, il faut deux fois plus de force : c'est la règle de l'association en parallèle. La force croît proportionnellement à l'aire de la section $A$ ; la mesure de la charge qui ne dépend pas de l'aire est donc la contrainte, la force par unité d'aire, $\sigma =F/A$.

Pour une barre homogène, la contrainte est proportionnelle à la déformation, et le coefficient de proportionnalité $E$, le module d'Young, n'appartient qu'au matériau. Réarrangée, la même loi donne la raideur de la barre :
$\frac{F}{A}=E\frac{\Delta L}{L_0},k=\frac{AE}{L_0}$

Une barre courte et épaisse est raide, une barre longue et fine est souple, et pourtant une seule valeur de $E$ les décrit toutes deux si elles sont faites du même acier.

Des liaisons atomiques au module d'Young

Légende

$a$	Distance entre atomes voisins.	$\mathrm{m}$
$k_b$	Raideur d'une liaison, dessinée comme un ressort.	$N/m$
$L_0$	Longueur de la barre.	$\mathrm{m}$
$A$	Aire de la face d'extrémité sur laquelle agit la charge (la plaque, vue par la tranche) : la section de la barre.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Charge qui tire sur la face d'extrémité de la barre.	$\mathrm{N}$

On peut estimer le module d'Young à partir des atomes eux-mêmes, en appliquant le même décompte en série et en parallèle. La figure 2 modélise un cristal par un empilement cubique d'atomes distants de $a$, chaque liaison étant un ressort de raideur $k_b$. La barre, de longueur $L_0$, est tenue par le mur à gauche et tirée par la force $F$ à droite. La plaque sombre est sa face d'extrémité, d'aire $A$, vue par la tranche.

Comptez d'abord à travers la barre. Chaque atome occupe un carré de côté $a$ de la face d'extrémité, donc $A/a^2$ chaînes d'atomes courent côte à côte le long de la barre (trois sur le schéma). Comptez ensuite le long d'une chaîne : c'est une série de $L_0/a$ liaisons (cinq sur le schéma).

Combinez maintenant les deux décomptes. En série, $L_0/a$ ressorts égaux se partagent l'allongement, si bien qu'une chaîne est plus souple qu'une liaison d'un facteur égal à ce nombre : sa raideur vaut $k_b/(L_0/a)=k_{b}a/L_0$. En parallèle, les chaînes se partagent la charge, donc leurs raideurs s'additionnent :
$k=\frac{A}{a^2}\cdot \frac{k_{b}a}{L_0}=\frac{A}{L_0}\cdot \frac{k_b}{a}$

En comparant avec $k=AE/L_0$, on obtient $E=k_b/a$ : le module est la raideur d'une liaison divisée par la distance entre atomes.

Pour l'acier, $E=200\mathrm{GPa}$ et $a\approx 0,25\mathrm{nm}$ donnent $k_b=Ea\approx 50N/m$, juste le double des 25 N/m du ressort de l'animation. Une liaison isolée n'est pas particulièrement raide. Le module n'est énorme que parce que tant de chaînes tirent ensemble : $1/a^2$, soit quelque $1,6\times 10^{19}$ chaînes, traversent chaque mètre carré.

Énergie stockée : l'aire sous la droite

Revenons à un seul ressort, $x$ désignant désormais son allongement par rapport à sa longueur à vide. L'étirer de 0 à $x$ contre sa propre traction $k{x}^{\prime }$ demande le travail
$U={\int }_0^{x}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$

Sur le graphe $F$–$x$ de l'animation, c'est le triangle hachuré sous la droite, de base $x$ et de hauteur $kx$. Pendant que le point rouge monte, l'affichage de $U$ passe par 0,02, 0,08, 0,18 et 0,32 J à 1, 2, 3 et 4 N.

