प्रत्यास्थता: हुक का नियम, प्रतिबल और विकृति

स्प्रिंग समान चरणों में क्यों खिंचता है, $F = k x$ ; यह नियम कहाँ टूटता है; और प्रतिबल $σ$ , विकृति $ε$ तथा यंग मापांक $E = σ / ε$ किसी भी प्रत्यास्थ पदार्थ का वर्णन कैसे करते हैं।

समान भार एक-एक करके स्प्रिंग पर लटकाए जाते हैं: हर भार पैमाने पर उतना ही विस्तार जोड़ता है, और भार हटाने पर स्प्रिंग अपनी मूल लंबाई पर लौट आता है।

इस विषय से पहले: कार्य, ऊर्जा और शक्ति

शुरुआती

मुख्य विचार

प्रत्यास्थ वस्तुएँ बल हटाने पर अपना मूल आकार वापस पा लेती हैं; मिट्टी और आटा ऐसा नहीं करते।
समान भार स्प्रिंग को समान चरणों में खींचते हैं: दोगुना भार, दोगुना विस्तार।
कठोरता k बताती है कि स्प्रिंग को खींचना कितना कठिन है: वही भार कठोर स्प्रिंग को कम खींचता है।
खिंचा हुआ स्प्रिंग ऊर्जा संचित करता है और छोड़े जाने पर वापस देता है, जैसे गुलेल या ट्रैम्पोलीन में।
प्रत्यास्थ सीमा से आगे स्प्रिंग हमेशा के लिए खिंचा रहता है।

स्पंज को दबाएँ, रबर बैंड को खींचें या प्लास्टिक के पैमाने को मोड़ें, फिर छोड़ दें: हर एक वापस उछल आता है।

चरण 1. प्रत्यास्थ है या नहीं? कोई पदार्थ प्रत्यास्थ है यदि बल हटाने पर वह अपना मूल आकार लौटा लेता है। इस परीक्षण से स्टील रबर से अधिक प्रत्यास्थ है: उसे विकृत करना बहुत कठिन है, फिर भी वह लगभग पूरी तरह वापस उछलता है। मॉडलिंग क्ले और आटा इसके विपरीत हैं: उन्हें जिस आकार में दबाएँ, वे उसी आकार में रहते हैं।

चरण 2. हुक का नियम। स्प्रिंग पर भार लटकाइए तो वह थोड़ा खिंचता है। एक और समान भार लटकाइए तो वह उतना ही और खिंचता है: दोगुना भार, दोगुना विस्तार। रॉबर्ट हुक (1678) ने इसे $F = k x$ लिखा: बल $F$ एक संख्या $k$ गुना विस्तार $x$ के बराबर है।

चरण 3. कठोरता। संख्या $k$ बताती है कि स्प्रिंग कितना कठोर है। खिलौने का कुंडली स्प्रिंग बहुत मुलायम है (छोटा $k$ ); कार के सस्पेंशन का स्प्रिंग बहुत कठोर है (बड़ा $k$ ), इसलिए वही भार उसे बहुत कम खींचता है।

चरण 4. ऊर्जा और सीमाएँ। खिंचा हुआ स्प्रिंग ऊर्जा संचित करता है और छोड़े जाने पर वापस देता है: गुलेल और ट्रैम्पोलीन ऐसे ही काम करते हैं। पर अधिक ज़ोर से खींचें तो स्प्रिंग अपनी प्रत्यास्थ सीमा पार कर जाता है: वह हमेशा के लिए लंबा रह जाता है और अपनी मूल लंबाई पर कभी नहीं लौटता।

खुद जाँचें: एक स्प्रिंग 5 N के भार से 2 cm खिंचता है। 15 N के भार से, जो उसकी प्रत्यास्थ सीमा से नीचे है, वह कितना खिंचेगा? (6 cm: बल तीन गुना, तो विस्तार भी तीन गुना।)

एनिमेशन में समान भार एक-एक करके लटकाए जाते हैं। हर एक लाल सूचक को पैमाने पर उतने ही चरण नीचे ले जाता है (हरे चिह्न), और हरी पट्टियाँ समान चरणों में बढ़ती हैं। भार हटाने पर स्प्रिंग ठीक उसी बिंदीदार रेखा पर लौट आता है जहाँ से वह शुरू हुआ था।

मध्यम

मुख्य विचार

हुक का नियम: $F = k x$ , जहाँ $x$ लंबाई में परिवर्तन है, स्वयं लंबाई नहीं।
$k = F / x$ , N/m में; एनिमेशन के स्प्रिंग का $k = 1.0 N /0.040 m = 25 N/m$ है।
लटका हुआ द्रव्यमान तब साम्य में होता है जब स्प्रिंग का खिंचाव उसके भार के बराबर हो: $k x = m g$ ।
श्रेणीक्रम: $1/ k = 1/ k_{1} + 1/ k_{2}$ (अधिक मुलायम)। समानांतर: $k = k_{1} + k_{2}$ (अधिक कठोर)।
प्रतिबल $σ = F / A$ और विकृति $ε = Δ L / L_{0}$ पदार्थ का वर्णन करते हैं; यंग मापांक $E = σ / ε$ है।

भार, विस्तार और स्प्रिंग-नियतांक

स्प्रिंग पर भार लटकाने से वह लंबा हो जाता है। महत्वपूर्ण है लंबाई में परिवर्तन, यानी विस्तार $x = L - L_{0}$ , जहाँ $L_{0}$ प्राकृतिक लंबाई है और $L$ भार के अधीन लंबाई; एनिमेशन में इसे बिंदीदार रेखा से मापा जाता है। संपीड़ित स्प्रिंग का $x$ ऋणात्मक होता है।

रॉबर्ट हुक ने 1678 में प्रकाशित किया कि एक सीमा तक विस्तार उसे उत्पन्न करने वाले बल के समानुपाती होता है: भार दोगुना, तो विस्तार भी दोगुना।
$F = k x$

नियतांक $k$ स्प्रिंग-नियतांक या कठोरता है, जिसकी इकाई न्यूटन प्रति मीटर (N/m) है: प्रति मीटर विस्तार के लिए आवश्यक बल। इसे भार को उससे उत्पन्न विस्तार से भाग देकर पाया जाता है:
$k = \frac{F}{x}$
खिलौने के कुंडली स्प्रिंग का लगभग 1 N/m है, एनिमेशन के स्प्रिंग का 25 N/m, और कार के सस्पेंशन स्प्रिंग का लगभग 30 000 N/m।

स्प्रिंग उतने ही परिमाण का प्रत्यानयन बल लगाता है, जो विस्तार के विपरीत दिशा में होता है: जब चिह्न मायने रखता है तो $F = - k x$ लिखते हैं। स्थिर लटका हुआ द्रव्यमान साम्य में होता है, इसलिए $k x = m g$ , और यही सिद्धांत स्प्रिंग-तुला से भार मापने का आधार है। एनिमेशन में नीला $k x$ तीर और लाल $F$ तीर हमेशा समान लंबाई के होते हैं; भार नीचे उतारते समय धूसर ट्रे-तीर शेष भार वहन करता है।

ऊर्जा और बल–विस्तार ग्राफ़

विस्तार के विरुद्ध भार का ग्राफ़ मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा देता है, जिसकी ढाल $k$ है: कठोर स्प्रिंग के लिए ढाल तीखी, मुलायम के लिए मंद। बिंदु केवल प्रत्यास्थ सीमा तक ही रेखा पर रहते हैं। उससे नीचे भार हटाने पर स्प्रिंग ठीक अपनी प्राकृतिक लंबाई पर लौट आता है; उससे आगे रेखा मुड़ जाती है और स्प्रिंग हमेशा के लिए लंबा रह जाता है, यह प्लास्टिक विरूपण है।

रेखा के नीचे का क्षेत्रफल खिंचाव में किया गया कार्य है, जो प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है। बल 0 से बढ़कर $k x$ तक समान रूप से बढ़ता है, इसलिए उसका औसत अंतिम मान का आधा है और क्षेत्रफल एक त्रिभुज है:
$U = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} F x$
दोगुना खिंचाव चार गुनी ऊर्जा संचित करता है, और धनुष या गुलेल उसे छोड़ते समय लौटा देते हैं।

श्रेणीक्रम और समानांतर में स्प्रिंग

दो स्प्रिंगों को एक के नीचे एक जोड़ने पर (श्रेणीक्रम) दोनों पूरा भार वहन करते हैं, इसलिए उनके विस्तार जुड़ते हैं: $x = F / k_{1} + F / k_{2}$ । $F$ से भाग देने पर
$series : \frac{1}{k} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$

भार को दो साथ-साथ रखे स्प्रिंगों से लटकाने पर (समानांतर), जो एक छड़ से जुड़े होते हैं और उनके विस्तार समान रखते हैं, वे भार बाँटते हैं, इसलिए उनके बल जुड़ते हैं:
$parallel : k = k_{1} + k_{2}$

एनिमेशन जैसे दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में 12.5 N/m और समानांतर में 50 N/m देते हैं: श्रेणीक्रम वाला जोड़ा किसी भी स्प्रिंग से मुलायम है, समानांतर वाला अधिक कठोर। एक स्प्रिंग को दो आधे भागों का श्रेणीक्रम भी माना जा सकता है, इसलिए एनिमेशन वाले स्प्रिंग का हर आधा भाग 50 N/m का होगा।

