Elasticidad: ley de Hooke, esfuerzo y deformación

Principiante

Aprieta una esponja, estira una goma elástica o dobla una regla de plástico y suéltalas: todas recuperan su forma. Veamos este comportamiento paso a paso.

Paso 1. ¿Elástico o no? Un material es elástico si recupera su forma original cuando se retira la fuerza. Según este criterio, el acero es más elástico que el caucho: cuesta mucho más deformarlo, pero recupera su forma casi a la perfección. La plastilina y la masa de pan son lo contrario: conservan la forma que les des.

Paso 2. La regla de Hooke. Cuelga una pesa de un resorte y se alarga un poco. Cuelga una segunda pesa igual y se alarga otro tanto: el doble de peso, el doble de alargamiento. Robert Hooke lo describió en 1678, y se escribe $F=kx$: la fuerza $F$ es un número $k$ multiplicado por el alargamiento $x$.

Paso 3. La rigidez. El número $k$ indica lo rígido que es el resorte. Un muelle de juguete en espiral es muy blando ($k$ pequeña); un muelle de la suspensión de un coche es muy rígido ($k$ grande), así que la misma carga lo alarga mucho menos.

Paso 4. Energía y límites. Un resorte estirado almacena energía y la devuelve al soltarlo: así funcionan un tirachinas o una cama elástica. Pero si tiras demasiado, el resorte supera su límite elástico: se queda alargado para siempre y nunca recupera su longitud original.

Compruébalo: un resorte se alarga 2 cm con una pesa de 5 N. ¿Cuánto se alarga con 15 N, sin superar su límite elástico? (6 cm: el triple de fuerza, el triple de alargamiento.)

En la animación se cuelgan pesas iguales una a una. Cada una baja la aguja roja por la regla el mismo paso (las marcas verdes), y las barras verdes crecen en escalones iguales. Cuando se retiran las pesas, el resorte vuelve exactamente a la línea discontinua de partida.

Intermedio

Carga, alargamiento y constante elástica

Si cuelgas una carga de un resorte, este se alarga. Lo que importa es el cambio de longitud, el alargamiento $x=L-L_0$, donde $L_0$ es la longitud natural y $L$ la longitud con carga; en la animación se mide desde la línea discontinua. Un resorte comprimido tiene un $x$ negativo.

Robert Hooke publicó en 1678 que, hasta cierto límite, el alargamiento es proporcional a la fuerza que lo causa: si duplicas la carga, el alargamiento se duplica.
$F=kx$

La constante $k$ es la constante elástica, o rigidez, en newtons por metro (N/m): la fuerza por cada metro de alargamiento, que se obtiene dividiendo una carga entre el alargamiento que produce:
$k=\frac{F}{x}$
Un resorte espiral de juguete tiene alrededor de 1 N/m, el resorte de la animación 25 N/m y el resorte de la suspensión de un coche unos 30 000 N/m.

El resorte tira hacia atrás con una fuerza recuperadora de la misma magnitud, dirigida en contra del alargamiento: $F=-kx$ cuando importa el signo. Una masa colgada en reposo está en equilibrio, así que $kx=mg$, que es el principio del dinamómetro. En la animación, la flecha azul $kx$ y la flecha roja $F$ tienen siempre la misma longitud; mientras se baja una pesa, la flecha gris de la bandeja soporta el resto de su peso.

Energía y gráfica fuerza–alargamiento

Si se representa la carga frente al alargamiento, se obtiene una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es $k$: empinada para un resorte rígido, tendida para uno blando. Los puntos solo siguen la recta hasta el límite elástico. Por debajo de él, el resorte vuelve exactamente a su longitud natural al descargarlo; más allá, la recta se curva y el resorte queda más largo para siempre, una deformación plástica.

El área bajo la recta es el trabajo realizado al estirar, que queda almacenado como energía potencial elástica. La fuerza crece de forma continua de 0 a $kx$, así que su valor medio es la mitad del final y el área es un triángulo:
$U=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}Fx$
El doble de alargamiento almacena cuatro veces más energía, y un arco o un tirachinas la devuelve al soltarse.