Regardez les accroissements plutôt que les totaux : 0,02, 0,06, 0,10 et 0,14 J, dans le rapport 1 : 3 : 5 : 7. Chaque newton de charge ajoute 4 cm d'allongement, et chaque bande de 4 cm du triangle est un trapèze de hauteur moyenne 0,5, 1,5, 2,5 et 3,5 N. Les bandes suivantes coûtent plus cher parce que le ressort tire déjà quand elles commencent. Pour la même raison, étirer de $x_1$ à $x_2$ coûte $\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$, et non $\frac{1}{2}k(x_2-x_1{)}^2$.

Pour une barre, le même triangle donne $U=\frac{1}{2}F\Delta L=\frac{1}{2}(\sigma A)(\epsilon L_0)$. En divisant par le volume $A{L}_0$ et en utilisant $\epsilon =\sigma /E$, on obtient l'énergie par unité de volume, qui est l'aire sous la droite contrainte–déformation :
$u=\frac{1}{2}\sigma \epsilon =\frac{{\sigma }^2}{2E}$

L'acier à sa limite d'écoulement d'environ 250 MPa, la plus forte contrainte qu'il supporte élastiquement, emmagasine $u=(2,5\times 10^8{)}^2/(2\cdot 2,0\times 10^{11})\approx 1,6\times 10^{5}J/{\mathrm{m}}^3$. Avec une masse volumique d'environ 7800 kg/m³, cela fait environ 20 J par kilogramme, de quoi soulever ce kilogramme de 2 m seulement. Les ressorts stockent l'énergie de façon pratique, mais pas dense.

Contraction latérale, cisaillement et ressorts hélicoïdaux

Une barre étirée devient aussi plus mince. Sa largeur diminue de la fraction $\nu \epsilon$, où $\nu$, le coefficient de Poisson, vaut environ 0,3 pour les métaux et presque 0,5 pour le caoutchouc.

Comme les lois sont linéaires, les effets de charges distinctes s'additionnent simplement. Comprimez un cube avec une pression $p$ sur ses six faces : cela revient à trois compressions simultanées, une le long de chaque axe. Chacune raccourcit le cube le long de son propre axe de la déformation $p/E$ et, par l'effet Poisson, l'allonge le long des deux autres axes de $\nu p/E$. Le long d'un axe quelconque, la déformation nette vaut donc $-(p/E)(1-2\nu )$. La variation relative de volume est la somme des trois déformations, $-3(p/E)(1-2\nu )$, et le module de compressibilité, c'est-à-dire la pression divisée par la perte relative de volume, vaut
$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$

Un $K$ positif exige $\nu <1/2$. Pour $\nu =1/2$, un étirement laisse le volume inchangé, et c'est pourquoi le caoutchouc est si difficile à comprimer.

Un troisième module décrit le cisaillement, un changement de forme à volume constant, comme quand on pousse latéralement le dessus d'un bloc par rapport à sa base. Pour un matériau isotrope, qui a les mêmes propriétés dans toutes les directions, il n'est pas indépendant : deux constantes décrivent toute petite déformation. Connaissant $E$ et $\nu$, le module de cisaillement vaut
$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$
environ 80 GPa pour l'acier.

C'est le cisaillement qui compte dans un ressort hélicoïdal. Tirer sur un ressort hélicoïdal n'allonge presque pas son fil : cela le tord. Pour un fil de diamètre $d$, un enroulement de diamètre $D$ et $n$ spires, la torsion du fil donne
$k=\frac{G{d}^4}{8D^{3}n}$

Un fil d'acier de 0,5 mm d'épaisseur, enroulé en 25 spires de 10 mm de diamètre, donne $k=8,0\times 10^{10}\cdot (5\times 10^{-4}{)}^4/(8\cdot 0,01^3\cdot 25)=25N/m$ : le ressort de l'animation. Remarquez la forte dépendance en $D$ : des spires 1,4 fois plus larges rendraient le ressort $1,4^3\approx 2,7$ fois plus souple. Ainsi, $k$ décrit un ressort, tandis que $E$, $\nu$ et $G$ décrivent l'acier dont il est fait.