उदाहरण: एनिमेशन का स्प्रिंग

एनिमेशन में हर भार 1.0 N का है (द्रव्यमान $1.0/9.81 \approx 0.102 kg$ ) और पैमाने पर सूचक को 4.0 cm नीचे ले जाता है। तालिका की पहली पंक्ति से
$k = \frac{F}{x} = \frac{1.0 N}{0.040 m} = 25 N/m$

बाकी पंक्तियाँ, 2.0 N के लिए 0.08 m से लेकर 4.0 N के लिए 0.16 m तक, अंतिम स्तंभ में वही अनुपात देती हैं: यही स्थिर अनुपात हुक का नियम है। सभी चार भार लटकाने पर $x = F / k = 4.0/25 = 0.16 m$ । चारों भार लटकने पर यही $F$ और $x$ रीडिंग हैं, 4.0 N और 16 cm, और हरा $x$ तीर पैमाने पर 16 cm तक फैलता है।

तब संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 0.1 6^{2} = 0.32 J$ है, जो $\frac{1}{2} \cdot 4.0 \cdot 0.16$ के भी बराबर है। एक, दो और तीन भार के बाद यह 0.02, 0.08 और 0.18 J थी: हर भार उतना ही, 4 cm, जोड़ता है, पर चौथा 0.14 J जोड़ता है, जो पहले का सात गुना है, क्योंकि स्प्रिंग पहले ही 3.0 N से खिंच रहा है। भार हटाने पर $x$ शून्य पर लौटता है और ऊर्जा भी मुक्त होती है, क्योंकि 4.0 N, 5.5 N (22 cm) की प्रत्यास्थ सीमा से नीचे है। पाँचवाँ भार अब भी सुरक्षित होगा; छठा नहीं।

प्रतिबल, विकृति और यंग मापांक

स्प्रिंग-नियतांक किसी एक वस्तु का गुण है, उसके धातु का नहीं। दोगुनी लंबाई का तार समान भार पर दोगुना खिंचता है, और दोगुने अनुप्रस्थ क्षेत्रफल वाले तार को समान विस्तार के लिए दोगुना बल चाहिए। पदार्थ का वर्णन करने के लिए बल को क्षेत्रफल से और विस्तार को मूल लंबाई से भाग दीजिए:
$σ = \frac{F}{A}, ε = \frac{Δ L}{L _{0}}$

प्रतिबल $σ$ की इकाई पास्कल है ( $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ , और $1 MPa = 1 N/m m^{2}$ ); विकृति $ε$ एक शुद्ध संख्या है, जिसे अक्सर प्रतिशत में लिखा जाता है। रैखिक क्षेत्र में दोनों समानुपाती हैं, और उनका अनुपात यंग मापांक (Young's modulus) है:
$E = \frac{σ}{ε}$

स्टील का यंग मापांक लगभग 200 GPa है, एल्युमीनियम और काँच का लगभग 70 GPa, लकड़ी का (रेशे की दिशा में) लगभग 10 GPa, और रबर का केवल 0.01–0.1 GPa। ये तीनों संबंध किसी भी तार या छड़ के विस्तार को एक साथ देते हैं:
$Δ L = \frac{F L _{0}}{A E}$
अतः एकसमान तार वह स्प्रिंग है जिसका $k = A E / L_{0}$ है: लंबा होने पर मुलायम, मोटा होने पर कठोर।

उदाहरण: भार के नीचे स्टील का तार

2.0 m लंबा और 1.0 mm व्यास वाला स्टील का तार 10 kg का द्रव्यमान लटकाता है। वह कितना खिंचेगा? लगने वाला बल द्रव्यमान का भार है, $F = m g = 10 \cdot 9.81 = 98.1 N$ , और अनुप्रस्थ काट वृत्त है:
$A = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{4} = 7.85 \times 1 0^{- 7} m^{2}$

प्रतिबल $σ = 98.1/ (7.85 \times 1 0^{- 7}) = 1.25 \times 1 0^{8} Pa$ , यानी 125 MPa। इसे $E = 200 GPa$ से भाग देने पर विकृति $ε = 1.25 \times 1 0^{8} / (2.0 \times 1 0^{11}) = 6.25 \times 1 0^{- 4}$ मिलती है, लगभग 0.06 %। विस्तार है
$Δ L = ε L_{0} = 6.25 \times 1 0^{- 4} \cdot 2.0 = 1.25 \times 1 0^{- 3} m$
यानी 1.25 mm।

स्प्रिंग के रूप में इस तार का $k = A E / L_{0} \approx 7.9 \times 1 0^{4} N/m$ है, जो एनिमेशन के स्प्रिंग से लगभग 3000 गुना कठोर है। इसका 125 MPa प्रतिबल साधारण संरचनात्मक स्टील के पराभव प्रतिबल (लगभग 250 MPa) का केवल आधा है, इसलिए भार हटाने पर यह पूरी तरह लौट आता है। दोगुने व्यास का तार, जिसका क्षेत्रफल चार गुना है, केवल लगभग 0.31 mm खिंचेगा।

सामान्य गलतियाँ

लंबाई के बजाय विस्तार लेना: 20 cm का स्प्रिंग 24 cm तक खींचा गया, तो उसका $x = 4 cm$ है, 24 cm नहीं।
सेंटीमीटर और मीटर मिलाना: 4.0 cm पर 1.0 N देता है $1.0/0.040 = 25 N/m$ , न कि $1.0/4.0 = 0.25$ ।
द्रव्यमान को बल मान लेना: 0.20 kg का द्रव्यमान अपने भार से खींचता है, यानी $0.20 \cdot 9.81 = 1.96 N$ , न कि 0.20 N से।
आधा गुणक भूल जाना: 16 cm पर एनिमेशन का स्प्रिंग $\frac{1}{2} F x = 0.32 J$ संचित करता है, न कि $F x = 0.64 J$ , क्योंकि खिंचाव के आरंभ में बल कम था।
मानना कि श्रेणीक्रम के स्प्रिंग अधिक कठोर होते हैं: 25 N/m के दो स्प्रिंग एक के नीचे एक जोड़ने पर 12.5 N/m देते हैं, क्योंकि हर स्प्रिंग पूरा भार वहन करता है।

इसका उपयोग कहाँ होता है

स्प्रिंग-तुला, कार के सस्पेंशन, गद्दे, घड़ी के बाल-स्प्रिंग और बॉलपॉइंट पेन के स्प्रिंग सभी $F = k x$ पर आधारित हैं। इलेक्ट्रॉनिक तराजू विकृति-मापी (strain gauge) का उपयोग करते हैं, यानी धातु की ऐसी पन्नियाँ जिनका प्रतिरोध खिंचने पर बदलता है और जो कुछ दस-लाखवें भाग तक की विकृति को भाँप लेती हैं। पुल, क्रेन और विमान ऐसे बनाए जाते हैं कि हर प्रतिबल रैखिक क्षेत्र के भीतर रहे।

स्प्रिंग से लटका कोई द्रव्यमान नीचे खींचकर छोड़ने पर दोलन करता है; यही सरल आवर्त गति का विषय है, और फिर अवमंदन और अनुनाद का। किसी ठोस में ध्वनि की चाल उसके यंग मापांक से तय होती है (तरंगों की मूल बातें देखें), और गरम होने पर फैल न सकने वाली पटरी में प्रतिबल उत्पन्न होता है (ऊष्मीय प्रसार देखें)।

उन्नत

मुख्य विचार

संचित ऊर्जा $U = \int_{0}^{x} k x^{'} d x^{'} = \frac{1}{2} k x^{2}$ है, जो $F$ – $x$ रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है: $x$ दोगुना करने पर $U$ चार गुना हो जाता है।
किसी भी स्थायी न्यूनतम के निकट $U \approx U_{0} + \frac{1}{2} U^{''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}$ : हुक का नियम इसका पहला पद है, जहाँ $k = U^{''} (x_{0})$ ।
सिरे से सिरा जोड़े गए ब्लॉक दोगुना खिंचते हैं; साथ-साथ रखे ब्लॉकों को दोगुने बल की आवश्यकता होती है। अतः $F / A = E Δ L / L$ ।
पराभव बिंदु से आगे भार हटाने पर वक्र प्रत्यास्थ ढाल के समांतर रेखा पर लौटता है और स्थायी विकृति छोड़ता है।
कुंडली स्प्रिंग मरोड़ में कार्य करता है: $k = G d^{4} / (8 D^{3} n)$ , अतः $k$ पदार्थ के साथ-साथ ज्यामिति पर भी निर्भर करता है।

छोटे विरूपण रैखिक क्यों होते हैं

**चित्र 1.** एक-दूसरे के पास के दो परमाणुओं की ऊर्जा $U$ उनकी दूरी $x$ के विरुद्ध (ठोस रेखा), और समान तल वाले आदर्श स्प्रिंग का परवलय (बिंदीदार)। $x_{0}$ के निकट दोनों मेल खाते हैं; दोनों ओर समान दूरी पर, संपीड़न पर वास्तविक वक्र परवलय के ऊपर होता है और खिंचाव पर उसके नीचे। पैमाने के अनुसार नहीं।

हुक का नियम कहता है कि किसी पिंड को विकृत करने के लिए आवश्यक बल विरूपण के समानुपाती होता है। यह ऊर्जा-संरक्षण जैसा मूल सिद्धांत नहीं है। जब विस्थापन छोटा हो, तब लगभग हर चिकना बल इसी रूप का दिखता है, और चित्र 1 दिखाता है कि ऐसा क्यों है।