Resortes en serie y en paralelo

Si enganchas dos resortes uno debajo del otro, en serie, cada uno soporta toda la carga y los alargamientos se suman: $x=F/k_1+F/k_2$. Al dividir entre $F$ resulta
$\text{en serie}:\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

Si cuelgas la carga de dos resortes lado a lado, en paralelo, unidos por una barra que mantiene iguales sus alargamientos, se reparten la carga y sus fuerzas se suman:
$\text{en paralelo}:k=k_1+k_2$

Dos resortes como el de la animación dan 12,5 N/m en serie y 50 N/m en paralelo: un par en serie es más blando que cualquiera de los dos, y un par en paralelo, más rígido. Un resorte equivale también a dos mitades en serie, así que cada mitad del resorte de la animación tendría 50 N/m.

Ejemplo resuelto: el resorte de la animación

Cada pesa de la animación pesa 1,0 N (una masa de $1,0/9,81\approx 0,102\mathrm{kg}$) y baja la aguja 4,0 cm por la regla. Con la primera fila de la tabla,
$k=\frac{F}{x}=\frac{1,0\mathrm{N}}{0,040\mathrm{m}}=25N/m$

Las demás filas, desde 2,0 N para 0,08 m hasta 4,0 N para 0,16 m, dan el mismo cociente en la última columna: esa razón constante es la ley de Hooke. Con las cuatro pesas, $x=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$. Son las lecturas de $F$ y $x$ con las cuatro pesas colgadas, 4,0 N y 16 cm, y la flecha verde $x$ abarca entonces 16 cm de la regla.

La energía almacenada es entonces $U=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot 0,16^2=0,32\mathrm{J}$, o también $\frac{1}{2}\cdot 4,0\cdot 0,16$. Con una, dos y tres pesas era de 0,02, 0,08 y 0,18 J: cada pesa añade los mismos 4 cm, pero la cuarta añade 0,14 J, siete veces más que la primera, porque el resorte ya tira con 3,0 N. Al retirar las pesas, $x$ vuelve a cero y la energía se recupera, porque 4,0 N queda por debajo del límite elástico de 5,5 N (22 cm). Una quinta pesa aún sería segura; una sexta, no.

Esfuerzo, deformación unitaria y módulo de Young

La constante elástica es propia de un objeto, no de su metal. Un alambre el doble de largo se alarga el doble con la misma carga, y uno con el doble de sección necesita el doble de fuerza para el mismo alargamiento. Para describir el material, se divide la fuerza entre el área y el alargamiento entre la longitud original:
$\sigma =\frac{F}{A},\epsilon =\frac{\Delta L}{L_0}$

El esfuerzo $\sigma$ se mide en pascales ($1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$, y $1\mathrm{MPa}=1N/m{\mathrm{m}}^2$); la deformación unitaria $\epsilon$ es un número puro, que suele darse en porcentaje. En la zona lineal son proporcionales, y su cociente es el módulo de Young:
$E=\frac{\sigma }{\epsilon }$

El módulo de Young vale unos 200 GPa para el acero, 70 GPa para el aluminio y el vidrio, 10 GPa para la madera en la dirección de la fibra y solo 0,01–0,1 GPa para el caucho. Juntas, las tres relaciones dan el alargamiento de cualquier alambre o barra:
$\Delta L=\frac{F{L}_0}{AE}$
Un alambre uniforme es, por tanto, un resorte con $k=AE/L_0$: cuanto más largo, más blando; cuanto más grueso, más rígido.

Ejemplo resuelto: un alambre de acero con carga

Un alambre de acero de 2,0 m de longitud y 1,0 mm de diámetro sostiene una masa de 10 kg. ¿Cuánto se alarga? La carga es el peso, $F=mg=10\cdot 9,81=98,1\mathrm{N}$, y la sección es un círculo:
$A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi \cdot (1,0\times 10^{-3}{)}^2}{4}=7,85\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$

El esfuerzo es $\sigma =98,1/(7,85\times 10^{-7})=1,25\times 10^8\mathrm{Pa}$, es decir, 125 MPa. Al dividir entre $E=200\mathrm{GPa}$ se obtiene la deformación unitaria, $\epsilon =1,25\times 10^8/(2,0\times 10^{11})=6,25\times 10^{-4}$, alrededor del 0,06 %. El alargamiento es
$\Delta L=\epsilon L_0=6,25\times 10^{-4}\cdot 2,0=1,25\times 10^{-3}\mathrm{m}$
o sea, 1,25 mm.