Au-delà de la limite d'élasticité

Légende

$\sigma$	Contrainte : la force divisée par la section initiale du fil.	$\mathrm{Pa}$
$\epsilon$	Déformation : allongement par unité de longueur initiale.
$E$	Module d'Young : la pente du début rectiligne, et celle de la droite de décharge.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_y$	Limite d'écoulement, où la droite s'arrête et où le fil commence à s'écouler.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_u$	Résistance maximale à la traction : la plus forte contrainte de la courbe.	$\mathrm{Pa}$
${\epsilon }_p$	Déformation permanente qui subsiste après la décharge.
$u$	Énergie absorbée par unité de volume jusqu'à la rupture : l'aire ombrée sous la courbe.	$J/{\mathrm{m}}^3$

Tout ce qui précède supposait de petites déformations. La figure 3 montre ce qui arrive quand on tire plus loin sur un fil métallique : sa contrainte $\sigma$ en fonction de sa déformation $\epsilon$, jusqu'à la rupture. Ici, $\sigma$ est la force divisée par la section initiale du fil.

Partez de l'origine. La contrainte monte le long d'une droite de pente $E$ : c'est le domaine de la loi de Hooke. La droite s'arrête au point situé à la hauteur de ${\sigma }_y$, la limite d'écoulement (le point violet du graphe du fil dans l'animation). Au-delà, le fil s'écoule. Les dislocations, des défauts linéaires du cristal, commencent à glisser, si bien que des plans d'atomes se décalent les uns par rapport aux autres une rangée à la fois au lieu de glisser tous ensemble. C'est pourquoi les métaux réels s'écoulent si tôt : un cristal parfait tiendrait jusqu'à plusieurs gigapascals, alors que les aciers réels s'écoulent entre 0,25 et 2 GPa. Le graphe $F$–$x$ du ressort dans l'animation a la même forme : sa droite s'arrête à la limite d'élasticité, le point violet à 5,5 N et 22 cm, là où la courbe en pointillés s'infléchit.

Suivez maintenant la courbe au-delà de ${\sigma }_y$. Elle continue de monter, mais plus doucement, parce que les dislocations s'enchevêtrent et se bloquent mutuellement ; c'est l'écrouissage. Le sommet de la courbe est la résistance maximale à la traction ${\sigma }_u$. Au-delà se forme une striction : une courte portion du fil s'amincit plus vite que le reste. La force, et avec elle la contrainte tracée, diminue, alors même que la contrainte vraie dans la striction qui s'amincit continue de croître, et le fil se rompt à la croix (×).

Déchargez ensuite le fil en cours de route, à partir du point situé sur la partie montante de la courbe. Le fil redescend le long de la flèche, une droite parallèle à la droite élastique, de même pente $E$, car seule la partie élastique de la déformation est récupérée. À contrainte nulle, il garde la déformation permanente ${\epsilon }_p$. Rechargé, il remonte la même droite et rejoint la courbe : il est désormais élastique jusqu'à une contrainte plus élevée qu'avant.

L'aire ombrée sous toute la courbe, $u=\int \sigma d\epsilon$, est l'énergie absorbée par unité de volume avant la rupture ; dans la partie rectiligne, c'est le triangle $\frac{1}{2}\sigma \epsilon$ rencontré plus haut. Une grande aire signifie un matériau tenace. Les métaux ductiles absorbent beaucoup d'énergie en s'écoulant avant de rompre, alors que le verre ou la fonte cassent près de la fin de la partie rectiligne. Le ressort de l'animation s'arrête à 4,0 N, soit 73 % de sa limite de 5,5 N ; à la décharge, il repasse donc par la même droite, et les 0,32 J sont intégralement restitués.