ठोस में दो पड़ोसी परमाणुओं की स्थितिज ऊर्जा $U$ है, जिसे उनकी दूरी $x$ के विरुद्ध दर्शाया गया है (ठोस रेखा)। परमाणु लंबी दूरी पर एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं और छोटी दूरी पर तीव्रता से प्रतिकर्षित करते हैं; दोनों प्रभाव विद्युतीय हैं। साथ मिलकर वे एक गर्त बनाते हैं जिसका निम्नतम बिंदु साम्य दूरी $x_{0}$ है। बाईं ओर, जहाँ परमाणु एक-दूसरे की ओर दबाए जाते हैं, वक्र तीव्रता से ऊपर चढ़ता है। दाईं ओर, जहाँ वे खींचे जाते हैं, वक्र समतल हो जाता है, और काफी दूर जाने पर बंधन टूट जाता है।

बिंदीदार परवलय $\frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2}$ एक आदर्श स्प्रिंग की ऊर्जा है, जिसका तल और वक्रता वही है। पहले $x_{0}$ के निकट देखें: वहाँ दोनों वक्र मुश्किल से अलग पहचाने जाते हैं। फिर $x_{0}$ के दोनों ओर समान दूरी पर खड़ी दोनों बिंदीदार रेखाओं को देखें। उन पर बने बिंदु दिखाते हैं कि वक्र कहाँ अलग होने लगते हैं: संपीड़ित पक्ष (बाएँ) पर वास्तविक वक्र परवलय के ऊपर है, और खिंचे पक्ष (दाएँ) पर उसके नीचे।

इसे सटीक बनाने के लिए $U$ को न्यूनतम के परितः टेलर श्रेणी में विस्तारित करें:
$U (x) = U (x_{0}) + U^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{1}{2} U^{''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2} + \frac{1}{6} U^{'''} (x_{0}) (x - x_{0})^{3} + \dots$

हर पद में विस्थापन $x - x_{0}$ की उच्चतर घात आती है, इसलिए छोटे विस्थापनों के लिए हर पद पिछले से बहुत छोटा होता है। पहला पद स्थिरांक है और कोई बल नहीं लगाता। दूसरा पद शून्य है, क्योंकि न्यूनतम पर $U$ की ढाल शून्य होती है: $U^{'} (x_{0}) = 0$ । शेष को अवकलित करने पर बल $F = - d U / d x$ मिलता है:
$F = - k (x - x_{0}) - \frac{1}{2} U^{'''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}, k = U^{''} (x_{0})$

पहला पद हुक का नियम है। पर्याप्त छोटे विस्थापनों के लिए यह दूसरे पद से अधिक प्रबल रहता है, चाहे गर्त का आकार कैसा भी हो, और इसी कारण एक ही नियम आणविक बंधन, स्टील की केबल और पुल तीनों पर लागू होता है। कठोरता $k$ गर्त के तल पर उसकी वक्रता है, और $k > 0$ स्थायी साम्य की ठीक यही शर्त है: किसी भी दिशा में विस्थापित होने पर परमाणु वापस धकेले जाते हैं।

दूसरा पद बताता है कि गर्त कितना असममित है: यह चित्र 1 के दोनों वक्रों के बीच का अंतर है। वास्तविक बंधन को खींचने की तुलना में दबाना कठिन होता है, इसलिए $U^{'''} (x_{0}) < 0$ , और अतिरिक्त बल $- \frac{1}{2} U^{'''} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}$ दोनों ओर धनात्मक है। जब बंधन खिंचता है ( $x > x_{0}$ ), तो वह प्रत्यानयन खिंचाव के विरुद्ध कार्य करता है, इसलिए बंधन मुलायम होता है; जब बंधन दबता है ( $x < x_{0}$ ), तो वह प्रत्यानयन धक्के में जुड़ता है, इसलिए बंधन कठोर होता है। यह संशोधन छोटा है: स्टील लगभग 0.1 % की विकृति (लंबाई में भिन्नात्मक परिवर्तन) तक ही प्रत्यास्थ रहता है, और वहाँ यह संशोधन प्रतिशत के एक अंश से भी कम है। फिर भी यही असममिति गरम होने पर ठोसों के फैलने का कारण है।

एक स्प्रिंग से पदार्थ तक

नियतांक $k$ किसी एक विशेष स्प्रिंग या छड़ का होता है। किसी पदार्थ का वर्णन करने के लिए हमें ऐसा नियतांक चाहिए जो नमूने के आकार पर निर्भर न हो, और दो विचार-प्रयोग दिखाते हैं कि किससे भाग देना है।

दो समान ब्लॉकों को सिरे से सिरा जोड़कर खींचिए। हर ब्लॉक पर समान बल $F$ लगता है, इसलिए हर एक समान मात्रा में खिंचता है, और जोड़ा एक ब्लॉक के दोगुने खिंचाव तक खिंचता है: यह श्रेणीक्रम नियम है। विस्तार लंबाई के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए लंबाई-निरपेक्ष विरूपण माप विकृति है, यानी मूल लंबाई की प्रति इकाई विस्तार, $ε = Δ L / L_{0}$ ।

अब दोनों ब्लॉकों को साथ-साथ रखिए। उन्हें समान विस्तार देने के लिए दोगुना बल चाहिए: यह समानांतर नियम है। बल अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए क्षेत्रफल-निरपेक्ष भार माप प्रतिबल है, यानी प्रति इकाई क्षेत्रफल पर बल, $σ = F / A$ ।

एकसमान छड़ के लिए प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है, और समानुपाती स्थिरांक $E$ , यंग मापांक, केवल पदार्थ पर निर्भर करता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर वही नियम छड़ की कठोरता देता है:
$\frac{F}{A} = E \frac{Δ L}{L _{0}}, k = \frac{A E}{L _{0}}$

छोटी और मोटी छड़ कठोर होती है, और लंबी व पतली मुलायम; फिर भी यदि दोनों एक ही स्टील से बनी हों, तो $E$ का एक ही मान दोनों का वर्णन करता है।

परमाणु बंधनों से यंग मापांक तक

यंग मापांक का अनुमान परमाणुओं से ही लगाया जा सकता है, वही श्रेणी और समानांतर गिनती लगाकर। चित्र 2 एक क्रिस्टल को $a$ दूरी पर स्थित परमाणुओं के घनीय ढेर के रूप में दर्शाता है, जहाँ हर बंधन $k_{b}$ कठोरता वाला स्प्रिंग है। लंबाई $L_{0}$ की छड़ बाईं ओर दीवार से थामी गई है और दाईं ओर बल $F$ से खींची जाती है। गहरी प्लेट उसका अंतिम सिरा है, जिसका क्षेत्रफल $A$ है, और उसे किनारे से देखा गया है।

पहले छड़ के आर-पार गिनिए। अंतिम सिरे पर हर परमाणु भुजा $a$ के एक वर्ग को घेरता है, इसलिए छड़ के साथ-साथ परमाणुओं की $A / a^{2}$ शृंखलाएँ पास-पास चलती हैं (चित्र में तीन)। फिर एक शृंखला के साथ गिनिए: वह $L_{0} / a$ बंधनों का श्रेणीक्रम है (चित्र में पाँच)।

अब दोनों गिनतियाँ मिलाइए। श्रेणीक्रम में $L_{0} / a$ समान स्प्रिंग विस्तार बाँटते हैं, इसलिए एक शृंखला उस गुणक के बराबर एक बंधन से मुलायम होती है: उसकी कठोरता है $k_{b} / (L_{0} / a) = k_{b} a / L_{0}$ । समानांतर में शृंखलाएँ भार बाँटती हैं, इसलिए उनकी कठोरताएँ जुड़ती हैं:
$k = \frac{A}{a ^{2}} \cdot \frac{k _{b} a}{L _{0}} = \frac{A}{L _{0}} \cdot \frac{k _{b}}{a}$

इसकी तुलना $k = A E / L_{0}$ से करने पर $E = k_{b} / a$ मिलता है: मापांक एक बंधन की कठोरता को परमाणुओं की दूरी से भाग देने पर मिलता है।

स्टील के लिए $E = 200 GPa$ और $a \approx 0.25 nm$ से $k_{b} = E a \approx 50 N/m$ मिलता है, जो एनिमेशन के स्प्रिंग के 25 N/m का ठीक दोगुना है। एक अकेला बंधन विशेष कठोर नहीं है। मापांक केवल इसलिए बहुत बड़ा है कि इतनी सारी शृंखलाएँ एक साथ खिंचती हैं: हर वर्ग मीटर से $1/ a^{2}$ , लगभग $1.6 \times 1 0^{19}$ शृंखलाएँ गुजरती हैं।

रेखा के नीचे का क्षेत्रफल: संचित ऊर्जा

वापस एक स्प्रिंग पर, अब $x$ उसकी प्राकृतिक लंबाई से विस्तार को दर्शाता है। उसके अपने खिंचाव $k x^{'}$ के विरुद्ध उसे 0 से $x$ तक खींचने में लगा कार्य है
$U = \int_{0}^{x} k x^{'} d x^{'} = \frac{1}{2} k x^{2}$

एनिमेशन के $F$ – $x$ ग्राफ़ पर यह रेखा के नीचे का छायांकित त्रिभुज है, जिसका आधार $x$ और ऊँचाई $k x$ है। जैसे-जैसे लाल बिंदु ऊपर चढ़ता है, $U$ रीडिंग 1, 2, 3 और 4 N पर क्रमशः 0.02, 0.08, 0.18 और 0.32 J तक पहुँचती है।