Como resorte, el alambre tiene $k=AE/L_0\approx 7,9\times 10^{4}N/m$, unas 3000 veces más rígido que el resorte de la animación. Su esfuerzo de 125 MPa es aproximadamente la mitad del límite de fluencia incluso de un acero estructural corriente, unos 250 MPa, así que recupera su longitud por completo al descargarlo. Un alambre del doble de diámetro, con cuatro veces el área, se alargaría solo unos 0,31 mm.

Errores frecuentes

• Usar la longitud en lugar del alargamiento: un resorte de 20 cm estirado hasta 24 cm tiene $x=4\mathrm{cm}$, no 24 cm.
• Mezclar centímetros y metros: 1,0 N sobre 4,0 cm da $1,0/0,040=25N/m$, no $1,0/4,0=0,25$.
• Usar la masa como si fuera la fuerza: una masa de 0,20 kg tira con su peso, $0,20\cdot 9,81=1,96\mathrm{N}$, no con 0,20 N.
• Olvidar el factor ½: a 16 cm el resorte de la animación almacena $\frac{1}{2}Fx=0,32\mathrm{J}$, no $Fx=0,64\mathrm{J}$, porque la fuerza era menor al comienzo del estiramiento.
• Creer que los resortes en serie son más rígidos: dos resortes de 25 N/m, uno debajo del otro, dan 12,5 N/m, porque cada uno soporta toda la carga.

Dónde aparece

Los dinamómetros, las suspensiones de los coches, los colchones, los resortes espirales de los relojes y el resorte de un bolígrafo se basan todos en $F=kx$. Las básculas electrónicas usan galgas extensométricas, láminas metálicas cuya resistencia cambia al estirarse, sensibles a deformaciones de unas pocas millonésimas. Los puentes, las grúas y los aviones se diseñan para que cada esfuerzo quede bien dentro de la zona lineal.

Una masa colgada de un resorte oscila si se tira de ella hacia abajo y se suelta: es el tema de Movimiento armónico simple y después de Amortiguamiento y resonancia. La velocidad del sonido en un sólido depende de su módulo de Young (Fundamentos de las ondas), y un raíl que no puede dilatarse al calentarse queda sometido a esfuerzo (Dilatación térmica).

Avanzado

Por qué las deformaciones pequeñas son lineales

Leyenda

$U$	Energía potencial del par de átomos: la curva continua, medida desde un cero arbitrario.	$\mathrm{J}$
$x$	Separación entre los dos átomos.	$\mathrm{m}$
$x_0$	Separación de equilibrio, en el fondo del pozo.	$\mathrm{m}$
$\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$	Energía de un resorte ideal con el mismo fondo y la misma curvatura: la parábola discontinua.	$\mathrm{J}$
$k$	Rigidez de ese resorte, igual a la curvatura $U^{\prime \prime }(x_0)$ del pozo en su fondo.	$N/m$

La ley de Hooke dice que la fuerza necesaria para deformar un cuerpo es proporcional a la deformación. No es un principio fundamental como la conservación de la energía. Es el aspecto que toma casi cualquier fuerza suave cuando el desplazamiento es pequeño, y la figura 1 muestra por qué.

La curva continua $U$ es la energía potencial de dos átomos vecinos de un sólido, representada frente a su separación $x$. Los átomos se atraen a larga distancia y se repelen con fuerza a corta distancia; ambos efectos son eléctricos. Juntos forman un pozo cuyo punto más bajo es la separación de equilibrio $x_0$. A la izquierda, donde los átomos se aprietan uno contra otro, la curva sube con mucha pendiente. A la derecha, donde se separan, se aplana, y lo bastante lejos el enlace se rompe.

La parábola discontinua $\frac{1}{2}k(x-x_0{)}^2$ es la energía de un resorte ideal con el mismo fondo y la misma curvatura. Fíjate primero cerca de $x_0$: ahí cuesta distinguir las dos curvas. Fíjate después en las dos verticales discontinuas, a igual distancia a cada lado de $x_0$. Los puntos marcados sobre ellas muestran dónde se separan las curvas: en el lado comprimido (izquierda), la curva real queda por encima de la parábola, y en el lado estirado (derecha), por debajo.