Problème résolu : une charge lâchée d'un coup

Légende

$F$	Force ; c'est aussi la charge elle-même, la droite horizontale : le poids des quatre masses accrochées ensemble.	$\mathrm{N}$
$x$	Allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide.	$\mathrm{m}$
$kx$	Traction du ressort pour l'allongement $x$ : la droite inclinée.	$\mathrm{N}$
$x_e$	Allongement où la traction égale la charge, $F/k$ : l'équilibre du chargement doux.	$\mathrm{m}$
$x_L$	Allongement à la limite d'élasticité (le point violet) ; au-delà, la droite du ressort est en pointillés.	$\mathrm{m}$
$x_m$	Allongement au point le plus bas, où les masses s'arrêtent : $2F/k$.	$\mathrm{m}$
$K$	Énergie cinétique des masses : le triangle de gauche est l'énergie gagnée jusqu'à $x_e$ ; celui de droite, $-K$, la même quantité reprise par le ressort.	$\mathrm{J}$

Le plateau de l'animation abaisse chaque masse doucement, de sorte que le ressort est en équilibre à chaque instant. Supposons au contraire que les quatre masses, 4,0 N en tout, soient accrochées ensemble à la longueur à vide, puis lâchées. La figure 4 suit la chute sur un graphe de la force en fonction de l'allongement $x$.

Deux forces agissent sur les masses. La charge $F$, leur poids, est la même pour tout allongement : c'est la droite horizontale. La traction $kx$ du ressort croît avec l'allongement : c'est la droite inclinée. Les deux droites se coupent en $x_e=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$, les 16 cm du chargement doux.

À gauche de $x_e$, la charge est la plus grande des deux forces, donc les masses accélèrent. La force nette est l'écart entre les droites, et son travail, l'aire du triangle de gauche, devient leur énergie cinétique $K$. Celle-ci est maximale en $x_e$, où elle vaut $\frac{1}{2}F{x}_e$.

À droite de $x_e$, le ressort tire plus fort que la charge, donc les masses ralentissent et le ressort reprend l'énergie : c'est le triangle de droite, marqué $-K$. Son aire est égale à celle du triangle de gauche, car la traction monte de $F$ à $2F$ sur la même distance $x_e$ qu'il lui a fallu pour monter de 0 à $F$. L'énergie cinétique est donc de nouveau nulle en $x_m=2x_e$, où les masses s'arrêtent un instant.

L'énergie donne directement le même résultat. En négligeant la masse du ressort et la résistance de l'air, les masses sont momentanément immobiles au point le plus bas ; toute l'énergie libérée par la pesanteur, $F{x}_m$, est donc stockée dans le ressort :
$F{x}_m=\frac{1}{2}k{x}_m^2,x_m=\frac{2F}{k}=\frac{2\cdot 4,0}{25}=0,32\mathrm{m}$

C'est le double des 16 cm du chargement doux, et bien au-delà de la limite d'élasticité de 22 cm, $x_L$, le point violet de la figure 4 : le ressort resterait allongé pour de bon. Une charge brusque double la déformation maximale ; la plus grande charge que ce ressort supporte quand on la lâche depuis sa longueur à vide est donc la moitié de sa limite statique, $25\cdot 0,22/2=2,75\mathrm{N}$.

Un ressort idéal oscillerait entre 0 et 32 cm autour de 16 cm. La masse vaut $m=4,0/9,81=0,408\mathrm{kg}$, donc $\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{25/0,408}\approx 7,83rad/s$ et la période vaut $2\pi /\omega \approx 0,80\mathrm{s}$. La vitesse au centre découle de l'énergie. À 16 cm, la pesanteur a libéré $4,0\cdot 0,16=0,64\mathrm{J}$ et le ressort en contient 0,32 J ; les 0,32 J restants sont donc de l'énergie cinétique : $v=\sqrt{2\cdot 0,32/0,408}\approx 1,25m/s$, égale à $\omega \cdot 0,16\mathrm{m}$, comme l'exige le mouvement harmonique.