कुल मानों के बजाय वृद्धियों को देखिए: 0.02, 0.06, 0.10 और 0.14 J, जो 1 : 3 : 5 : 7 के अनुपात में हैं। भार का हर न्यूटन 4 cm का विस्तार जोड़ता है, और त्रिभुज की हर 4 cm चौड़ी पट्टी एक समलंब है जिसकी औसत ऊँचाई क्रमशः 0.5, 1.5, 2.5 और 3.5 N है। बाद की पट्टियों पर अधिक ऊर्जा लगती है, क्योंकि उनके आरंभ में स्प्रिंग पहले से खिंच रहा होता है। इसी कारण $x_{1}$ से $x_{2}$ तक खींचने में लगी ऊर्जा $\frac{1}{2} k (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$ है, न कि $\frac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$ ।

छड़ के लिए वही त्रिभुज $U = \frac{1}{2} F Δ L = \frac{1}{2} (σ A) (ε L_{0})$ देता है। आयतन $A L_{0}$ से भाग देने और $ε = σ / E$ का उपयोग करने पर प्रति इकाई आयतन ऊर्जा मिलती है, जो प्रतिबल–विकृति रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है:
$u = \frac{1}{2} σ ε = \frac{σ ^{2}}{2 E}$

लगभग 250 MPa के पराभव प्रतिबल पर स्टील, जो वह सबसे अधिक प्रतिबल है जो वह प्रत्यास्थ रूप से सहता है, $u = (2.5 \times 1 0^{8})^{2} / (2 \cdot 2.0 \times 1 0^{11}) \approx 1.6 \times 1 0^{5} J/ m^{3}$ संचित करता है। लगभग 7800 kg/m³ घनत्व के साथ यह प्रति किलोग्राम लगभग 20 J है, जो उस एक किलोग्राम को केवल 2 m ऊपर उठाने के लिए काफ़ी है। स्प्रिंग ऊर्जा सुविधा से संचित करते हैं, सघनता से नहीं।

पार्श्विक संकुचन, अपरूपण और कुंडली स्प्रिंग

खिंची हुई छड़ पतली भी हो जाती है। उसकी चौड़ाई $ν ε$ के अंश से घटती है, जहाँ पॉइसन अनुपात $ν$ धातुओं के लिए लगभग 0.3 और रबर के लिए लगभग 0.5 है।

चूँकि नियम रैखिक हैं, अलग-अलग भारों के प्रभाव सीधे जुड़ जाते हैं। घन को उसके छहों फलकों पर दाब $p$ से दबाइए: यह एक साथ तीन संपीड़न हैं, हर अक्ष के अनुदिश एक। हर एक घन को अपनी अक्ष के अनुदिश $p / E$ विकृति से छोटा करता है और पॉइसन अनुपात के माध्यम से अन्य दो अक्षों के अनुदिश $ν p / E$ से लंबा करता है। अतः किसी भी एक अक्ष के अनुदिश शुद्ध विकृति $- (p / E) (1 - 2 ν)$ है। आयतन का भिन्नात्मक परिवर्तन तीनों विकृतियों का योग $- 3 (p / E) (1 - 2 ν)$ है, और आयतन मापांक, यानी दाब को आयतन की भिन्नात्मक हानि से भाग देने पर मिलने वाली राशि,
$K = \frac{E}{3 ( 1 - 2 ν )}$

$K$ का धनात्मक होना $ν < 1/2$ की माँग करता है। $ν = 1/2$ पर खिंचाव आयतन नहीं बदलता, और यही कारण है कि रबर को दबाना इतना कठिन है।

तीसरा मापांक अपरूपण को दर्शाता है, यानी आयतन स्थिर रखते हुए आकार का बदलना, जैसे किसी ब्लॉक के ऊपरी भाग को उसके आधार पर क्षैतिज रूप से धकेलना। समदैशिक पदार्थ के लिए, यानी ऐसा पदार्थ जिसके गुण हर दिशा में समान हों, यह स्वतंत्र नहीं है: दो नियतांक हर छोटे विरूपण का वर्णन कर देते हैं। $E$ और $ν$ दिए हों तो अपरूपण मापांक है
$G = \frac{E}{2 ( 1 + ν )}$
स्टील के लिए लगभग 80 GPa।

कुंडली स्प्रिंग में अपरूपण ही निर्णायक है। कुंडली स्प्रिंग को खींचने से उसका तार लगभग लंबा नहीं होता; वह मुड़ता है। तार का व्यास $d$ , कुंडली का व्यास $D$ और फेरों की संख्या $n$ हो, तो तार के मरोड़ से
$k = \frac{G d ^{4}}{8 D ^{3} n}$

0.5 mm मोटे स्टील के तार को 10 mm व्यास के 25 फेरों में लपेटने पर $k = 8.0 \times 1 0^{10} \cdot (5 \times 1 0^{- 4})^{4} / (8 \cdot 0.0 1^{3} \cdot 25) = 25 N/m$ मिलता है: यह एनिमेशन का ही स्प्रिंग है। $D$ पर प्रबल निर्भरता पर ध्यान दीजिए: कुंडली 1.4 गुना चौड़ी हो तो स्प्रिंग $1. 4^{3} \approx 2.7$ गुना मुलायम हो जाएगा। अतः $k$ एक स्प्रिंग का वर्णन करता है, जबकि $E$ , $ν$ और $G$ उस स्टील का वर्णन करते हैं जिससे वह बना है।

प्रत्यास्थ सीमा से परे

अब तक की सारी चर्चा छोटी विकृतियों को मानकर चली। चित्र 3 दिखाता है कि धातु के तार को और खींचने पर क्या होता है: उसका प्रतिबल $σ$ विकृति $ε$ के विरुद्ध, टूटने तक। यहाँ $σ$ तार के मूल अनुप्रस्थ काट से विभाजित बल है।

मूल बिंदु से आरंभ कीजिए। प्रतिबल ढाल $E$ की सीधी रेखा पर ऊपर उठता है: यह हुक के नियम का क्षेत्र है। यह रेखा उस बिंदु पर समाप्त होती है जिसकी ऊँचाई $σ_{y}$ के बराबर है, यानी पराभव प्रतिबल (एनिमेशन के तार-ग्राफ़ का बैंगनी बिंदु)। उससे आगे तार बहने लगता है। क्रिस्टल के रेखीय दोष, विस्थापन (dislocation), फिसलने लगते हैं, इसलिए परमाणु-तल एक साथ नहीं, बल्कि एक-एक पंक्ति करके एक-दूसरे पर से फिसलते हैं। वास्तविक धातुएँ इतनी जल्दी पराभव पर क्यों पहुँचती हैं, इसका यही कारण है: एक आदर्श क्रिस्टल कई गीगापास्कल तक टिका रहता, जबकि वास्तविक स्टील 0.25–2 GPa पर पराभव दिखाता है। स्प्रिंग के लिए एनिमेशन के $F$ – $x$ ग्राफ़ का आकार भी यही है: उसकी सीधी रेखा प्रत्यास्थ सीमा पर समाप्त होती है, 5.5 N और 22 cm पर बैंगनी बिंदु, जहाँ बिंदीदार वक्र मुड़ जाता है।

अब वक्र पर $σ_{y}$ के आगे चलिए। वह ऊपर उठता रहता है, पर धीमे, क्योंकि विस्थापन एक-दूसरे में उलझ जाते हैं और एक-दूसरे को रोकते हैं; इसे कार्य-कठोरण कहते हैं। वक्र का शिखर परम तन्य सामर्थ्य $σ_{u}$ है। उसके आगे एक ग्रीवा (neck) बनती है: तार का एक छोटा हिस्सा बाकी से तेज़ी से पतला होने लगता है। बल, और उसके साथ आलेखित प्रतिबल, घटने लगता है, भले ही सिकुड़ती ग्रीवा में वास्तविक प्रतिबल अब भी बढ़ रहा हो, और तार क्रॉस (×) पर टूट जाता है।

अगले, वक्र के चढ़ते भाग पर किसी बिंदु पर लोडिंग रोकिए और भार हटाइए। तार तीर के अनुदिश नीचे उतरता है, एक ऐसी रेखा पर जो प्रत्यास्थ रेखा के समांतर है, उसी ढाल $E$ के साथ, क्योंकि विकृति का केवल प्रत्यास्थ भाग ही वापस आता है। शून्य प्रतिबल पर वह स्थायी विकृति $ε_{p}$ रखता है। फिर से भार डालने पर वह उसी रेखा पर चढ़कर वक्र से पुनः जुड़ जाता है: अब वह पहले की तुलना में अधिक प्रतिबल तक प्रत्यास्थ है।

पूरे वक्र के नीचे छायांकित क्षेत्र, $u = \int σ d ε$ , टूटने से पहले प्रति इकाई आयतन अवशोषित ऊर्जा है; सीधे भाग में यह पहले मिले त्रिभुज $\frac{1}{2} σ ε$ के बराबर है। बड़ा क्षेत्रफल दृढ़ (tough) पदार्थ का संकेत है। तन्य धातुएँ टूटने से पहले बहकर बहुत ऊर्जा सोखती हैं, जबकि काँच या कच्चा लोहा सीधे भाग के अंत के पास टूट जाते हैं। एनिमेशन का स्प्रिंग 4.0 N पर रुकता है, जो उसकी 5.5 N सीमा का 73 % है, इसलिए भार हटाने पर वह रेखा को उलटा तय करता है और पूरे 0.32 J वापस मिल जाते हैं।