Para precisarlo, desarrolla $U$ en serie de Taylor en torno al mínimo:
$U(x)=U(x_0)+U^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\frac{1}{6}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^3+\cdots$

Cada término lleva una potencia más alta del desplazamiento $x-x_0$, así que, para desplazamientos pequeños, cada uno es mucho menor que el anterior. El primer término es una constante y no ejerce fuerza. El segundo es cero, porque la pendiente de $U$ se anula en un mínimo: $U^{\prime }(x_0)=0$. Derivando lo que queda se obtiene la fuerza $F=-dU/dx$:
$F=-k(x-x_0)-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2,k=U^{\prime \prime }(x_0)$

El primer término es la ley de Hooke. Para desplazamientos lo bastante pequeños domina sobre el segundo, sea cual sea la forma del pozo, y por eso una sola ley sirve para un enlace molecular, un cable de acero y un puente. La rigidez $k$ es la curvatura del pozo en su fondo, y $k>0$ es justamente la condición de equilibrio estable: si se desplazan hacia cualquier lado, los átomos son empujados de vuelta.

El segundo término mide lo asimétrico que es el pozo: es la separación entre las dos curvas de la figura 1. Un enlace real es más difícil de comprimir que de estirar, así que $U^{\prime \prime \prime }(x_0)<0$, y la fuerza adicional $-\frac{1}{2}{U}^{\prime \prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2$ es positiva a ambos lados. Cuando el enlace se estira ($x>x_0$), esa fuerza actúa en contra de la atracción recuperadora, y el enlace se ablanda; cuando el enlace se comprime ($x<x_0$), se suma al empuje recuperador, y el enlace se endurece. La corrección es pequeña: el acero solo sigue siendo elástico hasta deformaciones unitarias (cambios relativos de longitud) de alrededor del 0,1 %, y ahí la corrección es una fracción del uno por ciento. Aun así, esa misma asimetría es la que hace que los sólidos se dilaten al calentarse.

De un resorte a un material

La constante $k$ pertenece a un resorte o a una barra concretos. Para describir un material necesitamos una constante que no dependa del tamaño de la muestra, y dos experimentos mentales muestran entre qué hay que dividir.

Pon dos bloques idénticos uno a continuación del otro y tira. Cada bloque soporta la misma fuerza $F$, así que cada uno se alarga lo mismo, y el par se alarga el doble que un solo bloque: es la regla de la asociación en serie. El alargamiento crece en proporción a la longitud, así que la medida de la deformación que no depende de la longitud es la deformación unitaria, el alargamiento por unidad de longitud inicial, $\epsilon =\Delta L/L_0$.

Ahora pon los dos bloques lado a lado. Para darles el mismo alargamiento hace falta el doble de fuerza: es la regla de la asociación en paralelo. La fuerza crece en proporción al área de la sección transversal $A$, así que la medida de la carga que no depende del área es el esfuerzo, la fuerza por unidad de área, $\sigma =F/A$.

En una barra uniforme, el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria, y la constante de proporcionalidad $E$, el módulo de Young, pertenece solo al material. Reordenada, la misma ley da la rigidez de la barra:
$\frac{F}{A}=E\frac{\Delta L}{L_0},k=\frac{AE}{L_0}$

Una barra corta y gruesa es rígida y una larga y delgada es blanda, pero un mismo valor de $E$ describe ambas si están hechas del mismo acero.

De los enlaces atómicos al módulo de Young

Leyenda

$a$	Separación entre átomos vecinos.	$\mathrm{m}$
$k_b$	Rigidez de un enlace, dibujado como un resorte.	$N/m$
$L_0$	Longitud de la barra.	$\mathrm{m}$
$A$	Área de la cara del extremo sobre la que actúa la carga (la placa, vista de canto): la sección transversal de la barra.	${\mathrm{m}}^2$
$F$	Carga que tira de la cara del extremo de la barra.	$\mathrm{N}$

El módulo de Young puede estimarse a partir de los propios átomos, aplicando el mismo recuento en serie y en paralelo. La figura 2 modela un cristal como un apilamiento cúbico de átomos separados una distancia $a$, en el que cada enlace es un resorte de rigidez $k_b$. La barra, de longitud $L_0$, está sujeta a la pared por la izquierda, y la fuerza $F$ tira de ella por la derecha. La placa oscura es su cara del extremo, de área $A$, vista de canto.

Cuenta primero a lo ancho de la barra. Cada átomo ocupa un cuadrado de lado $a$ de la cara del extremo, así que $A/a^2$ cadenas de átomos recorren la barra lado a lado (tres en el esquema). Cuenta después a lo largo de una cadena: es una serie de $L_0/a$ enlaces (cinco en el esquema).