Le chargement doux évite tout cela parce que le plateau absorbe l'excédent : 0,32 J si les quatre masses étaient abaissées d'un coup. Charger en quatre étapes, comme le fait l'animation, gaspille moins. À chaque étape, la poussée du plateau part de 1,0 N, le poids de la masse qu'on vient d'ajouter, et tombe à zéro sur 4 cm ; le plateau n'absorbe donc que $\frac{1}{2}\cdot 1,0\cdot 0,04=0,02\mathrm{J}$ par étape. Sur les quatre étapes, la pesanteur libère 0,40 J (les masses descendent de 16, 12, 8 et 4 cm), le ressort en garde 0,32 J et le plateau en prend 0,08 J. Avec des étapes de plus en plus petites, la perte disparaît.

Limites de validité

La loi de Hooke est une loi des petites déformations. L'acier doux ne reste linéaire que jusqu'à une déformation de $250\mathrm{MPa}/200\mathrm{GPa}=1,25\times 10^{-3}$, soit environ 0,13 %, et le verre à vitre casse vers 0,1 %. Le caoutchouc s'étire jusqu'à plusieurs fois sa longueur, mais au-delà de quelques pour cent de déformation sa courbe contrainte–déformation prend la forme d'un S, et sa tension a une autre origine. Le caoutchouc est un enchevêtrement de longues molécules en chaîne. L'étirer les redresse, et leur agitation thermique les ramène vers des formes pelotonnées, bien plus nombreuses. C'est un effet d'entropie, et il a une conséquence surprenante : un élastique étiré tire plus fort quand on le chauffe.

Les matériaux dépendent aussi du temps. Les polymères, le béton et les métaux chauds subissent un fluage : sous une charge constante, ils continuent de se déformer lentement. Beaucoup de matériaux se déchargent aussi selon une courbe différente de celle qu'ils ont suivie à la charge. La boucle entre les deux courbes s'appelle hystérésis, et son aire est l'énergie transformée en chaleur à chaque cycle ; c'est pourquoi une balle en caoutchouc ne rebondit jamais jusqu'à sa hauteur de départ.

Le modèle du ressort a ses propres limites. Un ressort réel de masse $m_s$ oscille comme si environ $m_s/3$ s'ajoutait à la charge. Beaucoup de ressorts de traction sont enroulés avec une tension initiale $F_0$ : ils ne s'allongent pas du tout tant que la charge ne dépasse pas $F_0$, puis suivent $F=F_0+kx$. Le ressort de l'animation n'a pas de tension initiale ; sa droite passe donc par l'origine.

Ce qui vient ensuite

Une masse au bout d'un ressort obéit à $m\ddot{x}=-kx$, l'équation de la leçon Oscillations harmoniques : la charge de 0,41 kg de l'animation oscillerait avec une période de 0,80 s, et la leçon Amortissement et résonance y ajoute les pertes internes. Dans une barre, chaque tranche est une masse entre deux ressorts, et les ondes longitudinales s'y propagent à $\sqrt{E/\rho }$, $\rho$ étant la masse volumique : environ 5000 m/s dans l'acier, près de 15 fois la vitesse du son dans l'air (Notions de base sur les ondes).

La liaison dissymétrique de la figure 1 mène à la leçon Dilatation thermique. Un rail d'acier bloqué à ses deux extrémités et chauffé de 30 K ne peut pas s'allonger ; il subit donc la contrainte qui le recomprimerait d'autant que sa dilatation libre : $\sigma =E\alpha \Delta T=2,0\times 10^{11}\cdot 1,2\times 10^{-5}\cdot 30\approx 7,2\times 10^7\mathrm{Pa}$, soit 72 MPa, $\alpha$ étant le coefficient de dilatation de l'acier. Enfin, le module de compressibilité de l'eau, environ 2,2 GPa, signifie qu'une compression de 1 % demande 22 MPa, quelque 220 atmosphères ; c'est pourquoi la leçon Pression dans les fluides et principe de Pascal peut la traiter comme incompressible.