उदाहरण: भार को नीचे गिरने देना

**चित्र 4.** गिरते भार का बल बनाम विस्तार। भार $F$ और खिंचाव $k x$ $x_{e}$ पर मिलते हैं। बायाँ त्रिभुज उस बिंदु तक प्राप्त गतिज ऊर्जा $K$ है; दायाँ त्रिभुज, समान क्षेत्रफल वाला, उसे वापस ले लेता है, इसलिए भार $x_{m} = 2 x_{e}$ पर रुकते हैं, जो प्रत्यास्थ सीमा $x_{L}$ से आगे है।

एनिमेशन में ट्रे हर भार को धीरे से उतारती है, इसलिए स्प्रिंग हर क्षण साम्य में रहता है। मान लीजिए इसके बजाय चारों भार, कुल 4.0 N, प्राकृतिक लंबाई पर एक साथ लटका दिए जाएँ और छोड़ दिए जाएँ। चित्र 4 बल बनाम विस्तार $x$ के ग्राफ़ पर इस गिरावट को दिखाता है।

भार पर दो बल कार्य करते हैं। भार $F$ , यानी उन पर गुरुत्व का बल, हर विस्तार पर समान रहता है: क्षैतिज रेखा। स्प्रिंग का खिंचाव $k x$ विस्तार के साथ बढ़ता है: तिरछी रेखा। दोनों रेखाएँ $x_{e} = F / k = 4.0/25 = 0.16 m$ पर मिलती हैं, यानी धीरे-धीरे लोड करने पर 16 cm।

$x_{e}$ के बाईं ओर भार वाला बल बड़ा है, इसलिए पिंड तेज़ होते हैं। शुद्ध बल दोनों रेखाओं के बीच का अंतर है, और उसके द्वारा किया गया कार्य, यानी बाएँ त्रिभुज का क्षेत्रफल, उनकी गतिज ऊर्जा $K$ बन जाता है। यह $x_{e}$ पर सबसे अधिक होती है, जहाँ यह $\frac{1}{2} F x_{e}$ के बराबर है।

$x_{e}$ के दाईं ओर स्प्रिंग का खिंचाव भार से अधिक होता है, इसलिए भार धीमे होते हैं और स्प्रिंग ऊर्जा वापस ले लेता है: दाहिना त्रिभुज, जिस पर $- K$ अंकित है। उसका क्षेत्रफल बाएँ त्रिभुज के बराबर है, क्योंकि खिंचाव $F$ से $2 F$ तक उसी दूरी $x_{e}$ में चढ़ता है, जिसमें वह 0 से $F$ तक चढ़ा था। अतः गतिज ऊर्जा $x_{m} = 2 x_{e}$ पर फिर शून्य हो जाती है, जहाँ भार क्षण भर के लिए रुक जाते हैं।

ऊर्जा से सीधे वही परिणाम मिलता है। स्प्रिंग का द्रव्यमान और वायु-प्रतिरोध नगण्य मानें, तो निम्नतम बिंदु पर भार क्षण भर के लिए स्थिर होते हैं, इसलिए गुरुत्व द्वारा मुक्त हुई पूरी ऊर्जा, $F x_{m}$ , स्प्रिंग में संचित हो जाती है:
$F x_{m} = \frac{1}{2} k x_{m}^{2}, x_{m} = \frac{2 F}{k} = \frac{2 \cdot 4.0}{25} = 0.32 m$

यह धीरे-धीरे लोड करने पर मिले 16 cm का दोगुना है, और 22 cm की प्रत्यास्थ सीमा $x_{L}$ से (चित्र 4 का बैंगनी बिंदु) बहुत आगे: स्प्रिंग हमेशा के लिए खिंच जाएगा। अचानक लगाया गया भार शिखर विरूपण को दोगुना कर देता है, इसलिए प्राकृतिक लंबाई से गिराए जाने पर इस स्प्रिंग के सह सकने वाला सबसे बड़ा भार उसकी स्थैतिक सीमा का आधा है, यानी $25 \cdot 0.22/2 = 2.75 N$ ।

एक आदर्श स्प्रिंग 0 और 32 cm के बीच, 16 cm के इर्द-गिर्द दोलन करता। द्रव्यमान $m = 4.0/9.81 = 0.408 kg$ है, इसलिए $ω = k / m = 25/0.408 \approx 7.83 rad/s$ और आवर्तकाल $2 π / ω \approx 0.80 s$ । केंद्र पर चाल ऊर्जा से मिलती है। 16 cm पर गुरुत्व ने $4.0 \cdot 0.16 = 0.64 J$ मुक्त किए और स्प्रिंग 0.32 J रखता है, इसलिए शेष 0.32 J गतिज ऊर्जा है: $v = 2 \cdot 0.32/0.408 \approx 1.25 m/s$ , जो $ω \cdot 0.16 m$ के बराबर है, जैसा सरल आवर्त गति के लिए आवश्यक है।

धीरे-धीरे लोड करने से यह सब टल जाता है, क्योंकि ट्रे अतिरिक्त ऊर्जा सोख लेती है: यदि चारों भार एक साथ उतारे जाते, तो ट्रे को 0.32 J सोखने पड़ते। एनिमेशन की तरह चार चरणों में लोड करने पर कम बर्बादी होती है। हर चरण में ट्रे का धक्का 1.0 N से शुरू होता है, यानी अभी जोड़े गए भार से, और 4 cm में शून्य हो जाता है, इसलिए ट्रे हर चरण में केवल $\frac{1}{2} \cdot 1.0 \cdot 0.04 = 0.02 J$ सोखती है। चारों चरणों में गुरुत्व 0.40 J मुक्त करता है (भार 16, 12, 8 और 4 cm नीचे गिरते हैं), स्प्रिंग 0.32 J रखता है और ट्रे 0.08 J लेती है। चरण जितने छोटे होंगे, हानि उतनी ही कम होगी और अंततः शून्य हो जाएगी।

वैधता की सीमाएँ

हुक का नियम एक छोटी-विकृति का नियम है। मृदु स्टील केवल $250 MPa /200 GPa = 1.25 \times 1 0^{- 3}$ की विकृति, लगभग 0.13 % तक रैखिक रहता है, और खिड़की का काँच लगभग 0.1 % पर टूट जाता है। रबर अपनी लंबाई से कई गुना खिंच सकता है, पर कुछ प्रतिशत विकृति से आगे उसका प्रतिबल–विकृति वक्र S-आकार का हो जाता है, और उसके तनाव का स्रोत भी भिन्न है। रबर लंबे शृंखला-अणुओं का उलझा हुआ जाल है। उसे खींचने से ये अणु सीधे हो जाते हैं, और उनकी ऊष्मीय गति उन्हें वापस उलझी हुई आकृतियों की ओर खींचती है, जो सीधी आकृतियों से कहीं अधिक हैं। यह एन्ट्रॉपी का प्रभाव है, और इसका एक चौंकाने वाला परिणाम है: खिंचा हुआ रबर बैंड गरम होने पर अधिक ज़ोर से खींचता है।

पदार्थ समय पर भी निर्भर करते हैं। बहुलक, कंक्रीट और गरम धातुएँ विसर्पण (क्रीप) करती हैं: स्थिर भार के नीचे वे धीरे-धीरे विकृत होती रहती हैं। कई पदार्थ भी उस वक्र से भिन्न वक्र पर भार उतारते हैं जिस पर उन्होंने भार लिया था। दोनों वक्रों के बीच का लूप हिस्टेरिसिस कहलाता है, और उसका क्षेत्रफल हर चक्र में ऊष्मा में बदली ऊर्जा है, इसीलिए रबर की गेंद अपनी प्रारंभिक ऊँचाई पर कभी वापस नहीं उछलती।

स्प्रिंग मॉडल की अपनी सीमाएँ भी हैं। द्रव्यमान $m_{s}$ वाला वास्तविक स्प्रिंग इस तरह दोलन करता है मानो भार में लगभग $m_{s} /3$ जुड़ा हो। कई तनन-स्प्रिंग प्रारंभिक तनाव $F_{0}$ के साथ कुंडलित होते हैं: भार $F_{0}$ से अधिक होने तक वे बिल्कुल नहीं खिंचते, और उसके बाद $F = F_{0} + k x$ का पालन करते हैं। एनिमेशन के स्प्रिंग में कोई प्रारंभिक तनाव नहीं है, इसलिए उसकी रेखा मूल बिंदु से गुजरती है।

इससे आगे का रास्ता

स्प्रिंग पर लटका द्रव्यमान $m \overset{x}{¨} = - k x$ का पालन करता है, जो सरल आवर्त गति का समीकरण है: एनिमेशन का 0.41 kg का भार 0.80 s आवर्तकाल से दोलन करता, और अवमंदन और अनुनाद आंतरिक हानियाँ जोड़ते हैं। छड़ में हर खंड स्प्रिंगों के बीच का एक द्रव्यमान है, और अनुदैर्ध्य तरंगें उसके साथ $E / ρ$ की चाल से चलती हैं, जहाँ $ρ$ घनत्व है: स्टील में लगभग 5000 m/s, जो वायु में ध्वनि की चाल से लगभग 15 गुना है (तरंगों की मूल बातें देखें)।