Ahora combina los dos recuentos. En serie, $L_0/a$ resortes iguales se reparten el alargamiento, así que una cadena es más blanda que un enlace en ese mismo factor: su rigidez es $k_b/(L_0/a)=k_{b}a/L_0$. En paralelo, las cadenas se reparten la carga, así que sus rigideces se suman:
$k=\frac{A}{a^2}\cdot \frac{k_{b}a}{L_0}=\frac{A}{L_0}\cdot \frac{k_b}{a}$

Al comparar con $k=AE/L_0$ resulta $E=k_b/a$: el módulo es la rigidez de un enlace dividida por la separación entre átomos.

Para el acero, $E=200\mathrm{GPa}$ y $a\approx 0,25\mathrm{nm}$ dan $k_b=Ea\approx 50N/m$, justo el doble de los 25 N/m del resorte de la animación. Un enlace aislado no es especialmente rígido. El módulo es enorme solo porque tiran juntas muchísimas cadenas: $1/a^2$, unas $1,6\times 10^{19}$, atraviesan cada metro cuadrado.

La energía almacenada como área bajo la recta

Volvamos a un solo resorte; ahora $x$ representa su alargamiento respecto a la longitud natural. Estirarlo de 0 a $x$ contra su propia fuerza $k{x}^{\prime }$ exige el trabajo
$U={\int }_0^{x}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$

En la gráfica $F$–$x$ de la animación, es el triángulo rayado bajo la recta, de base $x$ y altura $kx$. A medida que el punto rojo sube, la lectura de $U$ pasa por 0,02, 0,08, 0,18 y 0,32 J con 1, 2, 3 y 4 N.

Fíjate en los incrementos y no en los totales: 0,02, 0,06, 0,10 y 0,14 J, en la proporción 1 : 3 : 5 : 7. Cada newton de carga añade 4 cm de alargamiento, y cada franja de 4 cm del triángulo es un trapecio cuya altura media es 0,5, 1,5, 2,5 y 3,5 N. Las franjas posteriores cuestan más porque el resorte ya está tirando cuando empiezan. Por la misma razón, estirar de $x_1$ a $x_2$ cuesta $\frac{1}{2}k(x_2^2-x_1^2)$, y no $\frac{1}{2}k(x_2-x_1{)}^2$.

En una barra, el mismo triángulo da $U=\frac{1}{2}F\Delta L=\frac{1}{2}(\sigma A)(\epsilon L_0)$. Dividiendo por el volumen $A{L}_0$ y usando $\epsilon =\sigma /E$ se obtiene la energía por unidad de volumen, que es el área bajo la recta esfuerzo–deformación:
$u=\frac{1}{2}\sigma \epsilon =\frac{{\sigma }^2}{2E}$

El acero en su límite de fluencia, de unos 250 MPa, el mayor esfuerzo que soporta de forma elástica, almacena $u=(2,5\times 10^8{)}^2/(2\cdot 2,0\times 10^{11})\approx 1,6\times 10^{5}J/{\mathrm{m}}^3$. Con una densidad de unos 7800 kg/m³, son unos 20 J por kilogramo, lo justo para elevar ese kilogramo apenas 2 m. Los resortes almacenan energía de forma cómoda, no densa.

Contracción lateral, cizalladura y resortes helicoidales

Una barra estirada también se vuelve más delgada. Su anchura disminuye en la fracción $\nu \epsilon$, donde $\nu$, el coeficiente de Poisson, vale unos 0,3 en los metales y casi 0,5 en el caucho.

Como las leyes son lineales, los efectos de cargas distintas simplemente se suman. Comprime un cubo con una presión $p$ sobre sus seis caras: son tres compresiones a la vez, una a lo largo de cada eje. Cada una acorta el cubo a lo largo de su propio eje en la deformación unitaria $p/E$ y, a través del coeficiente de Poisson, lo alarga a lo largo de los otros dos ejes en $\nu p/E$. A lo largo de cualquier eje, la deformación neta es, por tanto, $-(p/E)(1-2\nu )$. La variación relativa de volumen es la suma de las tres deformaciones, $-3(p/E)(1-2\nu )$, y el módulo de compresibilidad, la presión dividida entre la pérdida relativa de volumen, es
$K=\frac{E}{3(1-2\nu )}$

Que $K$ sea positivo exige $\nu <1/2$. Con $\nu =1/2$, un estiramiento deja el volumen sin cambios, y por eso el caucho es tan difícil de comprimir.