चित्र 1 का असममित बंधन ऊष्मीय प्रसार की ओर ले जाता है। दोनों सिरों पर कसी हुई और 30 K गरम की गई स्टील की पटरी लंबी नहीं हो सकती, इसलिए उस पर वह प्रतिबल आता है जो उसे उसके मुक्त प्रसार जितना दबाकर वापस सिकोड़ देता: $σ = E α Δ T = 2.0 \times 1 0^{11} \cdot 1.2 \times 1 0^{- 5} \cdot 30 \approx 7.2 \times 1 0^{7} Pa$ , यानी 72 MPa, जहाँ $α$ स्टील का प्रसार-गुणांक है। अंत में, पानी का आयतन मापांक लगभग 2.2 GPa है, यानी उसे 1 % दबाने के लिए 22 MPa चाहिए, लगभग 220 वायुमंडल; इसीलिए तरल दाब और पास्कल का नियम उसे असंपीड्य मान सकता है।

मुख्य सूत्र

स्प्रिंग के लिए हुक का नियम

F = k x

स्प्रिंग को खींचने के लिए आवश्यक बल उसके विस्तार के समानुपाती होता है, इसलिए समान भार समान विस्तार देते हैं और बल–विस्तार ग्राफ़ मूल बिंदु से गुजरने वाली, ढाल $k$ की सीधी रेखा होती है। स्प्रिंग समान और विपरीत प्रत्यानयन बल से खींचता है, जिसे चिह्न मायने रखने पर $F = - k x$ लिखा जाता है। यहाँ $x$ लंबाई में परिवर्तन है, लंबाई नहीं।

चिह्न
$F$	स्प्रिंग को खींचने वाला भार	$N$
$k$	स्प्रिंग-नियतांक (कठोरता)	$N/m$
$x$	प्राकृतिक लंबाई से विस्तार	$m$

कब लागू होता है: प्रत्यास्थ सीमा तक, बिना प्रारंभिक तनाव के कुंडलित स्प्रिंग के लिए; सीमा से आगे रेखा मुड़ जाती है और स्प्रिंग स्थायी रूप से लंबा रह जाता है।

उदाहरण: एनिमेशन का स्प्रिंग, $k = 25 N/m$ , चार 1.0 N भार: $x = 4.0/25 = 0.16 m$ ।

माप से स्प्रिंग-नियतांक

k = \frac{F}{x}

भार को उससे उत्पन्न विस्तार से भाग देने पर कठोरता मिलती है, जिसकी इकाई न्यूटन प्रति मीटर है। यदि स्प्रिंग हुक के नियम का पालन करता है, तो मापे गए हर युग्म से एक ही अनुपात मिलता है, और यही स्थिरता नियम की कसौटी है। कठोर स्प्रिंग का $k$ बड़ा होता है और वह कम खिंचता है।

चिह्न
$k$	स्प्रिंग-नियतांक (कठोरता)	$N/m$
$F$	भार	$N$
$x$	उस भार से उत्पन्न विस्तार	$m$

कब लागू होता है: केवल रैखिक क्षेत्र में, $x$ मीटर में और प्राकृतिक लंबाई से मापा गया। प्रारंभिक तनाव वाले स्प्रिंग के लिए इसके बजाय दो भारों के बीच की ढाल $Δ F /Δ x$ लीजिए।

उदाहरण: 1.0 N एनिमेशन के स्प्रिंग को 4.0 cm खींचता है: $k = 1.0/0.040 = 25 N/m$ ।

खिंचे स्प्रिंग में संचित ऊर्जा

U = \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} F x

खिंचाव में किया गया कार्य बल–विस्तार रेखा के नीचे का क्षेत्रफल है, जो आधार $x$ और ऊँचाई $F = k x$ का त्रिभुज है। बल शून्य से बढ़ता है, इसलिए उसका औसत $\frac{1}{2} F$ है, और यहीं से आधे का गुणक आता है। चूँकि $U$ , $x^{2}$ के अनुपात में है, खिंचाव दोगुना होने पर संचित ऊर्जा चार गुनी होती है।

चिह्न
$U$	प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा	$J$
$k$	स्प्रिंग-नियतांक	$N/m$
$x$	प्राकृतिक लंबाई से विस्तार	$m$
$F$	विस्तार $x$ पर बल	$N$

कब लागू होता है: प्राकृतिक लंबाई से प्रत्यास्थ सीमा के भीतर खींचे गए रैखिक स्प्रिंग के लिए। $x_{1}$ से $x_{2}$ तक और खींचने में $\frac{1}{2} k (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$ लगता है।

उदाहरण: 16 cm पर एनिमेशन का स्प्रिंग $\frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 0.1 6^{2} = 0.32 J$ संचित करता है।

श्रेणीक्रम में स्प्रिंग

series : \frac{1}{k} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}

एक के नीचे एक जुड़े स्प्रिंग हर एक पूरा भार वहन करते हैं, इसलिए उनके विस्तार जुड़ते हैं: $x = F / k_{1} + F / k_{2}$ । $F$ से भाग देने पर दिखता है कि कठोरताओं के व्युत्क्रम जुड़ते हैं। यह जोड़ा सदा अपने मुलायम स्प्रिंग से भी अधिक मुलायम होता है।

चिह्न
$k$	संयोजन की कठोरता	$N/m$
$k_{1}$	पहले स्प्रिंग की कठोरता	$N/m$
$k_{2}$	दूसरे स्प्रिंग की कठोरता	$N/m$

कब लागू होता है: हल्के स्प्रिंगों के लिए जो हुक के नियम का पालन करते हैं; अधिक स्प्रिंग हों तो हर स्प्रिंग के लिए एक पद जोड़िए।

उदाहरण: श्रेणीक्रम में दो 25 N/m के स्प्रिंग: $1/ k = 1/25 + 1/25$ , अतः $k = 12.5 N/m$ , और 4.0 N इस जोड़े को 32 cm खींचता है।

समानांतर में स्प्रिंग

parallel : k = k_{1} + k_{2}

साथ-साथ रखे, इस तरह जुड़े कि वे समान मात्रा में खिंचें, स्प्रिंग भार बाँटते हैं और उनके बल जुड़ते हैं: $F = k_{1} x + k_{2} x$ । इसलिए कठोरताएँ जुड़ती हैं, और यह जोड़ा किसी भी एक स्प्रिंग से अधिक कठोर होता है।

चिह्न
$k$	संयोजन की कठोरता	$N/m$
$k_{1}$	पहले स्प्रिंग की कठोरता	$N/m$
$k_{2}$	दूसरे स्प्रिंग की कठोरता	$N/m$

कब लागू होता है: केवल तभी, जब स्प्रिंग वास्तव में समान मात्रा में खिंचें, जिसके लिए भार उन्हें जोड़ने वाली छड़ के सही बिंदु पर लटकना चाहिए (समान स्प्रिंगों के लिए बीच में)।

उदाहरण: समानांतर में दो 25 N/m के स्प्रिंग $k = 50 N/m$ देते हैं: चार 1.0 N भार उन्हें केवल 8 cm खींचते हैं।

प्रतिबल और विकृति

σ = \frac{F}{A}, ε = \frac{Δ L}{L _{0}}

प्रतिबल प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर बल है, और विकृति प्रति इकाई लंबाई पर विस्तार। नमूने का आकार इस प्रकार हटाने से जो राशियाँ मिलती हैं, वे पदार्थ का वर्णन करती हैं: दोगुने अनुप्रस्थ काट वाले तार पर समान प्रतिबल में दोगुना बल होता है, और दोगुना लंबा तार समान विकृति पर दोगुना खिंचता है। विकृति एक शुद्ध संख्या है, जिसे अक्सर प्रतिशत में लिखा जाता है।

चिह्न
$σ$	प्रतिबल	$Pa$
$F$	तार या छड़ के अनुदिश बल	$N$
$A$	अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल	$m^{2}$
$ε$	विकृति
$Δ L$	लंबाई में परिवर्तन	$m$
$L_{0}$	मूल लंबाई	$m$

कब लागू होता है: यहाँ $A$ मूल अनुप्रस्थ काट है (अभियांत्रिकी प्रतिबल)। जब तार उल्लेखनीय रूप से पतला हो जाए, जैसे ग्रीवा बनने पर, तब वास्तविक प्रतिबल, यानी बल को वास्तविक क्षेत्रफल से भाग देने पर, अधिक होता है।

उदाहरण: स्टील के तार पर 98.1 N, जिसका अनुप्रस्थ काट $7.85 \times 1 0^{- 7} m^{2}$ है: $σ = 1.25 \times 1 0^{8} Pa = 125 MPa$ ।

यंग मापांक

E = \frac{σ}{ε}

रैखिक क्षेत्र में प्रतिबल और विकृति समानुपाती हैं, और उनका अनुपात पदार्थ का एक स्थिरांक है, जो नमूने के आकार और माप पर निर्भर नहीं करता। यह हुक के नियम का वह रूप है जो वस्तु के बजाय पदार्थ पर लागू होता है; प्रतिबल–विकृति ग्राफ़ पर यह सीधे भाग की ढाल है। बड़े $E$ का अर्थ है कठोर पदार्थ।

चिह्न
$E$	यंग मापांक	$Pa$
$σ$	प्रतिबल	$Pa$
$ε$	विकृति

कब लागू होता है: केवल छोटी विकृतियों के लिए, अनुपातिकता सीमा से नीचे (स्टील के लिए लगभग 0.1 %)। रबर का कोई एक मान नहीं होता, क्योंकि उसका वक्र सीधा नहीं है।

उदाहरण: स्टील, $E = 200 GPa$ , 125 MPa के अधीन: $ε = 1.25 \times 1 0^{8} / (2.0 \times 1 0^{11}) = 6.25 \times 1 0^{- 4}$ ।

तार या छड़ का विस्तार

Δ L = \frac{F L _{0}}{A E}

$σ = F / A$ , $ε = Δ L / L_{0}$ और $E = σ / ε$ को मिलाने पर विस्तार सीधे मिलता है। यह भार और लंबाई के साथ बढ़ता है, और अनुप्रस्थ काट व मापांक के साथ घटता है। इसे $F = (A E / L_{0}) Δ L$ के रूप में पढ़ें तो यह कठोरता $k = A E / L_{0}$ वाला हुक का नियम है।

चिह्न
$Δ L$	लंबाई में परिवर्तन	$m$
$F$	तार या छड़ के अनुदिश बल	$N$
$L_{0}$	मूल लंबाई	$m$
$A$	अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल	$m^{2}$
$E$	पदार्थ का यंग मापांक	$Pa$

कब लागू होता है: रैखिक क्षेत्र में तनाव या संपीड़न में एकसमान छड़ के लिए; पतली छड़ संपीड़न में पहले बंकित (buckle) हो सकती है।

उदाहरण: 10 kg भार उठाने वाला 1.0 mm व्यास और 2.0 m लंबाई का स्टील का तार: $Δ L = 98.1 \cdot 2.0/ (7.85 \times 1 0^{- 7} \cdot 2.0 \times 1 0^{11}) \approx 1.25 \times 1 0^{- 3} m$ ।

शब्दावली

प्रत्यास्थता: वस्तु की वह क्षमता कि विकृत करने वाले बल हटाने पर वह अपना मूल आकार और माप वापस पा ले। प्रत्यास्थ का अर्थ लचीला नहीं है: स्टील रबर से बहुत कम विकृत होता है, पर उतना ही पूरी तरह लौट आता है, जबकि मिट्टी बिल्कुल नहीं लौटती।
हुक का नियम: छोटे विरूपणों के लिए विरूपण उसे उत्पन्न करने वाले बल के समानुपाती होता है: स्प्रिंग के लिए $F = k x$ , पदार्थ के लिए $σ = Eε$ । रॉबर्ट हुक ने इसे 1678 में प्रकाशित किया; यह केवल एक सीमा तक मान्य है, जो पदार्थ पर निर्भर करती है।
विस्तार: प्राकृतिक, अभारित लंबाई से लंबाई में परिवर्तन, $x = L - L_{0}$ ; ऋणात्मक मान संपीड़न है। 20 cm का स्प्रिंग 24 cm तक खींचा गया तो उसका विस्तार 4 cm है, 24 cm नहीं।
प्रत्यानयन बल: विकृत वस्तु द्वारा उस पर, जो उसे विकृत करता है, वापस लगाया गया बल, जो विरूपण को पलटने की दिशा में होता है: स्प्रिंग के लिए $- k x$ । स्थिर लटके द्रव्यमान के लिए यह भार को संतुलित करता है, $k x = m g$ ।
प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा: विकृत वस्तु में संचित ऊर्जा, जो उसे विकृत करने में किए गए कार्य के बराबर है: स्प्रिंग के लिए $\frac{1}{2} k x^{2}$ , यानी उसकी बल–विस्तार रेखा के नीचे का क्षेत्रफल। प्रत्यास्थ वस्तु छोड़े जाने पर पूरी ऊर्जा लौटा देती है।
श्रेणीक्रम और समानांतर स्प्रिंग: श्रेणीक्रम (एक के बाद एक) में हर स्प्रिंग पूरा भार वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं, इसलिए $1/ k = 1/ k_{1} + 1/ k_{2}$ और जोड़ा मुलायम होता है। समानांतर (साथ-साथ, बराबर खिंचाव) में बल जुड़ते हैं, इसलिए $k = k_{1} + k_{2}$ और जोड़ा कठोर होता है।
अर्ध-स्थैतिक भारण: भार इतने धीरे लगाया जाए कि वस्तु हर क्षण साम्य में रहे, और पूरे समय $x = F / k$ हो, जैसा एनिमेशन की ट्रे करती है। अचानक छोड़ा गया भार स्थैतिक विस्तार के दोगुने तक आगे निकल जाता है।
प्रत्यास्थ सीमा: वह अधिकतम भार या विरूपण जिसके बाद भी वस्तु पूरी तरह अपने मूल आकार में लौट आती है; एनिमेशन का स्प्रिंग 5.5 N और 22 cm पर इस सीमा तक पहुँचता है। ग्राफ़ के सीधे भाग का अंत, यानी अनुपातिकता की सीमा, प्रायः इसी के निकट होता है।
पराभव बिंदु: वह प्रतिबल जिस पर धातु प्लास्टिक रूप से बहने लगती है, क्योंकि उसके क्रिस्टलों में विस्थापन (dislocation) फिसलने लगते हैं। मृदु स्टील लगभग 250 MPa पर पराभव दिखाता है, जिसकी विकृति केवल लगभग 0.13 % होती है।
प्लास्टिक विरूपण: भार हटाने के बाद शेष बचा विरूपण, जिसे स्थायी विकृति (permanent set) भी कहते हैं। पराभव बिंदु से आगे भारित धातु अपनी प्रत्यास्थ रेखा के समांतर रेखा पर लौटती है और पहले से लंबी रह जाती है।
ग्रीवा बनना और भंग: परम तन्य सामर्थ्य, यानी प्रतिबल–विकृति वक्र के शिखर, के आगे एक तन्य तार किसी एक स्थान पर पतला होता है (ग्रीवा), उसका वहन-बल घटता है, और वह वहीं टूट जाता है।
तन्य और भंगुर पदार्थ: तन्य पदार्थ जैसे तांबा या मृदु स्टील टूटने से पहले लंबी दूरी तक प्लास्टिक रूप से खिंचते हैं और बहुत ऊर्जा सोखते हैं। भंगुर पदार्थ जैसे काँच, कच्चा लोहा या चॉक अपने प्रत्यास्थ क्षेत्र के अंत के पास टूटते हैं, लगभग बिना प्लास्टिक प्रवाह के।

राशियाँ
$F$	भार	$N$	स्प्रिंग या तार को खींचने वाला बल; साम्य में यह स्प्रिंग के प्रत्यानयन बल $k x$ के बराबर होता है। एनिमेशन में हर भार 1.0 N जोड़ता है।
$x$	विस्तार	$m$	प्राकृतिक लंबाई से लंबाई में परिवर्तन, खिंचने पर धनात्मक; एनिमेशन में हर 1.0 N भार 0.040 m जोड़ता है।
$k$	स्प्रिंग-नियतांक (कठोरता)	$N/m$	प्रति मीटर विस्तार के लिए आवश्यक बल, $F / x$ , और बल–विस्तार रेखा की ढाल। यह एक स्प्रिंग का गुण है और इसके पदार्थ के साथ-साथ आकार पर भी निर्भर है: एनिमेशन में 25 N/m।
$U$	प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा	$J$	खिंचाव द्वारा संचित ऊर्जा, $\frac{1}{2} k x^{2}$ : 16 cm पर एनिमेशन के स्प्रिंग के लिए 0.32 J।
$σ$	प्रतिबल	$Pa$	प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल पर बल, $F / A$ , जहाँ $A$ तार या छड़ के खंड का क्षेत्रफल है, वर्ग मीटर में (1.0 mm व्यास वाले तार के लिए $7.85 \times 1 0^{- 7} m^{2}$ ), और $1 MPa = 1 N/m m^{2}$ । यह बताता है कि पदार्थ पर कितना भार है, नमूने के आकार से स्वतंत्र।
$ε$	विकृति		लंबाई में भिन्नात्मक परिवर्तन, $Δ L / L_{0}$ : लंबाई परिवर्तन $Δ L$ को मूल लंबाई $L_{0}$ से भाग देने पर, दोनों मीटर में। प्रायः प्रतिशत में दी जाती है; स्टील केवल लगभग 0.1 % तक प्रत्यास्थ रहता है।
$E$	यंग मापांक	$Pa$	रैखिक क्षेत्र में प्रतिबल और विकृति का अनुपात, जो पदार्थ का ही गुण है: स्टील के लिए लगभग 200 GPa, एल्युमीनियम के लिए 70 GPa, रबर के लिए 0.01–0.1 GPa।
$ν$	पॉइसन अनुपात		खिंची हुई छड़ कितनी संकरी होती है: उसकी पार्श्विक विकृति $- ν ε$ है। धातुओं के लिए लगभग 0.3 और रबर के लिए लगभग 0.5, जिसका आयतन लगभग नहीं बदलता।
$G$	अपरूपण मापांक	$Pa$	आयतन स्थिर रहते हुए आकार-परिवर्तन का विरोध, $G = E / (2 (1 + ν))$ , स्टील के लिए लगभग 80 GPa। यह कुंडली स्प्रिंग की कठोरता तय करता है, क्योंकि उसका तार मरोड़ा जाता है।