Un tercer módulo describe la cizalladura, un cambio de forma a volumen constante, como cuando se empuja de lado la parte superior de un bloque respecto a su base. En un material isótropo, con las mismas propiedades en todas las direcciones, no es independiente: dos constantes describen cualquier deformación pequeña. Conocidos $E$ y $\nu$, el módulo de cizalladura es
$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$
unos 80 GPa para el acero.

La cizalladura es lo que importa en un resorte helicoidal. Al tirar de un resorte helicoidal, su alambre apenas se alarga: se retuerce. Para un alambre de diámetro $d$, espiras de diámetro $D$ y $n$ vueltas, la torsión del alambre da
$k=\frac{G{d}^4}{8D^{3}n}$

Un alambre de acero de 0,5 mm de grosor, enrollado en 25 espiras de 10 mm de diámetro, da $k=8,0\times 10^{10}\cdot (5\times 10^{-4}{)}^4/(8\cdot 0,01^3\cdot 25)=25N/m$: el resorte de la animación. Fíjate en la fuerte dependencia de $D$: con espiras 1,4 veces más anchas, el resorte sería $1,4^3\approx 2,7$ veces más blando. Así, $k$ describe un resorte, mientras que $E$, $\nu$ y $G$ describen el acero del que está hecho.

Más allá del límite elástico

Leyenda

$\sigma$	Esfuerzo: la fuerza dividida por la sección inicial del alambre.	$\mathrm{Pa}$
$\epsilon$	Deformación unitaria: alargamiento por unidad de longitud inicial.
$E$	Módulo de Young: la pendiente del tramo recto inicial y de la recta de descarga.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_y$	Límite de fluencia, donde termina la recta y el alambre empieza a fluir.	$\mathrm{Pa}$
${\sigma }_u$	Resistencia a la tracción: el mayor esfuerzo de la curva.	$\mathrm{Pa}$
${\epsilon }_p$	Deformación permanente que queda tras la descarga.
$u$	Energía absorbida por unidad de volumen hasta la rotura: el área sombreada bajo la curva.	$J/{\mathrm{m}}^3$

Todo lo anterior suponía deformaciones pequeñas. La figura 3 muestra qué ocurre cuando se tira más de un alambre metálico: su esfuerzo $\sigma$ frente a su deformación unitaria $\epsilon$, hasta la rotura. Aquí $\sigma$ es la fuerza dividida por la sección inicial del alambre.

Empieza en el origen. El esfuerzo sube a lo largo de una recta de pendiente $E$: es la región de la ley de Hooke. La recta termina en el punto a la altura de ${\sigma }_y$, el límite de fluencia (el punto morado de la gráfica del alambre en la animación). Más allá, el alambre fluye. Las dislocaciones, defectos lineales del cristal, empiezan a deslizar, de modo que los planos de átomos resbalan unos sobre otros fila a fila en lugar de todos a la vez. Por eso los metales reales fluyen tan pronto: un cristal perfecto aguantaría varios gigapascales, mientras que los aceros reales tienen su límite de fluencia entre 0,25 y 2 GPa. La gráfica $F$–$x$ del resorte en la animación tiene la misma forma: su recta termina en el límite elástico, el punto morado a 5,5 N y 22 cm, donde la curva discontinua se dobla.

Sigue ahora la curva más allá de ${\sigma }_y$. Continúa subiendo, pero con menos pendiente, porque las dislocaciones se enredan y se bloquean unas a otras; esto se llama endurecimiento por deformación. La cima de la curva es la resistencia a la tracción ${\sigma }_u$. Pasada la cima se forma un cuello (estricción): un tramo corto del alambre adelgaza más deprisa que el resto. La fuerza, y con ella el esfuerzo representado, cae, aunque el esfuerzo real en el cuello que se estrecha sigue aumentando, y el alambre se rompe en la cruz (×).

A continuación, detén la carga antes de llegar a la cima, en el punto de la curva ascendente, y descarga el alambre. El alambre baja siguiendo la flecha, una recta paralela a la elástica, con la misma pendiente $E$, porque solo se recupera la parte elástica de la deformación. Con esfuerzo cero conserva la deformación permanente ${\epsilon }_p$. Al volver a cargarlo, sube por la misma recta y se une de nuevo a la curva: ahora es elástico hasta un esfuerzo mayor que antes.