क्विज़

शुरुआती एक भार स्प्रिंग पर लटकाने पर वह 3 cm खिंचता है। यदि वैसे ही तीन भार लटकाए जाएँ और स्प्रिंग अपनी प्रत्यास्थ सीमा से नीचे रहे, तो वह कितना खिंचेगा?
1. 3 cm
2. 6 cm
3. 9 cm
4. 27 cm
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उत्तर: C. 9 cm
विस्तार बल के समानुपाती होता है: तिगुना भार तिगुना विस्तार देता है, 3 × 3 cm = 9 cm।
शुरुआती स्प्रिंग के प्रत्यास्थ सीमा पार करने का क्या अर्थ है?
1. भार हटाने पर वह अपनी मूल लंबाई पर नहीं लौटता
2. सीमा पर पहुँचते ही वह टूट जाता है
3. वह और कठोर हो जाता है और खींचना कठिन हो जाता है
4. कितना भी भार डालें, वह खिंचना बंद कर देता है
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उत्तर: A. भार हटाने पर वह अपनी मूल लंबाई पर नहीं लौटता
प्रत्यास्थ सीमा के आगे विरूपण का कुछ भाग स्थायी होता है, इसलिए स्प्रिंग पहले से लंबा रह जाता है। वह ज़रूरी नहीं कि टूटे, और वह आम तौर पर कम नहीं, बल्कि अधिक आसानी से खिंचता है।
मध्यम 0.50 kg का एक द्रव्यमान स्प्रिंग से स्थिर लटकता है और उसे 10 cm खींचता है। स्प्रिंग-नियतांक क्या है? (g = 9.81 m/s²)
1. 0.49 N/m
2. 5.0 N/m
3. 4.9 N/m
4. 49 N/m
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उत्तर: D. 49 N/m
स्थिर अवस्था में k·x = m·g, अतः k = 0.50 × 9.81 ÷ 0.10 = 49 N/m। 0.10 m के बजाय 10 लेने पर 0.49 N/m मिलता है, और g भूल जाने पर 5.0 N/m।
मध्यम दो समान स्प्रिंग, प्रत्येक k = 200 N/m, एक के नीचे एक जुड़े हैं। इस जोड़े की कठोरता क्या है?
1. 400 N/m
2. 100 N/m
3. 200 N/m
4. 40 000 N/m
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उत्तर: B. 100 N/m
श्रेणीक्रम में हर स्प्रिंग पूरा भार वहन करता है, इसलिए विस्तार जुड़ते हैं: 1/k = 1/200 + 1/200, अतः k = 100 N/m। साथ-साथ (समानांतर) रखने पर 400 N/m मिलता।
मध्यम हुक के नियम F = k·x में x क्या है?
1. खिंचे हुए स्प्रिंग की कुल लंबाई
2. खिंचने से पहले स्प्रिंग की लंबाई
3. प्राकृतिक लंबाई से लंबाई में परिवर्तन
4. आधार से लटकते भार तक की दूरी
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उत्तर: C. प्राकृतिक लंबाई से लंबाई में परिवर्तन
x विस्तार है: खिंची हुई लंबाई घटाई गई प्राकृतिक लंबाई। 20 cm का स्प्रिंग 24 cm तक खींचा गया तो x = 4 cm है, 24 cm नहीं।
उन्नत k = 500 N/m वाला स्प्रिंग पहले से 0.10 m खिंचा है। उसे 0.20 m तक खींचने में कितना अतिरिक्त कार्य लगेगा?
1. 2.5 J
2. 10 J
3. 5.0 J
4. 7.5 J
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उत्तर: D. 7.5 J
0.10 से 0.20 m तक W = ∫ k·x dx = ½·k·(x₂² − x₁²) = ½ × 500 × (0.040 − 0.010) = 7.5 J। ½·k·(Δx)² = 2.5 J इस बात को अनदेखा करता है कि स्प्रिंग आरंभ में ही 50 N से खिंच रहा था; 10 J, 0.20 m पर कुल संचित ऊर्जा है; 5.0 J = k·x₁·Δx केवल प्रारंभिक बल लेता है।
उन्नत एक धातु का तार पराभव बिंदु से आगे भारित किया गया, फिर भार हटाया गया। प्रतिबल–विकृति ग्राफ़ पर वह कैसे भार उतारता है?
1. प्रारंभिक प्रत्यास्थ रेखा के समांतर सीधी रेखा पर, जिससे स्थायी विकृति बचती है
2. उसी वक्र पर वापस, शून्य विकृति तक लौटते हुए
3. स्थिर विकृति पर सीधे नीचे शून्य प्रतिबल तक
4. स्थिर प्रतिबल पर क्षैतिज रेखा पर
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उत्तर: A. प्रारंभिक प्रत्यास्थ रेखा के समांतर सीधी रेखा पर, जिससे स्थायी विकृति बचती है
भार उतारना प्रत्यास्थ है: प्रतिबल ढाल E की रेखा पर गिरता है, जो पहले सीधे भाग के समांतर है। जब प्रतिबल शून्य पर पहुँचता है तब भी प्लास्टिक विकृति बनी रहती है (स्थायी विरूपण)।
उन्नत हुक का नियम अणुओं से लेकर पुलों तक इतने सारे तंत्रों का वर्णन कैसे करता है?
1. क्योंकि सभी पदार्थ छोटे-छोटे स्प्रिंगों से बने हैं
2. स्थायी साम्य के निकट कोई भी चिकनी स्थितिज ऊर्जा लगभग परवलयिक होती है, इसलिए प्रत्यानयन बल रैखिक होता है
3. क्योंकि न्यूटन का तीसरा नियम बल के विस्थापन के समानुपाती होने की माँग करता है
4. क्योंकि सभी पदार्थों की प्रत्यास्थ सीमा समान होती है
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उत्तर: B. स्थायी साम्य के निकट कोई भी चिकनी स्थितिज ऊर्जा लगभग परवलयिक होती है, इसलिए प्रत्यानयन बल रैखिक होता है
U(x) का निम्नतम बिंदु के परितः विस्तार करने पर U ≈ U₀ + ½·U″(x₀)·(x − x₀)² मिलता है, अतः F = −dU/dx ≈ −k·(x − x₀), जहाँ k = U″(x₀)। बड़े विस्थापनों पर उच्चतर पद आ जाते हैं और नियम टूट जाता है।

$U$	दो परमाणुओं के युग्म की स्थितिज ऊर्जा: ठोस रेखा, किसी मनमाने शून्य से मापी गई।	$J$
$x$	दोनों परमाणुओं के बीच की दूरी।	$m$
$x_{0}$	साम्य दूरी, गर्त के तल पर।	$m$
$\frac{1}{2} k (x - x_{0})^{2}$	समान तल और वक्रता वाले आदर्श स्प्रिंग की ऊर्जा: बिंदीदार परवलय।	$J$
$k$	उस स्प्रिंग की कठोरता, जो गर्त के तल पर वक्रता $U^{''} (x_{0})$ के बराबर है।	$N/m$

$a$	पड़ोसी परमाणुओं के बीच की दूरी।	$m$
$k_{b}$	एक बंधन की कठोरता, जिसे स्प्रिंग के रूप में दर्शाया गया है।	$N/m$
$L_{0}$	छड़ की लंबाई।	$m$
$A$	वह अंतिम सिरे का क्षेत्रफल जिस पर भार लगता है (प्लेट, किनारे से): छड़ का अनुप्रस्थ काट।	$m^{2}$
$F$	छड़ के अंतिम सिरे को खींचने वाला भार।	$N$

$σ$	प्रतिबल: बल को तार के मूल अनुप्रस्थ काट से भाग देने पर।	$Pa$
$ε$	विकृति: प्रति इकाई मूल लंबाई पर विस्तार।
$E$	यंग मापांक: आरंभिक सीधे भाग और उतारने की रेखा की ढाल।	$Pa$
$σ_{y}$	पराभव प्रतिबल, जहाँ सीधी रेखा समाप्त होती है और तार बहने लगता है।	$Pa$
$σ_{u}$	परम तन्य सामर्थ्य: वक्र पर सबसे अधिक प्रतिबल।	$Pa$
$ε_{p}$	उतारने के बाद बची स्थायी विकृति।
$u$	भंग तक प्रति इकाई आयतन अवशोषित ऊर्जा: वक्र के नीचे छायांकित क्षेत्र।	$J/ m^{3}$

$F$	बल, साथ ही भार स्वयं: क्षैतिज रेखा, यानी एक साथ लटके चार द्रव्यमानों का भार।	$N$
$x$	प्राकृतिक लंबाई से स्प्रिंग का विस्तार।	$m$
$k x$	विस्तार $x$ पर स्प्रिंग का खिंचाव: तिरछी रेखा।	$N$
$x_{e}$	वह विस्तार जहाँ खिंचाव भार के बराबर है, यानी $F / k$ : धीरे-धीरे लोड करने का साम्य।	$m$
$x_{L}$	प्रत्यास्थ सीमा पर विस्तार (बैंगनी बिंदु); उसके आगे स्प्रिंग की रेखा बिंदीदार है।	$m$
$x_{m}$	निम्नतम बिंदु पर विस्तार, जहाँ भार रुकते हैं: $2 F / k$ ।	$m$
$K$	भार की गतिज ऊर्जा: बायाँ त्रिभुज $x_{e}$ तक प्राप्त ऊर्जा है; दायाँ त्रिभुज, $- K$ , उतनी ही ऊर्जा वापस लेता है।	$J$