El área sombreada bajo toda la curva, $u=\int \sigma d\epsilon$, es la energía absorbida por unidad de volumen antes de la rotura; en el tramo recto es el triángulo $\frac{1}{2}\sigma \epsilon$ que ya vimos. Un área grande significa un material tenaz. Los metales dúctiles absorben mucha energía fluyendo antes de romperse, mientras que el vidrio o el hierro fundido se rompen cerca del final del tramo recto. El resorte de la animación se detiene en 4,0 N, el 73 % de su límite de 5,5 N, así que al descargarlo recorre la misma recta y devuelve los 0,32 J completos.

Problema resuelto: soltar la carga de golpe

Leyenda

$F$	Fuerza; también la propia carga, la recta horizontal: el peso de las cuatro pesas colgadas juntas.	$\mathrm{N}$
$x$	Alargamiento del resorte respecto a su longitud natural.	$\mathrm{m}$
$kx$	Fuerza con que tira el resorte con el alargamiento $x$: la recta inclinada.	$\mathrm{N}$
$x_e$	Alargamiento en el que la fuerza del resorte iguala la carga, $F/k$: el equilibrio de la carga gradual.	$\mathrm{m}$
$x_L$	Alargamiento en el límite elástico (el punto morado); más allá, la recta del resorte es discontinua.	$\mathrm{m}$
$x_m$	Alargamiento en el punto más bajo, donde las pesas se detienen: $2F/k$.	$\mathrm{m}$
$K$	Energía cinética de las pesas: el triángulo izquierdo es la energía ganada hasta $x_e$; el derecho, $-K$, la misma cantidad que el resorte recupera.	$\mathrm{J}$

La bandeja de la animación baja cada pesa con suavidad, así que el resorte está en equilibrio en cada instante. Supón, en cambio, que las cuatro pesas, 4,0 N en total, se enganchan juntas con el resorte en su longitud natural y se sueltan. La figura 4 sigue la caída en una gráfica de la fuerza frente al alargamiento $x$.

Sobre las pesas actúan dos fuerzas. La carga $F$, su peso, es la misma para cualquier alargamiento: la recta horizontal. La fuerza $kx$ con que tira el resorte crece con el alargamiento: la recta inclinada. Las dos rectas se cortan en $x_e=F/k=4,0/25=0,16\mathrm{m}$, los 16 cm de la carga gradual.

A la izquierda de $x_e$, la carga es la fuerza mayor, así que las pesas aceleran. La fuerza neta es la separación entre las rectas, y el trabajo que realiza, el área del triángulo de la izquierda, se convierte en su energía cinética $K$. Esta es máxima en $x_e$, donde vale $\frac{1}{2}F{x}_e$.

A la derecha de $x_e$, el resorte tira más que la carga, así que las pesas frenan y el resorte recupera la energía: es el triángulo de la derecha, marcado $-K$. Su área es igual a la del izquierdo, porque la fuerza del resorte sube de $F$ a $2F$ en la misma distancia $x_e$ que necesitó para subir de 0 a $F$. Así que la energía cinética vuelve a ser cero en $x_m=2x_e$, donde las pesas se detienen un instante.

La energía da el mismo resultado directamente. Despreciando la masa del resorte y la resistencia del aire, en el punto más bajo las pesas están momentáneamente en reposo, así que toda la energía que ha liberado la gravedad, $F{x}_m$, queda almacenada en el resorte:
$F{x}_m=\frac{1}{2}k{x}_m^2,x_m=\frac{2F}{k}=\frac{2\cdot 4,0}{25}=0,32\mathrm{m}$

Es el doble de los 16 cm de la carga gradual y mucho más allá del límite elástico de 22 cm, $x_L$, el punto morado de la figura 4: el resorte quedaría estirado para siempre. Una carga repentina duplica la deformación máxima, de modo que la mayor carga que este resorte resiste al soltarla desde su longitud natural es la mitad de su límite estático, $25\cdot 0,22/2=2,75\mathrm{N}$.

Un resorte ideal oscilaría entre 0 y 32 cm en torno a 16 cm. La masa es $m=4,0/9,81=0,408\mathrm{kg}$, así que $\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{25/0,408}\approx 7,83rad/s$ y el periodo es $2\pi /\omega \approx 0,80\mathrm{s}$. La rapidez en el centro se deduce de la energía. A 16 cm, la gravedad ha liberado $4,0\cdot 0,16=0,64\mathrm{J}$ y el resorte almacena 0,32 J, de modo que los otros 0,32 J son energía cinética: $v=\sqrt{2\cdot 0,32/0,408}\approx 1,25m/s$, igual a $\omega \cdot 0,16\mathrm{m}$, como exige el movimiento armónico simple.

La carga gradual evita todo esto porque la bandeja absorbe el excedente: 0,32 J si las cuatro pesas se bajaran de una vez. Cargar en cuatro pasos, como hace la animación, desperdicia menos. En cada paso, el empuje de la bandeja empieza en 1,0 N, el peso de la pesa recién añadida, y cae a cero a lo largo de 4 cm, así que la bandeja absorbe solo $\frac{1}{2}\cdot 1,0\cdot 0,04=0,02\mathrm{J}$ por paso. En los cuatro pasos, la gravedad libera 0,40 J (las pesas bajan 16, 12, 8 y 4 cm), el resorte conserva 0,32 J y la bandeja se lleva 0,08 J. Con pasos cada vez más pequeños, la pérdida desaparece.

Límites de validez

La ley de Hooke es una ley de deformaciones pequeñas. El acero dulce solo es lineal hasta una deformación unitaria de $250\mathrm{MPa}/200\mathrm{GPa}=1,25\times 10^{-3}$, alrededor del 0,13 %, y el vidrio de ventana se rompe hacia el 0,1 %. El caucho se estira varias veces su longitud, pero a partir de unos pocos puntos porcentuales de deformación su curva esfuerzo–deformación tiene forma de S, y la fuerza con que tira tiene otro origen. El caucho es una maraña de largas moléculas en cadena. Al estirarlo se enderezan, y su agitación térmica las devuelve hacia formas enredadas, que son muchísimo más numerosas. Es un efecto de entropía, y tiene una consecuencia sorprendente: una goma elástica estirada tira con más fuerza al calentarla.

Los materiales dependen además del tiempo. Los polímeros, el hormigón y los metales calientes sufren fluencia lenta: bajo una carga constante siguen deformándose poco a poco. Además, muchos materiales se descargan por una curva distinta de la que siguieron al cargarse. El lazo entre las dos curvas se llama histéresis, y su área es la energía convertida en calor en cada ciclo; por eso una pelota de goma nunca rebota hasta su altura inicial.

El modelo del resorte tiene sus propios límites. Un resorte real de masa $m_s$ oscila como si se añadieran a la carga unos $m_s/3$. Muchos resortes de tracción se enrollan con una tensión inicial $F_0$: no se estiran en absoluto hasta que la carga supera $F_0$, y a partir de ahí siguen $F=F_0+kx$. El resorte de la animación no tiene tensión inicial, así que su recta pasa por el origen.

Lo que viene después

Una masa en un resorte cumple $m\ddot{x}=-kx$, la ecuación del Movimiento armónico simple: la carga de 0,41 kg de la animación oscilaría con un periodo de 0,80 s, y Amortiguamiento y resonancia añade las pérdidas internas. En una varilla, cada rodaja es una masa entre resortes, y las ondas longitudinales viajan por ella a $\sqrt{E/\rho }$, con $\rho$ la densidad: unos 5000 m/s en el acero, casi 15 veces la velocidad del sonido en el aire (Fundamentos de las ondas).

El enlace asimétrico de la figura 1 lleva a la Dilatación térmica. Un raíl de acero sujeto por ambos extremos y calentado 30 K no puede alargarse, así que queda sometido al esfuerzo que lo comprimiría de vuelta en lo que se dilataría libremente: $\sigma =E\alpha \Delta T=2,0\times 10^{11}\cdot 1,2\times 10^{-5}\cdot 30\approx 7,2\times 10^7\mathrm{Pa}$, es decir, 72 MPa, con $\alpha$ el coeficiente de dilatación del acero. Por último, el módulo de compresibilidad del agua, de unos 2,2 GPa, implica que comprimirla un 1 % exige 22 MPa, unas 220 atmósferas, y por eso Presión en fluidos y principio de Pascal puede tratarla como incompresible.